VEKTOR. Vektor vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekuivalen.

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "VEKTOR. Vektor vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekuivalen."

Transkripsi

1 VEKTOR Vektor dlh sesutu yng mempunyi esrn tu pnjng dn rh. Vektor dpt dinytkn ser geometris segi segmen segmen gris terrh tu pnh pnh di rung- tu rung- dengn rh pnh menentukn rh vektor dn pnjng pnh menytkn esrny. Ekor pnh dinmkn titik wl (initil point) dri vektor dn ujung pnh dinmkn titik terminl (terminl point). Sutu vektor dinytkn dengn huruf keil tel mislny,k,v,w dn x. Bil memhs vektor mk ilngn menytkn sklr.semu sklr merupkn ilngn rel dn dinytkn dengn huruf keil is mislny,k,v,w dn x. Segi ontoh dlm gmr, titik wl vektor v dlh dn titik terminlny dlh B, mk dpt dituliskn v B v B Vektor vektor yng mempunyi pnjng dn rh yng sm dinmkn ekuivlen. Vektor vektor dinggp sm wlupun vektor vektor terseut diletkkn pd kedudukn yng ered ed. Jik v dn w ekuivlen mk dituliskn v w. Definisi : Jik v dn w dlh serng du vektor mk jumlh v + w dlh vektor yng ditentukn segi erikut : Temptknlh vektor w sehingg titik wlny erimpit dengn titik terminl v. Vektor v + w dinytkn oleh pnh dri titik wl v terhdp titik terminl w.

2 w w v v+w v v+w v w+v w Definisi : Jik v dn w dlh serng du vektor, pengurngn w dri v didefinisikn segi v w = v + (-w). Untuk mendptkn selisih v w tnp menggmrkn w mk temptknlh v dn w sehingg titik wlny erimpit; vektor dri titik terminl w ke titik terminl v dlh vektor v-w. v-w v v v-w -w w w Definisi : Jik v dlh vektor tknol dn k ilngn riil tknol (sklr),mk hsil kli kv didefinisikn segi vektor yng pnjngny k kli pnjng v dn yng rhny sm seperti rh v jik k dn erlwnn dengn rh v jik k. Kit definisikn kv jik k tu v. Perhtikn hw vektor v mempunyi pnjng yng sm seperti v tetpi dirhkn erlwnn.jdi tk lin dri negtif v yitu : v v. NORM DN ILMU HITUNG VEKTOR

3 Teorem : Jik u,v dn w dlh vektor vektor di rung- tu rung- dn k sert l dlh sklr mk erlku huungn erikut ini :. u + v = v + u. (u + v)+ w = u +(v + w). u + = + u = u d. u + (-u) = e. k(lu) = (kl)u f. k(u + v) = ku + kv g. (k+l)u = ku + lu h. u = u Pnjng seuh vektor v sering dinmkn norm v dn dinytkn dengn v. Dri teorem Phytgors diperoleh hw norm vektor v v,v di rung- dlh v v v Mislkn v, v v v dlh vektor di rung-. Dengn menggunkn penerpn, teorem Pythgors mk kn diperoleh : v OR RP v OQ OS RP v v Dengn demikin diperoleh Jik P x, y z dn x, y z, v, v v v kedu titik terseut dlh norm vektor P mk d x P dlh du titik di rung-, mk jrk d ntr x y y z z Demikin jug jik P x dn x, y, y P. Kren P P x x, y y z z, P dlh titik titik di rung- mk jrk dintr kedu titik terseut dierikn oleh d x x y y

4 Definisi : Jik u dn v dlh vektor vektor di rung- tu rung- dn dlh sudut dintr u dn v mk hsil kli titik (dot produt) tu hsil kli dlm Eulidis (Euliden inner produt) u v didefinisikn segi erikut : u v u v os jik jik u u dn dn v v HSIL KLI SILNG Definisi : Jik u, u, ) kli silng u v u u dn v, v v ( u v dlh vektor di rung- mk hsil, u v dlh vektor yng didefinisikn oleh : v uv uv uv,, u v u v tu dlm notsi determinn u u v v u v u, v u v u, v u v Teorem : Jik u,v dn w dlh serng vektor di rung- dn k dlh serng sklr mk :. u v = - (v u). u (v + w) = (u v) + (u w). (u + v) w = (u w) + (v w) d. k(u v) = (ku) v = u (kv) e. u = u = f. u u = RUNG VEKTOR Definisi : Jik n dlh seuh ilngn ult positif, mk tupel-n-terorde (ordered-ntuple) dlh seuh urutn n ilngn riil,,..., n. Himpunn semu tupel-nterorde dinmkn rung-n dn dinytkn dengn n R

5 Definisi : Jik u u u,..., dn v v v,...,, u n dlh serng vektor pd, mk hsil kli dlm eulidis (Euliden inner produt) u v u v u v... u v n n v n n R, u v kit definisikn dengn Norm Eulidis (pnjng Eulidis) vektor u u u,..., pd, u n n R dlh u u u u u u... n. Jrk Eulidis di ntr titik u u u,..., dn titik v v v,...,, u n pd, v n n R didefinisikn oleh d u, v u v u v u v... u n vn Vektor vektor yng mempunyi pnjng yng sm dn rh yng sm diseut ekivlen. Jik v dn w ekivlen, mk kit menulisknn V = W. Du uh vektor diktkn sm, jik pnjng dn rhny sm, Jdi vektor tidk tergntung kepd letkny, tetpi tergntung pd pnjng dn rhny. OPERSI OPERSI PD VEKTOR. PENJUMLHN VEKTOR Misl penjumlhn vektor V dn W kit mengenl metode :. METODE JJRN GENJNG w - V Vektor hsil (resultn) didpt dri digonl jjn genjng yng dientuk oleh V sert W setelh titik wl ditemptkn erimpit. 5

6 . METODE SEGITIG Resultnt diperoleh dengn menemptkn titik wl slh stu vektor (misl W) pd titik ujung vektor yng linny, mk resultnt dlh vektor ertitik wl V, dn ertitik ujung dititik W. V + W W W V V V+W. PERKLIN SKLR Jik K sutu sklr ilngn riil dn V sutu vektor mk perklin sklr KV menghsilkn sutu vektor yng pnjngny IKI kli pnjng V, dn rhny sm dengn rh V il K positif tu erlwnn dengn V il K negtive. Bil K = mk KV =, diseut vektor nol yitu vektor yng titik wl dn titik ujungnny erhimpit. Contoh : (). V = (, -) dn W = (7,6) Mk v + w = (,-) +(7,6) = (8,) dn V =(, -) = (, -8) Kren V W = V + - (W), Mk V W = = V + (- W) = ( 7, - -6) = (- 6, -8) (). V = (, -, ) dn W = (,, ) Mk V +W = (,--, ) + (,, ) = (5,, ) Dn V = (, -, ) = (, -6, ) Mk V W = V + (- W) = (-, -5, ) 6

7 RUNG BERDIMENSI STU (R ) Setip ilngn riil dpt diwli oleh seuh titik pd sutu gris lurus, yng mementuk susunn koordint di dlm rung erdimensi, ditulis R misl pilih O segi titik wl susunn koordint dn sutu titik E dimn pnjng OE = Stun R P O E Titik O mewkili ilngn nol, Titik E mewkili ilngn stu. RUNG BERDIMENSI DU (R ) Setip ilngn riil dpt diwkili oleh seuh titik pd sutu idng rt, yng memut susunn koordint di dlm rung erdimensi du, ditulis R Msing msing gris diseut sumu koordint. O E C RUNG BERDIMENSI TIG (R ) Setip triple ilngn riil dpt diwkili oleh seuh titik didlm rung erdimensi tig ditulis R dengn mementuk sutu susunn koordint yitu mengmil gris lurus.(tidk seidng ) yng erpotongn di titik wl O. 7

8 VEKTOR DI DLM R N Perhtikn susunn koordint yng tegk lurus (Orthogonl) diseut pul susunn koordint ourtesin di R.Sutu vektor diseut stun il pnjngny = Y E o E X e = OE yng titik wlny O (,) dn titik ujungny E (,), e = OE yng titik wlny O (,) dn titik ujungny E (,) ditulis e = e + Oe e = O e + e Disingkt menjdi e = (, O) e = ( O, ) Vektor yng titik wlny O (,) dn titik ujungny titik (, ), Vektor diseut Vektor posisi (rdius vektor) dri titik. 8

9 MTRIKS. Definisi Sutu mtriks dlh himpunn ilngn ilngn y menurut entuk empt persegi pnjng dn ditemptkn di dlm tnd ( ) tu [ ] seperti : = m smpi m m n n mn tu m mn diseut elemen elemen dri mtriks dn dinytkn elemen umum ij dimn i dn j merupkn indeks dengn i indeks yng pertm erjln dri smpi m dn j indeks yng kedu erjln dri smpi n. Sutu mtriks isny dinytkn dengn huruf esr tu. ij m m n n mn. Pengertin Bris dn Kolom Elemen elemen yng disusun dengn rh mendtr seperti n diseut ris sedngkn elemen elemen yng disusun dengn rh vertikl diseut kolom seperti : m Susunn elemen elemen : n diseut ris pertm. Susunn elemen elemen n diseut ris kedu dn seterusny. Terliht hw untuk ris pertm indeks pertm dri sellu sm dengn. Dengn demikin i. ij Indeks pertm dri ris kedu sellu sm dengn. Dengn demikin i dn seterusny untuk ris ke- m indeks pertm sellu sm dengn m. Dengn demikin indeks pertm dri ij sellu menunjukkn ris. 9

10 Susunn elemen elemen diseut kolom pertm m Susunn elemen elemen diseut kolom kedu m Terliht hw untuk kolom pertm indeks kedu dri ij sellu sm dengn dn untuk kolom kedu indeks yng kedu sellu sm dengn. Dengn demikin mk indeks yng kedu dri ris dn kolom. ij sellu menunjukkn kolom, misl rtiny elemen erd pd. Type Dri Sutu Mtriks Mtriks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut mtriks ertipe m n (di m kli n). Mtriks yng nykny ris dn kolom sm diseut mtriks ujur sngkr (squre mtrix). Sutu mtriks ujur sngkr yng mempunyi n ris dn n kolom diseut mtriks er order n. Sutu mtiks yng hny mempunyi ris sj seperti: B = [ n ], diseut dengn vektor ris tu mtriks ris. Sedng dengn order kolom n =, diseut mtriks kolom tu vetor kolom dengn entuk : C = m Mm-Mm Mtriks : ) Mtriks Nol dlh mtriks yng semu unsurny ernili, seperti :

11 ) Mtriks ujur sngkr (MBS) dlh seuh mtriks dimn m = n (nykny ris sm dengn nykny kolom). Contoh : misl mtriks, dlh: = Digonl yng terdiri dri,, dn dlh digonl utm mtriks. MBS nyk digunkn pd penyelesin sistem persmn linier, dlm sistem ini jumlh persmn (ris) dn jumlh ilngn tk dikethui (kolom) hrus sm untuk mendptkn penyelesin tunggl. ) Mtriks digonl dlh mtrik ujur sngkr dimn semu elemen keuli digonl utm dlh, dn erentuk: = d) Mtriks sklr, dlh mtriks digonl yng unsur-unsurny sm esr tetpi ukn nol tu stu. e) Mtriks identits, dlh mtriks digonl yng semu elemen pd digonl utm ernili tu dpt jug diseut mtriks stun, seperti entuk erikut ini: I =

12 f) Mtriks segitig ts (MS), dlh mtriks yng semu elemen diwh digonl ernili, entukny segi erikut: = g) Mtriks segitig wh (MSB), dlh mtriks yng semu elemen dits digonl ernili, entukny segi erikut: = h) Mtriks simetris, il ij = ji, mislny mtriks simetris : 5 = i) Mtriks simetris digonl nol, il ij = - ji, mislny mtriks simetris yng semu unsur digonlny ji =. = 7 7 j) Mtriks pit, dlh mtriks yng mempunyi elemen sm dengn, keuli pd stu jlur yng erpust pd digonl utm, entukny segi erikut: =, diseut jug dengn mtriks tridigonl.

13 k) Mtriks trnspose, dlh mtriks yng terentuk dengn menggnti ris menjdi kolom dn kolom menjdi ris (notsiny T ). Untuk mtriks: = m m m n n, mn mk trnsposeny ( T ) dlh T = n n n m m mn Hukum hukum yng erlku : T T T. B B T T. T k k dengn k = slr. T T B B T T d. l) Mtriks ortogonl dlh mtrik ujur sngkr yng memenuhi turn: [] T. [] = [] [] T = [I] ljr Mtriks MBS dpt dikenkn sutu opertor mtemtik seperti penjumlhn, penglin, dn pengurngn. ) Kesmn du mtriks Definisi : Du mtriks dn B diktkn sm il elemen-elemen mtriks sm dengn elemen-elemen mtriks B dn ukurn keduny dlh sm, ij = ji untuk semu nili i dn j.

14 Contoh : B 5 Dri ontoh di ts diperoleh hw ) Penjumlhn dn pengurngn mtriks 6 7 C B, C, B C Definisi : Bil = [ ij ] dn B = [ ij ] merupkn du mtriks dengn dimensi mn, mk untuk opersi penjumlhn tu pengurngn ( B) dri kedu mtriks terseut, dlh sm dengn mtriks C = [ ij ] dengn dimensi mn, dimn setip elemen mtriks C dlh jumlh 6 7 (selisih) dri elemen-elemen yng erkitn dri dn B. C = B = [ ij ij ] = [ ij ] Contoh : Jik = dn B = 5 Mk: 5 + B = = ( ) 5 9 B = = ( ) 5 + B + = = ) Perklin Mtriks dengn Sklr Definisi : Hsil perklin slr k dengn mtriks dinytkn segi k yitu mtriks yng didpt dri dengn jln menglikn setip elemen dri dengn k. Bentuk umumny : k k k k k k k k k k

15 Contoh : d) Perklin mtriks Definisi : Bil ij sutu mtriks ertipe / erordo p B sutu mtriks ertipe n ij m dn mtriks p mk perklin mtriks dn B didefinisikn segi sutu mtriks C ertipe m n dengn elemen elemen C ij yng sm dengn jumlh perklin elemen elemen di ris ke-i dri dengn elemen elemen di kolom ke-j dri B. Contoh sol: Jik = dn g = 5, mk C = g = 5 = 5 Perklin du mtriks dn B dpt dilkukn il h kolom sm dengn h ris B, dn kedu mtriks diseut dengn onformle. Perklin sutu mtriks m, yitu = [ m ] dengn mtriks m yitu: B = m dlh seuh mtriks C erukurn, yng erentuk: C = [ m m ] tu 5

16 [ m ] m = [ m m ] Opersi perklin dlh ris dengn kolom, tip elemen dri ris diklikn dengn elemen dri kolom dn kemudin dijumlhkn. Contoh sol: [ ] = [() + () + ()] = [ + (6) + ] = [8] Perklin ntr mtriks mp, yitu = [ ij ] dn mtriks pn, yitu B = [ ij ] dlh mtriks mn, yitu C = [ ij ] dengn nili ij = i j + i j + + ip pj = p k ik kj. Dimn untuk i =,,, m dn j =,,, n Contoh sol: =, B = () ( ) () B = () ( ) () x dn X = x x () () ( ) () () ( ) 7 = 5 B = () ( ) () ( ) () ( )( ) () () () () () ( )() () () () () () ( ) = x X = x x x x = x x x x Beerp hukum yng erlku dlm ljr mtriks :. 6

17 . B B. B C B C d. e. f. B B g. k B k kb h. k k k k i. k k k k j. dn 7

18 DETERMINN Definisi. Sutu fungsi determinn dinytkn segi det. Sutu determinn dri yng dieri notsi det tu dlh kumpuln elemen elemen yng tersusun menurut ris dn kolom sehingg erentuk ujur sngkr yng mempunyi nili sm dengn jumlh semu perklin elementer dengn memperhtikn tnd. Bentuk Umum : Contoh : Sift-sift determinn ) pil semu unsur dlm sutu ris (kolom) det mk det Contoh : det 5 = det = ) pil semu unsur sutu ris (kolom) dri det diklikn dengn slr k sehingg menjdi B mk Contoh : det B k det 8 5 Bris pertm dlm mtiks diklikn dengn menjdi : det B = det ) pil det B diperoleh dri determin() dengn r menukr letk semrng du ris (kolom) mk detb det 5 8

19 det = ditukr ris det ditukr kolom = det = d) pil unsur unsur du ris (kolom) dri det dlh identik mk det. det = det 5 = d ris yng sm d kolom yng sm e) pil unsur unsur sutu ris (kolom) dri determinn sending dengn unsur- unsur ris (kolom) yng lin mk det det detb 6 Bris kedu diperoleh dri elemen ris pertm dikli dengn. f) pil det B diperoleh dri det dengn menmhkn unsur unsur pd ris (kolom) B dengn k kli unsur unsur ris (kolom) mk B det det det Contoh : 8 Perhitungn nili determinn ) Metode Srrus Metode ini hny erlku untuk menghitung hrg determinn tingkt tu orde tig sj. 9

20 D = D = (.. ) + (.. ) + (.. ) (.. ) (.. ) (.. ) Contoh sol: [] = = (.( ).) + (..( )) + (( )..) (( ).( ).( )) (..) (..) = ( ) + ( ) + ( 6) + = 5. ) Metode minor (ekspnsi) Jik di dlm sutu determinn tingkt tu orde n, elemen-elemen pd ris ke-i dn kolom ke-j dimil (dihpus) terdpt sutu determinn tingkt (m ), simol yng ditulis Mij. Contoh sol: ). = 5 Minor (M ) = 5 Minor (M ) = 5 ). D = Hrg determinnny dlh: D = [(.. ) + (.. ) + (.. )] [(.. ) + (.. ) + (.. )]

21 = [ (.. )] [ (.. )] + [ (.. )] = + = (. M ) (. M ) + (. M ) Invers Mtriks Invers dri mtriks jk ertipe n n dinytkn segi mtriks ertipe n n jug dengn sift hw : I dn merupkn dengn I dlh mtriks identits yng ertipe n n. Sutu mtriks yng mempunyi inverse mk diseut mtriks non singulr dn jik tidk mempunyi inverse mk diseut mtriks singulr. Contoh : ) Menggunkn determinn, hitung [] - il [] = Penyelesin: Nili determinn = = 7. 6 Dengn lgoritm [] - = dj [] (ris dn kolom ditutup) = (+) = 6 = ( ) =, = (+) =, = ( ) = 6 6 = (+) = 8, = ( ) = 7, = (+) = 8 6 = ( ) =, = (+) = [] = [] = 8 8 7

22 [] T = [] - = dj [] [] - = = Metode Invers Mtriks Persmn umum: x + x + + n x n = x + x + + n x n = : : n x + n x + + nn x n = n dpt ditulis dlm entuk mtriks, menjdi segi erikut: n n n x n x tu X = B nn xn n dengn: dlh mtriks koefisien nn. X dlh kolom vektor n dri ilngn tk dikethui. B dlh kolom vektor n dri konstnt. Nili pd vektor kolom X dpt diri dengn r menglikn kedu rus persmn dengn mtriks inversi, yitu X = B, kren = I, mk nili-nili dri elemen X = B, Contoh sol: Dikethui sutu persmn, yitu: x + y = x + y = 8 x Mk persmn dits dpt ditulis = + = y 8 X B + X = B X = B

23 Untuk nili = [] - = dj [] = = Sehingg nili y x dpt diri yitu: 8 =, Jdi nili x = dn y =. PENGGUNN DETERMINN DLM SISTEM PERSMN LINER Perhtikn sistem persmn liner erikut ini : y x () y x () pil persmn diklikn dn persmn diklikn mk kn diperoleh: x y x y x x x Dengn r yng sm diperoleh : y y

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom

Lebih terperinci

Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :

Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh : TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut

Lebih terperinci

MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01

MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01 MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn

Lebih terperinci

A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS

A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.

Lebih terperinci

MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...

MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)... MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris

Lebih terperinci

Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah

Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B

Lebih terperinci

Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )

Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua ) A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu

Lebih terperinci

Materi IX A. Pendahuluan

Materi IX A. Pendahuluan Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn

Lebih terperinci

BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN

BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut

Lebih terperinci

E-LEARNING MATEMATIKA

E-LEARNING MATEMATIKA MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor

Lebih terperinci

VEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.

VEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama. -1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi

Lebih terperinci

VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.

VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a. VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung

Lebih terperinci

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti

Lebih terperinci

PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS

PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn

Lebih terperinci

Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :

Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik : MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.

Lebih terperinci

Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)

Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan) Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product

Lebih terperinci

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A. Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu

Lebih terperinci

VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang

VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung

Lebih terperinci

1. Pengertian Matriks

1. Pengertian Matriks BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng

Lebih terperinci

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh

Lebih terperinci

Vektor di R 2 dan R 3

Vektor di R 2 dan R 3 Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl

Lebih terperinci

A x = b apakah solusi x

A x = b apakah solusi x MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.

Lebih terperinci

M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.

M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc. M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng

Lebih terperinci

Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN

Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model

Lebih terperinci

VECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT)

VECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT) VECTOR DI BIDANG R DAN RUANG R Nurdininty Athri (NDT) VEKTOR DI BIDANG (R ) DAN DI RUANG (R ) Pokok Bhsn :. Notsi dn Opersi Vektor. Perklin titik dn Proyeksi Ortogonl. Perklin silng dn Apliksiny Beerp

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi

Lebih terperinci

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0. DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien

Lebih terperinci

det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular

det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:

Lebih terperinci

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh : RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI

Lebih terperinci

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b 1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,

Lebih terperinci

3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi

3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis

Lebih terperinci

Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks

Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.

Lebih terperinci

matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s

matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn

Lebih terperinci

1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.

1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan. 1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut

Lebih terperinci

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Matriks Dan Sistem Persamaan Linier

Sudaryatno Sudirham. Matriks Dan Sistem Persamaan Linier Sudrytno Sudirhm Mtriks Dn Sistem Persmn inier hn Kulih Teruk dlm formt pdf tersedi di www.uku-e.lipi.go.id dlm formt pps ernimsi tersedi di www.ee-cfe.org Mtrik dlh susunn tertur ilngn-ilngn dlm ris

Lebih terperinci

Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri

Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn

Lebih terperinci

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk

Lebih terperinci

Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.

Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya. 2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi

Lebih terperinci

matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran

matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn

Lebih terperinci

IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran

IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits

Lebih terperinci

MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks

Lebih terperinci

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn

Lebih terperinci

Universitas Esa Unggul

Universitas Esa Unggul ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin

Lebih terperinci

Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang

Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn

Lebih terperinci

BAB III MATRIKS

BAB III MATRIKS BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn

Lebih terperinci

UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 2015

UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 2015 -. UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 015 SILAHKAN KLIK KUNJUNGI: WWW.E-SBMPTN.COM Ltihn Sol Fisik 1. Thun hy dlh stun dri... (A) jrk (D) momentum (B) keeptn (E) energi (C) wktu. Stu wtt hour sm dengn...

Lebih terperinci

SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika

SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika Konsep yng erkitn dengn : www.ujinnsionl.we.id Ringksn Teori Ujin Nsionl 011 Sekolh Menengh Ats / Mdrsh Aliyh IPA SMA / MA IPA Mt Peljrn : Mtemtik Brisn dn Deret = U = S 1 1 U n = S n S n1 untuk n =, 3,

Lebih terperinci

DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I

DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn

Lebih terperinci

2.Matriks & Vektor (1)

2.Matriks & Vektor (1) .triks & Vektor () t Kulih: ljbr Liner dn triks Semester Pendek T. / S Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro,.Kom. STIK IKO YOGYKRT Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 7 88 Fx 7-888 Website:

Lebih terperinci

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetied.wordpress.com SMAN BoneBone, Luwu Utr, SulSel Keslhn teresr yng diut mnusi dlm kehidupnny dlh terusmenerus mers tkut hw merek kn melkukn keslhn (Elert Hud) [RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor

Lebih terperinci

BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu

Lebih terperinci

PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1

PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1 PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0

Lebih terperinci

b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ

b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin

Lebih terperinci

Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan

Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan III FUNGSI 15 1. Definisi Fungsi Definisi 1 Mislkn dn dlh himpunn. Relsi iner f dri ke merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm dihuungkn dengn tept stu elemen di dlm. Jik f dlh fungsi dri ke, mk f

Lebih terperinci

Matematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan

Matematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan Mtemtik Lnjut 1 Onggo Wirywn Setip mtriks persegi tu bujur sngkr memiliki nili determinn Nili determinn sklr Mtriks Singulr= Mtriks yng determinnny bernili 0 Determinn & Invers - Onggo Wr 2 Mislkn A sutu

Lebih terperinci

ELIPS. A. Pengertian Elips

ELIPS. A. Pengertian Elips ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi

Lebih terperinci

Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)

Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor) Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn

Lebih terperinci

02. OPERASI BILANGAN

02. OPERASI BILANGAN 0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.

Lebih terperinci

Matriks. Pengertian. Lambang Matrik

Matriks. Pengertian. Lambang Matrik triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA Persmn dlh klimt mtemtik teruk ng memut huungn sm dengn. Sedngkn klimt mtemtik tertutup ng memut huungn sm dengn diseut kesmn. Klimt mtemtik :. Klimt mtemtik

Lebih terperinci

Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier

Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm

Lebih terperinci

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )

Lebih terperinci

A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan

A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan (Oleh: Winit Sulndri, M.Si) A. Kompetensi Dsr : Menyelesikn sistem persmn liner B. Mteri :. Sistem Persmn Liner dn Mtriks. Determinn C. Indiktor :. Mendefinisikn persmn liner dn sistem persmn liner. Mengenl

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA I. Hikmayanti Huwaida, S.Si NIP

MODUL MATEMATIKA I. Hikmayanti Huwaida, S.Si NIP ODUL TETIK I Hikmynti Huwid, SSi NIP 97 99 KEENTRIN PENDIDIKN DN KEBUDYN POLITEKNIK NEGERI BNJRSIN PROGR STUDI NJEEN INFORTIK BNJRSIN BB I TRIKS Tujun Instruksionl Umum Setelh mengikuti mt kulih temtik

Lebih terperinci

Oleh. Ir. Hastha Sunardi, MT

Oleh. Ir. Hastha Sunardi, MT Oleh Ir. Hsth Sunrdi, MT VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor.. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn jjrn genjng,

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn

Lebih terperinci

BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn

Lebih terperinci

IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2

IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2 GRMMR CONTEXT-FREE DN PRING entuk umum produksi CFG dlh :, V N, (V N V T )* nlisis sintks dlh penelusurn seuh klimt (tu sentensil) smpi pd simol wl grmmr. nlisis sintks dpt dilkukn mellui derivsi tu prsing.

Lebih terperinci

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok

Lebih terperinci

BAB I MATRIKS. Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang. dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley ( ).

BAB I MATRIKS. Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang. dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley ( ). BAB I MATRIKS Aljbr mtriks merupkn slh stu cbng mtemtik yng dikembngkn oleh seorng mtemtikwn Inggris Arthur Cyley (8 89) Mtriks berkembng kren pernnny dlm cbng-cbng Mtemtik linny, mislny bidng ekonomi,

Lebih terperinci

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini: ) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn

Lebih terperinci

Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1

Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1 K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd

Lebih terperinci

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS

DETERMINAN dan INVERS MATRIKS // DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.

Lebih terperinci

PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1

PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1 PEMBAHASAN A. Teorem Pythgors 1. Lus persegi dn lus segitig siku-siku Perhtikn Gmr 1! D s A s B Gmr 1 Pd gmr terseut tmpk seuh persegi ABD yng pnjng sisiny s stun pnjng. Lus persegi ABD = sisi sisi L =

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU. x x x

INTEGRAL TAK TENTU. x x x INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,

Lebih terperinci

INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:

INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut: INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh

Lebih terperinci

Bab 4. Contoh 4.1 : Berikut adalah beberapa contoh notasi vektor : b. b = b 1 i ˆ +b kˆ

Bab 4. Contoh 4.1 : Berikut adalah beberapa contoh notasi vektor : b. b = b 1 i ˆ +b kˆ B 4 Vektor di Bidng dn di Rng Vektor merpkn esrn yng mempnyi rh. Pd ini kn dijelskn tentng ektor di idng dn di rng, yng diserti opersi dot prodct, cross prodct, dn penerpnny pd proyeksi ektor dn perhitngn

Lebih terperinci

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII Trnsformsi Liner B VIII

Lebih terperinci

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi: INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi

Lebih terperinci

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1. 1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng

Lebih terperinci

BAB 3 VEKTOR DI R 2 DAN R 3. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

BAB 3 VEKTOR DI R 2 DAN R 3. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. BAB VEKTOR DI R DAN R Dr. Ir. Adl Whid Srhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN. Definisi Vektor di R dn R. Hsil Kli Slr. Hsil Kli Silng 4. Gris dn Bidng di R . DEFINISI VEKTOR DI R DAN R Notsi dn Opersi Vektor

Lebih terperinci

Suku banyak. Akar-akar rasional dari

Suku banyak. Akar-akar rasional dari Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd

Lebih terperinci

Graf Berarah (Digraf)

Graf Berarah (Digraf) Grf Berrh (Digrf) Di dlm situsi yng dinmis, seperti pd komputer digitl tupun pd sistem lirn (flow system), konsep grf errh leih sering digunkn dindingkn dengn konsep grf tk errh. Apil rus sutu grf errh

Lebih terperinci

PERSAMAAN LINIER. b a dimana : a, b, c, d adalah

PERSAMAAN LINIER. b a dimana : a, b, c, d adalah PERSAMAAN LINIER ). Persmn Linier Stu Vriel Bentuk umum : x, imn n konstnt Penyelesin : x Contoh : ). 5x x x 5 8 ). x 8 x x 8 ). Persmn Linier Vriel Bentuk umum : ). Persmn Linier Tig Vriel Bentuk umum

Lebih terperinci

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA INSTITUT TEKNOLOGI ADHI TAMA SURABAYA (ITATS)

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA INSTITUT TEKNOLOGI ADHI TAMA SURABAYA (ITATS) DIKTT LJBR LINIER Oleh: nit T. Kurniwti, MSi JURUSN TEKNIK INFORMTIK INSTITUT TEKNOLOGI DHI TM SURBY (ITTS) KT PENGNTR Diktt ini erisi sistem persmn linier (SPL), Determinn, invers, mtriks, vektor, rung

Lebih terperinci

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn

Lebih terperinci