RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :

Transkripsi

1 RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI PENDIDIKN MTEMTIK FKULTS PENDIDIKN MTEMTIK DN ILMU PENGETHUN LM IKIP PGRI MDIUN 21

2 Rung Vektor Umum. Difinisi Serng himpunn end yng dimislkn dengn V, yng du opersiny kit definisikn ykni penmhn dn perklin sklr (ilngn riil). Opersi penjumlhn (ddition) dpt dirtikn segi sutu turn yng mengsosikn setip psng ojek u dn v pd V dengn sutu ojek u+v, yng diseut jumlh u dn v. Opersi perklin sklr (slr multiplition), dpt dirtikn segi sutu turn yng mengsosikn setip sklr k dn setip ojek u pd V dengn sutu ojek ku, yng diseut keliptn sklr (slr multiple) dri u oleh k. Jik ksiom-ksiom erikut dipenuhi oleh semu end u, v, w pd V dn oleh semu sklr k dn l, mk kit nmkn V seuh rung vektor (vetor spe) dn end-end pd V kit nmkn vektor. ksiom-ksiom terseut dlh segi erikut : 1) Jik u dn v dlh end-end pd V, mk u+v erd di V. 2) u v v u 3) u v w u v w 4) d seuh end di V sehingg u u u untuk semu u di V. 5) untuk setip u di V, d seuh end u di V yng kit nmkn negtif u sehingg u u u u. 6) Jik k dlh serng sklr dn u dlh serng end di V, mk ku erd di V. 7) ku v ku kv 8) k lu ku lu 9) klu klu 1) 1 u u Sklr dpt erup ilngn rel tu ilngn kompleks, tergntung pd pliksiny. Rung vektor dimn sklr-sklrny dlh ilngn kompleks diseut rung vektor kompleks (omplex vetor spe), dn rung vektor dimn sklrsklrny merupkn ilngn rel diseut rung vektor rel (rung vektor rel). 1

3 Definisi dri sutu rung vektor tidk menyeutkn sift dn vektor mupun opersiny. Ojek p sj dpt menjdi sutu vektor dn opersi penjumlhn dn perklin sklr kemungkinn tidk memiliki huungn tu kemiripn ppun dengn opersi-opersi vektor stndr pd terpenuhi. n R, slkn kesepuluh ksiom rung vektor Contoh erikut kn memerikn gmrn mengeni kemungkinn kergmn vektor terseut. Pd setip ontoh, kn dierikn sutu himpunn V tk kosong dn du opersi penjumlhn dn perklin sklr. Kemudin kn diuktikn hw kesepuluh ksiom rung vektor terpenuhi, sehingg V dpt diseut segi sutu rung vektor dengn melkukn opersi-opersi yng telh ditentukn. Contoh sol : Rung vektor mtriks 3x2 1. M = {semu mtriks erordo 3x2}. Opersi penjumlhn pd M dlh opersi penjumlhn mtriks. Opersi perklinny dlh perklin sklr dri F dengn nggot-nggot M. pkh M merupkn rung vektor? Penyelesin : Mislkn mtrik, mtrik B, dn mtrik C dlh elemen dri M., B, C ksiom 1: B Mk ksiom 1 terukti kren +B dlh mtrik erordo 3x2. 2

4 3 ksiom 2: B B Mk ksiom 2 terpenuhi. ksiom 3: Mk ksiom 3 terpenuhi. ksiom 4: Mk ksiom 4 terpenuhi. ksiom 5: Mk ksiom 5 terpenuhi: ksiom 6: k k k k k k k k Mk ksiom 6 terpenuhi kren k dlh mtrik erordo 3x2 yng merupkn ojek di M. C B C B

5 ksiom 7 : k B k k k k kb Mk ksiom 7 terpenuhi. ksiom 8: k l k l k l k l Mk ksiom 8 terpenuhi. ksiom 9: k l k l kl kl Mk ksiom 9 terpenuhi. ksiom 1: 1 1 Mk ksiom 1 terpenuhi. Kren kesepuluh ksiom terpenuhi mk himpunn M merupkn sutu rung vektor. 4

6 Rung Vektor Nol Mislkn V terdiri dri sutu ojek tunggl, yng dinotsikn dengn, dn didefinisikn += dn k= untuk semu sklr k. pkh V merupkn rung vektor? Pemeriksn untuk mengethui pkh semu ksiom rung vektor telh terpenuhi dpt dilkukn dengn mudh. Mk rung vektor ini diseut segi rung vektor nol (zero vetor spe). B. Beerp Sift Vektor Teorem 3. Mislkn V dlh seuh rung vektor, u seuh vektor pd V, dn k seuh sklr mk : ) u ) k ) 1 u u d) Jik ku=, mk k= tu u= Bukti :. Perhtikn hw : u+u =(+)u [ksiom 8] =u [sift ilngn ] Berdsrkn ksiom 5, vektor u memiliki entuk negtif, -u. Dengn menmhkn negtifny pd kedu rus dits, mk kn menghsilkn : (u+u)+(-u)=u+(-u) u+[u+(-u)]= u+(-u) [ksiom 3] u+ = [ksiom 5] Mk terukti u. u = [ksiom 4] 5

7 . kn diuktikn k. Untuk memuktiknny, mk kit gunkn persmn +=. += k(+)=k [kedu rus di klikn k, dimn k dlh sklr] k+ k = k [ksiom 7] k+ k+(-k)= k+(-k) [kedu rus ditmhkn (-k)] k+= [ksiom 5] k= [ksiom 4] Terukti hw k.. Untuk menunjukkn 1 u u, diperlihtkn hw 1u 1u u 1u ` [ksiom 1] u 1 u 1 1 u [ksiom 8] [Sift dri ilngn] [Teorem 3] u. d. kn diuktikn jik ku=, mk k= tu u=. ku=ku ku+k+u+=ku+k+u+ [kedu rus ditmh k, u, ] (k+)(u+)= ku+k+u+ [diut entuk perklin] (k+)(u+)=+++ [Dikethui, Teorem 3, Teorem 3] (k+)(u+)= [Sift dri ilngn] k= tu u= mk terukti hw jik ku=, mk k= tu u=. 6

8 DFTR PUSTK Purwnto, dkk. 25.ljr Linier. Jkrt: PT. ERCONTR RJWLI. nton, Howrd. 2. ljr Linier Elementer. Jkrt : Erlngg. 7