Suku banyak. Akar-akar rasional dari

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Suku banyak. Akar-akar rasional dari"

Transkripsi

1 Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd hsil gi dn sis pemgin Penyelesin persmn suku nyk digunkn untuk Pemuktin teorem sis dn teorem fktor Akr-kr rsionl dri persmn suku nyk Menentukn kr rsionl Sift-sift kr persmn suku nyk lgoritm pemgin suku nyk entuk liner entuk kudrt derjt n cr skem (Horner) teorem sis teorem fktor 44 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

2 A Algoritm Pemgin Suku Bnyk. Pengertin dn Nili Suku Bnyk. Pengertin Suku Bnyk Suku nyk dlh sutu entuk yng memut vriel erpngkt. Suku nyk dlm x erderjt n dinytkn dengn: n x n n x n n x n x 0 Dengn syrt: n ilngn cch dn n, n,, 0 diseut koefisien-koefisien suku nyk, 0 diseut suku tetp dn n 0. Contoh ) 6x 3 3x 4x 8 dlh suku nyk erderjt 3, dengn koefisien x 3 dlh 6, koefisien x dlh 3, koefisien x dlh 4, dn suku tetpny 8. ) x 5x 4 7 x dlh ukn suku nyk kren memut pngkt negtif yitu 7 x tu 7x dengn pngkt ukn nggot ilngn cch.. Nili Suku Bnyk Suku nyk dengn derjt n dpt dinytkn segi sutu fungsi f(x) erikut ini. f(x) = n x n n x n n x n x 0, di mn n ilngn cch dn n 0. Nili f(x) terseut merupkn nili suku nyk. Untuk menentukn nili suku nyk dpt dilkukn dengn du cr erikut. ) Cr sustitusi Mislkn suku nyk f(x) = x 3 x cx d. Jik nili x dignti k, mk nili suku nyk f(x) untuk x = k dlh f(k) = k 3 k ck d. Agr leih memhmi tentng cr sustitusi, peljrilh contoh sol erikut ini. Contoh sol Hitunglh nili suku nyk erikut ini untuk nili x yng dierikn.. f(x) = x 3 4x 8 untuk x = 3. f(x) = x 4 3x 3 x 7x 5 untuk x = 4 Penyelesin. f(x) = x 3 4x 8 f(3) = = = f(3) = 7 Jdi, nili suku nyk f(x) untuk x = 3 dlh 7. Suku Bnyk 45

3 . f(x) = x 4 3x 3 x 7x 5 f( 4) = ( 4) 4 3 ( 4) 3 ( 4) 7 ( 4) 5 = f( 4) = 45 Jdi, nili suku nyk f(x) untuk x = 4 dlh 45. ) Cr Horner/ngun/skem/sintetik Mislkn suku nyk f(x) = x 3 x cx d. Jik kn ditentukn nili suku nyk x = k, mk: f(x) = x 3 x cx d f(x) = (x x c)x d f(x) = ((x )x c)x d Sehingg f(k) = ((k )k c)k d. Bentuk terseut dpt disjikn dlm entuk skem erikut ini. k c d k k k k 3 k ck k k k c k 3 k ck d Agr leh memhmi tentng cr Horner, peljrilh contoh sol erikut. Contoh sol Hitunglh nili suku nyk untuk nili x yng dierikn erikut ini.. f(x) = x 3 x 3x 4 untuk x = 5. f(x) = x 3 3x 9x untuk x = Penyelesin Jdi nili suku nyk f(x) untuk x = 5 dlh Jdi, nili suku nyk f(x) untuk x = dlh 6. Ingt!! Msing-msing koefisien x disusun dri pngkt teresr smpi terkecil (perpngktn x yng tidk d, ditulis 0). Tnd pnh pd skem errti menglikn dengn k, kemudin dijumlhkn dengn koefisien yng erd di tsny. 46 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

4 5.. Tentukn derjt, koefisien-koefisien, dn suku tetp dri setip suku nyk erikut ini.. x 4 5x 4x 3 d. x( x)( x). 5x 4 6x 3x e. (x 9)(3x ) c. 3x 5 5x 3 x. Tentuknlh nili setip suku nyk erikut ini dengn cr sustitusi.. x 3 7x 4x 3, untuk x = 5 d. 5x 4 7x 3x, untuk x =. x 3 4x 6x 8, untuk x = 3 e. x 3 x, untuk x = 3 c. x 3 4x 8, untuk x = 3 3. Tentuknlh nili setip suku nyk erikut ini dengn cr Horner.. x 3 7x x 4, untuk x =. x 4 x 8, untuk x = 3 c. 7x 4 0x 3 5x 3x 5, untuk x = d. 4x 7 8x 5 4x 4 5x 3 5x, untuk x = e. x 5 x 4 x 3 x, untuk x =. Derjt Suku Bnyk pd Hsil Bgi dn Sis Pemgin Derjt merupkn pngkt tertinggi dri vriel yng terdpt pd sutu suku nyk. Jik suku nyk ditulis n x n n x n x 0, mk derjt dri suku nyk terseut dlh n. Bgimnkh derjt suku nyk pd hsil gi? Perhtiknlh urin erikut ini. Mislkn, suku nyk x 3 x cx d digi oleh (x k). Dengn pemgin cr susun, mk dpt dilkukn perhitungn segi erikut. x (k )x (k k c) 3 x k x x cx d x 3 kx (k )x cx d (k )x (k k)x (k k c)x d (k k c)x (k k c)k k 3 k ck d Suku Bnyk 47

5 Dri perhitungn terseut diperoleh x (k )x (k c) segi hsil gi. Mk, dpt dikethui dri x 3 x cx d digi oleh (x k) hsil giny erderjt. Selin itu, dri perhitungn di ts diperoleh k 3 k ck d segi sis pemgin. Jik terdpt suku nyk f(x) digi (x k) menghsilkn h(x) segi hsil gi dn f(k) segi sis pemgin, sedemikin hingg f(x) = (x k) h(x) f(k). Perhtiknlh penentun nili suku nyk dengn cr Horner erikut ini. k c d k k k k 3 k ck > Jik kit ndingkn hsil di ts dengn pemgin cr susun, mk diperoleh hsil segi erikut.. k 3 k ck d merupkn hsil gi.., k, dn k k c merupkn koefisien hsil gi erderjt. Dengn demikin, menentukn nili suku nyk dengn cr Horner dpt jug digunkn untuk menentukn hsil gi dn sis pemgin dengn pemgi (x k). Berdsrkn urin yng telh kit peljri mk dpt ditrik kesimpuln segi erikut. Jik suku nyk f(x) erderjt n digi oleh fungsi erderjt stu kn menghsilkn hsil gi erderjt (n ) dn sis pemgin erentuk konstnt. Perhtikn contoh sol erikut ini untuk memhmi cr menentukn derjt hsil gi dn sis pemgin suku nyk. Contoh sol Tentuknlh derjt dri hsil gi dn sis pemgin suku nyk erikut.. x 3 4x 8 digi x 3.. x 3 3x 5 digi x Penyelesin. x 3 4x 8 digi x 3.. Dengn cr susun x 0x 30 3 x 3x 4x 0x 8 x 3 6x > k k k c k 3 k ck d 0x 0x 8 0x 30x 30x 8 30x 90 7 > 48 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

6 Dengn cr Horner Dri penyelesin terseut diperoleh x 0x 30 segi hsil gi erderjt dn 7 segi sis pemgin.. x 3 3x 5 digi x. Dengn cr susun x x 3 x x 3x 0x 5 3 x x x 0x 5 x x x 5 x 6. Dengn cr Horner > > > hsil gi sis Dri penyelesin terseut diperoleh x x segi hsil gi erderjt dn 6 segi sis pemgin. 5. Tentuknlh derjt suku nyk hsil gi dn sis pemgin dri:. x 3 x 3x 6 digi (x ). x 3 4x x 3 digi (x ) 3. 3x 3 4x 7x digi (x 3) 4. x 4 x 7 digi (x ) 5. x 3 6x 3x 5 digi (x 3) 6. x 3 4x 5x 9 digi (x ) Suku Bnyk 49

7 3. Hsil Bgi dn Sis Pemgin Suku Bnyk. Pemgin Suku Bnyk oleh Bentuk Liner (x ) Pemgin suku nyk dengn pemgi (x k) yng telh kmu peljri, dpt dijdikn dsr perhitungn pemgin suku nyk dengn pemgi (x ). Untuk leih jelsny, perhtiknlh urin erikut ini. Suku nyk f(x) digi (x k) menghsilkn h(x) segi hsil gi dn f(k) segi sis pemgin, sedemikin sehingg f(x) = (x k) h(x) f(k). Pemgin suku nyk f(x) digi (x ), dpt diuh menjdi entuk f(x) digi x ( ). Berrti, nili k =, sehingg pd pemgin suku nyk f(x) terseut dpt dilkukn perhitungn segi erikut. f(x) = x ( ) h( x) f ( ) = ( x ) h( x) f ( ) f(x) = ( ) (x ) h(x) f f(x) = (x ) f( ) hx ( ) ( ) Ingt!! x = ( x ) hx ( ) Suku nyk f(x) digi (x ) menghsilkn segi hsil gi dn hx ( ) f( ) segi sis pemgin, sehingg f(x) = (x ) f ( ). Untuk leih jelsny, perhtiknlh contoh sol erikut ini. Contoh sol Tentuknlh hsil gi dn sisny jik memki cr horner.. f(x) = x 3 x 5x digi (x ). f(x) = x 3 x x 0 digi (x 3) Penyelesin. f(x) = x 3 x 5x digi (x ) dengn cr horner segi erikut. 5 3 > > > 6 hsil gi sis Ingt!! Kren pemginy x = (x ) Fktor pengliny dlh Hsil giny = x x 6 = x x 3 Mk sis pemgin =. 50 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

8 f(x) = (x )(x x 6) (x ) = (x x 6) = (x )(x x 3) Jdi, (x x 3) merupkn hsil gi dn merupkn sis pemgin.. f(x) = x 3 x x 0 digi (x 3) dengn cr horner segi erikut hsil gi sis Jdi, (x x ) merupkn hsil gi dn 4 merupkn sis pemgin. Ingt!! Kren pemginy x 3 = (x 3 ) Fktor pengliny 3 Hsil giny = x x 4 = x x Mk sis pemgin = 4.. Pemgin Suku Bnyk oleh Bentuk Kudrt (x x c) Pemgin suku nyk dengn x x c, di mn 0 dpt dilkukn dengn cr is pil x x c tidk dpt difktorkn, sedngkn jik x x c dpt difktorkn dpt dilkukn dengn cr Horner. Mislkn, sutu suku nyk f(x) digi x x c dengn 0 dn dpt difktorkn menjdi (x p )(x p ). Mk, pemgin terseut dpt dilkukn dengn mengikuti lngkh-lngkh erikut ini. ) f(x) digi (x p ), sedemikin hingg f(x) = (x p ) p h (x) f di mn h (x) = hx ( ). ) h(x) digi (x p ), sedemikin hingg h (x) = (x p ) h (x) h (p )., p 3) Sustitusikn h (x) = (x p ) h (x) h (p ) ke f(x) = (x p ) h (x) f. p Dihsilkn f(x) = (x p )(x p ) h (x) ( x p) h( p) f. Kren (x p )(x p ) = x x c, mk dpt ditulis segi erikut. p f(x) = (x x c) h (x) ( x p ) h ( p ) f di mn: h (x) merupkn hsil gi (x p ) h (p ) f p merupkn sis pemgin Suku Bnyk 5

9 Agr kmu memhmi pemgin suku nyk oleh entuk kudrt, peljrilh contoh sol erikut. Contoh sol Tentuknlh hsil gi dn sis pemgin jik:. 3x 4 4x 3 5x x 5 digi (x x 3). x 3 x 5x digi (x ) Penyelesin. 3x 4 4x 3 5x x 5 digi (x x 3) Kren x x 3 tidk dpt difktorkn, mk dilkukn pemgin is (cr susun). 3x x x x x x x x x 4 6x 3 9x x 3 4x x 5 x 3 4x 6x 0x 4x 5 0x 0x 30 4x 35 Jdi, 3x x 0 merupkn hsil gi dn 4x 35 merupkn sis pemgin.. x 3 x 5x digi (x ) Kren (x ) dpt difktorkn menjdi (x )(x ), mk pemgin terseut dpt dilkukn dengn cr.. Cr susun x 3 x x x x 5 x 3 x x 7x x 7x. Cr Horner x difktorkn menjdi (x )(x ) f p 5 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

10 6 7 h (x) hsil gi Jdi, (x ) merupkn hsil gi dn 7x merupkn sis pemgin Tentuknlh hsil gi dn sisny, jik:. x 3 7x 4 digi (x ). x 4 x 3 6 digi (x 3) c. x 4 3x 4x 3 digi (x ) d. 3x x 4x 3 digi (x 3) e. 4x 5 x 3 x 4 digi (x ). Tentuknlh hsil gi dn sisny, jik:. x 3 x 4x 9 digi (x ). x 3 7x 4 digi (x ) c. x 3 x 5x digi (x ) d. 3x 3 x 5x 4 digi (3x ) e. 4x 5 3x x 3 digi (3x ) 3. Tentuknlh hsi gi dn sisny, jik:. x 3 x 3 digi (x ). x 3 3x 5x 9 digi (x x ) c. 4x 3 x 4 x 5 digi (x x 3) d. x 4 3x 3 x x 5 digi (x x ) e. x 3 4x x 7 digi ( x 5x 6) 4. Tentukn nili sehingg:. x 3 x 3x his digi (x ), kemudin tentukn hsil giny.. 6x 3 x 9x his digi (x 3), kemudin tentukn hsil giny. c. 4x 4 x 3 3x 8x his digi (x ), kemudin tentukn hsil giny. 5. Tentuknlh nili dn, jik:. x 3 x his digi (x x ). x 4 x 3 x his digi (x 3x 5) c. 3x 3 4x x digi ( x 4x ) dn sisny (6 7x) Suku Bnyk 53

11 B Penggunn Teorem Sis dn Teorem Fktor. Penggunn Teorem Sis. Menentukn Sis Pemgin Suku Bnyk oleh Bentuk Liner Dlm menentukn sis pemgin suku nyk oleh entuk liner, kit dpt menggunkn teorem sis. Teorem Sis Jik suku nyk f(x) digi (x k), mk sis pemginny dlh f(k). Untuk leih memhmi mengeni penerpn teorem terseut, perhtiknlh contoh erikut ini. Contoh sol Tentuknlh sis pemgin dri f(x) = x 3 4x 6x 5 digi (x ). Penyelesin Cr : Cr is f(x) = x 3 4x 6x 5 f( ) = ( ) 3 4 ( ) 6 ( ) 5 = = = Jdi, sis pemginny. Cr : Sintetik (Horner) Jdi, sis pemginny. Teorem Sis Jik suku nyk f(x) digi (x ), mk sis pemginny dlh f ( ). Untuk leih memhmi mengeni penerpn teorem terseut, perhtiknlh contoh erikut ini. Contoh sol Tentukn sis pemgin dri f(x) = 5x 3 x 9x digi (5x ). 54 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

12 Penyelesin Cr : Cr is f(x) = 5x 3 x 9x f ( 5 ) = 5 ( 5 )3 ( 5 ) 9 ( 5 ) = 5 ( 5 ( 5 ) 5 = = = 5 5 = Jdi, sisny. Cr : Cr sintetik (Horner) Jdi, sisny Menentukn Sis Pemgin Suku Bnyk oleh Bentuk Kudrt Dlm menentukn sis pemgin suku nyk oleh entuk kudrt, kit dpt menggunkn teorem sis erikut ini. Teorem Sis 3 Jik sutu suku nyk f(x) digi (x )(x ), mk sisny dlh px q di mn f() = p q dn f() = p q. Untuk leih memhmi mengeni penerpn teorem terseut, perhtiknlh contoh sol erikut ini. Contoh sol Jik f(x) = x 3 x 3x digi x x, tentuknlh sis pemginny. Penyelesin Pd f(x) = x 3 x 3x digi x x, entuk x x dpt difktorkn menjdi (x )(x ). Berdsrkn teorem sis 3, mk dpt dilkukn perhitungn segi erikut. (x )(x ) (x ( ))(x ) mk nili = dn =. Suku Bnyk 55

13 f () = p q f ( )= p q ( ) 3 ( ) 3 ( ) = p q = p q 3 = p q () f () = p q f () = p q = p q 3 = p q = p q () Nili p dpt dicri dengn mengeliminsi q dri persmn () dn (). p q = 3 p q = 3p = 4 p = 8 Nili p disutitusikn ke persmn (). p q = 8 q = q = 7 Jdi, sis pemginny = px q =8x Tentuknlh sis pemgin suku nyk oleh entuk liner erikut ini.. x 3 4x x 3 digi (x ). x 3 3x 7 digi (x 7) c. x 4 x 6 digi (x ) d. x 3 7x 5x 4 digi (x ) e. x 3 5x 3x 7 digi (3x ). Tentuknlh sis pemgin suku nyk oleh entuk kudrt erikut ini.. x 4 3x x digi (x ) (x ). x 4 x 3 x x 5 digi (x x 6) c. 3x 3 8x x digi (x x 3) d. 4x 3 x 3 digi (x x 3) e. x 3 4x 5x 3 digi (x 3x 4) 56 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

14 . Penggunn Teorem Fktor Teorem fktor dpt digunkn untuk menentukn fktor liner dri suku nyk. Perhtikn teorem fktor erikut ini. Jik f(x) sutu suku nyk, mk (x k) merupkn fktor dri f(x) jik dn hny jik f(x) = 0. Untuk leih memhmi penggunn teorem fktor, peljrilh contoh sol erikut ini. Contoh sol Tentuknlh fktor-fktor dri:. x 3 x x. x 3 7x x 3 Penyelesin. Jik (x k) merupkn fktor suku nyk x 3 x x, mk k merupkn pemgi dri, yitu ± dn ±. Kemudin, dico nili-nili terseut. Mislkn, dico cr Horner dengn pemgi (x ). 0 x x x = (x )(x x ) = (x )(x ) (x ) Jdi,fktor-fktorny dlh (x )(x )(x ).. Jik (x k) merupkn fktor suku nyk x 3 7x x 3, mk k merupkn pemgi dri 3, yitu ± dn ± 3. Kemudin, dico nili-nili terseut. Mislkn, dico cr Horner dengn pemgi (x ) x 3 7x x 3 = (x )(x 5x 3) = (x )(x 3)(x ) Jdi, fktor-fktorny dlh (x )(x 3)(x ). 3. Penyelesin Persmn Suku Bnyk Mencri penyelesin persmn suku nyk sm hlny dengn menentukn kr-kr persmn yng memenuhi f(x) = 0. Kit dpt menyelesikn persmn suku nyk dengn menentukn fktor liner. Suku Bnyk 57

15 Jik f(x) sutu nyk, mk (x k) merupkn fktor dri f(x) jik dn hny jik k kr persmn f(x) = 0 Untuk leih memhmi tentng persmn suku nyk dn penyelesinny, peljrilh contoh sol erikut. Contoh sol. Tentuknlh himpunn penyelesin dn fktor liner dri f(x) = x 3 x x. Penyelesin f(x) = x 3 x x f(x) digi (x ) 0 Kren f() = 0, mk (x ) merupkn penyelesin dri x 3 x x. Sedngkn, penyelesin yng lin x x. x 3 x x = (x ) (x x ) = (x ) (x ) (x ) Jdi, himpunn penyelesinny dlh {,, }.. Jik merupkn kr-kr persmn x3 x 3x = 0, tentuknlh dn kr-kr yng lin. Penyelesin Untuk x = ( ) 3 ( ) 3 ( ) = = = 0 6 = 0 = 6 Jdi suku nykny f(x) x 3 x 3x Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

16 x 3 x 3x 6 = 0 (x ) (x ) (x 6) = 0 (x ) (x ) (x 3) = 0 Jdi, kr-kr yng lin dlh x = dn x = Tentuknlh fktor-fktor dri suku nyk erikut ini.. x 3 4x 3x. x 3 5x 8x 33 c. 3x 4 4x x 4 d. x 5 3x 4 5x 3 8x 4x 6 e. x 3 7x 3x 6 f. x 4 74x 7. Tentuknlh himpunn penyelesin dn fktor liner dri suku nyk erikut ini.. f(x) = x 3 x 8x. f(x) = x 3 3x 4x 5 c. f(x) = 3x 3 3x 5x 35 d. f(x) = x 4 x 3 7x x 6 e. f(x) = x 3 x 4x 4 f. f(x) = 6x 4 7x 3 05x 64x Pemuktin Teorem Sis dn Teorem Fktor. Pemuktin Teorem Sis ) Pemuktin teorem sis Teorem sis menytkn hw jik f(x) digi (x k), mk sis pemginny dlh f(k). Perhtiknlh urin erikut untuk memuktikn keenrn teorem terseut. Dikethui f (x) = (x k) h(x) S. Derjt S leih rendh stu dripd derjt (x k), sehingg S merupkn konstnt. Kren f(x) = (x k) k(x) S erlku untuk semu x, mk jik x dignti k kn diperoleh: f (k) = (k k) h(k) S = 0 h(k) S = 0 S = S Jdi, f (k) = S S merupkn sis pemgin (terukti). Suku Bnyk 59

17 Contoh sol Jik f(x) digi oleh x 5x 6 sisny x. Tentukn sisny jik f(x) digi oleh x 3. Penyelesin f(x) = (x 5x 6) h(x) S f(x) = (x 3)(x ) h(x) x f(3) = (3 3)(3 ) h(3) 3 f(3) = 0 6 Jdi, sisny dlh 7. ) Pemuktin teorem sis Teorem sis menytkn hw jik f(x) digi (x ), mk sis pemginny dlh f ( ). Perhtiknlh urin erikut untuk memuktikn keenrn teorem terseut. Dikethui f(x) = (x ) hx ( ) erlku untuk semu nili x, mk jik nili x = f(x) = (x ) ) = ( ) f( f( ) = ( ) f( ) = (0) f( f( hx ( ) S h { } ( ) ) = 0 S ) = S S ( ) h S h ( ) S S. Kren pd f(x) = (x ) Jdi, terukti hw sis pemgin dlh f ( ). kn diperoleh: hx ( ) S Contoh sol Jik f(x) his digi (x ) dn jik digi (x ) sisny 5. Tentukn sisny jik f(x) digi x 3x. Penyelesin Mislkn f(x) digi (x 3x ), hsil giny h(x) dn sisny x. f(x) = (x 3x ) h(x) S f(x) = (x )(x ) h(x) x 60 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

18 f() = ( ) ( ) h() f() = 0 h() 0 = = 0.. () f( ) = ( )( ( ) ) h( ) ( ) f( ) = ( )( ) h( ) 5 = 0 h( ) 5 = = 0.. () Dri persmn () dn () diperoleh: = 0 = 0 = 0 4 = = 0 = 4 = 4 disustitusikn ke persmn () = 0 4 = 0 = 4 = Jdi, sisny dlh x 4. Bgilh kelsmu menjdi eerp kelompok, kemudin uktiknlh teorem sis 3 erikut ini. Jik sutu suku nyk f(x) digi (x )(x ), mk sisny dlh px q di mn f() = p q dn f() = p q. Ctt dn cknlh hsilny di depn kelompokmu. Adknlh tny jw tentng mteri yng sedng dihs.. Pemuktin Teorem Fktor Teorem fktor menytkn hw jik f(x) sutu suku nyk, mk x h merupkn fktor dri f(x) jik dn hny jik f(h) = 0. Perhtiknlh urin erikut ini untuk memuktikn keenrn teorem terseut. Dikethui menurut teorem sis f(x) = (x k) h(x) f(k). Jik f(k) = 0, mk f(x) = (x k) h(x). Sehingg x k merupkn fktor dri f(x). Selikny, jik x k merupkn fktor dri f(x), mk f(x) = (x k) h(x). Suku Bnyk 6

19 Jik x = k, mk: f (k) = (k k) h(k) = 0 h(k) = 0 Jdi, f(k) = 0 jik dn hny jik (x k) merupkn fktor dri f(x) (terukti). Contoh sol Hitunglh p jik x 3 5x 4x p his digi x. Penyelesin Kren x 3 5x 4x p his digi x mk sisny 0, sehingg: f(x) = x 3 5x 4x p f( ) = ( ) 3 5 ( ) 4 ( ) p 0 = 5 4 p 0 = 3 p p = 3 Jdi, p = 3. C. Akr-Akr Rsionl dri Persmn Suku Bnyk. Menentukn Akr Rsionl Jik dikethui sutu suku nyk f(x) dn (x ) dlh fktor dri f(x), mk dlh kr dri persmn f(x) tu f() = 0.. Sift-Sift Akr Persmn Suku Bnyk. Untuk Suku Bnyk Berderjt Du: x x c = 0 Jik x dn x dlh kr-kr persmn kudrt x x c = 0, mk: ) x x = ) x x = c. Untuk Suku Bnyk Berderjt Tig: x 3 x cx d = 0 Jik x, x, dn x 3 dlh kr-kr persmn x 3 x cx d = 0, mk: ) x x x 3 = ) x x x x = c 3) x x = d 6 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

20 c. Untuk Suku Bnyk Berderjt Empt: x 4 x 3 cx dx e = 0 Jik x, x, x 3, dn x 4 dlh kr-kr persmn suku nyk x 4 x 3 cx dx e = 0, mk: ) x x x 3 x 4 = ) x x x x 4 x 3 x 4 x x 4 x x = c 3) x x x x x 4 x x x 4 x 3 x 4 = d 4) x x x 4 = e Contoh sol. Jik slh stu kr dri suku nyk x 3 4x x 6 = 0 dlh x =, tentuknlh kr-kr yng lin. Penyelesin kren f() = 0, mk x = dlh kr persmn f(x) = 0 x 3 4x x 6 = 0 (x )(x 5x 6) = 0 (x )(x ) (x 3) = 0 Jdi, kr yng lin dlh x = dn x = 3.. Dikethui x, x, dn x 3 dlh kr-kr persmn x 3 x 8x 36 = 0. Tentukn:. x x x 3. x x x x c. x x d. nili, jik x dlh lwn dri x e. nili msing-msing x, x, dn x 3 untuk terseut Penyelesin. x 3 x 8x 36 = 0 = c = 8 = d = 36 x x x 3 = =..(). x x x x = c = 8 = 9.. () c. x x = d = 36 = 8.. (3) Suku Bnyk 63

21 d. Dri (): x x x 3 = x ( x ) x 3 = x x 3 = = 9 x = 9 x = 3 tu x = 3 Dri (3) x x = 8 untuk x = 3, mk x = 3 x x = = 8 9x 3 = 8 x x x 3 = x 3 = 3 ( 3) = = 4 = = 4 Untuk x = 3, mk x = 3 x x = 8 ( 3) 3 = 8 9 = 8 x 3 =, mk = 4 e. x = 3, x = 3, dn x 3 = untuk = 4 tu x = 3, x = 3, dn x 3 = untuk = 4 Dri (): x ( x ) ( x ) x 3 x x 3 = 9 x x x 3 x x 3 = 9 x = Kerjkn sol-sol di wh ini!. Tentukn fktor dri:. x 3 x = 0. x 3 x 5x = 0 c. x 3 x 7x 6 = 0. Tentukn fktor dri suku nyk erikut.. 8x 3 6x 59x 5 = 0. x 3 5x 8x 5 = 0 c. x 3 7x 7x 0 = 0 64 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

22 3. Tentuknlh kr-kr dri:. x 3 4x x 6 = 0. x 3 6x x 6 = 0 c. x 3 3x 8x 3 = 0 4. Selesikn. Jik kr-kr persmn px 3 4x 7x 6 = 0 dlh x, x, x 3 untuk x = 3, tentukn x x.. Jik persmn x 3 x 3x p = 0 memiliki seuh kr x =, tentukn kr-kr yng lin. c. Jik 4 merupkn slh stu kr dri persmn x 3 x x = 0, tentukn nili. d. Tentukn kr-kr dri x 3 x 5x 6 = 0.. Pemgin suku nyk. Pengertin suku nyk. Sutu suku nyk erderjt n dinytkn dengn: n x n n x n n x n. x 0.. Nili suku nyk Untuk menentukn nili suku nyk dpt dilkukn dengn du cr. ) Cr sustitusi ) Cr skem (Horner). Menentukn derjt suku nyk hsil gi dn sis pemgin. Suku nyk f(x) digi (x k) menghsilkn h(x) segi hsil gi dn f(x) segi sis pemgin, sedemikin hingg f(x) = (x k) h(x) f(k). Suku nyk f(x) erderjt n jik digi oleh fungsi erderjt stu kn menghsilkn hsil gi erderjt (n ) dn sis pemgin erentuk konstnt. 3. Menentukn hsil gi dn sis pemgin suku nyk oleh entuk liner tu kudrt. hx ( ) Suku nyk f(x) digi (x ) menghsilkn segi hsil gi dn f( ) segi sis pemgin, sedemikin hingg f(x) = (x ) hx ( ) f( ). Suku Bnyk 65

23 . Suku nyk f(x) digi x x c dn dpt difktorkn menjdi (x p )(x p ) dpt ditulis f(x) = (x x c) h (x) [(x p ). p h (p ) f di mn h (x) merupkn hsil gi dn (x p ) h (p ) p f merupkn sis pemgin. 4. Teorem sis. Jik suku nyk f(x) digi (x k), mk sis pemginy dlh f(k).. Jik suku nyk f(x) digi (x ), mk sis pemginy dlh f ( ). c. Jik suku nyk f(x) digi (x )(x ), mk sisny dlh px q dimn f() = p q dn f() = p q. 5. Teorem fktor Jik f(x) sutu suku nyk, mk (x k) fktor dri f(x) jik dn hny jik k kr persmn f(x) = Akr-kr rsionl persmn suku nyk. Suku nyk erderjt du: x x c = 0 ) x x = ) x x = c. Suku nyk erderjt tig: x 3 x cx d = 0 ) x x x 3 = ) x x x x = c 3) x x = d c. Suku nyk erderjt empt: x 4 x 3 cx dx e = 0 ) x x x 3 x 4 = ) x x x x 4 x 3 x 4 x x 4 x x = c 3) x x x x x 4 x x x 4 x 3 x 4 = d 4) x x x 4 = e 66 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

24 I. Pilihlh slh stu jwn yng pling enr.. Nili suku nyk 6x 5 x 3 4x 6 untuk x = dlh... 0 d. 4. e. 0 c.. Jik nili suku nyk x 4 mx 3 8x 3 untuk x = 3 dlh 6, mk m dlh.. 5 d e. 5 c. 3. Suku nyk f(x) = x 3 5x 3x 9 digi (x ), mk hsil giny dlh.. x 7x. x 7x c. x x 7 d. x 7x e. x x 7 4. Jik suku nyk f(x) = 5x 4 3x 3 7x x digi oleh (x x 3), mk sisny dlh.. x 36. x 36 c. 36x d. x 36 e. 36x 5. Jik f(x) = x 3 7x x 4 digi (x ), mk sisny dlh.. 3 d. 0. e. 4 c. 6. Jik x 3 x k his digi dengn (x ), mk ilngn terseut jug his digi dengn.. x d. x. x e. x 4 c. x 3 Suku Bnyk 67

25 7. Jik suku nyk f(x) = x 4 x 3 3x 5x digi (x ) menghsilkn sis (6x 5) mk nili =.. 8 d e. 6 c. 8. Jik (x ) merupkn slh stu fktor dri suku nyk f(x) = x 4 x 3 px x, mk nili p dlh.. 3 d.. e. 3 c. 9. Suku nyk f(x) = 3x 3 75x 4 digi oleh (x k) dengn k > 0. Jik sisny 4, mk nili k dlh... 5 d e. 5 c Jik suku nyk x x 6 digi oleh (x ) sisny, mk nili dlh.. tu 3. 3 tu c. tu 3 d. tu 3 e. tu 3. Jik f(x) = 3x 4 5x kx his digi dengn (x ), mk nili k dlh.. 0 d e. 50 c. 30. Jik f(x) digi dengn (x ) sisny 4, sedngkn jik digi dengn (x 5) sisny 0. Jik f(x) digi dengn x 3 3x 0 sisny dlh... x 34. x 34 c. x 0 d. x 0 e. x 4 68 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

26 3. Jik suku nyk f(x) digi (x ) sis 5 dn jik digi dengn (x 3) sisny 7. Jik suku nyk terseut digi dengn (x x 3), mk sisny... x 5. c. x 5 x 4 d. x 4 e. x 5 4. Suku nyk f(x) digi (x 4) sisny, sedngkn jik digi (x ) sisny. Jik f(x) digi (x )(x 4) sisny dlh.. x 3 d. x 3. x 3 e. 3x c. x 3 5. Seuh kr persmn x 3 x x = 0 dlh. Jumlh kr-kr persmn itu dlh... 3 d. 3. e. 3 c. 3 II. Kerjkn sol-sol erikut ini dengn enr.. Dikethui f(x) = (x )(x )(x 3). Tentuknlh:. derjt sukuny,. koefisien-koefisien vriel, c. suku tetpny.. Tentukn nili suku nyk x 4 x 3 x untuk x =. 3. Tentukn hsil gi dn sis hsil gi, jik suku nyk x 3 3x x 3 digi (x ) dengn cr Horner. 4. Tentuknlh hsil gi dri (x 3 x 3x 9) digi (x ). 5. Tentuknlh nili p jik f(x) = x 3 5x 4x p his digi (x ). 6. Crilh p supy x x p x 7 3x dpt disederhnkn. Suku Bnyk 69

27 7. Crilh sisny, jik x 4 3x x digi x x. 8. Jik f(x) digi (x ) sisny 3 dn digi (x ) sisny 4, mk tentukn sisny jik f(x) digi x 3x. 9. Tentuknlh nili p supy (x ) fktor dri x 4 5x 3 px x. 0. Slh stu kr persmn: x 3 7x x 0 = 0 dlh. Tentuknlh:. nili,. kr-kr yng lin.. Tentuknlh himpunn penyelesin dri f(x) = x 3 5x 4x 3 = 0.. Jik x 3 x x k his digi (x 3), tentukn nili k k. 3. Jik suku nyk x 4 3x 3 x x digi (x ) tersis 9, tentukn nili p. 4. Suku nyk f(x) = x 5 x 4 x 3 x x his digi (x ). Jik f(x) digi x x, tentukn sisny. 5. Dikethui x, x, dn x 3 dlh kr-kr persmn x 3 4x 8x 36 = 0. Tentuknlh:. x x x 3. x x x x c. x x 70 Mtemtik SMA dn MA Kels XI Progrm IPA

matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s

matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn

Lebih terperinci

SUKU BANYAK ( POLINOM)

SUKU BANYAK ( POLINOM) SUKU BANYAK ( POLINOM) B 15 A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk 1 0 x x x x x, dengn 0 dn n { il. cch } n diseut dengn Suku nyk (Polinomil) dlm x erderjt n ( n dlh pngkt tertinggi dri x),,,., diseut keofisien

Lebih terperinci

THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR BENTUK POLINUM. Prepared by: Romli Shodikin, M.Pd sabtu., 23 November 2013 Pertemuan 7

THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR BENTUK POLINUM. Prepared by: Romli Shodikin, M.Pd sabtu., 23 November 2013 Pertemuan 7 THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR BENTUK POLINUM Prepred y: Romli Shodikin, M.Pd stu., 3 Novemer 013 Pertemun 7 TEOREMA SISA dn TEOREMA FAKTOR Teorem Sis untuk Pemgin Bentuk Liner Teorem Sis : 1.Jik sutu

Lebih terperinci

SUKU BANYAK ( POLINOM)

SUKU BANYAK ( POLINOM) SUKU BANYAK ( POLINOM) Bb 16 Skl 8.Menyelesikn mslh yng berkitn dengn teorem sis tu teorem fktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk x x x... x x, dengn 0 dn n { bil. cch} 1 0 disebut dengn Suku bnyk (Polinomil)

Lebih terperinci

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )

Lebih terperinci

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini: ) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut

Lebih terperinci

Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1

Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1 K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd

Lebih terperinci

SUKUBANYAK (POLINOMIAL)

SUKUBANYAK (POLINOMIAL) SUKUBANYAK (POLINOMIAL) A. Bentuk Umum Sukubnyk (Polinomil) n n n b c... z n = pngkt tertinggi (derjt sukubnyk) n = koefisien 7 5 5 9 6 dlh sukubnyk berderjt 7, koefisien dlh 9, koefisien konstnt dlh 6

Lebih terperinci

Bab. Pangkat Tak Sebenarnya. A. Bilangan Berpangkat Bulat B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

Bab. Pangkat Tak Sebenarnya. A. Bilangan Berpangkat Bulat B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan B Sumer: www.h.dion.ne.jp Pngkt Tk Seenrny Di Kels VII, kmu telh mempeljri ilngn erpngkt positif. Pd ini, mteri terseut kn dihs leih dlm dn dikemngkn smpi dengn ilngn erpngkt negtif, nol, dn pehn. Dlm

Lebih terperinci

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b 1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,

Lebih terperinci

3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0

Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn

Lebih terperinci

Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu

Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu Integrl Tk Tentu dn Integrl Tertentu Pengertin Integrl Jik F dlh fungsi umum yng ersift F = f, mk F merupkn ntiturunn tu integrl dri f. Pengintegrln fungsi f terhdp dinotsikn segi erikut : f d F c notsi

Lebih terperinci

E-LEARNING MATEMATIKA

E-LEARNING MATEMATIKA MOUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYAIN EKO RAHARJO, M.P. NIP. 7 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn IPA BLU UNY TA Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor./H./PL/ Tnggl Juli

Lebih terperinci

Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1

Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1 K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (,

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Kegitn Beljr Mengjr 3 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Drs. Zinuddin, M.Pd Kegitn eljr mengjr 3 ini kn memhs tentng persmn kudrt. Kegitn eljr mengjr 3 ini menckup du pokok hsn, yitu pokok hsn I tentng

Lebih terperinci

A. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA

A. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA Mtemtik SMA Semester B : Bentuk Pngkt,Akr & Logritm Mteri Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA Kometensi Dsr : Menggunkn sift dn turn tentng ngkt, kr dn logritm dlm emechn mslh Kometensi Dsr : Melkukn

Lebih terperinci

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Stndr Kompetensi Memhmi dn menggunkn turn dn sift sert mnipulsi Aljr dlm pemechn mslh ng erkitn dengn entuk pngkt, kr dn logritm. Kompetensi Dsr Menggunkn sift, turn

Lebih terperinci

http://meetied.wordpress.com Mtemtik X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone Reutlh st ini. Ap pun yng is And lkukn tu And impikn Mulilh!!! Keernin mengndung kejeniusn, kekutn dn kejin. Lkukn sj dn otk And kn muli

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt

Lebih terperinci

Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :

Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh : TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut

Lebih terperinci

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi: INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi

Lebih terperinci

Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan

Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan III FUNGSI 15 1. Definisi Fungsi Definisi 1 Mislkn dn dlh himpunn. Relsi iner f dri ke merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm dihuungkn dengn tept stu elemen di dlm. Jik f dlh fungsi dri ke, mk f

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi

Lebih terperinci

MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...

MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)... MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris

Lebih terperinci

matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran

matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn

Lebih terperinci

A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS

A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom

Lebih terperinci

(c) lim. (d) lim. (f) lim

(c) lim. (d) lim. (f) lim FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s

Lebih terperinci

PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1

PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1 PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0

Lebih terperinci

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom

Lebih terperinci

IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran

IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X FUNGSI K-13 A. Definisi Fungsi

matematika WAJIB Kelas X FUNGSI K-13 A. Definisi Fungsi K- Kels X mtemtik WAJIB FUNGSI TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu ihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi iefinisi fungsi.. Memhmi omin n rnge fungsi liner.. Memhmi omin n rnge fungsi

Lebih terperinci

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum

PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt

Lebih terperinci

kimia HIDROLISIS K e l a s Kurikulum 2013 A. Definisi, Jenis, dan Mekanisme Hidrolisis

kimia HIDROLISIS K e l a s Kurikulum 2013 A. Definisi, Jenis, dan Mekanisme Hidrolisis urikulum 2013 kimi e l s XI HIDROLISIS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi, jenis, dn meknisme hidrolisis. 2. Memhmi sift-sift dn ph lrutn

Lebih terperinci

Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN

Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model

Lebih terperinci

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..

Lebih terperinci

02. OPERASI BILANGAN

02. OPERASI BILANGAN 0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.

Lebih terperinci

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik

selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk

Lebih terperinci

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt

Lebih terperinci

Kompetensi 2 (Bagian 2) PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Kompetensi 2 (Bagian 2) PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kometensi (Bgin PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Menentukn Jenis Akr-Akr Persmn Kudrt Menggunkn Diskriminn (D Bentuk Umum: D = - 4c + x + c ; 0 Pengertin: x = α dlh kr-kr ersmn + x + c α

Lebih terperinci

BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Sistem persmn ditemukn hmpir di semu cng ilmu pengethun Dlm idng ilmu ukur sistem persmn diperlukn untuk mencri titik potong eerp gris yng seidng, di idng ekonomi tu

Lebih terperinci

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.

PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc. PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN

Lebih terperinci

IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier

IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier 8. Dri fungsi-fungsi ng disjikn dengn digrm pnh erikut ini mnkh ng merupkn fungsi onto, injektif tu ijektif, jik relsi dri A ke B? A c d IV B A c d V B A c d VI B B. Konsep Fungsi Linier. Tujun Setelh

Lebih terperinci

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn

Lebih terperinci

INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:

INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut: INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh

Lebih terperinci

1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.

1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan. 1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut

Lebih terperinci

r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.

r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat. Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA Persmn dlh klimt mtemtik teruk ng memut huungn sm dengn. Sedngkn klimt mtemtik tertutup ng memut huungn sm dengn diseut kesmn. Klimt mtemtik :. Klimt mtemtik

Lebih terperinci

BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI

BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm

Lebih terperinci

BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika

BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU. x x x

INTEGRAL TAK TENTU. x x x INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh

Lebih terperinci

PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1

PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1 PEMBAHASAN A. Teorem Pythgors 1. Lus persegi dn lus segitig siku-siku Perhtikn Gmr 1! D s A s B Gmr 1 Pd gmr terseut tmpk seuh persegi ABD yng pnjng sisiny s stun pnjng. Lus persegi ABD = sisi sisi L =

Lebih terperinci

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.

METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1. 1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng

Lebih terperinci

PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.

PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1. PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn

Lebih terperinci

Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri

Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis

Lebih terperinci

INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018

INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018 Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep

Lebih terperinci

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0. DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn

Lebih terperinci

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:

Lebih terperinci

INTEGRAL. Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar

INTEGRAL. Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar INTEGRAL Integrl Tk Tentu Dn Integrl Tertentu Dri Fungsi Aljr A. Integrl Tk Tentu Hitung integrl dlh kelikn dri hitung differensil. Pd hitung differensil yng dicri dlh fungsi turunnny, sedngkn pd hitung

Lebih terperinci

MATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH

MATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 5 Sesi N INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH A. DEFINISI INTEGRAL TENTU Bentuk integrl f d = f + c diseut segi integrl tk tentu kren hsil dri pengintegrlnn msih erup

Lebih terperinci

A x = b apakah solusi x

A x = b apakah solusi x MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi

Lebih terperinci

PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL

PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()

Lebih terperinci

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR

BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn

Lebih terperinci

IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2

IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2 GRMMR CONTEXT-FREE DN PRING entuk umum produksi CFG dlh :, V N, (V N V T )* nlisis sintks dlh penelusurn seuh klimt (tu sentensil) smpi pd simol wl grmmr. nlisis sintks dpt dilkukn mellui derivsi tu prsing.

Lebih terperinci

A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan

A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan (Oleh: Winit Sulndri, M.Si) A. Kompetensi Dsr : Menyelesikn sistem persmn liner B. Mteri :. Sistem Persmn Liner dn Mtriks. Determinn C. Indiktor :. Mendefinisikn persmn liner dn sistem persmn liner. Mengenl

Lebih terperinci

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn

Lebih terperinci

DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I

DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn

Lebih terperinci

kimia LARUTAN PENYANGGA K e l a s Kurikulum 2013 A. Pengenalan Larutan Penyangga dan Penggunaannya

kimia LARUTAN PENYANGGA K e l a s Kurikulum 2013 A. Pengenalan Larutan Penyangga dan Penggunaannya Kurikulum 2013 kimi K e l s XI LARUTAN PENYANGGA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi pengertin lrutn penyngg dn penggunnny dlm kehidupn sehri-hri.

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri

Lebih terperinci

BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift

Lebih terperinci

BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN

BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN. Anlisis Arus Cng Anlisis rus cng memnftkn hukum Kirchoff I (KCL) dn hukum Kirchoff I (KVL). Contoh - Tentukn esr rus dlm loop terseut dn gimn rh rusny? Ohm 0V 0V Ohm 0V

Lebih terperinci

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl

Lebih terperinci

LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011

LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011 LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Mempereutkn Pil Guernur Sumter Seltn Mei 0 PENYISIHAN I PERORANGAN LCCM TINGKAT SMA. Dikethui kuus ABCD.EFGH dengn rusuk 6 cm. Jik

Lebih terperinci

CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS

CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...

Lebih terperinci

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A. Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu

Lebih terperinci

Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :

Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik : MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum

ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri

matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,

Lebih terperinci

SMA Santa Angela. Bandung. 1 P a g e

SMA Santa Angela. Bandung. 1 P a g e Persmn Gris Singgung SMA Snt Angel Bndung P g e P g e Persmn Gris Singgung pd Ellips Seperti hln pd lingkrn, terdpt du mcm gris singgung ng kn diicrkn, itu gris singgung ng mellui slh stu titik pd ellips

Lebih terperinci

Tiara Ariqoh Bawindaputri TIP / kelas L

Tiara Ariqoh Bawindaputri TIP / kelas L Tir Ariqoh Bwindputri 500008 TIP / kels L INTEGRAL Integrl Tk tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C Untuk

Lebih terperinci

E. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

E. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 5. Di wh ini merupkn mtriks-mtriks singulr, tentukn nili, y dn z yng memenuhi.. - 3 - Î 2 2y 5 Î 4 2 3 2 8 Î 6 6. Dikethui mtriks-mtriks erikut. - 2 5 7 P = Q = Î 3 Î2 Tentukn: (PQ). P Q E. Penggunn Mtriks

Lebih terperinci

F. Logaritma EKSPONEN DAN LOGARITMA 11/9/2015. Peta Konsep. F. Logaritma. Nomor W4901. Hitunglah Log 49

F. Logaritma EKSPONEN DAN LOGARITMA 11/9/2015. Peta Konsep. F. Logaritma. Nomor W4901. Hitunglah Log 49 11/9/01 Pet Konsep Jurnl Mteri Umum Pet Konsep Pngkt Rsionl Dftr Hdir Mteri F EKSPONEN DAN LOGARITMA Kels X, Semester 1 F. ritm Pngkt Bult Positif Pngkt Nol Pngkt Bult Negtif Bentuk Akr Pngkt Pechn SolLtihn

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika

MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift

Lebih terperinci

FISIKA BESARAN VEKTOR

FISIKA BESARAN VEKTOR K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.

Lebih terperinci

- - RELASI DAN FUNGSI - - dlp2fungsi

- - RELASI DAN FUNGSI - - dlp2fungsi 804 Mtemtik Relsi dn Fungsi - - RELASI DAN FUNGSI - - Modul ini singkron dengn Apliksi Android, Downlod mellui Ply Store di HP Kmu, ketik di penrin dlpfungsi Jik Kmu kesulitn, Tnykn ke tentor gimn r downlodny.

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma

matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn

Lebih terperinci

Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal

Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal Relsi Ekuivlensi dn Automt Miniml Teori Bhs dn Automt Semester Gnjil 01 Jum t, 1.11.01 Dosen pengsuh: Kurni Sputr ST, M.Sc Emil: kurni.sputr@gmil.com Jurusn Informtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm

Lebih terperinci

INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.

INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L. INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl

Lebih terperinci

E-LEARNING MATEMATIKA

E-LEARNING MATEMATIKA MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor

Lebih terperinci

Integral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar

Integral B A B. A. Pengertian Integral. B. Integral Tak Tentu. C. Integral Tertentu. D. Menentukan Luas Daerah. E. Menentukan Volume Benda Putar Integrl B A B A. Pengertin Integrl B. Integrl Tk Tentu C. Integrl Tertentu D. Menentukn Lus Derh E. Menentukn Volume Bend Putr Sumer: www.wllpperse.com Pernhkh klin meliht ling-ling peswt? Bgimnkh entukny?

Lebih terperinci

BAB VI PEWARNAAN GRAF

BAB VI PEWARNAAN GRAF 85 BAB VI PEWARNAAN GRAF 6.1 Pewrnn Simpul Pewrnn dri sutu grf G merupkn sutu pemetn dri sekumpuln wrn ke eerp simpul (vertex) yng d pd grf G sedemikin sehingg simpul yng ertetngg memiliki wrn yng ered.

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :

RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh : RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)

Lebih terperinci

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri

Lebih terperinci

1. Pengertian Matriks

1. Pengertian Matriks BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng

Lebih terperinci

III. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan

III. Bab. Persamaan dan Pertidaksamaan Bb III Sumber: mycityblogging.com Persmn dn Pertidksmn Konsep persmn dn pertidksmn telh And peljri sebelumny di Kels VII dn Kels VIII. Konsep persmn dn pertidksmn sngt bergun jik diterpkn dlm kehidupn

Lebih terperinci