E-LEARNING MATEMATIKA

Transkripsi

1 MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor 993.9/H34.5/PL/00 Tnggl Juli 00 JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA TAHUN 00

2 BAB III VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn jjrn genjng, dn turn poligon. 4. Menghitung pengurngn vektor. 5. Menghitung pnjng vektor dlm rung. II. MATERI A. PENGERTIAN Vektor dlh sutu kuntit/esrn yng mempunyi esr dn rh. Secr grfis sutu vektor ditunjukkn segi potongn gris yng mempunyi rh. Besr tu kecilny vektor ditentukn oleh pnjng tu pendekny potongn gris. Sedngkn rh vektor ditunjukkn dengn tnd nk pnh. Dlm gmr vektor di smping, titik A diseut titik B wl (initil point) dn titik P diseut titik terminl (terminl point). Pd gmr terseut vektor dpt AB = ditulis dengn ergi cr seperti, AB, tu. Pnjng vektor jug dpt ditulis dengn ergi cr A seperti AB, AB,,, tu. Disini kit kn memki simul AB tu untuk menytkn vektor dn AB tu untuk menytkn esrn (modulus) dri vektor terseut. Contoh vektor mislny lintsn, keceptn, perceptn, dn gy. Sklr dlh sutu kuntit yng mempunyi esrn tetpi tidk mempunyi rh. Sutu sklr dlh ilngn nyt dn secr simolik dpt ditulis dengn huruf kecil. Opersi sklr mengikuti turn yng sm dengn turn opersi ljr elementer. 8

3 B. VEKTOR SATUAN Y Q j Untuk menggmrkn sutu vektor pd sistem koordint krtesen diperlukn vektor stun. Vektor (0,) j P i dri titik (0,0) smpi titik (,0) dlh vektor stun i. Vektor dri (0,0) i (,0) X titik (0,0) smpi titik (0,) dlh vektor stun j. Arh vektor i positif sesui dengn rh sumu X positif. Arh vektor j positif sesui dengn rh sumu Y positif. Pd gmr diseelh ini vektor dengn titik wl P dn titik khir Q diurikn menjdi du vektor yitu vektor i dn j. Vektor dn diseut komponen vektor. Besrn dn diseut komponen sklr. Secr simolis vektor dn komponenny ditulis = i + j C. ALJABAR VEKTOR Aljr vektor dlh opersi pd du tu leih dri vektor yng meliputi penmhn, pengurngn dn perklin. Opersi vektor dpt dilkukn mellui komponen-komponen sklrny.. Kesmn Du vektor Du vektor diktkn sm pil pnjng sert rhny sm. = jik = dn rh = rh 9

4 . Vektor Negtif Vektor mempunyi ukurn sm dengn vektor tetpi rhny erlwnn. Jik vektor = - mk = -. Vektor negtif sering diseut segi vektor invers. 3. Perklin Vektor dengn Sklr Jik k ilngn rel yng positif, mk k u dlh vektor yng pnjngny k u dn mempunyi rh yng sm dengn u. Sedngkn k u dlh vektor yng pnjngny k u tetpi rh erlwnn dengn u. u k u 4. Penjumlhn Vektor ) Aturn Segitig Perhtikn gmr di smping. Jik AB dn BC mewkili dn mk AC diktkn penjumlhn vektor +. ) Aturn Jjrn Genjng AB dn DC mewkili vektor BC dn AD mewkili vektor, mk AC = + tu AC = +. 0

5 c) Aturn Polygon Penjumlhn tig vektor tu leih dpt dilkukn dengn menggunkn turn poligon. c c c 5. Selisih Du Vektor Selisih du rh vektor dn, dinytkn segi, dpt dipndng segi penjumlhn vektor dengn invers vektor yitu vektor. Mislkn = c mk c = +( ) Secr digrm selisih du vektor terseut seperti gmr erikut. c 6. Vektor Nol Jik vektor = mk = 0. 0 diseut vektor nol. Vektor nol tidk mempunyi esr dn rhny tk tentu.

6 Dlm ljr vektor, mislkn vektor = mk erlku turn : ). = jik dn hny jik ). m. = m. i = i dn j = j i + m. j untuk m sutu sklr c). + = ( + ) i + ( + d). - = ( - ) i + ( - e).. = 0 f). i. i = j. j = dn i. j = 0 g).. = ( i + j ) j ) j i + j dn vektor = i + j jik = 0 tu = 0 tu tegk lurus dengn ). ( i + j ) =. +. h). = i). = rc tn ( / ) j).. = cos γ D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI Z c r P Vektor OP disefinisikn oleh komponenkomponeny : sepnjng OX O X Mislkn mk : L Y sepnjng OY c sepnjng OZ i = vektor stun dlm rh OX j = vektor stun dlm rh OY k = vektor stun dlm rh OZ OP = i j ck OL = + dn OP = OL + c OP = + + c jdi r i j ck

7 Contoh penyelesin sol :. Dikethui vektor = 3i + 4j dn vektor = i + j. Hitunglh hrg-hrg : + ; + ; ; ;. ; sudut ; sudut ;. dn.. Jw : Dri vektor dn terseut dpt dikethui hw = 3 ; = 4 ; = dn =, sehingg diperoleh : ). + = ( + ) i + ( + ) j = ( 3 + ) i + ( 4 + ) j = 5i + 5j ). + = ( + ) i + ( + ) j = ( + 3 ) i + ( + 4 ) j = 5i + 5j c). = ( ) i + ( ) j = ( 3 ) i + ( 4 ) j = i + 3 j d). = ( ) i + ( ) j = ( 3 ) i + ( 4 ) j = -i 3j e). = = 3 4 = = 5 f). = 4 = 5 g). Sudut dlh = rc tn ( / ) = rc tn ( 4/3 ) = 53,30 tu = h). Sudut dlh = rc tn ( / ) = rc tn ( ½ ) = 6,56505 tu = ,8 i).. =. +. = = = 0 j).. =. +. = = = 0 Jwn i). dn j). dpt jug menggunkn turn. =. cos. dlm hl ini dlh sudut ntr dn. Dengn turn terseut diperoleh :. =. cos = 5 5 cos ( - ) = 5. 5 cos (53,3 6,56) = 5. 5 cos 6,57 = , = 0. =. cos = 5. 5 cos ( - ) 5. 5 cos (-6,57) = 0 3

8 . Dikethui vektor-vektor, dn c seperti di wh ini. Lukislh secr grfis opersi vektor : - +. c dn 3 c - 0,5( - ). Jw : - +. c = + (- ) +. c c c c 3 c - 0,5( - ) = 3 c + [-0,5{ + (- )}] 3 c c 3 c + [-0,5{ + (- )}] /( +(- ) 4

9 Sol-sol vektor :. Gmrlh vektor-vektor diwh ini pd koordint krtesen. ). = 4i+5j ). = -4i+5j c). c = -4i 5j d). d = 4i 5j. Gmrlh dn tuliskn dlm entuk vektor i + j yng memiliki ketentun segi erikut :. Dri titik sumu ( 0, 0 ) ke titik ( ; -3 ). Dri titik ( ; 3 ) ke titik ( 4 ; ) c. Mempunyi esr 6 dengn rh Dikethui vektor =,5 i + 3 j dn vektor = - 5j Hitunglh :. +. c.. 4. Vektor = 3i + 4j ; vektor = i + 5j dn vektor c = -5i + 3j. Hitunglh : c c... c 5. Hitunglh kerj yng dilkukn vektor 6i + 8j pd vektor i + 3j. 6. tentukn esrny sudut pd vektor-vektor i + j ; i 3j dn 5j. 7. Vektor = i + 5j, vektor = -5i 7j dn vektor c = 3i 7j. Gmrlh :.. + c. 0.5 (. c ) c c 5

10 PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR D Jik dn dlh du uh vektor, mk perklin sklr ntr dengn didefinisikn segi. cos Dimn = esr vektor = esr vektor = sudut yng dipit oleh vektor dn Perklin sklr dinytkn dengn. sehingg jug diseut segi perklin titik Jdi. =.. cos =. proyeksi pd tu =. proyeksi pd Hsil dri perklin sklr ntr du vektor erup esrn sklr Jik = PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR 3D i + j + 3 k = i + j + 3 k mk. = ( i + j + 3 k ) ( i + j + 3 k ). = Rumus terseut ersl dri perhitungn segierikut :. = ( i + j + 3 k ) ( i + j + 3 k ) = (..i.i ) + (..i.j ) i.k ) + (.. j.i ) + (.. j.j ) + (. 3. j. k ) + ( 3. k.i ) + ( 3.. k.j ) + ( 3. 3 k.k ) ingt : i. i = j. j = k. k =.. cos 0 = i. j = j. k = k. i =.. cos 90 = 0 6

11 Sehingg. = Contoh sol. Jik = i +3j +5k dn = 4i +j +6k Mk. = = = 4 PERKALIAN VEKTOR ANTARA DUA VEKTOR Perklin vektor ntr dn ditulis x sehingg jug diseut segi perklin silng. x didefinisikn segi vektor yng mempunyi esr. sin = sudut ntr vektor dengn Arh vektor hsil kli x tegk lurus dengn vektor dn x x Cttn : Dlm perklin vektor ( silng ) mementuk sistem knn sehingg jik x hsilny tegk lurus ke wh. Jik = 0 mk x = x sin 0 = 0 Jik = 90 mk x = x sin 90 = x Sehingg : i x i = j x j = k x k =. sin 0 = 0 i x j =. sin 90 = 7

12 Dlm rh OZ mk i x j = k Jdi i x j = k tetpi j x i = -k j x k = i k x j = -i k x i = j i x k = -j jik : = i + j + 3 k = i + j + 3 k mk : x = ( i + j + 3 k ) x ( i + j + 3 k ) =. i x i +. i x j +. 3 i x k +. j x i +. j x j +. 3 j x k + 3. k x i + 3. k x j k x k ingt rumus perklin vektor stun di depn, sehingg = 0 +. k +. 3 ( -j ) +. ( -k ) i + 3. j + 3. ( -i ) + 0 = ( ) i+ ( ) j + (.. ) k Jik susunnny dilik menjdi x = ( 3 3 ) i ( 3 3 ) j + ( ) k Rumus dits jik disusun dlm entuk determinn seegi erikut x = i j k 3 3 = i 3 - j 3 + k 3 3 Bhn Diskusi: Mengp perklin vektor ntr du vektor hny d dlm vektor 3 dimensi? 8

13 Contoh : Dikethui p = i + 4j + 3k q = i + 5j k Hitung p x q Jw : p x q = i j k = i 4 3 -j 3 + k = i ( ) j ( -4 3 ) + k ( 0 4 ) = -3i + 7j + 6k Contoh : Jik m = 3i - 4 j + k n = i + 5j k Hitunglh m x n 9

14 SUDUT ANTARA DUA VEKTOR ( Dengn cosinus rh ) Z P 3 X γ α β Y Misl OP = = i + j + 3 k mk = 3 Mk : = cos = l = cos = m 3 = cos = n l,m, n diseut cosinus rh vektor OP Contoh : Tentukn cosinus rh vektor = 3i j + 6k Jw : = 3, = -, 3 = 6 = 3 ( ) 6 = 49 = 7 l= =3/7 ; m = = -/7 ; n = 3 = 6/7 30

15 Z P P θ Y X Jik : Cosinus rh p dlh l,m,n Cosinus rh p dlh,m,n Mk : Cos = l.l + m.m + n.n Contoh : Jik cosinus rh vektor dlh l, m, n = ½, 0,3, -0,4 Cosinus rh vektor dlh l,m,n = 0,5, 0,6, 0, Mk sudut ntr vektor dengn dlh Cos = l.l + m.m + n.n = (/)(0,5) + (0,3)(0,6) +(-0,4)(0,) =0,5 + 0,8 0,08 = 0,5 Sehingg = rc cos 0,5 = 77 3

16 Sol ltihn : Dikethui vektor = 5i + 4j + k = 4i 5j + 3k c = i j -k Hitunglh : ) sudut ntr vektor dengn vektor ) sudut ntr vektor dengn vektor c c) sudut ntr vektor dengn vektor c 3