Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model ekonomi, dn lin-lin. Pemhsn SPL dn solusiny dlm uku ini merupkn lngkh wl untuk memerikn lndsn yng kut dlm mempeljri - selnjutny, ntr lin : menentukn kernel dn jngkun dri sutu mtriks trnsformsi, sis rung eigen, dn mslh solusi sistem persmn diferensil pd gin khir uku ini.. PENDAHULUAN Ser intuitif, persmn liner dlh persmn dimn peuhny tidk memut eksponensil, trigonometri (seperti sin, os, dll.), perklin, pemgin dengn peuh lin tu diriny sendiri. Jdi, sistem persmn liner merupkn sekumpuln pesmn liner yng memut sejumlh hingg peuh es yng sling terkit. Bentuk umum sistem persmn liner :... n n... n n (.) M M M M m m... mn n m dimn :,,..., in R : koofisien

2 8 B Sistem Persmn Liner,,..., n : peuh,,..., m R : konstnt Sistem persmn liner di ts dpt ditulis dengn perklin mtriks, yitu : tu M m AX B dimn : A dinmkn mtriks koefisien X dinmkn mtriks peuh B dinmkn mtriks konstnt Contoh. : L n L n M O M M L m mn n M m Tuliskn sistem persmn liner erikut dlm entuk perklin mtriks y z p z Jw : mk sistem persmn liner dlm entuk perklin mtriks erikut: y - p - z

3 Aljr Liner Elementer Adiwijy 9. SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Mislkn, S { s s,..., s s, s,..., s R }, n n disustitusikn pd sistem persmn liner (.), sehingg s, s,..., n s n dn sistem persmn liner terseut ernili enr, mk S dinmkn solusi gi sistem persmn liner terseut. Sutu sistem persmn liner elum tentu puny solusi, keerdn solusi ini sngt tergntung dri sistem persmn liner itu sendiri. Contoh. : Perhtikn sistem persmn erikut : y y Mislkn kit mempunyi himpunn S {, } mk S merupkn solusi sistem persmn liner terseut. Sementr itu, himpunn T {, } ukn solusi dri SPL terseut kren tidk memenuhi SPL terseut Sutu sistem persmn liner (SPL), dlm keterkitny dengn solusi, mempunyi tig kemungkinn, yitu :. SPL mempunyi solusi tunggl. SPL mempunyi solusi tk hingg nyk. SPL tidk mempunyi solusi Mslh solusi SPL ini dpt diilustrsikn dlm digrm krtesius. Mislkn SPL terdiri dri du persmn dn du peuh ( dn y). Setip persmn pd SPL dpt direpresentsikn dlm entuk sutu gris. Sutu SPL diktkn mempunyi solusi tunggl jik du gris terseut erpotongn di stu titik (liht gmr..). Sementr itu, SPL terseut diktkn mempunyi solusi tk hingg nyk jik du gris terseut erimpit (liht gmr..), sedngkn SPL terseut

4 B Sistem Persmn Liner diktkn tidk mempunyi solusi jik du gris terseut tidk pernh erpotongn/sejjr (liht gmr..) y y y y y y y y y Gmr. Ilustrsi Solusi SPL pd krtesius Jik sutu SPL memiliki solusi (tunggl tu tk hinggnyk) mk SPL terseut dinmkn SPL konsisten. Sementr itu, SPL yng tidk mempunyi solusi dinmkn SPL yng tk konsisten. Untuk menentukn solusi sutu SPL dpt digunkn opersi ris elemeneter (OBE), turn Crmer, dn menggunkn mtriks invers. Berikut ini kn dijelskn leih detil tentng metode esert keleihn dn kekurngnny dri setip metode dlm menentukn (memeriks) solusi sutu SPL... Solusi Sistem Persmn Liner dengn OBE Menentukn solusi persmn liner dpt dilkukn dengn menggunkn opersi ris elementer (OBE). Lngkh yng pertm dlh tulis kemli sistem persmn liner dlm entuk mtriks yng diperesr (ugmented mtri). Mislkn, SPL : y y dpt ditulis dlm entuk mtriks yng diperesr

5 Aljr Liner Elementer Adiwijy - Selnjutny dilkukn OBE pd mtriks terseut untuk menentukn solusiny. Contoh. : Tentukn solusi dri SPL y y Jw : Bentuk mtriks yng diperesr dri SPL terseut dlh Selnjutny mtriks yng diperesr dikenkn OBE : Tulis dlm entuk perklin mtrik : y Jdi, solusi SPL terseut dlh dn y Ser intuitif, kit dpt menentukn pkh sutu SPL mempunyi solusi tu tidk. Setelh dilkukn OBE pd

6 B Sistem Persmn Liner mtriks yng diperesr, perhtikn pd mtriks koefisien (gin kiri), pkh mtriks koefisien hsil OBE memiliki ris nol? Jik y, dn ternyt mtriks konstnt (gin knn) pd mtriks yng diperesr dlh ilngn tk nol mk SPL terseut tidk mempunyi solusi. Sementr itu, jik ksus yng terjdi dlh segi erikut :. tidk d ris nol pd mtriks koefisien hsil OBE. d ris nol pd mtriks koefisien hsil OBE dn mtriks onstnt pd ris terseut dlh nol. Jik kedu hl terseut terjdi, mk SPL terseut mempunyi solusi. Sedngkn untuk memeriks pkh solusiny tunggl tu tk hingg nyk, periks pkh setip kolom mempunyi stu utm? Jik y, solusi SPL terseut dlh tk hingg nyk. Selikny, jik d kolom yng tk mempunyi stu utm mk solusi SPL terseut mempunyi solusi tunggl. Perhtikn eerp ontoh penentun solusi SPL dengn menggunkn OBE diwh ini. Contoh. : Tentukn solusi (jik d) dri SPL erikut :. 7.. Jw :. Mtriks yng diperesr dri SPL terseut dlh

7 Aljr Liner Elementer Adiwijy 7 Terliht hw tidk d ris nol pd mtriks koefisien dn setip kolom mtiks koefisien hsil OBE memiliki stu utm, jdi SPL terseut memiliki solusi tunggl, yitu :,, dn.. Mtriks yng diperesr dri SPL terseut dlh Terliht hw d ris nol pd mtriks koefisien dn mtriks konstnt pd ris ke- jug nol. Ini errti SPL terseit mempunyi solusi, tetpi ternyt d kolom yng tidk mempunyi stu utm (kolom ke-). Dengn demikin, solusi SPL terseut memiliki solusi tk hingg nyk. Jik dikemlikn kedlm entuk perklin mtriks diperoleh : Ini memerikn dn. Dengn memilih t, dimn t dlh prmeter. Mk solusi SPL terseut dlh :, dimn t dlh prmeter t. Mtriks yng diperesr dri SPL terseut dlh

8 B Sistem Persmn Liner Contoh. : Terliht hw d ris nol pd mtriks koefisien tetpi mtriks konstnt pd ris ke- sm dengn (tk nol). Jik dikemlikn kedlm entuk perklin mtriks diperoleh : Dri ris ke- diperoleh huungn hw... Tk d nili dn yng memenuhi kesmn ini. Jdi, SPL terseut tidk memiliki solusi. Dikethui SPL : y z y z y ( ) z Tentukn sehingg SPL : ) Mempunyi solusi tunggl ) Tidk mempunyi solusi ) Tidk terhingg solusi Jw : Mtrik diperesr dri SPL dlh - ~ ~

9 Aljr Liner Elementer Adiwijy. Agr SPL mempunyi solusi tunggl: 6 sehingg ±. Agr SPL tidk mempunyi solusi Dri ris ketig y ( 6) z Agr SPL tidk mempunyi solusi mk 6 dn Sehingg ± dn. Jdi,.. Agr SPL mempunyi solusi tk hingg nyk 6 dn Jdi,.. Solusi SPL dengn turn Crmer dn mtriks invers Selin dengn menggunkn OBE, solusi SPL dpt ditentukn dengn menggunkn turn Crmer dn mtriks invers. Syrt gr sutu SPL dpt diselesikn dengn menggunkn turn Crmer tu mtriks invers dlh mtrik koefisien dri SPL terseut hrus ujur sngkr (persegi) dn determinnny tidk sm dengn nol. Aturn Crmer merupkn sutu r untuk menentukn solusi sistem persmn liner ser terprtisi (misl i, yitu peuh ke-i). Mislkn SPL dpt ditulis dlm entuk : M n M n L L O L n n M nn M n M n Jik determinn A tidk sm dengn nol, mk dlm menentukn solusi peuh i, lngkh-lngkh yng dpt dilkukn menggunkn turn rmer, dlh : ( i ) Tulis A i yitu mtrik A dengn menggnti seluruh nggot kolom ke-i dengn konstnt n Contoh :

10 6 B Sistem Persmn Liner A M n M n L L O L n n M nn ( ii ) Hitung det(a) dn det(a i ) ( iii ) Solusi peuh i det(a i ) / det(a) Sementr itu, selnjutny kit kn memhs r menentukn solusi dengn menggunkn mtriks invers. Mislkn SPL dpt dituliskn dlm entuk perklin mtriks : AX B dimn A merupkn mtriks ujur sngkr yng mempunyi invers. Solusi SPL terseut dpt ditentukn dengn menggunkn mtriks invers, yitu dengn menglikn setip rus di ts dengn A sehingg menjdi : A A X A B (ingt hw A A I ) sehingg diperoleh : X A B Hl yng perlu diingt hw sutu mtriks ujur sngkr A mempunyi invers jik dn hny jik det (A). Dengn demikin, dengn memeriks determinn dri mtriks koefisienny (jik ujur sngkr), kit dpt menetukn pkh solusi SPL terseut tunggl tu tidk. Jik determinn mtriks koefisienny tidk sm dengn nol mk solusiny dlh tunggl, dn dlm menentukn solusiny dpt menggunkn turn Crmer tu invers mtriks. Contoh.6 : Tentukn solusi dri SPL erikut : 7

11 Aljr Liner Elementer Adiwijy 7 Jw :. Dengn menggunkn mtrik invers Invers dri mtriks koefisien dits dlh sehingg X A B erentuk : Jdi Solusi SPL terseut dlh. dengn turn Crmer. - A sehingg

12 8 B Sistem Persmn Liner det det - 7 ( A ) ( A ) -. Sementr itu, nili dpt ditentukn dengn r erikut : det ( A ) det ( A ) (-) ( -- ) ( - - (-7) ) - ( -- ) (-) (- ) ( - (-) ) Dengn demikin, kit telh mempuny tig r dlm menentukn solusi sutu sistem persmn liner, ntr lin : - Dengn opersi ris elementer (OBE )

13 Aljr Liner Elementer Adiwijy 9 - Dengn Invers mtrik - Aturn Crmer Untuk point terkhir, mtrik koefisien hrus ujur sngkr dn determinn tidk sm dengn nol. Jik solusi SPL dpt diri dengn du r terseut mk solusi SPL terseut dlh tunggl.. SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN Sistem persmn liner homogen merupkn sistem persmn liner yng semu konstntny dlh nol, sehingg entuk umum SPL homogen dlh : L n n L nn M M M M m m L mnn SPL homogen merupkn SPL yng konsisten, yitu i sellu mempunyi solusi. Solusi SPL homogen diktkn tunggl jik solusi itu dlh { K n }. Jik tidk demikin, rtiny SPL homogen mempunyi solusi tk hingg nyk. Ini isny ditulis dlm entuk prmeter. Contoh.7 : Jw : Tentukn solusi SPL homogen erikut p r s p r s p r s p s Sistem persmn dits dpt ditulis dlm entuk mtriks segi erikut :

14 B Sistem Persmn Liner dengn melkukn OBE diperoleh : - - Dengn demikin solusi SPL homogen terseut dlh : p,, s, dn r, dimn, merupkn prmeter. Contoh.8 : Dikethui SPL z y. Tentukn gr SPL memiliki solusi nyk dengn tu prmeter. Tuliskn solusi SPL terseut Jw : Seperti yng kit kethui ersm hw solusi sutu SPL homogen dlh tk tunggl jik det(a). Sehingg

15 Aljr Liner Elementer Adiwijy ( ) ( ) (( )( )) ( ) ( ) ( ) ( ) tu. St, dengn mensustitusikn kedlm mtriks tdi mk kn diperoleh z y Dengn OBE mk ~ Misl z p, dimn p, merupkn prmeter. Mk y - Sehingg : p z y p - Sehingg dpt diktkn hw solusi SPL dlh tk hingg nyk dengn du prmeter st.. untuk, dengn mensustitusikn kedlm mtriks tdi mk kn diperoleh

16 B Sistem Persmn Liner z y Dengn OBE mk ~ ~ ~ Mislkn z, kitny y sehingg z y Sehingg dpt diktkn hw solusi SPL dlh tk hingg nyk dengn stu prmeter st. Contoh 9 : Perhtikn ilustrsi segitig erikut : β γ α

17 Aljr Liner Elementer Adiwijy Tunjukn hw : osα Jw : Dri gmr terseut dikethui hw : osβ osγ osα osγ osα osβ Tig persmn terseut dpt dipndng segi sutu SPL dengn tig peuh, yitu : osα, osβ, dn osγ. Sehingg SPL terseut dpt ditulis menjdi : γ β α os os os Perhtikn hw : det ( ) ( ) ( ) ( ) Dengn turn Crmmer diperoleh hw : os α ( ) ( )

18 B Sistem Persmn Liner Jdi, terukti hw : osα Ltihn B. Tentukn solusi SPL erikut : Dikethui SPL (p,, r dn s merupkn peuh es) : p r s p s p s Tentukn solusi SPL dits. Tentukn solusi SPL homogen erikut : t s r p t s r t s r p t r p. Dikethui sistem persmn liner : AX B dengn

19 Aljr Liner Elementer Adiwijy, dn - A X B Tentukn solusi SPL di ts dengn menggunkn : - opersi ris elementer (OBE ) - Invers mtrik - Aturn Crmer. Dikethui X X Tentukn yng memenuhi sistem persmn X terseut 6. Tentukn nili k sehingg SPL homogen (dengn peuh p,, dn r) erikut mempunyi solusi tunggl : ( ) r k p k r r p 7. Mislkn. B Tentukn vektor tk nol y u sehingg u u B 6