MODUL MATEMATIKA I. Hikmayanti Huwaida, S.Si NIP
|
|
- Farida Widjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ODUL TETIK I Hikmynti Huwid, SSi NIP KEENTRIN PENDIDIKN DN KEBUDYN POLITEKNIK NEGERI BNJRSIN PROGR STUDI NJEEN INFORTIK BNJRSIN
2 BB I TRIKS Tujun Instruksionl Umum Setelh mengikuti mt kulih temtik I ini mhsisw kn dpt menyelesikn opersi mtriks, menentukn nili determinn mtriks, menentukn invers mtriks, dpt menyelesikn sistem persmn linier, dn dpt menginterpretsiknny dengn ik dn enr Tujun Instruksionl Khusus Setelh mempeljri ini dn mengerjkn sol perltihnny dihrpkn mhsisw kn dpt: enyeutkn pengertin mtriks dengn enr enyelesikn opersi penjumlhn pd mtriks dengn enr enyelesikn opersi pengurngn pd mtriks dengn enr enyelesikn opersi perklin sclr dengn mtriks dengn enr enyelesikn opersi perklin mtriks dengn mtriks dengn enr enjelskn turn ilmu hitung mtriks dengn enr 7 enjelskn jenis-jenis mtriks dengn enr
3 Pengertin triks Sutu himpunn ilngn tu vriel yng disusun dlm entuk empt persegi pnjng, yng terdiri dri ris dn kolom diseut mtriks Jik mtrik mempunyi m ris dn n kolom, mk diseut mtrik erdimensi m x n triks ditulis dlm entuk ( ) tu [ ] dn entuk lin triks is ditulis dengn huruf esr, mislny,b dn seterusny, dn elemen elemenny dengn huruf kecil, mislny, dn seterusny Bentuk umum mtriks: m m n n mn tu [ ] ij i,, m j,,, n ij diseut elemen yng terletk pd ris ke-i dn kolom ke-j Opersi triks Penjumlhn dn Pengurngn triks Du uh mtriks hny dpt dijumlhkn tu dikurngkn pil keduny erorde sm Jumlh tu selisih du mtriks [ ij ] dn B [ ij ]
4 dlh seuh mtriks ru [ ] c ij C yng eorde sm, yng unsur unsurny merupkn jumlh tu selisih unsur unsur dn B C B ± dimn ij ij ij c ± + 7 Tinjulh mtriks mtriks:,, C B k, + + B Sedngkn +C dn B+C tidk didefinisikn Kren penjumlhn ntr ilngn ersift komuttif dn sositif, pdhl mtriks dlh kumpuln ilngn, mk untuk penjumlhn ntr mtriks erlku pul kidh kidh komuttif dn kidh sositif Kidh komuttif : +BB+ Kidh sositif :+(B+C) (+B)+C +B+C
5 Perklin triks dengn sklr Hsil kli seuh mtriks [ ] ij dengn sutu sklr tu ilngn nyt λ dlh seuh mtriks ru B [ ] ij yng erorde sm dn unsur unsur λ kli unsur unsur mtriks semul ( ) ij ij λ B λ dimn ij ij λ λ mk: 9 B λ Jik dlh mtriks, k dn ) (
6 Jik B dlh serng mtriks, mk-b kn menytkn hsil kli (- )B Jik dn B dlh du mtriks yng ukurnny sm, mk -B didefinisikn segi jumlh + (- B) +( )B Tinjulh mtriks mtriks dn B Dri definisi di ts mk B Dn B Perhtikn hw -B dpt diperoleh secr lngsung dengn entri B dri entri yng ersngkutn Perklin ntr mtriks Du mtriks hny dpt diklikn pil jumlh kolom dri mtriks yng diklikn sm dengn jumlh ris dri mtriks pengliny Hsil kli du mtriks mxn dengn B nxp dlh seuh mtriks ru C mxp, yng unsure-
7 unsurny merupkn perklin silng unsur - unsur ris mtriks dengn unsur unsur kolom mtriks B mxn X B nxp C mxp islkn dlh mtriks x, B dlh mtriks x 7, dn C dlh mtriks 7x k B didefinisikn segi mtriks x 7, C didefinisikn segi mtriks 7x, BC didefinisikn segi mtriks x Hsil kli C, CB, dn B semuny tidk didefinisikn islkn dlh mtriks m x r yng umum dn B dlh mtriks r x n yng umum, mk seperti yng disrnkn, entri dlm ris i dn kolom j dri B, rn rj r r n j n j mr m m ir i i r r B Perklin mtriks mempunyi penerpn penting terhdp system persmn linier Tinjulh sutu system persmn yng terdiri dri m persmn linier dlm n ilngn tk dekethui n n mn m m n n n n x x x x x x x x x
8 kren du mtriks dinytkn sm jik dn hny jik entri-entri yng ersesuin sm, mk kit dpt menggntikn persmn m dlm sistem ini dengn persmn mtriks tunggl m x x x m x x x n xn n xn mn xn m triks m x pd rus kiri persmn ini dpt dituliskn segi hsil kli yng memerikn m m n n mn x x xn m Jik kit mtriks mtriks ini erturut-turut dengn, X, dn B mk m persmn sli dlm n ilngn tk dikethui telh digntikn oleh persmn tunggl X B mk c c c c x x B Jdi, B C dn B 7 9 c c C c c ( ) + ( )( 7) + + ( 7)
9 Penyelesin lngsung dpt dilkukn segi erikut: B ( ) + + ( )( 7) + + ( 7) + turn-turn Ilmu Hitung triks Wlupun nyk dri turn-turn ilmu hitung ilngn riil erlku jug untuk mtriks, nmun terdpt eerp kekeculin Slh stu dri kekeculin yng terpenting terjdi pd perklin mtriks Untuk gin gin riil dn kit sellu mempunyi yng sering diseut hukum komuttif untuk perklin kn tetpi, untuk mtriks mtriks, mk B dn B tidk perlu sm Kesmn dpt ggl terpenuhi kren tig hl Hl itu dpt terjdi, mislny B didefinisikn sedngkn B tidk didefinisikn Ini dlh ksus klu dlh mtriks x dn B dlh mtriks x Jug dpt terjdi B dn B kedu duny didefinisikn tetpi mempunyi ukurn yng ereded Hl ini terjdi klu dlh mtriks x dn B dlh mtriks x khirny, seperti yng diperlihtkn oleh contoh erikutny, mk mungkin untuk memperoleh B B wlupun B dn B didefinisikn dn mempunyi ukurn yng sm Tinjulh mtriks mtriks
10 , B Dengn mengliknny mk kn memerikn B B Jdi, B B Wlupun hukum komuttif untuk perklin tidk erlku dlm ilmu hitung mtriks, nmun nyk hukum hukum ilmu hitung yng sudh is dikenl kn erlku untuk mtriks Beerp dintr hukum yng pling penting dn nm nmny diikhtisrkn dlm teorem erikut, Teorem Dengn menggnggp hw ukurn-ukurn mtriks dlh sedemikin sehingg opersi-opersi yng ditunjukkn dpt dipergkn, mk turnturn ilmu hitung mtrriks erikut kn shih +B B + (Hukum komuttif untuk penmhn) + (B+C) (+B)+C (Hukum sositif untuk penmhn) c (BC) (B)C (Hukum sositif untuk perklin) d (B+C)B+C (Hukum distriutif) e (B+C)B+C (Hukum distriutif) f (B-C)B-C g (B-C)B-C h (B+C)B+C i (B-C)B-C j (+)CC+C 9
11 k (-)CC-C l ()C(C) m (BC)(B)CB(C) Wlupun opersi penmhn mtriks dn opersi perklin mtriks didefinisikn untuk psngn mtriks, nmun hukum hukum sositif () dn (c) memungkinkn kit untuk jumlh dn hsil kli tig mtriks seperti +B+C dn BC tnp menyisipkn tnd kurung Hl ini dienrkn oleh kenytn hw gimnpun, terseut disisipkn, hukum sositif menjmin hw hsil khir yng sm kn kit peroleh Segi gmrn hukum sositif untuk perklin mtriks, tinjulh B C Kemudin B Sehingg
12 9 ) ( C B Selikny 9 BC k 9 9 (BC) Jdi, (B)C(BC), Jenis-Jenis triks triks Bujur Sngkr Sutu mtriks yng mempunyi jumlh ris dn jumlh kolom yng sm diseut mtriks ujur sngkr P Jumlh ris, jumlh kolom
13 triks Digonl Sutu mtriks ujur sngkr, dimn elemen digonl utm dn selinny sm dengn nol, diseut mtriks digonl,,, D C B triks Stun Sutu mtriks digonl, dimn elemen elemen digonl utm semuny diseut mtriks stun triks stun ini isny ditulis dengn notsi I triks stun yng erdimensi n x n ditulis dengn notsi I n j i j i I tu I ij ij n n,,, δ δ triks stun x : I
14 Jik mtriks ujursngkr ertipe n x n dn I mtriks stun ertipe n x n mk: II triks Nol Sutu mtriks yng semu elemen elemenny nol diseut mtriks nol dn ditulis dengn notsi triks nol tidk sellu erentuk ujur sngkr O [ ], er dimensix O, er dimensix Pd mtriks nol erlku opersi erikut: Dlm hl ini dn dlh mtriks ujursngkr yng ertipe smpd ilngn riil erlku, rtiny,, kn tetpi pd mtriks hl ini tidk erlku Segi ilustrsi dpt diliht pd contoh erikut:, B B x B Dri hsil di ts jug dpt diliht hw hsil kliny dlh mtriks nol, tetpi dn B ukn mtriks nol
15 triks Trnspose Trnspose dri mtriks dlh sutu mtriks yng dientuk dri dengn menguh ris dn kolom menjdi kolom dn ris mtriks trnpose triks trnspose dinotsikn dengn tu T Jik ji ' ' ji mk ' Jik ertipe m x n mk ertipe n x m Sift sift mtriks trnspose dlh segi erikut: Jik dn B ertipe sm, mk: Pd mtriks stun I erlku I I c Trnspose sutu mtriks dlh mtriks tu ( ) Hitunglh (B), jik: Jw : B x B 7 7 ( B) ', B
16 Buktikn ( B )' B' ', jik : Bukti : B [ ], [ ] B [ ] ( B) ' [ ] ', ' B B' ' [ ] B x [ ] k terukti hw (B) B triks Simetris triks Simetris dlh sutu mtriks yng memenuhi Dlm hl ini jels hw mtriks simetris dlh mtriks ujur sngkr Elemen ris ke-i dn kolom ke-j dri mtriks elemen pd ris ke-j dn kolom ke-i dri mtriks, tu ij untuk semu i dn j triks simetris erdimensi x : 7 ', 7 7 triks Simetris iring
17 triks simetris miring dlh sutu mtriks ujur sngkr dn ij - ij, ii triks simetris miring erdimensi x : ' ', triks Invers triks Invers tu mtrik likn dlh dlh mtriks yng pil diklikn dengn mtriks ujur sngkr menghsilkn seuh mtriks stun Jik merupkn sutu mtriks ujursngkr, mk liknny dituliskn dengn notsi - Dn - I Sift sift invers mtriks: Jik dn B mtriks ujur sngkr yng ertipe sm, mk: (B) - B - - Invers dri invers mtriks dlh mtriks itu sendiri: ( - ) - c Invers mtriks stun dlh mtriks stun itu sendiri tu I - I d Invers mtriks trnpose dlh mtriks trnpose, tu: ( ) - ( - )
18 Tentuknlh mtriks invers dri Penyelesin:, erti non singulr dn - d Jdi 7, 7 B, Tentukn invers dri mtriks Penyelesin:, errti singulr dn - tidk d 9 triks Sklr, Ortogonl, Singulr, dn Non Singulr triks Sklr dlh mtriks digonl yng unsur unsurny sm tu sergm ( λ ) Dlm hl λ, mtriks yng ersngkutn sekligus jug merupkn mtriks stun triks sklr jug merupkn hsil kli seuh sklr dengn mtriks stun, λ I mtriks sklr λ triks Orthogonl dlh mtriks yng pil diklikn dengn mtriks uhnny menghsilkn mtriks stun, I triks Singulr dlh mtriks ujursngkr yng determinnny sm dengn nol triks semcm ini tidk mempunyi likn Sedngkn mtriks 7
19 nonsingulr dlh mtriks ujursngkr yng determinnny tidk nol, mtriks semcm ini mempunyi likn 7 Rngkumn Sutu himpunn ilngn tu vriel yng disusun dlm entuk empt persegi pnjng, yng terdiri dri ris dn kolom diseut mtriks Jik mtrik mempunyi m ris dn n kolom, mk diseut mtrik erdimensi m x n triks ditulis dlm entuk ( ) tu [ ] dn entuk lin triks is ditulis dengn huruf esr dn elemen elemenny dengn huruf kecil Du uh mtriks hny dpt dijumlhkn tu dikurngkn pil keduny erorde sm Hsil kli seuh mtriks [ ij ] dengn sutu sklr tu ilngn nyt λ dlh seuh mtriks ru B [ ij ] yng erorde sm dn unsur unsur λ kli unsur unsur mtriks semul ( λ ) ij ij Du mtriks hny dpt diklikn pil jumlh kolom dri mtriks yng diklikn sm dengn jumlh ris dri mtriks pengliny Sutu mtriks yng mempunyi jumlh ris dn jumlh kolom yng sm diseut mtriks ujur sngkr Sutu mtriks ujur sngkr, dimn elemen digonl utm dn selinny sm dengn nol, diseut mtriks digonl Sutu mtriks digonl, dimn elemen elemen digonl utm semuny diseut mtriks stun
20 Sutu mtriks yng semu elemen elemenny nol diseut mtriks nol dn ditulis dengn notsi Trnspose dri mtriks dlh sutu mtriks yng dientuk dri dengn menguh ris dn kolom menjdi kolom dn ris mtriks trnpose triks Simetris dlh sutu mtriks yng memenuhi triks simetris miring dlh sutu mtriks ujur sngkr dn ij - ij, ii triks Invers tu mtriks likn dlh dlh mtriks yng pil diklikn dengn mtriks ujur sngkr menghsilkn seuh mtriks stun triks Sklr dlh mtriks digonl yng unsur unsurny sm tu sergm ( λ ) triks Orthogonl dlh mtriks yng pil diklikn dengn mtriks uhnny menghsilkn mtriks stun, I triks Singulr dlh mtriks ujursngkr yng determinnny sm dengn nol triks semcm ini tidk mempunyi likn triks nonsingulr dlh mtriks ujursngkr yng determinnny tidk nol, mtriks semcm ini mempunyi likn Ltihn Dikethui mtriks segi erikut: 9
21 ,,,, X X X X X X F E D C B Tentuknlh nili dri: +B -B c B d F e EB f FE Dikethui mtriks segi erikut:,,,, X X X X X X F E D C B Tentuknlh nili dri: +C -B c B d C e EB f BF Tinjulh triks mtriks
22 , B, C, D, E Hitunglh: B D+E c D-E d DE e ED f 7D Dengn menggunkn mtriks mtriks di ltihn no, hitunglh opersiopersi yng erkitn dengn (di mn mungkin) C-D (E)D c (B) C d (BC) e D + E pkh yng dimksud dengn mtriks ujur sngkr? pkh yng dimksud dengn mtriks digonl? 7 pkh yng dimksud dengn mtriks stun? pkh yng dimksud dengn mtriks trnspose? 9 pkh yng dimksud dengn mtriks simetris? pkh yng dimksud dengn mtriks simetris miring? pkh yng dimksud dengn mtriks invers? pkh yng dimksud dengn mtriks Sklr?
23 pkh yng dimksud dengn mtriks Ortogonl? pkh yng dimksud dengn mtriks Singulr? pkh yng dimksud dengn mtriks Non Singulr? 9Dftr Pustk Nn, 99 Pengntr temtik untuk Ilmu Ekonomi dn Bisnis Jkrt: Penerit Erlngg nton, Howrd 99 temtik I Elementer Jkrt: Penerit Erlngg Dumiry 99 temtik Terpn untuk Bisnis dn EkonomiYogykrt:BPFE
24 BB II DETERINN Tujun Instruksionl Umum Setelh mengikuti mt kulih temtik I ini mhsisw kn dpt menyelesikn opersi mtriks, menentukn nili determinn mtriks, menentukn invers mtriks, dpt menyelesikn sistem persmn linier, dn dpt menginterpretsiknny dengn ik dn enr Tujun Instruksionl Khusus Setelh mempeljri ini dn mengerjkn sol perltihnny dihrpkn mhsisw kn dpt: enyeutkn pengertin determinn dengn enr enyeutkn sift sift determinn dengn enr enentukn determinn dengn metode Srrus dengn enr enentukn minor dn kofktor sutu mtriks dengn enr enentukn mtriks kofktor dengn enr enentukn determinn dengn metode ekspnsi kofktor dengn enr 7 enentukn determinn dengn metode reduksi ris dengn enr
25 Pengertin Determinn Determinn dri sutu mtriks dlh penulisn unsur unsur seuh mtriks ujur sngkr dlm entuk determinn, yitu dintr sepsng gris tegk tu Determinn mtriks lzim dituliskn dengn notsi tu D Determinn dengn mtriks dlm tig hl: Determinn unsur unsurny dipit dengn sepsng gris tegk, sedngkn mtriks dipit dengn tnd kurung Determinn senntis erentuk ujur sngkr (jumlh ris jumlh kolom, mn), sedngkn mtriks tidk hrus demikin Determinn mempunyi nili numerik, tetpi tidk demikin hlny dengn mtriks Pencrin nili numerik dri sutu determinn dpt dilkukn dengn cr menglikn unsur unsurny secr digonl triks,det er min nny; Nili numerikny: mk det det B, B
26 Untuk determinn erdimensi etode yng digunkn oleh Srrus untuk menentukn determinn mtriks dlh; + + mk det + + Sift sift Determinn Determinn mempunyi eerp sift khs erkenn dengn nili numerikny Sift sift terseut dlh segi erikut: Nili determinnny dlh nol jik semu unsurny sm
27 Nili determinnny dlh nol jik terdpt du ris tu du kolom yng unsur unsurny sm + + Nili determinnny dlh nol jik terdpt du ris tu du kolom yng unsur unsurny sending + + Nili determinnny dlh nol jik unsur unsur pd slh stu ris tu kolom semuny nol + + Nili determinn tidk eruh jik semu ris dn kolomny sling ertukr letk, dengn kt lin determinn dri mtriks sm dengn determinn mtriks uhnny ; '
28 ' Nili determinn eruh tnd (tetpi hrg mutlkny tetp) jik du ris tu du kolom ertukr letk + + B Determinn dri sutu mtriks digonl dlh hsil kli unsur unsur digonlny Jik setip unsur pd slh stu ris tu kolom diklikn dengn sutu ilngn, nili determinnny dlh sm dengn hsilkliny dengn ilngn terseut 7
29 * + + jik ris kedu dikli Jik semu unsur merupkn penjumlhn dri du ilngn tu leih, determinnny dpt dituliskn segi penjumlhn dri du determinn tu leih Jik nili determinn dri sutu mtriks sm dengn nol, mtriksny diktkn singulr dn tidk mempunyi likn (invers): jdi il, merupkn mtriks singulr dn - tidk d Jik nili determinn dri sutu mtriks tidk sm dengn nol, mtriksny diktkn nonsingulr dn mempunyi likn (invers): jdi il, merupkn mtriks nonsingulr dn - d Pd pengurin determinn (ekspnsi Lplce), nili determinn sm dengn nol jik unsur ris tu kolom diklikn dengn kofktor unsur ris tu kolom yng lin, tetpi tidk sm dengn nol jik unsur sutu ris tu kolom diklikn dengn kofktor unsur ris tu kolom itu sendiri inor dn Kofktor Lplce erhsil mengemngkn sutu cr penyelesin yng erlku umum untuk determinn erdimensi erppun, ykni menggunkn minor dn kofktor dri determinn yng ersngkutn
30 Perhtikn kemli penyelesin determinn erdimensi, + + Dengn mengtur letk suku-sukuny, penulisn ini is diuh menjdi: ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + + Ternyt dengn menutup ris-ris dn kolom-kolom tertentu, determinn terdiri ts eerp determinn-gin (su determinn) Determinn-determinn gin ini dinmkn minor Sutu minor secr umum dilmngkn dengn notsi ij dlh minor dri unsur, diperoleh dengn jln menutup ris ke - dn kolom ke- dri determinn dlh minor dri unsur, diperoleh dengn jln menutup ris ke - dn kolom ke- dri determinn dlh minor dri unsur, diperoleh dengn jln menutup ris ke - dn kolom ke- dri determinn Penulisn determinn dlm entuk minor seperti di ts diuh ke dlm penulisn kofktor Kofktor dri determinn untuk minor tertentu dilmngkn dengn ij i+ Huungn ntr kofktor dn minor: ( ) j ij ij 9
31 ij dlh minor dri unsur ij, diperoleh dengn jln menutup ris ke -i dn kolom ke-j dri determinn ij dlh kofktor dri unsur ij Dengn demikin, + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) + Kofktor ij prktis dlh sm dengn minor ij itu sendiri, jik i + j menghsilkn ilngn genp, dn ij negtif dri ij pil i + j menghsilkn ilngn gnjil Penyelesin determinn menggunkn notsi minor untuk mtriks erdimensi dlh segi erikut; Penyelesin determinn menggunkn notsi minor + n i, j ij ij dlm notsi kofktor menjdi: + + n i, j ij ij
32 tu: n ij j ij untuk setip ris; i,,,, n n ij i ij untuk setip kolom; j,,,, n Definisi Jik dlh serng mtriks n x n dn ij dlh kofktor ij, mk mtriks n n n n mn Dinmkn mtriks kofktor Trnspose mtriks ini dinmkn djoint dn dinytkn dengn dj() Dikethui mtriks segi erikut: 7 9 Hitunglh mtriks kofktorny, sert mtriks djointny
33 Penyelesin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k mtriks kofktorny dlh Sedngkn mtriks djoinny dlh dj () Dikethui mtriks B segi erikut: B
34 Hitunglh mtriks kofktorny, sert mtriks djointny Penyelesinny: 9 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9) ( ) k mtriks kofktorny dlh ( ) ( ) ( ) ( ) 9 7 Sedngkn mtriks djoinny dlh dj (B) 7 9
35 Cr penyelesin determinn yng dikemngkn oleh Lplce dengn menggunkn minor dn kofktor ini, dikenl dengn seutn metode ekspnsi dengn kofktor Dikethui mtriks segi erikut: 7 9 Hitunglh determinn dri mtriks dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng: ris pertm ris kedu c ris ketig (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng ris pertm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + () + ( ) (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng ris kedu)
36 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () + ( ) + () (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng ris ketig) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7( ) + () + 9( ) Dikethui mtriks B segi erikut: B Hitunglh determinn dri mtriks B dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng: kolom pertm kolom kedu
37 c kolom ketig (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng kolom pertm) B B + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) + ( )() + () (Ekspnsi dengn kofktor sepnjng kolom kedu) B B + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 () + ( )( ) + ( 9) 7 Dikethui mtriks C segi erikut: C
38 Hitunglh determinn dri mtriks C dengn menggunkn ekspnsi kofktor Penyelesin: Ekspnsi kofktor sepnjng kolom kedu, C Kren dn niliny msing-msing dlh nol, mk minor yng dicri hny dn Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( )( ) + ( ( )) + ( ) + ( )( ( )) Sehingg diperoleh kofktor ( ) Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris ketig ( ) + + ()( ) ( ) + ( ) + 7
39 + Sehingg diperoleh kofktor ( ) ( ) k determinn dri mtriks C dengn menggunkn ekspnsi kofktor dlh C ( ) + Dikethui mtriks D segi erikut: D Hitunglh determinn dri mtriks D dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng kolom keempt Sepnjng ris pertm Penyelesin: Ekspnsi kofktor sepnjng kolom keempt, D k minor yng dicri dlh,,, Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu
40 ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) + ( ) + ( ) Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) 9 + ( ) + ( ) Sehingg diperoleh kofktor ( ) Pd minor, diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu 9
41 ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) 9 + ( ) + ( ) Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) ( ) + ( ) Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 D ( 9) + + ( 9) + 9 Ekspnsi kofktor sepnjng ris pertm, D k minor yng dicri dlh,,,
42 Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) ( ) Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + (9 ) + ( ( )) ( ) Sehingg diperoleh kofktor ( ) ( ) Pd minor, diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu
43 ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + (9 ) + ( ( )) Sehingg diperoleh kofktor ( ) ( ) Pd minor diselesikn erdsrkn ekspnsi kofktor sepnjng ris kedu ( ) + + ( ) + + ( ) ( ( )) + ( ) + ( ( )) + ( ) + ( ) Sehingg diperoleh kofktor ( ) 9 9 D ( ) + ( 9) + 9 Reduksi Bris Determinn seuh mtriks dpt dihitung dengn mereduksi mtriks terseut pd entuk eselon ris etode ini penting untuk menghindri perhitungn pnjng yng terlit dlm penerpn definisi determinn secr lngsung
44 ul mul kit meninju du golongn mtriks yng determinnny dpt dihitung dengn mudh, tidk peduli erppun esrny ukurn mtriks terseut triks kudrt kit nmkn segitig ts (upper tringulr) jik semu entri di wh digonl utm dlh nol Begitu jug mtriks kudrt kit nmkn segitig wh (lower tringulr)) jik semu entri di ts digonl utm dlh nol Seuh mtriks ik yng merupkn segitig ts mupun yng merupkn segitig wh kit nmkn segitig (tringulr) Seuh mtriks segitig ts x yng umum mempunyi entuk: k nili determinn det Seuh mtriks segitig wh x yng umum mempunyi entuk: k nili determinn det Teorem Jik dlh mtriks segitig ukurn n x n,mk det() dlh hsil kli entri entri pd digonl utm, ykni det
45 7 B ( 7) 7 Teorem islkn dlh serng mtriks n x n Jik dlh mtriks yng dihsilkn il ris tunggl diklikn oleh konstnt k, mk det() kdet() Jik dlh mtriks yng dihsilkn il du ris dipertukrkn, mk det( ) - det() Jik dlh mtriks yng dihsilkn il keliptn stu ris ditmhkn pd ris lin, mk det() det() Tentukn determinn mtriks mtriks erikut ini menggunkn reduksi ris:
46 Penyelesin: ) ( ris) (ris dikurng pd - (-) ke -) ris dikurng (ris ke - - x triks di ts dpt pul diselesikn dengn cr reduksi ris erikut ini:
47 ((-)) - - (fktor ersm ris ke - terleihdhulu dimil) (ris ke - dikurng ris ke -) { ( ) } (tukrkn ris ke -dg ris ke - ) (ris ke - dikurng ris ke -) ( ) (ris ke - ditmh kli ris ke -, ris ke - dikurng ris ke -)
48 7 Contoh; Hitunglh determinn, dimn: 9 Penyelesin: sift determinn) kren sesui selnjutny tidk memerlukn reduksi kit ( ke -) ris ditmh (-)dikli (ris ke Contoh; Setip mtriks erikut mempunyi du ris yng sending, jdi erdsrkn sift sift determinn mk mtriks terseut memiliki determinn seesr nol,, 9 Dikethui mtriks C segi erikut: C
49 Hitunglh determinn dri mtriks C dengn menggunkn reduksi ris Penyelesin: ( ) ) ( ) dikelurkn ke - ( ) dg ( ),, ( ) dg tukrkn ( + ris ersm fktor tukrkn C
50 9 Rngkumn Determinn dri sutu mtriks dlh penulisn unsur unsur seuh mtriks ujur sngkr dlm entuk determinn, yitu dintr sepsng gris tegk tu Determinn mtriks lzim dituliskn dengn notsi tu D Determinn mempunyi eerp sift khs erkenn dengn nili numerikny Sift sift terseut dlh segi erikut: Nili determinnny dlh nol jik semu unsurny sm Nili determinnny dlh nol jik terdpt du ris tu du kolom yng unsur unsurny sm Nili determinnny dlh nol jik terdpt du ris tu du kolom yng unsur unsurny sending Nili determinnny dlh nol jik unsur unsur pd slh stu ris tu kolom semuny nol Nili determinn tidk eruh jik semu ris dn kolomny sling ertukr letk, dengn kt lin determinn dri mtriks sm dengn determinn mtriks uhnny ; ' Nili determinn eruh tnd (tetpi hrg mutlkny tetp) jik du ris tu du kolom ertukr letk 7 Determinn dri sutu mtriks digonl dlh hsil kli unsur unsur digonlny Jik setip unsur pd slh stu ris tu kolom diklikn dengn sutu ilngn, nili determinnny dlh sm dengn hsilkliny dengn ilngn terseut 9
51 9 Jik semu unsur merupkn penjumlhn dri du ilngn tu leih, determinnny dpt dituliskn segi penjumlhn dri du determinn tu leih Jik nili determinn dri sutu mtriks sm dengn nol, mtriksny diktkn singulr dn tidk mempunyi likn (invers): jdi il, merupkn mtriks singulr dn - tidk d Jik nili determinn dri sutu mtriks tidk sm dengn nol, mtriksny diktkn nonsingulr dn mempunyi likn (invers): jdi il, merupkn mtriks nonsingulr dn - d Pd pengurin determinn (ekspnsi Lplce), nili determinn sm dengn nol jik unsur ris tu kolom diklikn dengn kofktor unsur ris tu kolom yng lin, tetpi tidk sm dengn nol jik unsur sutu ris tu kolom diklikn dengn kofktor unsur ris tu kolom itu sendiri enutup ris-ris dn kolom-kolom tertentu, determinn terdiri ts eerp determinn-gin (su determinn) Determinn-determinn gin ini dinmkn minor Sutu minor secr umum dilmngkn dengn notsi ij Kofktor dri determinn untuk minor tertentu dilmngkn i+ dengn ij Huungn ntr kofktor dn minor: ( ) j ij ij Determinn seuh mtriks dpt dihitung dengn mereduksi mtriks terseut pd entuk eselon ris etode ini penting untuk menghindri perhitungn pnjng yng terlit dlm penerpn definisi determinn secr lngsung
52 Ltihn Hitunglh determinn dri: c 7 d k k e 7 f 7 g h 9 k k k + Hitunglh determinn mtriks yng dierikn dengn mereduksi mtriks terseut pd entuk eselon ris 7 7
53 c d 7 e 9 f g 7 islkn 7 Crilh semu minor Crilh semu kofktor
54 islkn Crilh: dn C dn C c dn C d dn C Hitunglh determinn dri mtriks dlm ltihn no (di ts) dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng: ris pertm kolom pertm c ris kedu d kolom kedu e ris ketig f kolom ketig Dlm sol di wh ini hitunglh determinn dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng seuh ris tu kolom pilihn nd: 7
55 c k k k k k k d k k k e f 9 Dftr Pustk Nn, 99 Pengntr temtik untuk Ilmu Ekonomi dn Bisnis Jkrt: Penerit Erlngg nton, Howrd 99 temtik I Elementer Jkrt: Penerit Erlngg Dumiry 99 temtik Terpn untuk Bisnis dn EkonomiYogykrt:BPFE
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
Lebih terperinciBAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
Lebih terperinciA. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
Lebih terperinciMATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
Lebih terperinciBAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Lebih terperinciALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
Lebih terperinciDETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
Lebih terperinci1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
Lebih terperinciA x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
Lebih terperinciPERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
Lebih terperincidet DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
Lebih terperinciMinggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
Lebih terperinciPengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :
MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.
Lebih terperinci3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
Lebih terperinciBab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
Lebih terperincididefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Lebih terperinciKerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
Lebih terperinciM A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
Lebih terperinciDETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I
DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
Lebih terperinciMateri IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinci2.Matriks & Vektor (1)
.triks & Vektor () t Kulih: ljbr Liner dn triks Semester Pendek T. / S Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro,.Kom. STIK IKO YOGYKRT Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 7 88 Fx 7-888 Website:
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinciMATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
Lebih terperinciErna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
Lebih terperinciBAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
Lebih terperinciBab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
Lebih terperincimatematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Lebih terperinciMATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
Lebih terperinciMATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
Lebih terperinciUniversitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
Lebih terperinciRUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :
RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Lebih terperinciVEKTOR. Vektor vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekuivalen.
VEKTOR Vektor dlh sesutu yng mempunyi esrn tu pnjng dn rh. Vektor dpt dinytkn ser geometris segi segmen segmen gris terrh tu pnh pnh di rung- tu rung- dengn rh pnh menentukn rh vektor dn pnjng pnh menytkn
Lebih terperinciBAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
Lebih terperinciA. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan
(Oleh: Winit Sulndri, M.Si) A. Kompetensi Dsr : Menyelesikn sistem persmn liner B. Mteri :. Sistem Persmn Liner dn Mtriks. Determinn C. Indiktor :. Mendefinisikn persmn liner dn sistem persmn liner. Mengenl
Lebih terperinciE-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor
Lebih terperinciVEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
Lebih terperinciVEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
Lebih terperinciVektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Lebih terperinciMatriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Lebih terperinciVEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Lebih terperinciMATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
Lebih terperinciSuku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
Lebih terperinciPERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt
Lebih terperinciBAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
Lebih terperinciVektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Sudrytno Sudirhm Mtriks Dn Sistem Persmn inier hn Kulih Teruk dlm formt pdf tersedi di www.uku-e.lipi.go.id dlm formt pps ernimsi tersedi di www.ee-cfe.org Mtrik dlh susunn tertur ilngn-ilngn dlm ris
Lebih terperinciTopik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm
Lebih terperinciBab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
Lebih terperinciE-LEARNING MATEMATIKA
MOUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYAIN EKO RAHARJO, M.P. NIP. 7 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn IPA BLU UNY TA Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor./H./PL/ Tnggl Juli
Lebih terperinci1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Lebih terperinci3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt
Lebih terperinciVEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
Lebih terperinciBILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn
Lebih terperinciLUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
Lebih terperinciE. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
Lebih terperinciMODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks
Lebih terperinci02. OPERASI BILANGAN
0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.
Lebih terperinciPEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1
PEMBAHASAN A. Teorem Pythgors 1. Lus persegi dn lus segitig siku-siku Perhtikn Gmr 1! D s A s B Gmr 1 Pd gmr terseut tmpk seuh persegi ABD yng pnjng sisiny s stun pnjng. Lus persegi ABD = sisi sisi L =
Lebih terperinci1. Introduction. Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika. Mata Kuliah: Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.
1. Introduction Mt Kulih: Aljbr Liner dn Mtriks Semester Pendek TA 9/1 S1 Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 74 8841
Lebih terperinciDefinisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B
Lebih terperinciFungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan
III FUNGSI 15 1. Definisi Fungsi Definisi 1 Mislkn dn dlh himpunn. Relsi iner f dri ke merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm dihuungkn dengn tept stu elemen di dlm. Jik f dlh fungsi dri ke, mk f
Lebih terperinciDETERMINAN dan INVERS MATRIKS
// DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.
Lebih terperinciDETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
Lebih terperinciINTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Lebih terperinciPENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
Lebih terperinciMatematika Lanjut 1. Onggo Wiryawan
Mtemtik Lnjut 1 Onggo Wirywn Setip mtriks persegi tu bujur sngkr memiliki nili determinn Nili determinn sklr Mtriks Singulr= Mtriks yng determinnny bernili 0 Determinn & Invers - Onggo Wr 2 Mislkn A sutu
Lebih terperinciELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
Lebih terperinci1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.
1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut
Lebih terperinciIRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
Lebih terperinci4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Integrl Tk Tentu dn Integrl Tertentu Pengertin Integrl Jik F dlh fungsi umum yng ersift F = f, mk F merupkn ntiturunn tu integrl dri f. Pengintegrln fungsi f terhdp dinotsikn segi erikut : f d F c notsi
Lebih terperinciOleh. Ir. Hastha Sunardi, MT
Oleh Ir. Hsth Sunrdi, MT VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor.. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn jjrn genjng,
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
Lebih terperinciALJABAR LINIER. Ruang Hasil Kali Dalam. Oleh : Kelompok VI / VB
ALJABAR LINIER Rung Hsil Kli Dlm Dosen Pengmpu : DARMADI, S.Si, M.Pd Oleh : Kelompok VI / VB 1. Agustin Syrswri ( 08411.060 ) 2. Chndr Andmri ( 08411.095 ) 3. Mei Citr D.A ( 08411.186 ) 4. Nur Alfin Lil
Lebih terperinciIAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2
GRMMR CONTEXT-FREE DN PRING entuk umum produksi CFG dlh :, V N, (V N V T )* nlisis sintks dlh penelusurn seuh klimt (tu sentensil) smpi pd simol wl grmmr. nlisis sintks dpt dilkukn mellui derivsi tu prsing.
Lebih terperinciCONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
Lebih terperinciMETODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Glng Ismu Hndoko 1, M Ntsir 2, Sigit Sugirto 2 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm
Lebih terperincimatematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
Lebih terperinci[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]
http://meetied.wordpress.com SMAN BoneBone, Luwu Utr, SulSel Keslhn teresr yng diut mnusi dlm kehidupnny dlh terusmenerus mers tkut hw merek kn melkukn keslhn (Elert Hud) [RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
Lebih terperinciSMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika
Konsep yng erkitn dengn : www.ujinnsionl.we.id Ringksn Teori Ujin Nsionl 011 Sekolh Menengh Ats / Mdrsh Aliyh IPA SMA / MA IPA Mt Peljrn : Mtemtik Brisn dn Deret = U = S 1 1 U n = S n S n1 untuk n =, 3,
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Lebih terperinciLEMBAR KERJA SISWA. Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B.
LEMBAR KERJA SISWA Juul (Mteri Pokok) : Pengertin, Kesmn, Trnspos, Opersi n Sift Mtriks Mt Peljrn : Mtemtik Kels / Semester : XII / Wktu : menit Stnr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor n trnsformsi
Lebih terperinciINTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
Lebih terperincir x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Lebih terperinciselisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk
Lebih terperinciVECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT)
VECTOR DI BIDANG R DAN RUANG R Nurdininty Athri (NDT) VEKTOR DI BIDANG (R ) DAN DI RUANG (R ) Pokok Bhsn :. Notsi dn Opersi Vektor. Perklin titik dn Proyeksi Ortogonl. Perklin silng dn Apliksiny Beerp
Lebih terperinciBAB 3 MATRIKS, SISTEM PERSAMAAN LINEAR, DAN DETERMINAN
iktt Kulih EL- Mtemtik Teknik I BB MTRIKS, SISTEM PERSMN LINER, N ETERMINN Petemun ke- Pokok/Su Pokok Bhsn Tuun Pemelrn Mtriks, Sistem Persmn Liner, dn eterminn Mtriks dn opersin Sistem Persmn Liner; Eliminsi
Lebih terperinciMETODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.
1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng
Lebih terperinciA. PANGKAT. Materi Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA
Mtemtik SMA Semester B : Bentuk Pngkt,Akr & Logritm Mteri Pokok BENTUK PANGKAT,AKAR DAN LOGARITMA Kometensi Dsr : Menggunkn sift dn turn tentng ngkt, kr dn logritm dlm emechn mslh Kometensi Dsr : Melkukn
Lebih terperinci