Daimah 1. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.

Transkripsi

1 METODE NEWTON BISECTRIX UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Daimah 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 89), Indonesia dai.daimah@gmail.com ABSTRACT This article discusses Bisectrix Newton s method to solve a nonlinear equation. The method is obtained by applying bisectrix rule of two gradient lines derived from the application of two iterations of Newton s method in a row. Analytically it is shown that this method has a third order of convergence. Computational tests show that Bisectrix Newton s method is better than Newton s method in terms of the number of iterations for obtaining a root of a nonlinear equation. Keywords: iterative method, Bisectrix Newton s method, Newton s Method, order of convergence ABSTRAK Artikel ini membahas metode Newton Bisectrix untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode ini diperoleh dengan menerapkan aturan Bisectrix dari dua gradien garis yang diperoleh dari penerapan dua iterasi metode Newton berturut-turut. Secara analitik dapat ditunjukkan bahwa metode ini mempunyai kekonvergenan orde tiga. Hasil uji komputasi menunjukkan bahwa metode Newton Bisectrix lebih baik dibandingkan metode Newton dalam hal jumlah iterasi untuk mendapatkan akar dari persamaan nonlinear. Kata kunci: metode iterasi, metode Newton Bisectrix, metode Newton, orde kekonvergenan 1. PENDAHULUAN Teknik untuk menyelesaikan persamaan nonlinear fx) = 0 secara numerik berkembang sangat pesat. Salah satu metode numerik yang paling sering digunakan untuk mencari solusi persamaan nonlinear adalah metode Newton. Bentuk umum dari metode Newton [] yaitu x n+1 = x n fx n), n = 0,1,, 1) f x n ) Repository FMIPA 1

2 dengan f x n ) 0. Metode Newton memiliki orde kekonvergenan kuadratik []. Metode Newton banyak mengalami modifikasi dengan tujuan untuk memperkecil jumlah iterasi, memperkecil tingkat kesalahan dan meningkatkan orde kekonvergenan. Pada artikel ini dibahas modifikasi pada metode Newton dengan konsep Bisectrix, yang yang merupakan review dari karya Gheorghe Ardelean [1]. Pembahasan dimulai dengan penjelasan metode Newton dan kekonvergenannya ke akar persamaan nonlinear. Dibagian dua dilakukan penurunan metode Newton Bisectrix dan kekonvergenannya ke akar persamaan nonlinear. Dibagian tiga diberikan simulasi numerik dengan melakukan perbandingan dengan metode Newton dan metode Newton Bisectrix.. METODE NEWTON BISECTRIX UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR.1 Metode Newton Bisectrix Metode Newton Bisectrix adalah metode iterasi yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear fx) = 0 yang dikembangkan dari metode Newton. Misalkan f adalah fungsi kontinu dan mempunyai turunan pertama dan kedua pada interval I. Misalkan x n adalah iterasi ke-n yang merupakan akar hampiran dari akar α. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut. Gambar 1. Ilustrasi Geometris Metode Newton Bisectrix Proses untuk mendapatkan metode Newton Bisectrix adalah dengan memanfaatkan kemiringan garis singgung yang mempunyai sudut yang sama besar. Misalkan Repository FMIPA

3 L 1 adalah garis singgung dengan kemiringan f x n ) yang menyinggung kurva y di titikx n,fx n )). Apabilay n merupakantitikpotonggarisl 1 dengansumbu-x, maka nilai y n dapat dihitung dengan menggunakan metode Newton pada persamaan 1). Selanjutnya dengan menggunakan y n akan diperoleh garis singgung L yang menyinggung kurva y di titik y n,fy n )) dengan kemiringan f y n ). Misalkan garis L adalah garis yang sejajar dengan L, maka kemiringan garis L adalah f y n ). Misalkan ϕ dan θ adalah masing-masing sudut antara garis L 1 dan L dengan sumbu-x. Apabila nila x n+1 merupakan nilai hampiran berikutnya maka dengan menggunakan konsep bisectrix sudut antara L dan sumbu-x adalah ϕ+θ. Sehingga kemiringan garis L adalah sebesar ) ϕ+θ tan = 1 cosϕ+θ). sinϕ+θ) = 1 cosϕ)cosθ)+sinϕ)sinθ) sinϕ) cosθ) + sinθ)cosϕ) 1 cosϕ)cosθ) 1+tanϕ)tanθ) = tanϕ) tanθ) ) ϕ+θ tan = tanϕ)tanθ)+ 1+tan ϕ))1+tan θ)) 1. ) tanϕ) + tanθ) Dengan menggunakan metode Newton, untuk menentukan nilai iterasi ke n+1 maka diperoleh bentuk fx n ) x n+1 = x n ). ) ϕ+θ tan Jika persamaan ) disubstitusikan ke persamaan ), maka diperoleh atau x n+1 = x n x n+1 = x n fx n ) tanϕ)tanθ)+ 1+tan ϕ))1+tan θ)) 1 tanϕ) + tanθ) tanϕ)+tanθ))fx n ) tanϕ)tanθ)+ 1+tan ϕ))1+tan θ)) 1. Karena ϕ dan θ adalah masing-masing sudut antara garis L 1 dan L dengan sumbux, maka tanϕ) = f x n ) dan tanθ) = f y n ) sehingga diperoleh f x n )+f y n ))fx n ) x n+1 = x n f x n )f y n )+, n = 0,1,, 4) 1+f x n ) )1+f y n ) ) 1 dengan y n = x n fx n), n = 0,1,, 5) f x n ) Repository FMIPA,

4 Persamaan 4) adalah metode iterasi baru yang disebut Metode Newton Bisectrix. Berikut akan ditunjukkan bahwa orde kekonvergenan dari Metode Newton Bisectrix adalah kubik.. Kekonvergenan Metode Newton Bisectrix Sebelum menunjukkan kekonvergenan metode Newton Bisectrix, terlebih dahulu akan dijelaskan teorema iterasi titik tetap sebagai berikut. Teorema 1 Iterasi Titik tetap) [1] Suatu iterasi titik tetap x n+1 = Fx n ), n = 0,1, akan konvergen dengan orde p jika F mempunyai turunan secukupnya pada interval yang memuat α dan titik tetap dari F memenuhi kondisi dan F p) α) 0. F α) = F α) =... = F p 1) α) = 0, Secara analitik dengan menggunakan metode iterasi titik tetap ditunjukkan bahwa metode yang dihasilkan mempunyai orde kekonvergenan kubik. Teorema Kekonvergenan Metode Newton Bisectrix) [1]. Misalkan persamaan nonlinear fx) = 0 mempunyai akar α dan fungsi f mempunyai turunan pertama dan kedua yang kontinu disetiap interval I yang memuat akar α dan misalkan f α) 0. Jika x 0 adalah nilai tebakan awal yang cukup dekat ke α, maka metode iterasi pada Persamaan 4) memiliki orde kekonvergenan kubik dengan persamaan tingkat kesalahan dengan e n+1 = C A + C A = ) e n +Oe 4 n), 1 1+f α). Bukti. Misalkan α adalah akar dari persamaan nonlinear fx) = 0 maka fα) = 0, Karena f mempunyai akar sederhana maka f α) 0. Misalkan x n+1 = Fx n ), n = 0,1,,... Lakukan ekspansi Taylor untuk Fx n ) di sekitar x n = α x n+1 = Fx n ) =Fα)+F α)x n α)+ F α) x n α)! + F α) x n α) +Ox n α) 4 ). 6)! Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa F adalah iterasi titik tetap. Perhatikan bahwa x n+1 = x n f x n )+f y n ))fx n ) f x n )f y n )+ 1+f x n ) )1+f y n ) ) 1. 7) Repository FMIPA 4

5 Untuk x n = α, maka Fα) = α f α)+f y n ))fα) f α)f y n )+ 1+f α) )1+f y n ) ) 1. Karena fα) = 0 dan f α) 0, maka diperoleh Fα) = α. 8) Karena Fα) = α maka F adalah iterasi titik tetap, akibatnya Teorema 1 berlaku. Perhitungan nilai F α), F α) dan F α) akan menggunakan bantuan software Maple 1) yang memberikan hasil sebagai berikut Misalkan A = F α) = 0. 9) F α) = 0. 10) F α) = 1 f α)) +f α)f α)+f α)) f α). 11) f α)) 1+f α) ) 1 maka persamaan 11) menjadi 1+f α) F α) = 1 f α)f α)a+f α)). 1) f α)) A Misalkan C = f α) f α) dan C = f α), sehingga dari persamaan 1) diperoleh 6f α) F α) C =! A + C ). 1) Selanjutnya substitusikan persamaan 9), 10), dan persamaan 1) ke persamaan 6), maka diperoleh C x n+1 = α+ A + C ) x n α) +Ox n α) 4 ). 14) Karena x n α = e n maka persamaan 14) menjadi C x n+1 = α+ A + C ) e n +Oe 4 n) C x n+1 α = A + C ) e n +Oe 4 n) C e n+1 = A + C ) e n +Oe 4 n). 15) Dari persamaan 15) yang diperoleh, maka iterasi titik tetap memiliki orde kekonvergenan kubik. Berikut adalah program software Maple 1 untuk menghitungan nilai F α), F α) dan F α) yang ada pada Teorema. Repository FMIPA 5

6 > restart: > p:=x-fx)/df)x); p = x fx) > y:=unapplyp,x); y := x x fx) > x[n+1]:=x-fx)*df)x)+df)@y)x))/df)x)*df)@y)x))+ sqrt1+df)x)^)*1+df)@y)x)^))-1); fx) +f x fx) )) f x n+1 = x x) f x fx) ) + 1+f x) ) 1+f x fx) ) ) 1 > F:=unapplyx[n+1],x); y := x x f x fx) ) + > algsubsfalpha)=0,falpha)); fx) +f x fx) 1+f x) ) )) 1+f x fx) > simplifyalgsubsfalpha)=0,df)alpha)),symbolic); > simplifyalgsubsfalpha)=0,d@@)f)alpha)),symbolic); α 0 0 ) ) > F[alpha]:=simplifyalgsubsfalpha)=0,D@@)F)alpha)),symbolic); Fα := 1 f α)) +f α)f α)+f α)) f α) f α)) 1+f α) ) > F[alpha]:=simplifyalgsubs1+Df)alpha)^)=A,F[alpha])); Fα := 1 f α)af α)+f α) f α) A 1 Repository FMIPA 6

7 > f)alpha)/*df)alpha))=c,expand1/6*f[alpha])))); c A + c. UJI KOMPUTASI Pada bagian ini dilakukan uji komputasi untuk membandingkan kecepatan dalam menemukan akar hampiran dari persamaan nonlinear antara Metode Newton dan Metode Newton Bisectrix. Berikut ini adalah contoh fungsi [] yang digunakan untuk membandingkan antara Metode Newton dan Metode Newton Bisectrix. f 1 x) = x 4x +10 f x) = sin x) x +1 f x) = x e x x+ f 4 x) = cosx) x f 5 x) = x 1) 1 f 6 x) = x 10 f 7 x) = xe x sin x)+cosx)+5 f 8 x) = x sin x)+e x cosx)sinx)) 8 f 9 x) = e x +7x 0) 1 Hasil komputasi untuk contoh-contoh di atas, ditunjukkan pada Tabel 1. Repository FMIPA 7

8 Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi dari Metode Newton dan metode Newton Bisectrix f i x 0 Metode n x n fx n ) x n x n 1 Newton e 1.170e Bisectrix e.6415e 11 f 1 x) Newton e e 10.0 Bisectrix e e 08 Newton e e Bisectrix e.895e 08 f x) Newton e 1.041e 11.0 Bisectrix e e 1 Newton e e 14.0 Bisectrix e e 14 f x) Newton e e 1.0 Bisectrix e 1.176e 07 Newton e e Bisectrix e e 1 f 4 x) Newton e.449e Bisectrix e e 07 Newton e e 14.5 Bisectrix e e 06 f 5 x) Newton e e 11.5 Bisectrix e e 08 Newton e e Bisectrix e e 07 f 6 x) Newton e e 09.0 Bisectrix e e 14 Newton e e 11.0 Bisectrix e e 11 f 7 x) Newton e e Bisectrix e e 14 Newton e.845e 1 4. Bisectrix e e 07 f 8 x) Newton e e Bisectrix e e 08 Newton e e 10.5 Bisectrix e e 10 f 9 x) Newton e 4.507e 1.5 Bisectrix e e 1 Repository FMIPA 8

9 Tabel 1 merupakan tabel perbandingan hasil komputasi dari metode Newton dengan metode Newton Bisectrix. Fungsi f n menyatakan fungsi persamaan nonlinear, x 0 merupakan tebakan awal iterasi, n merupakan banyaknya iterasi, x n merupakan akar hampiran yang diperoleh dari setiap metode, fx n ) merupakan nilai mutlak dari fungsi untuk akar hampiran ke-n dan x n x n 1 merupakan selisih nilai mutlak antara dua akar hampiran yang berdekatan. Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa metode Newton Bisectrix memerlukan iterasiyanglebih sedikit jika dibandingkan denganmetode Newton. Oleh karena itu metode Newton Bisectrix dapat dikatakan lebih cepat menemukan akar hampiran yang diharapkan. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si. dan Ibu Musraini M,. M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan skripsi yang menjadi acuan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Ardelean, G. A New Third-Order Newton-Type Iterative Method for Solving Nonlinear Equations, Appl. Math. Comput. 19: [] Atkinson, K. E Elementary Numerical Analysis, nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [] Weerakoon, S & Fernando, T. G. I A Variant of Newton s Method with Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letters, 1:87 9. Repository FMIPA 9