BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi

Transkripsi

1 BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH MSi PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAKARTA

2 ACUAN PROSES PEMBELAJARAN KALKULUS PEUBAH BANYAK A. INDENTITAS MATA KULIAH Koe Kliah : TI3 Nama Mata Kliah : Kalkls Pebah Baak Deskripsi : Mahasiswa memahami prisip-prisip pera fgsi lebih ari sa ariabel a itregral gaa tk apat iaplikasika paa matakliah lai ata alam kehipa sehari-hari. Semester : IV Beba Kreit : sks Persarat : Kalkls II & III B. KOMPETENSI MATA KULIAH. Mahasiswa memahami kosep-kosep asar ag iperlka tk mempelajari biag optimisasi.. Mahasiswa memahami kosep tetag fgsi pebah baak. 3. Mahasiswa memahami kosep serta trampil alam memakai rms a metoe tra parsial tk meelesaika masalah.. Mahasiswa memahami kosep serta trampil alam memakai rms a metoe peghampira ilai fgsi tk meelesaika masalah. C. SUBSTANSI KAJIAN MATA KULIAH. Itegral Lipit Da a aplikasia pertema &. Itegral lipat Tiga pertema 3 & 3. Itegral Garis pertema 5 3. Latiha Soal pertema 6 5. UTS pertema ke 7 6. Membahas soal UTS pertema 8 6. Deferesial parsial pertema 9 & 3. Deret Forier perioe π pertema 3 8. Deret Forier perioe p pertema 5 9. Latiha soal 6 D. METODE PEMBELAJARAN. Kelas. Ttorial

3 E. EVALUASI PROSES PEMBELAJARAN. Tgas Iii. Kis 3. Ujia Kompoe a bobot peilaia:. Kehaira %. Tgas a Kis 5 % 3. Ujia Tegah Semester 5 %. Ujia Akhir Semester 5 % Skala Peilaia Skala peilaia Nilai Hrf Nilai Mt Nilai Absolt Keteraga A 8 Lls A Lls B Lls B Lls B Lls C Lls C Lls C Tiak Lls D Tiak Lls D Tiak Lls E < Tiak Lls F. PERSYARATAN KUALIFIKASI DOSEN Miimal Peiika S ega latar belakag Matematika G. FASILITAS PEMBELAJARAN Saraa pejag ag iperlka. Rag perkliaha ega fasilitas White Boar a Oerhea projector tk perkliaha. Kepstakaa H. DAFTAR PUSTAKA. Erwi Kreszig Matematika Tekik Lajta Folla G.B. Forier Aalsis a Its Applicatios Wasworth & Brooks Mhamma Razali Mahm N. Siregar Fariawat Marpag Kalkls Differesial Agsts.

4 . Wikaria Gazali Kalkls Lajt Ysf Yaha D. Srai HS. Ags S. Matematika Dasar Pergra Tiggi Febrari. INTEGRAL RANGKAP INTEGRAL GANDA Itegral tk fgsi sat ariable kita membetk sat partisi ari iteral [ab] mejai iteral-iteral ag pajaga Δ k k 3.. b f lim f k k a k Dega cara ag sama Kita efiisika itegral tk fgsi a ariable. Misalka fgsi z f iefiisika paa sat aerah terttp R i biag o. Kemia aerah ii ibagi atas bah sb aerah ag masig-masig lasa A A A 3 A Dalam setiap sb aerah pilih sat titik P k k k a betklah jmlah : k f k k k A f A f A... f A Jika jmlah sb aerah maki besar ~ maka itegral ragkap lipat a ari fgsi f atas aerah R iefiisika : f A lim f k R k k k A Utk meghitg itegral lipat a apat igaka itegral berlag ag itlis alam betk : A a. R f f R b a f f f

5 imaa itegral ag aa alam krg hars ihitg terlebih ahl ega megaggap ariabl kostata kemia hasila iitegral kembali terhaap. A b. R f f R b a f f f imaa itegral ag aa alam krg hars ihitg terlebih ahl ega megaggap ariable kostata kemia hasila iitegral kembali terhaap. Jika itegral lipat a iatas aa maka a a b secara mm aka memberika hasil ag sama. INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG Betk mm : f A f R imaa : R { ; a bc } abc a aalah kostata Cotoh : π siθ r cos θ θr INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG

6 a. R f A b a f f f imaa : R { ; f f a b } b. R f A c f f f imaa : R { ; f f c } Cotoh : APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Aplikasi itegral lipat a ag betk mma : R apat ijelaska sbb :. LUAS f A Las biag apat ipaag sebagai itegral lipat a jika f sehigga itegral lipat a mejai : A A ata A R Dalam kooriat polar : R R A R A θ β υ ρρθ θ α ρ cotoh :

7 Jawab : A Hitg las aerah ag ibatasi oleh a R A TURUNAN PARSIAL a. Fgsi a pebah ata lebih t 63 Fgsi a pebah ata lebih apat itlis alam betk eksplisit ata implisit. Jika fgsi a pebah iataka alam betk eksplisit maka secara mm itlis alam betk z F. Sebalika jika fgsi itliska alam betk implisit secara mm itlis alam betk Fz. Cotoh:. z. z l 3. z si si. z z 5. - e si 6. l arcta 7. arc ta - z Paa cotoh i atas fgsi ag itlis alam betk eksplisit aalah paa cotoh a 3. Seagka cotoh 5 6 a 7 aalah fgsi ag itlis alam betk implisit. Sema fgsi alam betk eksplisit ega mah apat iataka alam betk implisit. Aka tetapi tiak sema betk implisit apat iataka alam betk eksplisit. Utk meggambar fgsi a pebah apat ega membat smb-smb kooriat ait smb smb a smb z seperti gambar berikt:

8 Z X Y b. Tra Parsial Fgsi Da a Tiga Pebah Misal z F aalah fgsi ega ariable bebas a. Karea a ariable bebas maka terapat beberapa kemgkia ait:. iaggap tetap seagka berbah-bah.. iaggap tetap seagka berbah-bah 3. a berbah bersama-sama sekaligs. Paa kass a iatas megakibatka fgsia mejai fgsi sat pebah sehigga fgsi tersebt apat itrka ega meggaka efiisi tra pertama ag telah ipelajari paa kalkls iferesial. Defiisi Misal z F aalah fgsi a pebah ag terefiisi paa iteral tertet tra parsial pertama z terhaap a iotasika ega oleh Z Lim a F F z a z a iefiisika Z Lim F F Asalka limita aa. Cotoh : Tetka tra parsial pertama ari

9 a. z Jawab Z Lim F F Lim Lim. Lim Lim Lim Z Lim F F Lim Lim. Lim

10 Lim Lim b. z Si Jawab Z Lim F F Lim si si Lim cos si Lim cos si Lim si cos Lim Lim si cos Lim. / cos / cos Z Lim F F Lim si si

11 Lim cos si Lim cos si Lim si cos Lim Lim si cos Lim. / cos / cos Utk memahka alam meetka tra parcial apat ilakka ega meggaka metoe seerhaa sebagai berikt. Aaika z F maka tk meetka z sama artia ega merka ariabel a ariabel iaggap kosta a selajta itrka. Demikia pla tk meetka z sama artia ega merka ariable a ariable iaggap kostat lal itrka. Dega cara ag sama aaika W Fz aalah fgsi tiga pebah ag terefiisi alam selag tertet maka tra parsial pertama iataka ega W W W a z W W W z F z F z Lim o F z F z Lim o F z z F z Lim z o z Asalka limita aa. Cotoh: ag secara bertrt iefiisika oleh:

12 . Ditetka Fz z ta Carilah tra parsial pertamaa. Dega metoe seerhaa iapat F z a. z z - F z b. z z - F z c. z Utk latiha para pembaca tetka tra persial fgsi-fgsi i bawah ii:. z l. z z 3 - si. z z arc ta 6. Fz z z 7. Fz 3 z 8. Fz si e 9. Fz arc si z

13 Selajta tra parsial fgsi a pebah ata lebih apat itetka tra parsial ke tk tra parsiala iamaka tra parsial tigkat tiggi. Dega meggaka aalogi fgsi sat pebah apat itetka tra parsial tigkat 3 a setersa. Jai aaika z F maka: Tra parsial tigkat a aalah a z z z z Demikia pla jika W Fz Tra parsial tigkat a aalah z W z W W z W z W W z W W W Demikia setersa. Baaka tra tigkat itetka oleh rms m imaa m baaka ariabel a mejkka tra ke- Cotoh Tetka z a z ari fgsi berikt:. z Jawab Dari z iperoleh z z Sehigga z z

14 z Da 3 3. z 3. z si 3 cos. Differesial Total a Tra Total Misal z F a fgsi tersebt apat itrka terhaap ariable a maka iperoleh tra parisal terhaap a tra parsial terhaap ag secara bertrt-trt iotasika ega z F a z F Dari a iperoleh: F F z a z Jmlah iferesiala iperoleh: F F z Betk i atas isebt iferesial total. Cotoh.. Jika r ega pajag sisi ag peek pajag sisi ag pajag

15 r Differesial total r r imaa r iapat r r r r cm Sat tempat berbetk silier tabg ega jari-jari alasa 5 cm a tiggia Jawab. cm. Karea pemaia tiggi slier bertambah 5 cm/et a tiggia berkrag cm/et. Hitglah perbaha ag terjai terhaap olme a las permkaa silier. Misal jari-jari tabg r tiggi h a olme I maka I πr h I Irh Diketahi r 5 cm h Dega efiisi tra total r h 5cm / et cm / et t t I Irh ega r a h bergatg paa wakt t maka iperoleh I t I r r t I h r π rh πr t h t h t Tra Parsial Fgsi Implisit Tra Fgsi Implisit Pebah

16 Fgsi implisit a pebah secara mm iataka ega F. Utk meetka tra parsiala apat ilakka ega meggaka kaiah ifferesial total. Karea f maka f Ata f f f f f f f f Carilah ari b. f -e si FUNGSI IMPLISIT PEUBAH X DAN Y aka icari mert efiisi tra total f f e e cos si 3. l - arc ta FUNGSI IMPLISIT PEUBAH X DAN Y f f Tra Fgsi Implisit 3 Pebah

17 Fgsi Implisit 3 pebah secara mm iataka alam betk fz Cotoh: Cotoh. z z. e z zsi 3. z 5 Fgsi Implisit Pebah BU iataka ega G F Ata itlis alam betk F a G ega ariable berpasaga a ariabel berpasaga a F serta G tiak apat beriri seiri. Utk lebih jelasa perhatika cotoh berikt ii. Cotoh. Ata itlis ega a setersa.

18 Tra Parsial ilakka ega meggaka metoe sbstitsi. Dalam F a G ariabel sejeis ariabel sejeis sehigga tiak apat itetka a. Sehigga tra parsiala aalah a setersa. Utk meetka tra parsial pebah lagkah itemph aalah merka fgsi terhaap pebah ag imaks. Cotoh:. Tetka a ari a - iapat -----à ata ----à -- ata Setelah i elimiasi iapat a - iapat itrka terhaap ag tiak boleh ata -----

19 ata Berasarka persamaa a ega metoe elimiasi iperoleh Diapat [---] -- Diperoleh. Cari tra parsial pertama ari a ari persamaa a Mecari Persamaa.

20 Persamaa... ikali ikali Maka DERET FOURIER Sat fgsi ƒ isebt fgsi perioik ega pewrioe T jika tk sema berlak : ƒ T ƒ isii T sat kostata Pos Cotoh : a. ƒ si mempai perioe-perioe п п 6 п si si п si п si 6 п si si k пп

21 imaa k bilaga blat positif п п п 3 п п п п aalah perioe terkecil ata perioe arisi b. perioe ari si ata cos tk blat positif aalah п/ c. ƒ tg tg tg п tg п tg 3п tg tg k п perioe ari tg aalah п. Fgsi perioik ega perioe ƒ < <

22 < < I. Fgsi Gajil Sat fgsi ƒ isebt fgsi gajil bila tk sema berlak ƒ - - ƒ Cotoh : a. ƒ si ƒ - - si terhaap b. c. ƒ 3 5 ƒ ƒ Sat fgsi ƒ isebt fgsi gajil bila kra simetris titik II. Fgsi Geap Fgsi ƒ isebt bila tk sema berlak. ƒ - ƒ Cotoh a. ƒ cos ƒ - cos - cos ƒ - ƒ b. ƒ ƒ _ -7

23 ƒ - ƒ c. ƒ -3 < < 3 sat fgsi ƒ isebt fgsi geap bila cre fgsi tersebt letaka simetris terhaap smb tegak. Deret Forier Utk Fgsi Dega Perioe п Diambil Deret a. a cos a cos a3 cos b si b si b3 si 3 ata a ]. [ a cos b si isebteretgoeometri... Rms Pokok 3. si. cos 5. cos m cos m 6. cos 7. cos m si 8. si msi 9. si Ditetka ƒ perioik ega perioe п maka

24 a. ƒ a cos b si a. Mecari a Betk i itegralka ari X sampai X п terapat a a ] a cos a cos... a a cos b si cos b si a b si... b

25 si Sesai 3 a terapat a. a b. Mecari a Betk ikalika cos. Kemia i itegralka ke Dari sampai п a a cos cos cos acos bsi cos a b cos cos a cos cos... a cos cos si b cos si... cossi b

26 cos cos a п. a cos c. Mecari b Betk ikalika si kemia i itegralka ke ari sampai п a si si a si si a si a cos b si si cos a si cos a3 si cos 3... a si cos b si si b si si... b si. b si si b 3. b si

27 Betk am 3 isebt koefisie forier ari.. a acos bsi Dimaa : a a cos b si Cotoh :. Tetka eret Forier X п Jawab:. a a cos a cos

28 cos si a cos cos a 3 ; 3 ; ; a a a a b si b si si cos si cos 3 ; ; 3 b b b Deret Forier. X ; п aalah. si cos b a a... cos 3 cos3 cos cos 3 8 X si 3 si 3 si si... cos 3 cos3 cos cos 3 X

29 si si si 3 si 3 Cotoh. Tetka eret Forier. X ; - п < < п aalah Jawab : a X 3 3 a cos a si cos a cos cos cos cos b si b cos si cos cos

30 Cotoh. Tetka eret Forier Peelesaia:. X ; - п < < п

31 Cotoh :. Tetka eret Forier X 3 п Peelesaia :.

32

33 Cotoh 3. Tetka eret Forier Peelesaia :. SiX ; - п < < п

34

35

36

37 DAFTAR ISI Hal A. INTEGRAL RANGKAP. Itegral Gaa. Itegral Lipat Da Dega Batas Persegi pajag 5 3. Itegral Lipat Da Dega Batas Bka Persegi Pajag. Aplikasi Itegral Lipat Da B. Deret Forier 6

38 DAFTAR PUSTAKA Erwi Kreszig Matematika Tekik Lajta 993. Folla G.B. Forier Aalsis a Its Applicatios Wasworth & Brooks 99. Mhamma Razali Mahm N. Siregar Fariawat Marpag Kalkls Differesial Agsts. Wikaria Gazali Kalkls Lajt 7. Ysf Yaha D. Srai HS. Ags S. Matematika Dasar Pergra Tiggi Febrari.

39 BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH MSi PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAKARTA

40 BUKU AJAR MATEMATIKA REKAYASA Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH MSi PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN

41 JAKARTA