BAB V TURUNAN FUNGSI. Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB V TURUNAN FUNGSI. Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah"

Transkripsi

1 BAB V TURUNAN FUNGSI Stadar Kompetesi Meggaka kosep it gsi da tra gsi dalam pemecaa masala Kompetesi Dasar Meggaka siat da atra tra dalam peritga tra gsi aljabar Meggaka tra tk meetka karakteristik sat gsi aljabar da memecaka masala Meracag model matematika dari masala ag berkaita dega ekstrim gsi aljabar Meelesaika model matematika dari masala ag berkaita dega ekstrim gsi aljabar da peasiraa A Tra Fgsi Pegertia Tra Fgsi Tra gsi disembarag titik dilambagka dega dega deiisi Proses mecari dari disebt pera; dikataka bawa ditrka tk medapatka Coto : Carila tra gsi ag diataka dega + pada Tra pada iala 9 Coto : Carila tra gsi ag ditetka ole lagsg dari deiisi Coto Diketai / Carila lagsg dari deiisi 9

2 Latia Gaka deiisi gsi tra tk tiap-tiap soal di bawa ii tk memeriksa ilai ; / ; - / ; / ; - / ; Tra Beberapa Fgsi Kss i Tra gsi-gsi kosta Jika c, dega c kosta, maka: c c Tra gsi kosta adala ol ii Tra bilaga blat positi Utk, maka, da Utk, maka, da Utk, maka da Dari raia di atas diperole Bila diperatika dega seksama, tampak pola tra tk,, da setersa, seigga dapat disimplka tra dari adala

3 Kesimpla tersebt dapat dibktika dega meggaka deiisi tra sebagai berikt Misalka, maka k adala kombiasi k sr dari sr, dega!!! k k k Selajta - Jika, maka -, dega bilaga blat positi iii Tra a bilaga blat positi Misalka a, a sat kostata, maka a a a ] [ Berdasarka siat it diperole a ] [ a ] [ a a a a a - Jika a, maka a -, dega bilaga blat positi i Tra pagkat egatie da rasioal dari Utk -, maka -, da - Utk -, maka -, da Dari raia di atas diperole :

4 / ata - / ata - / ata - - / ata Bila dicermati diperole pola bawa tra dari -, maka - - Jga bila -, maka - -, da setersa Dega demikia bila -, maka - -, berlak bagi bilaga blat tk Jika, maka, dega bilaga blat, Coto : Diketai Carila : Bagaimaa bila dega bilaga rasioal? Misalka, maka Jika dega bilaga rasioal, maka - Coto Diketai Carila : Bila, maka : Latia Carila tra dari : ½ / / ½ / ½

5 Siat-siat Tra Fgsi Bila g da gsi-gsi ag memiliki tra da k kostata, berlak: i Jika k g maka k g ii Jika + maka + iii Jika - maka - i Jika maka + Jika maka ] [ ' ' Bkti i Jika k g maka kg kg g g k k g g k g Bkti ii Jika + maka + Bkti iii serpa dega bkti ii Bkti i Jika + maka ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ + + Bkti serpa dega bkti i Coto Carila tra dari + + Misalka, da w, maka, da w Selajta + w da + w +

6 Coto 7 Carila tra - + Dega meggaka siat i Misalka - da +, maka da + Jika maka + seigga trra dari - + adala ⁵+8²-³- Hasila sama dega cara megalika dal ait - + ⁶+³-⁴-, da 8⁵+8²-³- Coto 8 Carila tra Dega meggaka siat i Misalka da + maka 8 - da ' ' Jika maka [ ] Selajta tra dari 8 [ ] adala 8 Latia Carila tra dari gsi-gsi berikt Jika, -, g - da g Carila -g ; g ; da /g 8 Jika 7,, g da g - Carila +g ; g ; da /g Arti Geometris Tra a Gardie Garis siggg Kra Peratika graik gsi pada gambar berikt Titik A, B, da C terletak pada graik, bila absisa bertrt-trt,, da, maka koordiat titik A,, B,, da C, Garis AB memotog graik B A memiliki gradie Garis AC memotog graik memiliki B A

7 7 C A gradie Misalka selisi absis titik C da absis titik C sama C A dega, maka +, seigga gradie garis AC sama dega 8 B C A - Gambar Jika titik C pada graik ters digeser medekati titik A, maka medekati ata seigga selisia ait medekati, ditlis dilambagka dega ag memiliki maka gradie garis siggg kra di titik A, Coto 9 : Tetka gradie garis siggg kra - di titik -, maka Gradie garis siggg di adala b NotasiLeibiz Fgsi : + biasa ditlis +, tetapi serig jga ditlis sebagai + Jika + maka, da bila + serig ditlis Dari deiisi gsi tra dari adala, melambagka perbaa ilai Dalam berbagai peerapa kalkls perl sekali lambag serig ditlis sebagai, sedag perbaa ilai ata ag sesai disebt dilambagka dega ata Jika, maka + da d Ole Leibiz ditlis sebagai d 8 B C A - Gambar 7

8 8 Coto Jika C + dc, tetka d dc C - d Tgas Tetka gradie garis siggg, di titik, Tetkala koordiat titik pada kra + + seigga garissiggg kra di titik it mempai gradie Tetka persamaa garis siggg dari kra + ag melali -, Tetkala persamaa garisiggg kra / di titik potog kra dega smb X Atra Ratai Jika o, maka Coto : Carila bila + Cara pertama + 8³+²++, maka Cara keda Meggaka siat i jika o, maka Utk +, misalka dega da +, seigga o Bila maka da bila + maka + + Coto : Carila bila o dega da + -, maka da Dega meggaka otasi Leibiz, Teorema Atra Ratai dapat d d d diataka sebagai berikt: Jika da g, maka d d d 8

9 9 Coto Carila bila + Misalka + maka + d d d da d seigga d d d d d d Tgas Carila tra dari gsi-gsi berikt B Karakteristik Graik Fgsi Kra Naik da Kra Tr Bila sat kra dari graik gsi digambarka pada koordiat kartesis, kra dikataka aik, bila maki ke kaa kra maki tiggi, seperti terliat pada Gambar Sat kra dikataka tr bila maki ke kaa kra maki reda, seperti pada Gambar Gambar Gambar Peratika Gambar, pada iteral - < < - kra aik, pada iteral - < < kra tr, da pada iteral < < kra aik Sedagka pada - da kra tidak aik map tr, dikataka kra mecapai stasioer Titik A da B disebt titik stasioer kra A B - Gambar 9

10 Hbga Tra Fgsi dega Graik Fgsi Peratika Gambar, pada iteral - < < graik aik da garis-garis siggga membetk sdt lacip dega smb positi, artia gradie-gradie garis siggg graik pada saat kra it aik adala positi Dega kata lai, graik gsi aik bila > Peratika Gambar 7, pada iteral < < graik tr da garis-garis siggga membetk sdt tmpl dega smb positi, artia gradie-gradie garis siggg graik pada saat kra tr adala egati Dega kata lai, graik gsi tr bila < Gambar Gambar 7 Coto Bila - +7, tetka dimaa graik aik da graik tr - +7 maka - Graik aik bila > - > - > -+> Batas-batas iteral adala -+ da - Utk daera pada garis bilaga sebela kiri - it daera positi + ata egati - sbsitsika sembarag bilaga sebela kiri -, misala - diperole positi + Utk daera pada garis bilaga atara - da it daera positi + ata egati - sbsitsika sembarag bilaga sebela kiri di atara keda bilaga, misala diperole egati - Begit jga tk memeriksa daera garis bilaga sebela kaa, ambil bilaga, kemdia sbsitsika ke positi Graik aik pada iteral garis bilaga ag bertada positi + ait, - < <- da < < Dega meggaka garis bilaga ag sama, sekaligs diperole iteral dimaa graik tr, ait pada iteral garis bilaga ag bertada egati - Graik tr pada iteral - < < Ii sesai dega graik - +7 pada Gambar 8

11 Gambar 8 Tgas Utk setiap gsi di bawa ii, tetkala iteral-iteral dimaa gsi it aik da dimaa gsi it tr / Tjkkala graik gsi + tidak pera tr Titik Stasioer Pada Gambar 9, sebela kiri titik A kra aik, da sebela kaa titik A kra tr, sedagka di titik A kra tidak aik map tr, ole karea it A disebt titik stasioer Titik stasioer A pada Gambar 9 ii disebt titik balik maksimm Sedagka pada da Gambar, sebela kiri titik A kra tr da sebela kaa titik A kra aik Titik stasioer A pada Gambar disebt titik balik miimm Baik pada Gambar 9, map Gambar, garis siggg di titik stasioer A sejajar dega smb, artia gradie garis siggg graik gsi di A adala Dega kata lai, graik mecapai stasioer bila A A - - Gambar 9 Gambar Coto Tetka titik stasioer da jeisa dari graik -+

12 Graik mecapai stasioer bila +, maka -, artia ata Nilai stasioera Jadi titik stasioera,- Gaka garis bilaga berikt tk memeriksa jeis stasioer adala absis titik stasioer, batas kra aik ata tr Daera pada garis bilaga sebela kiri adala egati - sebab - egati -, sedagka sebela kaa adala positi +, sebab positi + Sebela kiri kra tr da sebela kaa kra aik, disimplka jeis titik stasioer,- adala titik miimm Jawaba di atas sesai dega graik + pada Gambar A,- - Gambar Coto Tetka titik-titik stasioer da jeisa dari graik Fgsi tra dari adala Graik mecapai stasioer bila +, ata ata +, seigga diperole absis titik-titik stasioer,, da - Masig - masig ordiat titik stasioera adala,,, da - - -, seigga diperole titiktitik stasioer,,, da -,- Utk memeriksa jeis titik stasioer it, digaka garis bilaga sebagai berikt Daera pada garis bilaga sebela kiri - adala egati - sebab bila disbsitsi ole sebarag bilaga krag dari - misala -, adala bilaga egati - egati - Daera atara - da adala positi +, sebab - ½ - ½ - ½ + - ½ adala bilaga positi Daera atara da adala positi +, sebab ½ ½ ½ + ½ adala bilaga positi Daera sebela kaa egati -, sebab + -8 adala bilaga egati Titik -,- adala titik balik miimm, karea graik sebela kiri titik ii tr da sebela kaa titik it aik Nilai - - disebt ilai balik miimm

13 Titik, adala titik balik maksimm, karea graik sebela kiri titik ii aik da sebela kaa titik it tr Nilai disebt ilai balik maksimim Titik, bka titik balik miimm map miimm, karea graik sebela kiri titik ii aik da sebela kaa titik it aik pla Titik, pada kra ii disebt titik belok 8, - -, -, Gambar Dari coto di atas, secara mm, misala a memei a, maka titik a, a adala titik balik maksimm ata titik balik maksimm ata titik belok Jika ada tk setiap titik disekitar a ait iteral kecil pada smb ag memat a maka di sekitar a terdapat kemgkia tk graik Titik a,a merpaka titik balik maksimm dari, bila Sedikit sebela kiri a a a Sedikit sebela kaa a a + Positi + Negati - Titik a,a merpaka titik balik miimm dari, bila Sedikit sebela kiri a a a Sedikit sebela kaa a a + Negati - Positi + Titik a,a merpaka titik belok dari, bila Sedikit sebela kiri a a a Sedikit sebela kaa a a + Positi + Positi + ata Sedikit sebela kiri a a a Sedikit sebela kaa a a + Negati - Negati -

14 Tgas 7 Tetkala ilai-ilai stasioer gsi ag dideiisika berikt ii da tetkala jeis masig-masig ilai stasioer it + / Meggambar Kra Sebelma tela kita belajar meggambar berbagai graik gsi tertet seperti, gsi liear, kadrat, da lai sebagaia Sekarag aka belajar meggambar berbagai graik gsi dega memperatika titik-titik stasioer, titik-titik balik maksimm, miimm, kecekga, da lai-lai Kemampa meggambar kra merpaka al ag sagat petig dalam pegertia da peggaa Kalkls Dalam meggambar graik gsi ag dapat dideiisika, beberapa ata sema al berikt ii sagat membat: i Titik-titik potog kra dega smb da smb jika mda diterapka ii Titik-titik stasioer da jeisa iii Nilai-ilai tk ata - Coto 7 Gambarla graik kra i Titik-titik potog dega smb-smb: Titik potog dega smb diperole jika maka - Titik potog dega smb adala, Titik potog dega smb diperole jika, maka - diperole Titik potog dega smb adala, da, ii Titik-titik stasioer da jeisa; Titik -titik stasioer pada kra diperole dari ata - ata Utk, maka -, tk maka - Jadi titik-titik stasioer adala,, da, Utk meetka jeis stasioer, gambarla garis bilaga Sbsitsika ilai sebarag sebela kiri, misal ke dalam, seigga diprole bilaga positi, artia daera garis bilaga sebela kiri adala daera positi Sbsitsika ilai sebarag sebela kiri atara da, misal ke dalam, seigga diprole bilaga egati, artia daera garis bilaga atara da adala daera egati Sbsitsika ilai sebarag sebela kaa, misal ke dalam, seigga diprole bilaga positi, artia daera garis bilaga sebela kaa adala daera positi

15 Tada positi sebela kiri artia graik aik da sebela kaa artia graik tr, jadi titik, merpaka titik balik maksimm Tada egati sebela kiri artia graik tr da sebela kaq artia graik aik, jadi titik, merpaka titik balik miimm iii Utk ilai maka da tk ilai - maka - Sema keteraga di atas memgkika kita meggambar kra, seperti tampak pada Gambar, - - -, - - Gambar Tgas 8 Gambarla kra-kra berikt ii: 8 C Peerapa Tra Pemecaa masala seari - ari Coto 8 Sebidag taa terletak sepajag sat tembok Taa it ka dipagari tk peteraka aam Pagar kawat ag tersedia pajaga m Peteraka it dibat berbetk persegi pajag Tetkala kraa agar terdapat dera peteraka ag selas-lasa Pertama-tama dibat model matematika dari soal it, kemdia diaalisa Jika lebar kadag meter maka pajaga meter Jelasla bawa da Jadi Las kadag dalam m adala L L da L - L, karea L - <, maka L ilai balik maksimm Jadi tk terdapat ilai balik maksimm L Pada jg-jg iteral terdapat L da L

16 Jadi las maksimm ag ditaaka adala m ag terjadi jika lebara m da pajaga m Tgas 9 Jmla da bilaga da adala, da asil kalia p Tlisla persamaa ag meataka bga atara da Kemdia ataka p dalam Tetkala asil kali ag terbesar Kelilig sat persegipajag m a Jika pajaga meter da lebara meter tlisla persamaa palig sederaa ag meataka bga atara da b Tlisla rms las L m tk persegipajag it Nataka L dalam Tetkala kra persegipajag tersebt agar lasa maksimm Seelai karto berbetk persegi pajag dega lebar cm da pajag 8 cm Pada tempat sdt karto it dipotog bjrsagkar ag sisia cm Dari bag ag didapat dibat kotak tapa ttp ag tiggia cm Tetkala kra kotak agar isia sebaak-baaka Sat kotak alasa berbetk bjrsagkar dega sisi cm da tiggi kotak cm, atasa terbka Isi kotak cm a Tlisla persamaa ag meataka bga dega Tlisla jga rms tk las permkaa kotak L cm diataka dega da b Tjkka bawa L + 8/ da kemdia tetkala kra kotak agar baa tk membat kotak it sesedikit mgki Pemecaa Masala Ekoomi Pada persaaa ag memprodksi sat jeis barag, laba, pedapata, da biaa prodksi tergatg dari baaka barag ag diprodksi Jika baak barag ag diprodksi it it, maka lab, pedapata da biaa prodksi merpaka gsi dari Laba total biasa dilambagka dega P, pedapata total dilambagka dega R, da biaa total dilambagka dega C Laba merpaka selisi pedapata dega biaa, seigga dapat ditlis P R C Jika arga tiap it barag it p, maka pedapata total R p, seigga diperole persamaa P p C ata C p P Selajta biaa rata-rata merpaka biaa total dibagi baaka barag, C C seigga biaa rata-rata adala C ata Utk, maka C dc d ii medeiisika biaa marjial Dega cara ag serpa dapat dr dr dideiisika pedapat marjial adala da ketga marjial d d Coto Total biaa memprodksi da mejal sata barag tertet tiap bla adala C + Carila biaa rata-rata tiap sata da biaa marjial pada tigkat prodksi 9 sata tiap bla Biaa rata-rata tiap sata adala C C

17 7 Jika 9, maka biaa rata-rata tiap sata adala C , Biaa rata-rata tiap sata barag bila diprodksi sebaak 9 sata adala Rp, 97 Biaa marjial tiap bla adala biaa marjiala adala 9 dc d, ata Rp, Pada tigkat prodksi 9 it per bla Coto Total biaa tk memprodksi da mejal sata komoditas adala 8 C Utk ilai berapa biaa rata-rata mejadi miimm? C 8 Biaa rata-rata adala C d C Biaa rata-rata aka mecapai miimm bila d d C ata ata d Agar biaa rata-rata mejadi miimm maka ars diprodksi sata Latia Dalam memprodksi da mejal komoditas, gsi arga p da gsi biaa dalam jtaa rpia adala p, da C +, Tliska gsi dari pedapata marjial, biaa marjial, da ketga marjial Total biaa tk memprodksi da mejal sata barag tertet tiap migg adala C Cari a tigkat prodksi ag membat biaa marjial miimm, da b biaa marjial miimm 7

18 8 Soal apersepsi Tetka gradie persamaa garis ag melali titik, da, Diketai, tetka Tetka dari + + agar berilai miimm Perdalam Kosepm Maaka perataa ag bear di bawa ii a Jika + g, maka + g b Jika g, maka g c Jika og maka og Operasi maaka ag terkait dega atra ratai? Apa bedaa aik pada iteral a < < b da tidak tr pada iteral a < < b? Jelaska jeis-jeis titik ekstrim! Ragkma Tra dari gsi ditlis dega deiisi Tra dari a adala a - tk bilaga rasioal Siat-siat tra gsi Bila g da gsi-gsi ag memiliki tra da k kostata, berlak: Jika k g maka k g Jika + maka + Jika - maka - Jika maka + ' ' Jika maka [ ] d Jika tra dari ditlis ole Leibiz dilambagka dega d Atra Ratai Jika g maka g g ata d d d Jika da g, maka d d d Tra da graik gsi Graik aik pada iteral ag memei > Graik tr pada iteral ag memei < Graik mecapai stasioer pada ag memei 7 Jika gsi pedapata total R, biaa total C, da laba total P, maka diperole P R C p C dega p arga pejala tk tiap sata dc dr dp Biaa marjial adala, pedapata marjial, ketga marjial, da d d d dp arga marjial d 8

TURUNAN FUNGSI. absis titik C dan absis titik C sama dengan h, maka x 3 = x 1 + h, sehingga gradien garis AC sama dengan

TURUNAN FUNGSI. absis titik C dan absis titik C sama dengan h, maka x 3 = x 1 + h, sehingga gradien garis AC sama dengan TURUNAN FUNGSI. Gardie Garis siggug Kurva Peratika graik ugsi pada gambar berikut. 8 B 6 C A Gambar Titik A, B, da C terletak pada graik, bila absisa berturut-turut,, da, maka koordiat titik A,, B,, da

Lebih terperinci

BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN

BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN Page o BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR. Deiisi Tra Fgsi Deiisi Fgsi : ata mempai tra ag diotasika d d ata di deiisika : d d d d d d lim h 0 h h lim 0 ata Cotoh Soal :. Tetka tra

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : teresiaeni.wordpress.com TURUNAN/DIFERENSIAL Deinisi : Laj perbaan nilai teradap ariabelnya adala : y dy d ' = = d d merpakan ngsi bar disebt trnan ngsi ata perbandingan dierensial, proses

Lebih terperinci

lim 0 h Jadi f (x) = k maka f (x)= 0 lim lim lim TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah :

lim 0 h Jadi f (x) = k maka f (x)= 0 lim lim lim TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah : TURUNAN/DIFERENSIAL Deinisi : Laj perbaan nilai teradap ariabelnya adala : y dy d lim = lim = 0 0 d d merpakan ngsi bar disebt trnan ngsi ata perbandingan dierensial, proses mencarinya disebt menrnkan

Lebih terperinci

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN DAN DERET TAK HINGGA Bab 5 BARISAN DAN DERET TAK HINGGA A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetesi Dasar. Memiliki motivasi iteral, kemampa bekerjasama, kosiste, sikap disipli, rasa percaya diri da sikap tolerasi

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

SOAL-SOAL SPMB 2007 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 1. SPMB, MAT DAS, Regional I, 2007 Suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah

SOAL-SOAL SPMB 2007 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 1. SPMB, MAT DAS, Regional I, 2007 Suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah SOAL-SOAL SPMB 00 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS). SPMB, MAT DAS, Regioal I, 00 Sk ke- sat barisa aritmatika adalah 0 p,da 6, maka.... Jika A. B. 3 C. D. 3 E.. SPMB, MAT DAS, Regioal I, 00 Jika p 0, q 0 q...

Lebih terperinci

Bab 1 PENDAHULUAN Latar Belakang

Bab 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Bab PENDAHULUAN.. Latar Belakag Bayak peelitia yag bertja mecari dasar-dasar tk megadaka prediksi sat variabel dari iormasi-iormasi yag diperoleh dari variablel tersebt. Misalya apakah keadaa caca dapat

Lebih terperinci

BAB IV METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

BAB IV METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA 35 BAB IV METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA Pada bab ii aka dibahas sat pedekata merik tk peeta harga opsi Asia, khssya opsi Asia dega rata-rata

Lebih terperinci

BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi

BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH MSi PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAKARTA ACUAN PROSES PEMBELAJARAN KALKULUS PEUBAH BANYAK

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada.

TURUNAN FUNGSI. Definisi. 3.1 Pengertian Turunan Fungsi. Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah. asalkan limit ini ada. 3 TURUNAN FUNGSI 3. Pegertia Turua Fugsi Defiisi Turua fugsi f adala fugsi f yag ilaiya di c adala f c f c f c 0 asalka it ii ada. Coto Jika f 3 + +4, maka turua f di adala f f f 0 3 4 3.. 4 0 34 4 4 4

Lebih terperinci

38 Soal dengan Pembahasan, 426 Soal Latihan

38 Soal dengan Pembahasan, 426 Soal Latihan Galeri Soal 8 Soal dengan Pembaasan, Soal Latian Dirangkm Ole: Anang Wibowo, S.Pd April MatikZone s Series Email : matikzone@gmail.com Blog : HP : 8 897 897 Hak Cipta Dilindngi Undang-ndang. Dilarang mengktip

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Masalah menarik yang terkait dengan masalah nilai eigen adalah masalah yang muncul sebagai persamaan Yukawa,

BAB I PENDAHULUAN. Masalah menarik yang terkait dengan masalah nilai eigen adalah masalah yang muncul sebagai persamaan Yukawa, 1. Latar Belakag Masalah dimaa Padag persamaa diferesial BAB I PENDAHULUAN (1) parameter. Persamaa di atas dapat dipadag sebagai masalah ilai eige tk operator Laplace, da persamaa tersebt merpaka persamaa

Lebih terperinci

METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM09

METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM09 METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodela & Simulasi TM09 Metode Numerik ( Metode umerik dpt diklasiikasika mjd:. Metode satu-lagka atau sigle-step. Metode multistep Metode sigle-step Pada metode ii, utuk

Lebih terperinci

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka

Lebih terperinci

METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM07

METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI. Pemodelan & Simulasi TM07 METODE NUMERIK UNTUK SIMULASI Pemodela & Simulasi TM07 Metode Numerik ( Metode umerik dpt diklasiikasika mjd:. Metode satu-lagka atau sigle-step. Metode multistep Metode sigle-step Pd metode ii, utuk meetuka

Lebih terperinci

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd

Galeri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd Galeri Soal Dirangkm Ole: Anang Wibowo, S.Pd April Semoga sedikit conto soal-soal ini dapat membant siswa dalam mempelajari Matematika kssna Bab Trnan. Kami mengsaakan agar soal-soal ang kami baas sevariasi

Lebih terperinci

Contoh Produksi dua jenis sepatu A dan B memberikan fungsi keuntungan bulanan sebagai berikut :

Contoh Produksi dua jenis sepatu A dan B memberikan fungsi keuntungan bulanan sebagai berikut : I. OPTIMISASI FUNGSI TANPA KENDALA Utuk fugsi dua peubah ) f ag terdiferesial dua kali. Jika di titik ) P dipeuhi :. sarat stasioer)... > maka mecapai ekstrim di ) P. Jika : ekstrim maksimum mecapai maka

Lebih terperinci

MODUL 1.03 DINAMIKA PROSES. Oleh : Ir. Tatang Kusmara, M.Eng

MODUL 1.03 DINAMIKA PROSES. Oleh : Ir. Tatang Kusmara, M.Eng MODUL 1.03 DINMIK PROSES Ole : Ir. Tatag Kusmara, M.Eg LBORTORIUM OPERSI TEKNIK KIMI JURUSN TEKNIK KIMI UNIVERSITS SULTN GENG TIRTYS CILEGON BNTEN 2008 2 Modul 1.03 DINMIK PROSES I. Pedaulua Dalam bidag

Lebih terperinci

h h h n 2! 3! n! h h h 2! 3! n!

h h h n 2! 3! n! h h h 2! 3! n! Dieresiasi Numerik Sala satu perituga kalkulus yag serig diguaka adala turua/ dieresial. Coto pegguaa dieresial adala utuk meetuka ilai optimum (maksimum atau miimum) suatu ugsi y x mesyaratka ilai turua

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

FAKULTAS DESAIN dan TEKNIK PERENCANAAN

FAKULTAS DESAIN dan TEKNIK PERENCANAAN Wiryato Dewobroto ------------------------------------- Jrsa Tekik Sipil - Uiversitas elita Harapa, Karawaci FAKULTAS DESAIN da TEKNIK ERENCANAAN UJIAN TENGAH SEMESTER ( U T S ) GENA TAHUN AKADEMIK 010

Lebih terperinci

B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK 8 B A B 7 DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK A. D I F E R E N S I A S I N U M E R I K Misal diberika set data Diketaui set data (, ), (, ), (, ),., (, ) ag memeui relasi = f() Aka ditetuka d/d dalam iterval,

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK. Dari Buku Kalkulus Edisi Keempat Jilid II James Stewart, Penerbit Erlangga.

TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK. Dari Buku Kalkulus Edisi Keempat Jilid II James Stewart, Penerbit Erlangga. TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK Dari Bk Kalkls Edisi Keempat Jilid II James Steart Penerbit Erlangga Dissn ole : K i r b a n i M5 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang.

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang. SOAL N MATEMATIKA SMK KELOMPOK PARIWISATA, SENI DAN KERAJINAN, TEKNOLOGI KERMAHTANGGAAN, PEKERJAAN SOSIAL, DAN ADMINISTRASI PERKANTORAN PAKET KC-F TAHN PELAJARAN /. Ekstrakurikuler pramuka suatu SMK aka

Lebih terperinci

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala

Lebih terperinci

PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK

PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK PRINSIP MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI PANHARMONIK Oleh, Edag Cahya M.A. Jrsa Pedidia Matematia FPMIPA UPI Badg Jl. Dr. Setiabdi 9 Badg E-mail ecma@ds.math.itb.ac.id Abstra Tlisa ii mejelasa prisip masimm

Lebih terperinci

Probabilitas dan Statistika Korelasi dan Regresi. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika Korelasi dan Regresi. Adam Hendra Brata Probabilitas da Statistika da Adam Hedra Brata Dua Peubah Acak dua perubah acah X da Y dega rata-rata da diberika oleh rumus : E(XY) - - - Sifat Sifat Sifat kovariasi utuk X da Y diskrit : f(, ) f(, )

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi

TURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi TURUNAN FUNGSI. Turunan Fungsi Turunan fungsi f disembarang titik dilambangkan dengan f () dengan definisi f ( ) f ( ) f (). Proses mencari f dari f disebut penurunan; dikatakan bawa f diturunkan untuk

Lebih terperinci

Pengaruh Laju Regangan Linier Terhadap Data Uji Tarik Bahan Baja Tahan Karat Seri 304

Pengaruh Laju Regangan Linier Terhadap Data Uji Tarik Bahan Baja Tahan Karat Seri 304 Pegarh Laj Regaga Liier Terhadap Data Uji Tarik Baha Baja Taha Karat Seri 304 Hadoko 1) da Beidikts Tlg Prayoga 2) 1, 2) Program Diploma Tekik Mesi, Sekolah Vokasi, Uiversitas Gadjah Mada Jl. Yacarada

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. persamaan yang mengandung diferensial. Persamaan diferensial

BAB II LANDASAN TEORI. persamaan yang mengandung diferensial. Persamaan diferensial 5 BAB II LANDASAN TEORI A. Persamaa Diferesial Dari ata persamaa da diferesial, dapat diliat bawa Persamaa Diferesial beraita dega peelesaia suatu betu persamaa ag megadug diferesial. Persamaa diferesial

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

DEFERENSIAL Bab 13. u u. u 2

DEFERENSIAL Bab 13. u u. u 2 DEFERENSIAL Bab Laj perbahan nilai f : f() pada = a ata trnan f pada = a adalah Limit ini disebt deriatif ata trnan f pada = a dan dinyatakan dengan f (a) f (a) = f ( a h) f ( a ) lim it h 0 h secara mm

Lebih terperinci

SOAL-SOAL HOTS. Fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, dan grafik fungsi.

SOAL-SOAL HOTS. Fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, dan grafik fungsi. SOL-SOL HOTS. LJBR Pagkat Bulat Positif, Betuk kar, da Logaritma 1. Jumlah bakteri pada saat mula-mula adalah M 0. Karea suatu hal, setiap selag satu hari jumlah bakteri aka leyap r%. Jika M0 1.0 da r

Lebih terperinci

SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL BARISAN DAN DERET

SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL BARISAN DAN DERET SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL 01 01 BARISAN DAN DERET 1 UN 01 Setas tali dipotog mejadi bagia sehigga pajag potoga-potoga tali tersebt membetk barisa geometri Jika pajag tali terpedek 6

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

A. Pengertian Hipotesis

A. Pengertian Hipotesis PENGUJIAN HIPOTESIS A. Pegertia Hipotesis Hipotesis statistik adalah suatu peryataa atau dugaa megeai satu atau lebih populasi Ada macam hipotesis:. Hipotesis ol (H 0 ), adalah suatu hipotesis dega harapa

Lebih terperinci

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU Konsep it mempnyai peranan yang sangat penting di dalam kalkls dan berbagai bidang matematika. Oleh karena it, konsep ini sangat perl ntk dipahami. Meskipn pada awalnya

Lebih terperinci

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

BAB IV PERENCANAAN ELEMEN STRUKTUR

BAB IV PERENCANAAN ELEMEN STRUKTUR BAB IV PERENCANAAN ELEMEN STRUKTUR 4.1. Umm Dalam bab ii aka didesai beberaa eleme strktr ag mewakili eleme ag se-tie. Desai eleme-eleme ii didasarka keada gaa-gaa dalam maksimm ag terjadi ada lik da eleme

Lebih terperinci

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA BAB PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA Meode Euler Meode Euler adala Meode ampira palig sederaa uu meelesaia masala ilai awal: ( Biasaa diasumsia bawa peelesaia ( dicari pada ierval erbaas ag dieaui

Lebih terperinci

PENGANTAR KALKULUS. Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

PENGANTAR KALKULUS. Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaika pada Diklat Istruktur/Pegembag Matematika SMA Jejag Dasar Taggal 6 s.d. 19 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

SILABUS PEMBELAJARAN. Pencapaian Kompetensi

SILABUS PEMBELAJARAN. Pencapaian Kompetensi SILABUS PEMBELAJARAN Sekolah Kelas Mata Pelajara Semester : SMP NEGERI 3 MAGELANG : VIII (Delapa) : Matematika : I (satu) ALJABAR Stadar :1. Memahami betuk aljabar, relasi, fugsi, da persamaa garis lurus

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN : JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 MENCAR SOLUS PENAKSR PARAMETER PADA ANALSS VARANS DENGAN PENDEKATAN GENERAL NVERS Sukestiaro Jurusa Matematika FMPA Uiversitas Negeri

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuha Betuk ugsi pertumbuha satu jeis spesies pada umumya megguaka otasi ugsi aalitik yag diyataka dalam satu persamaa. Secara umum ugsi pertumbuha meyataka hubuga

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama

Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27 PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi

Lebih terperinci

BAB IV KONSTRUKSI FUNGSI

BAB IV KONSTRUKSI FUNGSI BAB IV FUNGSI REGULAR KONSTRUKSI FUNGSI REGULAR Proposisi IV. Hal. 55 c dx a x e e x x dt t x t x y x v iv y x x y a x,,,, da. Dimaa pada Relar Maka secara lokal,. pada real berilai paharmoik si Misalka

Lebih terperinci

Prediksi Kurva S-N berdasarkan Hukum Kekekalan Energi pada Pembebanan Dinamis Kombinasi Aksial-Torsional

Prediksi Kurva S-N berdasarkan Hukum Kekekalan Energi pada Pembebanan Dinamis Kombinasi Aksial-Torsional Prediksi rva S- berdasarka Hkm ekekala ergi pada Pembebaa Diamis ombiasi Aksial-Torsioal Waja Berata Program Stdi Metalrgi Tekik Mesi ITS Srabaya Abstrak Sat material dapat megalami patah lelah yag disebabka

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.

i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. 4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha

Lebih terperinci

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas

Lebih terperinci

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis

CATATAN KULIAH Pertemuan I: Pengenalan Matematika Ekonomi dan Bisnis CATATAN KULIAH Pertemua I: Pegeala Matematika Ekoomi da Bisis A. Sifat-sifat Matematika Ekoomi 1. Perbedaa Matematika vs. Nomamatematika Ekoomi Keutuga pedekata matematika dalam ilmu ekoomi Ketepata (Precise),

Lebih terperinci

UJIAN MASUK BERSAMA PERGURUAN TINGGI (UMB - PT) Mata Pelajara : Matematika Dasa Taggal : 06 Jui 009 Kode Soal : 0 0 www.olieschools.ame. Produksi beras propisi P tahu 990 adalah 00 ribu to da sampai tahu

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH

MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA Jl. Boulevard Bitaro Sektor 7, Bitaro Jaa Tagerag Selata 154 PENDAHULUAN Megapa mempelajari kekuata taah? Keamaa

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. dalam sebuah dalam ruangan, versi modern dari pasar tradisional.

BAB II KAJIAN PUSTAKA. dalam sebuah dalam ruangan, versi modern dari pasar tradisional. BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Pegertia Shoppig Arcade Baga Shoppig Arcade adalah sebah psat perbelajaa dimaa sat ata lebih baga membetk sebah komplek toko dega iterkoeksi trotoar memgkika pegjg tk dega mdah

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.

ALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M. ALJABAR LINEAR (Vektor dirang 2 dan 3) Dissn Untk Memenhi Tgas Mata Kliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdl Aziz Saefdin, M.Pd Dissn Oleh : Kelompok 3/3A4 1. Nrl Istiqomah 14144100130 2. Ambar Retno

Lebih terperinci

Titik Berat. da y. Suatu elemen da

Titik Berat. da y. Suatu elemen da Titik Berat da Suatu eleme da Titik erat atau pusat suatu luasa adala suatu titik dimaa luasa terkosetrasi da tetap meiggalka mome ag tidak erua teradap semarag sumu. Pada umuma leak titik erat diataka

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam

Lebih terperinci

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI A. Hasil Kali Titik (Hasil Kali Skalar) Da Vektor. Hasil Kali Skalar Da Vektor di R Perkalian diantara da

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI NONRESPON. Dalam bab ini akan dibahas penaksiran proporsi populasi jika terjadi

BAB III TAKSIRAN PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI NONRESPON. Dalam bab ini akan dibahas penaksiran proporsi populasi jika terjadi BAB III TAKSIRA PROPORSI POPULASI JIKA TERJADI ORESPO Dalam bab ii aa dibaas peasira proporsi populasi jia terjadi orespo da dilaua allba sebaya t ali. Selai itu, juga aa dibaas peetua uura sampel yag

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

BAB III METODOLOGI PENELITIAN. Jenis data yang digunakan berupa data sekunder yang menggunakan Tabel

BAB III METODOLOGI PENELITIAN. Jenis data yang digunakan berupa data sekunder yang menggunakan Tabel 49 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Jeis da Sumber Data Jeis data yag diguaka berupa data sekuder yag megguaka Tabel Iput Output Idoesia Tau 2005 dega klasifikasi 9 sektor. Data tersebut berasal dari

Lebih terperinci

ANALISIS DAYA DUKUNG PONDASI TIANG BOR KELOMPOK PADA PROYEK PEMBANGUNAN GEDUNG PENDIDIKAN FAK. MIPA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN (UNIMED) ABSTRAK

ANALISIS DAYA DUKUNG PONDASI TIANG BOR KELOMPOK PADA PROYEK PEMBANGUNAN GEDUNG PENDIDIKAN FAK. MIPA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN (UNIMED) ABSTRAK ANALISIS DAYA DUKUNG PONDASI TIANG BOR KELOMPOK PADA PROYEK PEMBANGUNAN GEDUNG PENDIDIKAN FAK. MIPA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN (UNIMED) Irwa Tog asihola Simajtak 1 da Prof. Dr. Ir. Roesato,MSCE 1 Departeme

Lebih terperinci

IV Control chart for attributes

IV Control chart for attributes IV Cotrol hart for attribtes Pegedalia Kalitas TIN-212 Peta Kedali Atribt 1 Data yag diklasifikasika mejadi sat ata beberaa kategori disebt data atribt. Klasifikasi seerti oformig (sesai) ad ooformig (tidak

Lebih terperinci

FUNGSI BANYAK VARIABEL DAN PENERAPANNYA

FUNGSI BANYAK VARIABEL DAN PENERAPANNYA FUNGSI BANYAK VAIABEL DAN PENEAPANNYA KATA PENGANTA Segala puji sukur peulis pajatka haa utuk Allah SWT ag telah memberika rahmat da hidaaha, sehigga atas izi Allah, Alhamdulillah buku ag cukup sederhaa

Lebih terperinci

3. Rangkaian Logika Kombinasional dan Sequensial 3.1. Rangkaian Logika Kombinasional Enkoder

3. Rangkaian Logika Kombinasional dan Sequensial 3.1. Rangkaian Logika Kombinasional Enkoder 3. Ragkaia Logika Kombiasioal da Sequesial Ragkaia Logika secara garis besar dibagi mejadi dua, yaitu ragkaia logika Kombiasioal da ragkaia logika Sequesial. Ragkaia logika Kombiasioal adalah ragkaia yag

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA

REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA Apa yag disebut Regresi? Korelasi? Aalisa regresi da korelasi sederhaa membahas tetag keterkaita atara sebuah variabel (variabel terikat/depede) dega (sebuah) variabel lai

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

L A T I H A N S O A L A N R E G 1 Muhamad Ferdiansyah, S. Stat.

L A T I H A N S O A L A N R E G 1 Muhamad Ferdiansyah, S. Stat. L A T I H A N S O A L A N R E G Muhamad Ferdiasyah, S. Stat. *Saya saraka utuk mecoba sediri baru lihat jawabaya **Jawaba saya BELUM TENTU BENAR karea saya mausia biasa. Silaka dikosultasika jika ada jawaba

Lebih terperinci

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak: PENGUJIAN HIPOTESIS A. Lagkah-lagkah pegujia hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaa megeai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tetag ilai-ilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.

Lebih terperinci

PENGENDALIAN OPTIMAL PADA MODEL KEMOPROFILAKSIS DAN PENANGANAN TUBERKULOSIS

PENGENDALIAN OPTIMAL PADA MODEL KEMOPROFILAKSIS DAN PENANGANAN TUBERKULOSIS PENGENDALIAN OPTIMAL PADA MODEL KEMOPROFILAKSIS DAN PENANGANAN TUBERKULOSIS Ole: Citra Dewi Ksma P. 106 100 007 Dosen pembimbing: DR. Sbiono, MSc. Latar Belakang PENDAHULUAN Penyakit Tberklosis TB adala

Lebih terperinci

KISI-KISI SOAL ULANGAN HARIAN. Soal Soal Kunci Rubrik Mendeskripsi kan fungsi tulang

KISI-KISI SOAL ULANGAN HARIAN. Soal Soal Kunci Rubrik Mendeskripsi kan fungsi tulang No Idicator kompetesi 1. Medeskrips ika 2. Megidetif ikasi 3. Medeskrips ika 4. Meyebutka 5. Meyebutka Idicator pembelajara Medeskripsika fugsi sistem ragka bagi tubuh Megidetifikasi jeis tulag peyusu

Lebih terperinci

Bab IV Hasil Dan Pembahasan

Bab IV Hasil Dan Pembahasan Bab IV Hasil Da Pembahasa IV.1 Pera Kekerha (Trbiditas) Kekerha adalah kra yag meggaka efek cahaya sebagai dasar tk megkr keadaa air. Kekerha aka meyebabka perbaha yata dari segi estetika map dari segi

Lebih terperinci