Bab 8 Teknik Pengintegralan

Transkripsi

1 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi Rasioal Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Pedahulua Operasi turua turua sifatya algoritmik. Apabila semua aturaya telah diketahui, maka dapat dapat disusu resep turua. Dalam bayak hal operasi turua tidak terlalu meutut keratifitas. Tidak demikia halya deag opersai itegral. Serigkali itegral yag berbeda meutut kombiasi tehik-metoda pegitegrala yag berbeda: pegitegrala lebih merupaka sei. Bayak masalah dalam egieerig yag melibatka itegral dari fugsi yag sagat rumit, sehigga kita memerluka Tabel Itegral. Beberapa metoda yag sagat esesial adalah : Metoda Substitusi Metoda Itegral Parsial Itegral Pecaha Parsial (Partial Fractio)

2 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II. Itegral dega Substitusi Rumus da Atura Pegitegrala yag sudah kita keal sejauh ii cukup bermafaat da petig, amu scope-ya masih terbatas. Sebagai cotoh dega Atura Pagkat kita dapat meyelesaika d. Namu tidak berdaya utuk meyelesaika itegral yag serupa yaitu + d Itegral dega mudah diselesaika dega megguaka tekik substitusi. Ide dasar metoda substitusi datag dari Atura Ratai. Tekik adalah kebalika dari Atura Ratai. 3 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Pejelasa Atura Substitusi Misalka F adalah atiturua dari f. Jadi, F (u)=f (u), da () f ( u) du = F( u) + C Bila u=g() sehigga diferesial du=g ()d, diperoleh ( ) ' ( ) f g g d = f u du = F u + C = F g + C Prosedur ii disebut metoda pegitegrala dega substitusi atau metoda substitusi. Maka, jika itegrad tampak sebagai komposisi fugsi dikalika turua fugsi dalam ya, maka disaraka megguaka metoda ii. Perhatika pula bahwa metoda merupaka proses balika/iverse dari Atura Ratai. 4

3 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Why It Works? Dari maakah ide metoda substitusi ii? Perhatika bahwa F(g()) adalah atirua dari f(g()) g () jika F adalah atiturua dari f. (F (u)=f (u)). Meurut Atura Ratai d F ( g ( )) = F '( g ( )) g '( ) = f ( g ( )) g '( ) d Teorema Diberika fugsi g terturuka da F adaah atiturua dari f. Jika u= g, maka ( ) ' ( ) f g g d = f u du = F u + C = F g + C 5 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Megguaka Tehik Substitusi Cotoh Hituglah ( + 3) d Misalka u=(+3) dega du=d. Maka setelah disubtitusika du ( 3) d u + = = u = ( + 3) + C 44 d Cotoh Hituglah cos Igat kembali bahwa cos = sec. Misalka u = sehigga du = d atau d = du. Maka, cos d = sec u du = sec udu = ta u+ C = ta + C 6 3

4 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Cotoh Hituglah: ed 3 4 a. d b. c. 5 + d 3 4 e + 4 Jawab a. Misalka u = da a = 3. Maka du = d. Jadi, du u 3 4 a u a 3 d = = si + C = si + C b. Misalka u = e da a =. Maka du = e d. Jadi, ed du u ta e + 4 u + a a a = = c. 5 d: Latiha + C ta e = + C 7 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Sebelum Substitusi Serigkali sebelum substitusi diputuska, kita perlu memaipulasi fugsi itegrad agar lebih memudahka. Perhatika cotoh berikut, dimaa betuk kuadrat dilegkapka dahulu sebelum megguaka metoda substitusi. Cotoh d Tetuka 4+ 9 d d d d = = = ( ) + 5 ( ) + 5 = ta + C

5 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Cotoh Tetuka d + d ( + ) = d = d = d d = ta + C 9 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II. Itegral Fugsi Trigoometrik Pada pasal ii kita aka melihat bagaimaa mekombiasika metoda substitusi dega kesamaa trigoometri mejadi metoda yag sagat efektif utuk meyelesaika beragam itegral trigoometri Beberapa tipe itegral yag aka dibahas: d d. si d, cos m, si cos 3. si m cos d, si msi d, cos m cos d 0 5

6 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Tipe Kasus : geap Turuka pagkat dega substitusi megguaka kesamaa setegah sudut si = cos da cos = ( + cos ) Cotoh cos d = + cos d = d + cos d = + 4si + C 4 = = 4 + = 4 8 si + 4 cos 4d si d cos 4 d cos 4 cos 4 d dega megguaka hasil sebelumya kita peroleh cos 4d = 4 cos ( 4) d( 4) = si( 4) + C si d, cos d Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Jadi, cos d = si + + si 8 + C si 64si8 = + + C Kasus : gajil. Setelah si atau cos difaktorka, guaka kesamaa Pythagoras si +cos = Cotoh 5 4 = = ( ) = ( si+ si ) cosd cos d cos cos d si cos d = si si + si + C 3 3 6

7 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Tipe si m cos d Kasus : m atau bilaga gajil positif. Setelah si atau cos difaktorka, guaka kesamaa Pythagoras si +cos = Cotoh 5 4 cos si d = cos cos si d = cos si si d = cos si d si si d = si d ( si ) d = + C si 3 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Kasus : m da bilaga geap positif. Guaka kesamaa setegah sudut si cos + cos = cos = utuk meguragi pagkat dalam itegrad. Cotoh 4 cos + cos si cos d = ( si ) cos d = d = ( cos cos )( cos ) d 3 = ( cos cos cos cos cos ) d = ( cos cos + cos ) d 8 4 7

8 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II 3 = ( cos cos cos ) 8 + d = cos ( + cos4) + ( si ) cos d 8 cos4 si cos = d 8 cos 4 si cos = d d d 8 3 si 4 si = C Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Tipe 3 si m cos d, si msi d, cos m cos d Kesamaa-kesamaa yag dibutuhka:. si m cos = si m + + si m. si msi = cos m + cos m 3. cos m cos = cos m + + cos m Dega kesamaa ii perkalia fugsi dapat diubah mejadi jumlah fugsi yag jelas lebih mudah ditagai. Cotoh si 3 cos d = si 5 + si d = si 5d + si d ( ) 0 cos 5 cos C = + 6 8

9 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II ( ) ( m+ ) ( m+ ) si ( m ) ( m ) si msi d = cos m + cos m d si = + + C, jika m Latiha :. Hituglah si msi d utuk kasus m =. L mπ π. Hituglah cos cos d, m. -L L L 7 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II 3. Substitusi Merasioalka Metoda yag aka dipelajari di sii juga serig disebut substitusi trigoometrik. Itegral yag aka dibahas mempuyai itegrad memuat betuk-betuk a + b a + a a,,,, Umumya metoda ii bertujua utuk meg elimiasi tada akar. a + b Dalam hal itegrad memuat betuk a + b, maka substitusi u = a+ b dapat megelimiasi tada akar. 8 9

10 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Cotoh tdt Hituglah 3t + 4 Misalka u = 3t + 4 sehigga du = 3 dt da t = 3 ( u 4) tdt 3( u 4) 3du u 4 4 = = du u du 3t 4 u 9 = + u 9 u = u 8u + C = ( 3t + 4) ( 3t+ 4) + C Hituglah 3 + π d Misalka u = + π sehigga du = 3 d da = u π πd = u π udu = u du π u du π = ( + π) 3 ( + π) 3 + C Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II a +, a, a Di sii kita aka meyelesaika itegral-itgeral yag memuat betuk-betuk a +, a, da a dega asumsi a > 0. Jika memuat a, maka coba = asi θ, π θ π Jika memuat a +, maka coba = ataθ π < θ < π Jika memuat a, maka coba = asecθ 0 θ π, θ π 0 0

11 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Megapa pembatasa ilai θ perlu dilakuka? Pada itegral tetu kita setelah substitusi, da kemudia meyelesaika itegral, kita perlu kembali ke variabel semula. Oleh karea itu, ilai θ perlu dibatasi agar substitusi si θ, ta θ, da sec θ mempuyai iverse. Setelah melakuka subtitusi, beberapa peyederhaaa dapat dilakuka, dega tujua megelimiasi tada akar. a = a a si = a cos = acos = acos θ θ θ θ a + = a + a ta = a sec = asec = asec θ θ θ θ a = a a = a = a = ± a sec θ ta θ taθ secθ Catata: Karea π θ π maka cosθ 0. Jadi, acosθ = acos θ. Berika justifikasi utuk hasil laiya. Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Cotoh 4- Hituglah d Pilih substitusi u = si t, sehigga du = cos tdt. Maka ( t) 4 4 4si t 4 si d = costdt = si t si t costdt cos ( t)( cost) si t = dt = 4 dt 4 si t = si t csc dt si tdt = 4l csct cotu + cost + C Selajutya, karea = si t maka si t =. cos si t = t = = 4 4 cost 4 csct = = cot t = = 4 = si t si t

12 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Dega demikia, d = 4l + + C π π Cotoh: Hituglah d 0 + π Agar lebih memudahka, itegral dipecah mejadi dua bagia π π d d = d + π + π + π π π π Utuk itegral pertama, pilih substitusi, sehigga. Maka π π d π = du d = = = π u + π + π u π π π 0 0 = 0 = 0 u = + π du = d ( ) ( ) π 0 = π = π + π = π π π = π 3 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Utuk itegral kedua pilih substitusi ta sehigga sec = π v d = π vdv d π sec vdv = = secvdv = l secv + ta v + π π secv π = π = π = π 0 = 0 = 0 π - π Jadi, d = π l + 0 π 0 = 0 = l + + = l + l + 0 = l + π π + π 4

13 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Melegkapka Kuadrat Bila betuk kuadratik dibawah tada akar masih dalam betuk a +b+c maka perlu dilakuka melegkapka kuadrat sebelum megguaka metoda substitusi trigoometrik d Cotoh Tetuka = ( ) = ( + ) = ( ) d d Jadi, =. Misalka 3. Maka, v = ( 3) d dv = v Selajutya, substitusi v = 5si w, sehigga dv = 5cos wdw. Maka Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II dv 5coswdw 5coswdw v = si = = dw C 5 v 5 5 si w 5cosw = = si + C 5 Cotoh Tetuka volume beda putar yag dibagkitka dega memutar daerah yag dibatasi y=4/( +4), sb-, da garis =0 da =. Latiha: Selesaika 3d

14 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II 4. Itegral Parsial Bila metoda substitusika sebearya adalah balika dari Atura Ratai, maka metoda itegral parsial didasarka pada atura turua utuk perkalia: Diberika u=u() da v=v() mempuyai turua D (u () v ())=u () v () +u () v () atau u () v ()=D (u () v ()) u () v () Apabila kedua ruas diitegralka ( u v ' ) d = d ( u v ) d v u ' d = uv v u ' d d Catata : Diferesial dv = v ' d da du = u ' d 7 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Teorema Itegral Parsial Jika fugsi-fugsi u = u da v = v mempuyai turua, maka udv = uv vdu Sedagka itegral parsial utuk itegral tetu adalah = b = [ ] = = a = b = b = b udv uv vdu u b v b u a v a vdu = a = a = a Misalka u = u a, u = u b, v = v a, v = v b, sehigga [ ] v u udv = u v u v vdu v u Catata: pilihlah u da dv sehigga vdu mudah dihitug. 8 4

15 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Cotoh Hituglah e cos d Misalka u = e, dv = cos d, sehigga du = e d da v = si Maka e cos d = e si e si d Utuk itegral ke dua, misalka w= e, dv = si d. Maka dw = e d da v = cos. Diperoleh Dega demikia e si d = e cos + e cos d e cos d = e si e cos + e cos d Pidahka e cos d pada ruas kiri. Akhirya diperoleh e si e cos e cos d = 9 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Pada cotoh di atas, perhatika bahwa kita dapat meyelesaika e cos d karea itegral tersebut kembali mucul pada ruas kaa. Cotoh Hituglah l d Misalka u = l, dv = d, sehigga du = d, v = Maka l d = [ l ] d l d l = = Rumus Reduksi Formula atau rumus berbetuk k f d = g + f d, k < disebut rumus reduksi, karea ilai pagkat f megalami peurua. Formula semacam ii biasa ditemuka dalam itegral parsial 30 5

16 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Cotoh Tetuka rumus reduksi utuk si Misalka u si, dv si d. = = Maka du si cos d da v cos. Jadi, = = si d = si cos + si cos d d = si cos + si si si cos si si Apabila si d pada ruas kaa dipidahka ke ruas kiri si = si cos + si d d da bila diselesaika, diperoleh d = + d d si si cos d = + ( ) si d 3 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II 5. Itegral Fugsi Rasioal Metoda Pecaha Parsial Metoda pecaha parsial adalah tehik utuk megitegralka fugsi-fugsi rasioal, yaitu fugsi-fugsi berbetuk p R =, p da q adalah poliomial q Ide dasar adalah metoda ii adalah meuliska fugsi rasioal sebagai jumlah dari fugsi pecaha yag lebih sederhaa. 5 Cotoh Tetuka d 5 5 A B Perhatika bahwa = =

17 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Lagkah berikutya adalah meetuka koefisie A da B. Ii dilakuka ( )( + ) dega megalika kedua ruas dega sehigga 5 = A + + B = A+ B + A B Maka haruslah A+ B = 5 da A B =. Dega meyelesaika sistem persamaa ii diperoleh A= da B = d d d d + + d( ) d( + 3) = d + 3 = l + 3l + + = + = + 3 = l + + C 33 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II + Cotoh Selesaika d A B C = = = ( 4+ 4) ( ) ( ) ( ) Kalika kedua ruas dega, sehigga ( + ) = A( ) + B( ) + C + = ( A+ B) + 4A B+ C + 4A Maka koefisie kedua poliomial haruslah sama. Ii memberika sebuah sistem persamaa A+ B = 0, 4A B+ C =, 4A= yag peyelesaiaya adalah A= 4, B = 4, C = 3. Maka, + d d 3 d d = ( ) 34 7

18 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II ( ) d( ) ( ) d 3 = l = l l 4 4 ( ) Dua itegral terakhir diselesaika dega substitusi u =. + 3 Cotoh Tetukalah d A B+ C = = ( + 4) + 4 Setelah kedua ruas dikalika dega peyebut. maka diperoleh + = A( + 4) + ( B+ C) = ( A+ B) + C+ 4 A. Kesamaa kedua poliomial berarti koefisie-koefisie harus sama. Maka = A+ B, = C, = 4 A. Peyelesaia sistem persamaa ii adalah 35 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II A= 4, B = 9 4, C = Apabila diguaka pada itegral di atas, kita peroleh + d + d = + d d = l d d = l + + ta Utuk itegral kedua, guaka substitusi 4 sehigga Jadi, d d dw = = = w = w d = l l 4 l l 4 ta 4 8 w= + dw= d + C 36 8

19 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Cotoh Selesaika d ( )( + ) A B + C D+ E = + +, ( )( + + ) ( + ) Kalika kedua ruas dega ( )( + ) ( ) ( )( ) ( ) ( A E C) 4 3 A B B C A B C D B sehigga = ( ) irreducible = A + + B+ C + + D+ E ( + ) C D E Maka koefisie kedua poliomial haruslah sama. Ii memberika sebuah sistem persamaa A B = 0, B C = 0, A B+ C D = 0, B C + D E =, A+ C+ E = 0 37 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Peyelesaiaya adalah A= B = C = 4, D =, E =. Maka, ( + ) ( ) d d d d = ( + ) u = v = + du = d dv = d Substitusi da, maka,. ( ) d + = + + d + du dv d u 4 v + = l + l + + ta ( ) d d d dv d = = v + d = 4 + ( + ). 38 9

20 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Utuk meyelesaika itegral terakhir, misalka = ta θ, d = sec θdθ, da + = ta θ + = sec θ. d sec θdθ θ si θ = = cos θ θ = ( + cos θ) dθ = + 4 d ( + ) ( sec θ ) ( + )( + ) ta siθcosθ ta = + = ta = Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Jadi, ( )( + ) d = l + l + + ta ta + + C 4( + ) ( ) + + = l + l + + C ( + ) 40 0

21 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II ALGORITMA DEKOMPOSISI PECAHAN PARSIAL Lagkah : Lakuka pembagia sehigga diperoleh poliom P da r sehigga p r R = = P + q q Jika derajat ( p ) < derajat ( q ) maka P = 0 da r = p L agkah : Faktorka q dega suku perkalia dari betuk yaitu atau dega irreducible a + b a + b + c a + b + c a b c + + = 0 tidak mempuyai akar. r Lagkah 3: Tulis sebagai jumlah dari fugsi pecaha yag lebih q sederhaa, disebut pecaha parsial, sebagai berikut 4 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II ( + α ) a. Utuk tiap faktor diperoleh A A Ak α + α + α ( a + b + c) b. Utuk tiap faktor diperoleh ( ) ( ) Lagkah 4: Kalika kedua ruas dega q k B + C B + C B k + Ck a + b + c a + b + c a + b + c k k sehigga diperoleh R q = poliom dega koefisie memuat A, B da C Dari kesamaa di atas, semua kostata A, B da C dapat ditetuka. i i i k i i i 4

22 Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Soal PR Bab 8 8. : 4, 6,, 6, 9, 33, 34, 48, 5, 59, 64, : 4, 6, 9, 3,,, 3, 6, : 3, 6,, 0, 3, 7-9, 3, :, 6, 7,, 3, 39, 44, 47, 55, 6, 69, 74, 8, : 5, 6, 9,,, 9,, 3, 5, 39,