BAHAN AJAR KALKULUS 2. Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS. Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc

Transkripsi

1 BAHAN AJAR KALKULUS Disusu Oleh: Drs Moch Chotim, MS Muhammad Kharis, SSi, MSc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 0 i

2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI ii BAB I ANTI TURUNAN I Turua I Atiturua 6 I Evaluasi 0 BAB II INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN II Notasi Sigma II Iduksi Matematika 4 II Jumlah Riema 5 II4 Itegral Tertetu 9 II5 Teorema-teorema Itegral Tertetu II6 Pediferesiala Itegral Tertetu terhadap Batas Atasya 8 II7 Evaluasi 44 BAB III PENGGUNAAN INTEGRAL 46 III Luas Daerah Bidag Datar 46 III Volume Beda Putar 46 BAB IV FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN, DAN FUNGSI HIPERBOLIK 49 IV FUNGSI LOGARITMA 49 IV Bilaga e 54 IV Logaritma Asli Sebagai Ati Turua 55 IV4 Fugsi Ekspoe Asli 59 IV5 Hampira Nilai bilaga e 65 IV6 Fugsi Ekspoe da Logaritma Utuk Bilaga Pokok Yag Lai 67 BAB V TEKNIK INTEGRAL 68 V Tekik Substitusi 68 V Itegral Fugsi Trigoometri 7 V Tekik Substitusi Fugsi Trigoometri 84 V4 Itegral Parsial 95 V5 Itegral Fugsi Rasioal 99 V6 Itegral Fugsi Rasioal yag Memuat Si da Cos DAFTAR PUSTAKA 7 ii

3 BAB I ANTI TURUNAN I Turua Pembahasa tetag turua tidak dapat dipisahka dari pegertia tetag fugsi, baik fugsi eksplisit maupu fugsi implisit Fugsi eksplisit adalah fugsi yag secara umum peulisaya diyataka dalam betuk y f(), sedagka fugsi implisit adalah fugsi yag secara umum peulisaya diyataka dalam betuk f(, y) 0 Perhatika beberapa cotoh fugsi di bawah ii y y 4 + y 4 + y y + y y 5 0 Pada cotoh di atas, fugsi o,, da adalah fugsi eksplisit, sedagka cotoh 4, 5, da 6 adalah fugsi implisit Semua fugsi yag ditulis dalam betuk eksplisit dapat diubah peulisaya dalam betuk implisit, aka tetapi tidak semua fugsi yag ditulis dalam betuk implisit dapat diubah dalam betuk eksplisit Perhatika cotoh 5 di atas Selajutya dari fugsi-fugsi tersebut, dapat ditetuka turuaya Defiisi I- Turua fugsi y f() adalah fugsi lai yag diotasika dega f () da didefiisika oleh f () lim 0 f ( ) f ( ), asalka limitya ada Tulis ( + ) t Jelas t Karea 0 maka t Sehigga defiisi turua di atas dapat diyataka dalam betuk lai

4 f () lim t f ( t) t f ( ), asalka limitya ada dy Notasi lai utuk turua y f() diyataka dega, D f ( ), df ( ) Jika fugsi yag diketahui diyataka dalam betuk implisit, maka turuaya dapat dilakuka dega megguaka kaidah differesial yaitu dega cara mediferesialka masig-masig variabel dalam fugsi tersebut Berikut ii diberika beberapa cotoh meetuka turua fugsi eksplisit da implisit Cotoh I- dy Berikut cara mecari dari beberapa fugsi yag diberika Dipuyai y + C Berdasarka defiisi di atas diperoleh dy lim 0 f ( ) f ( ) lim 0 lim 0 lim ( ) ( ) 0 { } 0 lim lim 0 Dipuyai y ( ) Berdasarka defiisi di atas diperoleh dy lim 0 f ( ) f ( )

5 ( ) lim 0 ( ) ( ) lim 0 {( )( )} lim 0 ( )( ) ( ) Fugsi-fugsi yag mempuyai turua sebagaimaa dijelaska pada cotoh di atas disebut fugsi yag differesiabel (dapat dituruka) Dega cara yag sama, jika y maka turuaya ditetuka oleh: dy lim 0 f ( ) f ( ) ( ) Lim 0 lim 0 lim 0 ( )! ( )! ( ) ( ) ( )( )! ( )( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) lim [ ( ) ( ) ( ) ] 0!! Dipuyai y 5 0 Dega mediferesialka masig-masig variabel, diperoleh: d( ) + d(y ) - d(5) d(0) ydy 0 dy + y 0 dy y

6 dy 4 Tetuka dari y + y 0 Peyelesaia: Jelas d( y) + d(y ) d() d(0) ( dy + y) + (ydy + y ) 0 (y + y ) + (y + ) dy 0 dy y y - y Secara umum, misal u u(), v v(), da w w() adalah fugsi yag masig-masig dapat dituruka da c sebarag bilaga real, maka dega megguaka defiisi turua dapat ditetuka beberapa rumus umum turua fugsi sebagai berikut d (c) 0 d () d ( ) d (u ) u d (u) d d d ( u + v) (u) + (v) d d d (u v) (u) (v) d d d d ( u v w ) (u) (v) (w) d d (cu) c (u) d d d (uv) u (v) + v (u) d d d d 0 (uvw) uv (w) + uw (v) + vw (u) 4

7 du dv v u d u ( ) v v Bukti sifat-sifat di atas diserahka kepada pembaca sebagai latiha dy Selajutya, dega megguaka defiisi turua lim 0 bawah ii f ( ) y cos, maka dy lim 0 0 f ( ) f ( ), dapat ditujukka beberapa turua fugsi geometri di f ( ) cos( ) cos lim ( ) ( ) si si lim 0 si( ) lim si 0 -si Aalog, diperoleh turua fugsi trigoometri yag lai: d (si) cos d (cos ) -si d (ta ) sec d (cot ) -csc d (sec ) sec ta d (csc ) -csc cot 5

8 I Atiturua Atiturua merupaka balika dari turua, sehigga utuk mempelajariya harus dikaitka dega turua fugsi Meurut defiisi turua, jika y Dega cara yag sama, diperoleh Jika y + maka Jika y - maka dy dy Jika y - 00 maka 4 Jika y + dy maka dy dy maka, da seterusya 7 Dega kata lai, utuk y + C, C R maka dy Karea atiturua merupaka balika dari turua, maka peulisa betuk di atas dapat disederhaaka dega A + C Hal ii berarti bahwa fugsi y C, dega C R mempuyai turua dy atau atiturua dari f() adalah F() + C, C R Fugsi-fugsi yag dapat ditetuka atituruaya disebut itegrable (teritegralka) Defiisi atiturua diberika di bawah ii Defiisi I- Dipuyai F: I R da f: I R Jika F () f() utuk setiap ε I maka F disebut suatu ati turua f pada selag I Jika merupaka suatu titik ujug dari I maka F, () haya perlu turuaa satu sisi Dalam hal yag lebih umum, betuk A + C + C diyataka dega 6

9 Jadi, Jika y f() mempuyai atiturua F() + C, maka f() F() + C, C ε R Betuk f() F() + C, f() disebut itegra da F() + C disebut ati turua Teorema I- Jika r sebarag bilaga rasioal kecuali, maka r r C r Bukti: Utuk megembagka suatu hasil yag berbetuk f() F() + C, C Real Kita cukup meujukka bahwa [ F( ) C] f ( ) D Dalam kasus di atas r r D C r ( ) r r Teorema I-4 si cos + C da cos si + C Kelieara itegral diberika oleh teorema berikut Teorema I-5 Dipuyai f da g fugsi-fugsi yag mempuyai turua da K suatu kostata Utu f da g berlaku atura di bawah ii Kf ( ) K f ( ), ( ) g( )] f ( ) [ f g( ), ( ) g( )] f ( ) [ f g( ), Bukti: Utuk membuktika teorema di atas, cukup dega medeferesialka ruas kaa da amati bahwa kita memperoleh itegra dari ruas kiri [ ()] [ ()] K Kf() 7

10 [ () ()] [ () ()] Cotoh I- [ ()] [ ()] + [ ()] [ ()] f() + g() f() g() Tetuka itegral berikut berdasarka sifat itegral di atas Peyelesaia: Jelas Peyelesaia: C C C Jelas / / / ( ) Peyelesaia: Jelas ( ) ( ) 8 / 5 / / / 8 / 5 / C 4 5 8

11 Teorema I-6 Diberika f fugsi yag differesiabel da bilaga rasioal dega, maka: f ( ) r f '( ) f ( ) r r C, C Real Cotoh I- Hituglah 4 4 Peyelesaia: Jelas d (4 ) 8 Jadi 4 4 d(8) y Hituglah dy y 5 Peyelesaia: / (4 ) C / Jelas d(y 5) 4y dy (4 / ) + C Jadi y dy y 5 (y 5) / ydy ( y 5) / 4 ydy 4 / (y 5) 4 ydy 4 / (y 5) C 4 / y 5 C 9

12 Hituglah si(6 ) Peyelesaia: Tulis U 6 + Jelas du 6 atau du du Jadi si(6 ) si U ( cosu ) C 4 Hituglah cos si Peyelesaia: Tulis A cos Jelas A cos(6 ) C cos da A da (-si ) cos si A ( A) da - A da A C Cotoh I-4 ( cos A) C Tetuka: (a) ( cos ) da (b) ( ) Peyelesaia: (a) Jelas ( cos ) cos C ) (si C ) ( si ( C C ) si C (b) Jelas ( ) C 0

13 Teorema berikut diperluka utuk meetuka itegral tak tetu fugsifugsi komposisi yag juga dikeal dega teorema peggatia Teorema I-7 (Peggatia) Dipuyai y g() mempuyai turua pada D g da Bukti: Dipuyai R g I d[ F[ g( )]] Jadi F' [ g( )] f [ g( )] f [ g( )] d[ g( )] R g I dega I adalah suatu selag Jika y f () terdefiisi pada selag I sehigga F' ( ) f ( ), maka f [ g( )] g' ( ) F[ g( )] C Jadi f [ g( )] d[ g( )] F[ g( )] C f [ g( )] g' ( ) F[ g( )] C Cotoh I-5 9 Tetuka: (a) cos, 0( 5) (a) Strategi: () Igat rumus: cos si C () Jika digati, diperoleh: (b) Strategi: cos d() si C () Igat rumus: 9 0 C 0 () Jika digati (+5), diperoleh 0 9 ( 5) () ( 5) d( 5) C 0 6, da (c) ( 6) ( ) Peyelesaia: Jelas cos cos d() si C Peyelesaia: 9 Jelas 0( 5) 0 ( 5) ( 5) d( 5) 0 ( 5) 0 C 0 ( 5) 0 C

14 (c) Strategi: () Igat rumus: C () Jika digati 6, Diperoleh: ( 6) 6 d( 6) 7 ( 6) C 7 () Jelas d ( 6) ( ) Peyelesaia: 6 Jelas ( 6) ( ) 6 ( 6) d( 6) 7 ( 6) C 7 Teorema I-8 (Itegral Parsial) Jika U U () da V V () adalah fugsi-fugsi yag mempuyai turua pada selag buka I, maka U dv U V V du Bukti: Dipuyai d ( U V ) U dv V du Jadi d U V ) ( U dv ( V du ) V U dv U V du U dv U V V du Teorema ii efektif apabila U dv sulit dicari, aka tetapi V du dega mudah dapat ditetuka Cotoh I-6 Tetuka: (a) cos da (b) si

15 (a) Strategi: () Ubah cos mejadi d(si ) () Tulis U () da si V ( ) () Guaka Teorema 7 (b) Strategi () Ubah si mejadi d(cos ) () Tulis U ( ) da cos V ( ) () Guaka Teorema 7 (4) Ubah cos mejadi d(si ) (5) Guaka sekali lagi Teorema 7 Peyelesaia: Jelas cos d(si ) si si si cos C Peyelesaia: Jelas si d(cos ) [ cos cos d( )] cos cos cos d(si ) cos ( si si ) cos si cos C Berikut ii disearai beberapa rumus tekis yag diperoleh berdasarka pegalama No Rumus Tekis No Rumus Tekis C 9 0 C csc cot csc C si C 4 C si cos C ta cos C C cot C sec C csc C

16 5 cos si C a du U si U a C sec ta C 4 csc cot C 5 sec ta sec C du ta a U a U U cos C a U a C U cot C a a du sec U a U a C U csc C a a Cotoh I-7 Tetuka: (a) (b) (c) si (e) si 4 (f) si (g) cos (i) ( ) (j) 5 (k) 4 (d) si (h) (l) ta 4 Strategi: () Igat rumus C () Jika digati (-), diperoleh: () ( ( ) d( ) ) C (4) Igat bahwa d( ) Peyelesaia: (a) Jelas ( ) ( ) d( ) ( ) C ( ) C 4

17 Strategi: () Ubah mejadi betuk yag ada seperti pada cotoh (a) Peyelesaia: (b) Jelas [ ( )] ) ) ) ( ) ( ) 4 ( ) 6 ( ) 0 C (c) Peyelesaia: Jelas ( ) [( ) ]( ) ( ) ( ) ( ) d( ) ( ) ( ) C d( ) Strategi: () Igat d (cos ) si () Igat C () Jika digati cos diperoleh: cos cos d(cos ) C Peyelesaia: (d) Jelas si si si ( cos ) d(cos ) d (cos ) cos d(cos ) cos cos C 5

18 Strategi: () Igat rumus si cos si si cos Peyelesaia: (e) Jelas si 4 cos (si ) cos 4 cos 4 cos d() 4 4 cos 4 4 si cos 4 d(4) si si 4 C si si 4 C 8 4 Strategi: () Tulis y Peyelesaia: (f) Jelas si () Jelas dy () Jadi si y si y dy y d(cos y) yt d(cos y) y cos y cos y dy y cos y si y C cos si C (4) Selajutya guaka itegral parsial, yaitu: UdV UV V du 6

19 Strategi: () Igat d ( cos ) si () Igat C () Jika digati cos, diperoleh: ( cos ) ( cos ) C d( cos ) Peyelesaia: si (g) Jelas cos ( cos ) d( cos ) ( cos ) C cos C Strategi: () Igat rumus: sec ta, d (ta ) sec, C, da sec ta C Peyelesaia: (h) Jelas ta 4 ta ta ta (sec ) ta sec ta ta d(ta ) (sec ) ta sec ta ta C Strategi: () Tulis y () Jelas dy Peyelesaia: (i) Jelas ( ) dy y ta y C ta C 7

20 Strategi: () Tulis 5 mejadi ( ) 4 () Igat rumus: ta C () Jika digati d Strategi: () Ubah ta, diperoleh: 4 mejadi: ( 4) 4 4 ( ) () Igat Rumus: Strategi: si C C d( ) () Igat ( ) () Tulis [ ( )] da ( ) Peyelesaia: (j) Jelas 5 ( ) 4 4 d ta C Peyelesaia: (k) Jelas 4 4 ( ) d( ) si C Peyelesaia: (l) Jelas ( ) ( ) ( ) 8

21 9 ) ( ) ( d ) ( ) ( d C ) ( si

22 I Evaluasi Kerjaka soal-soal di bawah ii Periksa kebeara peryataa berikut ii: (a) F ( adalah ati turua dari f ( ) 0 ) (b) (c) (d) F( ) merupaka atu turua f ( ) F( ) cos merupaka ati turua dari f ( ) cos si F ( ) merupaka ati turua dari f ( ) pada Jika suatu fugsi y f () terdefiisi utuk 0, melalui titik (4,0), da gradie garis siggug di setiap titik ditetuka oleh persamaa f '( ), tetukalah persamaa fugsi f Berika masig-masig buah cotoh utuk membearka Teorema 5, yaitu: ( ) g( )] f ( ) [ f g( ) da K f ( ) K f ( ) 4 Hituglah ati turua dari: (a) f ( ) (b) f ( ) si 5 Tetuka: (a) 4 (d) cos si (b) (c) 5 si (e) cos (f) 0

23 BAB II INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN Pada BAB ii dibicaraka teorema yag cukup meladasi tetag itegral, yaitu teorema dasar kalkulus da Dega ditemukaya dua teorema ii duia mejadi gempar Perhituga itegral yag tadiya harus dihitug dega waktu lama, bahka perlu dibatu dega mesi hitug, dega kledua teorema ii pekerjaa mejadi cukup sederhaa da dapat diselesaika dega cepat tapa batua mesi hitug Dibuka dega pasal yag berisi tijau ulag tetag otasi sigma II Notasi Sigma Perhatika jumlah 0 bilaga asli pertama: Betuk ii dapat ditulis dega 0 yag dibaca"sigma I, I dari sampai 0" Dega cara serupa, dapat diyataka: 0 i i (a) (b) 50 (50) s, i s a a a a a i, (c) 0 0, da (d) 4 5 i i Cotoh II- 0 Jelas i 0 i ( ) ( 4 5 0) 0 i i i i Cotoh II- Tulis dega otasi sigma betuk-betuk berikut ii: (a), (b) ,

24 (c) , da (d) Strategi: Peyelesaia: () Tulis c utuk setiap i,,,4,5 i (a) Jelas c c c c4 c5 5 c i i Strategi: () Igat: Bilaga asli gajil yag ke- adalah 5 i Peyelesaia: (b) Jelas (i ) i Strategi: () Igat: Bilaga asli geap yag ke- adalah () Jelas 8 9 Strategi: () Jelas:, 5, 0 0 Peyelesaia: (c) Jelas Peyelesaia: (d) Jelas i ( i 9 ) Berikut ii disajika beberapa teorema yag serig diguaka Khususya dalam perhituga itegral tetu melalui limit jumlah Riema Teorema II- (a) (b) i i c c utuk sembarag kostata c, c a c c a i i (c) ( c ai d bi ) c ai d i b i

25 Strategi: Tulis c i c utuk setiap i,,, Bukti (a): Jelas i c i c i c c c c c c c Bukti (b): Jelas i c c a ai c a c a c a a a ) ( Bukti (c): c a i i Jelas ( c ai d b i ) ( c a d b ) ( c a d b ) ( c a d b ) i c a c a + d b d b c a i + d b i i i c a d b Cotoh II- Hituglah: (a) 5 Peyelesaia: 6 i 5 da (b) ( i i 4i 5) (a) Jelas 5 6 i (b) Jelas ( i 4i 5) i + 4i - 5 i 5 i 5 i ( ) + 4(+++4+5) i

26 II Iduksi Matematika Iduksi matematika merupaka pembuktia kebeara suatu peryataa P() bear utuk setiap bilaga asli atau bilaga cacah Dua lagkah baku dalam iduksi matematik, yaitu: pertama P() bear da kedua P(k+) bear apabila P(k) bear Dega demikia dapat diyaka: P() bear P() bear P(k+) bear apabila P(k) bear Cotoh II-4 ( ) Buktikalah: (a), (b) utuk setiap bilaga asli, (c) 8 habis dibagi utuk setiap bilaga asli, ( )( ) (d) 4 9, 6 (e) i i ( ), da (f) i i 4 ( )(6 9 0 ) Buktiya sederhaa Berikut ii haya dibuktika butir (a), sedag butir yag lai diserahka pembaca sebagai latiha 4

27 Bukti (a): Tulis i Tulis P () Jelas P () i ( ) : i i ( ) : i i ( ) Jelas i da i Jadi P() bear Jadi Dipuyai P(k) bear k i k( k ) i k Jelas i i k k( k ) i ( k ) ( k ) i Jadi P(k+) bear apabila P(k) bear ( k )[( k ) ] Jadi P() bear ( ) Jadi II Jumlah Riema Pada pasal ii disajika pegertia jumlah Riema suatu fugsi yag meru-paka Defiisi II- dasar pedefiisia itegral tetu Dipuyai [a,b] suatu selag tutup Suatu partisi himpua yag terdiri (+) bilaga dega, P utuk selag [a,b] adalah sembarag 0,,,, a 0 b 5

28 Cotoh II Jelas bahwa P 6,,,,, adalah suatu partisi utuk selag [,] Agar 4 lebih memahami kosep yag dikembagka, perhatikalah gambar berikut ii Gambar II- P 6 suatu partisi utuk [,] Gambar II- P 6 suatu partisi utuk [,] memperlihatka bahwa dega partisi P 6, selag [,] terbagi mejadi 6 buah subselag, yaitu: [, ],[, ],[, ],[,],[, ], da [,] 4 4 Pajag utuk tiap subselag tidak perlu sama, sebagai cotoh, pajag subselag pertama ditulis dega: Selajutya: , 4 4, 6, 5 5 4, da Pajag subselag terbesar diyataka dega P 6 dibaca dega "orm P 6 " Dega demikia pada cotoh ii P 6 6

29 Cotoh II-6 Periksa apakah 4 0,,,,,, merupaka suatu partisi utuk selag [0,] Jika merupaka suatu partisi, tetuka ormya Peyelesaia: 4 Tulis P 0,,,,,, Jelas Jadi P suatu partisi utuk selag [0,] 4 Jelas P maks 0,,,,, , 6 0, 5 5 Defiisi II- Dipuyai t i [ i i Bagu f : [ a, b] suatu fugsi, P suatu partisi utuk selag [a,b], da, ] Bagu R f ( ti ) i R disebut Jumlah Riema utuk f pada selag [a,b] Cotoh II-7 Tetuka jumlah Riema utuk fugsi f ( ) 5 8 pada selag [0,5] dega partisi 0 <, < <, < 4 < 5 da titik sampel t 0,5, t, 5, t, 5, t, 6, da t Peyelesaia: Jelas R 5 i f ( t i ) i f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t4 ) 4 f ( t5 ) 5 5 f ( )( 0) f ( )(,) f ( )(, ) f (,6)(4,) f (5)(5 4) (7,875)(,)+(,5)(0,9)+(-,65)(,)+(-,944)(0,8)+ (8),9698 7

30 Gambar situasiya: Y ,5,6 0 X 0,5,5 4, Gambar II- Iterpretasi Geometri dari R 5 Cotoh II-8 Hituglah jumlah Riema utuk fugsi F( ) 9 pada selag [0,9] Peyelesaia: megguaka partisi 0 < < < 4 < 6 < 7 < 9 da titik sampel t i yag merupaka titik-titik tegah subsela ke i Jelas 0 0,,, 4, 6, 7, da Selajutya: t 0 0, t, 4 t, 6 4 t 4 4 5, t t , da 8

31 Jadi 6 R 6 i f ( t i ) i f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t4 ) 4 f ( t5 ) 5 f ( t6 ) 6 f ( )( 0) f ( )( ) f ()(4 ) f (4)(6 4) f (5)(7 6) f (6)(9 7) II4 Itegral Tertetu Pada pasal i didefiisika pegertia itegral tertetu sebagai limit jumlah Riema sebagai berikut Defiisi II-4 Dipuyai fugsi f : [ a, b] Jika lim f ( t ) ada P 0 i i i maka dikataka fugsi f teritegralka secara Riema pada selag [a,b] Selajutya ditulis lim f ( ti ) i P 0 b i a f ( ) disebut itegral tertetu (itegral Riema) fugsi f dari a ke b Catata: (a) Defiisi formal itegral tertetu diberika dega, (b) Dalam kasus selag [a,b] dibagi mejadi bagia sama pajag, maka P 0 m, (c) Pada betuk b a f ( ), f disebut itegr, a disebut batas bawah, da b disebut batas atas itegral, 9

32 (d) Dalam kasus fugsi f kotiu pada selag [a,b] da f ( ) 0 pada [a,b], b a f ( ) meyataka luas daerah yag dibatasi oleh grafik f, garis a, garis (e) b, da sumbu X, Itegral tertetu adalah suatu bilaga riil yag dapat berilai positif, ol, atau egatif Cotoh II-9 b Hituglah ( ) a Peyelesaia: Tulis f ( ) Bagu partisi utuk selag [,4] yag membagi selag [,4] mejadi buah Jelas subselag yag sama pajag 4 i utuk setiap I,,,, Jelas 0,, Pilih i i,, t utuk setiap t, ] i [ i i i i i Jadi f ( ti ) f ( ) i ( i ), i i, da 4 b Jadi ( ) lim a P 0 i f ( t ) i i i lim i 9 6 lim i i i 9 ( ) 6 lim 9 ( ) 6 lim 9 6 0

33 Cotoh II-0 Hituglah 0 Peyelesaia: Bagu partisi utuk selag [0,] yag membagi selag [0,] mejadi buah Jelas subselag yag sama pajag 0 i utuk setiap I,,,, Jelas 0 0,,,, i i Pilih t i i i, i i, da Jadi 0 lim P 0 i f ( t ) i i i lim i Cotoh II- Hituglah b a lim ( i i ) i lim i i i i i ( )( ) ( ) lim 6 ( )( ) lim 6 Peyelesaia: Bagu partisi utuk selag [a,b] yag membagi selag [a,b] mejadi buah subselag yag sama pajag b a Jelas i utuk setiap I,,,,

34 Jadi a 0, b a a, i( b a) i a da b Pilih t i i ( b a) ( i )( b a) a,, i a, Jadi b a lim P 0 i f ( t ) i i lim i ( i )( b a) b a a a( b a) b a lim ( i ) i a( b a) lim i b a a( b a) b a lim i ab a b a ab ( i ) ( ) b a II5 Teorema-teorema Itegral Tertetu Defiisi itegral; tertetu dari fugsi f pada selag [a,b] dapat diperluas utuk kasus Defiisi II-5 b a, atau b < a yag didefiisika sebagai berikut (a) Jika f (a) terdefiisi maka f ( ) 0 (b) Jika a > b da a f ( ) terdefiisi, maka a b b a a b f ( ) a f ( ) Teorema II-6 Jika fugsi f kotiu pada selag [a, b], maka f teritegral secara Riema pada selag [a, b]

35 Teorema II-7 b a lim P0 Bukti: Tulis f () Jelas f terdefiisi pada Buat partisi utuk selag [a,b] yag membagi selag [a,b] mejadi buah subselag yag sama pajag b a Jelas i utuk setiap I,,,, Pilih sembarag t, ] i i b a i [ i i Jadi b a f ( ) lim f ( ti ) i Teorema II-8 P 0 i b a lim lim( b a) i b a b a K lim K i K( b a) P 0 i Buktiya sederhaa, diserahka kepada pembaca sebagai latiha Teorema II-9 Jika fugsi-fugsi f da g teritegral pada selag [a,b], maka fumgsi-fugsi (f + g) da Kf dega K kostata teritegralka, yaitu: b () f ) g( ) da a ( b a f ( ) + b g ( ) a () b K f ( ) b K f ( ) a a Bukti: () Buat partisi utuk selag [a,b] yag membagi selag [a,b] mejadi bah subselag yag sama pajag

36 b Jadi f ) g( ) a ( lim f ( t ) g( t ) P 0 i i i lim f ( ti ) i + lim g( t P 0 i i P 0 i ) i i b a f ( ) + b g ( ) a Diserahka kepada pembaca sebagai latiha Teorema II-0 Jika D adalah daerah daerah tertutup yag dibatasi grafik fugsi f, garis a, b, da sumbu X maka Iterpretasi geometri Teorema II-0: Y f b L f ( ) a 0 a b Gambar II- Grafik f pada [a, b] X Teorema II- Jika fugsi f kotiu pada suatu selag yag memuat a, b, da c maka b a f ( ) c a f ( ) + b c f ( ) tapa memperhatika uruta a, b, da c Bukti: Kasus a < c < b: 4

37 Buat [partisi utuk selag [a,b] yag membagi selag [a,b] mejadi buah subselag yag sama pajag da c merupaka suatu titik ujug suatu subselag Tulis m + p dega m merupaka bayak subselag dalam selag [a,c] da p adalah bayak subselag dalam selag [c,b] Tulis z da uk t m k k m k Jadi b a f ( ) lim P 0 i f ( t ) i i m lim f ( ti ) i f ( uk ) k z i k lim f ( ti ) i + lim i p k f ( u ) z k i c a f ( ) + b c f ( ) Kasus c < a < b: Berdasarka kasus, dapat disimpulka bahwa b c f ( ) a c f ( ) + b a f ( ) Jelas a c f ( ) c f ( ) a Jadi b c f ( ) c f ( ) + b a f ( ) a b a f ( ) c a f ( ) + b c f ( ) 5tapa memperhatika uruta dari a, b, da c Teorema II- Jika f teritegral pada selag [a, b] da f ( ) 0 pada selag [a, b] maka b a f ( ) 0 5

38 Bukti: Buat partisi utuk selag [a,b] yag membagi selag [a,b] mejadi buah subselag yag sama pajag Jelas lim f ( t ) P 0 i i i b Adaika a f ( ) 0 Pilih t [ a, b ] f ( t ) 0 i i Ii adalah suatu kotradiksi i i b Jadi a f ( ) 0 Teorema II- Jika f da g teritegral pada selag [a, b] da f ( ) g( ) pada [a, b] Maka b ) a b f ( g( ) a Bukti: Dipuyai f ( ) g( ) pada selag [a, b] Jelas g ( ) f ( ) 0 pada selag [a, b] b Jadi [ g( ) f ( )] 0 b a g ( ) f ( ) 0 a b a b a b f ( ) g( ) a 6

39 Teorema II-4 Jika f kotiu pada selag [a, b], m mi f ( ), da M maks f (), maka ab b m ( b a) f ( ) M ( b a) a ab Bukti: Dipuyai m mi f ( ) da M maks f () ab Jelas m f ( ) M ab Jadi b a b b m f ( ) M m ( b a) f ( ) M ( b a) a a b a Iterpretasi geometri Teorema II-4: M Y m 0 a b X Gambar II-4 Terlihat bahwa luasa yag diyataka dega b m ( b a) f ( ) M ( b a) a Cotoh II- Hituglah: (a) ( ) (b) 6 (c) ( 6 7) Strategi: Peyelesaia: () igat da 0 0 (a) Jelas ( ) 0 7

40 () Guaka teorema keliiera 0 0 (b) Jelas 6 ] 5 6 (c) Jelas ( 6 + 7) + 7] II6 Pediferesiala Itegral Tertetu terhadap Batas Atasya Teorema II-5 Jika f kotiu pada selag [a, b] da suatu titik dalam [a, b] maka d f(t)dt f() Cotoh II- Tetuka: (a) d t dt d (t (b) )dt Peyelesaia: (a) Jelas t dt Jadi Atau Berdasarka Teorema II-5 diperoleh d t dt (b) Jelas (t )dt t 8

41 Jadi Atau () 6 Berdasarka Teorema II-5 diperoleh d (t )dt d (t )dt d( ) ( ) 6 d( ) Berikut ii merupaka teorema ilai rata-rata itegral Teorema II-6 Jika f kotiu pada selag [a, b] da maka terdapat suatu bilaga c atara a da b sedemikia higga Berikut ii merupaka teorema substitusi dalam itegral tertetu Teorema II-7 () fg()g ()dt f(u)du f(t)dt f(c)(b a) Jika g mempuyai turua kotiu pada [a, b] da f kotiu pada daerah ilai g maka () Teorema Dasar Kalkulus Teorema dasar Kalkulus memberika kemudaha utuk meghitug Itegral Tetu, berikut teorema tersebut : Teorema II-8 Jika f() kotiu pada [a, b] da F() sebarag ati turua f(), maka b a f ( ) F(b) F(a) Selajutya ditulis F(b) F(a) [ F ( )] b a Cotoh II-4 Perlihatka bahwa jika r Q da r -, maka b a r r r b a r r 9

42 Peyelesia Karea F() r r suatu ati turua dari f() r, maka meurut teorema dasar b r r r b a Kalkulus F( b) F( a) r r Teorema II-9 a Jika f() fugsi geap, yaitu suatu fugsi yag memeuhi sifat f( ) f(), maka: a a a 0 f ( ) f ( ) da Jika f() fugsi gajil, yaitu suatu fugsi yag memeuhi sifat f( ) f(), maka a a f ( ) 0 Cotoh II-5 Jelas cos cos Jelas Tetuka hasil itegral ( ) 0 Peyelesaia: 8cos ( ) 0 0 ( ) (4+) (0+0) 6 Peyelesaia: Misalya u ( ) du du 40

43 Utuk 0 maka u da utuk maka u 9, sehigga: 0 du ( ) u 4 ( u ) udu Peyelesaia: 9 u Misal p u p u p dp du Utuk u maka p Utuk u 4 maka p, sehigga: 4 ( u ) udu ( p ) p pdp ( p p ) dp p () 4 4 p () () 4 () Peyelesaia: Misal A 5 Utuk 4 maka A A 5 A da Utuk 8 maka A 7, sehigga AdA A da [A] Jelas 5 6 l

44 l l l l Tetuka b a f ( ), utuk0 dega f(), utuk, utuk Peyelesaia: Soal di atas dapat diselesaika dega megguaka sifat b a c f ( ) f ( ) f ( ), c ( a, b) sehigga: a b c b a ( f ) (-0) +(4-) + 5 / 9 8 Meurut defiisi fugsi harga mutlak, betuk di atas dapat diyataka dega (8/ 0) (0 8/) 6 0 4

45 Berdasarka cotoh di atas, tetuka hasil pegitegrala fugsi-fugsi berikut ii: 8 ( ) ( ), dega sifat itegral diperoleh C ( ) C C 5 5 ( ) C C C 5 5 ( ) C 5 4

46 II7 Evaluasi Kerjaka soal-soal berikut ii ( z ) dz z s( s ) s ds ( ) e / 4 si / 6 5 Misal u 4- u atau 4 - u u - u du atau du si 0 0 / 0 / si / cos 0 6 ( ) 7 ( ) ( ) 8 ( ) 9 l( ) / 4 0 si 0 ( ) a / / 4 a a 5 / cos 0 si 44

47 / 6 si cos 0 7 Hituglah b a f ( ), jika: a f(), utuk0 ( ), utuk b f(), utuk0, utuk, utuk 0 c f(), utuk0 d f() utuk e f() f f() (- ) g f(), utuk -, utuk - 45

48 BAB III PENGGUNAAN INTEGRAL III Luas Daerah Bidag Datar Pada bagia ii dibicaraka tetag pegguaa itegral tertetu utuk meghitug luas daerah pada bidag Datar Defiisi III- Dipuyai D adalah daerah yag dibatasi oleh grafik fugsif dega f() 0 utuk setiap ε[a, b], a, b da sumbu X Jika A adalah luas daerah D, maka A f() Defiisi III- Dipuyai D adalah daerah yag dibatasi oleh dua grafik fugsi f da g dega f() g() utuk setiap ε[a, b], a, b da sumbu X Jika A adalah luas daerah D, maka A [f() g()] Teorema III- Dipuyai D adalah daerah yag dibatasi oleh grafik fugsi f yag kotiu pada [a, b] da f() < 0 utuk setiap ε[a, b], a, b da sumbu X Jika A adalah luas daerah D, maka A f() III Volume Beda Putar Suatu daerah D pada bidag datar apabila diputar dega suatu poros tertetu aka meghasilka suatu beda putar Volum beda putar tersebut dapat dihitug dega megguaka itegral tertetu 46

49 Metode Cakram Dipuyai fugsi f kotiu pada selag [a, b] Misalka daerah D dibatasi oleh grafik f, sumbu X, a, da b diputar dega poros sumbu X aka membagu suatu beda putar Volum beda putar tersebut aka dicari dega megguaka metode cakram sebagai berikut Buat partisi utuk selag [a, b] Pilih titik sampel t i [ i, i ] Volum cakram ke-i adalah Jadi Metode Cici Jadi V π [f(t )] V lim π [f(t )] π [f()] Misalka daerah D dibatasi oleh grafik fugsi g da h dega g() h() pada [a, b], a, da b Aka ditetuka volum beda yag terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu X Buat partisi utuk selag [a, b] pada sumbu X Pilih titik sampel t i [ i, i ] Tulis V i : volum cici ke-i Jelas V π [g(t )] π [h(t )] π [[g(t )] [h(t )] ] V lim π [[g(t )] [h(t )] ] π [[g()] [h()] ] Metode Sel Silider (Kulit Tabug) Dipuyai daerah D yag dibatasi oleh grafik fugsi kotiu f dega f() 0 pada selag [a, b], garis a, garis b, da sumbu X Aka ditetuka volum beda yag terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu Y Bagu partisi utuk selag [a, b] Pilih titik sampel t i [ i, i ] dega t i berada tepat di tegah subselag [, ] Jadi t Tulis V i volume silider ke i atau t 47

50 Jelas V π f(t ) π f(t ) Jadi π f(t )( ) π f(t )( + )( ) π t f(t ) V lim π t f(t ) π f() 48

51 BAB IV FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN, DAN FUNGSI HIPERBOLIK IV FUNGSI LOGARITMA Fugsi logaritma merupaka fugsi yag serig dijumpai dalam te-rapa Sebagai cotoh model pertum-buha populasi da model peluruha radio aktif yag sederhaa Pada bab ii diawali dega membagu fugsi logaritma asli Dipuyai C utuk Masalahya sekarag bagaimaa mecari Bagu fugsi f: (0,+)R dega Grafik f disaji-ka berikut ii Y f (t) Jelas bahwa f kotiu t f +h Gambar IV- Grafik fugsi f dega T f t) t ( Lagkah selajutya bagu pegaita ditujukka F merupaka suatu fugsi () Ambil sembarag (0, ) F : (0, ) R dega dt F () t Aka Kasus : dt Jelas F() 0 R t Pilih 0 R Jelas 0 F() Kasus > : Tulis + h, h > 0 Jelas F() F( h) Pilih 0 R h dt 0 R + t Jelas 0 F() 49

52 Kasus 0 < < : Tulis, 0 < < dt Jelas F() F( ) t Pilih R Jelas F() t dt R Jadi (0, ) y R y F() () Ambil sembarag, (0, ), Jelas F( ) dt t dt t F( ) Jadi, (0, ),, F( ) F( ) Jadi F suatu fugsi Sekarag dikaji lebih medalam megeai sifat-sifat fugsi F tersebut Berdasarka sifat-sifat yag teridetifikasi, aka dapat dibuat sket grafik F Fugsi sifat-sifat: (a) F() 0 (b) F() > 0 apabila > F : (0, ) R yag di-defiisika sebagai dt F () t memi-liki (c) F() < 0 apabila 0 < < (d) F() ada pada (0,+) Bukti: Tulis f (t) t Jelas f kotiu pada (0,+) Jadi F() ada da (e) F kotiu pada (0,+) (f) Grafik F aik Bukti: F () Ambil sembarag, (0, ), Jelas F( ) dt t dt F( ) t 50

53 (g) Jadi, (0, ),, F( ) F( ) Jadi grafik F aik lim F() da (h) Grafik F cekug ke bawah Bukti: lim F() 0 Ambil sembarag (0, ) Jelas > 0 Jelas F() d [ F ( )] d( ) 0 Jadi grafik F cekug ke bawah Berdasarka sifat-sifat fugsi F ii, dapat dibuat sket grafik F sebagai berikut Y f 0 X Gambar IV- Grafik F dega dt F () t Selajutya fugsi yag diba-gu ii diberi lambag dega F() l da disebut dega fugsi logaritma asli Berdasarka defiisi itu, diperoleh suatu teorema: Teorema IV- d(l ) dega 0 Cotoh IV- Tetuka f() apabila: (a) f() l, (b) f() l ( + 5), da (c) f() l 7 ( ) 5

54 Strategi: () Igat rumus d(l ) () Jika digati, diperoleh: d[l()] d() () Guaka atura ratai Peyelesaia (a): d[ f ( )] Jelas f ( ) d (l ) d() d() Strategi: () Igat rumus d(l ) () Jika digati ( + 5), diperoleh: d[l( 5)] d( 5) 5 () Guaka atura ratai Strategi: () Igat rumus 7 d( ) 6 7 () Jika digati l 7 ( ), diperoleh: 7 d[l ( )] 6 7l ( ) d[l( )] () Guaka atura ratai Peyelesaia (b): Jelas f () d[f ()] d[l( 5)] d( 5) d( 5) 6 5 Peyelesaia (c): Jelas d[ f ( )] f ( ) d [l 7 ( )] d [l 7 ( )] d[l ( )] d( ) d[l ( )] d( ) 6 [7l ( )] 6 4l ( ) 5

55 asli Berikut ii disajika beberapa teorema yag berkaita dega fugsi logaritma Teorema IV- Jika a, b, rr, a > 0, b > 0, da r rasioal maka: (a) l(ab) l a + l b (b) (c) Bukti (a): Ambil sembarag (0, +) Bagu f: (0, +)R da g: (0, +)R dega f() l a da g() l Jelas a l b d(l a) d( a) f ( ) da d( a) Jadi f() g() + C l a l + C Pilih Jelas C l a Jadi l a l + l a Pilih b l a l b l a r rl a Jadi l(ab) l a + l b d(l ) g ( ) Bukti (b): Ambil sembarag (0, +) Bagu f: (0, +)R da g: (0, +)R dega f() l da g() l Jelas d(l b ) d( b ) f ( ) da d( ) b d(l ) g ( ) Jadi f() g() + C l l + C Pilih b Jelas C l b Jadi l l l b Pilih a Jelas l a l a l b b 5

56 Bukti (c): Buktiya sederhaa, diserahka kepa-da pembaca sebagai latiha IV Bilaga e Karea fugsi f: (0,+)R de-ga f() l kotiu, aik, da mempuiyai rage R f R, maka teorema ilai rata-rata utuk turua mejami adaya secara tuggal sehigga l Bilaga ii diberi lambag dega e Dega demikia dapat didefiisika: Defiisi IV- l e Telah ditujukka bahwa bi-laga e merupaka bilaga irrasioal da hampira e teliti sampai desi-mal adalah e, Dari Teorema I-, diperoleh: l e l e Dari persamaa ii dapat ditetuka titik-titik yag terletak pada grafik f() l Hasilya dicatat dalam daftar berikut ii Daftar : ilai l e e f() l e 0,54 0, ,788 7,

57 Jika titik-titik ii digambar, aka diperoleh gambar berikut ii: Y (e,) (e,) (,0) (e, ) (e, ) X (e, ) Gambar : Grafik f () l IV Logaritma Asli Sebagai Ati Turua Berdasarka defiisi fugsi lo-garitma asli dapat dituruka teorema berikut ii Teorema IV-4 Jika R, 0 maka l C Bukti: Tulis f () da F() l Ambil sembarag R, 0 Kasus < 0: Jelas l l ( ) d[ f ( )] Jadi F ( ) d [l( )] d( ) d( ) f() Kasus > 0: Jelas Jadi l l d[ f ( )] F ( ) d (l ) f() Jadi F() suatu ati turua f() Jadi ati diferesial f() adalah F() + C Jadi l C 55

58 Cotoh IV- Tetukalah itegral-itegral berikut ii: (a) cos (b) si (c) (d) Peyelesaia (a): Jelas Peyelesaia (b): d( ) l C cos d( si ) Jelas si si l si C Strategi: () Igat l C () Jika digati (+), diperoleh: d( ) l C () Jelas d(+) (4) Adaka koreksi akibat peggatia Strategi: () Igat l C () Jika digati ( + si ), diperoleh: d( si ) l si C si () Jelas d( + si ) ( + cos ) (4) Adaka koreksi akibat peggatia Peyelesaia (c) d( ) Jelas l C Strategi: () Igat l C () Jika digati ( + ), diperoleh: d( ) l C () Jelas d( + ) ( + ) (4) Adaka koreksi akibat peggatia 56

59 Peyelesaia (d): Jelas [( ) ] ( ) l C Strategi: () Sederhaaka mejadi ( ) () Igat l C () Jika digati ( + ), diper- oleh: d( ) l C (4) Jelas d( + ) (5) Adaka koreksi akibat peggatia Perhatia : Betuk l C dapat ditulis dalam betuk lai, sbagai cotoh: Tulis C l C Jadi l C l l C Cotoh IV- Dipuyai f: (e,)r, f () l (a) Tetuka luas daerah yag dibatasi oleh grafik f, sumbu X, e, da (b) Tetuka pajag busur grafik f Peyelesaia: Grafik f: Y X Gambar IV- Grafik f () l 57

60 Peyelesaia (a): Tulis A: luas daerah yag dimita Jelas A e f ( ) e l l l d(l e e ) e l e Peyelesaia (b): Dipuyai f() l e ( ) e e e e e d [ f ( )] Jelas f() d(l ) Tulis l: pajag busur grafik f Jelas l e [ f ( )] e e Tulis + y Jelas ydy da y Batas y: y Jadi l e e 4 y dy 4 y e y 4 e d ( y ) d ( y ) e e y e y + l y y 4 e 58

61 4 e l Cotoh IV-4 l e e 4 4 C Tetuka luas daerah yag dibatasi oleh grafk f(), sumbu X,, da e Peyelesia: Grafik f: Y f e X Gambar IV-4 Grafik f: [, e]r dega f() Tulis A: daeah yag diarsir Jelas < e e Jadi 0 e e e Jelas A f ( ) e e ( ) e e ( l e,9 Jadi hampira luas daerah yag diarsie adalah,9 satua luas IV4 Fugsi Ekspoe Asli Dipuyai fugsi f: (0,+)R dega f() l Jelas f kotiu da grafik f aik Ii meujukka bahwa fugsi f memiliki ivers Fugsi ekspo-e asli dibagu dega diawali dega defiisi berikut ii Defiisi IV-5 Jika (0,+) didefiisika y l e y 59

62 Berdasarka defiisi ii, fugsi ivers utuk f ditulis f dega f () e, < < + Jelas (f f )() f [f ()] l (e ) da (f f )() f [f ()] e l Karea f merupaka ivers f, maka utuk meggambar grafik f diperoleh dega mecermika grafik f terhadap garis y Daftar ilai f da f terlhat pada daftar berikut ii Daftar ilai f: e e e e l 0 Daftar ilai f : 0 e e e e e Grafik f da f seperti tampak pada gambar berikut ii Y y X Gambar IV-5 Grafik f () l da iversya Berikut ii disajika beberapa teorema fugsi ekspoe asli Teorema IV-6 Jika, R da r rasioal maka () e e e e () e e () ( ) r r e e 60

63 Bukti: () Tulis y e da y e Jelas l y da l y Jadi + l y + l y + l (y y ) y y e e e e () Tulis y e da y e Jelas l y da l y Jadi l l e l () Bukti utuk () diserahka pembaca sebagai latiha Teorema IV-7 Jika R maka d( e ) e Bukti: Ambil sembarag R Dipuyai l e Jelas d[l( e )] d( ) d[l( e )] d( e ) d( e ) d( e ) e d( e ) e Iterpretasi Geometri Teorema 47 Y (,e) 0 (e,) X Gambar IV-6 Grafik fugsi f: R R, dega f() e 6

64 Gambar IV-6 Grafik fugsi f: R R, dega f() e merupaka grafik fugsi f: R R dega f () e Teorema IV-7 meyataka bahwa f () f () Ii berarti bahwa kecederuga garis siggug di sembarag titik (, y) pada grafik f sama dega koordiat y titik tersebut Sebagai cotoh: (a) kemiriga garis siggug di titik (, /e) adalah /e (b) kemiriga garis siggug di (0,) adalah, da (c) kemiriga garis siggug di titik (, e) adalah e Cotoh IV-5 dy Tetuka apabila: (a) y e 6 (b) y e si Peyelesaia: (a) Jelas dy d( e 6 ) d( e 6 ) d(6) 6 e 6 6 e 6 d(6) Stratetgi: () Igat rumus d( e ) e () Jika digati 6, diperoleh 6 d( e ) 6 d(6) e () Selajutya guaka atura ratai Peyelesai (b) : Jelas dy d( e si si d( e ) d( si ) d( si ) si d (si ) d ( ) e ( si ) ( cos si ) e ) si Strategi: () Igat rumus d( e ) e () Jika digati si, diperoleh: si d(e ) si e d(si ) () Selajutya guaka atura ratai si e ( cos si ) 6

65 Cotoh IV-6 Tetuka semua ekstrim relatif utuk fugsi f: R R dega f () e Strategi: () Tetuka d [ f ( )] () Tetuka bilaga kritis utuk f Tulis dega da () Tetuka f () (4) Tetuka tada f ) da f ) ( (5) Guaka uji turua kedua ( Y f X Gambar IV-7 Grafik f : R R, f () e Peyelesaia: d[ f ( )] Jelas f ( ) d( e ) d( e ) e d( e ) d( ) e ) d( ) e ( Jelas f ( ) 0 ( ) 0 0 e Jadi titik kritis f adalah 0 da d( ) Selajutya f ( ) d( e e ) d( e ) d( e ) d( e ) d( ) e d e d + ( ) e ( ) d( e ) d( ) e d( ) 6

66 d( e ) d( ) + e d( ) e e e e ( ) e Jadi f ( ) f (0) 0 da f ( ) f () 0 e 4 Jadi f (0) 0 merupaka miimum re-latif f da f () e relatif f merupaka mak-simum Teorema IV-8 Utuk setiap R, e e C Teorema IV-8 merupaka akibat lagsug Teorema IV-7, yaitu: () e merupaka suatu ati turua e () ati diferesial e adalah e + C () dega demikia e e C Cotoh IV-7 Tetuka itegral-itegral berikut ii (a) e da (b) e Peyelesaia (a): Jelas e e d ( ) e C Strategi: () igat rumus e e C () jika digati (-), diperoleh: e d( ) e C () jelas d( ) (4) adaka koreksi dega ada ya peggatia itu 64

67 Peyelesaia (b): Strategi: Jelas e e d( ) C IV5 Hampira Nilai bilaga e () igat rumus e e C () jika digati ( ), diperoleh: e d( ) e C () jelas d( ) (4) adaka koreksi deg adaya peggatia itu Mecari hampira utuk bi-laga e megguaka defiisi l e e dt t agak sulit Utuk keperlua ii diberi-ka defiisi lai utuk bilaga e se-bagai berikut: Defiisi IV-9 e lim Hasil utuk hampira ilai e, dicatat pada daftar berikut Daftar : Nilai e utuk beberapa ilai, , , ,7694 0, , , , , , , ,7868 Jika ilai diperbesar, aka diperoleh ilai hampira utuk bilag-a e, yaitu: memafatka Defiisi IV-9 e,

68 Teorema IV-0 e r lim r Bukti: Jelas lim Cotoh IV-8 r lim lim r Hituglah ilai limit berikut ii: r r r lim r r r r r e (a) lim, (b) lim, (c) 6 lim, (d) lim Peyelesaia: (a) Jelas lim lim ( ) ( ) lim e e (b) Jelas lim lim lim lim e (c) Jelas 6 lim lim 6 6 lim e (d) Jelas lim lim lim lim lim lim e e

69 IV6 Fugsi Ekspoe da Logaritma Utuk Bilaga Pokok Yag Lai Dega megguaka defiisi fugsi ekspoe asli, domai f () a, > 0 dapat diperluas utuk semua bilaga real, baik rasioal atau tak rasioal Utuk membagu perluasa ii diperluka teorema-teorema berikut ii Teorema IV- a e l a, R Teorema IV- Jika a R, a > 0, da r bi-laga rasioal, maka l a r rl a Bukti: Ambil sembarag a, R, a > 0, da r bilaga rasioal Dipuyai a e l a Jika digati r, diperoleh: a r e r l a r rl a Jadi a le l l a r rl a Teorema IV- Jika,r R maka [e ] r e r a Bukti: Tulis [e ] r y Jelas l y l [e ] r r l e r Jadi y e r [e ] r e r Teorema IV-4 Jika a,, y R da a > 0 maka y y (a) a a a a y (b) a y a (c) (a ) y a y Haya dibuktika utuk (c), bukti yag lai diserahka pembaca sebagai latiha Bukti (c): Jelas (a ) y (e l a ) y e yl a y a e l a y

70 BAB V TEKNIK INTEGRAL Beberapa macam tekik pegitergrala diguaka utuk meetuka atiturua suatu fugsi Hal ii bertujua utuk memudahka dalam meetuka selesaia itegral fugsi yag ditetuka Agar tekik pegigtegrala mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ii diricika tekik pegitegrala dimaksud dega syarat-syarat yag ditetuka Tekiktekik itegral tersebut adalah: Tekik Substitusi, Itegral Fugsi Trigoometri, Tekik Substitusi Fugsi Trigoometri, Itegral Parsial, Itegral Fugsi Rasioal, da Itegral Fugsi Rasioal yag memuat fugsi Trigoomteri Berikut ii pejelasa tekik-tekik dalam pegitegrala V Tekik Substitusi Istilah lai utuk tekik substitusi adalah pemisala Tekik substitusi pada umumya diguaka utuk memudahka selesaia itegral ke betuk rumus dasar rumus itegral tak tetu, yaitu; a + C, asalka - atau f ( ) b f ( ) f '( ) + C, asalka - Karea rumus di atas adalah pedoma umum maka itegraya meyesuaika dega rumus di atas Jika belum sesuai atau meyimpag dari betuk di atas maka sedapat mugki diubah terlebih dahulu Dega demikia setelah itegra sesuai dega betuk baku itegralya dapat dilakuka dega megaplikasika rumus dasar itegral tidak tetu Akhirya selesaiaya dapat dilakuka dega metode substitusi Perhatika beberapa cotoh berikut: Misal u

71 u d( u ) d( ) udu Substitusi betuk terakhir ke, diperoleh u ( u) du -u du Dega rumus dasar di dapat -u du ( ) u - C - ( ) C Misal A + d(a) da d(+) da Sehigga ( ) A da A da A ( ) C A C 6 Cos Misal A d(a) d() da ( ) C 6

72 da Cos cos da A Cos A da cos AdA cosa da 4 da cosada 4 A si A C 4 8 si 4 C 4 8 si 4 C (4+) Jawab Misal A 4 4 A Sehigga A da (8+4) A da (4+) A da (4+) 4 (4+) A A da A da A C C

73 tdt 5 t 4 Jawab Misal P t 4 P t + 4 t d(p ) d(t+4) P dp dt dt P 4 Pdp, sehigga tdt t 4 P 4 ( )( p) dp p (P 8) dp Jawab Misal U 6 U U d(u ) d(6 - ) U du (-) U du u (6 u ) du 6 u 6 u du - (6 u ) du 6u u C C

74 6 6 6 (6 ) C / / 6(6 ) (6 ) C Soal-soal Tetuka hasil pegitegrala di bawah ii: t( t ) / dt Jawab Misal M (t+) M (t+) M dm (t+) dt t t ) / MdM ( dt M t ( t ) t M dm ( t ) t ( t ) M + C 9 t ( t ) 9( t ) + C 5 t ( t ) C 9 si dt t 4 cos si (6t )si t t 5 dt t t 6 9

75 7 ( ) / 8 6 si 9 si 0 6 cos cos( 4) si( ) cos( ) 4 ( ) / 7 5 e e 6 e e t e 7 dt t 4 e si cos V Itegral Fugsi Trigoometri Sebelum membahas tekik itegral fugsi trigoometri secara lebih rici, berikut ii diberika itegral dasar fugsi trigoometri yag mejadi acua utuk meetuka hasil pegitegrala dega tekik fugsi trigoometri Betuk dasar tersebut adalah: si -cos + C cos si + C

76 4 ta l sec C -l cos C cot - l csc C l si C 5 sec l sec ta C 6 csc l csc cot C Berdasarka betuk di atas selajutya diberika beberapa kasus betuk itegral fugsi trigoometri yag dibahas pada bagia ii, diataraya adalah: m m A si, da cos dega m bilaga gajil atau geap positip Jika m bulat positip da gajil, maka m diubah mejadi (m-) +, atau m digeapka terdekat Selajutya substitusi dega megguaka kesamaa idetitas si cos atau si - cos atau cos - si Akhirya dega substitusi tersebut didapat kesamaa atara itegra dega tada itegrasiya, sehigga dega mudah dapat diselesaika Cotoh: si Jawab ( si ) si 5 cos Jawab 5 cos cos si si ( cos ) d( cos ) d ( cos ) cos d(cos ) -cos + cos C (5)

77 si 5 () Jawab: cos 4 cos ( si ) d(si ) 4 ( si si ) d(si ) d (si ) si d(si ) 4 si d(si ) 5 si - si si C 5 du Misal u, du atau 5 5 du Sehigga si () si u 5 si udu 4 si u si udu ( cos u ) d ( cosu) 4 ( cos u cos u) d( cosu) 5 cosu si u si u C 0 cos si si 5 C 0 m m Betuk cos, si, jika m bilaga bulat positip geap, selesaiaya dapat dilakuka dega megguaka substitusi kesamaa setegah sudut si Cotoh: si cos da cos cos Karea pagkatya geap, diguaka kesamaa setegah sudut, maka

78 si cos 4 cos Jawab cos cos C 4 4 cos (cos ) si 4 cos cos ( cos ) 4 4 cos cos 4 4 si ( cos4) si si 4 C si si 4 C 8 4 du Misal u, du atau, sehigga si 4 du si 4 u cos du u ( cosu cos u) du 4 du cos udu cosudu 8 4 du cosudu cos4u du 8

79 du cos4udu cosudu du u si u u si 4u C Karea u, maka si 4 () si () () si 4() C B si m cos Jika m atau bilaga bulat positip gajil, sedagka laiya sebarag bilaga, maka faktorka si atau cos dega megguaka kesamaa idetitas si cos dega terlebih dahulu megubah salah satu bilaga gajil Misal m gajil maka ubah m dega m (m-)+, jika gajil diubah mejadi (-)+ Jika m da geap diguaka kesamaa setegah sudut si hasil pegitegralaya Cotoh si cos Jawab cos da cos cos sehigga diperoleh Karea m gajil, maka guaka substitusi kesamaa idetitas ( si cos ) si cos si si cos ( cos )cos si si cos 4 (cos cos ) d( cos ) 4 cos d ( cos ) cos d( cos ) 5 cos cos C 5 cos ( cos ) C 5 Karea gajil, maka ubah mejadi geap

80 si cos si cos cos si ( si ) d(si ) si d (si ) 5 si si C 5 si cos Jawab si cos 4 si d(si ) Karea kedua pagkat bilaga gajil, pilih salah satu utuk diubah mejadi geap si cos si cos cos si ( si ) d(si ) si d (si ) 4 6 si si C si d(si ) Atau si cos si si cos ( cos )cos d( cos ) 5 (cos cos ) d( cos ) 4 6 cos cos C cos si Kedua pagkat bilaga geap, sehigga diperoleh: cos cos cos si ( cos ) 4

81 cos4 4 cos4 4 cos4 C 4 8 cos 4 C si cos Jawab Karea kedua pagkatya bilaga geap, utuk meetuka selesaiaya guaka kesamaa setegah sudut si sehigga: 4 4 si cos (si ) (cos ) cos cos ( cos cos )( cos cos ) 6 4 ( cos cos ) 6 4 cos 8 6 cos cos cos cos4 ( cos cos 4 64 cos da cos cos 4) cos 4 64 cos8 cos,

82 6 cos4 cos cos 4 6 cos cos4 cos 4 8 cos8 8 cos4 si 4 si 8 C C ta, da cot Dalam kasus ii jika geap guaka kesamaa idetitas + ta sec da +cot csc Jika gajil ubah mejadi (-)+ da guaka kesamaa + Perhatika cotoh berikut: ta ta sec da +cot csc Karea pagkat gajil maka diubah dalam betuk perkalia yag salah satuya geap, selajutya guaka kesamaa idetitas + ta sec Sehigga diperoleh ta ta ta (sec ) ta sec ta - ta ta sec l sec + C ta d(ta ) l sec + C ta l sec C 4 cot Karea pagkat, lagsug guaka kesama idetitas +cot sehigga didapat 4 cot (cot ) csc,

83 (csc ) 4 (csc csc ) (csc )csc csc ) ( cot )csc csc ` ( cot ) d( cot ) d( cot ) ( cot ) cot cot C cot cot C D ta m sec, da cot m csc Betuk ii mempuyai dua kasus yaitu geap m sebarag da m gajil sebarag Jika geap da m sebarag guaka kesamaa + ta sec atau + cot Cotoh csc 5 4 ta sec Karea salah satu pagkat bilaga geap, maka lagsug guaka kesamaa idetitas +ta sec ta sec ta sec sec 4 4 cot csc Jawab 5 ta ( ta )sec 5 7 (ta ta ) d(tg) 6 8 ta ta C cot csc cot (csc )(csc ) 4 cot (cot ) d( cot ), sehigga diperoleh

84 6 4 (cot cot ) d( cot ) 7 5 cot cot C 7 5 Sedagka utuk m bilaga gajil da sebarag juga dega megguaka substitusi kesamaa idetitas + ta sec atau + cot csc Cotoh: ta sec ta ta sec sec ta sec d(sec ) (sec )sec d (sec ) 4 (sec sec ) d(sec ) 5 sec sec C 5 / ta sec ta ta sec / sec (sec -)sec / d(sec ) / (sec sec / ) d(sec) sec / sec / + C E si mcos, si msi, cos mcos Itegral betuk ii juga serig mucul, utuk meyelesaikaya diguaka rumus kesamaa hasil kali, yaitu: si m cos [si( m ) si( m ) ] si m si [cos( m ) cos( m ) ] cos m cos [cos( m ) cos( m ) ]

85 Cotoh y si cos 4 [si( 4) si( 4) ] si 7 + si (-) cos7 - cos + C 4 si si [cos( ) cos( ) ] (cos 5 cos ) si 5 + si + C 0 cos y cos 4y dy [cos( 4) y Soal-soal Tetuka hasil itegral berikut ii si (4) cos 4 ( ) 4 si () cos () 4 si cos si cos 6 (si t) costdt 6 7 ta 8 cot 4 () +cos(-4)y] dy [cos5 cos( y)] dy si 5y si y C 0 6

86 4 9 cot csc 0 tasec (ta cot ) si si csc 4 4ydy 4 ta 4 qsec qdq 5 cos si 6 cot 4 7 si z cos zdz 8 ta 5 sec / 9 cos cos 5 0 si si V Tekik Substitusi Fugsi Trigoometri Tekik substitusi fugsi trigoometri diguaka utuk meyelesaika itegral jika itegraya memuat betuk-betuk: a a, a > 0, a Real b a a, a > 0, a Real c a, a > 0, a Real atau betuk lai yag dapat diubah mejadi betuk di atas, misalya a b a b

87 a b a b a b atau a b c b a yag dapat diubah mejadi betuk kuadrat sempura Itegraya memuat a atau sejeisya, Guaka substitusi a si t atau si t a a si t a cos t dt dega - t sehigga, a a t a a ( asi t) a ( si t) a cos t Catata Gambar segitiga siku-siku di atas yag masig-masig sisiya diketahui bergua utuk meetuka ilai fugsi trigoometri yag lai, yaitu cos t, ta t, cot t, sec t, da csc t Hal ii dikareaka sagat mugki hasil dari pegitegrala adalah fugsi-fugsi tersebut Cotoh: Tetuka hasil pegitegrala berikut ii: 4 Jawab

88 Substitusi si t si t 4 t cos t dt Sehigga 4 4 4si t cost 4 costcostdt 4 cost costdt 4 cos tdt 4 dt + cost t + si t + C t + si t cos t ( cost) dt dt arc si 4 + C si t cost Atau 4 cos tdt 4 ( + t C ) sit cost + t + C 4 + arc si + C 4 arcsi C 4 Jawab

89 4 4 ( ) Substitusi (-) si t, cos t dt 4 ( ) cost, sehigga 4 t 4 ( ) costdt cost dt t + C arc si + C 6 6 Jawab ( ) Substitusi (-) 5 si t, 5 cos t dt 5 t 5 ( ) 5 cos t, sehigga costdt 5cost dt t + C arc si 5 + C

90 4 Jawab Substitusi si A ` cos AdA t ( si A) cos A, sehigga si A cos A cos AdA 9 si Acos AdA cos A cos A 9 da 9 ( cos A) da 4 9 cos4a ( ) da A cos4ada arcsi si 4A C arcsi (4si Acos A)(cos A si A) C 8 9 arcsi (si Acos A)(cos A si A + C 8 9 ( ) arcsi C 8

91 5 Jawab: 5 Substitusi 5 si A atau si A 5 da 5 cos A da 5 Sehigga 5 5 5cos A 5cos AdA 5si A A 5 si A da si A 5 csc AdA 5 si AdA 5 l csc A ctga 5CosA C l 5 C 5 Kerjaka soal berikut sebagai latiha bagi pembaca ( ) 5

92 9 4 ( 4 ) (5 4 ) sec 8 (4 ta ) 9 ( 6 ) / / 0 Itegral yag itegraya memuat betuk sejeisya, selesaiaya megguaka substitusi a atau betuk yag a ta t, - t sehigga, Utuk membatu meyelesaika betuk di atas, perhatika segitiga berikut ii: a a t a a a ta t a ( ta t)

93 a sec t Karea a ta t maka a sec t dt Cotoh: Tetuka hasil pegitegrala di bawah ii 9 Jawab Substitusi ta t sec t dt 9 t 9 9 (tat) sec t, sehigga 9 sec tdt sec t sec tdt l sec t tat C l 9 + C l 9 C ( ) 4 5 Jawab ( ) 4 5 ( )

94 ( ) ( ) Substitusi (+) ta t 4 5 (ta t) - sec t da t ( ) sec t, sehigga ( ) 4 5 ( ) ( ) (tat )sec tdt sec tdt sect sec t tat sectdt 4 sectdt - sect dt sec t 5 l sec t tat C 4 5 5l 4 5 ( ) C Kerjaka soal berikut sebagai latiha ( 9 ) dt t t 4

95 7 5 8 dt 4 t t 5 dz 9 ( z 6z 8) 0 ( 6 ) / / p 4 dp p Itegral yag itegraya memuat betuk selesaiaya megguaka substitusi a atau sejeisya, a sec t, - t Karea a sec t maka a sec t ta t dt, da a a sec t a a ta t Selajutya perhatika segitiga siku-siku di bawah ii a Cotoh: Tetuka hasil pegitegrala berikut ii: 9 a t Jawab

96 Substitusi sec t 9 sec t ta t dt 9 ta t, sehigga t 9 ta t sect tatdt sect ta tdt (sec t ) dt ta t t + C 9 arc sec C 8 Jawab 8 ( ) 9 Substitusi (-) sec t, sec t tg t dt ( ) 9 tg t, sehigga sec ta tdt ( ) 9 ta t 8 t sec tdt l sec t tat C

97 8 l C Kerjaka pegitegrala berikut sebagai latiha 5 t 4 dt t t dt t ( 4 9) / 9 ( 8 7) V4 Itegral Parsial Secara umum itegral parsial diguaka utuk meetuka selesaia itegral yag itegraya merupaka perkalia dua fugsi uv, dimaa u f() da v g()

98 Karea y uv, maka meurut defiisi differesial da turua fugsi y uv diperoleh dy d(uv) d(uv) u dv + v du Dega megitegralka masig-masig bagia diperoleh d ( uv ) udv vdu udv d( uv) udv uv vdu vdu Betuk terakhir ii diamaka rumus itegral parsial Prisip yag diguaka dalam itegral parsial adalah itegra yag berbetu uv di maipulasi mejadi u dv da dalam meetuka udv tidak boleh memuculka persoala yag lebih sulit dibadigka dega udv tersebut Perhatika beberapa cotoh berikut ii Tetuka itegral persial berikut ii cos Jawab Betuk cos diubah mejadi udv, Misal u, dv dv cos, v cos si Akibatya cos d(si ) Dega rumus itegral parsial udv uv vdu, diperoleh d(si ) si - si d() si - si si + cos + C Akhirya diperoleh cos si + cos + C

99 Pilih u, du dv, v Sehigga d ( ) Berdasarka rumus itegral parsial udv uv vdu, diperoleh d ( ) - d ( ) - - ( ) 4 C 4 si e Pilih u si maka du d(si) cos dv si e e, v e si d( e ) e si e d(si ) e si e e, sehigga: cos Diperoleh betuk e cos yag juga diselesaika dega metode parsial Pilih u cos, dv d(cos ) si dv e, v e e, sehigga: cos e cos d( e ) e cos e d (cos ) e cos e ( si ) e cos e si ),

100 Akhirya diperoleh si e e si e si e e si e si cos e cos e si ), e cos C Berdasarka cotoh di atas kerjaka soal di bawah ii sebagai latiha sec si Jawab: si si si Pilih u si du d(si ) si cos Sehigga dv si maka v si - cos si si d ( cos ) -cos si - cos d (si ) -cos si + cos si cos -cos si + si ( si ) si -cos si + si si ) si -cos si + si cos si si si cos si (cos ) C ta 4 arc ta 5 l

101 6 7 7 arc cos 8 e 9 0 cossi e 5 ta sec ( ) cos( ) 4 e 5 ( ) e 6 sec l 9 si 0 V5 Itegral Fugsi Rasioal Fugsi rasioal adalah suatu fugsi yag diyataka dalam betuk F() f ( ), dimaa f(), g() adalah fugsi pagkat bayak (poliom) da g() g( ) 0 Fugsi pagkat bayak adalah suatu fugsi yag diyataka dega f() a o + a + a + a + + a,,,,, sehigga fugsi rasioal adalah fugsi berbetuk poliom f ( ) g( ) yag pembilag da peyebutya

102 Cotoh F() F() (Fugsi Rasioal Sejati) 4 (Fugsi Rasioal Tidak Sejati) 4 4 F() 5 (Fugsi Rasioal Tidak Sejati) 5 Pada cotoh di atas, () disebut fugsi rasioal sejati, karea derajat pembilag lebih dari derajat peyebut, sedagka () da () disebut fugsi rasioal tidak sejati, karea derajat pembilag lebih besar atau sama dega derajat peyebut Utuk lagkah selajutya jika suatu fugsi rasioal termasuk jeis tidak sejati, maka fugsi tersebut dijadika fugsi rasioal sejati Melalui proses pembagia pajag aka diperoleh fugsi rasioal sejati Sehigga: F() F() (4 ) 5 f ( ), g() 0 g( ) Dalam meetuka itegral fugsi rasioal, lagkah yag ditempuh adalah: Nyataka itegraya dalam betuk fugsi rasioal sejati Faktorka peyebut g() dari fugsi rasioal F() dapat difaktorka lagi f ( ) g( ) sampai tidak Dalam hal lagkah omor di atas, g() dapat berupa kombiasi atara: - fugsi liear berbeda, g() (-a)(-b) (-t) dstya - fugsi liear berulag, g() (-a) (-a)(-a)(-a) (-a) - fugsi lier da kuadrat, g() (-a)(a +b + c) - fugsi kuadrat berbeda, g() (a b c)( p + q + c) - fugsi kuadrat berulag, g() (a b c) da seterusya