BARISAN DAN DERET TAK HINGGA
|
|
|
- Yandi Susanto
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bab 5 BARISAN DAN DERET TAK HINGGA A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetesi Dasar. Memiliki motivasi iteral, kemampa bekerjasama, kosiste, sikap disipli, rasa percaya diri da sikap tolerasi dalam perbedaa strategi berfikir dalam memilih da meerapka strategi meyelesaika masalah.. Medeskripsika kosep barisa da deret tak higga sebagai fgsi dega daerah asal himpa bilaga asli.. Meerapka kosep barisa da deret tak higga dalam peyelesaia masalah sederhaa. Pegalama Belajar Melali pembelajara materi barisa da deret aritmetika da geometri ata barisa laiya, siswa memperoleh pegalama belajar: Meemka kosep da pola barisa da deret melali pemecaha masalah otetik. Berkolaborasi memecahka masalah aktal dega pola iteraksi sosial kltr. Berpikir tigkat tiggi (berpikir kritis, kreatif) dalam meyelidiki da megaplikasika kosep da pola barisa da deret tak higga dalam memecahka masalah otetik Pola Bilaga Beda Rasio Barisa Tak Higga Barisa Kosta, Naik, da Tr Deret Tak Higga Jmlah sk tak higga Di dh dari : Bkpaket.com
2 B. PETA KONSEP Fgsi Materi Prasyarat Masalah Otetik Barisa Bilaga Sk awal Kosta Beda Usr Barisa Tak Higga Nilai Sk Naik Sk ke- Deret Tak Higga Tr Jmlah Sk Ke- 54 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
3 C. MATERI PEMBELAJARAN. Meemka Kosep Barisa da Deret Tak Higga. Amati da kritisi masalah yata kehidpa yag dapat dipecahka secara arif da kreatif melali proses matematisasi. Dalam proses pembelajara barisa da deret tak higga berbagai kosep da atra matematika terkait barisa aka ditemka melali pemecaha masalah, melihat pola ssa bilaga, meemka berbagai strategi sebagai alteratif pemecaha masalah. Dalam mempelajari materi pada bab ii, igat kembali barisa da deret aritmatika (geometri) yag sdah kam pelajari di kelas X. Kita aka mempelajari beberapa kass da cotoh yag berkaita dega barisa da deret tak higga pada bab ii. Barisa sat obyek membicaraka masalah rtaya dega atra tertet. Atra yag dimaksd adalah pola barisa. Kita memerlka pegamata terhadap sat barisa tk meemka pola. Selajtya cermati masalah berikt. Masalah-5. Da potog kawat besi disadarka pada sebah didig rmah tempat bga mejalar. Di atara keda kawat dibat potoga potoga kawat E E, E E 4, E 5 E 6, da setersya seperti terlihat pada gambar berikt. C E 5 E 6 E E 4 E E A O(0,0) m B Q D x Gambar-5.. Posisi Kawat Tersadar di Didig Rmah Matematika 55 Di dh dari : Bkpaket.com
4 Kemiriga posisi kawat sebelah kiri adalah r dega 0 < r <, r R da kemiriga kawat sebelah kaa adalah. Jarak keda kawat di taah adalah meter da jarak BE = QE adalah r meter. a. Tetka pajag potoga kawat E E, E E 4, E 5 E 6, da setersya dalam r. b. Temka ssa bilaga dalam r yag meyataka jarak dari titik A ke titik B, jarak titik B ke Q da setersya sampai ke titik D! c. Tetka fgsi yag meyataka ssa bilaga dalam r! d. Tetka jarak titik dari A ke D! Alteratif Peyelesaia Mari kita gambarka posisi kawat besi dalam smb koordiat. C E 5 E 6 E E 4 E E A O(0,0) m B Q D x Gambar-5.. Posisi Kawat Tersadar di Didig Rmah Koordiat titik A(0,0) da B(,0) adalah da titik yag berada pada smb x. Karea ras garis AC (kawat sebelah kiri) memiliki gradie r dega 0 < r < da ras garis BC (kawat sebelah kaa) memiliki gradie, maka keda ras garis bertem pada sat titik, yait titik C. Misalka titik E pada ras garis AC. Karea ras garis AC bergradie r da pajag AB adalah maka pajag BE adalah r. Titik E berada pada ras garis BC, karea gradie BC adalah, maka pajag E E adalah r da pajag E E = BQ = r. 56 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
5 Karea gradie garis AC adalah r da pajag E E = r, maka pajag E E = r. Karea gradie garis BC adalah, maka pajag E E 4 = r da QR = r. Dega cara yag sama, diperoleh pajag E 5 E 6 = r da jika kita tambahka potoga kawat di atara garis AC da BC di atas E 5 E 6 mej titik C, maka diperoleh pajag potoga kawat beriktya r, r 4, r 5,. Megapa? a. Pajag E E, E E 4, E 5 E 6, da setersya dalam r adalah r, r r, r 4, r 5, b. Ssa bilaga dalam r yag meyataka jarak titik A ke titik B, titik B ke Q, titik Q ke R da setersya sampai ke titik D, yait:, r, r, r,, dega 0 < r <. c. Fgsi yag meyataka ssa bilaga pada bagia (b) adalah () = r, N. d. Pajag AD adalah hasil pejmlaha, r, r, r, AD = + r + r + r + r 4 + = r = dega 0 < r < Perhatika Gambar-5. di atas, dega meggaka atra dalam trigoiometri, diperoleh jarak BD = CD = r + r + r + r 4 + Misalka s = + r + r + r + r 4 + Karea pajag ras garis BD = r + r + r + r 4 + = s -, maka CD = s Perhatika AD CD = ata s s =. AB BE r s s = rs = s - r (- r)s = s = r Berdasarka raia di atas pajag AD = s =, dega 0 < r <. Pajag r segme garis AD ii dapat diartika jmlah takhigga sk-sk barisa, r, r, r, r 4, r 5, Matematika 57 Di dh dari : Bkpaket.com
6 Masalah-5. Siti meggtig kertas mejadi da bagia yag sama besar. Potoga kertas beriktya digtig lagi mejadi da bagia yag sama besar, seperti gambar berikt. Potoga pertama Potoga keda Potoga ketiga Potoga keempat Potoga setersya Sslah bilaga-bilaga yag meyataka bayak potoga kertas, apabila potoga kertas beriktya digtig da bagia yag sama. Alteratif Peyelesaia Siti meggtig kertas tersebt mejadi da bagia yag sama besar kertas potog kertas Da potoga kertas di atas, digtig mejadi da bagia yag sama besar tk setiap potoga kertas sehigga diperoleh potoga kertas berikt. 58 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
7 Misalya meyataka gtiga ke- potog kertas 4 potog kertas Utk =, diperoleh bayak potoga kertas adalah Utk =, diperoleh bayak potoga kertas adalah 4 Utk =, diperoleh bayak potoga kertas adalah 8 Utk = 4, diperoleh bayak potoga kertas adalah 6 Jika gtiga kertas dilajtka maka aka diperoleh sat ssa bilaga yag meyataka bayak potoga kertas, yait:, 4, 8, 6,, Ssa bilaga tersebt membetk sebah barisa tak higga, dega ilai sk-sk barisa dapat diyataka dega sebah fgsi () = dega N. Legkapilah tabel berikt tk melihat jmlah parsial dari ssa bilaga, 4, 8, 6,,. Tabel 5.: Jmlah parsial sk-sk barisa () = Deret Jmlah sk sk Jmlah Potoga Kertas s s + 6 s + + s s s Amati data pada tabel yag kam temka. Dapatkah kam meetka sk dega = 0? Berapa jmlah, 4, 8, 6,,., jika? Matematika 59 Di dh dari : Bkpaket.com
8 Masalah-5. Sebah bola jath dari ketiggia 9 meter ke latai yag disajika pada gambar berikt Gambar-5.: Patla Bola Bola mematl kembali secara ters meers setiggi dari ketiggia sebelmya. a. Tetkalah ssa bilaga yag meyataka ketiggia patla bola tersebt! b. Tetka pajag litasa yag dilali bola setelah mematl ke latai! Alteratif Peyelesaia a. Ditemka ssa bilaga dari hasil patla bola. Dari masalah diketahi bahwa ketiggia patla bola adalah dari ketiggia patla sebelmya. Dega demikia ketiggia yag dicapai bola tk tiaptiap patla ditetka sebagai berikt. Ketiggia bola awal = 9 m Patla pertama = 9= 6 Patla keda = 6= 4 Patla ketiga = 4 8 = da setersya 60 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
9 Tabel 5. Tiggi Patla Bola Patla ke Tiggi patla (m) Sk ke / 4 6/ Coba kam terska megisi tabel pada patla beriktya Apakah mgki terjadi ketiggia patla bola sama dega ol? Patla bola diperlihatka seperti gambar di bawah ii tiggi Cermati gambar di sampig! Apakah bola sat saat aka berheti? Bagaimaa tiggi patla bola tk mej tak higga ( ) latai Gambar-5.4: Posisi Patla Bola Berdasarka perhitga da gambar di atas diperoleh ssa bilaga meyataka ketiggia patla bola, yait: 6, 4, 8, 6 9, 8, 9m 6m 4m 88 xx xx mm xx xx Matematika 6 Di dh dari : Bkpaket.com
10 Rasio, diotasika r merpaka ilai perbadiga da sk berdekata. 4 Nilai r diyataka: r = = = = =. Jadi = 9. = 6 = a =. =. = 6. = 4. = 4 =.r = ar = 8 =.r = ar.r = ar 4 =. = 8. = =.r = ar.r = ar 5 = 4. =6 9. = 7 Ssa bilaga 6, 4, 8, 6 9 sebah fgsi () = 9( ), dega N. 5 = 4.r = ar.r = ar 4,, 64, 8, dapat diyataka dalam Ssa bilaga di atas dapat diekspresika sebagai barisa tak higga. a ar ar.. xxxx xxxx xxxx xxxx ar -.. b. Ditetka pajag litasa yag dilali bola tk 0 kali patla. Misalka pajag litasa bola sampai patla ke-0 adalah S. ( ) s = s = ( ) s 4 0 = s 0 6 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
11 Deret Tabel 5.: Jmlah Parsial Litasa Bola Jmlah sk-sk Nilai s 6 s = ( ) = ( 4 ) s = ( ) = ( 8 ) s = ( ) = 6( ) s s = 6 ( ) Berdasarka tabel di atas deret bilaga tersebt adalah sebah barisa jmlah, s, s, s,..., s,... yait ( 0 ), ( ), ( ),..., ( ) Jadi, pajag litasa bola sampai patla ke-0 adalah s=s 0 ata s = ( ) 9 Perhatika kembali ssa bilaga yag diperoleh dari Masalah-5., Masalah-5., da Masalah-5., yait:, r, r, r, r 4, r 5, yag diyataka dalam fgsi () = r - dega N, 4, 8, 6,, yag diyataka dalam fgsi () = - dega N. 6, 4, 8, 6, 9 7, 64 8, 8 4, yag diyataka dalam fgsi () = 9( ) dega ϵ N. Berdasarka beberapa model barisa bilaga di atas, dapat dipastika bahwa barisa adalah sebah fgsi dega domaiya himpa bilaga asli (N) da rageya adalah sat himpa (R f ) bagia dari S, ditlis f : N S, R f S. Matematika 6 Di dh dari : Bkpaket.com
12 Defiisi 5. Barisa tak higga objek di himpa S adalah sat fgsi dega daerah asal (domai) himpa bilaga asli da daerah hasilya (rage) sat himpa R S. Ditlis ( N ),. Defiisi 5. Misalka ( ) sebah barisa tak higga bilaga real da s = adalah jmlah parsial sk-sk barisa tak berhigga. Deret tak higga adalah barisa jmlah parsial sk barisa tak higga. Ditlis (s ), N ata s, s,s,, s, Jmlah deret tak higga adalah jmlah sk-sk barisa tak higga. Ditlis = = = Cotoh 5. Perhatika barisa agka berikt:,,,,,, 4, 4, 4, 4,,,,,,, 4, 4, 4, 4,,,,,,, 4, 4, 4, 4,... Amatilah barisa agka tersebt terlebih dahl! Tetkalah agka pada rta ke 4 4 5! Alteratif Peyelesaia Pertama, kita perlihatka rta setiap agka pada barisa, pada grafik berikt: s Gambar-5.5: Barisa Sebagai Fgsi 64 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
13 Jika kam amati dega teliti, kelompok agka,,,,,, 4, 4, 4, 4 pada rta ke- sampai 0 berlag, bka? Perlaga kelompok agka terjadi pada setiap kelipata 0 agka pertama. Jadi, agka pada rta ke- sama dega agka pada rta ke-, rta ke-, rta ke- da setersya. Keda, agka pada rta ke adalah agka pada rta 56 5 =.000 ata 000 = 00 0 sehigga perlaga kelompok agka tersebt megalami perlaga sebayak 00 kali. Dega demikia, agka pada rta ke-000 adalah agka pada rta ke-0 yait 4. Cotoh 5. Sebah ssa agka ditliska sebagai berikt: dega memadag setiap agka adalah sk barisa bilaga sehigga sk ke-0 = 4, sk ke- =, sk ke- = 6 da setersya. Dapatkah kam temka agka yag meempati sk ke-457? Alteratif Peyelesaia Mari kita amati kembali barisa tersebt, dega memadag setiap agka adalah sk-sk barisa, maka ssa barisa mejadi: ? meyataka sk ke- pada barisa dega =,,, 4,... Kita aka meetka agka pada sk ke-457, dega meghitg bayak sk pada bilaga sata, plha, da ratsa sebagai berikt: Lagkah. Mecari bayak sk pada barisa bilaga sata ( sampai 8):, 4, 6, 8 Bayak sk pada barisa bilaga sata adalah 4 = 4 sk. Lagkah. Mecari bayak sk pada barisa bilaga plha (0 sampai 98) 0,, 4, 6, 8 terdapat õ 5 sk = 0 sk 0,, 4, 6, 8 terdapat õ 5 sk = 0 sk... 90, 9, 94, 96, 98 terdapat õ 5 sk = 0 sk Bayak sk pada barisa bilaga plha adalah 9 0 = 90 sk. Jadi, bayak sk pada barisa sampai 98 adalah = 94 sk. Matematika 65 Di dh dari : Bkpaket.com
14 Lagkah. Meetka bayak sk pada barisa bilaga ratsa (00 sampai 998) 00, 0, 04, 06, 08,..., 98 terdapat õ 50 sk = 50 sk 00, 0, 04, 06, 08,..., 98 terdapat õ 50 sk = 50 sk 00, 0, 04, 06, 08,..., 98 terdapat õ 50 sk = 50 sk , 90, 904, 906, 908,..., 998 terdapat õ 50 sk = 50 sk Bayak sk tk barisa bilaga ratsa dari mlai 00 sampai 998 adalah 9 50 = 50 sk Jadi terdapat sebayak = 444 sk pada barisa bilaga sampai dega 998 sehigga sk ke-444 adalah 8. Sk beriktya (sk ke-457) adalah barisa bilaga dega bilaga riba sebagai berikt Bilaga pada sk ke-457 adalah. Sifat 5. Jika ( ) adalah sat barisa geometri dega sk pertama adalah = a da rasio = r dega r ϵ R da r <maka jmlah tak higga sk-sk barisa a tersebt adalah s =. r Bkti: Misalka = ar - dega - < r <, ϵ N Igat kembali deret geometri yag telah kam pelajari sebelmya, telah diperoleh bahwa s = a + ar + ar + + ar Pers- Dega megalika keda ras persamaa dega r, didapatka Persamaa berikt. rs = ar + ar + ar + + ar Pers- Sekarag, dari selisih persamaa ) dega ), diperoleh 66 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
15 s rs = (a + ar + ar + + ar ) (ar + ar + ar + + ar ) s ( r) = a ar a ar s = r Rms jmlah sk pertama deret geometri adalah a r s = ( ), dega r <. r Kita igi meetka jmlah tak berhigga sk-sk barisa geometri, ii, yait, S bila. Karea rϵ R da - < r < da, maka lim lim ( a r s ) a = = lim ( r r - r r ) = a r.megapa? a s = ar = (terbkti) r = Coba pikirka bagaimaa jmlah sk-sk barisa geometri jika r R, r > da r < -. Bagaimaa jika r = ata r = -, coba beri cotoh barisaya. Cotoh 5. Jmlah sat deret geometri tak higga adalah da rasioya adalah 5 5. Tetka sk pertama deret tersebt! Alteratif Peyelesaia Karea r = 5 5 <, maka jmlah tak higga sk barisa adalah a r. sehigga a + =. 5 5 a = ( )( - 5 ) a = a = 4 Dega demikia sk pertama barisa tersebt adalah a = 4 5 Matematika 67 Di dh dari : Bkpaket.com
16 Cotoh 5.4 Diberika barisa bilaga, 4 8 6, 9, 7,...,,... Tetka sk ke-9! Tetka jmlah tak higga barisa tersebt! dega N Alteratif Peyelesaia Diketahi, 4 8 6, 9, 7,...,,... dega N ( ) =, N Sk ke-9 adalah 9 = 9 5 = =, N Berati = a = da r = < Jmlah tak higga sk-sk barisa, 4 8 6, 9, 7,...,,... dega N adalah s = = = = = = = 6 (karea r = < ) Jadi s = 6 Cotoh 5.5 Jmlah deret geometri tak higga adalah 6, sedagka jmlah sk-sk geap adalah. Tetka sk pertama deret it! Diketahi jmlah deret geometri tak higga adalah 6, maka 6 = a r diperoleh ilai a = 6( - r). da Deret geometri tak higga sk-sk geap adalah ar + ar + ar 5 + ar 7 +, maka rasioya adalah + + ar = = r. ar 68 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
17 Karea r <ata - < r <, maka r < ata - < r < da jmlah tak higga sk-sk geapya adalah = ar r ar = ( r ) 6( r)r = ( r ) 6( r)r = ( r)( + r) 6r = ( + r) r = r = disbtitsika ke persamaa a = 6( r). Sehigga diperoleh a =. Jadi sk pertama deret geometri tak higga tersebt adalah a =.. Barisa Kosta, Naik, da Tr Amatilah sk-sk beberapa barisa berikt a. =, N. Sk-sk barisa ii dapat ditlis,,,,,,,, b. = -, N. Sk-sk barisa ii dapat ditlis, -, -, -, -, -, -, c. = k, N da tk sat k R. Sk-sk barisa ii dapat ditlis, k, k, k, k, Berdasarka data sk-sk setiap barisa yag diberika di atas, dapat dikataka bahwa sk barisa pada poi (a), (b), da (c), ilaiya tetap ata sama tk setiap sk sampai. Jika sat barisa dega sk-skya sama ata tetap tk setiap,, barisa it disebt barisa kosta. Matematika 69 Di dh dari : Bkpaket.com
18 Defiisi 5. Misalka ( ) sebah barisa tak higga bilaga real. Barisa ( ) dikataka barisa kosta jika da haya jika sk sebelmya selal sama dega sk beriktya. Ditlis ( ) adalah barisa kosta = +, N. Amatilah sk-sk dari beberapa barisa berikt a. = r -, N dega 0 < r <. Sk-sk barisa ii dapat ditlis,, r, r, r, b. =, N. Sk-sk barisa ii dapat ditlis,,, 4, 5,... c. = ( ), N. Sk-sk barisa ii dapat ditlis,,,,, Berdasarka data sk-sk setiap barisa yag diberika di atas, dapat dikataka bahwa ilai sk barisa pada poi a, b, da c, semaki besar rta skya maki kecil sk barisaya sampai. Jika sat barisa memiliki sk-skya maki kecil tk sk sampai, barisa it disebt barisa tr. Defiisi 5.4 Misalka ( ) sebah barisa tak higga bilaga real. Barisa ( ) dikataka barisa tr jika da haya jika sk beriktya krag dari sk sebelmya. Ditlis ( ) disebt barisa tr = +, N. Amatilah sk-sk dari beberapa barisa berikt. a. = (), N. Sk-sk barisa ii dapat ditlis,, 9, 7, 8, b. = +, N. Sk-sk barisa ii dapat ditlis,,,,, c. = +, N. Sk-sk barisa ii dapat ditlis,,, 4, 5, 6, 7, 8, 70 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
19 Berdasarka data sk-sk setiap barisa yag diberika di atas, dapat dikataka bahwa ilai sk barisa pada poi a, b, da c, semaki besar rta skya maki besar ilai sk barisaya sampai. Jika sat barisa memiliki ilai skskya maki besar tk sk sampai, barisa it disebt barisa aik. Defiisi 5.5 Misalka ( ) sebah barisa tak higga bilaga real. Barisa ( ) dikataka barisa aik jika da haya jika sk beriktya lebih dari sk sebelmya. Ditlis ( ) adalah barisa kosta = +, N. Perhatika beberapa barisa berikt a. Barisa:,,,,, dega =, N. Barisa ii disebt barisa kosta dega ilaiya tidak lebih dari (sat). b. Barisa -,, -,, -,, -,, dega = (-), N. Nilai mtlak sksk barisa tersebt tidak lebih dari (sat). c. Barisa:,,,,,... dega = 4 5, N. Barisa ii disebt barisa tr da sk-skya tidak lebih dari (sat). d. Barisa:, -,, 5, 7,...,, 4, 6, 8,... dega = ( ), N Nilai mtlak sk-sk barisa ii tidak lebih dari (sat) sampai mej tak higga. Barisa pada (a) sampai (d) merpaka barisa yag terbatas. Defiisi 5.6 Misalka ( ) sebah barisa tak higga bilaga real. Barisa ( ) dikataka barisa terbatas jika da haya ada bilaga real M > 0 yag membawahi selr h ilai mtlak sk barisa tersebt. Ditlis ( ) dikataka barisa terbatas ( M R) M > 0 sehigga = M, N. Matematika 7 Di dh dari : Bkpaket.com
20 Barisa pada a sampai d merpaka barisa yag terbatas. Berdasarka Defiisi 5.6 di atas dapat ditrka beberapa sifat berikt Sifat 5. Jika ( ) adalah sat barisa geometri dega sk pertama adalah = a, a 0 da rasio = r dega r R da r < ata maka barisa tersebt tidak terbatas. Cotoh 5.6 Diberika barisa =, N. Selidiki apakah barisa tersebt terbatas. Alteratif Peyelesaia Sk-sk barisa = (), N adalah, 4, 8, 6,, 64, 8, 56, Amatilah sk-sk barisa tersebt! Semaki besar rta sk barisa tersebt, semaki besar skya da aik mej tak higga. Rasio barisa adalah r = + + = = > Barisa = ( ), N adalah barisa tak terbatas sebab berapap kita pilih M R, M > 0, maka ada sk barisa yag lebih dari M. Dega demikia ada N, sehigga > M. Megapa? Cotoh 5.7 Diberika barisa = (-), N. Betklah beberapa barisa tak higga yag bar dari sk-sk barisa tersebt da tetka rms fgsi dari barisa yag telah dibetk. Alteratif Peyelesaia Sk-sk barisa = (-), N adalah -,, -,, -, -,, Kita dapat membetk barisa tak higga dari sk-sk barisa tersebt, dega cara megambil sk-sk gajil da sk-sk geap tk membetk da kelompok barisa yag bar, yait: 7 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
21 a. Barisa -, -, -, -, -, -, dega rms fgsiya () = -, N. b. Barisa,,,,,,,, dega rms fgsiya () =, N. Keda barisa yag bar dibetk adalah barisa kosta, sebab skya sama tk setiap N. Selajtya keda barisa tersebt adalah barisa terbatas, sebab ada bilaga real M = yag membawahi sema ilai sk-sk barisa tersebt ata <, N. Apakah ilai M = membawahi sema ilai sk barisa = (-), N? Dapatkah kam membetk barisa yag lai dari sk-sk barisa = (-), N selai dari barisa bagia (a) da (b)? Batlah miimal (tiga) barisa tak higga yag bar dari sk-sk barisa pada Cotoh 5.6 di atas da tetka rms fgsi barisa tersebt. Uji Kompetesi 5.. Dari setiap barisa berikt, tetka selisih sk ke-5 da sk ke- a. = ( ) + N b. = +, N + c. =, N + d. = N +,. Dari setiap barisa berikt, tetka selisih sk ke-5 da sk ke-. a.,,,,, b. =, N ( ) Matematika 7 Di dh dari : Bkpaket.com
22 c.0 5 5,,,,,,,, ! d. =, N. Tjkkalah bahwa barisa di bawah ii adalah barisa aik ata tr ata kosta. a. = N, b. = (), N c. =, N + d. =, N + 4. Tiga bilaga membetk barisa aritmatika. Jika sk ketiga ditambah, maka terbetk barisa geometri dega rasi (r) =. Tetka sk-sk barisa tersebt! 5. Tiga bilaga membetk barisa geometri. Jmlah tiga bilaga it 9 da hasil kali bilaga it.768. Tetka barisa geometri tersebt! 6. Pola PQQRRRSSSSPQQRRRSSSSPQQRRRSSSS... berlag sampai tak higga. Hrf apakah yag meempati rta 6 4? 7. Diketahi barisa yag dibetk oleh sema bilaga gajil Agka berapakah yag terletak pada bilaga ke 05? (sk ke- adalah agka da bilaga ke-5 adalah agka 9) 8. Tetka jmlah setiap deret berikt! a. = 5 b. = c. = ( )( + ) ( ) d. = 0 74 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
23 8. Tetkalah jmlah sema bilaga asli di atara sampai 00 yag habis dibagi 5! 0. Sebah bola teis dijathka ke latai dari ketiggia meter. Setiap kali setelah bola it mematl, ia mecapai ketigggia dari tiggi sebelm pematla. Tetka pajag litasa bola!. Bei berhasil lls jia sariga mask PT (Pergra Tiggi). Sebagai mahasiswa, mlai bla Agsts 0, ia meerima ag sak sebesar Rp ,00 tk sat triwla. Uag sak ii diberika setiap permlaa triwla. Utk setiap triwla beriktya ag sak yag diterimaya diaikka sebesar Rp ,00. Berapa besar ag sak yag aka diterima Bei pada awal tah 08?. Bayakya peddk kota Meda pada tah 0, sebayak 6 jta orag. Setiap 5 tah peddk kota Meda bertambah mejadi da kali lipat dari jmlah semla. Berapakah bayakya peddk kota Meda pada tah 945?. Setas tali dibagi mejadi 5 bagia dega pajag membetk sat barisa geometri. Jika tali yag palig pedek adalah 6 cm da tali yag palig pajag 8 cm, maka pajag tali semla adalah. 4. Sebah bola pimpog dijathka dari ketiggia 5 m da mematl kembali dega ketiggia 4/5 kali tiggi sebelmya. Pematla ii berlagsg ters meers higga bola berheti. Jmlah selrh litasa bola adalah. 5. Jmlah sema sk deret geometri tak higga adalah, sedagka jmlah sksk yag beromor gajil (kecali sk pertama) da geap adalah. Tetka deret tersebt! 6. Pertmbha peddk biasaya diyataka dalam perse. Misalya, pertmbha peddk adalah,5% per tah artiya jmlah peddk bertambah sebesar,5% dari jmlah peddk tah sebelmya. Pertambaha peddk mejadi da kali setiap 0 tah. Jmlah peddk desa pada awalya 00 orag, berapakah jmlah peddkya setelah 00 tah apabila pertmbhaya %? 7. Jmlah deret geometri tak higga adalah da rasioya adalah Tetka sk pertama deret tersebt! 8. Jmlah sk-sk gajil dari sat deret tak higga adalah 8. Jmlah tak higga sk-sk deret tersebt 4. Tetka sk pertama da rasio deret tersebt! 9. Jmlah deret geometri tak higga 8 p p + p... adalah 5 5. Tetka ilai p! Matematika 75 Di dh dari : Bkpaket.com
24 Projek Himplah miimal tiga bah masalah peerapa barisa da deret tak higga dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata disekitarm. Ujilah berbagai kosep da atra barisa da deret tak higga di dalam pemecaha masalah tersebt. Batlah lapora hasil kerjam da sajika di depa kelas. D. PENUTUP Kita telah meemka kosep barisa da deret tak higga dari pemecaha masalah yata beserta sifat-sifatya. Beberapa hal petig sebagai simpla dari hasil pembahasa materi barisa da deret tak higga disajika sebagai berikt :. Barisa tak higga objek di himpa S adalah sat fgsi dega daerah asal (domai) himpa bilaga asli da daerah hasilya (rage) sat himpa R S. Ditlis ( ), N.. Misalka ( ) sebah barisa tak higga bilaga real da s = adalah jmlah parsial sk-sk barisa tak berhigga. Deret tak higga adalah barisa jmlah parsial sk barisa tak higga. Ditlis (s), N ata s, s, s,, s, Jmlah deret tak higga adalah jmlah sk-sk barisa tak higga. = Ditlis = =. Barisa bilaga dikataka barisa aik, jika da haya jika <, + N. 4. Barisa bilaga dikataka barisa tr, jika da haya jika >, + N. 5. Sebah barisa bilaga yag sk-skya aik ata tr tak terbatas, barisa ii disebt barisa diverge. 6. Sebah barisa bilaga yag sema skya sama disebt barisa kosta. 76 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester Di dh dari : Bkpaket.com
Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,
Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di
SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL BARISAN DAN DERET
SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL 01 01 BARISAN DAN DERET 1 UN 01 Setas tali dipotog mejadi bagia sehigga pajag potoga-potoga tali tersebt membetk barisa geometri Jika pajag tali terpedek 6
theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :
theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu
BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN
Page o BAB II KEGIATAN PEMBELAJARAN A. TURUNAN FUNGSI ALJABAR. Deiisi Tra Fgsi Deiisi Fgsi : ata mempai tra ag diotasika d d ata di deiisika : d d d d d d lim h 0 h h lim 0 ata Cotoh Soal :. Tetka tra
MODUL MATEMATIKA SMA IPA Kelas 11
SMA IPA Kelas BARISAN DAN DERET ARITMATIKA. Betuk umum: a, ( a b), ( a b) ( a b). Rumus suku ke- ( ) a ( ) b a : suku pertama b : beda. Jumlah suku pertama (S ) S ( a ) atau S (a ( ) b) Dega S dapat juga
SOAL-SOAL. 1. UN A Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n n
Husei Tampomas, Barisa da Deret, 06 SOAL-SOAL. UN A 0 Jumlah suku pertama deret aritmetika diyataka dega S. Suku ke-0 A. B. C. 0 D. 8 E. 6. UN A, D7, da E8 0 Sebuah pabrik memproduksi barag jeis A pada
BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.
BARISAN DAN DERET Bab 9 Deret Aritmatika (Deret Hitug) o o o Betuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + b ) +...+ ( a + ( ) b a = suku pertama b = beda = bayakya suku Suku ke- : U = a + (-)b Jumlah suku
SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL
SOAL-SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI UJIAN NASIONAL Peserta didik memiliki kemampua memahami kosep pada topik barisa da deret aritmetika da geometri. Peserta didik memilki kemampua
SOAL-SOAL SPMB 2007 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 1. SPMB, MAT DAS, Regional I, 2007 Suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah
SOAL-SOAL SPMB 00 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS). SPMB, MAT DAS, Regioal I, 00 Sk ke- sat barisa aritmatika adalah 0 p,da 6, maka.... Jika A. B. 3 C. D. 3 E.. SPMB, MAT DAS, Regioal I, 00 Jika p 0, q 0 q...
PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27
PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi
Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)
MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag
BAB 12 BARISAN DAN DERET
BAB 1 BARISAN DAN DERET TIPE 1: Jika dari barisa aritmetika diketahui suku ke-m adalah um u b. m Cotoh: Diketahui barisa aritmetika, suku ke-5 adalah 4 da suku ke-8 adalah 6. Tetuka beda barisa aritmetika
Barisan Aritmetika dan deret aritmetika
BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk
Hendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
BAB V TURUNAN FUNGSI. Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
BAB V TURUNAN FUNGSI Stadar Kompetesi Meggaka kosep it gsi da tra gsi dalam pemecaa masala Kompetesi Dasar Meggaka siat da atra tra dalam peritga tra gsi aljabar Meggaka tra tk meetka karakteristik sat
MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
BAB IV METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA
BAB IV : METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA 35 BAB IV METODE BIOMIAL UTUK PEETUA HARGA OPSI ASIA Pada bab ii aka dibahas sat pedekata merik tk peeta harga opsi Asia, khssya opsi Asia dega rata-rata
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
E-learning matematika, GRATIS 1
E-learig matematika, GRATIS Peyusu Editor : Teag Idriyai, S.P ; Taufiq Rahma, S.P : Drs. Keto Susato, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Idra Guawa, S.Si.. Pegertia Barisa da Deret Barisa bilaga adalah
Bab 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
Bab PENDAHULUAN.. Latar Belakag Bayak peelitia yag bertja mecari dasar-dasar tk megadaka prediksi sat variabel dari iormasi-iormasi yag diperoleh dari variablel tersebt. Misalya apakah keadaa caca dapat
SOAL-SOAL SPMB 2006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS) 63 n, maka jumlah n suku. D n n 2. f n log3 log 4 log5... log n, maka f 2...
SOAL-SOAL SPMB 006 MATEMATIKA DASAR (MAT DAS). SPMB, MAT DAS, Regioal I, 006 Tiga bilaga membetuk suatu deret geometri aik. Jika jumlahya 6 da hasikaliya 6, maka rasio deretya adalah A. B. C. D. 4 E. 5.
ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
BARISAN DAN DERET. Materi ke 1
BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH
[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com
![[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com](/thumbs/17/184531.jpg "[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] http://meetabied.wordpress.com")
http://meetabied.wordpress.com SMAN Boe-Boe, Luwu Utara, Sul-Sel Setiap pria da waita sukses adalah pemimpipemimpi besar. Mereka berimajiasi tetag masa depa mereka, berbuat sebaik mugki dalam setiap hal,
2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Sumber: Art & Gallery. 6. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Sumber: Art & Gallery Stadar Kompetesi 6. Meerapka kosep barisa da deret dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar 6. Megidetifikasi pola, barisa, da deret bilaga 6. Meerapka kosep barisa da deret aritmatika
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Barisan, Deret, dan Notasi Sigma
Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai
Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com
Soal da Pembahasa jia Nasioal 06 Matematika Tekik SMK matematikameyeagka.com . pqr Betuk sederhaa dari p q r A. p 8 q r adalah... B. p q 0 r 0 D. p q 0 r 0 C. p 8 q r 0 E. p 6 q r Igat rumus berikut m
III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET
BAB 6 NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET A RINGKASAN MATERI. Notasi Sigma Diberia suatu barisa bilaga, a, a,..., a. Lambag deret tersebut, yaitu: a = a + a +... + a a meyataa jumlah suu pertama barisa Sifat-sifat
Induksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta
Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh
BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha
BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
SOAL DAN PEMBAHASAN TRY OUT MATEMATIKA SMP/MTS KABUPATEN LEMBATA TAHUN PELAJARAN 2014/2015
SOAL DAN PEMBAHASAN TRY OUT MATEMATIKA SMP/MTS KABUPATEN LEMBATA TAHUN PELAJARAN 4/5 3. Hasil dari 3 : adalah... 4 4 A. B. C. 7 D. 5 3 3 3 5 3 : = : 4 4 4 4 3 4 5 = 4 3 5 = 6 55 = 8 = 5 = 3. Dalam try
LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal
HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =
BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika
PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu
Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET
Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...
Himpunan Kritis Pada Graph Caterpillar
1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak
-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih
-- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa
Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP
( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak
6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Definisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15
SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih
Kompetisi Statistika Tingkat SMA
. Arya da Bombom melakuka tos koikoi yag seimbag yag mempuyai sisi, agka da gambar Arya melakuka tos terhadap 6 koi, sedagka Bombom melakuka tos terhadap koi, maka peluag Arya medapatka hasil tos muka
terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
BAB III 1 METODE PENELITAN. Penelitian dilakukan di SMP Negeri 2 Batudaa Kab. Gorontalo dengan
BAB III METODE PENELITAN. Tempat Da Waktu Peelitia Peelitia dilakuka di SMP Negeri Batudaa Kab. Gorotalo dega subject Peelitia adalah siswa kelas VIII. Pemiliha SMP Negeri Batudaa Kab. Gorotalo. Adapu
Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
SOAL-SOAL HOTS. Fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, dan grafik fungsi.
SOL-SOL HOTS. LJBR Pagkat Bulat Positif, Betuk kar, da Logaritma 1. Jumlah bakteri pada saat mula-mula adalah M 0. Karea suatu hal, setiap selag satu hari jumlah bakteri aka leyap r%. Jika M0 1.0 da r
ESTIMASI. (PENDUGAAN STATISTIK) Ir. Tito Adi Dewanto. Statistika
Wed 6/0/3 ETIMAI (PENDUGAAN TATITIK) Ir. Tito Adi Dewato tatistika Deskriptif Iferesi Estimasi Uji Hipotesis Titik Retag Estimasi da Uji Hipotesis Dilakuka setelah peelitia dalam tahap pegambila suatu
ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25
head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90
METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam
Solusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama
Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai
Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U 1. ialah barisan aritmatika,jika: -U 2. =.= U n
BARIAN DAN DERET A. BARIAN DAN DERET ARITMATIKA I. TJAN etelah mempelaji topik siswa dapat:. Meetuka suku ke suatu bisa itmatika. Meetuka rumus suku ke di bisa itmatika. Meetuka suku pertama da beda suatu
EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI
EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka
UKURAN PEMUSATAN DATA
Malim Muhammad, M.Sc. UKURAN PEMUSATAN DATA J U R U S A N A G R O T E K N O L O G I F A K U L T A S P E R T A N I A N U N I V E R S I T A S M U H A M M A D I Y A H P U R W O K E R T O DEFINISI UKURAN PEMUSATAN
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 9 Maret Pekan Ke-1, 2015 Nomor Soal: 81-90
Slusi Pegayaa Matematika disi Maret Peka Ke-, 0 Nmr Sal: -0. ari titik da pada ligkara, garis siggug P da Q digambarka sama, seperti diperlihatka pada gambar. uktika bahwa membagi PQ sama pajag. Q P Perpajag
Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA
MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA
DERET Matematika Industri 1
DERET TIP FP UB Pokok Bahasa Barisa Deret Deret aritmetik Deret geometrik Deret pagkat dari bilaga-bilaga asli Deret tak berhigga Nilai-ilai limit Deret koverge da deret diverge Uji kovergesi Deret secara
Penyelesaian Persamaan Non Linier
Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode
Barisan dan Deret. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Pola Bilangan Beda Rasio Suku Jumlah n suku pertama A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Barisan dan Deret A KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu: Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten,
Himpunan/Selang Kekonvergenan
oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Soal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa
Soal-soal Latiha:. Misalka kita aka meyusu kata-kata yag dibetuk dari huru-huru dalam kata SIMALAKAMA, jika a. huru S mucul setelah huru K (misalya, ALAMAKSIM). b. huru A mucul berdekata. c. tidak memuat
BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Unand
TEKIK SAMPLIG PCA SEDERHAA Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusa Matematika FMIPA Uad Defiisi : Jika suatu cotoh berukura diambil dari suatu populasi berukura sedemikia rupa sehigga setiap kemugkia cotoh
Hendra Gunawan. 14 Februari 2014
MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga
PEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013
http://asyikyabelajar.wordpress.com PEMBAHAAN ALAH ATU PAKET OAL UN MATEMATIKA MA PROGRAM IP TAHUN PELAJARAN 0/0. Igkara dari peryataa emua makhluk hidup memerluka air da oksige adalah... A. emua makhluk
B a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...
SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,
Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Bab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi
Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN
KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.
Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga
Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak
II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
UKURAN PEMUSATAN UKURAN PENYEBARAN
UKURAN PEMUSATAN DATA TUNGGAL DATA KELOMPOK. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL UKURAN PENYEBARAN JANGKAUAN HAMPARAN RAGAM / VARIANS SIMPANGAN BAKU
b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:
Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah
1. Ingkaran dari kalimat Jika koruptor tidak dapat ditangkap, maka rakyat tidak percaya kepada aparat hukum adalah...
. Igkara dari kalimat Jika koruptor tidak dapat ditagkap, maka rakyat tidak percaya kepada aparat hukum adalah... A. Jika koruptor dapat ditagkap, maka rakyat percaya kepada aparat hukum B. Jika koruptor
Barisan dan Deret. Bab. Pola Bilangan Beda Rasio Suku Jumlah n suku pertama A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Barisan dan Deret A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu:. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab,
SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH
PEMERINTAH KOTA BEKASI DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI BEKASI Jl. Gamprit Jatiwarigi Asri Podok Gede -88 UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN / L E M B A R S O A L Mata Pelajara : Matematika Kelas/Program : IPA Hari/Taggal
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat
SOAL-SOAL LATIHAN Misalnya sekarang hari Jum at. Hari apa 100 hari kemudian?
SOAL-SOAL LATIHAN. Misalya sekarag hari Jum at. Hari apa 00 hari kemudia?. Hituglah + + 3 + + 00. 3. Tiga orag pekerja membutuhka waktu 6 miggu 4 hari utuk meyelesaika suatu pekerjaa. Berapa lama waktu
Pengertian Secara Intuisi
Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut
Solusi Pengayaan Matematika
Solusi Pegayaa Matematika Edisi 11 Maret Peka Ke-, 2007 Nomor Soal: 101-110 101. Bilaga desimal 0,7777 diyataka dalam hasil bagi bilaga rasioal sebagai a b, dega a da b relatif prima. Nilai dari ab A.
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi
FAKULTAS DESAIN dan TEKNIK PERENCANAAN
Wiryato Dewobroto ------------------------------------- Jrsa Tekik Sipil - Uiversitas elita Harapa, Karawaci FAKULTAS DESAIN da TEKNIK ERENCANAAN UJIAN TENGAH SEMESTER ( U T S ) GENA TAHUN AKADEMIK 010