BAB II STATISTIK MAXWELL-BOLTZMAN

Transkripsi

1 BAB II STATISTIK MAXWELL-BOLTZMAN A. Kapasitas Paas Jeis Zat Paat. Paa zat paat yag berbetuk kristal, atom-atom atau molekul-molekul pembaguya tersusu secara teratur. Atom-atom atau molekulya terikat satu sama lai melalui gaya iteraksi atar molekul, sehigga paa suhu yag buka ol Kelvi, terjai geraka-geraka yag bebas. Albert Eisteit megajuka moel seerhaa, ega megaggap geraka masig-masig molekul tai bebas satu sama lai a berupa ayua harmoik tiga imesi. Dega megguaka moel yag sagat seerhaa ii, a ega megguaka mekaika statistik, maka eergi satu molekul apat itetuka ega megguaka fugsi Hamilto, yaitu : ε = E k + E p E k = 1 mv, imaa p = mv a v = p m E k = 1 mvv E k = 1 pv E k = 1 p p m E k = 1 p m E k = p m (Eergi kietik) a E p = 1 kx (Eergi potesial) ε = P x +P y +P z m + 1 k(x + y + z ) (1) Jika azas bagi rata eergi (azas ekuipartisi eergi), iterapka alam masalah ii, maka paa suhu yag cukup tiggi, eergi rata-rata akibat geraka molekul ii aalah : 6 = 3 () karea molekul megalami geraka poliatomik (3 traslasi, rotasi, a 1 vibrasi). Jai, kalau iukur kapasitas paas jeis zat paat, maka aka iperoleh ilai 3 Nk atau 3R, a hasil ii teryata cocok utuk sebagia besar zat paat, yag ikeal ega hukum Dulog a Petit. Hasil eksperime meujuka, bahwa utuk suhu-suhu reah, teryata kapsitas paas jeis zat paat, tiak lagi sama ega 3 Nk atau 3R, tetapi berharga lebih kecil, bahka ilaiya meekati ol, ketika suhuya meekati ol Kelvi. 1

2 Hal tersebut apat ipahami ega megguaka mekaika kuatum alam membahas status-status eergi ayua harmoik, jika paa ayua harmoik iberlakuka mekaika kuatum, maka status eergiya itetuka oleh suatu bilaga kuatum, yah gerharga 0, 1,, 3, 4, 5,..., seagka tigkata eergiya aalah : ε = ( + 1 ) spi bilaga kuatum meurut mekaika kuatum, (3) seagka meurut mekaika klasik E = Eergi rata-rata utuk gerak osilasi ii, iperoleh ari fugsi sebara eergi Maxwell- Boltzma, yaitu : ε = ε exp ( ε ) exp ( ε ) ε = ε e ( ε ) e ( ε ) Kita misalka : Z = exp [ + 1 ], imaa ε = ( + 1 ) Z = exp [ ] Jika kita tuliska β = 1, maka iperoleh : Z = exp (β ε ) Z = e (βε ) Jika i ifferesialka Z terhaap β, maka : z β = β (eβε ) z = ε β e ε Maka eergi rata-rata osilator aalah : ε = 1 z z β ε = β ε = l Z β lz Persamaa iatas megiformasika paa kita bahwa utuk mecari eergi rata rata osilator, kita apat memulai ega mecari Z seperti yag iefiisika alam persama Z = e (βε ). Sekarag mari kita mecari Z tersebut. Z = e (βε ) ε = ( + 1 ) (4) (5)

3 Z = e β (( +1 )) β Z = e Di maa : β e Z = exp [ + 1 ] (6) Jika imisalka x = exp ( ), maka Z mejai jumlah eret ukur yag ilaiya : x 1/ 1 + x + x + = x 1/ 1 x kt β Dega membaigka persamaa Z = e β e (7) ega persamaa (7) kita ietifikasika bahwa x paa persamaa (7) ekivale ega e β paa persamaa β Z = e β Z = e β e 1 1 eβ. Dega emikia kita apat meulis, Selajutya kita apat memperoleh persamaa-persamaa berikut ii, lz = β l (1 eβ ) β lz = 1 (1 e β ) x( eβ ) = + eβ 1 eβ Dega emikia eergi rata-rata osilator mejai, ε = β lz ε = + eβ 1 eβ ε = + e β 1 ε = + e 1 β = 1 Dega megguaka persamaa (5), iperoleh : ε = exp 1 (8) Tampak ari persamaa iatas, jika T 0 maka e. Dega sifat ii, maka ε = Eergi ε = isebut eergi titik ol. Betuk persamaa Hamilto seperti yag terapat paa persamaa (1), meujuka bahwa osilasi alam tiga imesi, bisa iaggap seperti tiga buah ayua 3

4 harmoik biasa, masig-masig alam arah sumbu x, sumbu y, a sumbu z. Dega emikia status a keaaa eergiya itetuka oleh tiga bilaga kuatum x, y, a z, yag masig-masig bisa berharga 0, 1,, 3, st. Besarya eergi utuk status ii aalah : ε = ( + 1 ) ε x, y, z = x y z + 1 (9) Dega megguaka cara yag sama, sesuai ega persamaa (8), iperoleh : ε = exp 1 (10) Kapasitas paas jeis paa suhu T, iperoleh melalui : ε c v = N T Da aka iperoleh : (11) c v = 3Nk exp [exp 1] (1) Persamaa iatas iapatka ari kapasitas paas yag iefeisika sebagai berikut : C v = U T C v = T (U = Eergi alam a T = Suhu) p g p v C v = g p v T { 1 p v exp 1 exp 1 }v Utuk meyeerhaaka persamaa iatas mari kita lihat suku iferesial alam persamaa tersebut. Utuk mempermuah kita misalka y =. Dega permisala tersebut maka, = y T y T = y T 1 exp 1 = T 1 e y 1 = = y y 1 e y 1 e y (e y 1) 4

5 = e y (e y 1) = exp [ ] (exp [ ] 1) Dega emikia, kapasitas kalor apat i tulis, C v = p g p v { exp [ ] (exp [ ] 1)}v C v = h g p v { exp [ p Moel Estei ] v (exp [ ] 1)}v Utuk mecari kapasitas kalor kristal, Eistei megusulka moel bahwa semua phoo berosilasi ega frekuesi karakteristik yag sama, v 0. Dega asumsi ii maka apat kita tulis : g p v = Nδ(v v 0 ) Dimaa δ(v v 0 ) merupaka fugsi elta Dirac. Dega moel ii kita apatka kapasitas kalor kristal utuk satu macam polarisasi saja sebesar C v = h g p v exp [ p C v = h Nδ(v v 0) p C v = Nh h exp [ v0 ] v (exp [ 0 ] 1) 0 ] (exp [ v v ] 1) exp [ ] (exp [ ] 1) v v Utuk kristal 3 imesi, terapat tiga arah polarisasi phoo yag mugki (arah sumbu x, y, a z). Dega megaggap bahwa ke tiga polarisasi tersebut memberika sumbaga eergi yag sama besar maka kapasitas kalor total mejai tiga kali ari yag tampak alam persamaa iatas, yaitu mejai C v = 3Nh exp [ 0 ] v (exp [ h v 0 ] 1) 0 Sekarag kita tijau kasus-kasus khusus, yaitu ketika T 0 a T. Dalam koisi T 0, maka exp[ 0 ] >> 1, sehigga exp[ 0 ] 1 exp[ 0 ]. Akibatya C v 3Nh h exp [ v0 ] v (exp [ 0 ] 1) 0 5

6 C v = 3Nh v 0 e 0 Perhatika suku pembilag a peyebut paa persamaa iatas. Jika T 0 maka suku peyebut T 0 a suku pembilag exp[ 0 ] 0, tetapi suku pembilag meuju ol jauh lebih cepat ari paa suku peyebut. Dega emikia, C v 0 jika T 0. Utuk kasus sebalikya, yaitu T, maka megaproksimasiya exp Dega aproksimasi ii, maka persamaa iatas apat mejai : 0 0 kita apat C v 3Nh h 1+ v0 v (1+ 0 1) 0 C v 3Nh 0 v0 C v = 3Nk C v = 3(N A )k C v = 3(N A k) C v = 3R Utuk mempelajari kapasitas paas jeis ii, kita misalka x = cukup tiggi, x << 1, sehigga apat itulis : exp x 1 = 1 + x + x + 1 = x (13)! c v = 3Nkx exp x = [exp x 1] 3Nkx 1 x = 3Nk (14). Paa suhu yag Sebalikya utuk suhu yag sagat reah, maka x >> 1, besara exp (x) mejai lebih besar ari 1, sehigga : exp x 1 = exp x (15) Jai : c v = 3Nk x exp x Bila x maki besar, maka kuarat x juga maki besar, jauh lebih cepat ari pagkat berapapu juga, akibatya : c v 0 utuk x. (16) 6

7 Meskipu moel yag iajuka Eisteit sagat seerhaa, amu secara kualitatif, teryata sesuai ega kapasitas paas jeis yag iukur alam eksperime, yag apat iguaka utuk megembagka moel-moel lai, utuk memahami gerak molekul-molekul alam kisi-kisi. B. Peragai Baha Paramagetik. Sifat peragai suatu baha apat ipahami, jika molekul-molekul yag membagu baha tersebut, iaggap memiliki momet magetik. Bila suatu mea maget luar H ikeaka terhaap baha paramagetik, maka momet-momet magetik tai berusaha utuk meyesuaika iri, utuk mecari arah yag eergiya palig kecil. Eergi iteraksi sebuah momet magetik ega mea maget aka berharga palig kecil, bila momet magetik tai mempuyai arah yag sama ega arah mea maget luar H, yag megakibatka terjaiya mea maget tambaha. Tambaha mea maget yag berasal ari momet magetik tersebut iamaka magetisasi. Mekaika statistik apat iterapka paa molekul-molekul gas yag memiliki momet magetik. Paa gas, jarah atar molekul-molekulya cukup jauh, sehigga eergi iteraksi atara momet magetik yag satu ega momet magetik yag lai, relatif sagat kecil, ibaigka ega eergi iteraksi atara momet magetik ega mea maget luar H. Jai, isampig eergi yag timbul karea gerak, harus pula iperhitugka eergi iteraksi atara molekul ega mea maget. Bila momet magetik yag imiliki molekul aalah μ, a arahya membetuk suut θ, ega mea maget iuksi B, maka eergi iteraksi apat iperoleh sebagai berikut : Momet magetik berupa ipole, bila iletaka alam mea iuksi B, aka meimbulka momet kopel yag besarya : τ = μ B siθ (1) Bila suut θ iubah mejai θ + θ, iperluka kerja yag besarya : W = μ B siθ θ () Jika iambil eergi W = 0, ketika posisi θ = 90 0, maka eergi potesial magetik aalah : W = W = μ B cosθ (3) Meurut teori klasik, momet magetik molekul, bisa membetuk suut sebarag terhaap arah mea maget luar. Dega meggati u = - cosθ, a x = μb, maka fugsi partisi apat itulis : 7

8 Z = +1 e ux 1 u (4) Dega batas -1 sampai +1. Utuk suut ari 0 sampai Jika terapat sejumlah N momet magetik, maka besarya magetisasi yag terjai paa sistem apat ihitug, sehigga : M = N Z +1 μu e ux u (5) 1 Dimaa μu aalah magetisasi yag isumbagka oleh satu momet magetik yag bersuut θ, seagka N Z e ux aalah bayakya molekul yag membetuk suut itu ega mea maget B. Da M ihitug seperti persamaa berikut : M = μn cot gh x 1 x (6) Magetisasi ii apat ipelajari peragaiya ega muah utuk ua kasus ekstrem, yaitu : 1. Paa mea maget iuksi B yag besar a suhu T yag reah. Dalam hal ii ilai x = μb mejai sagat besar, sehigga ilai cotgh meekati 1, seagka 1 x mejai sagat kecil a apat iabaika. Dega emikia iperoleh : M = Nμ. Hal ii iperoleh ketika seluruh momet magetik mempuyai arah yag sama ega mea maget B, sehigga ihasilka magetisasi terbesar.. Paa mea maget iuksi B yag kecil a suhu T yag tiggi. Dalam hal ii ilai x << 1, sehigga : cot gh x = 1 x + x 3 Da magetisasi : M = μn x 3 = Nμ B 3 Karea iuksi magetik B = μ 0 H, maka persamaa (7) apat itulis alam betuk : (7) M = C H T (8) Dega C merupaka tetapa yag berharga : C = Nμ μ 0 3k Hubuga atara magetisasi terhaap suhu T, seperti paa persamaa (8), itemuka oleh Piere Curie paa tahu 1805, yag iperolehya berasarka hasil pegamata, a sampai sekarag ikeal sebagai Hukum curie. Hukum yag iperoleh secara empirik ii, jelas tiak berlaku jika suhu T sagat reah, karea bila (9) 8

9 T 0, aka ihasilka magetisasi yag sagat besar a tiak terbatas. Paahal magetisasi terbesar biperoleh ketika semua momet magetik mempuyai arah yag sama ega arah mea H. Jika kita guaka mekaika kuatum, maka ka ihasilka perhituga yag seikit berbea. Meurut mekaika kuatum, orietasi momet magetik terhaap arah mea H, tiak bisa memiliki suut sebarag, tetapi paa persyarata kuatisasi yag membatasi besar suut yag iperkeaka. Hasil ii buka haya apat ibuktika secara teoritis, tetapi juga apat itujukka kebearaya melalui hasil eksperime, salah satu iataraya aalah eksperime yag ilakuka oleh Ster a Gerlach. Dalam eksperime tersebut itujuka bahwa berkas ataom-atom perak yag ilewatka melalui mea maget, haya aka terurai alam ua kelompok saja, yag satu paralel ega mea H, a yag lai atiparalel ega mea H, tepat seperti yag iramalka mekaika kuatum. Utuk kasus ii, fugsi partisi Z mejai sagat seerhaa, yaki : Z = exp x + exp x = cosh (x) Dega populasi utuk keua kelompok, masig-masig : N 1 = N exp x ( ) a N cosh x = N x (exp ) cosh x Dega emikia iperoleh magetisasi : M = μn 1 μn = μn tgh(x) M = μn tgh( μb ) (10) Bila x >> 1, magetisasi meekati ilai jeuh Nμ, seagka utuk x << 1, magetisasi M aka meekati hukum curie, ega tetapa C mejai tiga kali lebih besar ari perhituga mekaika klasik. 9

10 BAB III KESIMPULAN A. Kapasitas Paas Jeis Zat Paat. 1. Paa suhu yag cukup tiggi, x << 1, sehigga apat itulis : exp x 1 = 1 + x + x! + 1 = x Jai : c v = 3Nkx exp x [exp x 1] = 3Nkx 1 x = 3Nk. Paa suhu yag sagat reah, maka x >> 1, besara exp (x) mejai lebih besar ari 1, sehigga : exp x 1 = exp x Jai : c v = 3Nk x ex p x C. Peragai Baha Paramagetik. Magetisasi apat ipelajari peragaiya ega muah utuk ua kasus ekstrem, yaitu : 1. Paa mea maget iuksi B yag besar a suhu T yag reah. M = Nμ.. Paa mea maget iuksi B yag kecil a suhu T yag tiggi. M = C H T Dega C merupaka tetapa yag berharga C = Nμ μ 0 3k 10