FUNGSI BANYAK VARIABEL DAN PENERAPANNYA

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "FUNGSI BANYAK VARIABEL DAN PENERAPANNYA"

Transkripsi

1 FUNGSI BANYAK VAIABEL DAN PENEAPANNYA

2 KATA PENGANTA Segala puji sukur peulis pajatka haa utuk Allah SWT ag telah memberika rahmat da hidaaha, sehigga atas izi Allah, Alhamdulillah buku ag cukup sederhaa ii dapat diterbitka. Buku Kalkulus Lajut atau Matematika Tekik Lajut ii pada dasara merupaka lajuta dari Buku Kalkulus Fugsa Satu Variabel ag telah diterbitka terdahulu. Pada awala buku ii merupaka baha-baha dari diktat kuliah utuk Mata Kuliah Matematika ag peulis susu da diguaka secara terbatas oleh mahasiswa jurusa Tekik Mesi da Tekik Elektro Fakultas Tekik Uiveristas Muhammadiah Jakarta, da Sekolah Tiggi Tekik PLN (STT-PLN). Pertama kali baha ii dipublikasika sebagai baha ajara sekitar awal tahu 997. Setelah megalami berbagai revisi setelah medapatka masuka dari mahasiswa, asiste da beberapa dose reka sejawat, akhira terbetuk suatu buku ag sederhaa da cukup legkap. Buku ii lebih ditujuka utuk membatu mahasiswa pada tahu kedua ag megambil mata kuliah Matematika Tekik atau Kalkulus Lajut khususa ag mempelajari masalah aalisis fugsi dega baak variabel da peerapaa. Oleh kareaa buku ii disusu dalam ragka mejawab masalah tersebut. Buku ii disusu terdiri atas eam bab, ag meliputi Fugsi variabel, Turua Parsial da Aplikasia, Itegral Lipat Dua da Lipat Tiga, Kalkulus Meda Vektor, Deret Tak Higga, Fugsi Gamma da Fugsi Beta. Sasara buku ii ditujuka utuk mahasiswa pada tahu kedua di fakultas tekik, sais da atau tekologi laia ag sedag megambil mata kuliah Kalkulus Lajut atau Matematika Tekik. Oleh karea itu, sebagaimaa buku-buku ag perah peulis susu, pembahasa pada buku ii lebih meekaka pada pegguaa teori, defiisi da teorema, sehigga teorema-teorema ag ada tidak dibuktika kebearaa. Hal ii sejala dega tujua diterbitkaa buku ii utuk membatu mahasiswa memahami masalah aalisis turua parsial da peerapaa, itegral berulag lipat dua da lipat tiga, aalisis kalkulus meda vektor, deret tak higga, da terakhir dibahas fugsi gamma da fugsi beta. Harapa dega diguakaa buku ii sebagai salah satu referesi adalah agar mata kuliah Matematika Tekik atau Kalkulus Lajut tidak dijadika sebagai mata kuliah ag ditakuti mahasiswa.

3 Letak keuggula dari buku ii adalah bahwa buku ii lebih meekaka pada bagaimaa meelesaika masalah, amu demikia tidak meiggalka kaidah-kaidah secara teori. Oleh kareaa pedekata ag diguaka pada pembahasa buku ii adalah pada setiap awal sub bab diupaaka adaa pegatar teori, da selajuta diteruska dega teori ag terdiri atas defiisi da teorema, selajuta diteruska dega cotoh-cotoh soal. Sehigga teorema-terorema dalam buku ii segaja tidak dibuktika, da bagi pembaca ag megharapka adaa bukti dari teorema da atau rumus disaraka utuk membaca lebih lajut pada buku referesi ag ditujuk. Pedekata ii dicoba ditempuh, agar supaa mahasiswa da atau pembaca pada umuma tidak terjebak pada masalah pembuktia teorema, tetapi lebih meekaka pada pegguaa teorema. Pada setiap pembahasa cotoh soal, diupaaka tahapa da lagkah-lagkah ag diguaka dapat diikuti dega mudah oleh mahasiswa. Sehigga mahasiswa da atau pembaca pada umuma lebih mudah memahami aalisis fugsi variabel, turua parsial da peerapaa, itegral lipat dua da lipat tiga, aalisis kalkulus meda vektor, deret tak higga, da terakhir dibahas fugsi Gamma da fugsi Beta. Sasara buku ii ditujuka utuk mahasiswa pada tahu kedua di fakultas tekik, sais da atau tekologi laia ag sedag megambil mata kuliah Kalkulus Lajut atau Matematika Tekik. Selajuta pada akhir sub bab diberika soal-soal latiha, dega harapa soal-soal tersebut dapat meambah pedalama materi. Oleh kareaa soal-soal ag disajika dapat dikerjaka oleh mahasiswa, dega tigkat kesulita ag sepada dega mahasiswa baru tahu kedua. Materi buku ii dapat diajarka dalam satu semester dega bobot 4 (empat) sks, atau dega bobot (tiga) sks. Pada Bab I Pedahulua dibahas tetag ruag dimesi tiga, vektor dalam ruag, garis da bidag, permukaa beda pejal dalam ruag, da terakhir dibahas koordiat silider da koordiat bola. Pada Bab II dibahas tetag fugsi variabel, turua parsial, diferesial total, maksimum miimum da metode lagrage. Bab III dibahas teatg pegertia itegral lipat dua, trasformasi itegral lipat dua, itegral lipat tiga, itegral lipat tiga dalam koordiat silider da koordiat bola, peerapa itegral lipat dua da lipat tiga. Bab IV dibahas aalisis Kalkulus Meda Vektor ag meliputi meda vektor da meda skalar, meda vektor koservatif, itegral garis, kebebasa litasa itegral garis, teorema Gre, itegral permukaa da fluks meda vektor, teorema divergesi Gauss da teorema stokes. Pada Bab V Deret Tak Higga dibahas deret tak higga, deret bergati tada, deret

4 pagkat, operasi deret pagkat, deret talor da uji kovergesi deret tak higga. Pada bah terakhir dibahas khusus tetag fugsi gamma da fugsi beta serat peerapaa. Pada akhira peulis berterima kasih kepada istri tercita Lida Surai Widawati, SH, M.Hum, aak tercita Abimau Putera Yudha atas doroga da kasih saaga da waktu ag diluagka. Tak lupa peulis ucapka teriama kasih kepada asiste mata kuliah Kalkulus da Matematika Tekik Hedri ST, MT, da reka-reka sejawat ag telah memberi masuka da batua sehigga buku ii dapat diselesaika. Peulis juga berterima kasih pada pihak peerbit Graha Ilmu dega segala resiko ag aka ditaggug telah bersedia meerbitka buku ii.

5 DAFTA ISI HALAMAN JUDUL KATA PENGANTA BAB I PENDAHULUAN.. uag Dimesi Tiga Soal-soal Latiha. 7.. Vektor Dalam uag Dimesi Dua da Tiga 9 Soal-soal Latiha. 4.. Permukaa Beda Dalam uamh Dimesi Tiga 6 Soal-soal Latiha Koordiat Silider da Koordiat Bola 8 Soal-soal Latiha.4 4 BAB II TUUNAN PASIAL.. Fugsi Variabel 44 Soal-soal Latiha Turua Parsial 5 Soal-soal Latiha. 6.. Atura atai 6 Soal-soal Latiha Diferesial Total da Hampira 7 Soal-soal Latiha Gradie da Turua Berarah 84 Soal-soal Latiha Bidag Siggug da Normal Bidag Permukaa 9 Soal-soal Latiha Maksimum da Miimum 98 Soal-soal Latiha Metode Lagrage 8 Soal-soal Latiha.8 5 BAB III INTEGAL LIPAT DUA DAN TIGA.. Itegral Lipat Dua Atas Daerah Empat Persegi Pajag 7 Soal-soal Latiha. 4.. Itegral Lipat Dua Atas Daerah Umum 6 Soal-soal Latiha. 7

6 .. Trasformasi Koordiat Itegral Lipat Dua, Koordiat Kutub 9 Soal-soal Latiha Peerapa Itegral Lipat Dua 47 Soal-soal Latiha Itegral Lipat Tiga 56 Soal-soal Latiha Koordiat Silider da Koordiat Bola 7 Soal-soal Latiha.6 85 BAB IV KALKULUS MEDAN VEKTO 4.. Meda Skalar da Mada Vektor 88 Soal-soal Latiha Meda Vektor Koservatif Soal-soal Latiha Itegral Garis Soal-soal Latiha Kebebasa Litasa Itegral Garis Soal-soal Latiha Teorema Gre Soal-soal Latiha Itegral Permukaa da Fluks Meda Vektor 48 Soal-soal Latiha Teorema Divergesi Gauss da Teorema Stokes 7 Soal-soal Latiha BAB V DEET TAK HINGGA 5.. Barisa Tak Higga Soal-soal Latiha Deret Tak Higga Soal-soal Latiha Uji Kovergesi Deret Suku-suku Positif Soal-soal Latiha Deret Bergati Tada, da Kovergesi Mutlak Soal-soal Latiha Deret Pagkat 44 Soal-soal Latiha Diferesial da Itegrasi Deret Pagkat 5 Soal-soal Latiha 5.6 6

7 5.7. Deret Talor da MacLauri 64 Soal-soal Latiha BAB VI FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA 6.. Fugsi Gamma 76 Soal-soal Latiha Fugsi Beta 94 Soal-soal Latiha 6. 45

8 BAB I PENDAHULUAN.. UANG DIMENSI TIGA uag dimesi tiga adalah himpua semua bilaga tripel real, da diataka dega. Setiap titik dalam ruag dimesi tiga diataka dega tiga pasaga bilaga berurut. Utuk meataka ruag dimesi tiga, biasaa diguaka sistem koordiat kartesius. Utuk itu, ambillah tiga buah garis koordiat ag salig tegak lurus, da salig berpotoga. Ketiga garis koordiat tersebut selajuta masig-masig disebut dega sumbu, sumbu, da sumbu z. Ketiga sumbu-sumbu koordiat tersebut berpotog pada titik O(,,), ag selajuta disebut dega titik sumbu koordiat. Setiap titik dalam ruag dimesi tiga dalam sistem koordiat kartesius diataka dega (,,z), seperti terlihat pada gambar... z P(,,z) O Gambar... Ketiga sumbu koordiat dalam ruag dimesi tiga, selajuta meetuka bidag-bidag, z, da z, dimaa membagi ruag mejadi delapa bagia ag disebut dega okta, seperti terlihat pada gambar... Pembagia okta dalam sistem koordiat kartesius tergatug pada ilai sumbu koordiat, lihat tabel berikut ii : Okta z Okta z I (+) (+) (+) V (+) (+) (-) II (-) (+) (+) VI (-) (+) (-) III (-) (-) (+) VII (-) (-) (-) IV (+) (-) (+) VIII (+) (-) (-)

9 z okta ketiga okta kedua okta keempat O okta pertama Gambar... Misalka P(,,z) adalah sebuah titik dalam ruag dimesi tiga, maka titik P(,,z) disebut dega koordiat ag megukur jarak dari titik tersebut terhadap ketiga bidag. Koordiat meataka jarak P terhadap bidag z, koordiat meataka jarak P terhadap bidag z, da koordiat z meataka jarak P terhadap bidag. Sebagai ilustrasi, misalka diberika sebuah titik P(,4,4), lihat gambar... z 4 P(,4,4) O 4 Gambar... Dari gambar.., titik P berjarak satua jarak terhadap bidag z, berjarak 4 satua jarak terhadap bidag z, da berjarak 4 satua jarak terhadap bidag.

10 Jarak Dua Titik Misalka diberika dua buah titik P(,,z ) da Q(,,z ) dalam ruag dimesi tiga. Lihat gambar..4. Adaika pula bahwa d(p,q) meataka jarak atara titik P da titik Q. z z z Q P O 4 Gambar..4. Meurut rumus pthagoras, jarak d(p,q) diberika oleh : d(p,q) PQ ( ) + ( ) + ( z z ) Cotoh.. Misalka diberika tiga buah titik dalam ruag dimesi tiga, P(,,), Q(5,,7), da (,9,9). Hituglah jarak d(p,q), d(p,), da d(q,) Peelesaia : Dega meguaka rumus jarak diatas, diperoleh : d(p,q) d(p,) d(q,) ( 5 ) + ( ) + (7 ) ( ) + ( ) + (9 ) ( 5) + ( ) + (9 7) Grafik Persamaa Dalam uag Dimesi Tiga Grafik suatu persamaa didalam ruag dimesi tiga adalah himpua semua titik-titik (,,z) ag koordiata berupa bialaga ag memeuhi persamaa tersebut. Grafik persamaa di dalam ruag dimesi tiga disebut dega permukaa. Grafik di dalam ruag dimesi tiga ag ag cukup mudah dibuat sektsaa adalah grafik persamaa derajad satu, da grafik persamaa derajad dua. Grafik persamaa derajad satu ag palig sederhaa adalah bidag, sedagka utuk grafik persamaa derajad dua adalah bola.

11 Bidag di Grafik bidag dalam ruag dimesi tiga adalah grafik dari suatu persamaa liier ag berbetuk, A +B + Cz D, dimaa, A + B + C. Bilamaa A, B, da C, bidag ag diberika aka memotog ketiga sumbu koordiat. Sedagka utuk membuat sketsa grafika, lagkah pertama dicari titik-titik potog bidag dega ketiga sumbu koordiat. Lagkah berikuta adalah membuat gambar berkas-berkas garis perpotoga bidag dega bidag, z, da z. Cotoh.. Gambarkaah sektsa grafik suatu bidag dega persamaa, z. Peelesaia : Lagkah pertama. Utuk membuat sketsa bidag diatas, lagkah pertama carilah titik-titik perpotoga bidag dega ketiga sumbu koordiat. Utuk meetuka titik potog dega sumbu, tetapkalah, da z, sehigga dihasilka, atau 6. Jadi titik potog bidag dega sumbu adalah (6,,). Dega cara sama dihasilka titik potog dega sumbu da sumbu z masig-masig adalah (,,), da (,,4). Lagkah Kedua. Meggambarka berkas-berkas garis perpotoga bidag dega bidag, z, da z. Berkas garis pada bidag, diperoleh dega cara meetapka z. Utuk z, dihasilka + 4. Dega cara ag sama berkas garis pada bidag z dega, adalah + z, sedagka berkas garis pada bidag z dega, adalah 4 + z. Lagkah Ketiga, Sketsa Permukaa. Dega megguaka hasil-hasil dari lagkah pertama da kedua, sketsa permukaa bidag z, diperlihatka pada gambar berikut ii. z (,,4) + z 4 + z z (,,) (6,,) + 4 Gambar..5. Cotoh.. Buatlah sketsa grafik permukaa bidag, 4 + z 4

12 Peelesaia : Karea persamaa bidag tidak memuat variabel, maka sketsa bidag ii tidak memotog sumbu, sehigga grafika sejajar dega sumbu. Selajuta dega cara ag sama seperti sebeluma, bidaga memotog sumbu di titik (,,), da sumbu z di titik (,,4). Dega membuat sektsa berkas garis ag sejajar dega garis 4 + z pada bidag z, sketsa bidag adalah sebagai berikut. z (,,4) 4 + z (,,) Gambar..6. Cotoh.4. Buatlah sketsa grafik permukaa bidag, + z Peelesaia : Karea persamaa bidag tidak memuat variabel, maka sketsa bidag ii tidak memotog sumbu, sehigga grafika sejajar dega sumbu. Selajuta dega cara ag sama seperti sebeluma bidaga memotog sumbu da sumbu z masig-masig di titik (6,,) da di titik (,,4). Sedagka sketsa permukaa bidag di okta pertama dibuat dega cara membuat berkas-berkas garis ag sejajar dega garis 4 + z pada bidag z, sketsa bidag adalah sebagai berikut. z (,,4) + z (6,,) Gambar..7. 5

13 B o l a Bola adalah himpua titik-titik ag berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Titik tetap ii selajuta disebut dega titik pusat bola, da ukura jarak ag sama disebut dega jari-jari bola. Persamaa umum bola dega pusat (a,b,c) dega jari-jari r diberika oleh, ( a) + ( b) + (z c) r Bilamaa suku-suku pada persamaa bola diatas dijabarka, da dikelompokka aka dihasilka persamaa derajad dua ag berbetuk, + + z + A + B + Cz + D. dimaa, A a, B b, C a, da D a + b + c r Dari persamaa umum diatas, pusat bolaa diberika oleh, a A, b B, c C, da jari-jaria diberika oleh : r A + B + C 4D Sebagai ilustrasi, suatu bola dega pusat (,,) da jari-jaria adalah r a, grafika adalah sebagai berikut. z (,,a) + + z a (,a,) O Gambar.8. Cotoh.5. Carilah pusat da jari-jari bola dega persama, + + z 8 + z + 5. Peelesaia : Cara Pertama. Dari persamaa umum bola diperoleh : A 8, B, C, da D 5 Dega megguaka rumus diatas, pusat da jari-jari bola diberika oleh : a ( 8) 4, b ( ), c (), 6

14 da jari-jaria adalah, r ( 8) + ( ) + () 4(5) 5 Cara Kedua, Tulislah persamaa umum bola diats mejadi, ( ) + ( +... ) + (z + z +... ) 5 ( 8 + 6) + ( + 6) + (z + z + 5) ( 4) + ( 6) + (z + 5) 5 Dari persamaa terakhir ii, maka pusat bolaa (4,6, 5) da jari-jaria adalah r 5. Cotoh.6. Carilah persamaa bola dega titik-titik ujug dari salah satu diametera adalah A(9,8,4) da B(,,8). Peelesaia : Pusat bola adalah titik tegah segme garis dari salah satu diameter bola. Misalka P(,,z ) adalah titik tegah segme garis tersebut, maka pusat bolaa adalah : , 4, da z 6 Jadi titik pusat bolaa adalah (5,4,6). Sehigga jari-jari bolaa adalah : r ( 9 5) + (8 4) + (4 6) 6 6 Dega demikia persamaa bolaa diberika oleh : ( 5) + ( 4) + (z 6) 6 Soal-soal Latiha.. Dalam soal-soal omor s/d berikut ii, buatlah sketsa grafik dalam ruag dimesi tiga dari persamaa bidag ag diberika : z. 4 + z. + z z z z z. 4 Dalam soal-soal omor s/d 6 berikut ii, tulislah persamaa bolaa bilamaa diberika pusat da jari-jaria :. P(,,) da r 4. P(,, ) da r 5. P(,,) da r 6 4. P(,, 4) da r 5. P(,,5) da r 5 6. P(,, 5) da r 4 Dalam soal omor 7 s/d, dega proses pelegkap kuadrat tetukalah pusat da jari-jari dari persamaa bola berikut ii, 7

15 z + 6 8z z z z z z z z z 8 Dalam soal omor s/d 4, carilah persamaa bola ag mempuai ruas garis atau diameter ag dihubugka oleh dua buah titik berikut ii :. A(,4,8) da B(6,,6). A(,, 4) da B(,5,8) 4. A(5,,) da B(7, 5,4) 5. Carilah dua persamaa bola ag bersigguga, dimaa pusat-pusata adalah (,,) da (5,6, ) dega jari-jaria sama. 8

16 .. VEKTO DALAM UANG DIMENSI DUA DAN TIGA Vektor adalah segme garis ag berarah. Titik awal disebut dega pagkal vektor, da titik akhira disebut dega ujug vektor, sedagka pajaga disebut dega pajag vektor. Lihat gambar... Notasi vektor biasaa diguaka huruf kecil seperti u, v, w, z u Gambar... Titik awal vektor disebut pagkal vektor da titik akhir vektor disebut dega ujug vektor. Dalam ruag dimesi dua, suatu vektor mempuai dua kompoe, da ditulis dega : u <u, u > u i + u j dimaa i <,> da j <,> adalah vektor-vektor satua baku ag searah dega sumbusumbu koordiat da. Seperti terlihat pada gambar... berikut ii j <,> i <.> Gambar.. Sedagka sebuah vektor u dalam ruag dimesi tiga mempuai tiga buah kompoe, da ditulis dega : u <u, u, u > u i + u j + u k dimaa i <,, >, j <,, >, da k <,, > adalah vektor-vektor satua baku ag searah dega sumbu-sumbu koordiat, da z. Lihat gambar... z u k u u i u j Gambar... 9

17 Selajuta bilamaa u meataka vektor ag meghubugka dua buah titik P(,, z ) da Q(,, z ), maka kompoe-kompoe vektora diberika oleh : u <,, z z > ( )i + ( )j + (z )k Selajuta dimaa P(,,z) adalah sembarag titik dalam ruag dimesi tiga, vektor posisi r diberika oleh, r OP <,, z> i + j + z k Sebagai ilustrasi, misalka P(4,,) suatu titik dalam ruag dimesi tiga, maka vektor posisia diberika oleh, r 4i + j + k Pajag Vektor Adaika u <u, u, u >, sembarag vektor dalam ruag dimesi tiga, pajag vektor u, ditulis dega u didefiisika oleh, u u + u + u Selajuta, misalka u adalah suatu vektor ag meghubugka dua buah titik P(,, z ) da Q(,, z ), maka jarak vektora diberika oleh : u ( ) + ( ) + ( z z ) umus diatas berlaku juga utuk vektor u dalam ruag dimesi dua. Misalka u <u, u >, sembarag vektor dalam ruag dimesi dua, ag meghubugka dua buah titik P(, ) da Q(, ), maka jarak vektora diberika oleh : u u + u ( ) + ( ) Cotoh... Misalka diberika P(,,4), Q(4,5,), da (6,,7). Tetukalah kompoe da pajag vektorvektor u, v, da w, bilamaa u PQ, v Q, da w P. Pelesaia : u <4, 5, 4> <, 4, > i + 4j k v <6 4, 5, 7 > <,, > i j + k w <6,, 7 4> <4,, > 4i + j + k

18 Sedagka pajag vektora diberika oleh : u v w ( ) + (4) + ( ) ( ) + ( ) + () 4 ( 4) + () + () 9 Operasi Aljabar Vektor Adaika, u <u, u, u > da v <v, v, v >, adalah vektor-vektor tak ol. Bilamaa k adalah kostata tak ol, maka berlaku : ). Perkalia dega skalar, didefiisika : k u k<u, u, u > <ku, ku, ku > ). Perjumlaha dua vektor didefiisika, u + v <u, u, u > + <v, v, v > <u + v, u + v, u + u > Operasi diatas berlaku pula utuk vektor dalam ruag dimesi dua. Cotoh... Misalka diberika u <4,5,,> 4i + 5j k, da v <, 5,7> i 5j + 7k. Hituglah (a). u + 4v (b). 4u v, (c). 4v u Peelesaia : (a). u + 4v (4i + 5j k ) + 4(i 5j + 7k) (i + 5j 6k) + (i j + 8k) 4 i 5j + k. (b). 4u v 4(4i + 5j k ) (i 5j + 7k) (6i + j 8k) + ( 9i + 5j k) 7i + 5j 9k (c). 4v u 4(i 5j + 7k ) (4i + 5j k ) (i j + 8k) + ( 8i j + 4k) 4i j + k. Hasil Kali Titik Adaika, u <u, u, u > u i+ u j + u k, da v <v, v, v > v i + v j + v k adalah vektor-vektor tak ol. Hasil kali titik u da v diataka (u v)didefiisika oleh : u v u v + u v + u v, Bilamaa θ merupaka sudut atara u da v, hasil kali titik u da v didefiisika pula oleh, u v u v cosθ

19 Selajuta dega megguaka rumus diatas, besara sudut θ diberika oleh, u v cos θ u v dimaa berlaku : < θ < π/, bilamaa u v >, θ π/, bilamaa u v, π/ < θ < π, bilamaa u v < Dari defiisi diatas terlihat bahwa jika u da v adalah vektor-vektor tak ol, hasil kali titik dua vektor ortogoal adalah. Demikia pula, dega megguaka defiisi diatas, utuk vektor satua baku i, j, da k berlaku : i i, j j, k k, i j j i, i k k i, j k k j, Cotoh... Carilah sudut PQ, jika P(7,,), Q(5,,), da (6,5,4). Peelesaia : Perhatikalah sketsa berikut ii. Ambil, u QP, da v Q. Dari sketsa disampig, terlihat bahwa sudut u terlihat bahwa sudut PQ adalah sudut θ atara u da v. Q v P Gambar... Selajuta, megigat : u QP <7 5,, > <,, > v Q <8 5, 5, 8 > <,, 6> dega demikia dihasilka : u v ()() + ( )() + ()(6) cosθ u v () + ( ) + () () + () da, θ 67,6 o ,895 + (6) Cotoh... Natakalah, u <9,6,> sebagai jumlaha suatu vektor m ag sejajar dega v <,,> da suatu vektor ag tegak lurus v.

20 Peelesaia : Perhatikalah sketsa pada gambar berikut ii. u Dari sketsa disampig, vektor ag dicari adalah vektor m da, dimaa u m + θ m v Gambar..4. Lagkah pertama, megitug m. Adaika θ sudut atara u da v, da m sejajar dega v, da m proeksi u pada v. Dega demikia, v v m m u cos θ v v u v v u u v v (u v)v u Sehigga dega rumus proeksi diatas dihasilka, m (9)() + (6)( ) + ()() <,,> () + ( ) + () 8 <,,> 9 <4,,4> Jadi suatu vektor m ag sejajar dega v adalah <4,,4> Lagkah kedua, megitug. Dari sketsa pada gambar..4, terlihat bahwa u m +, dega demikia : u m <9, 6, > <4,, 4> <5, 8, > Jadi vektor ag tegak lurus v adalah <5, 8, > Sudut da Kosius Arah Misalka diberika vektor tak ol u dalam ruag dimesi tiga. Sudut-sudut atara vektor tak ol u, dega vektor-vektor satua baku i, j, da k disebut dega sudut-sudut arah vektor u. Sudutsudut ii ditujukka oleh α, β, da γ. Lihat gambar.

21 z γ u β α u u i + u j + u k, Gambar..5. Misalka u u i + u j + u k,, meurut hasil kali titik besara sudut-suduta diberika oleh, u i u cos α u i u u j u cos β u j u u k u cos γ u k u umus diatas dikeal dega rumus sudut da cosius arah vektor dalam ruag dimesi tiga. Dega megguaka hasil diatas, maka diperoleh pula hubuga, cos α + cos β + cos γ Cotoh..4. Carilah besara sudut-sudut arah vektor dari, u 8i 6 j + k, Peelesaia : Karea, u , da u 8, u 6, u, maka dega rumus diatas diperoleh : 8 cos α da α 55,55 o 5 cos β cos γ 6 da β 5, o o da γ 45 Cotoh..5. Sebuah vektor u, pajaga 6 satua ag mempuai α 6 o da β 5 o, carilah u. Peelesaia : Lagkah pertama, meetuka γ. Dega megguaka kesamaa, cos α + cos β + cos γ, maka dihasilka : 4

22 cos γ cos α cos β cos 6 o cos 5 o 4 4 Jadi, cos γ ±,5 da γ 6 o atau γ o. Lagkah kedua meetuka u. Karea vektor u, pajaga 6 satua, da diketahui α 6 o, da β 5 o, serta utuk γ 6 o, maka udiberika oleh : u 6<cos α, cos β, cos γ> 6<cos 6 o, cos 5 o, cos 6 o > 6<,, > <,, > Demikia pula utuk α 6 o, β 5 o, da γ o dihasilka vektor : u 6<cos α, cos β, cos γ> 6<cos 6 o, cos 5 o, cos o > 6<,, > <,, > Jadi vektor ag pajaga 6 satua ag mempuai α 6 o da β 5 o, adalah vektor : u <,, > atau u <,, > Hasil Kali Silag Dua Vektor Hasil kali silag vektor u <u, u, u > da v <v, v, v > diataka (u v) didefiisika oleh : u v i u v u v j u v u v k u v i u v u v j + u v u v (u v u v )i (u v u v )j + (u v u v )k Dari defiisi diatas, jelas terlihat bahwa hasil kali silag vektor adalah vektor, sedagka hasil kali titik adalah sklar. Selajuta dega meerapka rumus diatas, utuk vektor-vektor satua baku i, j da k dihasilka : i i j j k k i j k j k i k i j i k j j i -k k j -i k 5

23 Tafsira Geometri (u v) Secara geometri, tafsira dari (u v) sagat bermafaat dalam praktek. Utuk itu perhatikalah sketsa berikut ii. (u v) θ u Gambar..6. v Misalka u da v adalah vektor-vektor tak ol dalam ruag dimesi tiga, da θ adalah sudut atara u da v. Dari sketsa diatas dapat ditarik kesimpula bahwa : ). u (u v), artia adalah (u v) tegak lurus terhadap vektor u; ). v (u v), artia adalah (u v) tegak lurus terhadap vektor v; da ). u v u v si θ Cotoh..6. Misalka u <,, >, da v <,, >. Hituglah : (u v) ; (v u); u (u v), da v (u v). Peelesaia : i j k u v i j + k i + j + 7 k <,, 7> Jadi, i j k v u i i j 7 k <,, 7> j + k u (u v) <,, > <,, 7> + 4 v (u v) <,, > <,, 7> 6

24 Cotoh..7. Hituglah luas segitiga dega titik-titik sudut P(,, ), Q(4,, ) da (6, 7, 8) Peelesaia : Perhatikalah sketsa pada gambar berikut ii. v t θ P u Q Gambar..7. Dari sketsa disampig, ambil u PQ, v P dega θ sudut atara u da v. Ambil pula t sebagai tiggi segitiga, dimaa : t v si θ Megigat luas segitiga adalah, A() u t u v si θ u v Selajuta, karea : u PQ <4,, > <,, > v P <6, 7, 8 > <4, 4, 7> i j k u v i j i 6j + k Maka, u v ( 5) + ( 6) + () k Jadi luas segitigaa adalah: A() u v 445 Bidag Dalam uag uag Dalam awal pembahasa secara tidak lagsug telah dibicaraka masalah bidag dalam dimesi tiga. Cara ag palig mudah utuk mejelaska masalah bidag adalah dega pedekata vektoris. Salah satu mafaat dari hasil kali titik da hasil kali silag vektor adalah utuk meetuka persamaa bidag dalam ruag dimesi tiga. Utuk itu perhatikalah sketsa pada gambar..8. berikut ii. 7

25 Adaikalah, <A, B, C> adalah vektor tak ol ag tegak lurus bidag, da disebut dega Q vektor ormal bidag. P Adaika pula P(,, z ) adalah Gambar..8 suatu titik tetap dalam bidag. Himpua semua titik-titik Q(,,z) ag memeuhi, PQ adalah suatu bidag ag melalui titik tetap P, da tegak lurus ormal bidag. Karea, <A, B, C>, da PQ <,, z z >, maka bidag PQ dapat dituliska mejadi : atau, <,, z z > <A, B, C> A( ) + B( ) + C(z z ) Persamaa bidag ii serigkali dituliska dalam betuk persamaa liier, aitu : A + B + Cz D dimaa D A + B + Cz. Cotoh..8. Carilah persamaa bidag ag melalui titik (, 4,) da tegak lurus dega vektor <4,,5>. Selajuta carilah jarak tegak lurus dari titik (5,,5) ke bidag tersebut. Peelesaia : Meetuka persamaa bidag. Dari masalah diatas diketahui, P(,, z ) (, 4,) da <A, B, C> <5,,5>. Dega meerapka rumus diatas, diperoleh persamaa bidaga aitu : atau, 4( ) + ( + 4) + 5(z ), z 5 Jarak tegak lurus dari titik terhadap bidag. Misalka L meataka jarak tegak lurus dari suatu titik (,, z ) terhadap bidag, A + B + Cz D, maka jarak L dihitug dega megguaka rumus, A + B + Cz D L A + B + C Maka jarak L dari titik (5,,5) terhadap bidag, z 5 diberika oleh, 8

26 L (4)(5) + ()() + (5)(5) 5 (4) + () + (5) Cotoh..9. Carilah persamaa bidag ag melalui titik-titik P(5,,), Q(7,5,4) da (4,4,5). Selajuta carilah sudut atara bidag terseut dega bidag + 4 z. Peelesaia. Meetuka persamaa bidag. Dega pedekata vektor, persamaa bidag ditetuka oleh sebuah titik tetap da sebuah vektor ormal. Oleh karea itu perhatikalah sketsa tersebut dibawah ii. Dari sketsa seperti tergambar ambil sebagai P(5,,) titik tetap. Sedagka utuk meetuka P ormal bidaga, dari sketsa terlihat pula bahwa tegak lurus Gambar Q..9. PQ da tegak lurus P. Sehigga dega megguaka hasil kali silag vektor ormal bidaga diberika oleh PQ P Megigat, PQ <7 5, 5, 4 > <,, > P <4 5, 4, 5 > <,, > maka ormal bidaga diberika oleh : i j k i 4i 5j + 7k j + Dega megambil sebagai titik tetap adalah (5,,) dega oemal bidag 4i 5j + 7k, jadi persamaa bidaga diberika oleh, k atau, 4( 5) 5( ) + 7(z ) z 9

27 Sudat Atara Bidag Utuk memudahka meetuka sudut atara dua bidag, perhatikalah sketsa pada gambar... berikut ii. Bidag Bidag Gambar... m Adaika adalah ormal bidag pertama, da m adalah ormal bidag kedua, maka sudut atara dua bidag ditetuka oleh sudut atara dua vektor ormal bidaga. Sedagka sudut atara dua buah vektor diberika oleh defiisi dari pegertia hasil kali titik. Oleh karea itu utuk bidag pertama ambil bidag dega persamaaa, z sehigga diperoleh <4, 5, 7> da utuk bidag kedua ambil bidag + 4 z diperoleh m <, 4, >. Dega demikia, m cos θ m < 4, 5,7 > <.,4, > ,6459 sehigga diperoleh, θ,4 o. Dega demikia sudut atara dua bidag ag berpotoga diberika adalah θ,4 o. Garis Dalam uag Dimesi Tiga Kurva dalam ruag dimesi tiga adalah suatu persamaa ag ditetuka oleh tiga persamaa parameter, aitu : (t), (t), da z z(t). dalam otasi vektor, kurva dalam ruag dimesi tiga diberika oleh persamaa, r (t) (t)i + (t)j + z(t)k Betuk kurva dalam ruag dimesi tiga ag palig sederhaa adalah garis lurus. Sebuah Garis lurus dalam ruag dimesi tiga ditetuka oleh sebuah titik tetap (,,z ), da sebuah vektor takol v <a,b,c> sebagai vektor arah garis. Lihat gambar...

28 Dari gambar... misalka l ag melalui sebuah titik tetap P(,,z ) dega vektor araha v <a,b,c>, maka persamaa garis l adalah himpua semua titik-titik Q(,,z) sedemikia rupa sehigga, Lihat gambar PQ tv z Q(,,z) P(,,z ) v <a,b,c> Gambar... Karea, PQ <,,z z >, da, v <a,b,c> maka persamaa garis l dalam betuk vektor diberika oleh : <,,z> <,, z > + t<a,b,c> Dari betuk vektor diatas, dega kesamaa vektor persamaa garis dapat diataka dalam betuk parameter aitu : + at ; + bt ; z z + ct Bilamaa kompoe vektor v <a,b,c> adalah tak ol artia a, b, da c, maka persamaa garis l dapat pula diataka dalam betuk persamaa simetris, aitu : a b z z c Cotoh... Carilah persamaa garis ag melalui titik P(,, ) da Q(4,,6). Peelesaia : Utuk meetuka persamaa garis diatas ag harus dicari adalah sebuah titik tetap da vektor arah garis. Oleh karea itu perhatikaah sketsa pada gambar.. berikut ii.

29 z Meetuka titik tetap Q(4,,6) Dari sketsa disampig, ambil sebagai titik tetap adalah P(,,), dega P(,,) demikia,, z. O Meetuka vektor arah Dari sketsa, ambil sebagai vektor arah garis adalah vektor ag searah dega vektor PQ. Gambar.. Dega demikia, v PQ <4, ( ),6 > <,4,>. Berdasarka hasil ii, maka persamaa garis ag melalui titik P(,, ) da Q(4,,6) diberika oleh : atau, + t ; + 4t ; z + t ; + 4 z Cotoh... Carilah persamaa garis simetri perpotoga bidag, z 6, da + + z 7. Peelesaia. Adaika P da Q adalah dua buah titik pada garis l ag merupaka perpotoga kedua bidag. Ambilah P da Q adalah titik tembus garis l pada bidag z da z. Lihat gambar... z Dari sketsa, utuk tititik P ambilah P sebagai titik pada bidag P(,,z ) z, atau. Sehigga utuk l diperoleh, Q(,,z ) 4 + z 6 + z 7 Dega meelesaika secara simulta dihasilka, da z 4 Sehigga titik P diberika oleh, P(,,4). Gambar.. Selajuta utuk titik Q, ambilah Q sebagai sembarag titik pada bidag z atau. Utuk, diperoleh : + z 6 + z 7

30 Dega meelesaika secara simulta kedua persamaa dihasilka 5, da z 6. Sehigga titik Q diberika oleh (5,,6). Berdasarka hasil diatas, ambilah sebagai titik tetap garis l adalah (,,4), da vektor arah garisa adalah : v PQ <5,,6 4> <5,,>. Dega demikia persamaa garis simetris ag merupaka perpotoga kedua bidag adalah, z 4 5 Cotoh... Suatu garis l terletak pada bidag + 4z 6, melalui (,,) da tegak lurus dega garis, + z 5 Carilah persamaa garis l. Peelesaia : Karea garis l melalui titik P(,,), maka utuk meetuka persamaa garisa, ag harus dicari adalah vektor arah garis l. Utuk itu perhatikalah sketsa berikut ii. m v Dari sketsa, adaika v vektor arah l garis l, da m vektor arah garis g, da ormal bidag. Karea garis l terletak pada bidag maka, v tegak lurus dega. Demikia pula garis l tegak lurus garis g, maka berlaku g pula v tegak lurus dega m. Gambar..4 Maka meurut hasil kali silag vektor, dihasilka, v m. Megigat <,,4> da m <5,,> maka vektor arah garisa diberika oleh : i j k v m i j k i + j + 4k <,,4> Jadi persamaa garis l ag melalui (,,) dega vektor arah <,,4> diberika oleh, z 4 4

31 Cotoh... Carilah persamaa suatu bidag ag melalui titik P(,,5) da memuat garis, 4 + t, 6 t, z + 4t. Peelesaia : Karea bidag ag ditaaka melalui titik P(,,5), sehigga utuk meetuka persamaa bidaga, ag harus dicari adalah vektor ormal bidag. Perhatikalah sketsa berikut ii. Dari sketsa, adaika vektor l ormal bidag, da v adalah vektor v arah garis l, dimaa garis l terletak Q pada bidag maka, tegak lurus v. P Misalka pula Q sembarag titik pada garis l, maka berlaku pula Gambar..5 QP tegak lurus dega. Maka meurut hasil kali silag vektor, dihasilka, v QP. Dari garis l diperoleh vektor araha adalah v <,,4>. Sedagka utuk meetuka QP, ambil Q titik pada garis l dega t, sehigga diperoleh Q(4,6,). Dega demikia vektor QP diberika oleh, QP < 4, 6,5 > <, 4,>. Karea, v <,,4> da QP <, 4,>, maka ormal bidaga diberika oleh : i j k 4 4 v QP 4 i j + k i j k <7,, > Dega demikia persamaa bidag ag ditaaka aki persamaa bidag ag melalui titik P(,,5) da memuat garis, 4 + t, 6 t, z + 4t, diberika oleh, atau, 7( ) ( ) (z 5) 7 z + 56 Soal-soal Latiha.. Diberika, u <4,, 4>, v <7,, > da w <, 6, >. Dega megguaka vektor tersebut hituglah :. a. u (v + w) ; b. u (v w) ; c. (u v) (u w). a. u (v + w) ; b. v (u w) ; c. (u v) (v w). a. v (u + w) ; b. w (u v) ; c. (u w) (v w) 4. a. w (u + v) ; b. (u v) (u w) ; c. (u(v w)) (v w) 5. a. u (w v) ; b. (u v) (v w) ; c. (v(v w)) (u w) 4

32 Diberika P(,, 5), Q(4,, ) da (6, 7, 8) da ambil u PQ, v P, da w Q. selajuta, hituglah : 6. a. u (v + w) ; b. v (u w) ; c. (u v) (v w) 7. a. v (u w) ; b. w (u v) ; c. (u w) (v w) 8. a. w (u + v) ; b. (u v) (u w) ; c. (u(v w)) (v w) 9. a. u (w v) ; b. (u v) (v w) ; c. (v(v w)) (u w). a. v (w u) ; b. (u w) (v w) ; c. (v(u w)) (v w). Diberika suatu segitiga dega titik-titik sudut P(4,, ), Q(4,, ) da (6, 8, 5). Hituglah besara sudut-sudut dalam segitiga, da luas segitiga tersebut.. Hituglah luas jajara gejag dega titik-titik sudut (,, ) ; (,, ), (,,) ; (6,, 5). Carilah sudut-sudut arah dari vektor berikut ii u <, 4, 6> 4. Carilah sudut-sudut arah dari vektor berikut ii u <,, > 5. Jika α 6 o, da β 5 o, adalah sudut-sudut arah vektor u,carilah dua ilai vektor tersebut. 6. Jika α 45 o, da β o, adalah sudut-sudut arah vektor u,carilah dua ilai vektor tersebut. 7. Bilamaa u <,, 5>, da v <, 4, 5>, atakalah u sebagai jumlaha vektor m ag sejajar v da suatu vektor ag tegak lurus dega v. 8. Bilamaa u <,, >, da v <, 5, >, atakalah u sebagai jumlaha vektor m ag sejajar v da suatu vektor ag tegak lurus dega v. 9. Carilah vektor u da v, sedemikia rupa sehigga u tegak lurus v da masig-masig tegak lurus dega w < 4,, 5>. Carilah vektor u da v, sedemikia rupa sehigga u tegak lurus v da masig-masig tegak lurus dega w <, 4, >. Dega megguaka vektor, carilah besara sudut atara bidag + z, da bidag 6 + z 4. Carilah persamaa bidag ag melalui tiga buah titik (,4,) ; (,6,) da (4,,7). Carilah persamaa bidag ag memuat titik (,4,) da (5,,6) da tegak lurus dega bidag + + 4z 4. Carilah persamaa bidag ag melalui (4,6,5), tegak lurus dega bidag + z, da + z 8 5. Carilah jarak atara bidag + z ke titik (,,5) 6. Carilah persamaa bidag ag memuat garis, + 4t, + t, z + t da tegak lurus dega bidag + z. 7. Carilah persamaa bidag ag memuat garis, + t, t, z + 4t da sejajar dega garis, + 5t, + t, z t. 8. Carilah persamaa garis ag merupaka perpotoga bidag, + z, da bidag + z. 9. Carilah persamaa garis ag melalui titik (,,6) da sejajar dega garis ag merupaka perpotoga bidag, + z 9, da + z.. Carilah persamaa bidag ag memuat kedua garis sejajar, 5t, + t, z 4 + t da + 5t, t, z t.. Carilah titik potog kedua garis berikut ii, da tetuka pula persamaa bidaga. t, + t, z + t da t, t, z + t.. Carilah jarak atara kedua garis ag bersilaga berikut ii, aitu : + t, t, z 4 + t da t, + t, z t. 5

33 .. PEMUKAAN BENDA DALAM UANG DIMENSI TIGA Permukaa beda adalah merupaka grafik suatu persamaa tiga variabel dalam ruag dimesi tiga. Grafik ag palig sederhaa adalah suatu bidag ag persamaaa diberika oleh persamaa liier, A + B + Cz D. Grafik permukaa bidag dalam ruag dimesi tiga termasuk dalam persamaa derajad satu. Sebuah beda pejal berikuta ag sederhaa dalam ruag dimesi tiga adalah suatu beda dimaa permukaaa dibatasi oleh beberapa permukaa bidag datar. Biasaa utuk membuat sketsa beda pejal diguaka sistem koordiat kartesius. Cotoh... Buatlah sketsa beda pejal ag dibatasi oleh permukaa bidag, + + z,, z, da. Peelessaia : Lagkah pertama, dibuat suatu sketsa permukaa bidag + + z pada okta pertama. Selajuta pada bidag z, buatlah pula berkas garis. Lihat sketsa pada gambar... z z + + z + + z Gambar... Gambar... Lagkah berikuta, buatlah perpotoga atara da + + z. Berkas perpotoga ii dibuat dega meghubugka titik potog dari garis, da +, pada z, dega titik potog bidag + + z. dega sumbu z. Dega memperhatika batas-batas dari bidag-bidag tersebut beda pejal ag ditaaka diperlihatka pada gambar... Cotoh... Buatlah sketsa grafik permukaa beda pejal di okta pertama ag dibatasi oleh permukaa bidag-bidag : + z 4, +,, z, da. Peelesaia : Seperti pada cotoh sebeluma pada bidag z ( ), buatlah sketsa grafik berkas garis + z 4, da pada bidag (z ), buatlah pula berkas-berkas garis +, da. Karea bidag +, da, tidak memuat variabel,maka grafik kedua permukaa tidak memotog sumbu z. Demikia pula utuk bidag, + z 4, grafika tidak memtog sumbu. Lihatlah sketsa pada gambar..., berikut ii. 6

34 z z 4 + z 4 + z Gambar... Gambar..4. Lagkah berikuta, hubugkalah berkas-berkas garis ag merupaka perpotoga bidag-bidaga. Dega memperhatika batasa-batasa ag diberika, beda pejal ag ditaaka diperlihatka pada gambar..4. Persamaa Kuadratik. Selai grafik permukaa bidag, pada bagia sebeluma telah dibahas pula megeai grafik dari bola, dimaa persamaaa diberika oleh, ( a) + ( b) + (z c) r. Persamaa bola diatas merupaka sala satu betuk dari persamaa kuadratik. Persamaa kuadratik derajad dua, pada umuma diberika oleh persamaa, A + B + Cz + D + Ez + Fz + G + H + Iz + J ag disebut juga dega persamaa kuadratik. Pada dasara tidak semua persamaa kuadratik dapat dibuat sketsa grafika dalam ruag dimesi tiga. Betuk ag palig sederhaa dari persama kudratik atara lai adalah bola, silder, elipsoida, paraboloida, da kerucut. Dari persamaa kuadratik ii dapat dikembagka utuk membuat sketsa suatu beda pejal ag dibatasi oleh beberapa persamaa kuadratik atau gabuga dari persamaa liier da persamaa kuadratik. Berikut ii adalah beberapa cotoh-cotoh kasus persamaa kuadatik ag baak aplikasia, da cukup mudah utuk membuat sketsa grafika. S i l i d e r. Silider adalah suatu permukaa ag dihasilka oleh suatu garis ag bergerak sepajag legkuga bidag ag diketahui sedemikia sehigga garis itu selalu sejajar dega suatu 7

35 garis tetap ag tidak terletak pada legkuga tersebut. Garis ag bergerak sepajag legkuga tersebut disebut dega pembagkit silider, da legkuga bidag tersebut disebut dega garis arah silider, da garis tetapa disebut dega sumbu putar. Jika legkuga bidag diputar megeliligi garis tetap sebagai sumbu putar, maka permukaaa ag dihasilka adalah beda putar. Betuk silider ag palig sederhaa da baak pegguaaa adalah silider ligkara tegak, dimaa sumbu putara sejajar dega sumbu z daa legkugaa berbetuk ligkara. Persamaa silider ligakara tegak tersebut adalah, ( a) + ( b) r. Sebagai ilustrasi dari silider ligkara tegak diatas, misala adalah silider dega garis araha ligkara dalam bidag, aitu : + a Bilamaa garis pembagkita adalah sumbu z, sketsa grafik silider ligkara tegak tersebut diberika pada gambar..5., berikut. z + a Gambar..5. Sebagai ilustrasi berikuta, adalah silider paraboloida (paraboloida) seperti ditujukka pada gambar..6. aki paraboloida. z Gambar..6. Garis arah paraboloida adalah parabola. dalam bidag, da garis lukisa sejajar dega sumbu z. 8

36 Selajuta, seperti pada cotoh sebeluma suatu beda pejal beda mugki dibatasi leh beberapa permukaa bidag. Berikut ii adalah beberapa cotoh beda pejal ag memuat beberapa permukaa silider atau paraboloida. Cotoh... Buatlah sketsa beda pejal, sisi-sisia dibatasi oleh silider ligkara tegak, +, da dibawah permukaa bidag, + z 4, da diatas bidag. Peelesaia : Pada bidag, buatlah sketsa ligkara +, da selajuta buatlah sketsa silider ligkara tegak dega garis lukisa searah sumbu z. Selajuta pada bidag z buatlah sketsa garis + z 4, da pada sistem koordiat ag sama buatlah sketsa permukaa bidag + 4. Lihat gambar..7. z z Berkas perpotoga silider da bidag + z 4 + z Gambar..7. Gambar..8. Lagkah berikuta buatlah berkas kurva perpotoga bidag da silider. Perpotoga atara bidag da silider ligkara tegak meghasilka elips seperti terlihat pada Gambar..8. Dega memperhatika batasa-batasa permukaaa, beda pejal ag ditaaka diperlihatka pada gambar..8. Cotoh..4. Buatlah sketsa beda pejal di okta pertama, dimaa sisi-sisia dibatasi oleh permukaa silider paraboloida,, da, permukaa bidag + z 4, dibatasi pula oleh bidag (z ) da z ( ). Peelesaia : Pada bidag, buatlah sketsa parabola, da, da selajuta buatlah sketsa silider paraboloida dimaa garis lukisa sejajar dega grafik parabola ag searah sumbu z. Selajuta pada bidag z buatlah sketsa berkas garis, + z 4, da pada sistem koordiat ag sama buatlah pula sketsa permukaa bidag + 4. Lihat gambar..9. 9

37 z z Berkas perpotoga silider da bidag + z 4 + z 4 Gambar..9. Gambar.. Pada bidag z, buatlah sketsa parabola da. Lagkah berikuta buatlah sketsa berkas-berkas perpotoga bidag da paraboloida. Dega meghubugka kurvakurva tersebut, sketsa beda ag dimaksud diperlihatka pada gambar... E l i p s o i d a. Elipsoida merupaka salah satu betuk dari persamaa kuadratik. Persamaa dari elipsoida diberika oleh, z + + a b c dimaa a, b da c adalah kostata positif. Sketsa grafik dari elipsoida diatas diprlihatka pada gambar... berikut ii. z a + b + z c a b c Gambar... Bilamaa ketiga kostata a, b, da c berilai sama aitu a, elipsoida diatas adalah bola dimaa persamaaa diberika oleh : z + + atau + + z a a a a

38 Dalam ruag dimesi tiga, permukaaa adalah merupaka bola dega pusat (,,) degajari-jari a. Selajuta bilamaa z, dari elipsoida aka diperoleh peampag elipsoida pada bidag, aitu elips, dimaa persamaaa diberika oleh, + a b Dalam ruag dimesi tiga, permukaaa adalah merupaka silider elipsoida ag sejajar dega sumbu z. Bilamaa kedua kostata a, da b berilai sama aitu a, peampag elips diatas mejadi ligkara ligkara pada bidag dega pusat (,) da jari-jari a, dimaa persamaaa diberika oleh : + atau + a a a Dalam ruag dimesi tiga, permukaa dari + a adalah merupaka silider ligkara tegak ag sejajar dega sumbu z. Demikia pula bilamaa, dari elipsoida aka diperoleh peampag elipsoida pada bidag z, aitu elips, dimaa persamaaa diberika oleh, z + a c Dalam ruag dimesi tiga, permukaaa adalah merupaka silider elipsoida ag sejajar dega sumbu. Bilamaa kedua kostata a, da c berilai sama aitu c, peampag elips diatas mejadi ligkara ligkara pada bidag z dega pusat (,) da jari-jari c, dimaa persamaaa diberika oleh : z + atau + z c c c Dalam ruag dimesi tiga, permukaa dari + z c adalah merupaka silider ligkara tegak ag sejajar dega sumbu. Demikia pula bilamaa, dari elipsoida aka diperoleh peampag elipsoida pada bidag z, aitu elips, dimaa persamaaa diberika oleh, z + b c Dalam ruag dimesi tiga, permukaaa adalah merupaka silider elipsoida ag sejajar dega sumbu. Bilamaa kedua kostata, b da c berilai sama aitu b, peampag elips diatas mejadi ligkara ligkara pada bidag z dega pusat (,) da jari-jari b, dimaa persamaaa diberika oleh : z + atau + z b b b Dalam ruag dimesi tiga, permukaa dari, + z b adalah merupaka silider ligkara tegak ag sejajar dega sumbu. Cotoh..5. Buatlah sketsa grafik persamaa kuadratik, z 6 Bilamaa z, buatlah pula sketsa grafika dalam ruag dimeasi tiga.

39 Peelesaia : Dari persamaa kuadratik, z 6, bagilah kedua rus dega 6 sehigga diperoleh, z Persamaa terakhir ii adalah persamaa umum elipsoida, maka diperoleh a 6, b da c. Utuk membuat sketsaa, buatlah peampag elipsoida pada bidag, z, da z. Titik-titik potog elipsoida dega sumbu-sumbu koordiat adalah (6,,), ( 6,,), (,,), (,,), (,,) da (,, ). Sketsa elipsoida tersebut diperlihatka pada gambar... z 6 9 z + 4 z + 4 (6,,) (,, ) (,,) 6 + z Gambar... Selajuta bilamaa z, diperoleh suatu persamaa, 6 + 9, dimaa sketsa grafika adalah silider elipsoida ag searah sumbu z dega garis lukisa elips pada bidag. Sedagka sketsa grafika adalah sebagai berikut. z Peraboloida Eliptik 6 Gambar... Persamaa paraboloida eliptik dega sumbu z sebagai sumbu paraboloida diberika oleh, z + a b c dimaa a da b positif da c. Bilamaa c > parabola eliptik terbuka keatas, da bila c < parabola eliptik terbuka kebawah. Sketsa parabola eliptik terlihat pada gambar..4 da..5.

40 z a + b c k z Gambar..4 Gambar..5. Bilamaa a b, peampag parabola pada z k adalah suatu ligkara. Selajuta dega mesubstitusika z k pada persamaa paraboloida eliptik dihasilka, k + a b c Bilamaa k, persamaa diatas mejadi, +, atau b + a a b dimaa persamaa ii meataka titik asal. Bilamaa k >, persamaa tersebut meataka suatu elips pada bidag z k. Lihat gambar..4. Selajuta, bilamaa disubstitusika k, pada persamaa paraboloida eliptik diperoleh : k z + a b c Bilamaa k, dari persamaa ii diperoleh, z, b c dimaa persamaa ii meataka peampag parabola pada bidag. Sedagka bilamaa k > persamaa diatas meataka suatu parabola pada bidag k. Lihat gambar..6 z b c z Gambar..6.

41 Demikia pula, bilamaa k disubstitusika pada persamaa parabola eliptik dihasilka, k z + a b c Bilamaa k, dari persamaa ii diperoleh, z, a c diamaa persamaa ii meataka peampag parabola pada bidag. Sedagka bilamaa k > persamaa diatas meataka suatu parabola pada bidag k. Cotoh..6. Buatlah sketsa beda pejal ag dibatasi oleh permukaa paraboloida, z +, silider ligkara tegak, + 4, da z + (bidag ). Peelesaia : Pada sistem koordiat ag sama buatlah sketsa paraboloida, z +, da silider ligkara tegak, + 4, sedagka pada bidag buatlah sketsa ligkara, + 4. Lihat sketsa pada gambar..7. z + 4 z 4 z Gambar..7. Perpotoga atara paraboloida, z +, da silider ligkara tegak, + 4 adalah sebuah ligkara, + pada bidag z 4. Sketsa beda ag ditaaka diperlihatka pada gambar..7. Kerucut Eliptik Kerucut eliptik dega sumbu z sebagai sumbu kerucut persamaaa diberika oleh : z + a b c dimaa a, b, da c positip. Bilamaa a b, dari persamaa kerucut eliptik diperoleh kerucut ligkara, da persamaaa diberika oleh : 4

42 z + a a c atau, + d z a dimaa d. Sketsa kerucut, khususa ag terletak diatas bidag diperlihatka pada c gambar..8. z z k a + b z c Gambar..8. Perpotoga kecurut dega bidag z adalah titik asal. Sedagka perpotoga kerucut dega bidag z k adalah suatu elips pada bidag z k, dimaa persamaaa diberika oleh : k + a b c Bilamaa kerucut dipotog oleh bidag, atau masig-masig aka meghasilka berkas garis k, da k. Sedagka bilamaa kerucut dipotog oleh bidag k, atau k masig-masig aka meghasilka suatu hiperbola, persamaaa masig-masig adalah k z + a b c atau, k z + a b c Cotoh..7. Buatlah sketsa grafik persamaa kuadratik, z. Jelaska pula perpotaga grafik dega bidag,, z,, da. Peelesaia : Dega memagi kedua ruas pada persamaa diatas dega 6, dihasilka persamaa : + z 9 4 Persamaa diatas adalah suatu kerucut dega sumbua adalah sumbu z, adapu sketsa grafik ag terletak diatas bidag diperlihatka pada gambar..9. 5

43 z , da z z Gambar..9. Perpotoga permukaa kerucut dega bidag adalah garis, ±z, da perpotoga dega bidag adalah garis ±z. Sedagka peampag permukaa pada bidag z k dega k, adalah elips dega persamaa : + k 9 4 Sedagka peampag permukaa pada bidag k da k dega k, masig-masig adalah hiperbola dega persamaa : k z da 9 Cotoh..8. Buatlah sketsa beda pejal ag dibatasi oleh permukaa bola, + + z 8, da diatas kerucut : + z ag terletak diatas bidag. Peelesaia : Pada sumbu koordiat ag sama buatlah sketsa bola, + + z 8 da kerucut + z seperti terlihat pada gambar... z + k 4 z + + z 8 + z Gambar... Sedagka perpotoga atara bola, + + z 8 da kerucut + z adalah suatu ligkara, + 4 pada bidag z, seperti ag terlihat pada gambar... 6

44 Soal-soal Latiha.. Dalam soal-soal latiha berikut ii, buatlah sketsa beda pejal ag dibatasi oleh :. Bidag-bidag, z, z,,, da z.. Bidag-bidag, z, + 4,, z,.. Bidag-bidag, + + z 6,,, da z. 4. Bidag-bidag, z +, + 6,,, da z. 5. Bidag-bidag, z + z, + 6,,, da z. 6. Dibawah permukaa bidag, + z 4, da dibatasi oleh permukaa silider paraboloida,, bidag-bidag, z, da. 7. Dibawah permukaa paraboloida, 4z, dibatasi oleh bidag-bidag,, 4,, da z. 8. Dibawah permukaa paraboloida, 4z 6, dibatasi oleh bidag-bidag, + 4,,, da z. 9. Dibawah permukaa paraboloida, z 4, dibatasi oleh paraboloida, da bidag-bidag,,, z.. Dibawah permukaa bidag, + 4, da dibatasi oleh silider ligkara tegak, + 4, da diatas bidag.. Dibawah permukaa bola, + + z 6, didalam silider ligkara tegak, + 9, da diatas bidag.. Dibawah permukaa bola, + + z 4z, da diatas paraboloida, z +.. Dibawah permukaa bola, + + z 4, da diatas paraboloida, z Dibawah permukaa bola, + + z 6, da di dalam silider ligkara tegak, + 4, da diatas bidag. 5. Dibawah kerucut, + z, di dalam silier ligkara tegak, + 4, da diatas bidag. 7

45 .4. KOODINAT SILINDE DAN KOODINAT BOLA Dalam ruag dimesi tiga, selai sistem koordiat kartesius utuk mempresetasika titik P(,,z), serig pula diguaka sistem koordiat kartesius atau sistem koordiat bola. Kedua sistem koordiat ii memegag peraa petig dalam peghituga itegral lipat..4.. Sistem Koordiat Silider Sistem koordiat silider ii biasaa diguaka bilamaa suatu beda pejal simetris terhadap suatu garis tertetu. Suatu titik P pada ruag dimesi tiga, dalam koordiat silider dipresetasika dega pasaga bilaga (r,,z) dimaa r da, adalah koordiat kutub ag merupaka proeksi P pada bidag kutub, da z adalah jarak tetap. Hubuga atara P(,,z) dalam sistem koordiat kartesius dega P(r,,z) dalam sistem koordiat silider pada ruag dimesi tiga diberika oleh trasformasi : r cos + r r si ta /, dega z z Hubuga kedua sistem koordiat tersebut digambarka pada gambar.4.. berikut ii. z P(,,z) P(r,,z) Gambar.4.. Sebagai ilustrasi pegguaa sistem koordiat silider perhatikalah cotoh-cotoh soal berikut ii. Cotoh.4.. Carilah persamaa dalam koordiat silider dari persamaa kuadratik berikut ii,da buatlah pula sketsa grafika, dari silider ligkara tegak, + 4, z 4. Peelesaia : Sketsa silider ligkara tegak, + 4, z 4 pada sistem koordiat kartesius diberika oleh gambar.4. berikut ii. 8

46 z Dari sketsa gambar.4., pada bidag perpotoga silider ligkara tegak, + 4 da z adalah adalah suatu ligkara dega pusat (,,), da jari-jari. Dari sketsa terlihat pula bahwa silider simetris terhadap sumbu z. Oleh karea itu, silider ligkara tegak, , z 4 Gambar.4.. dalam sistem koordiat silider diberika oleh + 4 r 4r si r 4 si Dari persamaa, r 4 si, variabel z tidak tergatug pada variabel r da. Sedagka variabel r tergatug pada, besara sudut terletak pada. Dega demikia dalam sistem silider, silider ligkara tegak : + 4, z 4 dapat pula dituliska mejadi : z 4, r 4 si, da. Cotoh.4.. Buatlah sketsa beda pejal ag dibtasi oleh paraboloida, z + da z 4. Natakalah batasa beda pejal tersebut dalam koordiat silider. Peelesaia : Dalam koordiat kartesius sketsa beda pejal ag dibatasi oleh z + da bidag z 4 diperlihatka pada gambar.4.. berikut ii. z Dari sketsa pada gambar.4.., perpotoga paraboloida, z + z 4 da bidag z 4 adalah ligkara + 4 pada bidag z 4. Dari sketsa terlihat pula bahwa z + paraboloida, z + simetris terhadap sumbu z. Oleh karea itu dalam sistem koordiat silider paraaboloida diataka oleh : Gambar.4. z + atau z r Dari persamaa, z r, variabel z tergatug pada r da z 4, sehigga batasa utuk z adalah : r z 4. Utuk meetuka batasa dari r da, dapat diperoleh dari ligkara, 9

47 + 4, atau + 4. Karea + r, dega demikia batasa utuk r da adalah r, da. Jadi batasa beda pejal dalam koordiat silider adalah : r z 4 ; r ;. Cotoh.4.. Carilah persamaaa dalam koordiat kartesius dari permukaa ag persamaaa diberika dalam koordiat silider berikut ii z r cos, da r 4 cos. Peelesaia : Karea, cos cos si, tulislah persamaa z r cos, mejadi : z r (cos si ) r cos r si. Megigat, r cos da r si, maka dega mesubsitusika persamaa ii pada persamaa diatas dihasilka : z atau + z Dalam persamaa kuadratik, + z dalam koordiat kartesius grafika dalah kerucut ligkara tegak dega sumbu sebagai sumbu kerucut. Sedagka utuk meataka r 4 cos dalam koordiat kartesius, kalikalah kedua rus dega r sehigga dihasilka : r 4 r cos Megigat, r + da r cos, maka dari persamaa r 4 r cos diperoleh : + 4, atau, ( ) + 4 Persamaa kuadratik ii sketsaa dalam koordiat kartesius adalah silider ligkara tegak dega pusat pada bidag adalah (,,) da jari-jaria adalah. Cotoh.4.4. Sebuah beda pejal diatas bidag dibatasi oleh, r 4 si, da z r. Natakalah kedua persamaa dalam koordiat kartesius, da buatlah pula sketsa bedaa. Peelesaia : Utuk persamaa, r 4 si, kalikalah kedua rus dega r sehigga diperoleh : r 4 r si, Karea r + da r si, maka persamaa diatas dapat ditulis mejadi : + 4, atau, + ( ) 4 Dalam koordiat kartesius, + ( ) 4 adalah silider ligkara tegak simetris terhadap sumbu z. Pada bidag sketsaa adalah ligkara pusat (,,) da jari-jaria adalah. z Sedagka utuk persamaa z r, dalam koordiat kartesius kuadratka kedua ruas sehigga diperoleh : z r, atau + z + z Gambar Persamaa kuadratik ii dalam koordiat kartesius meataka kecurut, dimaa sumbu kerucuta sejajar dega sumbu z. Sketsa beda pejal dari kedua permukaa tersebut diperlihatka pada Gambar.4.4 4

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial

Bab 7 Penyelesaian Persamaan Differensial Bab 7 Peelesaia Persamaa Differesial Persamaa differesial merupaka persamaa ag meghubugka suatu besara dega perubahaa. Persamaa differesial diataka sebagai persamaa ag megadug suatu besara da differesiala

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN KOMPLEKS

BAB I BILANGAN KOMPLEKS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Di dalam bab ii, kita aka meelidiki struktur aljabar da geometri dari sistim bilaga kompleks. Kita aggap bahwa berbagai sifat ag berhubuga dega bilaga real sudah diketahui.. PENJUMLAHAN

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

Aplikasi Interpolasi Bilinier pada Pengolahan Citra Digital

Aplikasi Interpolasi Bilinier pada Pengolahan Citra Digital Aplikasi Iterpolasi Biliier pada Pegolaha Citra Digital Veriskt Mega Jaa - 35408 Program Studi Iformatika Sekolah Tekik Elektro da Iformatika Istitut Tekologi Badug, Jl. Gaesha 0 Badug 403, Idoesia veriskmj@s.itb.ac.id

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

SOAL-SOAL HOTS. Fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, dan grafik fungsi.

SOAL-SOAL HOTS. Fungsi, komposisi fungsi, fungsi invers, dan grafik fungsi. SOL-SOL HOTS. LJBR Pagkat Bulat Positif, Betuk kar, da Logaritma 1. Jumlah bakteri pada saat mula-mula adalah M 0. Karea suatu hal, setiap selag satu hari jumlah bakteri aka leyap r%. Jika M0 1.0 da r

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Model Sistem dalam Persamaan Keadaan Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Surabaya Model Sistem dalam Persamaa Keadaa Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Latiha Pegatar Materi Cotoh Soal Rigkasa Istilah-istilah Dalam Persamaa Keadaa Aalisis Sistem

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor

BAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH

SMA NEGERI 5 BEKASI UJIAN SEKOLAH PEMERINTAH KOTA BEKASI DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI BEKASI Jl. Gamprit Jatiwarigi Asri Podok Gede -88 UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN / L E M B A R S O A L Mata Pelajara : Matematika Kelas/Program : IPA Hari/Taggal

Lebih terperinci

1 4 A. 1 D. 4 B. 2 E. -5 C. 3 A.

1 4 A. 1 D. 4 B. 2 E. -5 C. 3 A. . Seorag pedagag membeli barag utuk dijual seharga Rp. 0.000,00. Bila pedagag tersebut meghedaki utug 0 %, maka barag tersebut harus dijual dega harga A. Rp. 00.000,00 D. Rp. 600.000,00 B. Rp. 00.000,00

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PROGRAM STUDI S1 TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PROGRAM STUDI S1 TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PROGRAM STUDI S1 TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU 1 Nama Mata Kuliah : Matematika I 2 Kode Mata Kuliah : TSS - 1105 3 Semester : I 4 (sks) : 2 5 Dose Pegampu

Lebih terperinci

Bab 8 Teknik Pengintegralan

Bab 8 Teknik Pengintegralan Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi

Lebih terperinci

Probabilitas dan Statistika Korelasi dan Regresi. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika Korelasi dan Regresi. Adam Hendra Brata Probabilitas da Statistika da Adam Hedra Brata Dua Peubah Acak dua perubah acah X da Y dega rata-rata da diberika oleh rumus : E(XY) - - - Sifat Sifat Sifat kovariasi utuk X da Y diskrit : f(, ) f(, )

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang.

x = 16 Jadi, banyak pekerja yang harus ditambahkan = = 4 orang. SOAL N MATEMATIKA SMK KELOMPOK PARIWISATA, SENI DAN KERAJINAN, TEKNOLOGI KERMAHTANGGAAN, PEKERJAAN SOSIAL, DAN ADMINISTRASI PERKANTORAN PAKET KC-F TAHN PELAJARAN /. Ekstrakurikuler pramuka suatu SMK aka

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. absis titik C dan absis titik C sama dengan h, maka x 3 = x 1 + h, sehingga gradien garis AC sama dengan

TURUNAN FUNGSI. absis titik C dan absis titik C sama dengan h, maka x 3 = x 1 + h, sehingga gradien garis AC sama dengan TURUNAN FUNGSI. Gardie Garis siggug Kurva Peratika graik ugsi pada gambar berikut. 8 B 6 C A Gambar Titik A, B, da C terletak pada graik, bila absisa berturut-turut,, da, maka koordiat titik A,, B,, da

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk OPERASI ALJABAR. Ubahlah betuk kuadrat di bawah ii mejadi betuk ( a b) c 4 8 4 4 0 4. Uraika betuk di bawah ii ( 5)( ) [ ]( )( )( ) [ ]( ) ( ) ( ). Tetuka ilai a, b, da c, jika ( )( 4 )( ) = a b c 6 (

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH

BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH 89 BAB V ANALISA PEMECAHAN MASALAH Dalam upaya mearik kesimpula da megambil keputusa, diperluka asumsi-asumsi da perkiraa-perkiraa. Secara umum hipotesis statistik merupaka peryataa megeai distribusi probabilitas

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka

Lebih terperinci

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... 4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut

Lebih terperinci

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

BAB II PEMBAHASAN. Dalam statistik Maxwell- Boltzman, ada dua ciri- ciri yang digunakan:

BAB II PEMBAHASAN. Dalam statistik Maxwell- Boltzman, ada dua ciri- ciri yang digunakan: BAB II PEMBAHASAN A. Keadaa Makro da Keadaa Mikro Masalah utama yag dihadapi dalam mekaika statistik adalah meetuka sebara yag mugki dari partikel- partikel kedalam tigkat- tigkat eergi da keadaa- keadaa

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Optimasi 2.1.1. Pegertia Optimasi Optimasi (Optimizatio) adalah aktivitas utuk medapatka hasil terbaik di bawah keadaa yag diberika. Tujua akhir dari semua aktivitas tersebut

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014 MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar

Lebih terperinci

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;

Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi; Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika

Lebih terperinci

Bab 3 MODEL-MODEL UNTUK SISTEM DAN SINYAL

Bab 3 MODEL-MODEL UNTUK SISTEM DAN SINYAL Bab 3 MODEL-MODEL UNTUK SISTEM DAN SINYAL 3. Tipe-tipe model Model matematika da model siyal Model matematika adalah deskripsi sistem dimaa hubuga atara variael da siyal model diyataka dalam betuk-betuk

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15

SOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih

Lebih terperinci

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT. Deret Taylor Misal fugsi f() aalitik pada - < R ( ligkara dega pusat di da jari-jari R ). Maka utuk setiap titik pada ligkara itu, f() dapat diyataka sebagai : f

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. Lokasi penelitian dilakukan di Provinsi Sumatera Barat yang terhitung

III. METODE PENELITIAN. Lokasi penelitian dilakukan di Provinsi Sumatera Barat yang terhitung 42 III. METODE PENELITIAN 3.. Lokasi da Waktu Peelitia Lokasi peelitia dilakuka di Provisi Sumatera Barat yag terhitug mulai miggu ketiga bula April 202 higga miggu pertama bula Mei 202. Provisi Sumatera

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas. BAB 1 PENDAHUUAN 1.1 atar Belakag Pada dasarya masalah optimisasi adalah suatu masalah utuk membuat ilai fugsi tujua mejadi maksimum atau miimum dega memperhatika pembatas pembatas yag ada. Dalam aplikasi

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas

TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com

Soal dan Pembahasan. Ujian Nasional Matematika Teknik SMK matematikamenyenangkan.com Soal da Pembahasa jia Nasioal 06 Matematika Tekik SMK matematikameyeagka.com . pqr Betuk sederhaa dari p q r A. p 8 q r adalah... B. p q 0 r 0 D. p q 0 r 0 C. p 8 q r 0 E. p 6 q r Igat rumus berikut m

Lebih terperinci

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada

BAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada 8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia

Lebih terperinci

MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH

MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH MEKANIKA TANAH DASAR DASAR DISTRIBUSI TEGANGAN DALAM TANAH UNIVERSITAS PEMBANGUNAN JAYA Jl. Boulevard Bitaro Sektor 7, Bitaro Jaa Tagerag Selata 154 PENDAHULUAN Megapa mempelajari kekuata taah? Keamaa

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Aji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru

Aji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol.8 No.2 (24) Hal. 39-45 APLIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENENTUKAN FORMULA TRANSFORMASI LAPLACE Aji Wiratama, Yui Yulida, Thresye Program Studi Matematika

Lebih terperinci

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

oleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program

Lebih terperinci

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

BAB III METODOLOGI PENELITIAN BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1. Lokasi da Waktu Pegambila Data Pegambila data poho Pius (Pius merkusii) dilakuka di Huta Pedidika Guug Walat, Kabupate Sukabumi, Jawa Barat pada bula September 2011.

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN :

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 39-46, April 2002, ISSN : JURNAL MATEMATKA DAN KOMPUTER Vol 5 No, 39-46, April 22, SSN : 4-858 MENCAR SOLUS PENAKSR PARAMETER PADA ANALSS VARANS DENGAN PENDEKATAN GENERAL NVERS Sukestiaro Jurusa Matematika FMPA Uiversitas Negeri

Lebih terperinci

REGRESI DAN KORELASI

REGRESI DAN KORELASI REGRESI DAN KORELASI Pedahulua Dalam kehidupa sehari-hari serig ditemuka masalah/kejadia yagg salig berkaita satu sama lai. Kita memerluka aalisis hubuga atara kejadia tersebut Dalam bab ii kita aka membahas

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI 5 I PENDAHULUAN Latar Belakag Persaaa diferesial adalah suatu persaaa ag egadug sebuah fugsi ag tak diketahui dega satu atau lebih turuaa [Stewart, 3] Persaaa diferesial dapat dibedaka eurut ordea, salah

Lebih terperinci

τ = r x F KESETIMBANGAN

τ = r x F KESETIMBANGAN KESETIMBG Moe Gaa ( τ ) Moe gaa atau torsi adalah besara ag dapat eebabka beda berotasi atau berputar. Besar oe gaa didefiisika sebagai hasil kali atara gaa ag bekerja dega lega. Moe gaa terasuk dala besara

Lebih terperinci

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag

Lebih terperinci