PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Transkripsi

1 PSAMAAN DIFFNSIA (DIFFNTIA QUATION) Suatu ersamaa imaa teraat hubuga atara variabel bebas, variabel tak bebas a turua-turuaa iamaka ersamaa ifferesial. Cotoh : f (,,,,.. ) 0 z z g (,, z,,, ) 0 Aa jeis ersamaa ifferesial : - Persamaa ifferesial biasa 0 z z - Persamaa ifferesial artial 0 Pembahasa haa ibatasi aa ersamaa ifferesial biasa. PSAMAAN DIFFNSIA BIASA. Defiisi : - Turua tertiggi i alam suatu ersamaa ifferesial (PD) isebut ore ari ersamaa ifferesial tersebut 0 ersamaa ifferesial ore - Pagkat tertiggi ari turua tertiggi ersamaa ifferesial isebut agkat ari ersamaa ifferesial tersebut. 0 6 ersamaa iff. ore agkat

2 PSAMAAN DIFFNSIA OD PANGKAT I. Persamaa ifferesial ega variabel ag aat iisahka Betuk Pers. Diff. f (, ) iisahka mejai M() N() 0 Dega emikia variabel iisahka ega variabel Cotoh :. o 0 c C ( Jawab umum ). e 0 ee CC (ee ) ( ) CC ee ee CC ee ( ) CC\. ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) CC llll( ) CC

3 Soal-soal : Carilah jawaba umum ersamaa ifferesial berikut :. si si.. l ta sec 4. arcsi ( e ) II. Persamaa Differesial Homoge (PDH) Defiisi : Suatu f(, ) ikataka homoge, bila memuai sifat f(λ, λ) λ f(, ) Dimaa λ kostata a suatu bilaga Cotoh : a) f(, ) f ( λ, λ) λ ( 4 ) λ 4 4 λ f(, ) ore b) f(, ) f ( λ, λ) λ ( ) λ () λ o o λ f (, ) ore ol Persamaa ifferesial M(, ) N(, ) 0, isebut Persamaa Diferesial homoge bila berlaku M(, ) a N(, ) aalah fugsi homoge ega ore ag sama. Cotoh : a) ( ) 0 buka PDH karea ore N(, ) M(, ) b) ( ) 0 PDH imaa M(, ) a N(, ) aalah fugsi homoge ore

4 Betuk ersamaa ifferesial P(, ) Q(, ) juga isebut ersamaa iferesial homoge bila tereuhi fugsi homoge f(, ) P(, ) Q(, ) memuai ore ol. PNYSAIAN PSAMAAN DIFFNSIA HOMOGN Utuk eelesaia ersamaa ifferesial homoge maka aat iguaka: - ermisala u imaa u u(), sehigga iaat u u - ermisala v imaa v v(), sehigga iaat v v Cotoh : Pecahka ersamaa ifferesial berikut : ) ( ) 0 Jawab : M(,) aalah fugsi homoge ore ua N(,) aalah fugsi homoge ore ua juga, ega emikia ersamaa ifferesial iatas aalah ers. iff. Homoge Misal : u u u Sehigga : ( u ) ( u u ) 0 ( u u ) u 0 ( u) u 0 u u C l l ( u ) C l ( u) / l C ( u) / C C (jawab umum)

5 ) Carilah jawab umum ari : Jawab: f(,) aalah fugsi homoge ore ol, sehigga ers. iff. iatas aalah ers iff homoge misal : u u u uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu uu 0 llllll uu CC llllll CC llll llll ee llllll ee CC Pecahka soal-soal berikut:. cos. ( ) cos. 4. l

6 umus-rumus Differesial ag aat ierguaka utuk emecaha ersamaa ifferesial. ().. 4. ta 5. l l ( ) Cotoh soal :. {l ()} ega emikia : l () C. ( ) ( ) 0 Jawab : ( ) a (/) Persamaa mejai :. ( ) (/) 0 Substitusi : r, / ta θ, r cos θ, r si θ

7 Sehigga iaat : r Cos θ r r Si θ Cos θ. r Cos ϴ r r Si θ θ 0 r Si θ θ C Cos θ θ 0 θ Cos r Cos θ C r r C r ( ) C C ( ) ( ) C Carilah Jawab ari Persamaa Differesial berikut :. ( e - Si ) ( e - cos ) 0. III. PSAMAAN DIFFNSIA INI Betuk umum : P() Q(). ( ) ers. Beroulli Cara emecaha : Misalka : uv... ( ) imaa : u u () a v v () ega emikia iaat: u v v u... ( ) Dari (), () a () ieroleh : v u u v P( ) uv Q( ) v u u v P( ). u Q( ) ( 4 )

8 Selajuta ilihlah u seemikia rua sehigga : u u u P( ) u 0... ( 5 ) P( ) l u P ( ) C ambil C 0, sehigga : u ee PP()...( 6 ) ari (4) a (5) iaat : u v Q().. ( 7 ) ( ) v subsitusi ers (6) ke ers (7) iaat e P Q( ) v P() Q() e v Q() e P() Dega emikia uv aat iselesaika. Cotoh soal : Selesaika ersamaa ifferesial berkut :. ( ) 5 / Jawab : ( ) 5 / imaa : P ( ) a Q( ) ( ) Misal : uv u v v u 5/

9 u v v v u ( 5/ ) Pilihlah v seemikia rua sehigga : v v v v 0 v l v l C ambil C 0 v ( ) u u 5/ ( ) ( ) ( ) 5/ u ( ) / u ( ) / C Maka : u v [ ] ( ) / C ( ). Tetuka jawab ari: e Jawab: e Misal : uv iseerhaka mejai v u v u u v u v u e Pilihlah u seemikia rua sehigga : u u 0 e

10 u u l u - C ambil C 0 u e v u e maka e v v e v C uv jai jawab umuma ( c) e Soal-soal : Pecahka Persamaa Differesial berikut :... cos cos 4. ( ) IV. PSAMAAN DIFFNSIA NON INI YANG DIJADIKAN PSAMAAN DIFFNSIA INI DAPAT P( ) Q( ).. ( ) Disebut ersamaa ifferesial o liier. Pemecaha ilakuka ega memisalka : Z -.. ( ) z. z z z. karea z ( ), maka iaat : z ( ) z. ( ) Dari (), () a () maka ieroleh : z P( ) Q( ), kalika ega sehigga iaat

11 z z z P( ) ( ) P( ) Q( ) kalika ega (- ) ( ) Q( ) ( ) P(). Z ( ) Q() z Dega memisalka H ( ). z W ( ) ersamaa ifferesial iier. sehigga iaat z uv maka ersamaa ifferesial aat iselesaika. Cotoh soal :. P ( ) ersamaa ifferesial o liier Q( ) Misalka z - sehigga z - atau z -, ega emikia maka z z z v u Mis : z uv u v uv v u u v u Pilihlah u seemikia rua sehigga : u v u u 0 e u u l u C, ambil C 0 sehigga iaat u e v v - e - v e-

12 v e - e - C e - ( ½) C Z e [e - ( ½) C] - C e ( ) 6 Dega memisalka : z -5 maka iaat : z z 5 5 ersamaa ifferesial liier ers. ifferesial o liier Persamaa ifferesial iselesaika ega megambil z uv Soal-soal :. 0. l. V. PSAMAAN DIFFNSIA XACT Suatu ersamaa ifferesial : N(, ) M (, ) 0, isebut ersamaa ifferesial eact bila memuai sifat bahwa : N M Misalka F (, ) C meruaka jawaba ersamaa ifferesial tersebut. maka F F F 0

13 F bila N (, ) F M (, ) N (, ) M(, ) 0 N F N M M F Dari F N (, ) iaat : F(, ) N(, ) g(), seagka F M (, ) sehigga M(, ) [ N (, ) g( ) ] Cotoh soal : g().? (aat icari). ( ) ( ) 0 N N (, ) N M, jai meruaka PD act M M (, ) misal : F(,)C aalah jawab ersamaa ifferesial act tersebut F N(, ) maka F (, ) N (, ) ( ) sehigga F (, ) g()

14 F M ) ' (, ) g (, jai : g ( ) sehigga g( ) C Dega emikia iaat : F(, ) C C sehigga: C meruaka jawab PD tersebut. (e e ) ( ) e 0 Karea N (, ) e e N e M M (, ) ( ) e e a N M jai : P. D.. F Karea N(, ) maka F(, ) N (, ) g() ( e e ) g() e e g() seagka F M (, ) e g ( ) ( ) e g () e g() e C Jai : F(, ) e e e C C Dega emikia maka : e ( ) e C jawab umuma Soal-soal :. ( ) ( ) 0. si Cos. ( ) ( - ) 0

15 4. (e l ) l si 0 5. ( ta sih ) 0 6. si 0 APIKASI PSAMAAN DIFFNSIA PADA ANGKAIAN ISTIK. S aa t < 0, saklar s i Paa t > 0, saklar s i Tetuka i(t) aa t>0 Peelesaia Paa t > 0, ragkaia mejai : i(t) i( t) ( ) i(t) 0 t i( t) ( t ) i( ) t i (t) i(t) t Jai : i t i l i t k i( t) ke ( ) t Dari ragkaia iatas utuk t 0 maka iaat i(0)

16 seagka ari erhituga utuk t0 maka iaat i(0) k ega emikia k sehigga iaat i( t) e ( ) t Sehigga aat igambarka sebagai berikut : i(t) t. Selesaika ragkaia berikut : Paa t < 0, saklar i C Paa t > 0, saklar i Tetuka i(t) aa t > 0 Peelesaia : Paa t > 0, ragkaia mejai : i(t) C ( ) i(t) i t 0 C i i(t) ( ) 0 t C sehigga : i t ( i(t) )C i( t) t i( t) ( ) C l i t k ( ) C i( t) k e t ( ) C Dari ersamaa iatas iaat, aa t 0 maka ii(0) kk, seagka ari ragkaia aa t0 iaat ii(0) emikia aka ieroleh ii(tt) tt ee ()CC, sehigga kk jai ega

17 . S Paa t < 0, saklar s ibuka Paa t > 0, saklar s itutu Tetuka i(t) aa t > 0 Jawab : Paa t > 0, ragkaia seerti terlihat isebelah : i(t) sehigga iaat i(t) i t i( t) ega emikia iaat : i( t) t Misalka : i q i t q q q t t q q q t t q t q t Pilih q seemikia rua sehigga : q t q q q 0 t l q q e t t k q t sehigga e t t t e t t. e k

18 S S C k e t Dega emikia iaat : ) ( k e e t i t t t e k t i ) ( Utuk t 0 (0) i Jai : k k ( ) jai : ) ( k maka t e t i ) ( Carilah eelesaia ragkaia berikut ii: TUGAS (ikumulka miggu ea). aa t < 0, s itutu aa t > 0, s ibuka Tetuka i( t ) aa t > 0. aa t < 0, s i aa t > 0, s i Tetuka i( t ) aa t > 0

19 Perhatika gambar berikut, bagaimaakah ersamaa iffresial eelesaiaa? -k X m F VI. PSAMAAN DIFFNSIA DNGAN OD BIH DAI SATU I. Betuk : f ( ) ( ) Peelesaia ega meuruka orea. Ambil : q Bila : q Cotoh : q Selesaika ersamaa ifferesial : Jawab : misal :... st. e

20 e e q ambil : q q e q e q e e C Dega emikia maka : e e C ( e e C ) e e e C C sehigga ) e C {( C )} ( ) e C C C II. Betuk : f ( ) g( ) Misalka : maka. Cotoh : emikia seterusa. Selesaika PD berikut : a 0 a

21 Peelesaia : Misalka :. a a 0 a C a C ambil C c c a c a ± ambil c c a a c a a a c arc si C a a arc si C c a c si ( a c4 ) si a cos c 4 cos a si c 4 P cos a Q si a Soal-soal: Selesaika ersamaa ifferesial :.. e a 0

22 PSAMAAN DIFFNSIA INI OD N Persamaa umum : F,,,,..., 0 Bila variabel bebas a turua-turuaa memuai agkat tertiggi sama ega, maka ersamaa ifferesial ii isebut ersamaa ifferesial liier. Betuk umum ersamaa ifferesial liier ore- : a ( ) a ( )... a( ) a 0 g( )... (*) bila : g() 0 isebut ersamaa ifferesial homoge g() 0 isebut ersamaa ifferesial i-homoge Sifat Persamaa Differesial Homoge. Jika meruaka jawaba ersamaa * a juga meruaka jawaba ersamaa *, maka juga meruaka jawaba ersamaa *. Bukti : ( ) ( ) ( ) a a... a a ( o ) a a... a o a a... a o. Jika meruaka jawaba ersamaa *, maka c, juga meruaka jawaba ersamaa *. Bukti : a (c ) (c )... a c a a o c C a a... a a o. Jika a aalah jawaba ersamaa *, maka c c juga meruaka jawaba ersamaa *. Bukti : ari sifat a aat isimulka bahwa c c meruaka juga ersamaa *. 0

23 4. Suatu ersamaa ifferesial ore aka memuai jawaba ag bebas liier a jawaba ag liier. Bila,,, 4,..., meruaka jawaba ersamaa * maka c c c... c juga meruaka jawaba. VII. PMCAHAN PSAMAAN DIFFNSIA HOMOGN DNGAN MNGGUNAKAN OPATO D Diefiisika : D Sehigga : D D D Cotoh : D si cos D D. D D D. D cos - D si (D ) si si - D cos D si cos si D D Hitug : θ si bila θ si cos Jawab : θ si θ. θ si θ. cos ( cos ) (cos - si ) cos si

24 Dega megguaka oerator D ersamaa iferesial homoge aat itulils : a... a a a o a D a - D -... a D a o 0 atau (a D a - D -... a D a o ) 0 Daat itulis ula sebagai: Φ (D) 0 Sehigga ersamaa ifferesial l-homoge aat itulis : Φ (D) g() 0 SIFAT-SIFAT OPATO D I. (D r D s ) u (D s D r ) u Hk. Komutatif II. {D r (D s D t )} u {(D r D s ) D t } u Hk. Asosiati III. (D r. D s ) u (D s. D r ) u Hk. Komutatif Perkalia IV. D r (D s. D t ) u (D r D s ). D t u Hk. Asosiati V. D r (D s D t ) u (D r D s D r D t ) u Hk. Distributi VI. (D r D s ) u D rs u umus Pagkat VII. D r (cu) c D r u Sifat Turua r, s, t kostata SIFAT-SIFAT DAI φ (D) I. φ (D) e m φ (m) e m (m kost) Bukti : D e m m e m D e m m e m D e m m e m D e m m e m

25 Seagka : φ(d) e m (a D a - D -... a D a o ) e m (a m a - m -... a m a o ) e m φ (m) e m (q e ) Cotoh : a). (D.D ) e (. ) e e b). (D D D 6) e ( 6) e (7 9 6) e e II. φ(d) (u.e m ) e m φ(d m) u imaa u f() Bukti : Du e m e m Du mu e m e m (D m) u D (e m u) D[D (e m.u)] D[e m (D m) u] misalka (Dm)u v D(e m v) e m (D m)v e m (D m) (D m) u e m (D m) u Jai : φ(d) (u. e m ) (a D a - D -... a.d a o ) (u e m ) e m [a (Dm) a - (Dm) -... a (Dm) a o ]u e m φ (D m) u (q. e. ) Cotoh :. (D D 6) e. e {(D ) (D ) 6} e (D D 8) e ( 6 8 )

26 . (D D-) (ta - ) D (ta - ) D(ta - ) (ta - ) D (sec ) (sec ) ta 6 ta sec 4 - sec ta sec sec ta - ta (4 6-4) Kerjaka Soal berikut : ) (D D ) (e si e cos e - ) ) (D D ) e ( si ) ) ( D D ) e (l - ) PSAMAAN KAAKTISTIK Telah iketahui bahwa bila φ(d)0 isebut ersamaa ifferesial homoge seagka bila φ(d) g() isebut ersamaa ifferesial i homoge Bila φ(d) (D - m ) (D - m )... (D - m ) 0 Maka φ(m) (m m ) (m m )... (m m ) 0, sehigga : m m, m m..., m m Jai bila φ(d) A (D m ) (D m )... (D m ) 0 seag A kostata 0, maka aka berlaku : (D m ) (D m )... (D m ) 0... ( ) Misalka: (D m ) 0 memeuhi ersamaa ii, maka m 0 m m l m c e m Jelaska bahwa memeuhi φ(d) 0 Demikia ula jika (D m ) 0 memeuhi ersamaa () Maka c e m aka memeuhi φ(d) 0 Sehigga : Diaat jawaba umum ari φ(d) 0 aalah : C e m C e m C e m... C e m

27 Cotoh soal: Tetuka jawaba umum ari :. (D ) (D ) (D ) (D ) 0 Jawab : c e c e - c e c 4 e Jawab : (D 5D 6) 0 (D ) (D ) 0 c e - c e - atau Ae - Be ( D 4D 4) 0 (D ) 0 maka ce - buka jawaba legkaa karea akar harus aa ua jai misalka jawaba umuma u() e - Substitusi ke (D ) 0 iaat (D ) u() e - 0 Dega megguaka sifat : φ(d) u e m e m φ (D m) u Diaat : e - [D ] u() 0 e - D u 0 D u 0 Du A u A B (A B) e - atau (c c ) e - meruaka jawaba umuma.

28 Secara umum aat ieroleh : Bila (D) A (D m ) (D m )... (D m s ) s... (D m ) 0 Maka jawaba ari (D m s ) s s 0 aalah s u e ms (D m s ) s u e ms e ms (D m s m s ) s 0 e ms D s u 0 D s u 0 u c o c c... c s- s- Jawaba umuma : s (c o c c... c s- s- ) e ms Cotoh :. (D ) (D ) (D ) (D ) 0 Jawab umuma:. (D ) (D ) (D ) D 0 Aka memuai jawaba umum : c e ( c c c4 ) e c5e c6 Karea ragka e (c c ) e (c c 4 c 5 ) e - (c 6 c 7 ) e C 8. (D ) (D ) D 5 0 Aka memuai jawaba umum : (c c ) e (c c 4 c 5 ) e - c 6 c 7 c 8 c 9 c 0 4 Bila ersamaa karakteristik memuai akar komleks : m α i β atau m α - i β, maka jawaba umum : c e m c e m c e (αiβ) c e (α-iβ) c e α e iβ c e α e -iβ e α (c e iβ c e -iβ )

29 e α (c cos β i c si β c cos β i c si β) e α [(c c ) cos β i(c c ) si β] e α [A cos β B si β)] imaa : A c c e α (A cos β B si β) B i(c c ) Jika α 0 A cos β B si β Cotoh :. (D 4D ) 0 {(D ) 9} 0 {(D ) i} {(D ) i} 0 (D i) (D i) 0 e (A cos B si ). (D 6 4D 4 ) 0 D 4 (D 4) 0 D 4 (D i) (D i) 0 (c 0 c c c ) (A cos B si ) DAPAT DISIMPUKAN : Jika ersamaa karakteristik φ(m) 0 atau m m q 0, memuai akarakar sebagai berikut : a. m a m riel, maka : c e m c e m b. m m m (riel ragka), maka : (c c ) e m c. m α iβ & m α-iβ, maka : e α (A cos β B si β) a bila α 0 A cos β B si β

30 Kerjaka Soal-soal berikut :. (D 4 D 4) 0 6. (D D D ) 0. (D D D ) 0 7. (4D D D) 0. (D 9D) 0 8. (D D 4) 0 4. (D 4 D ) 0 9. (D 6 D 0) 0 5. (D 6 4D 4 4D ) 0 0. (D ) 0 PSAMAAN DIFFNSIA IN HOMOGN a a... a a0 g( )... ( I ) Sifat-sifat: a. Bila c c c... c meruaka salah satu jawaba ersamaa I ( c jawaba comlemeter) a meruaka jawaba lai ari ersamaa I (jawaba artikelir / khusus), maka c meruaka jawaba umum ari ersamaa I. c iaat ega megambil g() 0, seagka tergatug ari g() Bukti : a ( c ) a ( c )... a ( ) o c c ( ) c a a... o c... a a a a o O b. Dari ersamaa a a... a o g() g ()... ( II ) Bila a meruaka jawaba khusus ari ersamaa II maka meruaka jawaba khusus ersamaa II. Bukti : a a ( ) ( ) a... a ( o a a o a a g ( ) )... ao 0

31 φ (D) g() A (D m ) (D m )... (D m ) g() Daat iselesaika ega metoe reuksi sebagai berikut : A (D m ) (D m ) (D m )... (D m m ) g() Mis : A (D m ) (D m )... (D m ) u() Shg : (D m ) u() g(), meruaka ersamaa ifferesial liier. Maka : u() aat ieroleh. Dega cara ag sama aat imisalka : A (D m ) D m 4 )... (D m ) v() Shg: (D m ) v() u() v() ieroleh Demikia seterusa sehigga akhira ieroleh : (D m ) w() aat icari. Cotoh : (D ) (D ) (D ) Dega megambil : ( D )( D )( D ) 0 c maka iaat : c c e c e c e utuk mecari ambil : ( D )( D ) u( ) sehigga iaat Misalka : u ( D ) u( ), maka u (ersamaa ifferesial liier) u. q q q. q q q Pilih q seemikia rua sehigga : 0 e - q e q

32 q e sehigga q e - e q e - e e ( -) jai u ( ) sehigga iaat ( D )( D ) sekarag misalka ( D ) v( ) sehigga ieroleh ( D ) v( ) Misalka : q q v maka v v. q q. q q (ersamaa ifferesial liier) Pilih q seemikia rua sehigga : 0 q q e e ( q ) e sehigga q ( ) e e q ( ) e e e Jai v ega emikia : ( D ) Misalka : q q. q q. q q Pilih q seemikia rua sehigga : 0

33 q e q e - sehigga q e q ( e e ) q e e ( ) e 4 4 Jai 4 Dega emikia jawab umuma aalah : c c e c e c e 4 MNCAI Utuk mecari DNGAN KOFISIN TAK TNTU ag igi icari {tergatug ari g()}. tergatug ariaa betuk ersamaa iferesial ihomoge I. a). ɸ(DD) rr atau (aa DD aa DD.. aa mm DD mm ) rr aa ruas kiri agkat ag tertiggi itetuka oleh a0 ega a0 0 r ag berarti bahwa agkat tertiggi ari olom aalah sehigga aat imisalka sebagai : (bb 0 bb bb bb bb rr rr ) Cotoh: Pecahka ersamaa iferesial: (DD 5DD 6) 5 6 Peelesaia: ambil : (DD 5DD 6) cc 0 sehigga cc AAAA BBee misal : (cc 0 cc cc cc ) (cc cc cc ) (cc 6cc ) jai: (DD 5DD 6) cc 6cc 5cc 0cc 5cc 6cc 0 6cc 6cc 6cc 6cc (5cc 6cc ) (6cc 0cc 6cc ) (c 5c 6c 0 ) 5 6

34 ari koefisie iaat 6c jai c iaat 5c 6cc 0 jai c 5 6 iaat 6c 0cc 6c 5 jai c iaat c 5cc 6c 0 6 jai c ega emikia iaat jai jawab umuma aalah cc AAAA BBee b). Bila (DD) (DD)DD ss rr imaa (DD) 0 ag berarti bahwa agkat tertiggi olom (DD) itetuka oleh ore turua tereah DD ss (DD)DD ss rr maka DD ss (bb 0 bb bb bb bb rr rr ), ega megitegralka DD ss samai s kali maka iaat : ss (cc 0 cc cc cc cc rr rr ) Cotoh :. Pecahka ersamaa iferesial: (DD )(DD )DD Peelesaia: ambil : (DD )(DD )DD cc 0 sehigga cc AAAA BBee (CC DDDD) misal : (gg 0 gg gg ) gg 0 gg gg 4 (gg 0 gg 4gg ) (gg 0 6gg gg ) (6gg 4gg ) 4gg jai: (DD 4 DD ) 4gg gg 0 6gg gg ari koefisie iaat gg jai gg iaat 6gg 0 jai gg 0 0 iaat 4gg gg 0 0 jai gg 0 ega emikia iaat 4 jai jawab umuma aalah cc AAAA BBee (CC DDDD) 4. Pecahka PD: (DD )(DD )(DD )DD 5 6 cc AAAA BBee CCee (DD ) (FF GG HHHH II) II. a) Betuk ɸ(DD) rr ee qqqq

35 karea ruas kaa megaug e q, maka ermisala ag iambil q ue imaa u u( ) ii berarti bahwa: (DD)uuee qqqq rr ee qqqq sehigga ee qqqq (DD qq)uu rr ee qqqq (DD qq)uu rr misal (DD qq)uu FF(DD)uu sehigga FF(DD)uu rr uu gg 0 gg gg gg rr rr, sehigga (gg 0 gg gg gg rr rr )ee qqqq b). Bila (DD)DD ss rr ee qqqq a D0 maka (qq) FF(0) 0, memuai qq ragka s kali, sehigga: ss (bb 0 bb bb bb bb rr rr )ee qqqq Cotoh:.(DD )(DD ) ee,karea cc tiak megaug ee, maka misalka : AAAA.(DD )(DD ) ee,karea cc tiak megaug ee, maka misalka : (AA BBBB CC)ee.(DD )(DD )(DD ) ee,karea cc megaug ee, maka misalka : (AA BBBB CC)ee 4.(DD )(DD )(DD 4) 4ee 4,karea cc megaug ee 4, maka misalka : AAAA ee 4 5.(DD )(DD ) DD ee,karea cc megaug ee, maka misalka : (AA BBBB CC )ee 6.(DD )(DD ) DD ee,karea cc megaug ee, maka misalka : (AA BBBB CC )ee (DD FF GG ) III. a) Betuk ɸ(DD) rr cccccc qqqq iq iq karea cos q ( e e ), maka berarti bahwa: (DD) rr ee iiiiii rr ee iiiiii atau (DD) rr ee iiiiii rr ee iiiiii Jai (aa 0 aa aa rr rr )ee iiiiii (bb 0 bb bb rr rr )ee iiiiii sehigga : (aa 0 aa aa rr rr )(cccccc qqqq iiiiiiii qqqq) (bb 0 bb bb rr rr )(cccccc qqqq iiiiiiii qqqq) ega emikia : (cc 0 cc cc rr rr )(cccccc qqqq) ( 0 rr rr )(ssssss qqqq)

36 maka : (gg 0 gg gg rr rr )(AAAAAAAA qqqq BBBBBBBB qqqq) b). Bila (DD)DD ss rr cccccc qqqq maka : ss (gg 0 gg gg rr rr )(AAAAAAAA qqqq BBBBBBBB qqqq) Cotoh:.(DD )(DD ) cccccc, karea cc tiak megaug cccccc, maka misalka : AAcccccc BBBBBBBB.(DD )(DD ) cccccc,karea cc tiak megaug cccccc, maka misalka : (AAAA BB)(CCcccccc DDDDDDDD ).(DD )(DD ) (DD ) cccccc, karea cc tiak megaug cccccc, maka misalka : (AA BB CCCC DD)(PPcccccc QQQQQQQQ ) 4.(DD )(DD ii) (DD ii) (DD 4)DD cccccc cccccc, karea cc megaug ccccss, maka misalka : (AA BBBB CC)(DDcccccc ) (FF GG HHHH II)(PPcccccc QQQQQQQQ ) Soal-soal ag iselesaika. (DD ) maka (DD )(DD ) cc (AAee BBee ) misalka : (CC DDDD ) maka iaat : AAee BBee ( ). (DD 4 DD ) maka DD (DD ), sehigga aat itulis sebagai (DD ii)(dd ii)dd cc (AAAA BB) (CC cos DD si ) misalka : ( FF) maka iaat : (AAAA BB) (CC cos DD si ). (DD DD ) maka (DD )(DD ) cc (AAee BBee ) misalka : (CC DDDD)ee maka iaat : ( AA)ee BBee 4. (DD ) 4 ee maka (DD )(DD ) 4 ee, sehigga iaat cc (AAee BBee )

37 misalka : (CC DDDD ) FFFFee maka iaat : AAee ( BB)ee ( 4 6) Kerjaka irumah :. (DD 5DD 6) 0 4 ee. (DD ) cos cos. (DD 5DD 5) ee si 0 4. (DD 4 DD DD ) 6ee 5. (DD 4DD) 4 8 si 6. (DD DD ) (5 5)ee 8ee 7. (DD 4 DD ) 8 4 si IX. PSAMAAN DIFFNSIA U Persamaa Differesial uler aalah suatu ersamaa ifferesial ega betuk umum: (a X D a - X - D - a XD a o ) g(), atau aat ula itulis sebagai φ ( XD ) g( ) cotoh : 6 7 Utuk memecahka Persamaa Differesial uler aat ilakuka ega memisalka : e z sehigga l z, Jai :, seagka iketahui ula bahwa : jai : bila iambil Dari z z z z z, sehigga iaat, z z Dz a D, maka ieroleh : XD Dz maka aat icari: D z D z z z z z Dega emikia maka : D ( ) atau X D ( ) z D z D z

38 Selajuta aat icari : ( D D ) ( D D ) Dega cara ag sama aka iaat : atau : X D ( Dz Dz ) ( Dz Dz ) ( D D D ) X X X 4 5 D D.... D z z z z ( D )( D ) D z z z ( D )( D )( D ) 4 Dz z z z ( D )( D )( D )( D 4) 5 Dz z z z z z ( D )( D )( D )...( D ( ) ) D z Cotoh :. Selesaika Persamaa Diferesial : (X D X D 4XD) 0 z z z z z z Jawab : Misal : e z maka z l XD Dz X D Dz (Dz ) X D Dz (Dz ) (Dz ) Dega emikia : {Dz (Dz ) (Dz ) Dz (Dz ) 4 Dz} 0 Dz [D z Dz Dz 4] 0 Dz (D z Dz ) 0 Dz (Dz ) (Dz ) 0 Sehigga jawabaa : c c e z c e -z c c c -. Carilah Jawab Umum PD : (X D XD 5) Jawab: Misalka: e z z l, ega emikia (X D XD 5) mejai: [Dz (Dz-) Dz 5] (D z Dz 5)

39 Sekarag ambil : (D z Dz 5) c 0.k : m m 5 0 ± m, 6 i Jai : c e z [A cos z B si z] [A cos (l ) B si (l )] misal : ce z ' ce z '' ce z Jai : (D z - Dz 5) e z ce z ce z 5 ce z 5 e z 4 ce z 5 e z ari koefisie e z iaat 4 c c ¼ a /5 ¼ e z /5 Sehigga : [A cos (l ) B si (l )] 4 /5 Kerjaka soal-soal berikut ii irumah:. (X D XD - ) 0. (X D X D 7 XD - 8) 0. (X D XD 5) 0 4. (X D XD ) 4 5. (X D XD ) 6 6. (X D XD 5) 4 X. PSAMAAN DIFFNTIA SIMUTAN φ(d) φ(d) z f() Utuk mecari ersamaa iferesial simulta :, φ (D) φ (D)z f () maka ilakuka hal sebagai berikut φ (D) φ (D) φ (D) φ (D) z φ (D) f () φ (D) φ (D) φ (D) φ (D) z φ (D) f () 4 [{ φ (D) φ (D) φ (D) φ (D)}z φ (D) f () -φ (D) f ()] 4 melalui elimiasi aka ieroleh ilai z, ega emikia ilai aat ula icari. 4

40 Cotoh soal :. Selesaika Persamaa Diferesial (D ) (D )z ( ) D (D 4)z 4 Peelesaia: (D ) ( D ) z ( ) kalika D D (D 4) z 4 kalika D, sehigga iaat: D( D ) D ( D ) z D. ( ) D ( D ) ( D 4)( D ) z ( D )( 4) [ ( ) ( )( )] ( )( ) ( ) ( ) D D D D 4 z D 4 D (D 4D 4) z 4 4 (D ) (D ) z 4 4 (D ) (D ) z c 0 z c c e / c e - Misal : z A B z' A z'' 0 sehigga iaat : (D 4D 4) z 4 4 4A 4A 4B 4 4 aa komoe iaat -4A -4 A aa komoe 0 iaat 4 4B 4 B 0 jai z Maka jawab umum aalah : z c e / c e - Utuk mecari maka subsitusi z ke salah satu ersamaa sehigga iaat: D (D 4) z 4 D 4 (D 4) (c e / c e - ) ega emikia 4 c e c e - 7 c e c e c

41 . Selesaika Persamaa Diferesial berikut: Jawab: ari ari ari Dw z iaat D w D Dz ( w z) ( w ) w ( z ) Dw w jai : D w Dw w 0 ( D )( D ) w 0 sehigga: w D w z D w z Dz w c e c D w z iaat D Dw Dz ( z) ( w) ( w z) D jai : D D 0 ( D )( D ) 0 sehigga: e e Dz iaat D z D D ( z) ( z) z ( ) Dz z jai : D z Dz z 0 ( D )( D ) z 0 sehigga:. Selesaika Persamaa Diferesial berikut: Peelesaia: ( D ) z a e e a e ( D ) D z ( D ) Dz 4e ( ) D z D D aat itulis sebagai ( D ) Dz 4e D D Dega cara crammer iaat : D(D ).. ( ), a D D 4e D D(D ) D(D ) z... ( ) D D D 4e z 4e

42 Dari () iaat: {D (D-) (D-) } 0 4 e - (D D D) - 4 e - (D ) (D ) - 4 e (D ) (D-) - 4 e - Ambil : (D)(D-) c 0 c A e - (B C) e Missal : P e - ' P e - P e - '' -Pe - - Pe - Pe - - Pe - Pe - ''' Pe - Pe - Pe - Pe - Pe - (D -D D) -4e - jai Pe - Pe - Pe - Pe - Pe - Pe - Pe - -4e - maka 4Pe - -4e -, sehigga iaat P -, jai : -e - Jawab umum PD aalah: c Ae - (B C) e e - (A-) e - (B C) e Dari ersamaa maka z aat icari (cari seiri irumah) Soal : Selesaika Persamaa Diferesial ibawah ii. (D) Dz e si (D) (D) z e cos. D z Dz w Dw. D Z 4 X D ( D ) Z 4. DZ e (D-) D z e 6 (D D ) ( D D ) z e 5. (D D ) ( D D ) z 8