Persamaan Differensial Biasa

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Persamaan Differensial Biasa"

Transkripsi

1 Bab 7 cakul fi5080 by khbasar; sem Persamaan Differensial Biasa Dalam banyak persoalan fisika, suatu topik sering dinyatakan dalam bentuk perubahan (laju perubahan). Telah disinggung sebelumnya bahwa perubahan sering dinyatakan dalam bentuk differensial (turunan). Persamaan matematik yang melibatkan adanya laju perubahan merupakan persamaan differensial. Dengan demikian cara untuk menyelesaikan persamaan differensial (mencari solusi persamaan differensial) merupakan hal yang sangat penting. Dalam BAB ini akan dibahas metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial (khusus persamaan differensial biasa). Yang dimaksud solusi dari suatu persamaan differensial adalah bentuk ungkapan matematik yang memenuhi persamaan differensial yang dimaksud. Misalkan suatu persamaan differensial yang berbentuk dy = 2, maka yang dx termasuk solusinya adalah y = 2x, atau y = 2x + 1 atau y = 2x 50 dan lain sebagainya yang secara umum berbentuk y = 2x + const. Kesemua bentuk fungsi y tersebut bila disubstitusikan ke persamaan differensial yang dimaksud akan memberikan nilai yang benar (identitas). Untuk mempermudah penulisan, digunakan notasi y untuk menyatakan turunan pertama y terhadap x dan y menyatakan turunan kedua y terhadap x, hal ini berarti y = dy dx y = d2 y dx 2 (7.1) Yang disebut orde dari persamaan differensial adalah tingkatan tertinggi dari turunan yang terlibat dalam persamaan differensial tersebut. Persamaan- 133

2 134 Persamaan Differensial Biasa persamaan differensial berikut ini adalah contoh persamaan orde satu: y +xy 2 = 1, xy +y = e x, dv dt = g, L di dt +RI = V sedangkan persamaan differensial m d2 r = kr adalah contoh persamaan dt2 differensial orde dua. Suatu persamaan differensial linier adalah persamaan differensial yang berbentuk (dengan x merupakan variabel tak bebas dan y adalah variabel bebas) a 0 y +a 1 y +a 2 y +a 3 y +... = b dengan a dan b adalah konstanta atau fungsi dari variabel tak bebas x. Berikut ini adalah contoh persamaan differensial yang tak linier y +xy 2 = 1 (tak linier karena ada suku y 2 ) y = coty (tak linier karena ada suku coty) yy = 1 (tak linier karena ada suku yy ) y 2 = xy (tak linier karena ada suku y 2 ) 7.1 Pemisahan Persamaan Salah satu cara penyelesaian persamaan differensial orde satu yang linier adalah dengan pengintegralan. Suatu persamaan differensial yang berbentuk y = dy = f(x) dapat dituliskan dengan memisahkan persamaannya menjadi dx berbentuk dy = f(x)dx dan kemudian solusinya dapat diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas. Contoh 1 Ingin dicari solusi dari persamaan xy = y +1 (7.2)

3 7.1 Pemisahan Persamaan 135 Bila persamaan tersebut dibagi dengan x(y + 1) maka akan diperoleh bentuk cakul fi5080 by khbasar; sem y y +1 = 1 x atau bila kedua ruas diintegralkan akan didapat dy dx y +1 = x yang memberikan hasil dalam bentuk dy y +1 = dx x (7.3) (7.4) ln(y +1) = lnx+const = lnx+lna = ln(ax) (7.5) dengan demikian solusi yang didapat adalah berbentuk y +1 = ax = y = ax 1 (7.6) dengan a adalah konstanta. Solusi tersebut dinamakan solusi umum dari persamaan differensial yang dimaksud. Contoh 2 Diketahui laju peluruhan zat radioaktif sebanding dengan zat radioaktif yang tersisa. Persoalan ini bila dirumuskan dalam persamaan differensial adalah dn dt = λn (7.7) Persamaan differensial tersebut dapat dituliskan dalam bentuk dn N = λdt yang bila diintegralkan akan menghasilkan persamaan ln N = λt + const. Kemudian misalkan diketahui bahwa pada saat awal jumlah zat radioaktif adalah N = N 0, maka jumlah zat radioaktif setelah waktu t adalah N = N 0 e λt. Contoh 3 Selesaikan persamaan differensial berikut xy = y (7.8) Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai x dy dx = y = dy y = dx x

4 136 Persamaan Differensial Biasa Kemudian bila persamaan tersebut diintegralkan maka akan diperoleh dy dx y = x lny = lnx+const y = e x +const 7.2 Persamaan Linier Orde Satu Persamaan differensial linier orde satu adalah persamaan differensial yang mengandung suku y dan tak ada turunan yang lebih tinggi. Suatu PDB linier orde satu mempunyai bentuk y +Py = Q (7.9) di mana P dan Q adalah fungsi dari x. Untuk menyelesaikan PDB tersebut, tinjau kondisi jika Q = 0 sehingga PDB tersebut menjadi berbentuk y +Py = 0 = dy dx = Py (7.10) Sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya, maka dapat dikerjakan sebagai berikut dy = P dx y lny = P dx+c = y = Ae P dx Jika digunakan notasi I = di P dx, maka berarti = P sehingga dapat dx dituliskan bahwa y = Ae I atau ye I = A. Selanjutnya d dx (yei ) = y e I +ye IdI dx = y e I +ye I P = e I (y +Py) Dengan demikian bila persamaan 7.9 dikalikan dengan e I, maka berarti e I (y +Py) = e I Q = d dx (yei ) (7.11) Kemudian dengan mengintegralkan persamaan tersebut maka diperoleh ye I = Qe I dx+c = y = e I Qe I dx+ce I

5 7.2 Persamaan Linier Orde Satu 137 Maka solusi PDB linier orde satu sebagaimana ditunjukkan dengan persamaan 7.9 adalah y = e I Qe I dx+ce I (7.12) dengan I = P dx. Contoh Carilah solusi persamaan differensial (1+x 2 )y +6xy = 2x. cakul fi5080 by khbasar; sem Persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan 7.9 yaitu y + 6x 2x 1+x2y = 1+x 2 yang berarti P = 6x 2x dan Q = 1+x2 1+x2. Jadi 6x I = P dx = 1+x 2dx = 3ln(1+x2 ) e I = e 3ln(1+x2) = (1+x 2 ) 3 ye I = Qe I 2x ( dx = ) 1+x 2 3 dx 1+x 2 = 1 3 (1+x2 ) 3 +C = y = C (1+x 2 ) 3 Persamaan Bernoulli Persamaan differensial yang berbentuk y +Py = Qy n (7.13) dengan P dan Q merupakan fungsi dari x dikenal sebagai persamaan Bernoulli. Meskipun persamaan tersebut bukanlah persamaan linier (karena ada faktor pangkat n) namun dapat dilakukan pengubahan variabel sehingga diperoleh persamaan yang berbentuk linier. Untuk mengubahnya menjadi persamaan differensial linier maka digunakan variabel baru z = y 1 n. Differensialkan z terhadap y maka akan diperoleh dz dy = (1 n)y n = z = (1 n)y n y (7.14)

6 138 Persamaan Differensial Biasa selanjutnya bila persamaan 7.13 dikalikan dengan (1 n)y n maka akan diperoleh (1 n)y n y +(1 n)py 1 n = (1 n)q z +(1 n)pz = (1 n)q (7.15) Perhatikan bahwa karena n adalah suatu bilangan tertentu yang konstan, maka bentuk persamaan tersebut di atas menjadi seperti persamaan 7.9 sehingga solusinya dapat dicari menggunakan cara yang sama sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya. Persamaan Eksak Persamaan differensial yang berbentuk Pdx+Qdy = 0 atau y = P Q (7.16) disebut persamaan (differensial) eksak jika terpenuhi hubungan P y = Q x. Dalam hal ini dapat dinyatakan Pdx+Qdy = df = 0, yang berarti solusinya adalah F(x,y) = const. Suatu persamaan differensial yang tak-eksak seringkali dapat dibuat menjadi eksak dengan mengalikannya dengan suatu faktor tertentu. Contoh Tentukan solusi persamaan differensial y = y x. Persamaan differensial tersebut dapat dituliskan dalam bentuk xdy ydx = 0. Yang berarti P = y dan Q = x. Karena P y Q, maka persamaan differensial tersebut bukanlah persamaan eksak. Namun bila x persamaan differensial tersebut dikalikan dengan 1 x2, maka akan diperoleh xdy ydx = 1 x 2 x dy y ( y ) x 2dx = d = 0 x Dalam hal ini P = y x 2 dan Q = 1 x P sehingga y = 1 Q dan x2 x = 1 x2. Artinya persamaan differensial tersebut menjadi persamaan eksak dan ( y solusinya adalah df = d = 0 atau x) y x = const.

7 cakul fi5080 by khbasar; sem Persamaan Linier Orde Dua dengan Ruas Kanan Sama dengan Nol 139 Persamaan Homogen Suatu fungsi homogen berderajat n dari x dan y adalah suatu fungsi yang dapat dituliskan dalam bentuk x n f(y/x). Misalnya fungsi x 3 xy 2 dapat dituliskan dalam bentuk x 3 [1 (y/x) 2 ] sehingga fungsi tersebut dikatakan fungsi homogen berderajat 3. Suatu persamaan homogen adalah persamaan yang berbentuk P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 (7.17) denganp danqadalahduabuahfungsihomogendenganderajatyangsama. Jika dua buah fungsi homogen dengan derajat yang sama tersebut dibagi, maka faktor x n y akan hilang dan yang tersisa adalah suatu fungsi dari x. Artinya dapat dituliskan y = dy ( y ) dx = P(x,y) Q(x,y) = f x 7.3 Persamaan Linier Orde Dua dengan Ruas Kanan Sama dengan Nol PDB yang dimaksud adalah yang berbentuk d 2 y a 2 dx +a dy 2 1 dx +a 0y = 0 (7.18) Untuk memudahkan penulisan diperkenalkan suatu operator differensial yaitu D di mana D = d dy. Artinya Dy = dx dx = y dan D 2 y = d ( ) dy = dx dx d 2 y dx = 2 y. Dengan menggunakan operator differensial D tersebut maka persamaan 7.18 dapat dituliskan dalam bentuk ( ) a 2 D 2 y +a 1 Dy +a 0 y = 0 atau a2 D 2 +a 1 D+a 0 y = 0 (7.19) Persamaan a 2 D 2 +a 1 D+a 0 = 0 disebut sebagai persamaan karakteristik dari persamaan differensial yang bersangkutan. Perhatikan bahwa persamaan karakteristik tersebut mempunyai bentuk mirip persamaan kuadrat dalam D. Jika persamaan karakteristik tersebut dapat difaktorkan dan diperoleh akarakarnya, maka solusi persamaan differensial yang bersangkutan berkaitan dengan akar-akar persamaan karakteristiknya. Misalkan persamaan karakteristik suatu PDB orde dua mempunyai akar-akar yang dapat dinyatakan sebagai D = d 1 dan D = d 2, maka solusi PDB tersebut adalah y = C 1 e d 1x +C 2 e d 2x (7.20)

8 140 Persamaan Differensial Biasa Contoh 1 Carilah solusi persamaan differensial y +5y +4y = 0. PDB tersebut dapat dituliskan menjadi (D 2 +5D+4)y = 0 Persamaan karakteristik PDB tersebut adalah D 2 +5D +4 = 0 yang dapat dituliskan juga sebagai (D + 1)(D + 4) = 0. Jadi akar-akar persamaan karakteristiknya adalah D = 1 dan D = 4. Dengan demikian solusi PDB yang dimaksud adalah y = C 1 e x +C 2 e 4x Jika persamaan karakteristik mempunyai hanya satu nilai akar, artinya d 1 = d 2, yang mana berarti persamaan karakteristiknya berbentuk (D d 1 )(D d 1 ) = 0 atau PDBnya berbentuk (D d 1 )(D d 1 )y = 0, maka solusi PDB yang berkaitan adalah y = (C 1 x+c 2 )e d 1x (7.21) Contoh 2 Tentukan solusi persamaan differensial y 6y +9y = 0. Persamaan karakteristiknya adalah D 2 6D + 9 = 0 yang berarti akarnya adalah D = 3. Sehingga solusinya adalah y = (C 1 x+c 2 )e 3x. Contoh 3 Carilah solusi persamaan differensial y +9y = 0. Persamaan karakteristiknya adalah D 2 +9 = 0. Akar-akarnya adalah d 1 = 3i dan d 2 = 3i. Dengan demikian y = C 1 e 3ix +C 2 e 3ix = C 1 (cos3x+isin3x)+c 2 (cos3x isin3x) = C 1cos3x+C 2sin3x = Csin(3x+φ) = C cos(3x+φ )

9 7.4 Persamaan Linier Orde Dua dengan Ruas Kanan Tidak Sama dengan Nol Persamaan Linier Orde Dua dengan Ruas Kanan Tidak Sama dengan Nol PDB yang dimaksud adalah yang berbentuk cakul fi5080 by khbasar; sem d 2 y a 2 dx +a dy 2 1 dx +a 0y = f(x), atau d 2 y dx + a 1 dy 2 a 2 dx + a 0 y = F(x) a 2 (7.22) Cara yang paling mudah untuk menyelesaikan PDB jenis ini adalah menggunakan integrasi berulang (successive integration). Berikut ini diberikan contohnya. Misalkan PDB yang berbentuk (D 1)(D+2)y = e x kemudian dengan memisalkan suatu variabel baru yaitu u = (D+2)y, maka persamaan differensial di atas dituliskan kembali sebagai (D 1)u = e x = u u = e x yang merupakan persamaan linier orde satu yang dapat diselesaikan dengan metode yang telah diuraikan pada bagian sebelumnya yaitu persamaan 7.9. di mana I = u = e I Pdx = Qe I dx+ce I dx = x dan Q = e x maka u = e x e x e x dx+c 1 e x = xe x +C 1 e x Kemudian karena u = (D+2)y, maka (D+2)y = xe x +C 1 e x

10 142 Persamaan Differensial Biasa Terlihat bahwa PDB tersebut sekali lagi berbentuk PDB linier orde satu dan dapat kembali diselesaikan dengan cara serupa. Kali ini Q = xe x +C 1 e x dan P = 2, berarti I = P dx = 2dx = 2x y = e 2x Qe I dx+c 2 e 2x = e 2x e 2x (xe x +C 1 e x )dx+c 2 e 2x = 1 3 xex 1 9 ex C 1e x +C 2 e 2x = 1 3 xex +C 1e x +C 2 e 2x Bagian 1 3 xex disebut solusi partikular (particular solution) sedangkan yang mengandung konstanta sembarang yaitu (C 1e x +C 2 e 2x ) dinamakan fungsi komplementer (complementary function) dari PDB yang bersangkutan. Perhatikan bahwa solusi PDB orde dua haruslah mempunyai dua buah konstanta sembarang(padacontohdiataskeduakonstantatersebutadalahc 1 danc 2 ). Kedua konstanta sembarang ini tercakup dalam fungsi komplementer PDB tersebut. Cara integrasi berulang umumnya dapat digunakan untuk berbagai PDB linier orde dua dengan ruas kanan tidak sama dengan nol. Hanya saja seringkali cara ini membutuhkan waktu yang lama dan proses yang panjang. Cara yang lainnya yang dapat digunakan adalah dengan terlebih dahulu mencari fungsi komplementer, y c. Fungsi komplementer diperoleh bila ruas kanan PDB orde dua tersebut sama dengan nol (sebagaimana telah dibahas pada bagian terdahulu). Setelah itu perlu juga dicari solusi partikular, y p. Bila y c dan y p telah diperoleh maka solusi lengkap PDB yang bersangkutan dapat diperoleh dengan menjumlahkan keduanya, artinya y = y c +y p (7.23) Bentuk solusi y p bergantung pada bentuk fungsi F(x). Fungsi komplementer dapat diperoleh dengan cara yang telah diuraikan pada bagian terdahulu (lihat 7.3). Yang menjadi masalah adalah bagaimana memperoleh solusi partikular tersebut? Berikut ini akan diuraikan beberapa cara memperoleh solusi partikular untuk beberapa bentuk fungsi F(x).

11 7.4 Persamaan Linier Orde Dua dengan Ruas Kanan Tidak Sama dengan Nol 143 F(x) berbentuk ke cx Dari contoh sebelumnya terlihat bahwa solusi partikular yang mungkin adalah berbentuk eksponensial. Tinjau persamaan differensial(d 1)(D+5)y = 7e 2x. Fungsi komplementer PDB ini adalah y c = Ae x + Be 5x. Misalkan solusi partikularnya berbentuk y p = Ce 2x. Bila solusi partikular ini disubstitusikan ke PDB tersebut maka akan diperoleh cakul fi5080 by khbasar; sem (D 1)(D+5)y p = 7e 2x y p +4y p 5y p = C(4e 2x +8e 2x 5e 2x ) = 7e 2x Dengan demikian solusi lengkapnya adalah C(7e 2x ) = 7e 2x = C = 1 y = y c +y p = Ae x +Be 5x +e 2x Secara umum bentuk solusi partikular yang dapat dicoba bergantung pada nilai c dan akar-akar karakteristik PDB orde dua. Misalkan akar-akar karakteristik PDB orde dua yang dimaksud adalah a dan b, maka solusi partikular yang dapat dicoba adalah Ce cx jika c a dan c b y p = Cxe cx jika c = a atau c = b,di mana a b (7.24) Cx 2 e cx jika c = a = b F(x) berbentuk fungsi harmonik (sinus atau cosinus) Perlu diingat bahwa fungsi harmonik dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi kompleks. Untuk memperoleh solusi partikular dari PDB yang berbentuk { ksinαx (D a)(d b)y = (7.25) kcosαx maka pertama-tama selesaikan dahulu persamaan (D a)(d b)y = ke iαx, kemudian ambil bagian real atau imajinernya. Contoh Tentukan solusi partikular dari persamaan differensial y +y 2y = 4sin2x. Tinjau PDB y +y 2y = 4e i2x. Akar-akar karakteristik PDB ini adalah 1

12 144 Persamaan Differensial Biasa dan 2. Berarti dapat dicoba solusi partikular yang berbentuk Y p = Ce i2x. Substitusi Y p ke PDB tersebut memberikan ( 4+2i 2)Ce i2x = 4e i2x = C = 1 5 (i+3) berarti Y p = 1 5 (i+3)ei2x = 1 5 iei2x 3 5 ei2x = 1 5 (icos2x sin2x) 3 5 (cos2x+isin2x) ( 1 = 5 sin2x 3 ) 5 cos2x +i ( 15 cos2x 35 ) sin2x Karena 4sin2x adalah bagian imajiner dari 4e i2x, maka solusi partikular untuk PDB tersebut adalah bagian imajiner dari Y p, artinya y p = Im(Y p ) = 1 5 cos2x 3 5 sin2x F(x) berbentuk perkalian polinom dan eksponensial Bentuk lain fungsi F(x) yang umum ditemui adalah gabungan (perkalian) antarafungsieksponensialdenganpolinom, artinyaf(x) = e cx P n (x)dimana P n (x) adalah polinom berderajat n. Solusi partikular dari PDB (D a)(d b)y = e cx P n (x) adalah e cx Q n (x) jika c a,c b y p = xe cx Q n (x) jika c = a atau c = b, di mana a b (7.26) x 2 e cx Q n (x) jika c = a = b di mana Q n (x) adalah polinom berderajat sama dengan P n (x) dan yang memenuhi PDB yang dimaksud. Metode ini dinamakan juga metode undetermined coefficients. Contoh Tentukan solusi partikular dari persamaan differensial (D 1)(D + 2)y = 18xe x. Dalam hal ini P n (x) = 18x dan c = a = 1, maka solusi partikular yang dapat dipilih adalah berbentuk y p = xe x Q n (x). Karena P n (x) berderajat

13 7.4 Persamaan Linier Orde Dua dengan Ruas Kanan Tidak Sama dengan Nol 145 satu, maka polinom Q n (x) adalah juga polinom berderajat satu, sehingga dapat dimisalkan berbentuk Q n (x) = Ax+B. Selanjutnya y p = xe x (Ax+B) y p = e x (Ax 2 +Bx+2Ax+B) y p = e x (Ax 2 +Bx+4Ax+2B +2A) y p +y p 2y p = e x (6Ax 2 +3B +2A) = 18xe x yang memberikan A = 3,B = 2 cakul fi5080 by khbasar; sem Dengan demikian diperoleh y p = (3x 2 2x)e x. F(x) berbentuk gabungan (polinom, eksponensial dan fungsi harmonik) Jika ruas kanan PDB orde dua tersebut merupakan fungsi yang terdiri dari superposisi (penjumlahan) fungsi-fungsi lainnya (polinom + eksponensial + harmonik), maka dapat digunakan prinsip superposisi untuk memperoleh solusi partikularnya. Misalnya F(x) = F 1 (x) + F 2 (x) + F 3 (x), maka solusi partikularnya adalah y p = y p1 +y p2 +y p3 (7.27) di mana y p1, y p2 dan y p3 masing-masing adalah solusi partikular dari F 1 (x), F 2 (x) dan F 3 (x). Contoh Tentukansolusipartikularpersamaandifferensialy +y 2y = e x +4sin2x+ (x 2 x) Dalam hal ini dapat dinyatakan bahwa F(x) merupakan superposisi dari tiga macam fungsi, yaitu F 1 (x) = e x, F 2 (x) = 4sin2x dan F 3 (x) = x 2 x. Dengan metode-metode yang telah diuraikan sebelumnya dapat diperoleh y p1 = 1 3 xex y p2 = 1 5 cos2x 3 5 sin2x y p3 = 1 2 (x2 +1) = y p = 1 3 xex 1 5 cos2x 3 5 sin2x 1 2 (x2 +1)

14 146 Persamaan Differensial Biasa 7.5 Transformasi Laplace Pada BAB sebelumnya telah sempat disinggung mengenai transformasi Fourier yang merupakan representasi suatu fungsi dalam domain yang berbeda. Terdapat transformasi lainnya yang juga cukup penting dan berguna dalam penyelesaian persamaan differensial, yaitu transformasi Laplace. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai L(f) = 0 f(t)e pt dt (7.28) Misalkan suatu fungsi didefinisikan sebagai f(t) = e at, maka bila fungsi ini ditransformasikan menggunakan transformasi Laplace akan diperoleh L(f) = = 0 0 e at e pt dt e (a+p)t dt = e (a+p)t (a+p) 0 = 1 a+p Pada Tabel 7.1 diberikan transformasi Laplace untuk beberapa fungsi sederhana. Transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan differensial Tinjau suatu fungsi y(t) yang turunan pertamanya dinyatakan dengan y dan turunan keduanya dinyatakan dengan y. Transformasi Laplace dari y dapat diperoleh sebagai berikut L(y ) = y (t)e pt dt = e pt y(t) ( p) y(t)e pt dt 0 (7.29) 0 0 = y(0)+pl(y) = pl(y) y 0 Kemudian dengan menggunakan persamaan tersebut di atas dapat pula diperoleh transformasi Laplace dari y, yaitu L(y ) = pl(y ) y (0) = p(pl(y) y 0 ) y (0) (7.30) = p 2 L(y) py 0 y 0

15 7.5 Transformasi Laplace 147 Transformasi Laplace untuk turunan orde yang lebih tinggi dapat diperoleh dengan cara yang serupa. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk mencari solusi persamaan differensial. Langkahnya adalah mentransformasikan persamaan differensial tersebut kemudian memasukkan syarat awal dan selanjutnya adalah melakukan invers transformasi Laplace. Contoh cakul fi5080 by khbasar; sem Tentukan solusi persamaan differensial y +4y +4y = t 2 e 2t yang memenuhi syarat awal y 0 = 0 dan y 0 = 0. Bila PDB tersebut ditransformasi-laplacekan maka akan diperoleh L(y +4y +4y) = L ( t 2 e 2t) p 2 L(y) py 0 y pL(y) 4y 0 +4L(y) = (p+2) 3 (p p+4)L(y) = (p+2) 3 2 L(y) = (p+2) 5 Kemudian untuk memperoleh bentuk fungsi y yang merupakan solusi PDB tersebut dilakukan invers transformasi Laplace [ ] y(t) = L 1 2 = 2t4 e 2t (p+2) 5 12

16 148 Persamaan Differensial Biasa Tabel 7.1: Transformasi Laplace untuk beberapa fungsi sederhana. No f(t) L(f) = 0 f(t)e pt dt Ketr p Re (p) > 0 2 e at 1 p+a Re (p+a) > 0 3 sin at 4 cos at a p 2 +a 2 p p 2 +a 2 Re (p) > Im (a) Re (p) > Im (a) 5 t k, k > 1 6 t k e at, k > 1 k! p k+1 Re (p) > 0 k! (p+a) k+1 Re (p+a) > 0 7 e at e bt b a 1 (p+a)(p+b) Re (p+a) > 0 8 ae at be bt b a 9 sinh at 10 cosh at 11 tsinat 12 tcosat 13 e at sinbt 14 e at cosbt p (p+a)(p+b) Re (p+b) > 0 a p 2 a 2 Re p > Re a p p 2 a 2 Re p > Re a 2ap (p 2 +a 2 ) 2 Re p > Im a p 2 a 2 (p 2 +a 2 ) 2 Re p > Im a b (p+a) 2 +b 2 Re (p+a) > Im b p+a (p+a) 2 +b 2 Re (p+a) > Im b 15 1 cosat a 2 p(p 2 +a 2 ) Re (p) > Im a

17 7.5 Transformasi Laplace 149 cakul fi5080 by khbasar; sem No f(t) L(f) = f(t)e pt dt Ketr. 16 at sinat 17 sinat atcosat 18 e at (1 at) sinat t 1 t sinatcosbt, 1 2 a > 0,b > 0 e at e bt t 0 a 3 p 3 (p 2 +a 2 ) Re (p) > Im a 2a 3 (p 2 +a 2 ) 2 Re (p) > Im a p (p+a) 2 Re (p+a) > 0 arctan a p arctan a+b p + 1 a b arctan 2 p ln p+b p+a Re (p) > Im a Re (p) > 0 Re (p+a) > 0 dan Re (p+b) > 0

Persamaan Di erensial Orde-2

Persamaan Di erensial Orde-2 oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN

BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN Kompetensi Mahasiswa mampu 1. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode koefisien tak tentu 2. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode variasi

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan

Lebih terperinci

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Kompetensi Mahasiswa diharapkan: 1. Mengenali bentuk PD orde satu dengan variabel terpisah dan tak terpisah.. Dapat mengubah bentuk PD tak terpisah menjadi terpisah

Lebih terperinci

BAB PDB Linier Order Satu

BAB PDB Linier Order Satu BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Kompetensi Mahasiswa diharapkan: 1. Mengenali bentuk PD orde satu dengan variabel terpisah dan tak terpisah.. Dapat mengubah bentuk PD tak terpisah menjadi terpisah

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: = f(x, y) M(x, y) + N(x, y) = 0 Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika

Lebih terperinci

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai

Lebih terperinci

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. 1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab

Lebih terperinci

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika PDB dapat disusun dalam bentuk,

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN KALKULUS S- Teknik Industri Outline Integral Parsial Integral Fungsi Trigonometri Substitusi Trigonometri Integral Fungsi Rasional . Integral Parsial Formula Integral Parsial : u

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa. Rippi Maya

Persamaan Diferensial Biasa. Rippi Maya Persamaan Diferensial Biasa Rippi Maya Maret 204 ii Contents PENDAHULUAN. Solusi persamaan diferensial..................... 2.. Solusi Implisit dan Solusi Eksplisit............. 2..2 Solusi Umum dan Solusi

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Persamaan Diferensial Orde II [MA4] PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan

Lebih terperinci

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan

Lebih terperinci

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde II Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Persamaan Diferensial Orde II PDB Orde II Bentuk umum : y + p(x)y + g(x)y = r(x) p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - II c. Metoda Persamaan Differensial Pasti (Exact) Pada kalkulus bahwa jika suatu fungsi u(x,y) mempunyai turunan parsial yang sifatnya kontinyu, turunan pasti

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Non Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Non Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Solusi umum merupakan jumlah

Lebih terperinci

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3 Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 23 April 2014

Hendra Gunawan. 23 April 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 23 April 2014 Kuliah ang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan

Lebih terperinci

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial Order

Lebih terperinci

BAB III PD LINIER HOMOGEN

BAB III PD LINIER HOMOGEN BAB III PD LINIER HOMOGEN Kompetensi Mahasiswa diharapkan. Mampu menentukan selesaian umum dari PD linier homogen orde dua dengan jenis akarakar karakteristik yang berbeda-beda. Memahami pengertian kebebaslinieran

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,

Lebih terperinci

MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1 Persamaan diferensial orde satu Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tujuan Pembelajaran Umum: 1 Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial 2 Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT

Lebih terperinci

Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel

Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel Adalah : hubungan antara variabel bebas, variabel Bentuk Umum : bebas dan turunanna. d d F(,,, n d,..., ) n Persamaan differensial (PD) menatakan hubungan dinamik, maksudna hubungan tersebut memuat besaran

Lebih terperinci

disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Persamaan Diferensial Febrizal, MT Pendahuluan Persamaandiferensial i merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suku suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya.

Lebih terperinci

BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER

BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Bentuk umum PD orde-n adalah PD yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier. Contoh: Jika F(x) pada persamaan (3.1) sama dengan nol maka

Lebih terperinci

BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx +

BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx + BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx + N(x y) = 0 (2.1) 2.1.1 PDB Eksak

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Konsep Dasar dan Pembentukan (Differential : Basic Concepts and Establishment ) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan

Lebih terperinci

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018 Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa

Lebih terperinci

BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA

BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA Jika dari suatu fungsi kita dapat memperoleh turunannya, bagaimana mengembalikan turunan suatu fungsi ke fungsi semula? Operasi semacam ini disebut operasi balikan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan

Lebih terperinci

PROPOSAL TUGAS AKHIR PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN OLEH : IRMA ISLAMIYAH

PROPOSAL TUGAS AKHIR PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN OLEH : IRMA ISLAMIYAH PROPOSAL TUGAS AKHIR PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN OLEH : IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056 JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq

MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran

Lebih terperinci

4. Dibawah ini persamaan diferensial ordo dua berderajat satu adalah

4. Dibawah ini persamaan diferensial ordo dua berderajat satu adalah Pilihlah jawaban yang benar dengan cara mencakra huruf didepan jawaban yang saudara anggap benar pada lembar jawaban 1. Dibawah ini bentuk persamaan diferensial biasa linier homogen adalah a. y + xy =

Lebih terperinci

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN

Lebih terperinci

Pertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1.

Pertemuan Kesatu. Matematika III. Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si. Page 1. Pertemuan Kesatu Matematika III Oleh Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si Page 1 Materi 1. Persamaan Diferensial Orde I Pengenalan bentuk dasar Pers. Diff. Orde I. Definisi Derajat,Orde. Konsep Pemisahan

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Pengantar Metode Perturbasi Bab 4. Ekspansi Asimtotik pada Persamaan Diferensial Biasa

Pengantar Metode Perturbasi Bab 4. Ekspansi Asimtotik pada Persamaan Diferensial Biasa Pengantar Metode Perturbasi Bab 4. Ekspansi Asimtotik pada Persamaan Diferensial Biasa Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas PAM 454 KAPITA SELEKTA MATEMATIKA TERAPAN II Semester

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi

Lebih terperinci

TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 2016/2017

TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 2016/2017 A. Pengantar Persamaan Diferensial TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 016/017 1. Tentukan hasil turunan dari fungsi sebagai berikut: a. f() = c e b. f() = c cos k + c sin k c.

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LAPLACE. Matematika Lanjut 2. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma

TRANSFORMASI LAPLACE. Matematika Lanjut 2. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2 Definisi: Transformasi Laplace adalah transformasi dari suatu fungsi waktu f(t), t menjadi fungsi frekuensi F(s). Transformasi dilakukan dengan operasi perkalian

Lebih terperinci

STATISTIK PERTEMUAN VI

STATISTIK PERTEMUAN VI STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )

Lebih terperinci

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen orde-2 Solusi PD pada PD Linier Tak Homogen ditentukan dari solusi umum PD Linier Homogen dan PD Linier Tak Homogen.

Lebih terperinci

Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb

Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Mata Kuliah :: Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XII Differensial e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 PENDAHULUAN Persamaan diferensial

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I. Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat) Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatifderivatif (turunan) sekurang-kurangnya derivatif

Lebih terperinci

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +

Lebih terperinci

Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =

Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A = Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem1 2010-2011 Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi

Lebih terperinci

HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS. DOSEN Efendi, M.Si. BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.

HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS. DOSEN Efendi, M.Si. BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M. HANDOUT PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PDB 4)SKS DOSEN Efendi, M.Si BUKU)REFERENSI: )Persamaan )Diferensial)oleh)Dr.St. Budi Waluya, M.Si Daftar Isi 1 Pengantar Persamaan Diferensial 1 1.1 Pendahuluan...............................

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 - II

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 - II PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE - II.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan Suatu persamaan linier homogen y + ay + by = 0 (1) mempunyai koefisien a dan b adalah konstan. Persamaan ini mempunyai

Lebih terperinci

AB = c, AC = b dan BC = a, maka PQ =. 1

AB = c, AC = b dan BC = a, maka PQ =. 1 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 9. Jika a, b, maka pernyataan di bawah ini yang benar adalah A. B. a b ab C. ab b a D. ab ab E. ab ab ab b a karena pada jawaban terdapat ab maka selesaikan

Lebih terperinci

dy = f(x,y) = p(x) q(y), dx dy = p(x) dx,

dy = f(x,y) = p(x) q(y), dx dy = p(x) dx, 5. Persamaan Diferensian Dengan Variabel Terpisah Persamaan diferensial berbentuk y = f(), dengan f suatu fungsi kontinu pada suatu interval real, dapat dicari penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Darmawijoyo Persamaan Diferensial Biasa Suatu Pengantar FKIP-UNSRI Untuk istriku tercinta Nelly Efrina dan anak-anakku tersayang, Yaya, Haris, dan Oji. Pendahuluan Buku Persamaan Diferensial Suatu Pengantar

Lebih terperinci

BAB I PENGERTIAN DASAR

BAB I PENGERTIAN DASAR BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.

Lebih terperinci

Kalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi

Kalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi Kalkulus Diferensial week 09 W. Rofianto, ST, MSi Tingkat Perubahan Rata-rata Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam Konsep Diferensiasi Bentuk y/ disebut difference

Lebih terperinci

Bab 16. Model Pemangsa-Mangsa

Bab 16. Model Pemangsa-Mangsa Bab 16. Model Pemangsa-Mangsa Pada Bab ini akan dipelajari model matematis dari masalah dua spesies hidup dalam habitat yang sama, yang dalam hal ini keduanya berinteraksi dalam hubungan pemangsa dan mangsa.

Lebih terperinci

JENIS JENIS FUNGSI 2. Gambar. Jenis Fungsi. mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n

JENIS JENIS FUNGSI 2. Gambar. Jenis Fungsi. mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Telkom University Alamanda JENIS JENIS FUNGSI1 JENIS JENIS FUNGSI 2 Jenis Fungsi Gambar 1. FUNGSI POLINOM mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n 2.

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

BAB III KONDUKSI ALIRAN STEDI - DIMENSI BANYAK

BAB III KONDUKSI ALIRAN STEDI - DIMENSI BANYAK BAB III KONDUKSI ALIRAN SEDI - DIMENSI BANYAK Untuk aliran stedi tanpa pembangkitan panas, persamaan Laplacenya adalah: + y 0 (6-) Aliran kalor pada arah dan y bisa dihitung dengan persamaan Fourier: q

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian

Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam

Lebih terperinci

Regresi Linier. Metode Numerik POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

Regresi Linier. Metode Numerik POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Regresi Linier Metode Numerik Zulhaydar Fairozal Akbar zfakbar@pens.ac.id 2017 TOPIK Pengenalan

Lebih terperinci

HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL

HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL Dra.Sri Rejeki Dwi Putranti, M.Kes. Fakultas Teknik - Universitaas Yos Soedarso Surabaya Email : riccayusticia@gmail.com Abstrak Hubungan antara Differensial dan

Lebih terperinci

Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2

Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 Nurdininta Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 2 PDB ORDE II Bentuk umum : + p() + g() = r() p(), g() disebut koefisien jika r() = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebalikna disebut

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Tujuan Instruksional: Mampu memahami definisi Persamaan Diferensial Mampu memahami klasifikasi Persamaan Diferensial Mampu memahami bentuk bentuk solusi Persamaan

Lebih terperinci

BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU

BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU Budiyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Abstrak Untuk mengetahui peranan matematika dalam

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE SATU Tujuan Instruksional: Mampu memahami dan menyelesaikan PD orde-1 dg integrasi langsung, pemisahan variael. Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan

Lebih terperinci

Bab 3 Fungsi Elementer

Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

REKAYASA GEMPA GETARAN BEBAS SDOF. Oleh Resmi Bestari Muin

REKAYASA GEMPA GETARAN BEBAS SDOF. Oleh Resmi Bestari Muin MODUL KULIAH REKAYASA GEMPA Minggu ke 3 : GETARAN BEBAS SDOF Oleh Resmi Bestari Muin PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL dan PERENCANAAN UNIVERSITAS MERCU BUANA 010 DAFTAR ISI DAFTAR ISI i III GERAK

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan

BAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

Transformasi Laplace BDA, RYN MATERI KULIAH KALKULUS TEP FTP UB

Transformasi Laplace BDA, RYN MATERI KULIAH KALKULUS TEP FTP UB Transformasi Laplace BDA, RYN Referensi Desjardins S J, Vaillancourt R, 11, Ordinary Differential Equations Laplace Transforms and Numerical Methods for Engineers, University of Ottawa, anada. Poularikas

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut : Kumpulan Soal-Soal Diferensial 1. Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2) 4 +(4x-1) 3 adalah... Jawab: misalnya : f (x) = y = (3x-2) 4 misal U = (3x-2) du/dx = 3 dy/dx = n.u n-1. du/dx = 4. (3x-2) 4-1.3

Lebih terperinci

Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama)

Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Dalam hal ini diberikan dua spesies yang hidup bersama dalam suatu habitat tertutup. Kita ketahui bahwa terdapat beberapa jenis hubungan interaksi

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema,

BAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa hal yang menjadi landasan dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,

Lebih terperinci