PRAKTIKUM 13 PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR

Transkripsi

1 PRAKTIKUM 13 PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR Dalam bab ini kita akan menggunakan Matlab untuk menyelesaikan persamaan aljabar. Kita akan mulai dengan menyelesaikan persamaan sederhana (persamaan dengan satu variabel) dan sistem persamaan. Penyelesaian Persamaan Aljabar Kita akan mulai dengan persamaan sederhana yang mana kita sudah tahu jawabannya dengan mudah. x 2=0 Dengan mudah kita tahu bahwa jawaban yang memenuhi persamaan tersebut adalah x=2. Apabila persamaan tersebut diselesaikan dengan Matlab >> x=solve('x-2=0') x = 2 Matlab juga dapat menyelesaikan persamaan yang melipatkan beberapa simbol. Sebagai contoh, kita dapat memperoleh harga variabel untuk persamaan yang melibatkan konstanta a yaitu ax 3=0 >> x=solve('a*x+3') x = -3/a Tetapi ada cara lain untuk menyatakan simbol mana yang akan dipecahkan. Cara ini dapat dilakukan dengan sintaks solve(persamaan,variabel). Sebagai contoh, apabila kita ingin menyelesaikan persamaan ax 3=0 dimana variabel yang akan diketahui adalah a maka dapat dituliskan

2 >> x=solve('a*x+3','a') x = -3/x Penyelesaian Persamaan Kuadratik Matlab dapat pula menyelesaikan persamaan kudratik maupun persamaan dengan orde lebih tinggi. Cara persis sama dengan cara sebelumnya. Contoh jika kita ingin menyelesaikan persmaan x 2 4 x 8=0, maka dapat dilakukan dengan >> s= solve('x^2-4*x-8') [ 2+2*3^(1/2)] [ 2-2*3^(1/2)] Setiap akar dari persamaan yang telah dipecahkan disimpan oleh Matlab sebagai s(1), s(2), s(3)... s(n) sesuai dengan jumlah akar persamaannya. Dimungkinkan pula untuk menyimpan sebuah persamaan ke dalam sebuah variabel, kemudian kita gunakan variabel tersebut untuk dipecahkan. >> d='x^4-4*x^2-8=0'; >> solve(d) [ (2+2*3^(1/2))^(1/2)] [ -(2+2*3^(1/2))^(1/2)] [ (2-2*3^(1/2))^(1/2)] [ -(2-2*3^(1/2))^(1/2)] Mengeplot Persamaan Simbolik Matlab dapat membangkitkan grafik persamaan simbolik yang kita masukkan dengan perintah ezplot. Sebagai contoh jika kita ingin mengeplot grafik dari fungsi x 2 4 x 8 maka dengan mudah, yaitu >> d=('x^2-4*x-8');

3 >> ezplot(d) Gambar 7.1 Grafik simbolik fungsi dengan perintah ezplot. Untuk mengeset domain pada sumbu x, kita dapat melakukan dengan perintah ezplot(f,[x1 x2]) Gambar 7.2 Grafik simbolik fungsi dengan domain pada sumbu x yang diset manual. Disamping kita dapat menentukan range ploting grafik pada sumbu x, ita

4 juga dapat menentukan range ploting pada kedua sumbu y. Jika kedua sumbu kita tentukan rangenya misalnya 4 x 8 dan 13 y 15 maka >> d=('x^2-4*x-8'); >> ezplot(d,[-4,8,-13,15]) Gambar 7.3 Grafik simbolik fungsi dengan domain pada sumbu x dsn y yang diset manual. Tetapi, ingat bahwa kita tidak dapat mengeplot grafik simbolik fungsi dengan cara menuliskan persamaannya misalnya 'x^2-4*x-8=0'. Jika ini yang kita lakukan maka tentu saja akan muncul pesan kesalahan. >> d=('x^2-4*x-8=0'); >> ezplot(d)??? Error using ==> inlineeval Error in inline expression ==> x.^2-4.*x-8=0??? Error: "End of Input" expected, "=" found. Contoh 7.1 Dapatkan akar persamaan nonlinier x 4 2 x 2 10 =0 dan plot grafiknya. Selanjutnya tentukan nilai numerik dari akar-akar tersebut. Penyelesaian

5 Pertama, kita buat terlebih dahulu bentuk fungsi yang akan diplot dan disimpan dalam variabel d. Setelah itu kita panggil ezplot untuk mengeplot fungsi. Untuk menuliskan 10 dalam perintah Matlab, kita bisa menggunakan sqrt(10) atau 10^(1/2) (Ingat... jangan dituliskan dengan 10^1/2). >> d='x^4+2*x^2-sqrt(10)'; >> s=solve(d) s = [ (-1+(1+10^(1/2))^(1/2))^(1/2)] [ -(-1+(1+10^(1/2))^(1/2))^(1/2)] [ i*(1+(1+10^(1/2))^(1/2))^(1/2)] [ -i*(1+(1+10^(1/2))^(1/2))^(1/2)] >> ezplot(d) >> double(s(1)) >> double(s(2)) >> double(s(3)) i >> double(s(4)) i

6 Gambar 7.4 Plot grafik fungsi simbolik Sistem Persamaan Apabila kita memiliki beberapa persamaan simultan linier, misalnya 2 x 5 y=10 5 x 2 y=5 Untuk menyelesaikan dua persamaan linier tersebut kita gunakan perintah solve dengan cara >> q=solve('2*x-5*y=10','5*x+2*y=5'); Sedangkan untuk memperoleh jawaban yaitu variabel x dan y yang memenuhi kedua persamaan itu, maka caranya >> x=q.x x = 45/29 >> y=q.y y = -40/29

7 Penyelesaian Fungsi Eksponensial dan Logaritma Apa yang sudah kita bicarakan di atas adalah bagaimana menyelesaikan fungsi yang berbentuk polinomial. Matlab juga dapat menangani fungsi yang melibatkan eksponensial maupun logaritma. Contoh Dapatkan x yang memenuhi persamaan ln x ln x 5 =4 Penyelesaian Pernyataan logaritma yang kita gunakan dalam persamaan diatas berarti logaritma basis 2, sehingga dapat diselesaikan dengan Matlab >> d='log(x)-log(x-5)=4'; >> s=solve(d); >> s(1) 5*exp(4)/(-1+exp(4)) Matlab juga dapat menyelesaikan persamaan yang melibatkan bentuk eksponensial, misalnya y=e 2x x Jika diselesaikan dengan Matlab, maka dengan mudah hasilnya akan diperoleh >> d='exp(2*x)+x=0'; >> s=solve(d) s = -1/2*lambertw(2) >> double(s)

8 Deret Fungsi Salah satu kemampuan yang dimilki oleh Matlab adalah mampu menderetkan fungsi. Untuk menderetkan fungsi dengan deret Taylor, perintahnya cukup dengan taylor(). >> syms x >> taylor(cos(x)) 1-1/2*x^2+1/24*x^4 Dengan perintah ini, kita dapat memesan sampai berapa suku deret yang diinginkan. Sebagai contoh, jika kita menginkan 15 suku deret fungsi exp(x): >> syms x >> s=taylor(exp(x),15) s = 1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5+1/720*x^6+1/5040*x^7+1/4 0320*x^8+1/362880*x^9+1/ *x^10+1/ *x^11+1/ *x^12+1/ *x^13+1/ *x^14 Gambar 7.6. Plot grafik lima suku deret fungsi cos(x)

9 Menghitung Limit Fungsi Matlab memiliki kemampuan untuk menghitung limit dari sebuah fungsi dengan perintah limit. Sebagai contoh, >> syms x; lim x >> f=x^3+3*x^2-4*x+10; x 3 3 x 2 4 x 10 2 x 3 10 x 2 4 x 10 >> g=2*x^3+10*x^2-4*x+10; >> limit(f/g,inf) ½ Contoh 7-1. Dapatkan hasil limit dari ungkapan lim x x 3 3 x 2 4 x 10 2 x 3 10 x 2 4 x 10

10 INTEGRASI NUMERIK DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Integrasi Numerik Integral fungsi f x dalam ranah a x b dapat diintepretasikan sebagai luas daerah dibawah kurva f x yang membentang dari x=a hingga x=b. Drawing 1: Dalam hal ini f x disebut integrand, x=a disebut batas bawah integral dan x=b disebut batas atas integral sedangkan x adalah variabel integral. Percepatan dan kecepatan benda. Kecepatan suatu benda pada saat t detik dengan kecepatan awal v 0 dapat dinyatakan sebagai t v t = a t t v 0 0 Kecepatan dan jarak benda Jarak yang ditempuh oleh benda setelah bergerak dari t=a hingga

11 t=b dan posisi awal ada di s(a) ketikan t=a dinyatakan sebagai b s t = v t t s a a Kapasitor, tegangan dan arus Muatan Q yang melewati dalam sebuah kapasitor merupakan integral dari arus yang dikenakan melalui kapasitor tersebut. Jika mula-mula kapasitor membawa muatan Q(a), kemudian arus dilewatkan melalui kapasitor dari t=a hingga t=b, maka tegangan kapasitor v adalah b v b = 1 C [ a i t dt Q a ] dimana C menyatakan kapasitansi dari kapasitor. Usaha Usaha yang dilakukan oleh sebuah benda yang dikenai gaya F x dan bergeser sejauh d dapat dinyatakan oleh d W = F x dx 0 Untuk pegas linier gaya F x dinyatakan oleh F x =k x, dengan k adalah konstanta pegas. Kerja yang dilakukan terhadap pegas selanjutnya maka d W = k x dx 0 Integral memiliki sifat linier. Apabila c dan d bukan merupakan fungsi x, b a b [c f x d f x ]dx=c a b f x dx d a f x dx

12 Integrasi Numerik Metode Trapesium Sebagaimana namanya, metode trapezium merupakan metode integrasi numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium. Apabila sebuah integral didekati dengan metode trapesium dengan satu segmen saja, maka dapat dituliskan sebagai b a f x dx= b a 2 [ f a +f b ]+E Suku pertama pada ruas kanan adalah aturan trapezium yang kita maksudkan, sedangkan suku kedua yang dinyatakan dengan E adalah kesalahan yang dimiliki oleh metode ini. Dengan demikian kita memperoleh pendekatan integral dengan teknik integrasi trapesium adalah (3-3) x 0 h x 0 f t dt h 2 [ f x 0 f x 0 h ] Secara grafis integrasi trapesium dapat digambarkan seperti pada gambar h Gambar 3.2. Deskripsi secara grafis aturan trapesium

13 Matlab menyediakan beberapa fungsi integrasi yang dapat digunakan untuk memperoleh hasil pendekatan numerik dari ungkapan integral. Beberapa fungsi integrasi yang disediakan Matlab ditampilkan pada Tabel 9.1 Perintah trapz(x,y) Deskripsi Perintah ini digunakan untuk menghitung integral fungsi y terhadap x dengan pendekatan integrasi numerik aturantrapesium, dimana larik y berisi nilai fungsi yang besesuaian dengan titik x quad('myfunction',a,b,tol) Perintah ini digunakan untuk menghitung integral fungsi bernama 'myfunction' berdasarkan aturan Simpson dengan batas bawah integrasi a dan batas atas b serta tol adalah harga toleransi yang diberikan. quadl('myfunction',a,b,tol) Perintah ini digunakan untuk menghitung integral fungsi berdasarkan pada integrasi kuadratur Labato. Sedangkan a,b dan tol sama dengan quad. dblquad('fun',xmin,xmax, ymin,ymax,tol) Digunakan untuk menghitung integral ganda dari fungsi 'fun' dengan xmin dan xmax masingmasing adalah batas bawah dan atas pada sumbu x, sedangkan ymin dan ymax masing-masing adalah batas bawah dan batas atas pada sumbu y. sedangkan tol adalah toleransi yang bisa diset. triplequad('fun',xmin,xma Fungsi ini digunakan untuk menghitung integrasi

14 x,ymin,ymax,zmin,zmax,to numerik ganda tiga dari fungsi 'fun' dengan xmin, l) ymin dan zmin masing-masing adalah batas bawah untuk sumbu x,y dan z serta xmax, ymax dan zmax masing-masing adalah batas atas integrasi untuk sumbu x,y dan z. Contoh Penyelesaian Contoh 1 Dapatkan hasil pendekatan integral dari x cos x dx. 0 >> x=linspace(0,1,100); >> y=x-cos(x); >> plot(x,y) >> trapz(x,y) Sebuah akselerometer digunakan untuk mengukur percepatan pesawat terbang. Dimisalkan pesawat dari keadaan diam pada t=0 dan dicatat percepatannya setiap waktu seperti terlihat pada Tabel 9.2 Tabel 9.2 Percepatan pada setiap waktu yang diukur dengan akselerometer. Waktu Percepatan (m/s 2 ) (a) Perkirakan kecepatan pesawat setelah detik ke t=7. (b) Perkirakan kecepatan pesawat pada saat t=1,2,3,...,7 Penyelesaian (a) Untuk menyelesaikan masalah ini, kita tidak dapat menggunakan fungsi quad atau quadl, karena integrand berupa data diskret. Oleh sebab itu,

15 kita hanya dapat menggunakan fungsi trapz. Hubungan antara kecepatan dan percepatan adalah 7 v 10 = 0 7 a t dt v 0 = a t dt 0 >> t=[0:7]; >> a=[0,2,4,7,20,23,40,55]; >> v=trapz(t,a) (b) Untuk memperoleh kecepatan pada saat t=1,2,3,...,7, maka ungkapan integral yang cocok adalah t k v t k = t 1 t k a t dt v 1 = a t dt t 1 Ingat bahwa Matlab tidak mengenal indeks 0, sehingga k bergerak mulaidari 1 hingga 11 dimana t 1 =0 dan t 8 =7. Jika dinyatakan dalam pemrograman Matlab, t=[0:7]; a=[0,2,4,7,20,23,40,55]; v(1)=0; for i=2:8 end v(i)=trapz(t(1:i),a(1:i)) disp([t' v']); Bisa pula programnya dibuat lebih sederhana menjadi t=[0:7]; a=[0,2,4,7,20,23,40,55]; v(1)=0; for i=1:7

16 v(i+1)=trapz(t(i:i+1),a(i:i+1))+v(i); end disp([t' v']); Hasil running programnya seperti diperlihatkan pada tabel di bawah ini Metode Simpson 1/3 Dalam pembahasan tentang metode numerik, metode integrasi trapesium dapat mendapatkan secara eksak jika integrand berupa fungsi yang linier. Tetapi bagaimana jika fungsi integrand berwujud fungsi kuadratik. Jika fungsi integrand berupa polinomial orde dua (kuadratik), maka metode Simpson 1/3 dapatdi terapkan untuk memperoleh harga yang eksak. Metode Simpson dapat digambarkan dengan ungkapan Contoh b a f x dx h N /2 1 3 [ f a 4 i=0 N /2 1 f x 2i 1 2 i=1 f x 2i f b ] Buatlah pogram Matlab untuk mendapatkan hasil pendekatan integral b dari e x dx, dimana kita dapat memasukkan batas bawah a dan batas atas b. a

17 Penyelesaian Matlab menyediakan fungsi quad yang didasarkan pada penggunaan metode Simpson 1/3 untuk menyelesaikan masalah integral. Kalau fungsi trapz dapat menyelesaikan dengan nilai eksak untuk fungsi integrand linier, maka quad dapat memperoleh harga eksak untuk integrand yang berbentuk kuadratik. Contoh Penyelesaian hasilnya 6 Dapatkan nilai integral x 2 3 x 4 dx dengan trapz dan quad. 4 Dengan menggunakan Matlab, maka dengan mudah akan diperoleh (a) Dengan fungsi trapz >> x=linspace(4,6,20); >> y=x.^2-3*x-4; >> trapz(x,y) (b) Dengan fungsi quad >> y=inline('x.^2-3*x-4'); >> quad(y,4,6) (c) Dengan perhitungan manual 6 4 x 2 3 x 4 dx= 1 3 x3 3 2 x2 4 = = x]4 6 Jadi jelas bahwa dengan menggunakan metode Simpson yang diwakili dengan fungsi quad dapat menemukan harga eksaknya jika integrand merupakan fungsi kuadratik.

18 TUGAS

19