Dr. Hanna A Parhusip

Transkripsi

1

2 Dr. Hanna A Parhusip Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 5

3 Katalog Dalam Terbitan 58.6 PAR Parhusip, Hanna A. m Modul metode numerik / Hanna A. Parhusip. -- Salatiga : Tisara Grafika, 5. viii, 9 hlm. ; 5 cm. ISBN Numerical analysis I. Title. Cetakan pertama : Desember 5 ISBN : Hak Cipta : Pada Penulis Desain Sampul : Tisara Grafika Tata letak : Harrie Siswanto Percetakan : Tisara Grafika Penerbit : Tisara Grafika Hak Cipta dilindungi oleh Undang-undang Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh buku ini tanpa seijin penulis Diterbitkan oleh: G R A F I K A JL. DIPONEGORO 98 D - SALATIGA JAWA TENGAH Telp.: Fax : Mobile: harisis_5@yahoo.com, harriesiswanto@gmail.com

4 PRAKATA Metode Numerik muncul karena kemampuan analitik sangat terbatas dalam menyelesaikan masalah-masalah aplikasi yang banyak membutuhkan komputer. Selain itu, modul praktikum belum dibuat di Fakultas Sains dan Matematika dimana pembelajaran dengan menggunakan praktikum komputer untuk berbagai cabang matematika modern sangatlah diperlukan. Hal itu sangat mendorong penulis untuk mengisi kekurangan ini. Modul ini juga dapat sebagai panduan praktikum baik untuk mata kuliah Metode Numerik maupun aljabar linear dan persamaan diferensial. Mahasiswa seringkali tidak dapat memahami teori dengan baik karena visualisasi yang kurang dan adanya kesenjangan yang sangat besar antara teori dan bahasa pemrograman. Padahal banyak sekali bagian teori yang digunakan khususnya pada MATLAB untuk memberikan jawaban yang user friendly. Sebagai matematikawan dan akademisi maka sewajarnyalah harus mengetahui alasan yang melatarbelakangi jawaban yang diperoleh dari komputasi dan hal ini diperoleh dari teori. Oleh karena itu modul ini tidak mengesampingkan teori, tetapi lebih membantu para mahasiswa untuk lebih memperhatikan teori dan dapat memanfaatkan software seperti MATLAB dalam membantu memahami teori. Pada buku ini digunakan MATLAB 6.5. Sebagian materi buku ini telah digunakan untuk Pendidikan Matematika di Soe STKIP pada September 5. Mengingat keterbatasan mahasiswa dan tempat perkuliahan, maka banyak kegiatan praktikum sebagian besar dengan Excel. Oleh karena itu buku ini juga cukup baik bagi pemula dalam mempelajari metode numerik dengan Excel. Salatiga, Desember 5 Penulis Modul METODE NUMERIK iii

5 iv Dr. Hanna A Parhusip

6 DAFTAR ISI PRAKATA iii DAFTAR ISI v Bab METODE NUMERIK UNTUK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Operasi Baris Elementer. Cara mencari koefisien regresi (linear) 9 Bab METODE NUMERIK UNTUK PERSAMAAN 6 DIFERENSIAL.. Metode Euler 7.. Pembahasan soal. Metode Heund 6.4 Metode Midpoint.5 Ringkasan Metode Faktor Integral Bab PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU 4. Pendahuluan 4. Cara penyelesaian 8.. Untuk Persamaan diferensial biasa yang dapat 8 dipisahkan.. Metode Faktor Integral 45 Bab 4 METODE INTERPOLASI Interpolasi cubic spline Interpolasi Chebyshev Interpolasi polinomial dan turunan 58 Bab 5 PROYEK METODE NUMERIK Studi kasus Mocorin Model dan Algoritma yang Digunakan Data untuk diolah 66 (i) Data Kadar Karbohidrat pada Mocorin 66 (ii) Data Kadar Protein pada Mocorin 7 5. Program MATLAB untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan karbohidrat dengan metode kuadrat terkecil 7 Modul METODE NUMERIK v

7 5. Program untuk mengoptimalkan fungsi tujuan karbohidrat 75 dengan menggunakan Algoritma Genetik (AG) 5.4 Program Interpolasi Data Protein terhadap Data 79 Karbohidrat 5.5 Pengembangan Model dan Analisa Algoritma Genetik dengan Multiobjective Function Model Fungsi Tujuan untuk Protein, Lemak, dan Serat Mencari parameter fungsi tujuan protein menggunakan SVD DAFTAR PUSTAKA vi Dr. Hanna A Parhusip

8 DAFTAR TABEL Tabel. Data x (kolom ), data y (kolom ) Tabel. Tabel soal A dan Soal B untuk Tugas. dan Tugas. Tabel. Solusi soal no B.9 untuk iterasi pertama Tabel. Hasil solusi dengan metode Heund Tabel 4. Fungsi Analitik 55 Tabel 4. Penyelesaian dengan MATLAB 6 Tabel 4. Penyelesaian dengan MATLAB Kasus 6 Tabel 4.4 Penyelesaian dengan MATLAB Kasus 6 Tabel 5. Data Karbohidrat pada Mocorin dengan berbagai perbandingan 67 Modul METODE NUMERIK vii

9 DAFTAR GAMBAR Gambar. Hasil regresi linear dan dibandingkan dengan data Gambar. Lokasi data dan formula pada excel 4 Gambar. Solusi dengan Excel 4 Gambar. Perbandingan visualisasi solusi pada h=. (bertanda *) dan pada h=. (bertanda ) Gambar.4 Solusi A.9 7 Gambar.5 Langkah-langkah Excel, misal: nilai h pada B 7 Gambar.6 Hasil soal A-9 dengan metode Heund 8 Gambar.7 Solusi dari excel untuk no. B.9 dengan excel Gambar.8 Hasil visualisasi penyelesaian dengan excel Gambar 4. Tanda * adalah fungsi analitik y=cos(x) 55 Gambar 4. Hubungan data (x,y) secara grafik 56 Gambar 4. Keluaran /Jawaban soal test 58 Gambar 4.4 Kasus 59 Gambar 4.5 Kasus 6 Gambar 4.6 Kasus 6 5 viii Dr. Hanna A Parhusip

10 BAB METODE NUMERIK UNTUK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Motivasi Diberikan pasangan data pada Tabel. berikut. Tabel.. Data x (kolom ), data y (kolom ) Bagaimana menyatakan data kolom ke- sebagai fungsi dari data kolom ke-. Hal ini akan menjadi masalah sistem persamaan linear. Secara umum sebagai berikut: menyelesaikan Ax b dimana m n n A, x m, b dimana A dan b n disusun dari data. Yang dicari adalah x. Sebelum diskusi lebih lanjut maka kita perlu mengingat kembali bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linear dengan Operasi baris elementer (OBE).. Operasi Baris Elementer Untuk memperkenalkan OBE maka perhatikan contoh. berikut. Contoh. Tentukan apakah sistem persamaan linear berikut konsisten (punya penyelesaian). x x 4x x 5x 8x x 8 9x 9 Modul METODE NUMERIK

11 Dr. Hanna A Parhusip Ide menyelesaikan adalah menyusunnya menjadi sistem persamaan linear yang lebih sederhana (lebih mudah diselesaikan). Misal menyusunnya menjadi sistem persamaan linear dengan matriks koefisien dalam bentuk segitiga atas (dibawah elemen diagonal ) sehingga kita dapat menyelesaikan dengan substitusi mundur (mencari nilai variabel mulai dari yang terakhir). Kita menuliskan matriks augmented (matriks A dan ruas kanan) ~ karena baris pertama kolom pertama sudah bernilai maka kita dapat mengalikan baris dengan 4 dan menambahkan pada baris ketiga atau ditulis ~ 4 b x b (kita pilih bentuk ini agar pada baris ketiga kolom pertama bernilai ) atau ditulis ~ 4 b x b ~ x b 9. Kita akan membuat nol untuk baris ke- kolom ke- yaitu dengan mengalikan baris ke- dengan dan menambahkan pada baris ke- atau ditulis ~ b x b Sehingga diperoleh 4 4. Kita telah memperoleh matriks segitiga atas sehingga kita dapat menuliskan persamaan mula-mula menjadi

12 Bagaimana dengan penyelesaian?. x x x 4x x x 4 Diperoleh dari baris ketiga x, dan substitusikan pada baris kedua diperoleh x 4 4() 6,sehingga x x x (6) 9. Jadi sistem persamaan linear tersebut punya penyelesaian tunggal yaitu (9,6,). Jadi secara umum terdapat sistem persamaan linear dalam bentuk umum Ax b dimana A merupakan matriks real m x n dan n x m R, b R. Sebelum menyelesaikan, terdapat hal utama yang perlu diperhatikan bahwa sistem persamaan dapat konsisten (mempunyai penyelesaian) ataupun tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian). Sistem yang konsisten juga mempunyai penyelesaian tunggal atau banyak. Ada beberapa sifat yang diperhatikan kapan sistem tersebut punya penyelesaian atau tidak (harap mempelajari kembali aljabar linear). Demikian pula sistem persamaan linear juga dibedakan atas bentuknya yaitu m homogen ( b m R ) dan tidak homogen b R. Contoh. Sistem persamaan linear homogen Untuk mencari nilai eigen dan eigen vektor kita perlu menyelesaikan Ax x (definisi nilai eigen dan eigenvektor) atau ditulis ( A I ) x atau ditulis C x menjadi sistem persamaan linear homogen. Tentukan apakah sistem persamaan linear homogen ini mempunyai penyelesaian tak nol (nontrivial) untuk Modul METODE NUMERIK

13 4 Dr. Hanna A Parhusip. 8 6, 4, 4 5 x x x x x x x x x Jawab: secara analitik dari aljabar linear kita menyusun matriks augmented [A ] menjadi bentuk echelon 4 5 ~ ~ Untuk selanjutnya kita dapat mengalikan / terhadap baris ke- dan baris ke- diperoleh 4 / 5/ ) 5/ ( ~ b x b 4 / (bentuk echelon tereduksi). Diperoleh sistem persamaan linear homogen menjadi 4 x x x Artinya haruslah x sedangkan 4 x x. Kita mengatakan x variabel yang bebas dipilih (free variable). Bisa juga kita memilih x yang merupakan variabel yang bebas dipilih, akan tetapi kita lebih memilih variabel yang disebutkan terakhir yang bebas dipilih.

14 Berdasarkan ada tidaknya solusi (existence solution) maka sistem persamaan di atas mempunyai penyelesaian (sistem dikatakan konsisten). Sedangkan tunggal tidaknya penyelesaian (uniqueness) maka sistem dikatakan banyak penyelesaian (not unique). Kita dapat mengenali bahwa jika paling sedikit ada variabel bebas dipilih (free variable) maka sistem mempunyai banyak penyelesaian. Secara umum penyelesaian itu ditulis 4 x a a T, a bebas. Contoh. Pasangan data (x,y) ditunjukkan padatabel. Masalah matematika: bagaimana y sebagai fungsi x? Asumsi bahwa data berupa: polinomial derajat, yaitu y a (.) ax ax Artinya setiap pasangan data memenuhi persamaan (.). (a) Matriks A disusun sebagai berikut a a a a a Jadi A adalah ax ax y atau a a (.) a (.) ax ax y atau a a (.) a (.). 5 ax ax y atau a a (.) a (.) 4 ax 4 ax4 y4 atau a a (.4) a (.4) ax 5 ax5 y5 atau a a (.5) a (.5) 5 A a.. dengan x.5 a, b 4.4 a.5 5 Modul METODE NUMERIK 5

15 Jadi ke-5 persamaan di atas dapat ditulis dalam sistem persamaan linear Ax b yaitu Cara penyelesaian: a.5. a 4.4 a.5 5 Tahap : Kalikan ruas kiri dan ruas kanan dari Ax b dengan T A dimana T A Tahap : MenyusunC= T A A C= C Dengan OBE (Operasi Baris Elementer) akan dicari C : Tulis bentuk C I yaitu Dr. Hanna A Parhusip

16 / 5 b (/ 5) b ( b.5) / 5. b (.55) b..... / b ().... / b (.) b b (.) b b ( /.76) /.76 /.76 /.76 Modul METODE NUMERIK 7

17 8 Dr. Hanna A Parhusip ). ( b b.76 /.76 / 44/ ).44 ( b b Jadi C Tahap : Ruas kanan adalah b A b T baru = Tahap 4: Cari b Ax b bru C x = =

18 5.75 Jadi koefisien regresi adalah Sehingga fungsi parabola mempunyai bentuk y x 87.5x. Cara mencari koefisien regresi (linear) Tujuan pada bab ini adalah menyelesaikan Ax b dimana m n A, x m m n, b. Matriks A dan b disusun dari data. Yang dicari adalah x. Tahap. Kalikan ruas kiri dan ruas kanan dari Ax b dengan T A (jadi perlu T dicari A ) T T Artinya: A Ax T T A b (jangan terbalik menjadi AxA ba, ini tidak benar) Tahap. Sebut C= A T T A (berarti perlu disusun C), sebut A b bbaru (perlu disusun b baru ) Jadi Cx, n n n C, x, b b baru Tahap. Cari x dengan cara: kalikan ruas kiri dan kanan C C x C Jadi kita harus mencari Tahap 4. Diketahui menjadi C C. Jadi ruas kanan perlu dihitung. b baru baru C I (matriks identitas). Oleh karena ituc x C. b baru n Cx b dengan C baru C x C b Kesimpulan: nilai vektor diperoleh dan x merupakan vektor koefisien regresi. Menurut aljabar linear, invers matriks dapat ada dapat juga tidak ada. Dengan bantuan MATLAB, diperoleh det C dekat ke (diberikan oleh MATLAB n baru Modul METODE NUMERIK 9

19 sebesar 7.e- artinya 7. Matriks yang demikian disebut matriks singular (matriks yang determinannya bernilai /sangat dekat atau sebaliknya determinan matriks besar sekali). Sekalipun invers C nampak bagus, hasil di atas tidak bermakna. Artinya j ika dipaksakan digunakan untuk mencari koefisien regresi, maka hasil pendekatan tidak tepat. Analisa: Hasil menunjukkan bahwa hasil tidak tepat. Diselidiki mengapa hasil tidak tepat? Ternyata hasil C merupakan matriks singular karena det(c) dekat ke. Jadi model fungsi kuadratik /parabola tidak tepat untuk model ini. Contoh.4 Jika sistem persamaan sudah diperoleh: Carilah x yang memenuhi Ax b 4 A, b 5 4 Carilah x yang memenuhi Ax b A.6..4, b Latihan. Diberikan pasangan data yaitu (,), (,) dan (,) Anggaplah bahwa ketiga titik itu dalam suatu garis lurus yaitu a a x y. Carilah a dan a terbaik dengan regresi linear. Petunjuk: Dr. Hanna A Parhusip

20 Tahap : Bentuklah sistem persamaan linear dengan dengan menggunakan (,), (,) dan (,) pada persamaan a a x y diperoleh berturut-turut Cara pelaporan : a a a a a a,,. A = b = Tahap. Kalikan ruas kiri dan ruas kanan dari Ax b dengan T A (jadi perlu dicari ) T A T A Tahap. Sebut C= A T T A (berarti perlu disusun C), sebut A b bbaru (perlu disusun b baru ) C = 6 6 4, b baru 8 = 7 Jadi Cx, n n C, b baru n x, b baru n Tahap. Cari x dengan cara: kalikan ruas kiri dan kanan C C x C b baru Cx b dengan C baru Jadi kita harus mencari C. Yaitu sebagai berikut Modul METODE NUMERIK

21 Cara : dengan rumus klasik, dimana C= maka C ((4) (6)(6)) / 6 / Cara : Dengan OBE (Operasi baris elementer) : b ( 6) b b (/ ) 6 / 4 / b (/ ) / / b / ( ) b 7 /. / Jadi jelas. Tahap 4. Diketahui C menjadi C I (matriks identitas). Oleh karena itu x C. b baru C C x C b baru Jadi ruas kanan perlu dihitung. Yaitu x C b 7 / 8 5/ baru =. / 7 / Hasil polinomial regresi: Gambar data dan fungsi: 5 y a ax x Dr. Hanna A Parhusip

22 Gambar. Hasil regresi linear dan dibandingkan dengan data Analisa: error yang diperoleh :.. Komentar : Latihan.. Diberikan data berikut ini x y (i) (ii) Tentukan m dan c untuk regresi linear untuk data tabel tersebut dengan menganggap y=f(x) =mx + c. Tentukan a, b, c untuk regresi fungsi kuadratik untuk data tabel tersebut yaitu y a ax ax Modul METODE NUMERIK

23 Cara pelaporan: (i) Regresi linear A = b m =.. x c Sistem persamaan linear yang diperoleh :... Tipe sistem persamaan linear adalah: (kosisten/tak kosisten/ underdetermined) :. Karena Sehingga sistem persamaan linear diselesaikan dengan cara sbb: Diperoleh m = dan c =... Jadi fungsi linearnya adalah. (ii) Regresi fungsi kuadrat A = b a =.. x a a Sistem persamaan linear yang diperoleh :. Tipe sistem persamaan linear adalah: (kosisten/tak kosisten/underdetermined) :.. karena. Sehingga sistem persamaan linear diselesaikan dengan cara sbb: Diperoleh Jadi fungsi kuadrat yang diperoleh adalah Tugas Praktikum. Suatu hasil eksperimen menunjukkan bahwa pada setiap pengukuran nilai x berikut diperoleh nilai y : x=[ ] y=[ ] 4 Dr. Hanna A Parhusip

24 Asumsikan bahwa y=f(x) dengan asumsi: Fungsi cubik y ax bx cx d a. Tuliskan sistem persamaan linear untuk mencari koefisien dari fungsi tersebut b. Selesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan cara yang anda kenal dan buatlah tabel nilai y pendekatan yang anda peroleh. c. Apakah hasil anda cukup baik? Jelaskan. Modul METODE NUMERIK 5

25 BAB METODE NUMERIK UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL Mata kuliah ini dibentuk sebagai bentuk komputerisasi dari matematika, aljabar linear dan persamaan diferensial yang dipelajari mahasiswa pendidikan matematika, misal dalam menyatakan diferensial dan menyatakan integral. Motivasi dy df Pada kalkulus operator differensial ditulis f ' ( x) pada suatu interval di R, misal [a,b]. Bagaiman menghitung pada komputer? Hal ini dinyatakan sebagai metode numerik.. Jika y= x maka dengan komputer? dy df f ' ( x) x secara manual. Bagaimana Pertama-tama kita harus mendefinisikan dimanakah domain y= x didefinisikan. Jadi harus ditulis domain definisi. Dari definisi dy df f '( lim x) x f ( x x) x f ( x) (.) Secara numerik maka semua operator dinyatakan dalam bentuk diskrit. Artinya operator diferensial ditulis dalam bentuk dy df y x f ( x x) x f ( x) Jadi persamaan (.) dapat digunakan untuk mendekati dengan secara numerik. Hal ini sebagai berikut. Dianggap f ( x x) f ( x) y x x (.) 6 Dr. Hanna A Parhusip

26 Kita akan menggunakan ekspresi terakhir ini untuk menjadi materi mengembangkan metode Euler sebagai metode paling dasar dalam metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial khususnya orde.. Metode Euler Misal persamaan diferensial orde ditulis dalam bentuk umum yaitu dy y' f ( t, y), y( t ) diketahui. (.) dt Perhatikan bahwa peubah bebas adalah t dan peubah tak bebas adalah y. Masalah ini disebut masalah nilai awal karena nilai awal y() diketahui. Ide metode Euler adalah menggunakan ekspansi Taylor untuk y=y(t) di sekitar t t sehingga berlaku dy t t d y y ( t) y( t ) ( t t )... (..a) dt dt t Dengan hanya memperhatikan suku hingga turunan pertama maka kita dapat mendefinisikan dy( t, y ) f ( t, y ) : sehingga persamaan (..a) menjadi dt y t) y( t ) ( t t ) f ( t, ). (..b) ( y Tetapi sekarang kita memerlukan informasi y(t) pada t t. Untuk itu kita perlu mendiskritisasi interval waktu pengamatan dengan subinterval yang sama yaitu t t j t h sehingga t j t j h, j=,..n. (..c) j Jadi untuk setiap titik diskrit, persamaan (..a) dapat ditulis y y y( t) y( t ) ( t t ) f ( t, ) y y( t) y( t) ( t t) f ( t, ) y y y t ) y( t ) ( t t ) f ( t, y ). N ( N N N N N N Secara umum kita dapat menuliskan dalam bentuk formula Modul METODE NUMERIK 7

27 t j t j h (..a) y y t ) y( t ) ( t t ) f ( t, y ), j=, N- j ( j j j j j j y y t ) y( t ) hf ( t, y ) (..b) j ( j j j j Contoh.. Selesaikan dengan metode dy dt t y, y() =. dy Tahap : Soal harus dalam bentuk f ( t, y). AWAS y tidak sama dengan f dt dy Soal sudah dalam bentuk f ( t, y) = t-y AWAS y(t) tidak diketahui (yang dt dicari ). Dicari y y t ) y( t ) ( t t ) f ( t, ). ( y Perlu disusun waktu t dalam bentuk diskrit dari (awal pengamatan) hingga akhir pengamatan. Misal dipilih T = (akhir pengamatan), maka t, t,..., t N perlu disusun sebanyak yang dikehendaki yaitu N. Selesaikan. dengan : T =, N= dan dipilih subinterval t j sama, misal t T t N j t j. maka t t, t,...,,.,.,.,.4,.5,...,., t N dy Sehingga f ( t, y) = t-y= t y (). dt t Jadi: y y t ) y( t ) ( t t ) f ( t, ) ( y +(.-)(-)=+(.)(-)=-.=.8 8 Dr. Hanna A Parhusip

28 Tahap. Cari y y t ) y( t ) ( t t ) f ( t, ) dy Perlu f ( t, y) dt f Tugas. Tugas. t ( ( y t, y) t y. (.8)..6.5 y y( t) y( t) ( t t) f ( t, y) Sehingga.8 (..)(.5).8 (.)(.5) Dengan cara yang sama dapat dihitung hingga y (hitung di buku kerja) Dicoba dengan excel supaya lebih cepat.. PR : manual Euler dengan h=.. PR : Excel dimainkan untuk h= dan.5. PR : menyatakan soal pada kolom A dan B sesuai jenis kelompok soal menjadi bentuk umum PDB yang bisa diselesaikan dengan Euler. Selesakan dengan metode Euler dengan 5 macam h yaitu dari.,.,.,.5,. Untuk masalah berikut. Modul METODE NUMERIK 9

29 Tabel. Tabel soal A dan Soal B untuk Tugas. dan Tugas. No Soal A No Soal B. xy 4x ( x ) dy ;y(-)=. y ' ytg x cos 4 x ; y ( / 4).. x y y y(). e x dy ;. x4 x y dy ; y y(- )=.. y ' y x x ; y()=.. y ( x yln y) dy ; y(). 4. y' yctgx, sin x 4. xy ln x y dy; y( e). y ( / 6). 5. x y 9 x y(). dy ; 5. xy ' y x x x ; y() y ' ytg x sin x; y() 6. xe y x dy ; y(). 7. cos y cos x sin y dy ; sin x y xy ' y x cosx; y( / ). 8. sin x tg y ' x y ; 8. x y xe ydy ; y(). y /. Dr. Hanna A Parhusip

30 9. y ' xy x ; y() /. 9.. y x x x dy ;. y(). ln xy ' y xarctg x; y(). 6 / e x y y() x ydy ;. y ' y cos x cos x; y(). Jenis tugas tiap mahasiswa sebagai berikut : Tujuan : No. A:,8, dan B:,4 No. A:,5,9 dan B:7,9 No. A : 4,6, dan B=,5 No.4 A:,7 dan B=,8, No.5 A :9, dan B: 6,7, No. 6 A:,8,5 dan B:,7 No. 7 A 6,7 dan B:,6,9 No.8 A:4,9 dan B=,8, No. 9 A=8, dan B=4,5,8 No. A=,7 dan B=,6, No. A=5, dan B=5,9, No. A=,7 dan B=,7,8. Menulis soal PDB ke bentuk umum yang bisa diselesaikan dengan metode Euler dan menyelesaikan dengan bantuan Excel. Menganalisa hasil excel (membandingkan dengan solusi analitik) Materi: Soal PDB pada Tabel Catatan: Bentuk umum : dy f ( x, y) dimana y( x ) y diketahui. Modul METODE NUMERIK

31 .. Pembahasan soal Contoh.. No. A.4 Soal dalam bentuk : y' yctgx, y ( / 6) sin x Tahap. Peubah bebas : x ; Peubah tak bebas : y. Jadi perlu dicari y(x) Tahap : y' yctgx ditulis sin x dy yctgx sin x Dalam bentuk umum soal menjadi : dy yctgx dengan y ( / 6) (*) sin x Jadi f ( x, y) yctgx. sin x Tahap. Soal (*) diselesaikan dengan metode Euler y y dy h y hf ( x, y j j j j j. y j ) Perlu memilih h (cukup kecil). Karena y ( / 6), x / 6 maka dipilih h=., sehingga x x h / 6. x x h x h / 6 (.) x x h x h / 6 (.) x 4 x h x 4h / 6 4(.) Dr. Hanna A Parhusip

32 Demikian seterusnya (sekehendak sehingga kurva digambar cukup masuk akal). dy Dengan memperhatikan y j y j h y j hf ( x j, y j ) dan posisi x j y j Maka: f ( x, y ) = y ctgx ctg / 6 sin x sin / 6 = cos / 6 sin / 6 / =+.*( )= f ( x, y) yctgx ctg. sin x 6 + sin. 6 y y y hf ( x, ) = dilanjutkan dengan excel. Sebagai berikut: Catatan file : JawabA_No4 Cara excel : Perlu didefinisikan nilai xj. Nilai yo diinput. Nilai f(x,y) dihitung terlebih dahulu dengan perintah excel =C*COS(B)/SIN(B)+/SIN(B) Kemudian hitung y, dengan excel sebagai berikut: =C+$B$8*D Modul METODE NUMERIK

33 Perintah excel tersebut mengikuti posisi kita mengetik sebagaimana pada Gambar.. Nilai f(x,y) dihitung terlebih dahulu. Solusi pada Gambar.. Gambar.. Lokasi data dan formul pada excel Series -4-6 Gambar.. Solusi dengan Excel Analisa hasil (Pembahasan) : Pada h =. diperoleh hasil yang ditunjukkan pada Gambar. Perlu diselidiki benar tidaknya/ bagus tidak hasil pendekatan dengan (a) (b) membandingkan penyelesaian yang diperoleh dengan solusi analitik. Memvariasi nilai h 4 Dr. Hanna A Parhusip

34 Untuk (b) kita menggantikan nilai h pada program. 5 4 y x Gambar. Perbandingan visualisasi solusi pada h=. (bertanda *) dan pada h=. (bertanda ) Contoh. Membahas: xy ln x y dy; y( e) Tahap. dy ; y(e) = xy ln x y Dengan metode Euler perlu dihitung f x, y ) ( Diperoleh dy e()ln Pada bagian ini Euler gagal. x y Sehingga proses perhitungan tidak bisa dilanjutkan. Modul METODE NUMERIK 5

35 Catatan: Secara analitik soal mungkin dapat dikerjakan. Jadi dy diselesaikan dengan pemisahan variable, faktor integral xy ln x y atau dengan pemilihan PDB eksak/tidak eksak.. Metode Heund Perlu ralat /koreksi Euler sebagai berikut Tahap. dy k, y j j xx j f ( x * Tahap y j y jhf ( t j, y j ) y jhk ) dy * Tahap : k f ( x j h, y j ) f ( x j h, y j hk) xx h/ j Tahap 4. y j y j k h k Contoh.4 No. A.9 Selesaikan dengan metode Heund untuk y' xy x ; y()=/. dy Tahap. x xy f ( x, y) Euler : pilih h=. ; y y hf ( x, y ) j j j j x -> f ( x, y ) x x y y y hf ( x, y) /.() x x h.-> / 6 Dr. Hanna A Parhusip

36 f x, y ) x x y. (.)(/ ) ( =. -.=-.99. y y hf ( x, y) /.(.99) excel yok Solusi dengan Excel pada Gambar Series Gambar.4. Solusi A.9 Dengan Metode Heund dengan bantuan Excel sebagai berikut: Gambar.5. Langkah-langkah Excel, misal : nilai h pada B Modul METODE NUMERIK 7

37 . Tulis nilai x dan y sebagai yang diketahui. Hitung k berdasarkan nilai x dan y (menggunakan rumus), missal : =B^-*B*C. Hitung yj* (dengan rumus lokasi nilai-nilai yang diperlukan) 4. Hitung k 5. Hitung y (pada baris selanjutnya; dis ini pada Gambar 4, y dihitung pada baris C4). Selanjutnya hitung k pada baris 4, juga yj* dan k pada baris 4 Demikian seterusnya Series Gambar.6 Hasil soal A-9 dengan metode Heund Analisa Euler vs Heund. Perbandingan nilai Euler Heund Dr. Hanna A Parhusip

38 Tujuan: penggunaan Excel untuk Euler, Heund, RK4 dan mungkin Geogebra, MATLAB Contoh.5 No B.9 Selesaikan dengan metode Heund x y ' y x arctg x; y() ln 6 dy x dy x y x arctg x; y() y x arctg x; y() ln 6 ln 6 dy y x arctg x ; x y() ln 6 Bentuk tersebut sudah dalam bentuk umum untuk diselesaikan dengan Euler. Dengan Euler dan bantuan excel sebagai berikut : x =, maka y f ( x, y ) x arctg x x ln arctg 6 =.75. y ( y y hf x, ) = ln 6 h=., x x h.. y ( y +.(.75)=.899 y hf x, ) = (.45)= Solusi selanjutnya ditulis pada Tabel. untuk iterasi pertama. Solusi pada Gambar.6. Modul METODE NUMERIK 9

39 Tabel.. Solusi soal no B.9 untuk iterasi pertama h=. Indeks x y f(x,y) Serie Gambar.7 Solusi dari excel untuk no. B.9 dengan excel Dr. Hanna A Parhusip

40 .4 Metode Midpoint Metode ini menghitung kemiringan (dy/dt) kali untuk setiap step h. Dengan dy menyimbolkan k f ( x j, y j ). Pada h/ kita mengaplikasikan metode Euler yaitu y tt h y f ( x, y j ) y h k j / j j j j (.4.a) Kemudian kita hitung kembali dy/dt tetapi pada h x x j yaitu k dy h, y h f ( x j j k dt xx h / j ) (.4.b) Kemudian pada seluruh subinterval h kita dapat memperoleh y y j j hk. Contoh.6 Dengan midpoint, No. B 9 dikerjakan dengan bantuan excel.6.4. Series Gambar.8 Hasil visualisasi penyelesaian dengan excel Modul METODE NUMERIK

41 Tabel. Hasil solusi dengan metode Heund Indeks x j x j +h/ y k yjsetengah y j +h/*k k Cara analisa : menggunakan perbandingan dengan solusi analitik. Contoh.7. Dicari solusi analitik dari contoh (soal B.9) ' x y y x arctg x; y() ln 6 (Cara pada PDB : dengan cara: faktor integral, pemisahan variabel).5 Ringkasan Metode Faktor integral Dapat diketahui penyelesaian persamaan diferensial biasa (PDB) orde yang berbentuk dy P( x) y Q( x) secara umum adalah P x y x e P ( x) Q x e ( ) ( ) ( ). (.7) Bukti: Formula (.7) diperoleh dengan dy P( x) y Q( x) mencari faktor integral I( x) e P( x) Dr. Hanna A Parhusip

42 Dengan mengalikan kedua ruas P( x) I( x) e diperoleh dy P( x) P( x P x) y e Q( x) e ) ( atau e P( x) dy P( x) ye P( x) Q( x) e P( x) Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh e Integral ruas kiri adalah dy P( x) P x ye P( x ( ) Q( x) e. P ( x) ) e dy P x ye P( x ( ) = P( x) ) P( x) y( x) e. Jadi solusi dy P( x) y Q( x) adalah y( x) e P( x) = P ( x) Q( x) e atau P x y x e P ( x) Q x e ( ) ( ) ( ). Jadi ingat bahwa soal harus dalam bentuk : dy P( x) y Q( x) ' Jadi x y y x arctg x; kalikan dengan (/x) sehingga masalah yang harus dikerjakan adalah menyelesaikan dy y arctg x; x y ( ) ln 6 Bab. Selanjutnya metode analitik dalam menyelesaikan PDB ditunjukkan pada Modul METODE NUMERIK

43 BAB PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU. Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial. Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu Persamaan Diferensial dengan satu peubah bebas. Contoh. Misal P adalah fungsi variabel bebas t yaitu P(t) memenuhi: dp kp dt ( ) P t P (.) dengan k R (bilangan real). Persamaan (..) disebut persamaan differensial tingkat. Dikatakan tingkat karena notasi diferensial adalah diferensial pertama P(t) terhadap t. Ada juga yang menyebut tingkat sebagai orde. Pada buku ini digunakan istilah tingkat. d Notasi diferensial P(t) yang kedua ditulis, diferensial P(t) yang ketiga/atau dt d P( t) disebut tingkat yang. Diferensial yang ada dalam persamaan (..) dt dp adalah sehingga persamaan (..) disebut persamaan diferensial tingkat satu. dt Persamaan diferensial (.) dapat pula ditulis sebagai 4 Dr. Hanna A Parhusip

44 dp kp dt P( t ) P atau dp P kdt Keadaan / kondisi P(t=)=P disebut sebagai nilai awal P. Variabel P sebagai variabel tak bebas dan t sebagai variabel bebas. Fungsi P(t) yang memenuhi persamaan (..) disebut penyelesaian/solusi. Bagaimana mendapatkan solusi tersebut? Jawab: Perhatikan terlebih dahulu persamaan diferensial dp kdt (.) P Ingat ruas kiri sebagai diferensial terhadap P saja dan ruas kanan adalah diferensial k terhadap t saja. Pada kalkulus kita mengenal. Jika kita integralkan diperoleh x x Inx c dengan c sebagai konstan sembarang. Jadi untuk mendapatkan x solusi dari suatu persamaan diferensial kita perlu mengintegralkan persamaan (..) ruas kiri dan ruas kanan. Yaitu: dp P kdt dp P dalam P saja kdt dalam t saja (.) Penyelesaian ruas kiri adalah Modul METODE NUMERIK 5

45 dp P P c. (.4) (ingat bahwa P sebenarnya fungsi t tetapi tidak dimunculkan agar tidak membingungkan). Sedangkan ruas kanan persamaan (.) adalah kdt k dt kt c. (.5) Ruas kiri dan ruas kanan sama pada persamaan (.). Jadi ln P c kt. (.6) c Atau karena c dan c masih konstanta bebas, persamaan (..6) dapat ditulis ln P kt C, dengan C c c. Tampak bahwa ln P ln Pt kt c. Nilai C dapat ditentukan dari nilai awal. Umumnya, kita lebih menyukai bentuk bentuk eksponensial, akan tetapi tidak boleh berubah artinya. Yaitu dapat ditulis sebagai kt e ln C ln P kt C. ln P ln (.7) Dari relasi lnx ln y lnxy. Sehingga persamaan (.7) menjadi kt ln P ln Ce. Jadi kt kt P Ce atau Pt Ce. Kesimpulan : Persamaan diferensial t dp P dp kdt atau kp mempunyai penyelesaian dt kt P Ce (.8) 6 Dr. Hanna A Parhusip

46 dan disebut sebagai penyelesaian umum karena nilai awal belum digunakan. P t P yaitu : Konstanta C dapat ditentukan dari nilai awal Jadi k P Ce C P t Sehingga Persamaan (.8) menjadi t P t C P. =C. kt P P e. (.9) Pembelajaran dengan matakuliah kalkulus Sebagai pembelajaran terhadap mata kuliah kalkulus maka perlu diselidiki apa hubungan hasil tersebut dengan kalkulus. Dalam kalkulus kita telah mengenal berbagai fungsi sebagai berikut. a. Fungsi polinomial, misalnya f.konstan, misal y a f.linear, misal y f(x) ax b f.kuadratik, misal y f x ax bx c f.kubik, misal y f x ax bx cx d. y e x b. Fungsi Eksponensial, ditulis f c. Fungsi Trigonometri dalam bentuk umum : y = Asin(B x) atau y = Acos (Bx) Apa gunanya fungsi-fungsi tersebut?. Kita dapat menyatakan data dalam fungsi-fungsi tersebut. Dengan persamaan diferensial berarti kita mencari solusi dari persamaan diferensial sebagai fungsi yang kita harapkan. Jadi kesulitan yang muncul adalah menyusun persamaan diferensial dengan solusi sebagai fungsi yang kita harapkan. x Modul METODE NUMERIK 7

47 Pada tulisan ini lebih diutamakan cara menyelesaikan berbagai persamaan diferensial (bukan cara menyusun persamaan diferensial). Cara penyusunan data dalam persamaan diferensial disajikan dalam kuliah pemodelan matematika.. Cara penyelesaian.. Untuk Persamaan diferensial biasa yang dapat dipisahkan Tipe. Hal ini dapat ditulis dp dt k konstan dp kdt. Pada bagian ini kita telah menyatakan persamaan diferensial secara terpisah yaitu ruas kanan diferensial terhadap P saja dan diferensial terhadap t saja pada ruas kanan. Oleh karena itu persamaan tersebut dapat diintegralkan. Yaitu : dp diperoleh P = kt + c dengan dengan c adalah konstan sembarang. kdt Diperoleh fungsi P yaitu fungsi linear terhadap t. Contoh. Jika data berpola linear, dalam kalkulus disajikan dalam bentuk fungsi linear sebut sebagai P kt c. Sedangkan dengan persamaan diferensial disajikan dalam bentuk persamaan diferensial. Dapat berarti berbagai nilai t adalah konstan. dp k (gradien dari P) untuk dt Tipe. dp dt kp 8 Dr. Hanna A Parhusip

48 kt yang mempunyai penyelesaiaan Pt Ce. Bagaimana perilaku t P saat t?. Perhatikan bahwa nilai P(t) tergantung dari parameter pada eksponen. Hal ini dapat ditulis dalam bentuk simbol sebagai berikut, ketika t P( t), ketika t Tanda menunjukkan bahwa saat C dan k positif maka P(t) bernilai positif dan negatif ketika C negatif dan k positif. Sedangkan P(t) bernilai ketika k negatif baik C positif maupun negatif. Tipe. (persamaan diferensial logistik) Bentuk persamaan diferensial logistik adalah dp P kp dt K K,k : parameter Untuk dapat menyelesaikan persamaan diferensial ini, marilah kita lakukan tahap demi tahap. Tahap Dapatkah dipisahkan? Diselidiki sebagai berikut. Ruas kanan : kdt merupakan diferensial dalam t Ruas kiri : dp P P K P P K dp Jadi persamaan diferensial logistik dapat dipisahkan yaitu ruas kiri diferensial dalam P dalam dan ruas kanan diferensial dalam t. Jadi dapat diintegralkan masingmasing untuk mendapatkan fungsi P dari kiri dan mendapatkan fungsi t dari kanan. Yaitu dp P P K. ($) kdt Modul METODE NUMERIK 9

49 Tahap. Mengintegralkan masing-masing ruas Ruas kiri : P dp? P K bentuk yang tidak standard Kita mengatakan bentuk tidak standard karena tidak mengikuti bentuk rumus baku yang biasa muncul. Oleh karena itu perlu dicari bentuk standard yang mirip. Bentuk standard yang dimaksud adalah du u du u ln u c. (*) Oleh karena itu kita harus menyusun berikut. Perhatikan caranya. Tulis P P K A B P P K dp P P K dalam bentuk u du sebagai dengan A dan B dicari Jadi P A BP K P P P P menyamakan penyebut K K P A BP K A A B P K Dengan menyamakan ruas kiri dan ruas kanan diperoleh A A dan B. K Karena A maka B. Sehingga K 4 Dr. Hanna A Parhusip

50 Oleh karena itu K. P P P P K K Jadi dp dp K. dp P P P P K K K. (a) dp dp dp P P P P K K Suku pertama ruas kanan sudah standard (lihat *) yaitu dp ln P c. (b) P Suku kedua ruas kanan belum standard. Oleh karena itu perlu dihitung secara tersendiri. K dp dp. (**) P P K K K P Bentuk disubstitusi yaitu U P. P K K K Cara memilih bentuk yang disubstitusi tidak ada aturan khusus. Anda perlu banyak berlatih (jam terbang dalam menyelesaikan soal). Selanjutnya perlu semua ekspresi dalam integral terhadap variabel baru yang digunakan dalam substitusi. Yaitu perlu du yaitu du. Sehingga dp K dp du dp KdU. Oleh karena itu persamaan (**) menjadi K du K. Sehingga Modul METODE NUMERIK 4

51 K P K dp ( K) K du U Kesimpulan: dari hasil (a)-(c) dapat diperoleh du U ln U C dp K dp dp P P P P K K P ln P C ln C K P ln P ln C C K P ln P C ln C K P ln C, dengan C C C. P K Persamaan ($) menjadi ln P C kt c P atau ln P kt C ~ P K K Hingga saat ini, P(t) belum dinyatakan secara eksplisit. Umumnya, kita lebih menyukai bentuk eksponen, sehingga solusi ini masih disederhanakan yaitu P kt ~ ln ln e ln C ln Ce ~ P K kt sehingga P Ce ~ P K P ~ kt PK ~ kt Ce atau Ce K P K P K K ~ kt ~ kt ~ PK Ce K P CKe PCe. kt ~ kt ~ kt Ce CKe P K Jadi kt (c) 4 Dr. Hanna A Parhusip

52 kt CKe ~ P ~. (s.) kt K Ce Untuk mendapatkan skalar C ~ maka gunakan nilai awal sebutlah pada t= nilai P ~ k () ~ CKe CK ~ diketahui. Jadi P ~ k () ~ atau P K C C ~ K atau K Ce K ~ P K P C ~ CK C ~ ~ ~ Sehingga P K CK P C C( K ). Jadi P ~ KP P C. (s.) K P P K Jadi substitusikan persamaan (s.) ke persamaan (s.) diperoleh ~ kt ~ kt kt CKe / C Ke Ke P ~ kt ~ K Ce / C K P kt K P kt K e e KP P kt A e K P A=. Jadi P Ke kt dengan kt Ke P( t) dengan kt A e K P. P Solusi ini yang biasa digunakan dalam pemodelan dan dibahas dengan pengembangan yang melibatkan faktor yang lain(stewart, Kalkulus II,998). Contoh. Perhatikan dy xy. Apakah persamaan diferensial ini dapat disusun terpisah sebagaimana dimaksud pada penjelasan di atas? Jika ya lakukan pemisahan (tidak perlu diintegralkan), sebutkan manakah yang variabel bebas dan tak bebas Modul METODE NUMERIK 4

53 Jawab: y : variabel tak bebas x : variabel bebas Persamaan diferensial dapat dipisahkan yaitu dy y diferensial dalam y saja x diferensial dalam x saja du dt. Perhatikan tu Jawab :. Apakah dapat dipisahkan?. Variabel u adalah variabel tak bebas dan t adalah variabel bebas. Persamaan diferensial dapat dipisahkan yaitu du tu dt du tdt u Latihan soal. Tuliskan variabel bebas dan tak bebas untuk masing-masing soal berikut. Selidiki apakah metode pemisahan variabel dapat digunakan?. Jika ya selesaikan, dan jika tidak berikan penjelasan anda.. x dy y 4. dy e 4y 5. yy x 6. dy dt t te 7. y y y xy Iny du dz 8. u t tu 9. e tz dt dt 44 Dr. Hanna A Parhusip

54 Kesimpulan Selama ini kita telah belajar persamaan diferensial dapat dipisahkan. Secara umum dapat ditulis dp f dt dp f U Pgt yang dapat disajikan gt P PdP gt dt, dengan U P sebagai atau f P Jadi ruas kiri diferensial dalam P saja dan ruas kanan sebagai diferensial dalam t saja. Akan tetapi tidak semua persamaan diferensial dapat disajikan dalam persamaan diferensial terpisah. Oleh karena itu perlu dikembangkan teknik penyelesaian yang lain... Metode Faktor Integral Contoh.4 Perhatikan masalah nilai awal t y ty dengan y. Disebut masalah nilai awal karena persamaan diferensial tersebut ditentukan nilai awal yaitu pada t maka y yang ditulis y. Perhatikan t y ty. Sebelum memperkenalkan teknik lain, apakah persamaan diferensial dapat diselesaikan dalam bentuk persamaan diferensial terpisah?. Jika ya, ikuti cara penyelesaian Persamaan Diferensial terpisah. t y ty variabel tak bebas : y, variabel bebas : t y dy dt Modul METODE NUMERIK 45

55 dy Sehingga t ty. (dicoba disajikan dalam bentuk U(P)dP=f(t)dt). dt Ditulis t dy dt ty atau t dy ty dt memuat t dan y memuat t dan y Jadi tidak dapat diselesaikan secara terpisah. Bagaimana cara menyelesaikannya? Penyelesaian Persamaan Diferensial yang tidak dapat terpisah diselesaikan dengan cara faktor integral (J. Stewart, kalkulus, hal 48-49). Sebagai bentuk umum persamaan diferensial yang dapat diselesaikan dengan faktor integral adalah sebagai berikut: du dt t P U Q t (..a) disebut persamaan diferensial tingkat (orde) dengan P dan Q sebagai fungsi kontinu pada selang yang diberikan. du dt t P U Q t. (..b) Variabel bebas adalah t dan variabel tak bebas adalah U. Jadi kita perlu mencari U(t). Koefisien du harus. dt Contoh.4 Selesaikan dengan faktor integral t y ty, y. (..a) dy Perhatikan t y ty. Tanda y disini berarti y. Sehingga dt t y ty dapat ditulis bentuk umum (persamaan..b), yaitu: t dy ty. Bentuk tersebut harus disusun dalam dt 46 Dr. Hanna A Parhusip

56 dy t ty (.7.b) dt Kedua ruas dikalikan t (..7.b) dapat ditulis sebagai karena koefisien dy belum. Sehingga persamaan dt dy t ty t dt t dy y dt t t Dengan mengikuti notasi pada bentuk umum, maka diperoleh: P. t t t dan Qt Oleh karena sudah standard maka metode faktor integral dapat digunakan. Kesimpulan (metode faktor integral) Soal harus memiliki bentuk persamaan diferensial linear tingkat satu yang umum yaitu: du dt Faktor integral disimbolkan t P U Q t. (.8) t I t yaitu Pt dt I e. (.9) Kedua ruas persamaan (.8) dikalikan dengan I t yaitu du dt Pt U It Qt I t. (.) Kemudian selesaikan persamaan (..) dengan mengintegralkan. Modul METODE NUMERIK 47

57 Contoh.5 t. Kembali pada contoh. 4 : y ty, y y. t t Dapat ditulis sebagai y, y Bentuk soal menjadi dy dt y t. t (*) Mengikuti bentuk umum persamaan maka diperoleh dt t I t e Sehingga disusun Jadi I t e dt t P. t t t dan Qt e e Int K t. Bentuk dt dicari yaitu dt t t Intc e c K e Int c dan K e ln t c. Untuk selanjutnya digunakan K. Kalikan kedua ruas dengan faktor integral I t pada persamaan (*) yaitu : dy t y. dt t Integralkan kedua ruas dalam t. Diperoleh t dy dt y dt dt. (**) t 48 Dr. Hanna A Parhusip

58 Perhatikan bahwa sesungguhnya y = y(t). Oleh karena itu akan menyusun dy t y dt dalam bentuk sebagai d. dt dan kita akan mencari yang harus termuat dalam tanda kurung akan tetapi tidak merubah makna. Hal ini dilakukan dengan tujuan agar kita dapat menyusun persamaan (**) dalam bentuk umum sebagai berikut:. d dt. dt Kita mengetahui bahwa persamaan (**) menjadi ty d dt dt. dt t c. (***) ty d dt ty dt y dt t c dy dt Jadi penyelesaian umum untuk contoh.5 adalah y t dy dt dt ln t c t ty ln t K dengan K c ln t K y. t t Agar memenuhi nilai awal y maka K harus ditentukan. Untuk t maka y ln K. Oleh karena itu c In K K. Jadi K =. Sehingga penyelesaian yang memenuhi nilai awal adalah ln t y atau ty ln t. t t Latihan soal. ( J.Stewart, kalkulus, hal 5-5) I. Selesaikan persamaan diferensial berikut ini.. y y e. y x 5y x Modul METODE NUMERIK 49

59 . y xy x 4. y xy x 5. xy y e x 6. y cos x ysin x sin x ; x 7. xy xy 8. dy xy x dy 9. x xy cos x II. Selesaikan masalah nilai awal berikut du dt. u., u. du dt. u. t, u du dt u t, u Beberapa soal dibahas. du dt. u., u du Perhatikan u.. dt... Dapat ditulis du dt u. dapat sebagai PD terpisah (.) Solusi yang diinginkan adalah u u t (yang dicari) 5 Dr. Hanna A Parhusip

60 Ruas kiri : du f u du dengan f u. Bagaimanakah menyelesaikan u. u. du?. u. Bentuk ini belum standard terhadap bentuk standard du Jadi u... d ln. c. (.) perlu disusun dalam bentuk standard yaitu dengan substitusi. dp Misal P u. sehingga. Jadi du du u. dp P dp du. Sehingga. (.) Persamaan (.) sudah berbemtuk standard seperti persamaan (.). Jadi du u. dp P ln P c ln u. c. Ruas kanan dari persamaan (..) adalah dt sehingga dt t c. (.4) Dari persamaan(..)-(..4) diperoleh ln u. c t. c Jadi ln u. t K, dengan K c c. Dengan kata lain Modul METODE NUMERIK 5

61 ln u. t C, dengan C K. (.5) Disini u tidak dinyatakan sebagai fungsi t secara eksponen. Jika dikehendaki, ditunjukkan pada berikut ini. Ingat ln e x x. Gunakan pada persamaan (.5) diperoleh ln u. t c u. e e. e karena e e tc t c ab a b e Sehingga kita dapat menulis sebagai u. Ae, A e t c. Atau t u Ae. sehingga t Ae. u. Untuk mendapatkan A perlu digunakan u... A A.. A Diperoleh A =.9. Jadi Kesimpulan.9 t e u. Persamaan Diferensial yang telah kita pelajari, persamaan diferensial tingkat satu sebagai. PD Terpisah. PD Linear Tingkat Satu dengan Faktor Integral Dapat diketahui penyelesaian persamaan diferensial biasa (PDB) orde yang berbentuk dy P( x) y Q( x) secara umum adalah 5 Dr. Hanna A Parhusip

62 P x y x e P ( x) Q x e ( ) ( ) ( ). (.6) Bukti: Formula (.6) diperoleh dengan dy P( x) y Q( x) mencari faktor integral P( x) I( x) e.dengan mengalikan kedua ruas P( x) I( x) e diperoleh dy P( x) P( x P( x) y e Q( x) e ) atau e P( x) dy P( x) ye P( x) Q( x) e P( x) Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh e Integral ruas kiri adalah dy P( x) P x ye P( x ( ) Q( x) e. P ( x) ) e dy P x ye P( x ( ) = P( x) y( x) e. P( x) ) Jadi solusi dy P( x) y Q( x) adalah y( x) e P( x) = Q x e P ( x ) ( ) atau P x y x e P ( x) Q x e ( ) ( ) ( ). Modul METODE NUMERIK 5

63 BAB 4 METODE INTERPOLASI Pada bagian ini kita banyak menggunakan MATLAB sehingga perlu dasardasar pemrograman dengan MATLAB. Hal ini sudah dipelajari pada mata kuliah yang lain sehingga kita hanya menggunakan saja. Tema: Latihan soal interpolasi Yang lalu kita lanjutkan dengan interpolasi cubic spline dan chebyshev 4. Interpolasi cubic spline Diketahui fungsi analitik: y=cos(x) dan kita mempunyai beberapa pasang ( xk, yk) Pasangan titik tersebut disediakan pada Tabel 4. Tahap. Kerjakan seperti pada Tahap dengan interpolasi dengan Lagrange dan Newton yaitu menyediakan titik-titik Tahap. Edit program yang menggunakan spline (lihat dosplineku.m) 4. Interpolasi Chebyshev File: fku.m; cheby.m; Cobacheb.m Tahap. Menyusun fungsi cos(x) function y = fku(x) y=cos(x); Tahap. Menggunakan fungsi cheby.m untuk menyusun polynomial Chebyshev pada file Cobacheb.m clear close all 54 Dr. Hanna A Parhusip

64 N = 5; %derajat polinomial a = -pi; b = pi; [c,x,y] = cheby('fku',n,a,b) %Chebyshev polynomial ftn xx = [-pi:. : pi]; yy = polyval(c,xx); %interpolate for [-,] figure clf, plot(xx,yy,'r-') hold on x=linspace(a,b,5);y=cos(x); plot(x,y,'*') %plot the graph Keluaran program Gambar 4. Tanda * adalah fungsi analitik y=cos(x) sedangkan kurva halus merupakan polynomial chebyshev dengan memperbanyak titik. Catatan : Bagaimana menyusun polinomial Chebyshev?. Diketahui bahwa f ( x) c N ( x) N m d T ( x') m m ab x' x ba Modul METODE NUMERIK 55

65 Dari program diperoleh c=[ ] Penyusunan polinomial dalam bentuk itu telah dilakukan secara otomatis pada fungsi cheby.m Jadi penulisan polinomial dapat mengikuti pola standard yaitu 5 p ( x) -. x 5. 48x 4. x -. 44x -. x x -. 44x. 968 Sedangkan untuk mengilustrasikan dalam bentuk grafik, kita telah menambah beberapa titik lain pada interval domain dan menggunakan fungsi polyval (dari MATLAB) untuk mencari nilai polinomial tiap titik, yaitu pada perintah: xx = [-pi:. : pi]; yy = polyval(c,xx); %interpolasi untuk x pada [-,] Latihan soal 4. Misalkan diberikan data x=[ ] Misalkan diberikan data y adalah: y=[ ] Jika diilustrasikan pasangan x i, y i ditunjukkan pada Gambar 4.. Gambar 4. Hubungan data (x,y) secara grafik 56 Dr. Hanna A Parhusip

66 Pertanyaan: Anggap pasangan data tersebut memenuhi fungsi kontinyu y=sin(x) artinya diharapkan data (x,y) memenuhi fungsi tersebut. (a) Nyatakan dalam interpolasi cubic spline (b) Nyatakan pasangan data tersebut dengan interpolasi chebyshev order 8 (c) Nyatakan pasangan data tersebut dengan interpolasi Newton order 8 Analisalah hasil anda dan berilah keterangan analisa anda Latihan soal 4. Lakukan data yang sama pada soal dengan fitting kurva. Anggap data tersebut merupakan polinomial derajat 5. Gunakan fungsi polyfit.m Soal test. Suatu hasil eksperimen menunjukkan bahwa pada setiap pengukuran nilai x berikut diperoleh nilai y x=[ ] y=[ ] Catatan: sketsalah jawaban anda dengan tangan sesuai dengan keluaran program Posisi titik menyesuaikan I. Asumsikan bahwa y=f(x) dengan asumsi () Fungsi cubik y ax bx cx d a. Tuliskan sistem persamaan linear untuk mencari koefisien dari fungsi tersebut b. Selesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan cara yang anda kenal dan buatlah tabel nilai y pendekatan yang anda peroleh. c. Apakah hasil anda cukup baik?. Jelaskan. () Fungsi trigonometri y=. sin(.*x) a. Susunlah polinomial order 7 yang mendekati fungsi tersebut dengan metode Newton melalui program newtonp.m Modul METODE NUMERIK 57

67 (b) Gambarkan ilustrasi data (ditandai dengan (*)) dan pendekatan ditandai dengan ( ro- ) artinya bernoktah o- dan berwarna merah (c) Jelaskan bagaimana anda mendefinisikan error dan berapa error yang diperoleh (d) Kerjakan dengan Chebyshev. Ilustrasikan pada gambar: hasil newtonp.m, hasil chebyshev dan data II. (a) Gunakan fungsi spline dari MATLAB untuk mendekati y=f(x) (tuliskan parameter yang anda gunakan). Ilustrasikan dalam grafik dengan pola ( o- ) (b) Gabungkan hasil (a) dengan fungsi polyfit (fungsi dari MATLAB) untuk interpolasi polynomial order 7, tandai keluaran pada Gambar (a) dengan ( * ) Catatan: keluaran (a)-(b) adalah Gambar 4.. (c) Susunlah nilai y hasil pendekatan fungsi polyfit pada vektor baris. (d) Bagaimana anda menganalisa hasil ini? (berapa % error terhadap data, mana yang lebih baik) y data - spline polyfit order x Gambar 4. Keluaran /Jawaban soal test 4. Interpolasi polinomial dan turunan Pada bagian ini kita menggunakan fungsi-fungsi pada MATLAB seperti lagranp untuk interpolasi polynomial dan polyder.m untuk mendapatkan 58 Dr. Hanna A Parhusip

68 derivatif numerik apabila kita diberikan hanya file data yang mengandung beberapa data. Langkah ini bisa untuk membuat fungsi interpolasi dengan menggunakan salah satu metode yang dijelaskan dalam Bab 4. dan mendapatkan turunan dari fungsi interpolasi. Beberapa contoh kegiatan diambil dari literature (Wong,dkk,5). Pada Tabel 4. dibuat program menggunakan "lagranp()" untuk menemukan polinomial interpolasi, juga sering menggunakan "polyder()" untuk membedakan polinomial dan menghitung kesalahan yang dihasilkan turunan dari nilai sebenarnya. Mari kita jalankan dengan x yang didefinisikan tepat sesuai dengan serangkaian titik data yang diberikan dan melihat hasilnya. Contoh 4. Misal kita akan mencari turunan dari f(x) = x pada x = π/4, dimana fungsi diberikan sebagai salah satu set titik data berikut: Kasus,sin,,sin,,sin Karena ada titik data, dinyatakan dalam poliomial lagrang orde- sedangkan turunannya sebagai polinomial orde-. Dengan Geogebra kita dapat mencoba menggambar. Gambar 4.4 Kasus Modul METODE NUMERIK 59

69 Tabel 4. Penyelesaian dengan MATLAB Program clear x = [pi/8 pi/4 *pi/8] y = [sin(pi/8) sin(pi/4) sin(*pi/8)] px = lagranp(x,y) % Lagrange polynomial interpolating (x,y) ypolinomial=polyval(px,x) dpx = polyder(px) % derivative of polynomial px dfx = polyval(dpx, x) bandingfungsi=[y' ypolinomial'] bandingturunan=[cos(x)' dfx'] Keluaran x = y = px = ypolinomial = dpx = dfx = bandingfungsi = bandingturunan = Pada tabel 4. kolom keluaran diperoleh nilai fungsi dan nilai turunan. Nilai turunan eksak pada variabel bandingturunan kolom ke-, sedangakan pendekatannya pada kolom ke-. Dapat dilihat bahwa keduanya mempunyai hasil yang cukup dekat. Kasus Scara sama dengan kasus, dipelajari untuk proram-program titik berikut ini: 4 4 (,sin ),,sin,,sin,,sin,,sin Yang diilustrasika dalam gambar Dr. Hanna A Parhusip

70 Gambar 4.5 Kasus Tabel 4. Penyelesaian dengan MATLAB Kasus Program clear x = [ pi/8 pi/4 *pi/8 4*pi/8] y = [sin() sin(pi/8) sin(pi/4) sin(*pi/8) sin(4*pi/8)] px = lagranp(x,y) % Lagrange polynomial interpolating (x,y) ypolinomial=polyval(px,x) dpx = polyder(px) % derivative of polynomial px dfx = polyval(dpx, x) bandingfungsi=[y' ypolinomial'] bandingturunan=[cos(x)' dfx'] Keluaran x = y = px = ypolinomial = dpx = dfx = bandingfungsi = bandingturunan = Pada tabel 4. kolom keluaran diperoleh nilai fungsi dan nilai turunan. Nilai turunan eksak pada variabel banding turunan kolom ke-, sedangkan pendekatan- Modul METODE NUMERIK 6

71 nya pada kolom ke-. Dapat dilihat bahwa keduanya mempunyai hasil yang cukup dekat. Kasus Scara sama dengan kasus dan kasus, dipelajari untuk proram-program titik berikut ini: ,sin,,sin,,sin,,sin,,sin Yang diilustrasikan dalam gambar 4.6 dan program ditunjukkan pada Tabel 4.4. Gambar 4.6. Kasus 6 Dr. Hanna A Parhusip

72 Tabel 4.4 Penyelesaian dengan MATLAB Kasus Program Clear x = [*pi/6 *pi/6 4*pi/6 5*pi/6 6*pi/6]%[,5], angka 5 menunjukkan jumlah derajat y = [sin(*pi/6) sin(*pi/6) sin(4*pi/6) sin(5*pi/6) sin(6*pi/6)]%nilai eksak px = lagranp(x,y) % Lagrange polynomial interpolating (x,y) ypolinomial=polyval(px,x) dpx = polyder(px) % derivative of polynomial px dfx = polyval(dpx, x) bandingfungsi=[y' ypolinomial'] bandingturunan=[cos(x)' dfx'] Keluaran x = y = px = ypolinomial = dpx = dfx = bandingfungsi = bandingturunan = Pada tabel 4.4 kolom keluaran diperoleh nilai fungsi dan nilai turunan. Nilai turunan eksak pada variabel bandingturunan kolom ke-, sedangkan pendekatannya pada kolom ke-. Dapat dilihat bahwa keduanya mempunyai hasil yang cukup dekat. Ini menggambarkan bahwa jika kita memiliki lebih banyak titik yang dibagikan lebih dekat ke titik sasaran, kita mungkin mendapatkan hasil yang lebih baik. Modul METODE NUMERIK 6