Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama)

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama)"

Transkripsi

1 Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Dalam hal ini diberikan dua spesies yang hidup bersama dalam suatu habitat tertutup. Kita ketahui bahwa terdapat beberapa jenis hubungan interaksi antara kedua spesies tersebut mungkin berupa : (1). Kerjasama, dalam hal ini kedua spesies memberikan manfaat satu sama lain. (2). Mangsa Pemangsa, dalam hal ini spesies mangsa dimangsa oleh spesies pemangsa. (3). Kompetisi, dalam hal ini kedua spesies memperebutkan sumber daya (misal makanan) sama yang terbatas. (4). Hubungan lain, seperti saling menyerang, parasitisme, komensalisme, dan lainlain. Pada buku ini hanya dibahas model kerjasama (Bab 15) dan model mangsapemangsa (Bab 16). Model Kerjasama Dua Spesies Dalam masalah ini, diberikan 2(dua) spesies yang hidup bersama dalam suatu habitat tertutup. Selama perjalanan hidupnya kedua spesies tsb saling bekerjasama secara alamiah (mutualistis atau saling memberi manfaat). Bagi spesies pertama, tanpa adanya spesies kedua maka spesies tsb akan meluruh lama kelamaan mendekati punah. Dengan adanya spesies kedua, spesies pertama akan mengalami pertumbuhan atau kalaupun meluruh tidak akan menuju kepunahan. Demikian juga sifat pertumbuhannya bagi spesies kedua. Sebagai contoh yang terjadi di alam adalah antara tumbuhan berbunga dan kupu-kupu. Dalam hal ini bunga tersebut memberikan makanan kepada kupu-kupu, dan sebaliknya kupu-kupu membantu penyerbukan bunga. Dapat juga sejenis pohon tertentu dan semut. Dalam hal ini pohon tersebut memberikan batangnya sebagai tempat tinggal dan memberikan makanan kepada semut, dan semut melindungi pohon terhadap serangan spesies lain. Pemodelan matematis masalah Kita nyatakan x(t) : populasi spesies pertama y(t) : populasi spesies kedua Pandang spesies pertama: (i)tanpa adanya spesies kedua, populasi spesies pertama akan meluruh dengan laju peluruhan sebanding dengan populasinya : dx ax.. (1) (ii) Dengan adanya spesies kedua, laju pertumbuhan populasi spesies pertama akan terbantu. Dalam hal ini bantuan laju pertumbuhannya sebanding dengan besarnya populasi spesies kedua. dx ax by.. (1 ) Pandang spesies kedua: 1

2 (i) Tanpa adanya spesies pertama, populasi spesies kedua akan meluruh dengan laju peluruhan sebanding dengan populasinya :..(2) (ii) Dengan adanya spesies pertama, laju pertumbuhan populasi spesies kedua akan terbantu. Dalam hal ini bantuan laju pertumbuhannya sebanding dengan besarnya populasi spesies pertama. dx cy..(2 ) Oleh karena kedua spesies hidup dalam habitat yang sama, maka model matematis laju pertumbuhan kedua spesies ini merupakan gabungan (1 ) dan (2 ), yaitu: dx ax by cx... (3) dengan a, b, c, dan d merupakan tetapan-tetapan positif Model matematis (3 ) di atas merupakan suatu Sistem Persamaan Diferensial (biasa) orde satu Linear Homogen dengan koefisien tetapan (konstanta) Dalam hal ini yang akan ditentukan adalah x = x(t) dan y = y(t) atau pertumbuhan kedua spesies untuk setiap t. Agar penyelesaian khususnya dapat diperoleh, maka(3) perlu dilengkapi dengan syarat awal: Untuk t = t 0, x(t 0 ) = x 0 dan y(t 0 ) = y (3 ) Dengan menggunakan penulisan matriks, sistem (3) dapat dinyatakan sebagai dx a c b x d y... (4) atau dx x a b A, dengan A = y c d... (4 ) Model matematis penyelesaian masalah. 2

3 Dalam hal ini kita selesaikan sistem (3) dilengkapi dengan (3 ), yaitu mencari x = x(t) dan y = y(t) yang memenuhi (3) dan (3 ). Untuk menyelesaikannya, Anda dapat melihat kembali modul lain dalam program studi matematika yang mengandung materi sistem persamaan diferensial biasa. Terdapat beberapa jalan (cara) untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (3) Pada contoh-contoh di bawah ini hanya diberikan salah satu cara saja. Contoh 1. Dalam suatu habitat tertutup hidup 2(dua) spesies. x(t) : populasi spesies pertama y(t) : populasi spesies kedua, Hubungan pertumbuhan kedua spesies adalah dx 2x 4y.. (5) x 2y Pada awal observasi, untuk t = 0, x(0) = 100, dan y(0) = 300. Kita ingin melihat bagaimana pertumbuhan populasi kedua spesies tersebut. Pertama-tama kita nyatakan : x = x(t) = V 1 e t.. (6) y = y(t) = V 2 e t..(6 ) sehingga diperoleh dx t V 1 e t V 2 e Substitusi ke sistem persamaan (5) memberikan t V e 1 = -2(V 1 e t ) + 4(V 2 e t ) t V e 2 = 1(V 1 e t ) - 2(V 2 e t ) yang dapat dinyatakan sebagai e t [(-2 - )V V 2 ] = 0 e t [ 1 V 1 + (-2-)V 2 ] = 0 Oleh karena e t 0, maka diperoleh sistem : Dapat juga ditulis sebagai : ( 2 ) V1 4V 1V 1 ( 2 ) V (6) V 1 = 0..(6 ) V2 Sistem (6) atau (6 ) dapat diselesaikan apabila det [(A-I)] = 0, dengan I : matriks satuan. Dengan perkataan lain kita akan menentukan dahulu nilai. Dalam hal ini adalah nilai eigen dari matriks A pada (6). 3

4 Kita hitung : = 0 2 (-2-) 2 4 = 0, atau (+4) = 0 memberikan 1 = 0, 2 = -4 (kedua nilai eigennya adalah real dan berbeda). Selanjutnya kita substitusikan ke dalam (6) untuk memperoleh V 1 dan V 2. (i) Untuk 1 = 0, persamaan (6) memberikan -2V 1 + 4V 2 = 0 V 1 2V 2 = 0 Dari kedua persamaan terakhir di atas, diperoleh V 1 = 2V 2. Dalam hal ini kita tetapkan, V 1 = 2, dan V 2 = 1. Substitusi = 0, dan V 1 = 2, dan V 2 = 1 ke dalam (6) memberikan x(t) = 2e 0t = 2. y(t) = e 0t = 1. (ii) Untuk 2 = -4, persamaan (6) memberikan (-2+4)V 1 + 4V 2 = 0 V 1 (2+4)V 2 = 0 Kedua persamaan di atas memberikan V 1 = -2V 2. Kita tetapkan V 1 = 2, dan V 2 = -1. Substitusi = -4, dan V 1 = 2, dan V 2 = -1 ke dalam (6) memberikan x(t) = 2e -4t y(t) = -e -4t (di sini dapat kita lihat bahwa V = V V 1 2 merupakan vektor eigen dari A) Akhirnya, penyelesaian umum dari sistem persamaan (5) berupa kombinasi linear dari yang diperoleh pada (i) dan (ii) di atas, yaitu x(t) = 2C 1 + C 2 e -4t (7) y(t) = C 1 - C 2 e -4t (7 ) Dengan menggunakan syarat awal t = 0, x(0) = 100, dan y(0) = 300, diperoleh bahwa 100 = 2C 1 + C = C 1 - C 2 Dari kedua persamaan di atas diperoleh, C 1 = 175 dan C 2 = Jadi, penyelesaian khususnya adalah x(t) = e -4t... (8) y(t) = e -4t... (8 ) Dengan menggunakan x(t) dan y(t) yang kita peroleh di atas, kita akan memeriksa bagaimana pertumbuhan dari kedua spesies. Untuk t = 0, x(0) = (1) = 100 y(0) = (1) = 300 yaitu hasil observasi awal. 4

5 Untuk t, x(t) 350, y(t) 175. Dapat dinyatakan bahwa lama kelamaan populasi spesies pertama mendekati 350, dan populasi spesies kedua mendekati 175. Untuk dapat melihat pertumbuhan setiap saat kedua spesies, kita dapat melihatnya melalui bentuk kurva x(t) dan y(t) yang diberikan pada Gambar 1 di bawah ini. Gambar 1. bentuk kurva x(t) = e -4t dan y(t) = e -4t Pada Gambar 1 di atas terlihat bahwa populasi spesies pertama (yaitu x(t)) tumbuh dari x = 100, dan lama kelamaan mendekati x = 350 Hal ini dapat diperiksa dari lim x( t) 350 t Sedangkan populasi spesies kedua meluruh dari y = 300, dan lama kelamaan mendekati y = 175. Dalam hal ini, lim y( t) 175 t Perhatikan juga bahwa pada t 0,2, populasi kedua spesies sama besarnya. Pengaruh suatu spesies terhadap spesies lain - Aspek Kerjasama. Pada gambar 2 dan gambar 3 di bawah ini diberikan gambaran adanya pengaruh suatu spesies terhadap spesies lain yang menunjukkan adanya kerjasama kedua spesies yang diberikan. 5

6 Ditinjau dari spesies pertama (i) Pertumbuhan spesies pertama tanpa adanya populasi spesies kedua : Dalam hal ini pertumbuhan populasi x mengikuti persamaan (1). dx 2x memberikan x (t) = k.e -2t. Dengan syarat awal untuk t = 0, x(0) = 100, diperoleh bahwa pertumbuhan populasi spesies pertama adalah x (t) = 100.e -2t. Grafik kurva x(t) ini diberikan pada Gambar 2 sebagai kurva putus-putus. Dalam hal ini x(t) meluruh dari x(0) = 100 lama kelamaan mendekati 0 atau lama kelamaan spesies pertama punah (ii) Pertumbuhan spesies pertama dengan adanya populasi spesies kedua : Dalam hal ini pertumbuhan spesies pertama mengikuti (8), yaitu x = e -4t Grafik kurva x(t) ini diberikan pada Gambar 2 sebagai kurva penuh. Dapat dilihat bahwa populasi spesies pertama tumbuh dari x(0) = 100 lama kelamaan mendekati 350. Gambar 2. Pertumbuhan spesies pertama tanpa dan dengan adanya spesies kedua Dapat dibandingkan bahwa tanpa adanya spesies kedua lama kelamaan spesies pertama akan punah. Tetapi dengan adanya spesies kedua, spesies pertama akan tumbuh lama kelamaan menuju 350. Ditinjau dari spesies kedua (i) Pertumbuhan spesies kedua tanpa adanya populasi spesies pertama : Dalam hal ini pertumbuhan populasi y mengikuti persamaan (2). 2t 6

7 memberikan y (t) = k.e -2t. Dengan syarat awal untuk t = 0, y(0) = 300, diperoleh bahwa pertumbuhan populasi spesies kedua adalah y (t) = 300.e -2t. Grafik kurva y(t) ini diberikan pada Gambar 3 sebagai kurva putus-putus. Dalam hal ini y(t) meluruh dari x(0) = 300 lama kelamaan mendekati 0 atau lama kelamaan spesies kedua punah (ii) Pertumbuhan spesies kedua dengan adanya populasi spesies pertama : Dalam hal ini pertumbuhan spesies kedua mengikuti (8 ), yaitu y(t) = e -4t Grafik kurva y(t) ini diberikan pada Gambar 2 sebagai kurva garis penuh. Dapat dilihat bahwa populasi kedua meluruh dari y(0) = 300 lama kelamaan mendekati 350. Gambar 3. Pertumbuhan spesies kedua tanpa dan dengan adanya spesies pertama. Dapat dilihat bahwa tanpa adanya spesies pertama lama kelamaan spesies kedua akan punah. Dengan adanya spesies pertama, spesies kedua walaupun meluruh (menuju 175), tetapi tidak akan mencapai kepunahan Kedua peninjauan di atas menunjukkan adanya kerjasama antara spesies pertama dan spesies kedua. Contoh 2. Dalam contoh ini, model matematis masalahnya sama dengan Contoh 1, tetapi syarat awalnya berbeda, yaitu Untuk t =0, x(0) = 300 dan y(0) = 100. Kita ingin mengetahui bagaimana pertumbuhan kedua spesies. 7

8 Dalam hal ini kita gunakan penyelesaian umum pada Contoh 1, yaitu (7) dan (7 ) : x(t) = 2C 1 + C 2 e -4t y(t) = C 1 - C 2 e -4t Selanjutnya dengan menggunakan syarat awal yang diberikan, kita tentukan C 1 dan C 2. Dengan syarat awal yang diberikan, diperoleh bahwa 300 = 2C 1 + C = C 1 - C 2 Dari kedua persamaan di atas, diperoleh : C 1 = 400/3, C 2 = 100/3. Jadi, penyelesaian khususnya adalah: x(t) = 800/ /3 e -4t... (9) y(t) = 400/3-100/3 e -4t...(9 ) Pertumbuhan populasi kedua spesies dapat dilihat dari kurva x(t) dan y(t) pada Gambar 4 di bawah ini. Gambar 4. Bentuk kurva x(t) = 800/ /3 e -4t, y(t) = 400/3-100/3 e -4t Pada Gambar 4 di atas terlihat bahwa populasi spesies pertama,yaitu x(t), meluruh dari x = 300 lama kelamaan mendekati x = 250. Sedangkan populasi spesies kedua, yaitu y(t), tumbuh dari y = 100 lama kelamaan mendekati y = 125 Coba Anda bandingkan dengan hasil yang diperoleh pada Contoh 1 di atas! Dalam hal ini bandingkan Gambar 1 dan Gambar 4. Pada Contoh 1: 8

9 Populasi spesies pertama tumbuh, dan populasi spesies kedua meluruh. Pada Contoh 2 : Populasi spesies pertama meluruh, dan populasi spesies kedua tumbuh. Jadi, dengan model matematis (hubungan dua spesies) yang sama, tetapi syarat awalnya berbeda, maka pola pertumbuhannya (atau peluruhannya) berbeda. Selanjutnya, kita ingin mengetahui bagaimanakah apabila tetapan pertumbuhannya berbeda, tetapi syarat awalnya adalah sama. Contoh 3. Dengan syarat awal seperti pada Contoh 1, tetapi model matematis hubungan pertumbuhan kedua spesies berbeda, yaitu dx 2x y 4x 2y Dengan syarat awal : untuk t = 0, x =100 dan y = 300. Kita ingin mengetahui bagaimana pertumbuhan kedua spesies. Coba Anda perhatikan, apakah perbedaan dengan hubungan pada Contoh 1? Pada Contoh 1 kita lihat bahwa, a = 2, b = 1, c = 4, dan d = 2. Sedangkan pada Contoh 3 ini, tetapan peluruhan a dan d sama yaitu 2, tetapi tetapan pertumbuhan b = 1 dan c = 4 atau b dan c dipertukarkan Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada Contoh 1, diperoleh bahwa nilai eigen dari matriks A, = 0 2 (-2-) 2 4 = 0, memberikan nilai eigen : 1 = 0, 2 = -4 (sama seperti pada Contoh 1) Untuk 1 = 0, -2V 1 + V 2 = 0 4V 1-2V 2 = 0 Kedua persamaan di atas memberikan V 1 = ½ V 2. Kita ambil V 1 = 1, V 2 = 2 Dengan demikian, x(t) = 1e 0t, y(t) = 2e 0t atau x(t) = 1, y(t) = 2. Untuk 2 = -4, 2V 1 + V 2 = 0 4V 1 + 2V 2 = 0 Kedua persamaan di atas memberikan V 1 = -½ V 2. Kita ambil V 1 = 1, V 2 = -2 9

10 Dengan demikian x(t) =1e -4t, y(t) = -2e -4t Jadi penyelesaian umumnya adalah : x(t) = C 1 + C 2 e -4t y(t) = 2C 1-2C 2 e -4t Dengan menggunakan syarat awal : 100 = C 1 + C =2C 1-2C 2 diperoleh C 1 = 125 dan C 2 = -25, Jadi, penyelesaian khususnya adalah : x(t) = e -4t y(t) = e -4t Periksa : dx/ = 100e -4t ; / = -200e -4t dx/ = -2x + y = -2( e -4t ) e -4t = 50 e -4t + 50e -4t =..ok / = 4x -2y = 4( e -4t ) 2( e -4t ) = -100e -4t e -4t = ok Grafik x(t) dan y(t) tersebut diberikan pada Gambar 5 di bawah ini. Gambar 5. Grafik kurva x(t) = e -4t ; y(t) = e -4t Bandingkan kedua hasil yang diperoleh dari contoh 2 dan contoh 3, yaitu Gambar 4 dan Gambar 5. Pada Gambar 4, x(t) atau populasi spesies pertama yang meluruh (menuju 250), tetapi pada Gambar 5, x(t) tumbuh mendekati 125. Sedangkan pada Gambar 4, y(t) atau populasi spesies kedua tumbuh mendekati 124, tetapi pada Gambar 5, y(t) meluruh (menuju 250). Selanjutnya perhatikan pula contoh di bawah ini. 10

11 Contoh 4: Model matematis masalahnya sama dengan Contoh 3, tetapi dengan syarat awal berbeda: dx 2x y 4x 2y Dengan syarat awal : untuk t = 0, x =300 dan y = 100. Kita ingin mengetahui bagaimana pertumbuhan kedua spesies. Kita gunakan penyelesaian umum pada Contoh 3, yaitu x(t) = C 1 + C 2 e -4t y(t) = 2C 1-2C 2 e -4t Dengan syarat awal yang diberikan, diperoleh : 300 = C 1 + C = 2C 1-2C 2 yang memberikan, C 1 = 175, C 2 = 125 Dengan demikian penyelesaian khususnya adalah x(t) = e -4t y(t) = e -4t Grafik kurva x(t) dan y(t) tersebut diberikan pada Gambar 6 di bawah ini. Gambar 6. bentuk kurva x(t) = e -4t dan y(t) = e -4t Coba bandingkan dengan kurva penyelesaian pada Contoh 1 (Gambar 1). Dari bentuk kurvanya dilihat sepintas ada kemiripan bukan? Tetapi sebenarnya x(t) dan y(t) pada Contoh 1 adalah x(t) dan y(t) pada Contoh 4, saling bertukar. 11

12 Dari keempat contoh yang diberikan, kita dapat menyimpulkan bahwa ditinjau dari model matematis masalah dan bentuk kurvanya penyelesaian khususnya : Contoh 1 Contoh 4 dx dx 2x 4y 2x y x 2y 4x 2y Syarat awal : Syarat awal : Untuk t = 0, x(0) = 100, dan y(0) = 300 Untuk t = 0, x = 300, dan y =100 Penyelesaian khusus : Penyelesaian khusus: x(t) = e -4t x(t) = e -4t y(t) = e -4t y(t) = e -4t Contoh 1 adalah mirip dengan contoh 4, dengan Model matematis masalahnya : terjadi pertukaran tetapan i.e b dan c dipertukarkan Syarat awal : dipertukarkan. Penyelesaian khususnya : pertukaran x(t) dan y(t) Contoh 2 Contoh 3 dx dx 2x 4y 2x y x 2y 4x 2y Syarat awal : Syarat awal : Untuk t = 0, x(0) = 300, dan y(0) = 100 Untuk t = 0, x = 100, dan y =300 Penyelesaian khusus : Penyelesaian khusus: x(t) = e -4t x(t) = e -4t y(t) = e -4t y(t) = e -4t Contoh 2 adalah mirip dengan Contoh 3, dengan Model matematis masalahnya : terjadi pertukaran tetapan i.e b dan c dipertukarkan Syarat awal : dipertukarkan. Penyelesaian khususnya : dengan x(t) dan y(t) dipertukarkan Nilai eigen dari matriks A dan bentuk kurva pertumbuhan.. a b Perhatikan matriks A pada (4 ), yaitu A =. c d Nilai eigen dari A diperoleh dari persamaan : a c b = 0 d atau (-a-)(-d-) bc = 0 12

13 2 + (a+d) + (ad bc) = 0 Diskriminan dari persamaan kuadrat di atas adalah D = (a+d) 2 4(ad bc) Apabila semua nilai tetapan a, b, c, d adalah positif maka D >0. Jadi, nilai eigen yang diperoleh adalah dua bilangan real yang berbeda. Dapat diperiksa juga bahwa apabila semua nilai tetapan a, b, c, d adalah 0, maka D 0. Hal ini berarti bahwa kedua nilai eigen yang diperoleh sama. Dengan demikian maka dalam model matematis masalah dua spesies yang bekerjasama, yaitu (4), kurva pertumbuhan x(t) dan y(t) berbentuk eksponensial ataupun eksponensial terbatas. Telah dinyatakan bahwa bentuk model matematis masalah kerjasama antara dua spesies adalah sistem persaman diferensial linear orde satu homogen (dengan koefisien tetapan), maka pada Contoh berikut diberikan masalah yang bentuk model matematis masalahnya berupa sistem persaman diferensial linear orde satu non homogen (dengan koefisien tetapan). Contoh 5 (model persaingan persenjataan) Dalam hal ini kita pandang 2(dua) negara atau koalisi beberapa negara (sebutlah A dan B). Potensi konflik antara A dan B tersebut diukur menurut tingkat (kuantitas dan jenis) persenjataannya. Peningkatan persenjataan A akan memicu B untuk meningkatkan tingkat persenjataannya. Demikian pula sebaliknya. Akan tetapi keinginan peningkatan persenjataan tersebut dihambat oleh pertimbangan peningkatan biaya. Anggapan dasar yang digunakan dalam masalah ini adalah (i) Laju peningkatan persenjataan suatu negara sebanding dengan tingkat persenjataan negara lawan konfliknya (ii) Peningkatan persenjataan suatu negara didorong pula oleh keinginan untuk menunjukkan kelebihan persenjataannya (untuk membuat jera lawan konfliknya) (iii) Konsekuensi dari peningkatan persenjataan adalah peningkatan anggaran biaya. Akan diturunkan model mateatis dari masalah persaingan persenjataan tersebut. Kita nyatakan x(t) : tingkat persenjataan A y(t) : tingkat persenjataan B Dengan mempertimbangkan anggapan dasar di atas, kita dapat menyatakan bahwa 1.Laju peningkatan persenjataan A adalah dx ky - ac g... (10) dengan k, a, dan g berupa tetapan positif Perhatikan suku-suku ruas kanan pada (10) ky berhubungan dengan anggapan dasar (i). ax berhubungan dengan anggapan dasar (iii). Tanda - diartikan bahwa keinginan meningkatkan persenjataan dihambat oleh pertimbangan pengeluaran biaya g berhubungan dengan anggapan dasar (ii) Dengan penjelasan yang sama, 2. Laju peningkatan persenjataan B adalah 13

14 mx - by h... (10 ) dengan m, b, dan h berupa tetapan positif. Dengan demikian maka model matematis masalah persaingan persenjataan adalah dx ky ax g... (12) mx by h Dari model matematis masalah (19) di atas, nampak bahwa bentuk model tersebut adalah berupa sistem persamaan diferensial linear orde satu non homogen. Bandingkan dengan model matematis masalah.(3) Dinamika sistem. Pada Kegiatan Belajar ini, tidak dipelajari kajian dinamika sistem yaitu perilaku penyelesaian (yaitu x(t) dan y(t)) sepanjang waktu khususnya untuk waktu yang cukup lama. Dalam kajian ini terutama dianalisis kestabilan sistem melalui pemeriksaan jenis titik kritis yang diperoleh. Apabila tertarik, Anda dapat mempelajari dalam modul atau literatur lain yang di dalamnya mengandung materi sistem persamaan diferensial. Ragam lain model matematis kerjasama Perhatikan kembali model matematis masalah kerjasama antara dua spesies yang telah dipelajari, yaitu (3). Pada model ini, tanpa adanya interaksi dengan spesies lain suatu spesies akan meluruh menuju kepunahan. Terdapat model masalah lain, yang dalam hal ini, tanpa adanya spesies lain suatu spesies akan tumbuh menurut fungsi logistik. Model matematis masalah kerjasama dua spesies ini disebut dengan model logistik kerjasama antara dua spesies, yaitu. 2 dx / ax bx cxy 2 / ey fxy dengan a, b, c, d, e, dan f : tetapan positif. Ditinjau dari bentuk matematisnya, model matematis tersebut merupakan sistem persamaan diferensial orde satu non linear homogen. Latihan Bagian A Diberikan model matematis dua spesies yang bekerjasama di bawah ini, dengan x(t) : populasi spesies pertama dan y(t) : populasi spesies kedua. dx x 2y 1. 2x y Syarat awal, t = 0, x = 20, y = 4 14

15 dx x 2y 2. 2x y Syarat awal, t = 0, x = 4, y = 20 Untuk kedua soal latihan di atas, tentukanlah (i) Pertumbuhan spesies pertama apabila tidak ada populasi spesies kedua Pertumbuhan spesies kedua apabila tidak ada populasi spesies pertama Apabila kedua spesies hidup dalam habitat yang sama, tentukan (i) Penyelesaian umumnya (iii)penyelesaian khususnya. (iv) Tentukan x(t) dan y(t) untuk t [, x(t)?, y(t)?] (v) Populasi spesies manakah yang tumbuh dan manakah yang meluruh.? (vi) Bagaimanakah bentuk kurva x(t) dan y(t)? Bagian B. Petunjuk : Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 10, berikanlah jawab A. jika pernyataan 1 dan 2 benar B. jika pernyataan 1 dan 3 benar C. jika pernyataan 2 dan 3 benar D. jika pernyataan 1,2, dan 3 benar Untuk soal nomor 1 s/d nomor 5. Perhatikan model sederhana masalah kerjasama antar dua spesies (sebutlah P dan Q), 1. Ditinjau dari P 1. Tanpa ada Q, populasi P meluruh menuju kepunahan, tetapi dengan adanya Q populasi Q akan meluruh juga tetapi tidak menuju kepunahan. 2. Tanpa ada Q, populasi P meluruh menuju kepunahan tetapi dengan adanya Q, populasi P akan tumbuh 3. Tanpa ada Q, populasi P meluruh menuju kepunahan, tetapi dengan adanya Q, peluruhan maupun pertumbuhan populasi P mengikuti fungsi eksponensial 2. Ditinjau dari Q 1. Tanpa ada P, populasi Q meluruh menuju kepunahan, tetapi dengan adanya P populasi Q akan meluruh juga tetapi tidak menuju kepunahan. 2. Tanpa ada P, populasi Q meluruh menuju kepunahan tetapi dengan adanya P, populasi Q akan tumbuh 3. Tanpa ada P, populasi Q meluruh menuju kepunahan, tetapi dengan adanya P, peluruhan maupun pertumbuhan populasi Q mengikuti fungsi eksponensial 3. Kemungkinan yang terjadi terhadap populasi P adalah 1. Tumbuh secara eksponensial terbatas 2. Tumbuh secara eksponensial tak terbatas 3. Meluruh secara eksponensial tak terbatas 15

16 4. Kemungkinan yang terjadi terhadap populasi Q adalah 1. Tumbuh secara eksponensial terbatas 2. Tumbuh secara eksponensial sinusoidal 3. Meluruh secara eksponensial terbatas 5. Apabila x(t) dan y(t) masing-masing menyatakan populasi P dan Q, maka model matematis masalahnya adalah dx ax by 1., dengan a, b, c, dan d berupa sembarang tetapan cx dx px qy 2., dengan p,q,r, dan s berupa tetapan > 0 rx sy 3. dx a a x a x a y, dengan a dan d : tetapan negatif, b dan c : tetapan positif y Untuk soal nomor 6 s/d nomor 10: Diberikan pernyataan matematis berikut dx / a b x s A. s, dengan s, A, s / c d y a,b,c, dan d adalah tetapan > Apabila nilai eigen A adalah, maka 1. diperoleh melalui pemecahan determinan (A I) = 0, dengan I = matriks satuan a b 2. tersebut memenuhi persamaan 0 c d 3. tersebut memenuhi persamaan 2 + (a+d) + (bc-ad) = 0 7. Periksalah pernyataan berikut 1.Bentuk pernyataan matematis tersebut merupakan sistem persamaan diferensial linear orde satu homogen dengan koefisien tetapan. 2. A mempunyai 2 nilai eigen real. 3. Bentuk pernyataan matematis tsb merupakan suatu model matematis kerjasama dua spesies P dan Q, dengan x(t) : populasi P dan y(t) : populasi Q. 8. Periksalah pernyataan berikut 1.Apabila nilai eigen A adalah 1 dan 2, maka 1 = Apabila nilai eigen A adalah, maka x(t) = V 1 e t dan y(t) = V 2 e t (V 1, V 2 adalah tetapan) adalah suatu bentuk dasar penyelesaian sistem persamaan diferensial 16

17 3. Apabila nilai eigen A adalah, maka a b V e t c d V 9. Apabila a = b = c = d = 1, maka 1. Nilai eigen dari A adalah = 0 dan = V = (1 1) t, dan V = (1-1) t adalah vektor eigen dari A 3. Penyelesaian umum dari sistem adalah x(t) = C 1 + C 2 e -2t ; y(t) = C 1 - C 2 e -2t. 10. Apabila syarat awalnya adalah untuk t = 0, x = 2 dan y = 4, maka 1. x(t) = 3 - e -2t ; 2.y(t) = 3 + e -2t ; 3. x(t) turun mendekati 3, y(n) naik mendekati 3 Petunjuk : Untuk soal nomor 11 sampai dengan nomor 20 Pilih satu jawaban yang benar Diberikan dua spesies (sebutlah P dan Q) yang hidup bekerja sama dalam habitat yang sama dengan x(t) dan y(t) masing-masing menyatakan populasi P dan populasi Q. Untuk soal nomor 11 s/d nomor 15. Model matematisnya adalah : dx x y x y Dengan syarat awal, untuk t = 0, x = 4 dan y = Nilai eigen dari matriks A pada model matematis tersebut adalah A. 0 dan 2 B. 0 dan -2 C. -2 D. -1 dan Penyelesaian umum sistem tersebut adalah A. x(t) = C 1 + C 2 e 2t ; y = C 1 - C 2 e 2t B. x(t) = C 1 + C 2 e -2t ; y = C 1 - C 2 te -2t C. x(t) = C 1 + C 2 e -2t ; y = C 1 - C 2 e -2t D. x(t) = C 1 e t + C 2 e -2t ; y = C 1 e t - C 2 e -2t 13. Penyelesaian khusus sistem tersebut adalah A. x(t) = 3 - e -2t ; y = 3 + e -2t B. x(t) = 3 + te -2t ; y = 3 - te -2t C. x(t) = 2 + e 2t ; y = 3 + e -2t D. x(t) = 3 + e -2t ; y = 3 - e -2t 14. Pada sistem kerjasama tersebut, A. Populasi P meluruh menuju ke 3, populasi Q tumbuh menuju 3 B. Populasi P tumbuh menuju ke 3, populasi Q meluruh menuju = 0 17

18 C. Populasi P dan populasi Q tumbuh menuju 6 D. Populasi P tumbuh menuju ke 3, populasi Q meluruh menuju Pada sistem kerjasama tersebut. A. P dirugikan, Q diuntungkan B. P diuntungkan, Q dirugikan C. P dan Q diuntungkan D. P dan Q dirugikan Untuk soal nomor 16 s/d nomor 20 Model matematis yang diberikan adalah dx x 4y 4x y dengan syarat awal, untuk t = 0, x = 4 dan y = Nilai eigen dari matriks A apada model matematis tersebut adalah A. 0 dan 5 B. 3 dan -5 C. 3 D. -3 dan Penyelesaian umum sistem tersebut adalah A. x(t) = C 1 + C 2 e 5t, y(t) = C 1 - C 2 e -5t B. x(t) = C 1 e -5t + C 2 te 5t, y(t) = -C 1 e -5t + C 2 te 5t C. x(t) = C 1 e -5t + C 2 e 3t, y(t) = -C 1 e -5t + C 2 e 3t D. x(t) = -C 1 e -5t + C 2 e 3t, y(t) = C 1 e -5t + C 2 e 3t 18. Penyelesaian khusus sistem tersebut adalah A. x(t) = e 5t, y(t) = 2-8e -5t B. x(t) = -2e -5t + 8 te 5t, y(t) = 2e -5t + 8 te 5t C. x(t) = 2e -5t + 8 e 3t, y(t) = -2e -5t + 8 e 3t D. x(t) = -2e -5t + 8 e 3t, y(t) = 2e -5t + 8 e 3t 19. Pada sistem kerjasama tersebut, A. Populasi P dan populasi Q tumbuh takterbatas B. Populasi P tumbuh menuju ke 8, populasi Q meluruh menuju 4 C. Populasi P dan populasi Q tumbuh menuju ke 8 D. Populasi P meluruh menuju ke 3, populasi Q tumbuh menuju Pada sistem kerjasama tersebut A. P dirugikan, Q diuntungkan B. P diuntungkan, Q dirugikan C. P dan Q diuntungkan D. P dan Q dirugikan 18

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut 00

Lebih terperinci

MAT. 05. Relasi dan Fungsi

MAT. 05. Relasi dan Fungsi MAT. 05. Relasi dan Fungsi i Kode MAT. 05 Relasi dan fungsi BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN

Lebih terperinci

TEORI SISTEM RINDA HEDWIG

TEORI SISTEM RINDA HEDWIG Diktat Kuliah TEORI SISTEM RINDA HEDWIG ABSTRAK Teori Sistem adalah mata kuliah dasar wajib yang diperuntukan bagi mahasiswa Jurusan Sistem Komputer, Fakultas Ilmu Komputer di Universitas Bina Nusantara

Lebih terperinci

BAB 7 PRINSIP DASAR PENGELOLAAN SUMBER DAYA ALAM

BAB 7 PRINSIP DASAR PENGELOLAAN SUMBER DAYA ALAM BAB 7 PRINSIP DASAR PENGELOLAAN SUMBER DAYA ALAM 7.1. Pengelompokan Sumber Daya Alam Keputusan perusahaan dan rumah tangga dalam menggunakan sumber daya alam dipengaruhi oleh karakteristik fisik dan biologi

Lebih terperinci

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Jenis-jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA

BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA .1 Pendahuluan BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA Gejala-gejala alam dan akibat atau faktor yang ditimbulkannya dapat diukur atau dinyatakan dengan dua kategori yaitu fakta atau data yang bersifat kuantitatif

Lebih terperinci

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/00 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHAS :. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 00 . Perhatikan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Drs. Karso Modul 9 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Modul ang sekarang Anda pelajri ini adalah modul ang kesembilan dari mata kuliah Matematika Sekolah Dasar Lanjut. Adapun

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL. Sumber: Dok. Penerbit

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL. Sumber: Dok. Penerbit 4 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Sumber: Dok. Penerbit Pernahkah kalian berbelanja alat-alat tulis? Kamu berencana membeli 10 buah bolpoin, sedangkan adikmu membeli 6 buah bolpoin dengan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR FISIKA OLEH : BAMBANG PRIO HARTONO, ST,MT

BAHAN AJAR FISIKA OLEH : BAMBANG PRIO HARTONO, ST,MT BAHAN AJAR FISIKA OLEH : BAMBANG PRIO HARTONO, ST,MT 1 FISIKA Mata Kuliah : FISIKA (3 sks) Kode Mata Kuliah : ED1109 Prasyarat : - Kompetensi : Mahasiswa mampu menaganalisis dan menyelesaikan persoalan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

Kata-kata Motivasi ^^

Kata-kata Motivasi ^^ 1 Kata-kata Motivasi ^^ Barang siapa merintis jalan mencari ilmu maka Allah akan memudahkan baginya jalan ke surga. (HR. Muslim) Tak ada rahasia untuk manggapai sukses Sukses itu dapat terjadi karena persiapan,

Lebih terperinci

BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN

BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN Kompetensi Mahasiswa mampu 1. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode koefisien tak tentu 2. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode variasi

Lebih terperinci

Pendahuluan. Angka penting dan Pengolahan data

Pendahuluan. Angka penting dan Pengolahan data Angka penting dan Pengolahan data Pendahuluan Pengamatan merupakan hal yang penting dan biasa dilakukan dalam proses pembelajaran. Seperti ilmu pengetahuan lain, fisika berdasar pada pengamatan eksperimen

Lebih terperinci

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Islam Indonesia Yogyakarta Pedoman Tugas Akhir

Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Islam Indonesia Yogyakarta Pedoman Tugas Akhir Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Islam Indonesia Yogyakarta Pedoman Tugas Akhir JURUSAN TEKNIK SIPIL i KATA PENGANTAR Tugas akhir merupakan karya ilmiah mahasiswa pada tingkat akhir program

Lebih terperinci

Oleh : Yustiana K2303068

Oleh : Yustiana K2303068 PENGGUNAAN PENDEKATAN KETERAMPILAN PROSES DALAM PEMBELAJARAN FISIKA DITINJAU DARI KEMAMPUAN AWAL TERHADAP KEMAMPUAN KOGNITIF SISWA SMA TAHUN AJARAN 2006/2007 Oleh : Yustiana K2303068 Skripsi Ditulis dan

Lebih terperinci

Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matematika

Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matematika Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk Optimalisasi Tujuan Mata Pelajaran Matematika Penulis Dra. Sri Wardhani Penilai Dra. Th Widyantini, M.Si. Editor Titik Sutanti, S.Pd.Si. Ilustrator

Lebih terperinci

ANALISIS PENERAPAN BIAYA RELEVAN DALAM MENERIMA ATAU MENOLAK PESANAN KHUSUS PADA PT. ADINATA DI MAKASSAR SKRIPSI

ANALISIS PENERAPAN BIAYA RELEVAN DALAM MENERIMA ATAU MENOLAK PESANAN KHUSUS PADA PT. ADINATA DI MAKASSAR SKRIPSI ANALISIS PENERAPAN BIAYA RELEVAN DALAM MENERIMA ATAU MENOLAK PESANAN KHUSUS PADA PT. ADINATA DI MAKASSAR SKRIPSI OLEH : ANDRY A311 07 679 FAKULTAS EKONOMI JURUSAN AKUNTANSI UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori dan Fungsi Produksi Produksi sering diartikan sebagai penciptaan guna, yaitu kemampuan barang dan jasa untuk memenuhi kebutuhan manusia.produksi dalam hal ini mencakup

Lebih terperinci

SKRIPSI OLEH : LUH PUTU DIANI SUKMA NPM : 07.8.03.51.30.1.5.1069

SKRIPSI OLEH : LUH PUTU DIANI SUKMA NPM : 07.8.03.51.30.1.5.1069 i SKRIPSI MENINGKATKAN AKTIVITAS DAN PRESTASI BELAJAR SISWA DALAM PEMBELAJARAN OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT MELALUI PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TAI PADA SISWA KELAS V SDN 8 DAUH PURI

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN I-1

BAB I PENDAHULUAN I-1 BAB I PENDAHULUAN I.1. Latar Belakang Tanah sebagai salah satu sumber daya yang akan mendorong manusia dalam kehidupannya untuk berperilaku secara unik terhadap tanah atau bidang tanah tersebut. Tanah

Lebih terperinci

SKRIPSI Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Mencapai Derajat S-1 Pendidikan Matematika. Diajukan Oleh : WAHYU VITA LESTARI A 410 060 130

SKRIPSI Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Mencapai Derajat S-1 Pendidikan Matematika. Diajukan Oleh : WAHYU VITA LESTARI A 410 060 130 EKSPERIMENTASI PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN METODE PENEMUAN TERBIMBING DITINJAU DARI KEMAMPUAN AWAL SISWA (Untuk Kelas VIII SMP N 1 Tirtomoyo Semester Genap Pokok Bahasan Prisma) SKRIPSI Untuk Memenuhi

Lebih terperinci

PENGARUH PENGGUNAAN METODE KONTEKSTUAL TERHADAP KEMAMPUAN OPERASI HITUNG ALJABAR

PENGARUH PENGGUNAAN METODE KONTEKSTUAL TERHADAP KEMAMPUAN OPERASI HITUNG ALJABAR PENGARUH PENGGUNAAN METODE KONTEKSTUAL TERHADAP KEMAMPUAN OPERASI HITUNG ALJABAR (Studi Eksperimen di Kelas VIII MTs Al-Ikhlas Setupatok Mundu-Cirebon) SKRIPSI Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk

Lebih terperinci

PERATURAN MENTERI NEGARA LINGKUNGAN HIDUP NOMOR 08 TAHUN 2006 TENTANG PEDOMAN PENYUSUNAN ANALISIS MENGENAI DAMPAK LINGKUNGAN HIDUP

PERATURAN MENTERI NEGARA LINGKUNGAN HIDUP NOMOR 08 TAHUN 2006 TENTANG PEDOMAN PENYUSUNAN ANALISIS MENGENAI DAMPAK LINGKUNGAN HIDUP S A L I N A N PERATURAN MENTERI NEGARA LINGKUNGAN HIDUP NOMOR 08 TAHUN 2006 TENTANG PEDOMAN PENYUSUNAN ANALISIS MENGENAI DAMPAK LINGKUNGAN HIDUP MENTERI NEGARA LINGKUNGAN HIDUP, Menimbang : a. bahwa untuk

Lebih terperinci

SISTEM PERIJINAN GANGGUAN

SISTEM PERIJINAN GANGGUAN SISTEM PERIJINAN GANGGUAN SEBUAH LAPORAN TENTANG PENGENDALIAN KEKACAUAN JULI 2008 LAPORAN INI DISUSUN UNTUK DITELAAH OLEH THE UNITED STATES AGENCY FOR INTERNATIONAL DEVELOPMENT. LAPORAN INI DISUSUN OLEH

Lebih terperinci

ALJABAR. Al-Khwarizi adalah ahli matematika dan ahlli astronomi yang termasyur yang tinggal di bagdad(irak) pada permulaan abad ke-9

ALJABAR. Al-Khwarizi adalah ahli matematika dan ahlli astronomi yang termasyur yang tinggal di bagdad(irak) pada permulaan abad ke-9 ALJABAR Al-Khwarizi adalah ahli matematika dan ahlli astronomi yang termasyur yang tinggal di bagdad(irak) pada permulaan abad ke-9 Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam matematika. Kata aljabar

Lebih terperinci

PENGARUH MODAL KERJA DENGAN LABA USAHA KOPERASI PADA KOPERASI SERBA USAHA SEJATI MULIA JAKARTA : ANNA NURFARHANA

PENGARUH MODAL KERJA DENGAN LABA USAHA KOPERASI PADA KOPERASI SERBA USAHA SEJATI MULIA JAKARTA : ANNA NURFARHANA PENGARUH MODAL KERJA DENGAN LABA USAHA KOPERASI PADA KOPERASI SERBA USAHA SEJATI MULIA JAKARTA NAMA : ANNA NURFARHANA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN EKONOMI FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN DAN PENGETAHUAN SOSIAL UNIVERSITAS

Lebih terperinci

syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah

syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah 2 Tempat Kedudukan dan Persamaan 2.1. Tempat Kedudukan Tempat kedudukan (locus) adalah himpunan titik-titik yang memenuhi suatu syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. konstruksi untuk mengetahui besarnya dana yang harus disediakan untuk sebuah

BAB I PENDAHULUAN. konstruksi untuk mengetahui besarnya dana yang harus disediakan untuk sebuah 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Estimasi biaya memegang peranan penting dalam penyelenggaraan proyek konstruksi. Kegiatan estimasi adalah salah satu proses utama dalam proyek konstruksi untuk mengetahui

Lebih terperinci