Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 3. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
|
|
|
- Handoko Budiman
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 3 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
2 Daftar Isi 1 Teknik Pengintegralan Ke-3 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial Dekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Linear) Faktor Linear yang Berbeda Faktor Linear yang Berulang Faktor Linear Campuran Dekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat) Faktor Kuadrat Tunggal Faktor Kuadrat Berulang Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
3 Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswa memiliki kejelian melihat bentuk soal. sehingga faktor latihan sangat penting untuk memperoleh hasil yang diinginkan. Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda InsyaAllah akan menuai kesuksesan. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
4 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi polinomial. Contoh - contoh fungsi rasional adalah f (x) = 2 (x + 1) 3 g(x) = 2x + 2 x 2 4x + 8 h(x) = x5 + 2x 3 x + 1 x 3 + 5x Fungsi f dan g adalah fungsi rasional sejati, bermakna bahwa derajat pembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
5 Fungsi rasional tak sejati selalu dapat ditulis sebagai penjumlahan suatu fungsi polinomial dan suatu fungsi rasional sejati. h(x) == x5 + 2x 3 x + 1 x 3 + 5x = x x + 1 x 3 + 5x Oleh karena polinomial mudah diintegrasi,perhatikan (x 2 3). Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
6 Fungsi rasional tak sejati selalu dapat ditulis sebagai penjumlahan suatu fungsi polinomial dan suatu fungsi rasional sejati. h(x) == x5 + 2x 3 x + 1 x 3 + 5x = x x + 1 x 3 + 5x Oleh karena polinomial mudah diintegrasi,perhatikan (x 2 3). Maka persoalan mengintegrasi fungsi rasional sebenarnya adalah persoalan mengintegrasi fungsi rasional sejati. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
7 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial Perhatikan untuk kasus f dan g sebelumnya Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
8 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial Perhatikan untuk kasus f dan g sebelumnya Carilah 2 (x + 1) 3 dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
9 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial Perhatikan untuk kasus f dan g sebelumnya Carilah 2 (x + 1) 3 dx dan selesaikan integral 2x + 2 x 2 4x + 8 dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
10 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial Contoh Carilah 2 (x + 1) 3 dx. Misalkan u = x + 1, maka du = dx. Sehingga 2 (x + 1) 3 dx = 2 u 3 du = 2 2 u 2 + C = 1 (x + 1) 2 + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
11 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial Contoh Carilah 2x + 2 x 2 4x + 8 dx Pertama misalkan u = x 2 4x + 8 sehingga du = 2x 4 dx. kemudian tuliskan integral tersebut sebagai jumlah dua integral. 2x + 2 x 2 4x + 8 dx = 2x 4 x 2 4x + 8 dx + 6 x 2 4x + 8 dx = ln x 2 4x x 2 4x + 8 dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
12 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial 1 x 2 4x + 8 dx = = 1 x 2 4x dx 1 (x 2) dx = 1 2 tan 1 ( x 2 2 ) + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
13 Integrasi Fungsi Rasional Menggunakan Pecahan Parsial Jadi, 1 x 2 4x + 8 dx = = 1 x 2 4x dx 1 (x 2) dx = 1 2 tan 1 2x + 2 x 2 4x + 8 dx = ln x 2 4x tan 1 ( x 2 2 ( x 2 2 ) + C ) + K Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
14 Dekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Linear) Menambahkan pecahan merupakan latihan aljabar Baku: carilah penyebut bersama dan tambahkan. Sebagai contoh, 2 x (x + 1) + 3(x 1) = = x + 1 (x 1)(x + 1) 5x 1 (x 1)(x + 1) = 5x 1 x 2 1 Yang menarik bagi kita sekarang adalah proses kebalikannya yakni dekomposisi suatu pecahan menjadi suatu jumlah pecahan - pecahan yang lebih sederhana. im Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
15 Faktor Linear yang Berbeda Contoh Dekomposisikan 2x 1 x 2 dan kemudian carilah integral tak tentunya. 4x + 3 karena penyebutnya diuraikan sebagai (x 1) (x 3), hal yang mungkin untuk dekomposisinya adalah berbentuk 2x 1 x 2 4x + 3 = A (x 1) + B (x 3) (i) im Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
16 Faktor Linear yang Berbeda Contoh Dekomposisikan 2x 1 x 2 dan kemudian carilah integral tak tentunya. 4x + 3 karena penyebutnya diuraikan sebagai (x 1) (x 3), hal yang mungkin untuk dekomposisinya adalah berbentuk 2x 1 x 2 4x + 3 = A (x 1) + B (x 3) (i) Tugas kita adalah menentukan nilai A dan B sehingga pers (i) menjadi suatu identitas. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
17 Tugas kita akan mudah dengan mengalikan kedua ruas dengan (x 1) (x 3), sehingga diperoleh 2x 1 = A(x 3) + B(x 1) Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
18 Tugas kita akan mudah dengan mengalikan kedua ruas dengan (x 1) (x 3), sehingga diperoleh Secara ekivalen 2x 1 = A(x 3) + B(x 1) 2x 1 = (A + B) x + ( 3A B) (ii) Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
19 Tugas kita akan mudah dengan mengalikan kedua ruas dengan (x 1) (x 3), sehingga diperoleh Secara ekivalen 2x 1 = A(x 3) + B(x 1) 2x 1 = (A + B) x + ( 3A B) (ii) persamaan (ii) akan memenuhi jika koefisien pada setiap suku sama di ruas kiri dan ruas kanan A + B = 2 3A B = 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
20 Tugas kita akan mudah dengan mengalikan kedua ruas dengan (x 1) (x 3), sehingga diperoleh Secara ekivalen 2x 1 = A(x 3) + B(x 1) 2x 1 = (A + B) x + ( 3A B) (ii) persamaan (ii) akan memenuhi jika koefisien pada setiap suku sama di ruas kiri dan ruas kanan A + B = 2 3A B = 1 dengan menyelesaikan sistem persamaan A dan B, kita peroleh A = 1 2 dan B = 5 2. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
21 Dengan demikian persamaan i) menjadi, 2x 1 x 2 4x + 3 = 1 2 (x 1) (x 3) dan 2x 1 x 2 4x + 3 dx = (x 1) dx (x 3) dx = 1 2 ln x ln x 3 + C 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
22 Faktor Linear yang Berbeda Contoh Carilah 5x + 3 x 3 2x 2 3x dx. Penyelesaian : Karena penyebut diuraikan sebagai x (x + 1) (x 3), kita tuliskan 5x + 3 x 3 2x 2 3x = A x + B (x + 1) + C (x 3) Dengan menghilangkan pecahan - pecahannya kita akan memperoleh 5x + 3 = A (x + 1) (x 3) + Bx (x 3) + Cx (x + 1) Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
23 Faktor Linear yang Berbeda Contoh Carilah 5x + 3 x 3 2x 2 3x dx. Penyelesaian : Karena penyebut diuraikan sebagai x (x + 1) (x 3), kita tuliskan 5x + 3 x 3 2x 2 3x = A x + B (x + 1) + C (x 3) Dengan menghilangkan pecahan - pecahannya kita akan memperoleh 5x + 3 = A (x + 1) (x 3) + Bx (x 3) + Cx (x + 1) Substitusikan nilai x = 0, x = 1, dan x = 3, menghasilkan 3 = A ( 3) 2 = B (4) dan 18 = C (12) Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
24 atau A = 1, B = 1 2, C = 3 2, sehingga, 5x x 2 2x 2 3x dx = x dx x + 1 dx x 3 dx = ln x 1 2 ln x ln x 3 + C 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
25 Faktor Linear yang Berulang Contoh Carilah x (x 3) 2 dx. Penyelesaian : Sekarang proses dekomposisi menghasilkan bentuk x (x 3) 2 = A x 3 + Di mana A dan B harus ditentukan. kita peroleh B (x 3) 2 x = A (x 3) + B Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
26 Faktor Linear yang Berulang Contoh Carilah x (x 3) 2 dx. Penyelesaian : Sekarang proses dekomposisi menghasilkan bentuk x (x 3) 2 = A x 3 + Di mana A dan B harus ditentukan. kita peroleh B (x 3) 2 x = A (x 3) + B Jika kita substitusikan nilai yang sesuai x = 3 dan sembarang nilai x yang lain, misalkan x = 0. Kita peroleh B = 3 dan A = 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
27 Faktor Linear yang Berulang jadi, x (x 3) 2 dx = 1 x 3 dx + 3 (x 3) 2 dx = ln x 3 3 x 3 + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
28 Beberapa Faktor Linear Berbeda, Beberapa yang Berulang (Campuran) Contoh 3x 2 8x + 13 Carilah (x + 3) (x 1) 2 dx Penyelesaian : Kita dekomposisikan integran dengan cara berikut : 3x 2 8x + 13 (x + 3) (x 1) 2 = A x B x 1 + C (x 1) 2 Dengan menghilangkan pecahan - pecahannya, kita memperoleh 3x 2 8x + 13 = A (x 1) 2 + B (x + 3) (x 1) + C (x + 3) im Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
29 Beberapa Faktor Linear Berbeda, Beberapa yang Berulang (Campuran) Contoh 3x 2 8x + 13 Carilah (x + 3) (x 1) 2 dx Penyelesaian : Kita dekomposisikan integran dengan cara berikut : 3x 2 8x + 13 (x + 3) (x 1) 2 = A x B x 1 + C (x 1) 2 Dengan menghilangkan pecahan - pecahannya, kita memperoleh 3x 2 8x + 13 = A (x 1) 2 + B (x + 3) (x 1) + C (x + 3) Substitusikan x = 1, x = 3, dan x = 0 menghasilkan C = 2, A = 4, dan B = 1. im Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
30 Beberapa Faktor Linear Berbeda, Beberapa yang Berulang (Campuran) Jadi, 3x 2 8x + 13 (x + 3) (x 1) 2 dx = 4 x + 3 dx 1 x 1 dx + 2 (x 1) 2 dx = 4 ln x + 3 ln x 1 2 x 1 + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
31 Dekomposisi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat) Dalam menguraikan penyebut suatu pecahan, kita mungkin mendapatkan beberapa faktor kuadrat (misalnya seperti x 2 + 1, yang tidak dapat lagi diuraikan menjadi faktor - faktor linear tanpa memeperkenalkan bilangan kompleks). Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
32 Faktor Kuadrat Tunggal Contoh Dekomposisikan tentunya. 6x 2 3x + 1 (4x + 1) (x 2 dan kemudian tentukan integral tak - + 1) Penyelesaian : Dekomposisi terbaik yang dapat kita harapkan adalah dekomposisi berbentuk 6x 2 3x + 1 (4x + 1) (x 2 + 1) = A 4x Bx + C x Untuk menentukan kostanta A, B, dan C kita kalikan kedua ruas persamaan dengan (4x + 1) ( x ) dan memperoleh 6x 2 3x + 1 = A ( x ) + (Bx + C) (4x + 1) Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
33 Faktor Kuadrat Tunggal Substitusi x = 1, x = 0, dan x = 1 menghasilkan = A ( ) = A = 2 1 = 2 + C = C = 1 4 = 4 + B 1)5 = B = 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
34 Faktor Kuadrat Tunggal Jadi, 6x 2 3x + 1 (4x + 1) (x 2 + 1) dx = = x 1 4x + 1 dx + x dx 4 dx 4x x dx 2 x dx x = 1 2 ln 4x ln ( x ) tan 1 x + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
35 Faktor Kuadrat Berulang Contoh Carilah 6x (x + 3) (x 2 + 2) 2 dx Penyelesaian : Di sini dekomposisi yang cocok adalah 6x (x + 3) (x 2 + 2) 2 = A x Bx + C x Dx + E (x 2 + 2) 2 Setelah melalui proses yang lumayan panjang, kita temukan bahwa A = 1, B = 1, C = 3, D = 5, dan E = 0. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
36 Faktor Kuadrat Berulang Jadi = = 6x dx adalah (x + 3) (x ) dx x 3 x + 3 x dx 5 dx x x x dx + 3 x (x 2 + 2) 2 dx 1 x dx 5 2 2x dx (x 2 + 2) 2 = ln x ln ( x ) + 3 ( ) x tan (x 2 + 2) + C Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
37 Latihan Soal 1 3 x 2 1 dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
38 Latihan Soal x 2 1 dx x 11 x 2 + 3x 10 dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
39 Latihan Soal x 2 1 dx x 11 x 2 + 3x 10 dx x + π x 2 3πx + 2π 2 dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
40 Latihan Soal x 2 1 dx x 11 x 2 + 3x 10 dx x + π x 2 3πx + 2π 2 dx x 3 8x 2 1 (x + 3) (x 2 4x + 5) dx Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
41 Latihan Soal x 2 1 dx x 11 x 2 + 3x 10 dx x + π x 2 3πx + 2π 2 dx x 3 8x 2 1 (x + 3) (x 2 4x + 5) dx 5 Kerjakan soal bernomor ganjil dari 11 s.d 25. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
42 Daftar Pustaka Varberg, Purcell, Rigdon, Kalkulus Ninth Edition, 2, 2007, Pearson Education, Inc. Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari / 27
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 2. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 2 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24 Daftar
Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Pengintegralan Fungsi Rasional
Pengintegralan Fungsi Rasional Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember 25 Maret 2014 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2
TEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Teknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL
HUBUNGAN ANTARA DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL Dra.Sri Rejeki Dwi Putranti, M.Kes. Fakultas Teknik - Universitaas Yos Soedarso Surabaya Email : riccayusticia@gmail.com Abstrak Hubungan antara Differensial dan
KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I
7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi
SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a
SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada
digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3
Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan
Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan 5.1. Persamaan Linear Persamaan adalah pernyataan kesamaan antara dua ekspresi aljabar yang cocok untuk bilangan nilai variable tertentu atau variable
TEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN KALKULUS S- Teknik Industri Outline Integral Parsial Integral Fungsi Trigonometri Substitusi Trigonometri Integral Fungsi Rasional . Integral Parsial Formula Integral Parsial : u
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Pecahan Parsial (Partial Fractions)
oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)
BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN)
PENDAHULUAN BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12) Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode integrasi lainnya yaitu
MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)
Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran
KALKULUS INTEGRAL 2013
KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Kalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.
Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3
FUNGSI PEMBANGKIT. Ismail Sunni
FUNGSI PEMBANGKIT Ismail Sunni 3508064 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 0, Bandung If8064@students.if.itb.ac.id ismailsunni@yahoo.co.id ABSTRAK Fungsi Pembangkit
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c
Nama : Pramitha Surya Noerdyah NIM : 125100300111022 Kelas/Jur : L/TIP A. Integral Integral dilambangkan oleh ʃ yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F -1 (X). Hitung integral adalah
UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g() maka f(g())g () d = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c sin. 1.
matematika Wajib Kelas X PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. DEFINISI PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
K-3 Kelas X matematika Wajib PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi dan solusi persamaan linear
INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 010 Pengantar Kalkulus 1 & merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar
BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
INTEGRASI Matematika Industri I
INTEGRASI TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Fungsi dari suatu fungsi linear Integral berbentuk Integrasi hasilkali Integrasi per bagian Integrasi dengan pecahan parsial Integrasi fungsi-fungsi trigonometris
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
INTERGRAL INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI MENU
INTERGRAL OLEH : KELOMPOK 5 KETUA TEORI 1. I GEDE DIKA VIRGA SAPUTRA 2. I WAYAN HERMAWAN 3. EGI AZIKIN MAULANA KETUA SOAL 1. I MADE DUPI ANDIKA 2. I PUTU BAGUS MAHENDRA INTEGRAL TAK TENTU INTEGRAL SUBSTITUSI
KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /
Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1
TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.
BAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
POLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Sistem Bilangan Real. Pendahuluan
Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
RUMUS INTEGRAL RUMUS INTEGRAL
TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, maka kita akan mendapatkan integral tak tentu dari fungsi-fungsi yang sudah kita ketahui Beberapa yang telah kita ketahui
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar
Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN
BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN 2.1 PENDAHULUAN Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk mencari akar-akar persamaan berbentuk : = 0 Fungsi f di sini adalah fungsi atau
Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.
Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program
MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
SUKU BANYAK. Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut:
SUKU BANYAK A. Pengertian Suku Banyak Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut: Dinamakan suku banyak (polinom) dalam yang berderajat dengan bilangan cacah
5. INTERPOLASI. orde 1 orde 2 orde 3 menghubungkan 2 titik menghubungkan 3 titik menghubungkan 4 titik. Gambar 5.1
5. INTERPOLASI PENDAHULUAN Bentuk umum persamaan polinomial orde n adalah: f() = a + a. + a. +.. + a n. n Untuk n+ titik data, hanya terdapat satu polinomial orde n atau kurang yang melalui semua titik.
FUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/2 Alokasi Waktu: 8 jam Pelajaran (4 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
![Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan](/thumbs/52/29781394.jpg "Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan")
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut
Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan
Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.
LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Teorema Faktor. Misalkan P (x) suatu polynomial, (x k) merupakan faktor dari P (x) jika dan hanya jika P (k) = 0
Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Teorema ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soal - soal baik level sekolah maupun soal level olimpiade. Berikut
SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.
SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini. Jawaban: Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut.
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Sistem Bilangan Ri l
Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π
Hendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks
Kode Mata Kuliah : TE 318 SKS : 3 Matematika Teknik I Prasarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta
BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 4. Sebaran Asimtotik,, Teorema 4. (Sebaran Normal Asimtotik,, ) Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 27 Januari 2017 Bab Sebelumnya 7. Teknik Pengintegralan 7.1 Aturan Dasar Pengintegralan 7.2 Pengintegralan Parsial 7.3 Integral Trigonometrik
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)
SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan
BAB II LANDASAN TEORI
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, semakin dirasakan interaksinya dengan bidangbidang ilmu lainnya, seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi
PERTIDAKSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a
BAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA
MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA 11.1. Ketentuan dan Sifat-Sifat KETENTUAN a P = a. a. a. a................. sampai p faktor (a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen) SIFAT-SIFAT
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan
MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Sistem Bilangan Riil
Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
PREDIKSI UN 2014 MATEMATIKA IPA
NAMA : KELAS : 1. Kisi-Kisi: Logika Matematika Diketahui 3 Premis, Premis Menggunakan kesetaraan, dan penarikan MP atau MT PREDIKSI UN 2014 MATEMATIKA IPA 3. Kisi-Kisi: Materi Ekponen Éksponen pecahan,3
GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Metode Media/ Alat
Mata Kuliah Kode/Bobot Deskripsi Singkat : Tujuan Instruksional Umum : : Kalkulus : TSP-102/3 SKS GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Mata kuliah ini membahas tentang konsep dasar matematika. Pembahasan
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN
MA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI
APROKSIMASI FUNGSI SINUS DAN KOSINUS SEBAGAI KOMBINASI LINEAR DARI FUNGSI EKSPONENSIAL MUHAMMAD ADAM AZHARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. secara umum ditulis: y= f(x)
PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR
PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP
BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel Konstanta Faktor
ALJABAR BENTUK ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah
II. FUNGSI. 2.1 Pendahuluan
II. FUNGSI. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menyebutkan definisi fungsi;. menyebutkan macam-macam variabel dalam fungsi; 3. membedakan antara variabel
log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .
TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log
BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI. Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Jika ini bentuk baku
9 BAB VIII. TEKNIK INTEGRASI 8.. Integral dengan Substitusi Andaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu. Jika ini bentuk baku maka cukup tuliskan jawabannya. Jika tidak, cari tahu substitusi yang
16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.
6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
BAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor
Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers