PROSIDING SEMINAR NASIONAL Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA Tanggal 02 Juni 2012, FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

Transkripsi

1 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 02 Jun 2012 PROSIDING SEMINAR NASIONAL Peneltan, Penddkan, dan Penerapan MIPA Tanggal 02 Jun 2012, FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA ISBN: Bdang: o Matematka dan Penddkan Matematka o Fska dan Penddkan Fska o Kma dan Penddkan Kma o Bolog dan Penddkan Bolog o Ilmu Pengetahuan Alam Tema: Pemantapan Keprofesonalan Penelt, Penddk, dan Prakts MIPA Untuk Membangun Insan yang Kompettf dan Berkarakter Ilmah Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Neger Yogyakarta Tahun 2012

2 DAFTAR ISI Tm Edtor... Kata Pengantar... Sambutan Ketua Panta... Sambutan Dekan... v Daftar Is...v Makalah Utama 1 (Langkah Sembrng)...A Makalah Utama 2 (Sudjoko)...B MAKALAH PENDIDIKAN MATEMATIKA EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM CABRI IBANDING PEMBELAJARAN KONVENSIONAL PADA TOPIK JARAK GARIS ENGAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG KELAS X SMA N 1 DEPOK SLEMAN (Ambar Tr Wahyun dan M. Andy Rudhto)... M-1 POLA KESALAHAN PADA OPERASI PEMBAGIAN BILANGAN PECAHAN : STUDI KASUS PADA 4 SISWA KELAS VII B SMP N 3 DEPOK SLEMAN TAHUN PELAJARAN 2008/2009 (Ank Yulan, S.Pd., M.Pd.)... M-7 PENGARUH MODEL PEMBELAJARAN KOPERATIF TIPE THINK TALK WRITE TERHADAP KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH PADA SISWA SMA (Asep Ikn Sugand )... M-15 UPAYA MENGATASI KESULITAN BELAJAR TOPIK MENENTUKAN JARAK DALAM RUANG DIMENSI TIGA DENGAN PEMBELAJARAN REMEDIAL YANG MEMANFAATKAN PROGRAM CABRI 3D UNTUK SISWA KELAS X.3 SMA PANGUDI LUHUR YOGYAKARTA (Bella Wcasar dan M. Andy Rudhto)... M-23 PEMANFAATAN PROGRAM CABRI 3D PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA MATERI PRISMA DAN LIMAS DI KELAS VIII C SMP JOANNES BOSCO YOGYAKARTA DALAM UPAYA MENINGKATKAN HASIL BELAJAR SISWA (Carolna Ndaru Pangestka dan M. Andy Rudhto)... M-31 TEORI KECERDASAN MAJEMUK: APA DAN BAGAIMANA MENGAPLIKASIKANNYA DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA (Djamlah Bondan Wdjajant )... M-39 PENINGKATAN MOTIVASI BELAJAR KALKULUS DIFFERENSIAL MELALUI METODE EKSPOSITORI DENGAN PEMBERIAN KUIS (Dra Sumargyan)... M-47 KESALAHAN SISWA DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA:TEMUAN BERHARGA BAGI PARA GURU DALAM KEGIATAN LESSON STUDY (Elly Arlan)...M-53

3 IMPLEMENTASI METODE INQUIRI DIPADUKAN DENGAN STRATEGI KOOPERATIF UNTUK MEMBANGUN KEMAMPUAN BERFIKIR KRITIS MATEMATIS PADA SISWA SMP (Endang L, Ftrana Yul S., dan Wahyu S)...M-57 PENERAPAN ANALISIS KONJOIN RANCANGAN KOMBINASI LENGKAP DENGAN JENIS RESPON RATING PADA PREFERENSI MAHASISWA TERHADAP KUALITAS DOSEN SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK (Ftr Catur Lestar, S. S., M. S.)... M-65 REMEDIASI MENGGUNAKAN PROGRAM FLASH PADA MATERI OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT (Hamdah, M.Pd. Dan Nursah, S.Pd.)... M-73 PENGARUH SELF EFFICACY TERHADAP KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIK (Hamdah, M.Pd)... M-79 PENINGKATAN MOTIVASI BELAJAR KALKULUS DIFFERENSIAL MELALUI METODE EKSPOSITORI UPAYA MENGATASI KESULITAN BELAJAR SISWA KELAS VII SMP KANISIUS PAKEM PADA POKOK BAHASAN SEGITIGA DENGAN MEMANFAATKAN PROGRAM GEOGEBRA DALAM PROSES PEMBELAJARAN REMEDIAL (Ignatus Candra Budhawan dan M. Andy Rudhto)... M-85 EVALUASI TERHADAP HASIL PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS PENDIDIKAN KARAKTER DI INDONESIA (Ika Wahyu Anta, S.Pd., M.Pd)...M-95 PEMANFAATAN PROGRAM CABRI 3D UNTUK MEMBANTU PEMBELAJARAN MATEMATIKA PADA POKOK BAHASAN MENENTUKAN BESAR SUDUT ANTARA DUA GARIS DALAM RUANG DIMENSI TIGA DI KELAS X SEMESTER II SMA MARSUDI LUHUR YOGYAKARTA (Mara Immaculata Ray Bastan, dan M. Andy Rudhto)...M-101 E-LEARNING READINESS TO E-LEARNING MATURITY (Nur Had Waryanto)...,,,,...M-109 MENINGKATKAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH DAN KOMUNIKASI MATEMATIK SISWA SMA MELALUI PENDEKATAN OPEN-ENDED DENGAN PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE COOP-COOP (Rafq Zulkarnaen)...M-119 PEMBELAJARAN MATEMATIKA REALISTIK SEBAGAI UPAYA UNTUK MENUMBUHKEMBANGKAN KEPEDULIAN SISWA TERHADAP LINGKUNGAN (Rfka Zammlah)...M-129 PERFORMANCE ASSESSMENT DALAM PERSPEKTIF MULTIPLE CRITERIA DECISION MAKING (Sr Andayan dan Djemar Mardap)......M-137

4 RANCANGAN DAN PENGEMBANGAN MODUL ELEKTRONIK PEMBELAJARAN PROGRAM LINEAR DENGAN PROGRAM GEOGEBRA PADA KELAS X TKJ B SMK N 2 DEPOK SLEMAN TAHUN AJARAN 2011/2012 (Suko Baryoto Ad Raharjo dan M. Andy Rudhto)...M-147 PENGEMBANGAN KARAKTER BANGSA MELALUI INTEGRASI NILAI KEISLAMAN DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA (Suparn, S.Pd., M.Pd. )...M-157 MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS DAN KREATIF MATEMATIK SISWA SMA MELALUI PEMBELAJARAN KOOPERATIF THINK- TALK-WRITE (TTW) (Wahyu Hdayat)......M-163 METODE PEER LESSON UNTUK MELATIHKAN KOMPETENSI PEDAGODIK DAN PENDIDIKAN KARAKTER PADA MATA KULIAH MICROTEACHING (Waslatul Murtafah, S.Pd., M.Pd., Dan Ervna Maret S, S.S., M.Pd)...M-175 UPAYA MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA MENGGUNAKAN MACRO MEDIA FLASH SISWA KELAS V SD ISLAM TERPADU LUQMANUL HAKIM DAN SD ISLAM TERPADU AL-KHAIRAT YOGYAKARTA (Dra. Wdayat, MSc.)...M-185 MAKALAH MATEMATIKA PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Ad Setawan... M-1 SISTEM KENDALI DAN NAVIGASI WAHANA BAWAH AIR TANPA AWAK UNTUK MENUNJANG PERTAHANAN DAN KEAMANAN NEGARA Annsa Dw S.,Fatma Ayu N.F.A., Putra S. B., Andr A., Muflh M. K...M-9 PENDEKATAN CART DAN REGRESI LOGISTIK PADA POLA TINGKAT KEPARAHAN KORBAN KECELAKAAN LALU LINTAS DI SURABAYA Atka Nuran Ambarwat, Her Kuswanto, Isman Zan...M-17 PREDIKSI SUKU BUNGA BANK INDONESIA (BI RATE) MENGGUNAKAN MODEL NEURO FUZZY Ayu Azmy Amala, Agus Maman Abad... M-27 STUDI MENGENAI MUNCULNYA BIFURKASI HOPF PADA MODEL DIFUSI PERIKLANAN Ayu Luhur Yusdana Yat, Kus Prhantoso Krsnawan...M-35 IDENTIFIKASI SINYAL OUT OF CONTROL PADA DIAGRAM KONTROL FUZZY MULTIVARIAT PADA PRODUKSI BOTOL RC COLA 800 ML PT. IGLAS (PERSERO) GRESIK Ayundyah Kesumawat, Muhammad Mashur, Irhamah...M-41

5 APLIKASI PERHITUNGAN JARAK ANTARA DUA WAYPOINT PADA GOOGLE MAPS Kuswar Hernawat...M-143 METODE HIMPUNAN AKTIF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS Yudth Kase, Lusa Krsmyat Budash...M-149 SYARAT CUKUP ORDE KEDUA DALAM OPTIMISASI KONVEKS Lusa Krsmyat Budash...M-157 SISTEM LINEAR MAX-PLUS INTERVAL WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS M. Andy Rudhto...M-163 ANALISIS KESTABILAN PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK (MEASLES) DENGAN VAKSINASI MENGGUNAKAN MODEL ENDEMI SIR Marhendra Al Kurnawan, Ftrana Yul S, M.S....M-171 ANALISIS KOINTEGRASI DATA RUNTUN WAKTU INDEKS HARGA KONSUMEN BEBERAPA KOMODITAS BARANG KOTA DI JAWA TENGAH Maran Jaya Saputra, Ad Setawan, Tundjung Mahatma...M-177 PROTOKOL PERJANJIAN KUNCI BERDASARKAN MASALAH FAKTORISASI ATAS SEMIGRUP NON-KOMUTATIF Muhamad Zak Ryanto...M-185 DESAIN KENDALI ROBUST DENGAN PENDEKATAN PERMAINAN DINAMIS UNTUK SISTEM LINEAR TIME INVARIANT (LTI) Muhammad Wakhd Musthofa...M-193 MODEL EFISIENSI DISTRIBUSI HONEYWELL WINDTRONICS WIND TURBINE PADA RADIUS TERTENTU Nabh Ibrahm Bawazr, Dw Prhastut...M-205 PENGUJIAN STRUKTUR MATEMATIKA GRUP BERBASIS OSP (OPEN SOURCE PROGRAM) Ngarap Im Mank, Don Tasman, Pretty Chrstyanngrum Turang...M-215 STRATEGI VAKSINASI PULSE UNTUK MENGATASI EPIDEMI PENYAKIT CAMPAK BERDASARKAN MODEL SIR Nkenash Bnatar, M.S., Emnugroho Ratna Sar, M.Sc...M-223 PEMODELAN STRUCTURAL EQUATION MODELING (SEM) BERBASIS VARIANS PADA DERAJAT KESEHATAN DI PROPINSI JAWA TIMUR 2010 Noermayant Hdayat, Dr.Bambang Wdjanarko Otok, S.S., M.S...M-229

6 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 2 Jun 2012 SISTEM LINEAR MAX-PLUS INTERVAL WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS M. Andy Rudhto Program Stud Penddkan Matematka FKIP Unverstas Sanata Dharma Kampus III USDPangan Maguwoharjo Yogyakarta emal: arudhto@yahoo.co.d Abstrak Telah dbahas sstem lnear -plus waktu nvarant autonomous (SLMIA), d mana waktu aktftasnya berupa blangan real. Dalam sstem lnear -plus nterval waktu nvarant autonomous (SLMIIA), ada ketdakpastan dalam waktu aktftasnya, sehngga waktu aktftas n dmodelkan sebaga nterval blangan real. Artkel n membahas tentang generalsas SLMIA menjad SLMIIA dan analss nput-output SLMIIA, serta sfat perodknya. Dapat dtunjukkan bahwa SLMII berupa suatu sstem persamaan lnear -plus nterval. Analsa nput-output SLMII dapat dbahas melalu penyelesaan suatu sstem persamaan lnear -plus nterval. Sfat perodk SLMIIA dapat dperoleh dar nla nla egen dan vektor egen nterval matrks keadaan dalam sstemnya. Kata-kata kunc: Sstem Lnear, Max-Plus, Interval, Waktu Invarant, Input-Output, Autonomous. PENDAHULUAN Dalam masalah pemodelan dan analsa suatu jarngan, kadang-kadang waktu aktftasnya tdak dketahu dengan past. Hal n msalkan karena jarngan mash pada tahap perancangan, datadata mengena waktu aktftas belum dketahu secara past. Ketdakpastan waktu aktftas jarngan n dapat dmodelkan dalam suatu nterval, yang selanjutnya d sebut waktu aktftas nterval. Aljabar -plus (hmpunan semua blangan real R dlengkap dengan operas dan plus) telah dapat dgunakan dengan bak untuk memodelkan dan menganalss secara aljabar masalahmasalah jarngan, sepert masalah: penjadwalan (proyek) dan sstem antran, lebh detalnya dapat dlhat pada Bacell, et al. (2001), Rudhto, A. (2003). Dalam Schutter (1996) dan Rudhto, A. (2003) telah dbahas pemodelan dnamka sstem produks sederhana dengan pendekatan aljabar -plus. Secara umum model n berupa sstem lnear -plus waktu nvarant. Konsep aljabar -plus nterval yang merupakan perluasan konsep aljabar -plus, d mana elemen-elemen yang dbcarakan berupa nterval telah dbahas dalam Rudhto, dkk (2008). Pembahasan mengena matrks atas aljabar -plus telah dbahas dalam Rudhto, dkk (2011a). Dalam Rudhto, dkk (2011b) telah dbahas eksstens penyelesaan sstem persamaan lnear plus nterval. Sejalan dengan cara pemodelan dan pembahasan nput-output sstem lnear -plus waktu nvarant (SLMI) sepert dalam Schutter (1996) dan Rudhto, A. (2003), dan dengan memperhatkan hasl-hasl pada aljabar -plus nterval, dalam Rudhto (2011) telah dbahas pemodelan dan analsa nput-output sstem lnear -plus nterval waktu nvarant (SLMII), yatu sstem lnear -plus waktu nvaran dengan waktu aktftas nterval. Dalam stuas tertentu ada suatu SLMI yang keadaannya tdak dpengaruh kedatangan nput, yang dsebut dengan SLMI autonomous (SLMIA). Sepert halnya pada SLMII, dalam makalah n akan dbahas pemodelan dan analsa nput-output sstem lnear -plus nterval waktu nvarant autonomous (SLMIIA). Terlebh dahulu akan dbahas pengertan dan konsep dasar dalam aljabar -plus dan aljabar -plus nterval yang akan dgunakan dalam pembahasan utama artkel n. ALJABAR MAX-PLUS Dalam bagan n dbahas konsep dasar aljabar -plus dan nla egen dan vektor egen -plus. Pembahasan selengkapnya dapat dlhat pada Bacell, et al. (2001), Rudhto, A. (2003). Dberkan R := R { } dengan R adalah hmpunan semua blangan real dan : =. Pada R ddefnskan operas berkut: a, b R, a b := (a, b) dan a b : = a b. Kemudan M-163

7 M Andy / Sstem Lnear Max (R,, ) dsebut aljabar -plus, yang selanjutnya cukup dtulskan dengan R. Relas m m y x y = y. Operas dan pada R dapat dperluas untuk operas-operas matrks dalam pada R ddefnskan dengan x M-164 mn R : = {A = (A j )A j R, untuk = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n}. Untuk R, dan A, B R ddefnskan A, dengan ( A) j = A j dan A B, dengan (A B) j = A j B j untuk = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n. Untuk A R, B R ddefnskan A B, dengan (A B) j = m p p A k B nn 0, jka j mn kj. Ddefnskan matrks E R, (E ) j : = dan matrks R, k 1 ε, jka j mn ( ) j := untuk setap dan j. Relas m pada R ddefnskan dengan A m B A B = n B. Ddefnskan R := {x = [ x 1, x 2,..., x n ] T x R, = 1, 2,..., n}. Unsur-unsur dalam n R dsebur vektor atas R. Dberkan A R suatu vektor v R n nn pn. Skalar R dsebut nla egen -plus matrks A jka terdapat dengan v n1 sehngga A v = v. Vektor v tersebut dsebut vektor nn egen -plus matrks A yang bersesuaan dengan. Dberkan A R. Dapat dtunjukkan n bahwa skalar (A) = ( 1 n k (A ) ), merupakan suatu nla egen -plus matrks A. Lebh k 1 k 1 lanjut untuk B = (A) A, jka B = 0, maka kolom ke- matrks mn B merupakan vektor egen yang bersesuaan dengan nla egen (A). Kolom-kolom ke- matrks B d atas, yang merupakan vektor egen yang bersesuaan dengan nla egen (A), dsebut vektor-vektor egen fundamental yang bersesuaan dengan nla egen (A). Dapat dtunjukkan bahwa kombnas lnear -plus vektor-vektor egen fundamental matrks A juga merupakan vektor egen yang berseuaan dengan (A). Suatu matrks A n1 R rredusbel jka dan hanya jka (A A 2... nn A ) j, untuk setap, j dengan j. Dapat dtunjukkan bahwa jka matrks rredusbel A nn R mempunya nla egen -plus tunggal, yatu (A), dengan x sebaga vektor egen -plus yang bersesuaan dengan, maka x untuk setap {1, 2,..., n}. Dapat dtunjukkan nn bahwa jka matrks A R rredusbel, maka A mempunya nla egen -plus tunggal, yatu (A). ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Bagan n membahas konsep dasar aljabar -plus nterval dan teknk pengoperasan matrks atas aljabar -plus nterval. Pembahasan lebh lengkap dapat dlhat pada Rudhto, dkk (2011a). Interval (tertutup) x dalam R adalah suatu hmpunan bagan dar R yang berbentuk x = [ x, x ] = {x R x m x m x }. Interval x dalam R d atas dsebut nterval -plus, yang selanjutnya akan cukup dsebut nterval. Suatu blangan x R dapat dnyatakan sebaga nterval [x, x]. Ddefnskan I(R) := { x = [ x, x ] x, x R, x x } {}, dengan := [, ]. Pada I(R) ddefnskan operas dan dengan: x y = [ x y, x y ] dan x y = [ x y, x y ], x, y I(R ). Kemudan (I(R),, ) dsebut dengan aljabar plus nterval yang dlambangkan dengan I(R). m n Ddefnskan I(R) := {A = (A j)a j I(R ), untuk = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n}. m n Matrks anggota I(R) dsebut matrks nterval -plus. Selanjutnya matrks nterval -plus mn cukup dsebut dengan matrks nterval. Untuk I(R), A, B I(R), ddefnskan m m

8 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 2 Jun 2012 A, dengan ( A) j = A j dan A B, dengan (A B) j = A j B j untuk = 1, 2,..., m dan m p j = 1, 2,..., n. Untuk A I(R), B I(R) p pn, ddefnskan A B dengan (A B) j = Ak Bkj untuk = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n. Operas konssten terhadap k 1 Im, yatu jka A Im urutan B, maka A C Im B C. Operas juga konssten terhadap urutan Im, yatu jka A Im B, maka A C Im B C. m n Untuk A I(R) ddefnskan matrks A = ( A m n m n j) R dan A = ( A j ) R yang berturut-turut dsebut matrks batas bawah dan matrks batas atas dar matrks nterval A. mn Ddefnskan nterval matrks dar A, yatu [ A, A ] = {A R A m A m A }. Dapat dtunjukkan untuk setap matrks nterval A selalu dapat dtentukan nterval matrks [ A, A ] dan mn sebalknya. Matrks nterval A I(R) dapat dpandang sebaga nterval matrks [ A, A ]. Interval matrks [ A, A ]dsebut nterval matrks yang bersesuaan dengan matrks nterval A dan dlambangkan dengan A [ A, A ]. Ddefnskan I(R) n := {x = [x 1,..., x n ] T x I(R), = 1,..., n }. Unsur-unsur dalam I(R) n dsebut vektor nterval atas I(R) m n. Dberkan A I(R) dan b I(R) m. Berkut dberkan defns dan eksstens nla egen dan vektor egen -plus nterval. n n Pembahasan lebh lengkap dberkan dalam Rudhto (2011c). Dberkan A I(R). Skalar nterval I(R) dsebut nla egen -plus nterval matrks nterval A jka terdapat suatu vektor nterval v I(R) n dengan v n1 sehngga A v = v. Vektor v tersebut dsebut vektor egen -plus nterval matrks nterval A yang bersesuaan dengan. Dberkan A I(R) n n, dengan A [ A, A ]. Dapat dtunjukkan skalar nterval (A) = [ ( A ), ( A )], merupakan suatu nla egen -plus nterval matrks nterval A. Vektor egen nterval dapat dbentu melalu vektor egen fundamental untuk masng-masng matrks batas bawah dan atasnya, jka dperlukan dapat dlakukan modfkas dengan membentuk kombnas lnearnya. Suatu matrks n n nterval A I(R), dengan A [ A, A ], dkatakan rredusbel jka setap matrks A [ A, A ] n n nn rredusbel. Dapat dtunjukkan bahwa A I(R) rredusbel jka dan hanya jka A R rredusbel. Lebh lanjut jka matrks nterval A rredusbel, maka (A) = [ ( A ), ( A )] merupakan nla egen -plus nterval tunggal matrks nterval A, dengan v adalah vektor egen -plus nterval yang bersesuaan dengan (A), d mana v untuk setap {1, 2,..., n}. PEMODELAN SISTEM PRODUKSI SEDERHANA Dperhatkan suatu sstem produks sederhana (Schutter, 1996) yang dsajkan dalam Gambar 1 berkut: d 1 = [5, 7] P 1 d 3 = [3, 4] d 2 = [6, 8] P 3 y(k) P 2 Gambar 1. Sstem Produks Sederhana M-165

9 M Andy / Sstem Lnear Max Sstem n terdr dar 3 unt pemrosesan P 1, P 2, P 3. Bahan baku dmasukkan ke P 1 dan P 2, dproses dan dkrmkan ke P 3. Interval waktu pemrosesan untuk P 1, P 2 dan P 3 berturut-turut adalah d 1 = [5, 7] d 2 = [6, 8] dan d 3 = [3, 4] satuan waktu. Pada nput sstem dan antara unt pemrosesan terdapat penyangga (buffer), yang berturut-turut dsebut penyangga nput dan penyangga nternal, dengan kapastas yang cukup besar untuk menjamn tdak ada penyangga yang meluap (overflow). Dalam keadaan awal sstem, penyangga nput dan beberapa penyangga nternal tdak kosong, kemudan bahan baku dmasukkan pada sstem dengan laju tertentu sedemkan hngga penyangga nput tdak pernah kosong. Jad mesn-mesn sudah bekerja pada konds awal, dan untuk berkutnya tdak perlu menunggu kedatangan nput, karena nput sudah selalu terseda. Suatu unt pemrosesan hanya dapat mula bekerja untuk suatu produk baru jka a telah menyelesakan pemrosesan produk sebelumnya. Dasumskan bahwa setap unt pemrosesan mula bekerja segera setelah bahan terseda. Msalkan x (k) : nterval waktu saat unt pemrosesan ke- mula bekerja untuk pemrosesan ke-k, y(k) : nterval waktu saat produk ke-k yang dselesakan mennggalkan sstem. Waktu saat P 1 mula bekerja untuk pemrosesan ke-(k+1) dapat dtentukan sebaga berkut. Pada unt pemrosesan P 1 hanya dapat mula bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera setelah menyelesakan pemrosesan sebelumnya, yatu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke-k. Karena nterval waktu pemrosesan pada P 1 adalah d 1 = [5, 7] satuan waktu, maka produk setengahjad ke-k akan mennggalkan P 1 pada saat nterval t = x 1 (k) [5, 7]. Dengan menggunakan operas aljabar -plus nterval dperoleh: x 1 (k+1) = [5, 7] x 1 (k) [2, 3] u(k+1) untuk k = 1, 2, 3,.... Dengan alasan yang sama untuk P 2, P 3 dan waktu saat produk ke-k yang dselesakan mennggalkan sstem, dperoleh: x 2 (k+1) = [6, 8] x 2 (k) x 3 (k+1) = [11,16] x 1 (k) [12,16] x 2 (k) [3, 4] x 3 (k) y(k) = [3, 4] x 3 (k), untuk k = 1, 2, 3,.... Jka dtulskan dalam persamaan matrks dalam aljabar -plus, persamaan-persamaan d atas [5, 7] ε ε menjad x(k+1) = ε [6, 8] ε x(k) [11,16] [12,16] [3, 4] y(k) = ε ε [3, 4] x(k), untuk k = 1, 2, 3,... dan x(k) = [x 1 (k), x 2 (k), x 3 (k)] T. Hasl d atas dapat juga dtulskan dengan x(k+1) = A x(k) y(k) = C x(k) untuk k = 1, 2, 3,..., dengan x(k) = [x 1 (k), x 2 (k), x 3 (k)] T I(R) 3, keadaan awal x(0), A = [5, 7] ε [11,16] ε [6, 8] [12,16] ε ε I(R) [3, 4], dan C = ε ε [3, 4] 3 3 M-166 I(R) SISTEM LINEAR MAX-PLUS INTERVAL WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS Matrks dalam persamaan pada sstem produks d atas merupakan matrks konstan, yatu tdak tergantung pada parameter k, sehngga sstemnya merupakan sstem waktu-nvarant. Dalam sstem produks d atas keadaan sstem tdak dpengaruh kedatangan nput, sehngga dsebut autonomous. Sstem sepert dalam contoh d atas merupakan suatu contoh sstem lnear -plus nterval waktu-nvarant autonomous (SLMIIA) sepert yang dberkan dalam defns berkut. Defns 1 (SLMIIA) Sstem Lnear Max-Plus Interval Waktu-Invarant Autonomous adalah Sstem Kejadan Dskrt yang dapat dnyatakan dengan persamaan berkut: 13.

10 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 2 Jun 2012 x(k+1) = A x(k) (1) y(k) = C x(k) n n 1n untuk k = 1, 2, 3,..., dengan konds awal x(0),, A I(R) dan C I(R). Vektor nterval x(k) I(R) n menyatakan nterval keadaan (state) dan y(k) I(R) 1 adalah vektor nterval output sstem saat waktu ke-k. SLMIIA dalam defns d atas merupakan sstem dengan satu nput dan satu output (SISO). SLMIIA sepert dalam defns d atas secara sngkat akan dtulskan dengan SLMIIA(A, C, x(0) ). Jka konds awal dberkan pada sstem, maka secara rekursf juga dapat dtentukan barsan keadaan sstem dan barsan output sstem yang bersesuaan dengan konds awal tersebut. Secara umum sfat nput-output SLMIIA(A, C, x(0) ) dberkan dalam teorema berkut. Teorema 1 (Input-Output SLMIIA(A, C, x(0) )) Dberkan suatu blangan bulat postp p. Jka vektor output y = [y(1), y(2),..., y(p)] T pada C A 2 SLMIIA(A, C, x(0) ), maka y = K x(0), dengan K = C A. p C A Bukt: Pembuktan analog dengan pembuktan pada kasus waktu aktftas yang berupa blangan real, dengan mengngat bahwa operas penjumlahan dan perkalan matrks nterval konssten terhadap urutan yang telah ddefnskan d atas. Bukt untuk kasus waktu aktftas yang berupa blangan real dapat dlhat dalam Rudhto(2003: hal 56-58). Contoh 1 Dperhatkan sstem produks sederhana pada pembahasan d atas, dengan mengambl keadaan awal x(0) = [0, 0, 0] T = [[0, 0], [0, 0], [0, 0]] T dan p = 10, dperoleh waktu keadaan dan ouput sstem sepert dalam Tabel 1 berkut. Tabel 1 Perhtungan Interval Waktu Keadaan dan Output Sstem Contoh 1 k x 1 [0, 0] [5,7] [10,14] [15,21] [20,28] [25,35] [30,42] [35,49] [40,56] [45,63] [50,70] x 2 [0, 0] [6,8] [12,16] [18,24] [24,32] [30,40] [36,48] [42,56] [48,64] [54,72] [60,80] x 3 [0, 0] [12,16] [18,24] [24,32] [30,40] [36,48] [42,56] [48,64] [54,72] [60,80] [66,88] y [0, 0] [15,20] [21,28] [27,36] [33,44] [39,52] [45,60] [51,68] [57,76] [63,84] [69,92] Selanjutnya akan dberkan teorema yang memberkan cara penentuan keadaan awal x(0) tercepat agar nterval keadaan sstem untuk masng-masng x berada dalam nterval yang perodk dengan besar nterval perode tertentu, untuk k = 1, 2, 3,.... Teorema 2 Dberkan SLMIIA (A, C, x(0) ) dengan A matrks nterval rredusbel yang mempunya nla egen aljabar -plus (A) = [ ( A ), ( A )], dengan vektor egen -plus nterval fundamental v [ v, v ]. Jka dambl x(0) = [ v, v ], dengan M-167 v = v, = mn ( v ), maka nterval keadaan sstem untuk masng-masng x akan berada dalam nterval terkecl yang batas bawah dan batas atasnya perodk dengan besar perode berturut-turut ( A ) dan ( A ). Bukt: Perhatkan x(k+1) = A x(k) [ A x ( k 1), A x ( k 1) ] = [ A x (0), A x (0) ] k A x(0). Mengngat keadaan awal sstem dapat dtentukan dengan past, maka berupa waktu tegas atau nterval ttk, yatu x(0) [ x (0), x (0) ] d mana x (0) = x (0). Karena A rredusbel, k k

11 M Andy / Sstem Lnear Max maka A mempunya nla egen -plus nterval tunggal, yatu (A) = [ ( A ), ( A )], dengan vektor egen -plus nterval fundamental v [ v, v ] d mana komponen v untuk setap {1, 2,..., n}. Selanjutnya dbentuk vektor nterval d mana v = v dan v [ v, v = v, dengan v = v, v ] = mn ( v ) dan = mn ( v v ), untuk = 1, 2,..., n, yang juga merupakan vektor egen -plus nterval yang bersesuaan dengan (A). Dar konstruks vektor-vektor d atas dperoleh bahwa komponen-komponen vektor v, yatu v, semuanya tak negatf dan palng sedkt satu komponennya bernla nol. Sementara vektor nterval v [ v, v ] palng sedkt satu komponennya berupa nterval ttk, sehngga v merupakan vektor nterval terkecl, dalam art bahwa mn( v v ) = 0 untuk = 1, 2,..., n. Dengan demkan v merupakan vektor egen -plus nterval terkecl, d antara semua kemungknan vektor egen -plus nterval hasl modfkas vektor egen -plus nterval fundamental v [ v, v ] d atas, yang semua batas bawah komponennya tak negatf dan palng sedkt satu bernla nol. Mengngat vektor v [ v, dengan (A), maka berlaku [ A, A ] [ v, A v = ( A ) v ] merupakan vektor egen -plus nterval yang bersesuaan v dan A v = ( A ) v ] = [ ( A ), ( A )] [ v, v ] atau v. Selanjutnya dambl saat keadaan awal sstem x(0) = [ v, v ] yang merupakan saat keadaan awal tercepat. Mengngat operas dan pada matrks konssten terhadap urutan, maka berlaku A k v. Hal n berakbat bahwa x(k) [ ] = [ ( (A)) v, k k ( k m A k v, k A (A)) v ] = [( (A)), k k A v ] [ v k m A k A k v, v k A m v (A)) ] [ v, v ] = [ ( A), (A)] [ v, v ] untuk setap k = 1, 2, 3,.... Dengan demkan vektor v merupakan keadaan awal tercepat sstem, yang dperoleh dar vektor egen -plus nterval fundamental v [ v, v ], sehngga nterval keadaan sstem untuk masng-masng x akan berada dalam nterval terkecl yang batas bawah dan batas atasnya perodk dengan besar perode berturutturut ( A ) dan ( A ). Contoh 2 Dberkan SLMIIA (A, C, x(0) ), dengan A = [5, 7] [3, 4] [11,13] ε [6, 8] ( [12,15] [9,11] ε. Dapat dtentukan [3, 4] bahwa (A) = [ ( A ), ( A )] = [10, 12], dengan vektor egen -plus nterval fundamental v [ v, v ] dengan v = [0, 7, 1] T dan v = [1, 7, 2] T berturut-turut merupakan vektor egen -plus fundamental yang bersesuaan dengan (A ) dan (A). Selanjutnya dapat dtentukan bahwa v = [7, 0, 8] T dan Msalkan b(k) = [ ( (A)) v, dalam Tabel 2 berkut. k ( (A)) k v = [8, 0, 9] T, sehngga d ambl x(0) = [ v, v ]. v ]. Perhtungan x(k) hngga k = 10, sepert M-168

12 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 2 Jun 2012 Tabel 2 Perhtungan Interval Waktu Keadaan dan Output Sstem Contoh 2 k x 1 [7,7] [17,19] [27,31] [37,43] [47,55] [57,67] [67,79] [77,91] [87,103] [97,115] [107,127] b 1 [7,8] [17,20] [27,32] [37,44] [47,56] [57,68] [67,80] [77,92] [87,104] [97,116] [107,128] x 2 [0,0] [10,11] [20,23] [30,35] [40,47] [50,59] [60,71] [70,83] [80,95] [90,107] [100,119] b 2 [0,0] [10,12] [20,24] [30,36] [40,48] [50,60] [60,72] [70,84] [80,96] [90,108] [100,120] x 3 [8,8] [18,20] [28,32] [38,44] [48,56] [58,68] [68,80] [78,92] [88,104] [98,116] [108,128] b 3 [8,9] [18,21] [28,33] [38,45] [48,57] [58,69] [68,81] [78,93] [88,105] [98,117] [108,129] DAFTAR PUSTAKA Baccell, F., Cohen, G., Olsder, G.J. and Quadrat, J.P Synchronzaton and Lnearty. New York: John Wley & Sons. Rudhto, Andy Sstem Lnear Max-Plus Waktu-Invarant. Tess: Program Pascasarjana Unverstas Gadjah Mada. Yogyakarta. Rudhto, Andy. Wahyun, Sr. Suparwanto, Ar dan Suslo, F Aljabar Max-Plus Blangan Kabur. Berkala Ilmah MIPA Majalah Ilmah Matematka & Ilmu Pengetahuan Alam. Vol. 18 (2): pp Rudhto, Andy. Wahyun, Sr. Suparwanto, Ar dan Suslo, F. 2011a. Matrks atas Aljabar Max-Plus Interval. Jurnal Natur Indonesa. Vol. 13 No. 2. pp Rudhto, Andy. Wahyun, Sr. Suparwanto, Ar dan Suslo, F. 2011b. Systems of Fuzzy Number Max-Plus Lnear Equatons. Journal of the Indonesan Mathematcal Socety Vol. 17 No. 1. Rudhto, Andy. 2011c. Aljabar Max-Plus Blangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah Penjadwalan dan Jarngan Antran Kabur, Dsertas: Program S3 Matematka FMIPA Unverstas Gadjah Mada, Yogyakarta. Rudhto, Andy Sstem Lnear Max-Plus Interval Waktu Invarant. Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka d Jurusan Penddkan Matematka FMIPA UNY, Yogyakarta, 3 Desember pp. MA Schutter, B. De., Max-Algebrac System Theory for Dscrete Event Systems, PhD thess Departement of Electrcal Engnerng Katholeke Unverstet Leuven, Leuven. M-169

13 M Andy / Sstem Lnear Max M-170