ANALISIS KEDINAMIKAN SISTEM PADA MASALAH PENJADWALAN FLOW SHOP MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS

Transkripsi

1 Smar Nasoal atmata IV Isttut Tolog Spuluh Nopmbr, Surabaya, 3 Dsmbr 008 ANALISIS KEDINAIKAN SISTE PADA ASALAH PENADWALAN FLOW SHOP ENGGUNAKAN ALABAR AX-PLUS Nur Shofaah, Suboo, urusa atmata FIPA Isttut Tolog Spuluh Nopmbr l. Arf Rahma Ham, Kampus Kputh - Suollo, Surabaya 60 awa Tmur -mal : shofaah@matmata.ts.ac.d, suboo_003@tlomt Abstra. Dalam maalah dbahas aplas Alabar ax-plus pada masalah padwala flow shop, hususya masalah pada alra produs prmutato flow shop dga ob ms dmaa masg-masg ob harus dpross tpat satu al pada tap ms dga uruta ms yag sama. Dga mgguaa Alabar ax-plus aa dostrus modl dam dar alra flow shop yag ada. Dar modl dam dapat dtahu dama sstm da watu prod sstm yag tda la adalah la g dar matrs trass sstm. a vtor g yag brssuaa dga la g dada sbaga watu awal trsdaya rsourcs, maa aa trbtu suatu adwal yag prod dga prod sama dga la g trsbut. Sla tu, adwal yag trbtu uga mrupaa adwal yag stady stat. Slautya dbra suatu cotoh asus flow shop dga ob ms utu lbh mmaham tor pada bahasa. Kata uc: Alabar ax-plus, prmutato flow shop, padwala, stady stat. Pdahulua Alabar ax-plus mrupaa salah satu t aalss pgaa dar sstm vt dsrt yag mmpuya baya aplas pada tor sstm, otrol optmal da Ptr t. Pada maalah, Alabar ax-plus aa daplasa pada masalah padwala produs. Bbrapa plta sblumya mga aplas Alabar ax-plus pada masalah padwala atara la Goto, t al (008) mgguaa ax-plus Lar sbaga motorg da mtod padwala utu sstm IO-FIFO (ultpl Iput ultpl Output Frst I Frst Out). Bouquard t al (006) mgguaa Alabar ax- Plus utu mtua maspa da uruta ob yag optmal pada flow shop. Pada maalah aa dostrus modl dam sstm dar alra produs flow shop dga ob ms. Istlah padwala pada maalah mgacu pada pyusua adwal rgulr dar watu mulaya pmrossa ob. sala pada alra produs flow shop, trdapat ob { } yag aa dadwala pada ms { }, dga da,. asg-masg ob harus dpross tpat satu al pada tap ms dga uruta ms yag sama. Prmutato flow shop mrupaa las husus dar flow shop dmaa stap ob mmpuya uruta pmrossa yag sama pada tap ms. Watu pmrossa (procssg tm) ob pada ms dotasa dga p. Pr-mpto tda dprbolha da pada suatu, watu trttu, stap ms haya dapat mgraa satu opras dar satu ob trttu. Dalam maalah, Alabar ax-plus aa dguaa utu mmodla sstm pada alra produs flow shop dga ob ms. odl trsbut duraa dga mgguaa trmolog Alabar ax-plus. Dar modl dam sstm dapat dtahu watu prod sstm yag tda la adalah la g dar matrs trass sstm. a vtor g yag brssuaa dga la g dada sbaga watu awal trsdaya rsourcs, maa aa trbtu adwal yag prod dga prod sama dga la g. adwal trsbut tda haya prod, ttap uga mrupaa adwal yag stady stat, yatu adwal dmaa watu putar sstm (prod), umlah da uruta ob bsrta ms yag mmprodusya sama utu slus produs slautya. Iformas sagat brgua utu myusu adwal produs yag rgulr.

2 . Alabar ax-plus Alaabar ax-plus brata dga dua opras, masmum (max) da tambah (plus). Opras trsbut mmpuya mrpa dga opras prala basa dua matrs, dmaa pada prala basa dua matrs braa dga opras al da tambah. Pada prala basa dua matrs, gat al dga tambah da tambah dga masmum maa aa dprolh Alabar ax-plus. Pdata sagat ssua bla slag watu brpra lagsug pada masalah formulas modl. Alabar ax-plus dotasa dga R ( Rmax,,,, ), dmaa R, dga df da 0. Pada Alabar ax-plus, masmum dotasa dga da pumlaha dotasa dga. mrupaa lm tral trhadap mrupaa lm tral trhadap sdaga df R max df. Utu stap a, b Rmax brlau a b max( a, b) da a b a + b Trdapat aalog yag las atara Alabar Lr dga Alabar ax Plus d satu ss, uga atara tor sstm da tor vt dsrt d ss la (Bacll t al., 99; Suboo, 000). Btu umum dar suatu prsamaa bda (alabar basa) adalah : x ( + ) Ax(, 0,,,, () dmaa x R, a R. Vtor x myataa adaa dar modl da x( myataa adaa saat -. Sdaga A adalah matrs bruura x. Bla dbra adaa awal x ( 0) x0 maa volus adaa mdatag dar Prsamaa () dapat dttua. a prsamaa vtor pada () dtuls dalam btu prsamaa salar ddapat x ( + ) a x (,,,..., ; 0,,... () x myataa ompo - dar vtor x sdaga a adalah lm dar matrs A. Pada Alabar ax-plus, opras al da umlah pada btu Prsamaa () aa dubah, al mad tambah da umlah mad masmum, maa Prsamaa () mad : df x ( + + ) max( a + x (, a + x (,..., a x ( )) max ( a + x ) a x ( (3) atau dga otas vtor x( + ) A x(, () dmaa x R, a R max max. a Prsamaa (3) mmuh adaa awal x ( 0) x0 maa volus watu dar Prsamaa (3) dapat dttua. Ttuya scara umum, volus watu dar () da (3) brbda. Pada Prsamaa (), argum pada x ( myataa watu - pada adaa x(. Sdaga pada Prsamaa (3), argum bua mrupaa saat watu ttap myataa saat atf yag -. Sbaga cotoh pada arga ra yag trdr dar tt, yag dwal olh stap x da a brata dga gars yag trhubug dar tt tt. Tt dalam arga ra dapat brpra sbaga atvtas trttu. Atvtas-atvtas mmbutuha watu hgga yag dsbut watu atvtas. Dasumsa atvtas pada tt trttu haya dapat dmula a smua atvtas pdahuluya sudah mylsaa atvtasya da mgrma haslya spaag gars yag mghubuga tt trsbut. Dga dma, ( x myataa aga watu awal dmaa tt mad atf pada saat - da adalah umlah dar watu atvtas tt da lamaya watu pralaa dar tt tt. Suatu prluasa dar () dyataa dga a

3 x( + ) A x( B u( y( C x( () dmaa u ( mrupaa put da y ( myataa outputya. Pada arga ra, u( mrupaa suatu vtor yag muua ta sumbr trttu trsda pada watu - sdaga vtor y( mruu pada saat dmaa produ ahr dar arga ra dtawara pada dua luar. Pada Alabar ax-plus, suatu blaga λ R da vtor x R damaa la g da vtor max g yag brssuaa utu suatu matrs buur sagar A bruura x a mmuh A v λ v (6) Nla aratrst λ dapat dtafsra sbaga watu prod dar sstm, yatu stap tt dar arga ra yag ssua mad atf stap λ satua (Suboo, 000). 3. Kostrus odl Stlah mmaham sstm pada alra produs flow shop, aa dostrus suatu modl dar sstm dga mgguaa trmolog Alabar ax-plus. ula-mula aa dgambara graph brarah yag mrprstasa alra flow shop dmaa ods ya mrupaa ombas atara ob dga ms, arc d atara ods ya mrupaa ostra pdahuluya sdaga bobot dar arc mrupaa watu pmrossa yag brssuaa. Graph brarah pada flow shop ob ms sprt dtuua pada Gambar. Gambar. Graph brarah pada flow shop ob ms Sstm vt dsrt dtrmst brhgga dapat dpadag sbaga hmpua brhgga atvtas A (dalam hal atvtas pmrossa ob) da hmpua brhgga rsourcs R. Uruta atvtas dapat ddsrpsa dga graph brarah (A, U). Utu sbarag atvtas a da a, (, ) U myataa bahwa a mrupaa atvtas pdahulu bag a. Artya, dua atvtas tu mgguaa rsourcs brsama, amu tda bsa mgguaaya pada saat yag brsamaa shgga atvtas muggu slsaya atvtas. a a harus sala x myataa watu awal pmrossa dar atvtas a da u myataa watu ta rsourc a r trsda. a (, ) U, maa x x + p dmaa adalah watu pmrossa atvtas muu atvtas a. a mrupaa atvtas prtama utu rsourc r maa x. p r u r sala Γ() mrupaa hmpua atvtas pdahulu dar atvtas a da R() hmpua rsourcs sdma hgga a ( r), maa x ddfsa sbaga a A x maxmax ( x + p ),max ur (7) Γ ( ) r R( )

4 sala y myataa output, yatu watu ta rsourcs dbbasa dar atvtas-atvtas yag brssuaa da Φ () mrupaa hmpua atvtas yag brssuaa dga output -, maa y ddfsa sbaga y x + p ; Φ( ) (8) Pada saat -, Prsamaa (7) da (8) dapat dtulsa mad x( Ax( Bu( (9) y ( Cx( (0) dmaa p (, a pross mmpuya pross pdahulu [ A ], a pross tda mmpuya pross pdahulu, a pross mmpuya put stral [ B], a pross tda mmpuya pross pdahulu p (, a pross mmpuya output stral [ C ], a pross tda mmpuya output stral Dalam hal, p ( mrupaa watu pmrossa atvtas pada saat -. Prsamaa (9) mrupaa prsamaa mplst dalam x. a dlaua substtus scara brulag pada ruas aa prsamaa (9), aa dprolh ( Ax( Bu( ) Bu( ) x( A A x( ABu( Bu( A x( stlah substtus dprolh ( A E) ) Bu( x( A x( ( A A... A E) Bu( () Pada prsamaa (), E myataa matrs dttas, brla pada dagoal da utu yag la. A muua bobot dar ltasa dga paag pada graph. Kara A tda mmpuya ltasa dga paag lbh bsar dar, maa A utu. Olh ara tu, solus dar x mad x( ( A A... A E) Bu( atau dapat dtulsa + x ( A Bu( dga A E A A... A A... () Olh ara pross produs - ( +) lagsug dmula stlah ms mylsaa produs yag - dar barsa ob maa aa dtambaha fdbac arc pada graph brarah sprt yag dtuua pada Gambar. fdbac arc dgambara dga gars putus-putus. Dasumsa bahwa fdbac arc mmpuya duras ol, maa u ( y( ), dmaa u ( adalah cycl put - da y( cycl output -, shgga ddapata y ( Cx( CA Bu( CA By( ) y ( ) (3) dga CA B mrupaa matrs trass dar y ( ) y(. Nla g dar matrs trass mtua watu prod sstm. a vtor g dada sbaga la awal sstm, maa trbtulah adwal yag rgulr.

5 Gambar. Graph brarah dga arc fd bac pada flow shop ob ms. Cotoh Aplas Cotoh : Trdapat dua ob da yag aa dadwala pada dua ms da dga masgmasg watu pmrossaya sbaga brut : Tabl. Watu Pmrossa ob da pada dua ms da Utu mgostrus modl dar alra produs, aa dgambara graph brarah sbagamaa dtuua pada Gambar 3. Nods trsbut mrprstasa ombas ob dga ms. Dga dma trdapat ods dmaa masg-masg od mrprstasa da. Graph brarah trdr dar ods, put da output. ), ),(, ),(, ( ), ( Gambar 3. Graph brarah pada flow shop ob ms Brdasara modl pada prsamaa (9) da (0) dprolh : Bu Ax x Cx y dmaa A ; ; ; B C A A E A

6 maa dprolh y ( y( ) dga myataa matrs trass, yatu CA B 6 6 Dga mgguaa Sclab dprolh λ da vtor g v [ 0 0 ] t λ dar matrs trass mrupaa watu prod sstm. Agar lbh sdrhaa, vtor g trsbut t dapat dtulsa mad v [ 0 0 ]. Dga dma, dprolh bahwa sstm aa brulag stap satua watu. a vtor g dada sbaga la awal yag rgulr dar watu slsaya pmrossa stap satua watu sbaga brut : y (0) y () y() ; ; ; ( y (0)) maa aa trbtu adwal Utu mmprolh adwal dar watu awal mulaya pmrossa ob dar sstm pada alra produs flow shop ob ms trsbut dguaa prsamaa () shgga dar formas yag dprolh mga la g da vtor g dprolh adwal rgular dar watu awal mulaya pmrossa ob sbaga brut x () x () x(3) ; ; ; 6 0 Hasl yag dprolh dapat dcocoa mgguaa Gatt Chart, yatu baga balo yag basa dguaa utu mgtahu complto tm da maspa dalam asus padwala produs, sprt pada Gambar. Gambar. Gatt Chart alra produs flow shop ob ms pada cotoh Cotoh : Trdapat dua ob da yag aa dadwala pada dua ms da dga masgmasg watu pmrossaya sbaga brut :

7 Tabl. Watu Pmrossa ob da pada dua ms da 3 6 Utu mgostrus modl dar alra produs, aa dgambara graph brarah sbagamaa dtuua pada Gambar 3. Nods trsbut mrprstasa ombas ob dga ms. Dga dma trdapat ods dmaa masg-masg od mrprstasa, ),(, ),(, ) ( da (, ). Graph brarah trdr dar ods, put da output. Brdasara modl pada prsamaa (.0) dprolh : x Ax Bu y Cx dmaa 3 6 A B C 3 6 maa dprolh y( y( ) dga myataa matrs trass, yatu 3 CA B Dga mgguaa Sclab dprolh v Agar lbh λ da vtor g [ ] t sdrhaa, vtor g trsbut dapat dtulsa mad v [ 0 8 8] t. λ dar matrs trass mrupaa watu prod sstm. Dga dma, sstm aa brulag stap satua watu. a vtor g dada sbaga la awal ( y (0)) maa aa trbtu adwal yag rgulr dar watu slsaya pmrossa stap satua watu sbaga brut : y (0) y () y() ; ; ; Utu mmprolh adwal dar watu awal mulaya pmrossa ob dar sstm pada alra produs flow shop ob ms trsbut dguaa prsamaa () shgga dar formas yag dprolh mga la g da vtor g dprolh adwal rgular dar watu awal mulaya pmrossa ob sbaga brut x () x () x(3) ; ; ; Hasl yag dprolh dapat dcocoa mgguaa Gatt Chart, yatu baga balo yag basa dguaa utu mgtahu watu slsaya pmrossa ob da maspa dalam asus padwala produs, sprt dtuua pada Gambar.

8 Gambar. Gatt Chart alra produs flow shop ob ms pada cotoh Pada Gambar trlhat bahwa sstm aa brulag stap satua watu. Trlhat pada slus produs yag prtama, stlah mmpross ob, ms dl (pada watu s.d 8) padahal ba ms maupu ms mash mmuga utu mmpross ob. Hal trad agar utu slus slautya sstm dapat brala scara stady stat, yatu alra produs yag mmpuya watu putar sstm (prod), umlah da uruta ob bsrta ms yag mmprodusya sama utu slus slautya.. Ksmpula Alabar ax-plus dapat daplasa pada masalah padwala flow shop, hususya masalah pada alra produs flow shop dga ob ms dmaa masg-masg ob harus dpross tpat satu al pada tap ms dga uruta ms yag sama. Dga mgguaa Alabar ax-plus dapat dostrus modl dam dar alra flow shop yag ada, yatu y ( y( ) Dar modl dam dapat dtahu dama sstm da watu prod sstm yag tda la adalah la g dar matrs trass sstm. a vtor g yag brssuaa dga la g dada sbaga watu awal trsdaya rsourcs, maa aa trbtu suatu adwal yag prod dga prod sama dga la g trsbut. Sla tu, adwal yag trbtu uga mrupaa adwal yag stady stat. Daftar Pustaa Baccll, F., Coh G., Olsdr G.. da Quadrat.P., (99), Sychrozato ad Larty, oh Wly ad Sos, Nw Yor. Bouquard,., -L., Lt, C., da Bllaut,,-C., (006), Applcato of a Optmzato Problm ax- Plus Algbra to Schdulg Problms, Dscrt Appld athmatcs,, hal Goto, H., asuda, S., (008), otorg ad Schdulg thods for IO-FIFO Systms Utlzg ax-plus Lar Rprstato, IES Vol.7, No., pp.3-33, u, 008. Suboo, (000), Oprator lar dalam Alabar ax-plus da trapaya, prosdg Smar Nasoal atmata, urusa atmata ITS, Surabaya.