(, ) 2 ESS C ESS YANG DIBANGKITKAN OLEH FUNGSI TERUKUR DAN TERBATAS ESSENSIAL. Muslim Ansori 1 dan Y.D. Sumanto 2

Transkripsi

1 RUANG BANA ( L ( b L [ ] SEBAGAI RUANG OPERATOR YANG DIBANGKITKAN OLE FUNGSI TERUKUR DAN TERBATAS ENSIAL Muslm Ansor dn YD Sumnto Jurusn Mtemtk FMIPA Unversts Lmpung Jln Soemntr Brodjonegoro No Bndr Lmpung E-ml: nsomth@yhooom Jurusn Mtemtk FMIPA Unversts Dponegoro Jln Prof Soedrto S Temblng Semrng Abstrt In ths pper we onstrut new normed Bnh spe from olleton of ll rlemn opertors from lbert spe nto Lebesgue spe L ( [ b] denoted by ( L ([ b] wth respet to the norm K = esssup ( every K ([ b] k :[ b] ( x [0] k x for L generted by n essenslly bounded mesurble funton Keywords: rlemn opertors essenslly bounded mesurble funtons PENDAULUAN Opertor rlemn dkembngkn pertm kl pd L ( [ b] ytu koleks semu fungs f :[ b] R R dengn b ( f y dy < dn dlkukn oleh rlemn (93 Selnjutny untuk menghormt penemuny opertor tersebut dnmkn opertor rlemn Opertor rlemn tersebut berbentuk = b ( ( ( ( untuk setp f L ( b Kf x k x y f y dy b [ ] ( dengn k x y dy < Dlm hl n fungs k merupkn fungs terukur dn dnmkn kernel tu pembngkt opertor K Peneltn-peneltn tentng opertor rlemn selnjutny bnyk dlkukn ntr ln oleh Korotkov ( Dlm kry-kryny tersebut Korotkov bnyk menjelskn sft-sft kernel opertor rlemn pd rung lbert Peneltn-peneltn terkn berktn dengn opertor rlemn ntr ln oleh Novtsk (994 memberkn represents ntegrl dr opertor-opertor lner menggunkn kernel mulus tpe Merer Novtsk (00 memberkn represents ntegrl opertor-opertor tk terbts menggunkn kernel mulus Novtsk (003 memberkn represents ntegrl opertor-opertor tertutup menggunkn kenel mulus dn Novtsk (003 memberkn ekuvlens unter smultn terhdp opertor rlemn dengn kernel mulus sebrng Selnjutny Ansor (009 berhsl menunjukkn bhw semu opertor rlemn yng dbngktkn oleh fungs terukur terbts essensl pd [ b ] membentuk rung lner bernorm yng ternsprs oleh lporn kemjun peneltn yng dlkukn Ansor dkk (008 tentng opertor-da dengn memperumum opertor rlemn pd rung Bnh Jd tulsn n kn

2 Jurnl Mtemtk Vol No Agustus 009:-6 memberkn ksus khusus dr opertor tersebut Pd tulsn n kn dkj syrt perlu dn ukup bg kernel sutu opertor rlemn K dr rung lbert ke rung Lebesgue L ( [ b] supy K lner kontnu dn seklgus kn dbuktkn bhw rung lner bernorm ([ ] L b merupkn rung Bnh ASIL PENELITIAN DAN PEMBAASAN Bgn n dbg menjd du bgn Bgn pertm menyjkn defns dn nots yng memut pengertn-pengertn dsr dn hsl-hsl terdhulu yng menjd lndsn peneltn n Bgn kedu memut hslhsl peneltn yng berktn dengn topk yng dbrkn tentng konstruks rung Bnh ([ ] L b sebg hsl utm DEFINISI DAN NOTASI Beberp sft-sft opertor rlemn dr rung lbert ke rung L ( [ b] berkut sngtlh mendsr: Defns [0] Dberkn rung lbert Sutu K : L [ b] opertor lner ( dnmkn opertor rlemn jk d fungs terukur k :[ b] sehngg untuk setp f ( Kf ( x = f k ( x Selnjutny k dsebut pembngkt (kernel opertor rlemn K : L [ b] Opertor K yng ( dbngktkn oleh kernel k tersebut bersft tunggl sebb jk K dn K msng-msng merupkn opertor rlemn yng dbngktkn oleh sutu fungs terukur k :[ b] mk untuk setp f berlku ( K f ( x = f k ( x dn ( K f ( x = f k ( x Selnjutny berdsrkn sft lner K dn K dperoleh 0 = K f x K f x = K K f x ( ( ( ( (( ( dn f Oleh kren tu untuk setp f ( θl K K f = K f K f = K f = K f [ b] dengn θ merupkn fungs nol L [ b] sehngg K = K ontoh Dberkn fungs terukur k L [ b] [ b] Oleh kren tu ( ( = ( ([ ] k x k x L b hmpr untuk setp x [ b] Opertor lner ( ( K : L [ b] L [ b] dengn rumus untuk setp f ( ( ( ( b ( ( Kf x f k x k x y f y dy = = merupkn opertor rlemn yng dbngktkn oleh k Selnjutny nots L ([ b] ( menytkn koleks semu opertor rlemn dr ke L ( [ b] Teorem [0] K L [ b] mk K ( Jk ( tertutup ( Bukt : Kren K ([ b] L mk terdpt fungs terukur k :[ b] sehngg untuk setp f berlku ( Kf ( x = f k ( x Dmbl

3 Muslm Ansor dn YD Sumnto ( Rung Bnh ( L ( b L [ ] sebg Rung sembrng brsn { fn} yng konvergen ke sutu f dn brsn { Kf n } konvergen ke sutu g ( [ b] L * Kren k ( x = hmpr untuk setp x [ b] mk brsn { Kfn ( x } { f kn ( x } { f k ( x } { Kf ( x } = konvergen ke = hmpr untuk setp x [ b] Oleh kren tu dengn ketunggln lmt dperoleh g f k ( x hmpr untuk setp bhw K tertutup = f tu terbukt Teorem 3 [0] L [ b] merupkn ( mpunn ( rung lner Bukt : Dmbl du opertor K K L [ b] sembrng ( ( Oleh kren tu terdpt fungs terukur k :[ b] dn k :[ b] sehngg untuk setp f berlku ( K f ( x = f k ( x dn ( K f ( x f k ( x = hmpr untuk setp x [ b] Kren k :[ b] dn k :[ ] b terukur mk αk :[ b] βk :[ b] α + β k b dn terukur untuk ( :[ ] setp sklr α β Selnjutny dperoleh ( α K + βk f x = αk f x + βk f x = α k x + f βk x ( ( ( ( ( ( ( f ( ( ( = ( f αk ( x + βk ( x = ( f ( αk + βk ( x Jd α K + β K merupkn opertor rlemn yng dbngktkn oleh fungs terukur αk + βk Berkut n kn dberkn slh stu syrt bg kernel k :[ b] untuk menjd pembngkt opertor rlemn K : L [ b] sebg bgn dr ( hsl utm peneltn n Perlu dngt kembl sutu fungs k :[ b] dktkn terbts essensl pd [ b ] jk terdpt hmpunn terhtung E [ b] sehngg k :[ b] \ E terbts Dengn kt ln jk k :[ b] terbts essensl mk terdpt blngn rel postp M sehngg sup k x = esssup k x M ( ( \ E Teorem 4 [] Dberkn rung lbert Opertor K : L [ b] merupkn lner ( opertor rlemn jk dn hny jk terdpt fungs terukur k :[ b] dn k ( L ([ b] sehngg ( Kf ( x f k ( x Bukt : Kren K L ([ b] ( mk terdpt fungs terukur k :[ b] sehngg untuk setp f berlku ( Kf ( x = f k ( x Oleh kren tu ( Kf ( x = f k ( x f k ( x Dengn demkn ( ( Kf ( x dx f ( k ( x dx E E jk dn hny jk k ( ([ b] Seblkny kren < L k :[ b] fungs terukur dn k ( ([ b] ( Kf ( x f k ( x L sehngg 3

4 Jurnl Mtemtk Vol No Agustus 009:-6 untuk setp 4 f opertor lner K : ([ b] dengn ( Kf ( x f k ( x L dpt drumuskn = hmpr untuk setp x [ b] Terbukt ( ([ b] K L Slh stu yng memenuh sft d dlm teorem d ts ytu jk k :[ b] fungs terukur dn terbts essensl ( Selnjutny nots L ([ b] menytkn koleks semu opertor rlemn dr ke L ( [ b] yng dbngktkn oleh fungs terukur dn terbts essensl k :[ b] Ddefnskn fungs norm pd L [ b] dengn ( ( : ( L ([ b] R dengn rumus = esssup ( K k x Teorem 5 [] L [ b] merupkn ( mpunn ( ( esssup ( α K = esssup α k x = α k x = α K rung lner bernorm terhdp norm Teorem 6 ([ ] (( ([ ] Bukt : ( Untuk setp opertor L b L L b K ( L ([ b] dengn Bukt : Dmbl sembrng pembngkt fungs terbts essensl K ([ ] k :[ b] dperoleh L b yng dbngktkn oleh fungs terukur terbts K = esssup k ( x 0 dn essensl k :[ b] Oleh kren tu K = 0 esssup k( x terdpt sutu hmpunn terhtung x [ b] E [ b] sehngg k terbts pd K = 0 esssup k ( x = 0 k ( x = 0[ b k ] \ = E θ Dengn K = O kt ln terdpt sutu blngn rel M > 0 sehngg (O opertor nol hmpr d mn-mn esssup k pd [ b ] ( x M ( Untuk setp Akn dtunjukkn bhw K ( L ([ b] dengn fungs K ( ([ ] L b dengn pembngkt terbts essensl ( L [ b] merupkn koleks k :[ b] dn sklr α dperoleh ( Untuk setp K L L [ b] dengn ( ( fungs pembngkt terbts essensl k :[ b] dn l :[ b] dperoleh K + L = esssup k x + l x Jd ( ( ( k ( x l ( x esssup + ( esssup ( esssup k x + l x K + L K + L K + L Berdsrkn ((( dn Teorem 3 terbukt bhw ( L ([ b] merupkn rung lner bernorm RUANG BANA ( L ([ b] Berdsrkn Teorem 4 dn Teorem 5 dperoleh semu fungs lner kontnu dr ke E

5 Muslm Ansor dn YD Sumnto ( Rung Bnh ( L ( b L [ ] sebg Rung L [ b] Berdsrkn yng dkethu dperoleh { } { ( } f b k x dx Kf f k x dx L = ( ( [ ] b b ( f esssup k x b Dengn demkn K lner dn kontnu dn terbukt K ( ([ ] L b Akbt 7 ( [ ] dengn pembngkt fungs terukur dn terbts essensl k :[ b] mk Jk K L ( b ( L ( b K K b [ ] Bukt : Berdsrkn bukt d dlm Teorem 6 dperoleh K = sup Kf ( L( [ b] L ([ b] sup f f ( f esssup k x b K b Teorem 8 mpunn L ( b ( [ ] merupkn rung Bnh Bukt : Dmbl sebrng brsn uhy K L [ b] dengn ( { } ( brsn fungs pembngkt yng k k : E yng bersesun { } terukur dn terbts essensl = Oleh kren tu untuk setp blngn ε > 0 terdpt blngn bult postp n 0 sehngg untuk setp du blngn bult postp j n0 berlku esssup ( ( k x k x = K K < j j Oleh kren tu brsn vektor { k ( x } untuk setp x [ b] jug merupkn brsn uhy d dlm rung lbert Kren rung lbert lengkp mk terdpt sutu fungs terukur dn terbts essensl k : E sehngg lm k ( x = k ( x untuk setp x [ b] Dln phk berdsrkn Teorem 6 berlku ([ ] (( ([ ] L b L L b Oleh kren tu K L L [ b] jug ( { } ( merupkn brsn uhy Kren L L [ b] lengkp mk terdpt ( ( ([ b] K L L sehngg lm K = K Berdsrkn sft-sft d ts dperoleh untuk setp f ε ( = ( ( = ( ( = ( lm f k x lm K f x Kf x f k x ytu ( ([ b] K L Dengn kt ln terbukt brsn K L [ b] konvergen ( ( [ b] ( L b { } ( ke sutu K ( L tu hmpunn ( [ ] merupkn rung Bnh 3 KESIMPULAN DAN SARAN Rung lner bernorm ([ ] L b merupkn rung Bnh terhdp norm Peneltn lnjutn terhdp rung Bnh ([ ] L b ytu menyeldk kekompkn opertor tersebut dn menyeldk pkh rung n 5

6 Jurnl Mtemtk Vol No Agustus 009:-6 merupkn ljbr bnh d dlm rung ( [ ] L b DAFTAR PUSTAKA [] Ansor M (009 Rung Lner L [ b] ( Bernorm ( Prosdng Semnr Nsonl Mtemtk dn Penddkn Mtemtk dlm rngk Pekn Ilmh Penddkn Mtemtk PIPM 009 Jurusn Mtemtk FMIPA UNY Yogykrt 3-36 [] Ansor M Drmwjy S Supm (008 DA-Opertors on Bnh Spes V Kernel Interntonl onferene on Mthemts nd Nturl Senes ITB Bndung [3] Korotkov VB (970 hrterst Propertes of Integrl Opertors wth Kernels of rlemn Type Sbern Mth Journl ( : [4] Korotkov VB (97 rlemn Opertors n Spes of Abstr Funtons I Sbern Mth Journl (4 : 56-5 [5] Korotkov VB (97 rlemn Opertors n Spes of Abstr Funtons II Sbern Mth Journl (4 : [6] Novtsk IM (994 Integrl Representton of Lner Opertors by Smooth rlemn Kernels of Merer Type Pro London Mth So 3 : 6-77 [7] Novtsk IM (00 Integrl Representton of Unbounded Opertors by Smooth rlemn Kernels Preprnt [8] Novtsk IM (003 Integrl Representton of losed Opertors s B-rlemn Opertors wth Arbtrrly Smooth Kernels Reserh Report Fr Estern Brnh of The Russn Ademy of Sene [9] Novtsk IM (003 Smultneous Untry equvlene to rlemn Opertors wth Arbtrrly Smooth Kernels Reserh Report Fr Estern Brnh of The Russn Ademy of Sene [0] Wedmnn J (980 Lner Opertors n lbert Spes Sprnger Verlg New York 6