ANALISIS OPTIMASI. Oleh Muhiddin Sirat*)
|
|
|
- Sucianty Iskandar
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ANALISIS OPTIMASI Oleh Muhddn Srt*) I. PENDAHULUAN D tnju dr seg ekonom, sumber terjdny mslh ekonom yng dhdp msyrkt berwl dr kebutuhn mnus yng tdk terbts, dln phk sumber-sumber ekonom sngt terbts. Untuk menggunkn sumbersumer ekonom yng terbts dlm ush memenuh kebutuhn mnus memerlukn pedomn dlm pengmbln keputusn. Pedomn yng dmksud dlh teor ekonom. Teor ekonom dlm bnyk hl menjelskn hubungn ntr vrbel ekonom, sebg contoh () hubungn ntr pendptn dengn jumlh pengelurn untuk konsums, () hubungn ntr hrg sutu brng dengn jumlh brng yng dmnt, (3) hubungn ntr penermn dengn jumlh brng yng terjul, dn (4) hubungn ntr vrbel ekonom lnny. Ats dsr teor ekonom dpt dsusun model ekonom. Model ekonom yng dmksud dlh kerngk nlss tentng persoln ekonom dn hubungn-hubungn pokok ntr vrbel ekonom. Sutu model ekonom hny merupkn kerngk teorts, dn tdk d lsn yng menytkn bhw model ekonom hrus bersft mtemts, tetp jk sutu model mempuny bentuk mtemts, bsny terdr dr hmpunnhmpunn persmn (set of qutuons). Penerpn persmn dlm ekonom, dbedkn tg mcm persmn, ytu : () defntonl equton, () equlbrum condton, dn (3) behvorl equton. *). Stf Pengjr kults Ekonom Unversts Lmpung
2 Sutu defntonl equton membentuk dentts yng dsebut persmn dentts, sebg contoh keuntungn totl () dlh selsh ntr penermn totl (TR) dengn by totl (TC), sehngg () = TR TC. Persmn dlm konds kesembngn (equlbrum condtons), dlh sutu persmn yng menggmbrkn prsyrt untuk pencpn equlbrum, sebg contoh d = s (jumlh yng dmnt = jumlh yng dtwrkn), dn S = I (tbungn yng dhrpkn = nvests yng dhrpkn). Behvorl equton menunjukkn perlku sutu vrbel sebg tnggpn terhdp perubhn vrbel lny. Hubungn fungsonl ntr vrbel ekonom lzm dsebut fungs. Sutu persmn belum tentu fungs, tetp fungs dlh sudh pst bgn dr persmn. rbel ekonom dpt berdr sendr, tetp bru lebh berrt bl berhubungn stu dengn yng ln mellu sutu persmn tu fungs. Sutu fungs merupkn hubungn ntr stu tu lebh vrbel bebs, dengn vrbel terktny. Oleh kren tu dlm bnyk hl fungs sngt pentng dlm nlss ekonom, kren fungs bergun untuk : () menentukn besrn pengruh vrbel bebs terhdp vrbel terkt, () menentukn nl perkrn tu rmln sutu vrbel terkt jk nl vrbel dkthu, dn (3) fungs dlm bentuk tertentu dpt dgunkn untuk menentukn nl optmum vrbel ekonom yng terdpt dlm sutu fungs dengn menggunkn turn mtemtk (turn dferenss fungs). II. PENGERTIAN ANALISIS OPTIMASI Ilmu ekonom dpt drtkn sebg lmu untuk memlh lterntf terbk. Int persoln optms dlh memlh lterntf terbk berdsrkn krter tertentu yng tersed. Krter yng plng umum untuk memlh dntr beberp lterntf dlm ekonom dlh () kn memksmum sesutu, sepert memksmumkn keuntungn perushn, utlts konsumen, dn lju perubhn volume ush,
3 tu () memnmum sesutu, sepert memnmum by dlm berproduks. Secr ekonom kt dpt mengktegorkn persoln mksmss dn mnmss dengn stlh optms, rtny mencr yng terbk. Dlm memformuls persoln optms, tugs pertm bg pengmbln keputusn dlh menggmbrkn secr ternc fungs tujun (mksmss, tu mnmss). rbel tk bebs (vrbel terkt) dr sutu fungs merupkn objek mksmss tu mnmss, dn vrbel bebs merupkn obyek-obyek yng besrny dpt dmbl dn dplh oleh unt ekonom tu dengn tujun optms nl vrbel terkt. Esens dr proses optms dlh memperoleh nl-nl vrbel plhn (vrbel bebs) yng memberkn nl optmum yng dngnkn fungs tujun. Sebg contoh, sutu perushn ngn memksmum lb (), ytu mksmum perbedn ntr penermn totl (TR) dn by totl (TC). TR dn TC dlh du fungs dr tngkt output () n berrt lb () dpt dnytkn sebg fungs dr. = TR TC = R () C () = f (), fungs keuntungn. Dengn demkn optmum dlh pemlhn tngkt sedemkn rup sehngg kn menjd mksmum. Dlm hl n dsumskn bhw fungs dpt dferenss secr kontnyu. Optms dpt berup optms tnp kendl tu tnp kekngn (Unconstrned optmzton) dn optms dengn kendl (Contrned ptmzton). Contoh tersebut d ts merupkn optms tnp kendl. Optms tnp kendl dlh optms sutu fungs tnp dny syrtsyrt tertentu yng membtsny. Jk fungs tersebut terkt oleh (subject to) stu tu lebh syrt, mk n dsebut optms dengn kendl.
4 III. OPTIMASI TANPA KENDALA III.. OPTIMASI TANPA KENDALA DENGAN SATU ARIABEL BEBAS Mslny Y = f () dlh fungs tujun (tujun obyektf) yng kn dcr nl optmumny. Y* merupkn hsl tu nl optml dr fungs dn * merupkn nl yng memberkn nl Y optml. Contoh, sutu fungs Y = 8 x x. Tentukn nl optmlny dn tunjukkn pkh nl optmlny mnmum tu mksmum?. Konds perlu (Necessery condton) untuk fungs mencp nl optml dlh dervtf tu turunn pertm dr fungs hrus bernl sm dengn nol. Y f ( *) Dervtf pertm dr contoh fungs d ts : Y f ( *) 8 4 Apbl konds perlu dlh turunn pertm sm dengn nol 8 4 = ddpt : 4 = 8 = 7 dn * = 7 Dn nl optml fungs : Y = 8 (7) (7) Y* = 98 Nl optml fungs tnp kendl dsebut nl optmum bebs. b. Untuk mengethu pkh nl optml fungs dlh mksmum tu mnmum dlht dr konds cukup (Suffcent Condton) tu lht drturunn kedu dr fungs tersebut.
5 Y Dervtf pertm : f ( *) 8 4 Y Dervtf kedu : f ( *) 4 Dervtf kedu (=-4) bernl negtf (=-4) yng menunjukkn nl optml dlh nl mksmum. Y f ( *) Apbl = f ( *) ; nl optml fungs dlh mksmum f ( *) ; Optmum mnmum Ttk-ttk optml pd sutu fungs dpt dlht pd gmbr (4.) berkut n (KK 3) Contoh penerpnny dlm ekonom : Dkethu fungs penermn totl (totl revenue) ts penjuln sutu produk (TR) = 8 - tentukn jumlh produk yng terjul untuk mencp penermn mksmum dn buktkn pkh ttk optml tersebut optmum?. Untuk menentukn nl optml TR, dervtf pertm fungs TR sm dengn nol. TR Y f f ( *) M rgnl Revenue ( MR) ( *) MR 8 4 Apbl MR =, mk = 8-4 = 4 = 8, ddpt * = 7 Jumlh produk yng dproduks dpsrkn untuk memksumum TR (* = 7 stun) b. Untuk membuktkn nl optml TR dlh optml mksmum, dlht dr dervtf kedu :
6 TR f ( *) 4 Y Dervtf kedu fungs TR bernl negtf (= - 4) berrt nl optml TR dlh nl mksmum. III.. OPTIMASI TANPA KENDALA DENGAN DUA ATAU LEBIH ARIABEL BEBAS Mslny sutu fungs Y = f (x, x,.x n ). Untuk menentukn nl optml fungs, mk turunn prsl (prtl dervtf) pertm dr fungs bernl nol, sebg berkut : Y... persmn () Y... persmn () Y n n... persmn ( n) Dengn menggunkn turn substus/elmns, tu turn crmer, turn nvers mtrks, dpt dtentukn nl *, *,...* n. Dengn memsukkn nl *, *,...* n kedlm fungs tujun kn ddptkn nl optml fungs tersebut (Y*). b. Untuk menguj nl optml fungs (Y*) optmum mksmum tu mnmum dpt menggunkn Hessn Mtrx H H
7 Hn n n 3n Keterngn : f j sebg unsur mtrks Hessn dlh dervtf prsl kedu dr fungs tujun. Optmum mksmum Apbl H H H3 Optmum mnmum Apbl H H H3 Contoh, tentukn nl optml dr fungs : Y = + dn buktkn pkh nl optml Y dlh optmum mksmum tu mnmum. Penyelesn dlh sebg berkut :. Untuk menentukn nl optml fungs, mk dervtf prsl pertm fungs dsmkn dengn nol. Y Y... persmn ()... persmn () Persmn () : =, sehngg * = Persmn () : =, sehngg * = 5 Dn nl optml fungs : Y* = () () + (5) (5) Y* = 5
8 Ttk-ttk optml yng mungkn terjd pd fungs yng kontnyu dpt dlht pd gmbr (4.) berkut n (AC. 88) : b. Untuk mengethu/menguj nl optml fungs optmum mksmum tu mnmum dlht dr dervtf prsl kedu : Y Y Dervtf pertm Dervtf kedu Hessn Mtrks : H H H H (. ) (.) H 4 Apbl : H ; H Nl optml fungs dlh optmum mksmum Penerpn optms fungs multvrt tnp kendl ntr ln dpt dgunkn untuk mengnlss : ksus dskrmns hrg, ksus perushn yng menghslkn du produk tu lebh (Jont Product), dn ksus produks dengn du tu lebh nput. Contoh Penerpn Optms ungs Multvrt Tnp Kendl Untuk Mengnlss Ksus Dskrmns Hrg Perushn yng memlk kekusn monopl melkukn dskrmns hrg d du tempt (psr).
9 D psr () fungs permntn dkethu P = 8 5 D psr () fungs permntn dkethu P = 8 Tentukn jumlh dn yng dproduks/dpsrkn untuk mencp keuntungn mksmum dn buktkn pkh nl optml tersebut dlh optmum mksmum. Penyelesn : Penermn totl dpsr () dlh TR = P. = (8-5 ) = 8-5 TR = P. = 8 Keuntungn () = (TR + TR ) TC = Keuntungn mksmum (*) : Dervtf prsl pertm fungs keuntungn dsmkn dengn nol= 6... persmn () persmn () Persmn () = 6 =, sehngg *= 6 Persmn () = 6 4 =, sehngg * = 4 Nl optmum keuntungn = 6 (6) 5 (6) + 6 (4) (4) 5 = 45 b. Apkh Nl optml fungs mksmum tu mnmum dlht dr dervtf kedu fungs keuntungn Dervtf pertm Dervtf kedu
10 Hessn Mtrk : H H H (. 4) (.) 4 = + 4 H 4 Nl optml fugs dlh optmum mksmum kren H dn H Contoh Penerpn ungs Multvrt Tnp Kendl untuk Mengnlss Ksus Produks dengn Du Input Beberp bentuk fungs produks yng telh dkenl selm n, ntr ln fungs produks kudrtk, fungs produks Cobb-Dougls, dn fungs produks Trnsendentl.. ungs produks Trnsendentl Hlter, dkk dlm Iksn Semoen (99). x dlh A.. e. e b. Produk mrgnl dlh dervtf pertm :. A.. e. x t. e. x. A A. x. e
11 . Jd,. * Jumlh nput yng mengoptml produks () c. Produks mencp mksmum pbl dengn demkn : d. Produks rt-rt (APP x ) = APP x = e. Elststs produks (E x ) E x ( ). E. I. OPTIMASI DENGAN KENDALA Pd bhsn sebelumny menjelskn optms fungs tnp kendl. Kenytnny, permslhn ekonom jug bnyk melbtkn optms dengn kendl yng tertentu (Constrnt). Optms dengn kendl mempuny fungs ssrn tu fungs tujun (objectve functon) yng kn doptmlkn dengn stu tu lebh kendl (Constrnt) yng menunjukn syrt-syrt yng hrus dpenuh. Nl optml fungs tujun dsebut optmum berekendl. Dtnju dr jumlh vrbel bebs dn kendl dr fungs ssrn, mk optms dengn kendl dpt dkelompokn menjd : 4. Optms ungs Stu rbel Bebs dengn Stu Kendl 4. Optms ungs Du tu Lebh rbel Bebs dengn Stu Kendl
12 4.3 Optms ungs Du tu Lebh rbel Bebs dengn Du tu Lebh Kendl (Berkendl Gnd). Bentuk Non-Lner solus (solus optml : lgernge) b. Bentuk Lner (solus optml : lner progrmng) 4.. OPTIMASI UNGSI SATU ARIABEL BEBAS DENGAN SATU KENDALA. Mslny stu mslh optms sebg berkut : Mksmumkn : Y = 8 - ungs ssrn Kendl (subject to) : = Kendl NIl dbts hrus sm dengn =, nl optml dengn = dlh nl mksml Y* = 9. Gmbr (5.) Y. B A = Nl optmum berkendl B = Nl optml bebs (tnp kendl). A = f (x) = * 4... OPTIMASI UNGSI DUA ARIABEL BEBAS DENGAN SATU PESAMAAN KENDALA Mslny stu fungs Y=f(, ) ytu fungs dengn du vrbel bebs kn dcr nl optmlny dengn kendl = + =K.,, dn K merupkn sutu konstnt (sudh tertentu). Poss ttk mksmum terkendl dsjkn pd gmbr (5.) berkut n (AC.345). Untuk menentukn nl optml fungs ssrn dpt dgunkn metode substtus tu metode Legrnge. Dengn menggunkn kendl tersebut
13 kn dpt dtentukn nl *, *. Yng mengoptml nl fungs tujun (Y*). b. Selnjutny untuk mengethu pkh nl optml fungs tujun ( du vrbel bebs) merupkn optmum mksmum tu mnmum menggunkn turn Border Hessn. H g g g g... optmum mnmum... optmum mksmum Metode Lgrnge Untuk Solus Optml Dengn menggunkn contoh 5.. dts : fungs ssrn Y=. Kendl + = 6 ungs Lgrng Y=. + 6 ) ( Solus optml dengn metode Lgrnge dengn lngkh sebg berkut =. Membentuk persmn dervtf prsl dsmkn dengn nol = Y persmn () Y persmn () Y 6 persmn (3) b. Substuskn persmn () dn () c. Substuskn ke persmn (3)
14 6 = 6 ( ) - = 6 = * = 3 = Jd * = 3 d. Tentukn dervtf kedu prsl Y Y Dervtf Pertm Prsl q = dn q = Dervtf Kedu Prsl Border Hessn q q H q q = (..) (..) (..) = + > H... optmum mksmum Penerpn Optms ungs dengn Du rbel Bebs Berkendl Stu Persmn Pembts Dlm contoh n berush menyjkn konsep-konsep tentng beberp spek pentng yng berktn dengn upy untuk menghslkn sutu kombns
15 output yng menguntungkn. Ad beberp lterntf plhn yng dtwrkn bg pengmbl keputusn :. Mksmss penermn (TR) dengn kendl by (TC*).. Mksmss output (Y) dengn kendl by (TC*). 3. Mnmss by (TC) dengn kendl output (Y*). 4. Mnmss by (TC) dengn kendl output pendptn (TR*). 5. Mksmss ublts (TU) dengn kendl nggrn (C*) Keterngn : *). Sudh tertentu Contoh () : Mksmss Penermn (TR) dengn Kendl By. Y = (, ) fungs produks dengn du nput ytu dn b. TR = P y.y TR = P y. (, ) fungs ssrn/tujun (P y = hrg output) c. TC* =. +. kendl nggrn TC* = by yng sudh tertentu d. ungs lgrnge L = P y.y + (TC* - L = P y. f (, ) + (TC* - ) e. rst Order Condton (OC) L L L * ()... ()... Jd P. f P. f y. y y P. f. Py. f P. f. y Py. f...()...()...(3)
16 Syrt n merupkn syrt mencp nl optml tujun (mksmss penermn). Dengn menggunkn syrt n kn ddpt jumlh nput dn yng memksmum penermn totl (TR). f. Second Order Condton (SOC) Dervtf kedu dgunkn untuk membuktkn/mengethu pkh nl optml penermn merupkn optmum mksmum. ( )... y P. f. dn ( )... y P. f. dn ( 3)...TC tu TC* TC* g. Aturn : Boder Hessn H dn Optmum mksmum Optmum mnmum Apbl H nlny lebh besr nol, berrt fungs tujun untuk memksmum penermn terbukt. Contoh () = Mksmss Output dengn Kendl By. ungs ssrn = Y f(, ) (fungs produks)
17 b. Persmn kendl (persmn by) TC* = + c. uns lgrnge L = f (, ) + (TC* - ) d. rst - Order Condton (OC) L L f ()... f f.. L TC * f ()... f f...()...()...(3) Syrt n merupkn syrt mencp nl optml fungs tujun (mksmss output). Dengn menggunkn syrt n kn dpt dkethu jumlh dn yng memksmumkn output (Y). e. Second - Order Condoton (SOC) Dervtf kedu dgunkn untuk menguj pkh nl optml output merupkn optmum mksmum. ( )... f. dn ( )... f. dn ( 3)... TC * tu
18 f. Aturn = Border Hessn : H TC* TC* dn Optmum mksmum Optmum mn mum Apbl H nlny lebh besr nol, berrt fungs tujun untuk memksmum outuput terbukt. Contoh (3) : Mnmss By dengn Kendl Output. ungs ssrn (fungs by) TC = + b. Persmn kendl (produks tertentu) Y* = f (, ) c. ungs lgrnge L Y * f (, ) d. rst Order Condton (OC) L. f...() L. f...() L Y * f (, )...(3) ( ).... f f
19 ( ).... f Jd f f f Syrt n merupkn mencp nl optml fungs tujun (mnmss by) dengn kendl output yng tdk tertentu. Dengn menggunkn syrt n kn dkethu jumlh dn yng memnmum by. e. Second Order Condton (SOC) ( )... f. dn ( )... f. dn ( 3)... Y * f (, ) tu f ( f (,, q f. Aturn : Border Hessn H q q q q ) Y* ) Y* dn q Optmum mksmum Optmum mnmum Apbl H nlny lebh kecl nol (negtf), berrt fungs tujun untuk memnmum by dengn kendl output (yng sudh tertentu) terbukt.
20 4. OPTIMASI UNGSI MULTIARIAT (n ARIABEL DENGAN MULTI KENDALA. ungs ssrn (fungs obyketf) dengn n vrbel bebs, dpt dtuls : Y = f (,,.. n ) b. Jk d lebh dr stu persmn kendl, metode pengl lgrnge tetp dpt dpk dengn mencptkn pengl lgrnge sebnyk kendl yng terdpt d dlm fungs lgrnge.. LINIER PROGRAMING. PENDAHULUAN Pd bgn terdhulu, telh dbhs optms terkendl dengn menggunkn teknk klkulus dfrensl, termsuk metode lgrnge. Pd bgn n kn dbhs metode optms yng ln ytu metode pemrogrmn mtemtk. (Mthemtcl Progrmng). Pemrogrmn mtemtk n termsuk teknk untuk mengevlus mslh optms terkendl. Apbl fungs ssrn/fungs tujun dn kendl-kendlny dnytkn dlm bentuk lner, mk jens pemrogrmn mtemtk tersebut dsebut progrm non lner (Lner Progrmng). Perbedn teknk klkulus dfrensl (ntr ln metode lgrnge) dengn lner progrmng dlh : No Teknk Klkulus Dfrensl (metode lgrnge) Lner Progrmng Kendl-kendl dlm bentuk persmn (=) Kendl-kendlny dlm bentuk pertdksmn ( tu ) ungs tujun dn kendl dpt berbentuk non lner tu lner Hny terbts pd fungs tujun dn kendl yng lner Pd bgn n kn djelskn lner progrmng dn penerpnny. Solus optml dlm lner progrmng terdr dr () metode grfs, () metode smpleks, dn (3) metode smpleks dengn progrm dul.
21 . PERUMUSAN UMUM MASALAH LINIER PROGRAMING Dlm merumuskn mslh lner progrmng terdpt tg hl yng hrus drumuskn lebh wl sebelum menyusun bentuk umum lner progrmng, dn solus optmlny, ytu :. Membentuk fungs ssrn tu fungs tujun (objectve functon), pkh memksmum proft, memnmum by, tu lnny.. Membentuk pertdksmn kendl-kendl (constrne). 3. Penegsn btsn non-negtf dr setp vrbel-vrbel yng dmsukkn dlm model. Bentuk umum untuk mslh progrms lner dengn n vrbel plhn dn n kendl, dlm memksmum tu memnmum nl fungs tujun/ssrn dlh :. ungs tujun (memksmumkn ) C C... C n n Dengn kendl : m m... n n m K K K. ungs tujun (memnmum C) C C C... C Dengn kendl : m ` m m m K K K Untuk memchkn mslh progrms lner dpt menggunkn metode grfk, metode smpleks, dn metode smpleks dengn progrm dul. Dengn menggunkn metode tersebut kn dpt dtentukn nl vrbel plhn (*) dn nl fungs tujun (* tu C*) yng optml. m.3 METODE GRAIK
22 Metode grfk merupkn slh stu cr untuk memechkn mslh lner progrmng. Metode n hny mungkn dpt dlkukn pbl hny terdpt du vrbel plhn (mslny vrbel dn ) wlupun kendlny lebh dr du pertdksmn kendl. Contoh : untuk fungs tujun mksmss : Perushn yng menghslkn du mcm produk ytu dn, telh mengethu keuntungn per unt produk dlh Rp. 8, dn per unt produk dlh Rp. 7,, sehngg fungs tujun dpt dtentukn : = Untuk memproduks kedu produk tersebut terdpt kendl, ytu kendl pertm dr seg wktu opers mesn, kendl kedu dr seg bhn bku, dn kendl ketg dr seg ketersedn modl opersonl. Pertdksmn kendl tersebut dlh : Kendl () : Kendl () : + 6 Kendl (3) : Tentukn jumlh dn yng dproduks/dpsrkn untuk mencp nl optml dr fungs tujun (*) Gmbr (J.K : 63)
23 Memperhtkn grfk d ts, bgn yng drsr dsebut derh yng lyk (esble Regon). Memperhtkn derh lyk tersebut dpt dtentukn lterntf ttk optmum, ytu ttk A (8,), B (6,4), D (3,6), dn E (, 7 ). Apbl bss ( ) dn ordnt ( ) dr msng-msng ttk 4 dsubstuskn ke fugs tujun kn dkethu lterntf nl optml fungs tujun. Dengn demkn, penyelesn optml dr mslh lner progrmng dlm ksus n dlh = 6, dn = 4, dn mksmum proft berjumlh * = Rp. 76.,. Contoh : Untuk fungs tujun, mnmss : Perushn memproduks du mcm produk, ytu produk dn, untuk menghslkn stu unt produk membutuhkn by Rp.., dn stu unt produk membutuhkn by Rp. 5.,. ungs tujun : C = Msng-msng produk memerlukn tg bgn opers yng berbed dlm proses produks. Produk : memerlukn wktu untuk mengglng, merkt, dn menguj secr berturut-turut 3, 4, dn ment. Produk memerlukn wktu 5, 8, 9 ment untuk mengglng, merkt, dn menguj. Kpsts wktu untuk mengglng, merkt dn menguj secr berurutn : 9, 4, 8 ment. Kendl () Wktu mengglng :
24 Kendl () Wktu merkt : Kendl (3) Wktu menguj : Tentukn jumlh dn yng memnmum by kedu produk tersebut? Gmbr (J.K : 635) Memperhtkn grfk d ts, bgn yng drsr dsebut derh lyk (esble Regon) untuk fungs tujun mnmss. Memperhtkn derh lyk tersebut dpt dtentukn lterntf ttk optmum mnmum, ytu : A (,6), P (,), Q (36,), dn (9,). Apbl bss dn ordnt dn msng-msng ttk dsbustuskn ke fungs tujun kn dkethu lterntf nl mnmum dr fungs tujun. Dengn demkn dkethu penyelesn optml dr mslh lner progrmng dlm ksus n dlh : =, =, dn mnmum by Rp. 5.,
25 .4 METODE SIMPLEKS.4. PENDAHULUAN Metode smpleks dlh sutu prosedur ljbr (yng bukn secr grfk) untuk mencr nl optml dr fungs tujun dlm mslh optms yng terkendl. Perhtungn dlm metode smpleks ddsrkn pd ljbr mtrks, terutm mencr nvers mtrks untuk penyelesn persmn lner smultn, oleh kren tu penyelesn optml dengn metode smpleks dwl pengubhn kendl pertdksmn menjd persmn. Untuk mencr nl optmum dengn menggunkn metode smpleks dlkukn dengn proses pengulngn (ters) dmul dr penyelesn dsr wl yng lyk (fesble) hngg penyelesn dsr khr yng lyk dmn nl dr fungs tujun telh optmum PERSYARATAN METODE SIMPLEKS Terdpt tg persyrtn untuk memechkn mslh lner progrmng, ytu :. Semu kendl pertdksmn hrus dubh menjd persmn.. Ss knn dr tnd pertdksmn kendl tdk boleh dny negtf. 3. Semu vrbel dbts pd nl non negtf PENULISAN STANDAR DARI METODE SIMPLEKS Berdsrkn ketg persyrtn d ts, mk kt dpt menuls bentuk stndr dr metode smpleks sebg berkut :. Jk mslh lner progrmng berup fungs tujun mksmss. Sebg contoh untuk du vrbel dn du kendl : Mksmumkn : = C + C Dengn kendl : K dn K
26 Bentuk stndr metode smpleks d ts dpt dtuls menjd :. ungs tujun bentuk eksplst dubh menjd bentuk mplst. - + C + C = b. Kendl bentuk pertdksmn (tnd ) dubh menjd persmn dengn cr menmbhkn vrbel slck pd rus kr, sehngg menjd : S S K K dmn : S dn S dlh vrbel slck non negtf. c. Dlm nots mtrks, kt peroleh : C C d. Tbel Smpleks Pertm rbel Dsr S S S S K K Nl knn S S (konstnt) - +C +C K K. Jk mslh lner progrmng berup fungs tujun mnmss.
27 Mnmumkn : C = c + c Dengn kendl : K dn K Bentuk stndr metode smpleks dpt dtuls menjd :. ungs tujun semul bentuk eksplst dubh menjd bentuk mplst : - C + c + c = b. Kendl pertdksmn (tnd ) Dubh menjd persmn dengn cr dkurng vrbel slck kemudn dtmbh vrbel butn : + S + A = K + - S + A = K dmn : S dn S dlh vrbel slck A dn A dlh vrbel butn c. Dlm nots mtrks, kt peroleh :
28 c c d. Tbel Smpleks Pertm rbel Dsr S S C S S A A K K Nl knn C S S A A (konstnt) - +c +c - - K K PENYELESAIAN DENGAN MATODE SIMPLEKS Setelh kt mengethu penulsn umum dr metode smpleks, mk lngkh penyelesn gun memperoleh kombns yng optml dr vrbel plhn ( I ) dlh sebg berkut :. Membut tbel smpleks wl/pertm. Menentukn kolom pvot (kolom kunc). Kolom kunc dlh kolom yng berd pd ngk postf terbesr dlm brs fungs tujun (brs pertm). 3. Menentukn brs pvot (brs kunc). Plhlh brs dengn hsl bg ntr nl knn (konstnt) postf dengn ngk pd kolom
29 kuncny yng terkecl. Angk yng berd pd perpotongn kolom kunc dn brs kunc dsebut ngk kunc. 4. Menentukn brs kunc bru dengn cr membg semu elemen dlm brs kunc dengn ngk kunc gr ngk kunc sm dengn (stu). 5. Menentukn brs ln (seln brs kunc) yng bru : Brs bru = (brs lm) (ngk pd kolom kunc yng bersesun dengn brs lm dkl brs kunc bru). 6. Setelh dkethu brs kunc bru dn brs ln yng bru, bentuklh tbel smpleks kedu. 7. Perhtkn tbel smpleks kedu, jk ngk pd brs pertm (brs fungs tujun) msh terdpt ngk postf, lkukn lngkh berkutny dengn cr yng sm. Jk sudh tdk d lg ngk postf pd brs pertm, berrt penyelesn telh optml, dn kn dpt dkethu nl vrbel plhn yng kn mengoptml fungs tujun. Contoh untuk mslh mksmss : Gunkn metode smpleks untuk memksmumkn = Dengn kendl : dn Penyelesn :. ungs tujun dlm bentuk mplst : =
30 . Kren mslh mksmss, mk kendl hrus dtmbh vrbel slck : 3 4 S S S Tbel Smpleks I (wl) rbel Dsr S S S 3 Nl knn (konstnt) Brs = Brs = S 3 4 Brs 3 = S 6 Brs 4 = S Kolom kunc dlh kolom Brs kunc dlh brs 3 Lngkh-lngkh Membentuk Tbel Smpleks II. Kolom kunc dlh kolom yng berd pd ngk postf terbesr dlm brs pertm, ytu kolom.. Brs kunc dlh : Nl knn ( NK) 4 Brs = Angk kolom kunc ( AKK) Brs 3 = Nl knn Angk kolom kunc 6 8 postf terkecl Nl kolom 7 Brs 4 = 7 Angk kolom kunc Brs kunc dlh brs 3 3. Brs kunc bru (brs 3 bru) : Brs kunc lm : S S S 3 NK 6 Brs kunc bru = Brs lm dbg ngk kunc
31 ½ ½ 8 4. Brs ln yng bru Brs () Bru = Brs () lm (Brs kunc bru x 8) Brs () Bru = Brs () lm (Brs kunc bru x ) Brs (4) Bru = Brs (4) lm (Brs kunc bru x ) 5. Tbel Smpleks II rbel Dsr S S S 3 Nl Knn Brs () = Brs () = S - Brs (3) = ½ ½ Brs (4) = S 3 3,5 -½ Lngkh Membentuk Tbel Smpleks III Kolom kunc = Kolom. Brs kunc = Brs = NK AKK 8 4 NK 8 Brs 3 = 6 AKK / NK 9 Brs 4 = 5, 43 AKK 3,5 Brs kunc dlh brs postf 3. Brs kunc bru (brs bru) = terkecl S S S 3 NK ½ -½ 4 4. Brs ln yng bru = Brs () Bru = Brs () lm (Brs kunc bru x 3) Brs (3) Bru = Brs (3) lm (Brs kunc bru x ½) Brs (4) Bru = Brs 94) lm (Brs kunc bru x 3,5) 5. Tbel Smpleks III rbel Dsr S S S 3 Nl Knn
32 Brs () = Brs () = ½ -½ 4 Brs (3) = -/4 ¾ 6 Brs (4) = S 4-7/4 5/4 5 Kren pd brs () tdk d lg yng bernl postf, penyelesn optml seles. = 6 ; = 4 ; - = -76. *= METODE SIMPLEKS DENGAN PROGRAM DUAL 5.5. PENDAHLUAN Pembhsn tentng mslh dults dlm lner progrmng menjd pentng, ketk kt kn menentukn nl optml fungs tujun dengn kendl-kendl yng bertnd lebh besr tu sm dengn nol (). Apbl kendl-kendl bertnd, penentun nl optml fungs tujun dengn lner progrmng dwl pengubhn bentuk pertdksmn kendl menjd persmn. Pengubhn bentuk pertdksmn kendl untuk menjd persmn hrus memsukkn vrbel butn (Artfsl rble) dsmpng memsukkn vrbel slck (slck vrble). Contoh : Mnmumkn : C = 6 4 Dengn kendl = Agr kendl pertdksmn menjd persmn mk hrus dkurng vrbel slck dn dtmbh vrbel butn.
33 4 S A 3 S A 4 S rbel slck A rbel bu tn Dn fungs tujun hrus dtmbh M.A I untuk fungs tujun mnmss, dn dkurng M.A I untuk fungs tujun mksmss. Berdsrkn contoh d ts, fungs tujun mnmss : C = d ubh menjd : C = M.A + M.A wlupun nl M kn dnggp sm dengn nol. Penyesun fungs tujun dn kendl-kendl hrus dlkukn sebelum kt membentuk tbel smpleks wl. Oleh kren tu proses penentun nl optml fungs tujun dlm lner progrmng (khususny untuk kendl yng bertnd ) menjd tdk prkts kren hrus memsukkn vrbel butn seln vrbel slck. Seblkny pbl kendl-kendl bertnd, mk proses penentun nl optml fugs tujun lebh prkts, kren () cukup memsukkn vrbel slck sj dlm proses pengubhn kendl pertdksmn gr menjd persmn, dn () tdk perlu memsukkn vrbel butn pd fungs tujun. Apbl bentuk wl (prml), ytu mnmss fungs tujun dn kendl-kendl bertnd, mk bentuk dulny dlh mksmss fungs tujun dn kendl bertnd. Demkn pul seblkny MASALAH DUALITAS DALAM LINIER PROGRAMING Apbl mslh wl (prml) dlh mksmss fungs tujun, mk dulny dlh mslh mnmss. Dn seblkny, jk mslh wl (prml) dlh mnmss fungs tujun, mk dulny dlh mslh mksmss. Bentuk Awl (Prml) Mnmss ungs Tujun Prml :
34 Mnmsskn : Z = C. Dengn kendl : A. B Mk dulny : Mksmsskn : Z = B.Y Dengn kendl : A Y C Contoh dlm bentuk umum dlh sebg berkut : Bentuk wl (prml) : Mnmsskn : C = C + C Dengn kendl : Mk dulny : K Mksmsskn : Z = K Y + K Y K Dengn kendl : Y Y Y Y C C Contoh Sol : Dkethu bentuk prml fungs tujun mnmss dn kendl dlh : Z = + 8 Dengn kendl dn Tentukn : nl dn yng memnmss. ungs tujun, dn tentukn nl optml fungs tujun. Penyelesn :. Bentuk dulny dlh : Mksmsskn : Z = 45 Y + 55 Y 6Y Dengn kendl : 3Y Y 4Y Y 8 dn Y. ungs tujun dlm bentuk mplst :
35 - Z + 45 Y + 55 Y = 3. Penmbhn vrbel slck : 6Y 3Y 4Y Y S S 8 4. Tbel smpleks wl rbel Dsr Z j Y Y S S Nl Knn Z j S 6 4 S Thpn pembentukn tbel smpleks II dn III sm dengn lngkh pd contoh terdhulu. 6. Mellu proses yng sm pd contoh terdhulu dpt dtentukn nl Y dn Y yng mengoptml Z : Y * = Y * = 5 Z* = Untuk menentukn * dn * dengn lngkh sebg berkut : Z j * = 75 Bentuk wl fungs tujun Z = = + 8. ungs tujun kendl () 6 = = 45 6 Persmn n dsubstuskn ke fungs tujun : Ddpt : * = 85 48
36 * = 5 8 Z* mnmum = 75 I. PENUTUP Teor ekonom merupkn lndsn dlm menyusun model ekonom. Dengn menggunkn model yng bersft mtemts kt dpt menggunkn nlss optms gun menentukn nl optmum fungs tujun. Anlss optms dpt menggunkn : () tehnk klkulus dfverensl, dn ke () menggunkn tehnk progrms lner (lner progrmng). Pengusn turn dferenss fungs, mtrks, dn turn-turn optms fungs kn sngt membntu pengnlss ekonom dlm menentukn nl optml vrbel ekonom yng dmsukkn dlm model yng dgunkn.
Pemain P 1. Teorema 4.1 (Teorema minimax). Untuk setiap matriks pembayaran (pay off matrix), terdapat strategi optimal x* dan y* sedemikian sehingga
Rset Opers Probblstk Teor Permnn (Gme Theor) Deprtement of Mthemtcs FMIPA UNS Lecture 4: Med Strteg A. Metode Cmpurn (Med Strteg) D dlm permnn d mn permnn tersebut tdk mempun ttk peln, mk pr pemn kn bersndr
BAB IV METODA ANALISIS RANGKAIAN
6 BAB METODA ANALSS RANGKAAN Metod nlss rngkn sebenrny merupkn slh stu lt bntu untuk menyeleskn sutu permslhn yng muncul dlm mengnlss sutu rngkn, blmn konsep dsr tu hukum-hukum dsr sepert Hukum Ohm dn
Koefisien Regresi / persamaan regresi linier digunakan untuk meramalkan / mengetahui besarnya pengaruh variabel X terhadap variabel Y
REGRESI Koefsen Regres / persmn regres lner dgunkn untuk mermlkn / mengethu esrny pengruh vrel terhdp vrel Vrel yng mempengruh ddlm nlss regres dseut vrel predktor ( ) Vrel yng dpengruh dseut vrel krterum
BAB 5 PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN ORDE TINGGI
BAB 5 PESAMAAN DIFEENSIA HOMOGEN ODE TINGGI 5. Pendhulun Metode penyelesn persmn dferensl orde stu dn du yng telh dbhs dpt dpergunkn untuk persmn dferensl homogen untuk orde n dengn persmn krkterstk sepert
CATATAN KULIAH Pertemuan XI: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Variabel 2 atau Lebih) II. = dx
CATATAN KULIA ertemun XI: Optms Tnp Kendl dn Aplksny (Fungs dengn Vrel tu Leh) II A. Fungs Tujun dengn Leh dr Du Vrel Bentuk Umum Fungs Vrel : z( ) Derensl Totl Orde Stu: Derensl Totl Orde Du: Derensl
SOAL UN MATEMATIKA IPA 2014
SOAL UN MATEMATIKA IPA 2014 1. Dkethu prems-prems berkut : Prems 1 : Jk hr hujn, mk tnmn pd subur. Prems 2 : Jk pnen tdk melmph, mk tnmn pd tdk subur. Prems 3 : Pnen tdk melmph Kesmpuln yng sh dr prems-prems
MATEMATIKA TEKNIK 2 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS Integrl Fungs Kompleks 4 INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS Sepert hlny dlm fungs rl, dlm fungs kompleks jug dkenl stlh ntegrl fungs kompleks sert sft-sftny Sft kenltkn
BAB I PENDAHULUAN. Universitas Sumatera Utara
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Ltr Belkng Dlm teor permnn dkenl orng kembl setelh munculny kry bersm yng gemlng dr John Von Neumn dn V Mergenstern pd thun 1944 dengn judul Theory of Gmes nd economc behvor. Teor
II. TINJAUAN PUSTAKA
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Tnjun Teorts 2.1.1. Teor Aloks Wktu Teor yng menunjukkn bhw setp ndvdu memutuskn bgmn menglokskn wktu yng dmlkny dntr plhn untuk bekerj (work) tu snt (lesure) mengsumskn bhw setp
Metode Numerik. Regresi. Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2008 PENS-ITS
Metode Numerk Regres Um S dh Polteknk Elektronk Neger Surb 008 PENS-ITS 1 Metode Numerk Topk Regres Lner Regres Non Lner PENS-ITS Metode Numerk Metode Numerk Regres vs Interpols REGRESI KUADRAT TERKECIL
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Persmn Smultn Persmn smultn tmbul hmpr dsetp cbng mtemtk, dlm beberp hl, persmn n tmbul lngsung dr perumusn mul dr persolnny, ddlm hl ln penyelesn dr persmn merupkn bgn dr pengerjn
MODEL PENJADWALAN BATCH PADA FLOWSHOP DUA TAHAP DENGAN VARIASI JUMLAH PART UNTUK MEMINIMASI TOTAL ACTUAL FLOW TIME
MODEL PEJADWALA BATCH PADA LOWSHOP DUA TAHAP DEGA VARIASI JUMLAH PART UTUK MEMIIMASI TOTAL ACTUAL LOW TIME Prty Poer Surydhn Industrl Engneerng Study Progrm, Industrl Engneerng culty, Telkom Unversty prty@telkomunversty.c.d
BAB 6 FITTING DATA ˆ (6.1) (6.2) (6.3) =. Nilai akan. akan minimum jika. minimum. Misal. 0. Jika ini dikerjakan maka akan diperoleh nilai
BAB 6 FITTIG DATA Atu dseut dengn penookn dt tu menentukn kurv terk ng mellu set dt (sekumpuln dt) dengn keslhn mnmum. Ukurn keslhn dlh E (root men squre, kr kudrt rt-rt). Ad eerp mm pol fttng dt: menurut
10/21/2011 POKOK BAHASAN MODEL DATAMINING DEFINISI KATEGORI DALAM DATA MINING. Definisi Kategori Model Naïve Bayesian k-nearest Neighbor Clustering
0//0 POKOK BAHASAN Defns Ktegor Model Nïve Byesn k-nerest Neghbor Clusterng MODEL DATAMINING Bhn Kulh : Topk Khusus DEFINISI DEFINISI Mnng : proses tu ush untuk mendptkn sedkt brng berhrg dr sejumlh besr
FISIKA. Sesi INDUKSI MAGNETIK A. KAWAT LURUS BERARUS
FISIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 07 Ses NGAN INDUKSI MAGNETIK Pd bd kesembln bels, Hns Chrstn Oersted (777-85) membuktkn keterktn ntr gejl lstrk dn gejl kemgnetn. Oersted mengmt st jrum kmps dtempelkn
Menentukan Statistik Pengujian Untuk Eksperimen Faktorial dengan Dua Kali Pembatasan Pengacakan. Oleh : Enny Supartini
Menentukn Sttstk Pengujn Untuk Ekspermen Fktorl dengn Du Kl Pembtsn Pengckn Oleh : Enny Suprtn Jurusn Sttstk FMIPA Unversts Pdjdjrn Bndung e-ml : rthn@yhoo.com Abstrk Dlm ekspermen fktorl pbl pengckn tdk
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNHB4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT PENCOCOKAN KURVA Pedhulu Dt g bersl dr hsl pegmt lpg pegukur tu tbel g dmbl dr buku-buku cu. Nl tr turu tegrl mudh dcr utuk
PRAKTIKUM 6 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss Jordan
Prtum 6 Penyelesn Persmn Lner Smultn - Metode Elmns Guss Jordn PRAKTIKUM 6 Penyelesn Persmn Lner Smultn Metode Elmns Guss Jordn. Tujun : Mempeljr metode Elmns Guss Jordn untu penyelesn persmn lner smultn.
17. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1
17. PROGRAM LINEAR A. Persmn Gris Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (0, ) 0 x 1 x 1 0 x 2 (b, 0) 0 b. Persmn gris yng bergrdien m dn mellui titik (x 1, y 1 ) dlh: y y 1 = m(x x 1 )
Pengenalan Pola/ Pattern Recognition
Pengenln Pol/ Pttern Recognton Byesn Decson Theory Imm Cholssodn S.S., M.Kom. Klsfks 1 1. Teor Keputusn Byes Keputusn ddukung probblts posteror Keputusn mempertmbngkn Rsk/Cost 2. Fse Trnng & Testng Dt
,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &
PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
KRITERIA LAPLACE PADA PENCARIAN SOLUSI PROGRAM LINIER FUZZY SKRIPSI ELISABETH ARITONANG
KRITERIA LAPLACE PADA PENCARIAN SOLUSI PROGRAM LINIER FUZZY SKRIPSI ELISABETH ARITONANG 05080067 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 009
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt
BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 11 Ltr Belkng Mslh trnsshpent erupkn slh stu slh pentng yng dhdp oleh perushn Pd uuny slh trnsports berhubungn dengn dstrbus sutu brng dr beberp suber dengn penwrn terbts enuu beberp
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
ANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
BAB VI ANALISIS REGRESI
BAB VI ANALISIS REGRESI A. Pedhulu Alss regres merupk slh stu lss yg ertuju utuk megethu pegruh sutu vrel terhdp vrel l. Vrel yg mempegruh dseut depedet vrle/vrel es () d vrel yg dpegruh dseut depedet
5. INDUKSI MAGNETIK. A. Medan Magnetik
5. INDUKSI MAGNETIK Setelh mempeljr modul n, dhrpkn And dpt memhm konsep nduks mgnetk secr umum. Secr lebh khusus, And dhrpkn dpt : Mendeskrpskn hsl percobn Hns Chrstn Oersted tentng pengertn nduks mgnetk.
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
11. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1
11. PROGRAM LINEAR A. Persmn Gris Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (, ) x 1 x 1 x 2 (b, ) b. Persmn gris yng bergrdien m dn mellui titik (x 1, y 1 ) dlh: y y 1 = m(x x 1 ) b. Persmn
PRAKTIKUM 9 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss Jordan
Prtum 9 Penyelesn Persmn Lner Smultn - Metode Elmns Guss Jordn PRAKTIKUM 9 Penyelesn Persmn Lner Smultn Metode Elmns Guss Jordn Tujun : lner smultn Mempeljr metode Elmns Guss Jordn untu penyelesn persmn
INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
LUAS DENGAN PARTISI SEGITIGA UNTUK FUNGSI CEKUNG
Posdng Semt05 dng MIPA BKS-PTN Bt Unvests Tnjungpu Pontnk Hl 7 - LUAS DENGAN PARTISI SEGITIGA UNTUK FUNGSI CEKUNG Jun Lest Nengsh *, Symsudhuh, Lel Deswt Juusn Mtemtk Unvests Ru, Ru jun.lest@gml.om, Kmpus
Teorema Gauss. Garis Gaya oleh muatan negatip. Garis gaya listrik. Garis gaya oleh sebuah muatan titik. Sebuah muatan negatip
Gs Gy Lstk Konsep fluks Teoem Guss Teoem Guss Penggunn Teoem Guss Medn oleh mutn ttk Medn oleh kwt pnjng tk behngg Medn lstk oleh plt lus tk behngg Medn lstk oleh bol solto dn kondukto Medn lstk oleh slnde
BAB 1 PENDAHULUAN. (http//badan lingkungan hidup daerah.com). Hal ini dapat terjadi jika jumlah
BAB PENDAHULUAN. Ltr Belkng Penduduk dlh kekyn bngs seklgus modl dsr pembngunn (http//bdn lngkungn hdup derh.com). Hl n dpt terjd jk jumlh penduduk yng besr tersebut dpt dberdykn sesu kodrt, kehln dn bdng
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Smrt Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesui Indiktor Kisi-Kisi UN 2013 Mtemtik SMA (Progrm Studi IPA) Disusun oleh : Pk Anng - Blogspot Pge 1 of 13 5. 2. Menyelesikn sol pliksi
FORMULASI DAN ALGORITMA PENYELESAIAN MODEL BATCHING DAN SEQUENCING DENGAN KRITERIA MINIMASI WAKTU TINGGAL AKTUAL TOTAL
FORMULASI DAN ALGORITMA PENYELESAIAN MODEL BATCHING DAN SEQUENCING DENGAN KRITERIA MINIMASI WAKTU TINGGAL AKTUAL TOTAL Zhed ABSTRACT Ths pper exmnes btch schedulng problem tht hve btchng nd sequencng n
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
Two-Stage Nested Design
Mteri #13 TIN309 DESAIN EKSPERIMEN Two-Stge Nested Design Nested design dlh slh stu ksus dri desin multi fktor dimn level dri slh stu fktor (misl: fktor B) serup tpi tidk identik untuk setip level yng
Eksistensi Interpolan Deret Ganda Sinusoida
Eksstens Interpoln Deret Gnd Snusod Endng Rusmn ), Hendr Gunwn ), sep Kuswnd Suprtn ), dn Rustm Effend Sregr ) ) Jurusn temtk, Fkults temtk dn Ilmu Pengethun lm, Unpd, ) Kelompk Kehln nlss dn Geometr,
Hendra Gunawan. 30 Oktober 2013
MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester I, 2/24 Oktoer 2 Ltihn. Fungsi g =,, terintegrlkn pd [, ]. Nytkn integrl tentu g pd [, ] segi limit jumlh Riemnn dengn prtisi reguler, dn hitunglh niliny. //2 c Hendr
ξ. Elemen elemen dari ruang vektor
KEGITN BELJR REPRESENTSI MTRIKS Rung Hlbert "ξ" Menurut nots drc Vektor Ket dn Vektor Br Setp elemen tu vektor ddlm rung hlbert dsebut vektor ket tu ket Ket menurut nots drc dnytkn dengn smbol " " Supy
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
KAJIAN TENTANG SKEMA BEDA HINGGA KOMPAK ORDE-4
KAJIA TETAG SKEA BEDA HIGGA KOPAK ORDE-4 Eko Prsety Budn Abstrct : Fourth order compct fnte-dfference scheme s bsed on low-storge Runge-Kutt schemes for temporl dscretzton nd fourth order compct fnte-dfference
PenerapanTeori Respons Butir Dalam Penyetaran Tes. Kana Hidayati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK
PenerpnTeor Respons Butr Dlm Penyetrn Tes Kn Hdyt Jurusn Penddkn Mtemtk FMIPA UNY ABSTRAK Penyetrn tes perlu dlkukn khususny bg kegtn pengujn dlm skl besr yng memperspkn lebh dr stu perngkt tes mengngt
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Teor-teor Umum 2.. Mtemtk Pengertn terhdp konsep dferensl tu turunn dn ntegrl dperlukn untuk memhm persmn meknk. Bgn ln dr mtemtk yng pentng dhubungkn dengn knemtk dlh perkln mtrks
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
PENDAHULUAN. 1993). Pada penelitian ini menggunakan rancangan acak kelompok dengan model liniear aditif ditulis sebagai berikut: Latar belakang
PENDAHULUAN Ltr belkng Anlss rgm memerlukn sums yng kett, slh stuny sums kehomogenn rgm. Pdhl bnyk ksus d lpngn yng ggl dlm memenuh sums n. Dlm percobn multloks serng terjd ketdkhomogenn rgm pd fktor loks
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Ltr Belkg Smp st, model Regres d model Alss Vrs telh dpdg sebg du hl g tdk berkt. Meskpu merupk pedekt g umum dlm meergk kedu cr pd trf permul, model Alss Vrs dpt dpdg sebg hl khusus model
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
12 Langkah Penyelesaian Pendekatan
Meto Elemen Hngg Dlm Hrulk B 4 Dsr eu: Lngkh Penyelesn Penektn Ir. Djoko Luknnto, M.S., Ph.D. mlto:luknnto@ugm.. Revew (hl.96) Anlss yng utuhkn: Û(;) hrus r Integrs Resul rter Optms p R(;) untuk menentukn
Metode Numerik 1. Imam Fachruddin (Departemen Fisika, Universitas Indonesia)
Metode Numerk Imm Fchruddn (Deprtemen Fsk, Unversts Indones Dftr Pustk: P. L. DeVres, A Frst Course n Computtonl Physcs (John Wley & Sons, Inc., New York, 994 W. H. Press, et. l., Numercl Recpes n Fortrn
Aljabar Linear dan Matriks (Transformasi Linier dan Matriks) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
ljr Lner dn Mtrks (Trnsforms Lner dn Mtrks) Instruktur : Ferry Whyu Wowo SS MCs Penjumlhn Perkln Sklr dn Perkln Mtrks j : unsur dr mtrks d rs dn kolom j Defns Du mtrks dlh sm jk keduny mempuny ukurn yng
IV PEMBAHASAN DAN HASIL
5 mngs erkurng seesr r untuk setp K ertmhny stu nvu mngs kren ny ketertsn y ukung lngkungn n seesr c kt mngs oleh pemngs. Besrny tngkt pemngsn pengruh oleh tngkt kepusn pemngs seesr m. erkhr erkurng seesr
Aplikasi turunan dan integral dalam persoalan ekonomi
Apliksi turunn dn integrl dlm persoln ekonomi Fungsi Produksi ( ) Fungsi q f K, L menghubungkn input (kpitl dn teng kerj) dengn output. Kren tidk dibtsi oleh spesifiksi tertentu, mk teori ini dpt dipliksikn
ANALISIS HASIL PANEN PADI MENGGUNAKAN PEMODELAN KUADRATIK
Bdng Kjn: Mtemtk Terpn ANALISIS HASIL PANEN PADI MENGGUNAKAN PEMODELAN KUADRATIK Vn Puspt Dew 1), Hnn Arn Prhusp ), Llk Lnwt ) 1) Mhssw Progrm Stud Mtemtk FSM UKSW ), ) Dosen Progrm Stud Mtemtk FSM UKSW
matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN
www.sip-osn.blogspot.com @Mret 0 PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 0 TINGKAT KABUPATEN. B. x ( x ) ( x + )( x ) ( x ( ) )( x ) ( x + )( x )( x + )( x ) (d fktor) Tidk d penjelsn tentng fktor hrus bilngn
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 4 Januari Pekan Ke-4, 2007 Nomor Soal: 31-40
Solusi Pengn Mtemtik Edisi 4 Jnuri Pekn Ke-4, 007 Nomor Sol: -40. Diberikn persmn 8 9 4 8 007 dn b, dengn b. Angk stun dri b dlh. A. B. C. D. 7 E. 9 Persmn 8 9 4 8 8 9 4 8 9 4 8 8 8 9 8 4 8 8 8 0 0 b tu
(, ) 2 ESS C ESS YANG DIBANGKITKAN OLEH FUNGSI TERUKUR DAN TERBATAS ESSENSIAL. Muslim Ansori 1 dan Y.D. Sumanto 2
RUANG BANA ( L ( b L [ ] SEBAGAI RUANG OPERATOR YANG DIBANGKITKAN OLE FUNGSI TERUKUR DAN TERBATAS ENSIAL Muslm Ansor dn YD Sumnto Jurusn Mtemtk FMIPA Unversts Lmpung Jln Soemntr Brodjonegoro No Bndr Lmpung
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
Perancangan Pengendali Knowledge Base MIMO pada Turbin Angin
30 Perncngn Pengendl Knowledge Bse MIMO pd urbn Angn r Nurwt Abstrk -Perncngn pengendl Knowledge Bse MIMO pd tubn ngn bersumbu horsontl yng leksbel terhdp keceptn ngn yng berubhubh dengn memperoleh nl
ANALISIS DAMPAK KENAIKAN MUKA AIR LAUT DI KABUPATEN KUBU RAYA DAN KABUPATEN MEMPAWAH DENGAN METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS
Buletn Ilmh Mth. Stt. dn Terpnny (Bmster) Volume 6, No. 03 (207), hl 67 76. ANALISIS DAMPAK KENAIKAN MUKA AIR LAUT DI KABUPATEN KUBU RAYA DAN KABUPATEN MEMPAWAH DENGAN METODE ANALYTICAL HIERARCHY PROCESS
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Analisis Variansi satu faktor Single Factor Analysis Of Variance (ANOVA)
BAB 1 Alss Vrs stu fktor Sgle Fctor Alss Of Vrce (ANOVA) ANALISIS VARIANSI SATU FAKTOR D MetStt 1 sudh dkel uj hpotess rt-rt du populs A d B g berdstrbus Norml Bgm jk terdpt lebh dr du populs? Alss vrs
PENENTUAN JUMLAH PRODUKSI MENGGUNAKAN MODEL FUZZY MULTI OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING PADA INDUSTRI PANGAN (Studi Kasus Pada Industri Roti PT NIC)
PENENTUAN JUMLAH PRODUKSI MENGGUNAKAN MODEL FUZZY MULTI OBJECTIVE LINEAR PROGRAMMING PADA INDUSTRI PANGAN (Stud Ksus Pd Industr Rot PT NIC) Ivelne Anne Mre 1, Erytno 2, Yndr Arkemn 3, Ddn Umr Dhn 4 1 Pengjr
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Pertemu ke-7 Persm Ler Smult Oktober 0 Metode Iters Guss-Sedel Dr.Eg. Agus S. Mutohr Deprtmet of Cvl Egeerg Metode Guss-Sedel Merupk metode ters. Prosedur umum: - Selesk ser lbr vrbel tdk dkethu msg-msg
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
POKOK BAHASAN: PERMINTAAN, DAN HARGA. Suharyanto
POKOK BAHASAN: PERMINTAAN, PENAWARAN DAN HARGA Suhrynto Tujun Perkulihn ini: Mhsisw dpt mengnlisis kondisi psr berdsrkn konsep dsr permintn, penwrn dn hrg dlm meknisme psr. Bhn bcn: Smuelson, Pul A. &
. = Arah induksi magnet tegak lurus bidang gambar menuju pembaca x = Arah induksi magnet tegak lurus bidang gambar menjauhi pembaca
7.7 MEDAN MAGNET INDUKSI Gejl Kemgnetn : Medn Mgnet dlh rungn yng memberkn gy mgnet kepd bend-bend dn mutn lstrk yng bergerk dsektrny. Adny medn mgnet dnytkn dengn grs-grs gy mgnet ( grs nduks ) Apbl membentuk
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Matriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Komputasi Efisiensi Dan Linearitas Daya Optik Pada Pemisahan Longitudinal Serat Optik Indeks Undak Multiragam Dengan Metode Simpson
Komputs Esens Dn Lnerts Dy Optk Pd Pemshn Longtudnl Sert Optk Indeks Undk Multrgm Dengn Metode Smpson Wrsono Jurusn Penddkn Fsk FMIPA Unversts Neger Yogykrt ABSTRAK Peneltn n bertuun untuk menentukn esens
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
f 1 f 2 f 3 η(t) α(f 2 ) a(f 1 ) 2a(f) Metode Least Square untuk Analisis Harmonik
Meode Les Squre unuk nlss Hrmonk Secr umum meode Les Squre mencr koefsen seuh rumus yng dhrpkn dp mendek suu gel d lpngn semksml mungkn. Dengn demkn meode n sellu erpsngn dengn seuh model persmn yng dusulkn
8 adalah... A. 3 3 (kunci) C. 3 D. 3 E. 6 Pembahasan: Kedua ruas diakarkan: = = 8 = 3 3. adalah Jika 2 dan. , maka nilai. log w.
http://www.syiknybeljr.wordpress.co PEMBAHASAN SOAL SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI (SBMPTN) TAHUN 0. Jik, k nili A. (kunci) B. C. D. E... ( ) ( ) Kedu rus dikrkn: 8 = ( ) = = ( ) ( ) 8 =
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
Kegiatan Belajar 5. Aturan Sinus. Kegiatan 5.1
Pge of 8 Kegitn eljr 5. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr 5, dihrpkn sisw dpt. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn sinus b. Menentukn unsur-unsur segitig dengn turn kosinus. Menghitung
Masalah Transportasi
Mslh Tnspots Rset Opesonl Onggo W onggo@lve.com Ide Ds Sesu nmny, metode n dgunn untu mengoptmln y pengngutn (tnspots) seuh omodts tunggl d eep deh sume menuju eep deh tujun. Tg sums pentng dlm mslh n:
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
Universitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
PRAKTIKUM 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss
Prktkum 8 Peyeles Persm Ler Smult Metode Elms Guss PRAKTIKUM 8 Peyeles Persm Ler Smult Metode Elms Guss Tuju : Mempeljr metode Elms Guss utuk peyeles persm ler smult Dsr Teor : Metode Elms Guss merupk
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan
2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,
2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1
. Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny
BAB 3 LANDASAN TEORI
BAB 3 LANDASAN TEORI 3. Fuel Addtve BAB 3 LANDASAN TEORI Dsn dbhs berbg nforms tentng ddtf ytu defns ddtf, komposs bhn km yng dgunkn, kelebhn dn kekurngn yng dhslkn dn cr penggunn ddtf dlm cmpurn bhn bkr.