Eksistensi Interpolan Deret Ganda Sinusoida

Transkripsi

1 Eksstens Interpoln Deret Gnd Snusod Endng Rusmn ), Hendr Gunwn ), sep Kuswnd Suprtn ), dn Rustm Effend Sregr ) ) Jurusn temtk, Fkults temtk dn Ilmu Pengethun lm, Unpd, ) Kelompk Kehln nlss dn Geometr, Fkults temtk dn Ilmu Pengethun lm, ITB, ) Jurusn Fsk, Fkults temtk dn Ilmu Pengethun lm, Unpd e-ml: rusmn@plscom, hgunwn@mthtbcd Dterm Desember 9, dsetuu untuk dpublkskn Jnur bstrk Dlm mklh n kn dbhs srt cukup bg eksstens nterpoln deret gnd usod, tu fungs berbentuk deret us Fourer gnd ng mellu beberp buh ttk,, c ), dengn < <, dn < < Pembuktn kn dlkukn mellu dekomposs mtrks ng memut du buh vrbel mend perkln dr du buh mtrks ng mg-mg memut stu vrbel, sert menunukkn bhw kedu mtrks tersebut dlh nongulr Kt Kunc: Interpoln, Deret us Fourer gnd, Dekomposs bstrct Ths pper presents suffcent condton for the estence of usodl double seres nterpolnt, tht s the functon of the form double Fourer e seres tht psses some rbtrr ponts,, c), wth < <, dn < < The proof s crred out b decompog the mtr tht contns two vrbles nto the multplcton of two mtrces ech of whch contns one vrble onl, nd showng tht both mtrces re nongulr Kewords: Interpolnt, Double Fourer e seres, Decomposton Pendhulun Dlm mklh n kn dbhs bgmn menmn eksstens sutu fungs nterpoln Dlm mslh stu dmens, msln pd usod berbentuk deret us gnd Gunwn dkk, 7) dn stronn dn lovnovc, 8), untuk mengethu eksstens fungs berbentuk deret us u, ) : mn m n, u ) : = m m m= ng mellu buh ttk,c ) dengn < <, kn dperoleh sebuh sstem persmn lner dengn buh persmn dn buh vrbel, tu: m= m = c, =,,, m Dr seumlh ltertur [lht ntr ln stronn dn lovnovc, 8)], dkethu bhw Dengn demkn sstem persmn lner d ts sellu mempun solus, dn n berrt bhw nterpoln usod d ts dmn ekssten m= n= ng mellu K buh ttk, ), c ), dengn, ) d,),) dn c blngn rel tertentu Untuk memechkn mslh n, penuls kn membgn dlm du thp Pd thp- kn dbhs eksstens fungs berbentuk deret us gnd u,) ng mellu buh ttk homogen,, c ) dengn < < < < dn < < < < Selnutn pd thp- kn dbhs eksstens deret us gnd u,) ng mellu K buh ttk sebrng dt tk-homogen) Pembc dsumskn krb dengn lbr lner elementer dn deret Fourer ht msln Bretscher, 997), Follnd, 99), dn Tolstov, 976) Eksstens Fungs u,) ng ellu Buh Ttk Untuk mengethu eksstens fungs u, ) : m n, mn m= n= ng mellu buh ttk,, c ) d mn < < < < dn < < < <, terlebh dhulu,, c ) tersebut dsubsttuskn pd fungs u,) d ts sehngg dperoleh sstem persmn lner 9

2 Rusmn, dkk, Eksstens Interpoln Deret Gnd Snusod dengn buh persmn dn buh vrbel, tu u, ) = n= m= m= n= mn mn m n = m n = c Dlm bentuk persmn mtrks, sstem d ts dpt dtulskn sebg: K c c = c c c c ng secr sederhn dntkn sebg mn ) = c mn ), dengn mtrks d ts ng berorde ) ), sert mn ) dn c mn ) mtrks berorde ) Untuk menmn eksstens fungs u,) ng mellu ttk-ttk td, persmn lner d ts hrus mempun solus, dn hl n dcp pbl nl determnn dr mtrks tdk sm dengn nol Dengn demkn srt cukup bg eksstens fungs u,) dlh Det Untuk menunukkn hl tersebut, terlebh dhulu mtrks ddekomposs mend: ) ) = ) ) ) ) ) dengn ) ) = dn ) ) =

3 JUR TETIK D SIS, PRI, V 5 R Untuk membuktkn bhw determnn kedu mtrks d ts tdk nol, terlebh dhulu kn dbhs du buh lem berkut em-: Det ) ) = Bukt: Terlht bhw dlh mtrks berorde ) ) ng terdr dr buh mtrks prts ng mg-mg berorde ) dn membentuk mtrks dgonl pd ellu opers brs elementer pd setp kelompok mtrks prts tersebut, pd ters pertm, nl dr kolom- mul brs- B ) smp dengn brs- B ) dbut sm dengn nol Untuk tu dlkukn cr sebg berkut: B = B - B = B - B ; B ; ; B = B - B Selnutn dengn pol ng sm, ters dteruskn smp ters ke--) pd setp kelompok prts Hsln, mtrks kn berubh mend mtrks seg tg ts dengn nl determnn sm dengn perkln unsur-unsur dgonln Kren mtrks prt sm sebnk buh, mk nl determnn tersebut sm dengn perkln dr determnn mtrks prts mg-mg sebnk Jd em- d ts terbukt em-: Det ) ) = Bukt: ngkh pertm, kn dhtung nl dr ellu opers brs elementer, pd ters-: B = B - B = B - B = B - B ; B ; ; B ) Dperoleh bhw nl dr determnn pd ) dlh

4 Rusmn, dkk, Eksstens Interpoln Deret Gnd Snusod 4 ) ) ) ) 4 ) ) ) ) 4 ) ) ) ) ) ) ) ) 4 d mn: = ; ) = ; dst, ) ng secr umum: ) = Selnutn setelh dlkukn ters- dengn ) B = B B ; ) ) B 4 = B 4 4 B ; ; ) ) B B = B ; ) dn ters- dengn ) B 4 = B 4 4 B ; ) ) B 5 = B 5 5 B; ; ) ) B B = B ; ) mk nl determnn pd ) dlh 4 ) ) ) ) 4 ) 4 ) 44 ) 4 ) ) ) 4 ) ) 4) ) ) ) ) ) = dn ) ) ) ) ) = pbl proses ters n dteruskn, mk setelh ters ke--), nl dr determnn pd 4) dlh: = ) ) ) ) ) ) ) = = ) 44 4 ) 4 ) 4 ) 44 ) ) ) ) 4 ) dengn: ) ) =, =, ng secr umum : k ) k) k ) k k ) = k ) k ngkh selnutn dlh membuktkn bhw Det ) ) = ) = ) 5) trks n dlh mtrks berorde ) ) ng terdr dr buh mtrks prts ng mg-mg berukurn Untuk menghtung nl determnnn, dlkukn mellu opers brs elementer, dengn ters- sebg berkut: B + = B + + B ; B + = B + + B ; ; B + = B B, dengn =,,, - k hsln dlh:, dengn

5 JUR TETIK D SIS, PRI, V 5 R Det = ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) dengn: ) = ; ) = ; ng secr umum: ) = Setelh ters- dengn opers: B + = B + ) ) ) + B + ; B + = B + ) ) ) + B + ; ; B + = B + ) ) ) + B untuk =,, 4,, -, dn dteruskn smp ters ke- -), mk dperoleh Det = ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) dengn ) ) ) ) ) ) ) ) ) = Jd nl dr determnn mtrks seg tg ts tersebut dlh: Det = ) ) ) ) ) = = ) ) ) ) Dengn menggunkn 5), mk terbukt bhw

6 Rusmn, dkk, Eksstens Interpoln Deret Gnd Snusod 4 Det = Teorem: Jk mtrks berorde ) ); dengn = mk Det Bukt: Dr ) dperoleh Det = Det Det Kemudn berdsrkn em- dn em- ddpt: Det = Selnutn kren Det dn Det mg-mg bernl tdk nol stronn dn lovnovc, 8), mk nl dr Det ug tdk nol Penutup: Ksus Dt Tk Homogen Sebg penutup mklh, dlm bgn n kn dbhs eksstens fungs u,) ng mellu K buh ttk sembrng,, c ) dengn < <, dn < < untuk =,,, K Pembhsn kn dbg dlm du ksus berbed K Ksus-: pbl dn untuk setp dn, mk dengn menusun ulng dn sedemkn sehngg < < < < K < dn < < < < K <, pndnglh ttk, ) sebnk KK = K buh, sehngg K buh ttk sl td merupkn bgn d dlmn Berdsrkn mslh pd bgn d ts, mk dmn terdpt fungs u,) ng mellu ) = KK) = K buh ttk td, ng berrt ug mellu K buh ttk sln Ksus-: pbl = dn tu s = t untuk sutu,, s, dn t, mk dn ng tdn mg-mg berumlh K buh, dpt dsusun ulng sedemkn sehngg < < < < < dn < < < < < dengn dn mg-mg lebh kecl tu sm dengn K Sebg lustrs, dpt dlht pd Gmbr- dengn K = 8, = 4, 7 = 8, dn = 8 Gmbr-,

7 5 JUR TETIK D SIS, PRI, V 5 R Gmbr- Selnutn pndnglh ttk homogen, ) sebnk buh, dengn buh bss dn buh ordnt, sehngg K buh ttk sl td merupkn bgn d dlmn ht Gmbr- dengn = 7 dn = 6 Dengn demkn berdsrkn mslh pd bgn d ts mk dmn terdpt fungs u,) ng mellu ) buh ttk td, ng berrt ug mellu K buh ttk sln Dengn demkn, nterpoln usod berbentuk deret us gnd ng mellu seumlh ttk sebrng, dmn ekssten Ucpn Term Ksh Penuls mengucpkn term ksh kepd revewer ts srn-srn perbknn H Gunwn berterm ksh kepd ITB ng telh mendn rset n mellu Progrm Rset KK no 5/9 Dftr Pustk Bretscher,, 997, ner lgebr wth pplctons, Prentce-Hll, Englewood Clffs, ew Jerse Follnd, GB, 99, Fourer nlss nd Its pplctons, Wdsworth & Brooks/Cole, Pcfc Grove, Clforn Gunwn, H, F Prnolo nd E Rusmn, n Interpolton ethod Tht nmzes n Energ Integrl of Frctonl rder, n D Kpur Ed), 8, sn Smposum of Computer themtcs 7, Sprnger- Verlg, 5-6 stronn, G nd G V lovnovc, 8, Interpolton Processes: Bsc Theor nd pplctons, Sprnger, Berln Tolstov, G P, 976, Fourer Seres, Dover Publctons, ew York