KAJIAN TENTANG SKEMA BEDA HINGGA KOMPAK ORDE-4

Transkripsi

1 KAJIA TETAG SKEA BEDA HIGGA KOPAK ORDE-4 Eko Prsety Budn Abstrct : Fourth order compct fnte-dfference scheme s bsed on low-storge Runge-Kutt schemes for temporl dscretzton nd fourth order compct fnte-dfference schemes for sptl dscretzton. Fourth order compct schemes ws devsed wth nerly the resoluton qulty of spectrl methods, but retnng the flexblty of fnte-dfference methods Keywords : Fnte dfference, fourth order compct PEDAHULUA Sutu metode numerk orde tngg telh dkembngkn untuk penyelesn persmn ver-stokes lrn tk mmpt -D dn -D. etode n ddsrkn pd skem Runge- Kutt untuk dskrts wktu(temporl dscretzton). dn skem bed-hngg kompk(compct fnte dfference scheme) untuk dskrts rung(sptl dscretzton). etode orde-tngg yng kurt dgunkn untuk mengurng glt dspers dn glt dsps. Lele[] telh mengnls bhw skem kompk memlk resolus yng lebh bk dr skem ekplst yng umum untuk orde keteltn dn stensl komputs yng sm. Dskrts wktu(temporl dscretzton) Dskrts wktu untuk persmn ver-stokes dlh menggunkn skem Runge-Kutt sebg berkut : bth H u x u Re xx u H L Dskrts rung(sptl dscretzton) etode bed-hngg stndr orde-du untuk turunn pertm memlk dsperson error yng besr, sedngkn metod bed-hngg kompk memlk kelebhn ytu kurs tngg, fleksbel dn pengopersnny lebh mudh. Dskrts wktu(temporl dscretzton) Dskrts wktu untuk persmn ver-stokes dlh menggunkn skem Runge-Kutt sebg berkut : bth H u x u Re xx u H L Dskrts rung(sptl dscretzton) Stff Pengr Jurusn Teknk esn Fkults Teknk US Kn Tentng Skem Bed Hngg Kompk Orde-4 Eko Prsety Budn

2 etode bed-hngg stndr orde-du untuk turunn pertm memlk dsperson error yng besr, sedngkn metod bed-hngg kompk memlk kelebhn ytu kurs tngg, fleksbel dn pengopersnny lebh mudh. dmn : x L x / x x = umlh grd pont = turunn pertm dr vrbel terhdp x,,b = koefsen skem kompk Turunn terhdp y dn z dpt dlkukn dengn cr yng sm. Untuk skem ordeempt mk ; / 4, /,dn b=0. Untuk skem orde-enm mk; / 4, 4/ 9, dn b=/9. Perbndngn pendektn skem bed-hngg ekplst dn skem kompk dr turunn pertm dtunukkn dlm tbel. D sn terlht bhw skem kompk memlk stensl yng lebh sedkt, koefsen keslhn pemenggln(truncton error) berkurng mend ¼ untuk orde-empt dn /9 untuk orde-enm dr koefsen bed tengh ekplst untuk orde yng sm. Tbel. Perbndngn umlh stensl skem bed-hngg ekplst dn skem kompk dr turunn pertm. Skem Keslhn Jumlh stensl pemenggln Bed tengh orde-4(skem bed hngg) 4 5 (-4/5!)( x) 5 Bed tengh orde-4(skem kompk) 4 5 (-/5!)( x) Bed tengh orde-6(skem bed hngg) 4 7 (-6/7!)( x) 7 Bed tengh orde-4(skem kompk) 4 7 (-4/7!)( x) 5 enurut Hu dkk[] resolus dr pendektn numerk turunn pertm dpt dnls dengn mentrnsforms persmn konveks -D sebg berkut : c 0 t x x x l Dlm mode Fourer t t e l kx e l l kx (t)e mk : k( xx) Sehngg persmn konveks -D mend : kx c k( xl e le t x l c klx le 0 t x l * ck 0 t x) 0 eknk, Volume omor, e 005

3 Img(k*dx) rel(k*dx) dmn : k * x l l e klx umercl wvenumber k * dlh blngn komplek, sedngkn exct wvenumber k dlh rl. Untuk pendektn numerk terhdp penyelesn eksk mk du konds d bwh n hrus dpenuh, ytu : Rel(k * ) = k Img(k * ) = 0 Devs dr rel(k * ) terhdp k menunukkn glt dspers yng dsebbkn oleh turunn genp dn devs dr mg(k * ) menunukkn glt dsps yng dsebbkn oleh turunn gnl. (),5,5,5 0,5 eksk nd-order centrl 4th-order centrl 4th-order compct 6th-order compct 0-0,5 0,5,5,5,5 kdx (b) 0,5 0,4 0, 0, 0, 0-0, 0 0,5,5,5,5-0, -0, -0,4-0,5 kdx Gmbr. () Glt dspers dn (b) glt dsps untuk pendektn numerk turunn pertm Konds bts dseleskn dengn skem kompk orde-tg dengn persmn sebg berkut : bs bs x dn bs 5/, bs, / bs bs dlh koefsen orde-tg dr skem bts(boundry scheme) pd =. Persmn yng sm ug dgunkn untuk skem bts pd =. Kn Tentng Skem Bed Hngg Kompk Orde-4 Eko Prsety Budn

4 Untuk skem orde-enm, konds bts dseleskn dengn skem ekplst bed-hngg orde-lm untuk ttk = dn =. Persmn konds bts dlh sebg berkut : dmn : x 8 bs bs bs bs bs4 96 /05 45 / 48 5/8 985/ 48 bs5 bs6 bs7 bs8 5 / 79/ 80 5 / 8 45 / 6 Untuk konds bts pd = dn =- ug dgunkn skem ekplst orde-lm sebg berkut : dmn : x 8 nb nb nb nb nb4 /6 /80 09 / 48 5/ 4 nb5 nb6 nb7 nb8 5 /44 / / 40 / 7 Turunn kedu Persmn skem kompk untuk turunn kedu dlh sebg berkut : " " " x 4 x dmn : " = turunn kedu dr vrbel terhdp x,,b = koefsen skem kompk turunn kedu Untuk orde-empt, =/0, 6/ 5, dn b=0 Untuk orde-enm, =/, /, dn b=/ Perbndngn ntr skem bed-hngg ekplst dn skem bed hngg kompk dtunukkn dlm tbel. D sn terlht bhw skem kompk memlk stensl lebh sedkt, koefsen keslhn pemenggln(truncton error) berkurng mend ½ untuk orde-empt dn ¼ untuk orde-enm dr koefsen explct centrl dfference untuk orde yng sm. Tbel. Perbndngn pendektn bed-hngg ekplst dn kompk mplst untuk turunn kedu. Skem Keslhn pemenggln Jumlh Stensl Bed tengh orde-4(skem bed hngg) (-8/6!)(x) 4 (6) 5 Bed tengh orde-4(skem kompk) (-.6/6!)(x) 4 (6) Bed tengh orde-6(skem bed hngg) (-7/8!)(x) 6 (8) 7 Bed tengh orde-4(skem kompk) (-6.7/8!)(x) 6 (8) 5 b 4 eknk, Volume omor, e 005

5 (k*dx)** Anls resolus untuk turunn kedu dr pendektn numerk skem kompk dlkukn dengn cr yng sm dengn nls turunn pertm Eksk "nd-order centrl" "4th-order centrl" "4th-order compct" "6th-order compct" 0 0 0,5,5,5,5 kdx Gmbr. Glt dspers pendektn numerk turunn kedu Glt dspers dr berbg skem bed-hngg tmpk pd gmbr. Dpt dkethu bhw nl numercl wvenumber untuk skem kompk lebh mendekt nl exct wvenumber. Konds bts pd = dn = dseleskn dengn skem kompk orde-tg sebg berkut: " " bs x 4 bs dmn, bs = dn bs =, bs =-7, bs =5 dn bs4 =- dlh koefsen skem kompk orde-tg. Contoh Ksus Persmn konveks D u u c 0 t x x u( x,0) 0.5exp ln ; 0 x 450; x 0.5, t 0.5, c Penyelesn persmn konveks D dlkukn dengn pendektn bed hngg dn pendektn skem kompk orde-4. Untuk pendektn bed hngg dgunkn pendektn bed mu untuk turunn wktu dn pendektn bed tengh untuk turunn rung. Untuk pendektn skem kompk bed hngg dgunkn skem Runge-Kutt orde-4 untuk turunn wktu dn skem kompk orde-4 untuk turunn rung. Hsl penyelesn numerk dbndngkn dengn hsl penyelesn eksk sepert dtunukkn pd Gmbr 4. Gmbr 4. menunukkn grfk penyelesn numerk st t=400 pd x=400. Grfk penyelesn dengn skem kompk orde-4 menempel dengn grfk penyelesn eksk. Grfk penyelesn dengn pendektn bed hngg terdpt osls numerk dn uh lbh rendh dr penyelesn eksk. 6 eknk, Volume omor, e 005

6 ==> u t=400 detk, dx=0.5 dt=0.5 6,00E-0 5,00E-0 4,00E-0 Eksk 4th-order kompk nd-order centrl,00e-0,00e-0,00e-0 0,00E ,00E-0 -,00E-0 -,00E-0 ==> x KESIPULA Gmbr 4. Penyelesn persmn konveks D pd t=400 detk. Skem kompk memlk resolus yng lebh bk dr skem bed hngg bs dengn stensl komputs yng sm.. Untuk penyelesn persmn konveks D skem kompk memlk kurs yng lebh bk dbndngkn pendektn bed hngg. DAFTAR PUSTAKA Hrsch, C. 990, umercl Computton of Internl nd Externl Flows, Vol. I & II, John Wley & Sons, Chchester, Englnd. Hu, F.Q., Hussn,.Y. nd nthey, J., 996, Low-Dsspton nd Dsperson Runge-Kutt Schemes for Computtonl Acoustcs, ICASE Report 94-0, nd Journl of Computtonl Physcs. Vol 4., pp.77-9, 996 Wlson,R.V.,Demuren, A.O. nd Crpenter.,998, Hgher-Order Compct Schemes for umercl smulton of Incompressble Flows, ICASE Report o Kn Tentng Skem Bed Hngg Kompk Orde-4 Eko Prsety Budn 7