FORMULASI DAN ALGORITMA PENYELESAIAN MODEL BATCHING DAN SEQUENCING DENGAN KRITERIA MINIMASI WAKTU TINGGAL AKTUAL TOTAL

Transkripsi

1 FORMULASI DAN ALGORITMA PENYELESAIAN MODEL BATCHING DAN SEQUENCING DENGAN KRITERIA MINIMASI WAKTU TINGGAL AKTUAL TOTAL Zhed ABSTRACT Ths pper exmnes btch schedulng problem tht hve btchng nd sequencng n sngle formulton. The frst step s to develop model for sngle tem sngle resource model dscussed n Hlm et l. (998) hs determned btch szes nd the schedule for the resultng btch szes n two steps, but ths pper determnes btch szes nd ther schedule smultneously. The obectve functon of the models s the sme s Hlm et l. (998),.e. to mnmze the totl ctul flow tmes. The propose lgorthm to the model cn fnd optml soluton effectvely. Keywords: ctul flow tme, btchng, sequencng, sngle formulton, optml soluton. ABSTRAK Tulsn n mengevlus problem pendwln btch d mn penentun ukurn btch dn pendwln btch dbut dlm formuls tunggl. Lngkh pertm dlh mengembngkn model stu tem stu sumber yng dbhs dlm Hlm et l. (998), d sn penentun ukurn btch dn pendwln btch yng dhslkn dlkukn secr terpsh. Dlm tulsn n penentun ukurn btch dn pendwln btch yng dhslkn dlkukn secr smultn.fungs tuun dr tulsn n sm dengn Hlm et l. (998), ytu mnms wktu tnggl ctul. Algortm yng dusulkn untuk model dpt menentukn solus optml secr efektf. Kt kunc: wktu tnggl ctul, btchng, sequencng, formuls tunggl, solus optml Jurusn Jurusn Mtemtk, Fkults Sns dn Teknolog, Unversts Bn Nusntr, Jln. Kebon Jeruk Ry No.7, Kebon Jeruk, Jkrt Brt 0, zhedzhed@bnus.edu 9 Jurnl Mt Stt, Vol. 9 No. Jul 009: 9-99

2 PENDAHULUAN Model pendwln btch (kumpuln prt) telh bnyk dtuls oleh pr penelt, mslny Dobson et l. (987, 989) yng menggunkn krter mnms totl flow tme (wktu tnggl totl) seluruh prt. Dlm model yng dkembngkn, persoln pendwln dpt delskn sebg berkut. Mslkn d seumlh prt, yng seluruhny dtng pd ln produks pd wktu nol (tme zero) dn kn dproses pd sebuh mesn, dengn wktu pemrosesn setp prt pd mesn dkethu. Btch yng seles dproses dsumskn dkrm pd st yng sm dengn wktu seles proses (completon tme). Persoln yng muncul dlh penentun umlh btch, ukurn btch dn urutn pemrosesn dr btch. Pendektn yng dgunkn dlh pendektn mu (forwrd). D smpng Dobson et l. (987, 989), peneltn ln yng mengembngkn penwln btch dlh Hlm et l. (998), yng menmbhkn kendl bhw seluruh prt hrus seles pd st due dte (tdk dznkn d prt yng terlmbt (trdy)). Pengembngn ln yng dlkukn dlh bhw prt yng kn dproses tdk perlu tb d ln produks secr bersmn pd wktu nol, tetp bs tb st dperlukn, sehngg sngt dptf dengn konsep sstem produks Just In Tme (JIT). Dlm pemechn mslh tersebut, Hlm et l. (998) menggunkn krter mnms totl ctul flow tme (wktu tnggl ktul totl) dengn pendektn mundur (bckwrd). Dobson et l. (989b) mengembngkn konsep btchng dn schedulng dlm formuls tunggl, d mn fungs tuun yng dgunkn dlh mnms umlh flow tme seluruh prt yng dhtung dengn cr menumlhkn perkln ntr wktu tnggl btch dengn ukurn btch dn ongkos smpn prt per stun wktu (holdng cost) sebg bobot. Asums dn Btsn Mslh Untuk mencp tuun peneltn, dperlukn beberp sums dn btsn sebg berkut. Wktu setup (perspn) ntr btch sm pd mesn (sumber) yng dgunkn; ukurn btch dsumskn kontnu; sumber yng kn dgunkn sp dgunkn pd wktu nol (tme zero), tdk d keruskn sumber st dgunkn, semu prmeter model sepert wktu setup ntr btch, wktu proses per prt, umlh prt yng kn dproses, wktu tuh tempo penyerhn (common due dte) dsumskn dkethu. Totl Wktu Tnggl Aktul Wktu tnggl ktul dlm peneltn n dkembngkn dr konsep yng dkemukkn Hlm dkk. (998) dlm pembhsn tentng pendwln btch. Dkemukkn dlm pembhsn tersebut bhw mslkn d sutu kumpuln n ob J ( =,,,n) dproses pd sutu mesn dn dserhkn pd due dte (wktu tuh tempo) yng bersmn d. Wktu proses p untuk ob J dkethu, wktu set up s untuk ob J tdk tergntung dr urutn ob dn tdk termsuk dlm wktu proses. Wktu sp-sp r yng menytkn ob J telh tersed untuk dproses dsumskn berhubungn dengn wktu mul pemrosesn B. Jk semu ob hrus dseleskn sebelum tu berteptn dengn due dte dn menngglkn shop secr serentk pd due dte bersm mk wktu tnggl ktul F dr ob J dpt dnytkn sebg berkut. F = d B... () Rumusn () n menytkn bhw wktu tnggl ktul dlh rentng wktu ob J tnggl d shop dr wktu mul pemrosesn smp due dte d. Formuls dn Algortm... (Zhed) 9

3 Jk hl n dktkn dengn pendwln mundur, d mn poss ob dhtung dr poss khr pd skl wktu, mk rumus () dpt dlustrskn dengn gmbr gntt chrt (Gmbr ) dn dpt dtuls kembl dlm bentuk rumusn () berkut. Gmbr Gntt Chrt Pendwln Btch FJ [ ] = p + s) s, = ( =,,,N. () Untuk btch d mn umlh prt dlm btch dnytkn dengn Q [ ], wktu untuk menyeleskn stu prt dnytkn dengn t, dn umlh seluruh btch dlh N, mk wktu tnggl ktul dr btch L [] yng dkerkn pd poss dpt dnytkn sebg. FL[ ] = ( tq[ ] + s) s, = =,,, N.. () Dlm teor yng dkemukkn berktn dengn sequencng N btch dengn wktu setup konstn yng dproses pd stu mesn, dnytkn bhw dengn memnmlkn totl wktu tnggl ktul FL dr btch yng mellu shop, mk pendwln LPT (btch terkecl ddwlkn pd poss terkhr) kn memberkn solus optml sehngg totl wktu tnggl ktul semu btch dpt dtuls sebg: N FL tq = = { ( [ ] + s) s } Q[ ] =... () Pengembngn Model Mslkn sekumpuln prt dr tem seens hrus dproses pd sebuh mesn. Setp prt hny perlu stu opers untuk menyelesknny (sngle stge). Permslhn yng dbhs dlh menentukn ukurn-ukurn btch dn mendwlkn btch tersebut sehngg wktu tnggl ktul (ctul flow tmes) totl untuk dwl yng dhslkn mend mnmum. Prmeter-prmeter yng dkethu dlh wktu proses per prt, wktu setup ntr btch, umlh prt yng kn ddwl, dn wktu penyerhn seluruh prt. Wktu penyerhn n dsumskn dlkukn secr bersmn untuk semu prt tu dkenl ug dengn due dte bersm (common due dte). 9 Jurnl Mt Stt, Vol. 9 No. Jul 009: 9-99

4 Model formuls pendwln stu-tem-stu-sumber (Formuls SISS) dengn btchng dn sequencng dlm stu formuls n, dkembngkn dr tulsn Hlm dkk (998). Dlm Hlm dkk (998), btchng dn sequencng dlkukn secr terpsh. Penmbhn koefsen bner Y dn X kn menytkn bhw formuls SISS berkut menggbungkn thp btchng dn sequencng dlm stu formuls (untuk pendektn forwrd, lht Dobson dkk (989)). Formuls SISS Mnms F= N =[ ={ sx + tq [] } - s ] Q [].. () Dengn syrt: N = Q [] = n.. (6) B [] + t Q [] = d (7) (N mks -)s + t N = Q [] d... (8) B [] + t Q [] B [] + M (Y ),,. (9) Y + Y =,,.. (0) Q [] X n.. () Y = 0,,, () X = 0,.. () B [N] 0. () Q [] 0.. () N dn nteger. (6) Fungs () menytkn tuun model, ytu mnms wktu tnggl ktul totl semu prt yng kn dproses. Syrt (6) menytkn umlh prt untuk seluruh btch hrus sm dengn umlh prt totl yng hrus dproses. Syrt (7) menytkn btch terkhr yng dproses hrus seles tept pd due dte d. Syrt (8) menytkn wktu seles seluruh btch terdwl hrus pd ntervl ntr ttk nol (tme zero) dn due dte. Pd syrt (9), nl M dlh blngn postf yng cukup besr. Dlm prktekny, nl M dpt dmbl dengn rumusn M = n (s + t ). Untuk nl Y =, syrt (9) n tdk mengkt (unbndng), tetp k Y = 0 syrt (9) menytkn wktu seles dr btch- hrus lebh kecl dr wktu mul btch- k btch- mendhulu btch- (secr bckwrd). Syrt (0) dn () menytkn tdk d du btch yng dkerkn pd mesn pd st yng sm. Syrt () dn () menytkn bhw btch- tk kosong kn memlk nl X =. Jk X = 0, mk btch- kosong. Kendl () menytkn wktu mul btch pertm yng dproses hrus pd wktu nol tu setelh wktu nol. Syrt () menytkn syrt kenonnegtfn vrbel keputusn, dn syrt (6) menytkn syrt bult (nteger) dr umlh btch. Berkut n kn dsederhnkn formuls SISS d ts gr lebh mudh doperskn, dengn mensubsttuskn n sebg umlh prt dr seluruh btch dn menghlngkn syrt bner tnp mengubh persoln sert sempurnkn syrt (7) untuk semu btch terdwl gr rpt ke due dte. Hslny dlh sebg berkut. Formuls SISS* Mnms F = N =[ ={sx + t Q [] } - s ] Q []... (7) Formuls dn Algortm... (Zhed) 9

5 Dengn syrt N Q [] = n.. (8) B [] + ={sx + t Q [] } - s = d =,,...,N.. (9) (N mks -)s + t n d. (0) B [] + t Q [] B [] + n(s+t)(y ),, () Y + Y =,,.. () Q [] X n.. () B [N] 0 () Y 0,, () Y,,.. (6) Q [] 0.. (7) X 0 (8) X... (9) N, Y, X 0 dn nteger,, (0) Formuls SISS n termsuk problem pemrogrmn kudrtk bult (Integer Qudrtc Progrmmng (IQP)). Untuk menyeleskn problem SISS n, lngkh pertm yng hrus dlkukn dlh menunukkn kelykn problem terhdp due dte, kemudn tentukn N sebg umlh btch nteger mksml yng dhtung dr kendl (0), dn dperoleh: N = N mks, dengn N mks = (d-tn)/s +.. () ytu blngn bult terbesr yng lebh kecl tu sm dengn nl N mks. Selnutny substtuskn semu prmeter yng dukethu ke dlm formuls SISS* dn lkukn btchng, dengn menkkn umlh btch smp tercp wktu tnggl ktul totl mnml. Heurstk yng lengkp dr penyelesn problem SISS dlh sebg berkut. Algortm Sss Step-. Htung T mn = n.t Step-. Problem SISS lyk k dn hny k T mn d. Lnutkn Step-. Jk T mn > d, mk problem SISS tdk lyk, stop. Step-. Htung N dengn persmn (). Step-.Substtuskn nl-nl dr N dengn N = N mks, n, t, s dn d ke dlm formuls SISS* tnp syrt nteger sehngg dperoleh urn formuls SISS* untuk problem. Step-. Set Y =, k <,,,, dn Y = 0 untuk yng lnny. Step-6. Set F 0 = n.t + Step-7. Untuk =, set X =, untuk =,...,, dn X = 0, untuk yng ln. Step-8. Seleskn problem pd step-7. Step-9. Apkh B [] 0, - Jk y, tuls F, - Apkh F < F -, - Jk y, set = +, lnutkn ke step Jurnl Mt Stt, Vol. 9 No. Jul 009: 9-99

6 - Jk tdk, set - = N (opt), lnutkn ke step-0. -Jk tdk, set - = N (opt), Solus optml tercp, lnutkn step-0. Step-0. Tuls nl fungs tuun dn semu nl vrbel keputusn. Untuk memudhkn pemhmn tentng model SISS dn lgortmny, berkut n dkemukkn sebuh contoh. Contoh SISS Mslkn sutu problem SISS dengn n =, t = 0.6, s =. sert d =. Step- dn kn memberkn T mn = < d= sehngg problem SISS n dlh lyk. Step-, dengn persmn () kn dperoleh N mks =.8 sehngg umlh btch mksmum nteger N =. Step-, dengn melkukn substtus nl-nl yng dkethu ke dlm formuls terkhr (SISS*), mk kn dperoleh urn formuls SISS*. Lnutkn step-. Selnutny, dengn step-, 6, dn 7 kn memberkn nl F = Dengn menyeleskn seluruh ters pd step-8, 9, dn 0 kn memberkn solus optml sebg berkut. Tbel Solus Optml Contoh SISS N opt Urutn Ukurn btch Q [] Wktu mul B [] Wktu Tnggl Aktul Totl F Anlss Model Pengelompokn hsl pengun terhdp lgortm model yng dkembngkn dlkukn berdsrkn kenkn slh stu tu du prmeter model. Tbel kelompok I dengn nomor,, berrt terdpt kenkn wktu setup (s). Tbel kelompok II dengn nomor,, berrt terdpt penurunn due dte (d) pd model, dn seterusny. Terlht dr Tbel d bwh bhw penmbhn wktu setup dn wktu proses kn memperbesr wktu tnggl ktul totl (lht contoh-contoh pd kelompok I, III, VI, XII). Pengurngn due dte pd ksus due dte longgr tdk mengurng wktu tnggl ktul totl (lht psngn contoh-contoh (8, 6, 8), (9, 7, 9), (0, 0)). D mn totl wktu tnggl ktul optmlny sm. Hl n berrt bhw perbedn pd dwl hny terd pd wktu mul pemrosesn btch pertm. Pd kelompok-kelompok contoh dengn perubhn pd du prmeter dpt dktkn bhw dengn semkn keclny perbndngn t terhdp s, mk umlh btch optml cenderung mengecl (lht kelompok contoh IV, V, VI, VII). Pd kelompok-kelompok contoh d mn terd perubhn pd tg prmeter, mk hl yng dpt dktkn bhw pd ksus due dte longgr mk wktu tnggl ktul totlsm (lht kelompok contoh VIII smp XV). Formuls dn Algortm... (Zhed) 97

7 Jurnl Mt Stt, Vol. 9 No. Jul 009: Tbel Solus Optml Contoh-Contoh Problem SISS Kel. No Dt Problem F opt N Nopt B n t s d I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV , 0,9 0, 0,,0,0 0, 0, 0, 0, 0, 0,,0,0,0,0 0, 0, 0, 0,,,0,0,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,00 789, 76, 8,7 6,,80 86,0 9,80 098,00 9,80 8,00,80 7,0,80 86,0,80 86,0 9,80 098,00 96,90 Tk lyk 9,80 8,00 9,90 Tk lyk,80 7,0,80 7, ,80 8,00 6,00 8,80 8,80,0 9,0 8,80,60 8,80 8,80 9,0 8,80 9,9 0,00 8,80 7,60,60 8,80 7, 8,00 8,80 8,80 9,0 8,80 8,80 9,0 8,80 9,0 0,00 8,80,9 8,80 7,60 0 8,80 0,0 8,80 7, 8,00 8,80 7, 8,00

8 PENUTUP Terlht dr contoh-contoh problem yng dberkn pd Tbel, bhw penmbhn wktu setup dn wktu proses cenderung memperbesr wktu tnggl ktul totl. Pengurngn due dte pd ksus due dte longgr tdk mengurng wktu tnggl ktul totl. DAFTAR PUSTAKA Dobson G., Krmrkr U.S., nd Rummel J.L. (987). Btchng to mnmze flow tmes on one mchne, Mngement Scence,, Dobson G., Krmrkr U.S., nd Rummel J.L. (989). Btchng to mnmze flow tmes on heterogeneous mchnes, Mngement Scence,, Dobson G., nd Krmrkr U.S. Smultneous resource schedulng to mnmze weghted flow tmes, Opertons Reserch, 7(), July-August 989. Hlm, A.H., Toh, I.S., nd Zhed. (998). Smultneous resource schedulng to mnmze totl ctul flow tmes. Congress of Mnufcturng nd Mngement, Vctor, Austrl. Zhed. (008). Relkss nteger untuk problem bnry qudrtc progrmmng untuk ksus penyelesn schedulng dn sequencng bnyk sumber, Jurnl MtStt Unversts Bn Nusntr, (), September 007, Akredts Dkt No /DIKTI/Kep/00. Zhed. (008). Model optms ukurn blok optml dengn krter mnms totl wktu tnggl ktul, Jurnl MtStt Unversts Bn Nusntr, 6(), Jnur 008, Akredts Dkt No /DIKTI/Kep/00. Formuls dn Algortm... (Zhed) 99