MA3231 Analisis Real

Transkripsi

1 MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* * Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

2 BAB 14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN Sift-sift Dsr Integrl Riemnn HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

3 BAB 14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Teorem Dsr Klkulus untuk Integrl Riemnn HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

4 BAB 14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Teorem Dsr Klkulus untuk Integrl Riemnn Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor untuk Integrl HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

5 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi 1. Sepnjng bb ini, I menytkn intervl [, b], keculi bil kit nytkn lin. Proposisi 1. Mislkn f, g : I R terintegrlkn pd I, dn λ R sutu konstnt. Mk λf dn f + g terintegrlkn pd I dn λf(x) dx = λ (f + g)(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, (1) g(x) dx. (2) HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

6 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Bukti. (1) Jik λ = 0, mk pernytn tentng λf jels benr. Sekrng tinju ksus λ > 0. (Ksus λ < 0 serup dn diserhkn sebgi ltihn). Mislkn P := {x 0, x 1,..., x n } prtisi sembrng dri I. Kren λ > 0, kit mempunyi inf{λf(x) : x [x k 1, x k ]} = λ inf{f(x) : x [x k 1, x k ]} untuk k = 1, 2,..., n. Klikn tip suku ini dengn x k x k 1 dn jumlhkn, kit dptkn L(P, λf) = λl(p, f). Jdi, kren λ > 0, kit peroleh L(λf) = sup{λl(p, f) : P prtisi dri I} = λ sup{l(p, f) : P prtisi dri I} = λl(f). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

7 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Dengn cr yng serup kit peroleh pul U(P, λf) = λu(p, f) dn U(λf) = inf{λu(p, f) : P prtisi dri I} = λ inf{u(p, f) : P prtisi dri I} = λu(f). Kren f terintegrlkn, U(f) = L(f) dn kibtny L(λf) = λl(f) = λu(f) = U(λf). Jdi λf terintegrlkn dn λf(x) dx = λ f(x) dx. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

8 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn (2) Untuk sembrng intervl I k := [x k 1, x k ], kit mempunyi inf{f(x) : x I k }+inf{g(x) : x I k } inf{(f +g)(x) : x I k }, sup{(f+g)(x) : x I k } sup{f(x) : x I k }+sup{g(x) : x I k }. Dri sini kit peroleh L(P, f) + L(P, g) L(P, f + g) U(P, f + g) U(P, f) + U(P, g) untuk sembrng prtisi P dri I. Sekrng, jik ɛ > 0 diberikn, mk terdpt prtisi P f,ɛ dn P g,ɛ sedemikin sehingg U(P f,ɛ, f) L(P f,ɛ, f) + (ɛ/2) U(P g,ɛ, g) L(P g,ɛ, g) + (ɛ/2). Akibtny, untuk P ɛ := P f,ɛ P g,ɛ, kit peroleh U(P ɛ, f+g) U(P ɛ, f)+u(p ɛ, g) L(P ɛ, f)+l(p ɛ, g)+ɛ L(P ɛ, f+g)+ɛ. Menurut Kriteri Keterintegrln Riemnn, f + g terintegrlkn. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

9 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Selnjutny perhtikn bhw dri ketksmn di ts, kit peroleh Sementr itu, (f + g)(x) dx U(P ɛ, f + g) L(P ɛ, f) + L(P ɛ, g) + ɛ f(x) dx + f(x) dx + g(x) dx + ɛ. g(x) dx U(P ɛ, f) + U(P ɛ, g) L(P ɛ, f + g) + ɛ (f + g)(x) dx + ɛ. Dri kedu ketksmn ini, kit peroleh ( (f + g)(x) dx f(x) dx + g(x) dx) < ɛ. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

10 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Kren ini berlku untuk ɛ > 0 sembrng, kit simpulkn bhw dn bukti pun selesi. (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx, HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

11 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Proposisi berikut dikenl sebgi sift kepositifn integrl Riemnn. (Buktiny diserhkn sebgi ltihn.) Proposisi 2. Mislkn f : I R terintegrlkn pd I. Jik f(x) 0 untuk tip x I, mk f(x) dx 0. Akibt 3. Mislkn f, g : I R terintegrlkn pd I. Jik f(x) g(x) untuk tip x I, mk f(x) dx g(x) dx. Akibt 4. Mislkn f : I R terintegrlkn pd I. Jik m f(x) M untuk tip x [, b], mk m(b ) f(x) dx M(b ). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

12 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Proposisi 5. Mislkn f : [, b] R terbts dn < c < b. Mk, f terintegrlkn pd [, b] jik dn hny jik f terintegrlkn pd [, c] dn pd [c, b]. Dlm hl ini, f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Cttn. Bukti Proposisi 4 tidk dibhs di sini; liht [1] bil ingin mempeljriny. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

13 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn SOAL 1 Buktikn Proposisi 1 bgin (1) untuk ksus λ < 0. 2 Buktikn Proposisi 2. 3 Buktikn Akibt 3 dn Akibt 4. 4 Buktikn jik f terintegrlkn pd I dn f(x) K untuk tip x I, mk f(x) dx K b. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

14 14.2 Teorem Dsr Klkulus untuk Integrl Riemnn Anlog dengn Teorem Dsr Klkulus I (Teorem 5 pd Sub-bb 12.3) untuk integrl dri fungsi kontinu, kit mempunyi hsil berikut untuk integrl Riemnn dri fungsi terbts. (Buktiny serup dengn bukti Teorem 5 pd Sub-bb 12.3.) Teorem 6 (Teorem Dsr Klkulus I). Mislkn f terbts pd I = [, b] dn F didefinisikn pd I sebgi F (x) := x f(t) dt, x I. Mk, F kontinu pd I. Selnjutny, jik f kontinu di c (, b), mk F mempunyi turunn di c dn F (c) = f(c). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

15 14.2 Teorem Dsr Klkulus untuk Integrl Riemnn Demikin pul kit mempunyi Teorem Dsr Klkulus II untuk integrl Riemnn, yng dpt dibuktikn tnp menggunkn Teorem Dsr Klkulus I melinkn dengn menggunkn Kriteri Keterintegrln Riemnn. Teorem 7 (Teorem Dsr Klkulus II). Mislkn f terintegrlkn pd I = [, b]. Jik F : I R dlh nti-turunn dri f pd I, mk f(t) dt = F (b) F (). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

16 14.2 Teorem Dsr Klkulus untuk Integrl Riemnn Bukti. Diberikn ɛ > 0 sembrng, pilih prtisi P := {x 0, x 1,..., x n } dri I sedemikin sehingg U(P, f) L(P, f) < ɛ. Menurut Teorem Nili Rt-rt (yng kit terpkn pd F ), pd tip intervl [x k 1, x k ] terdpt titik t k (x k 1, x k ) sedemikin sehingg F (x k ) F (x k 1 ) = (x k x k 1 )f(t k ). Mislkn m k dn M k dlh infimum dn supremum dri f pd [x k 1, x k ]. Mk m k (x k x k 1 ) F (x k ) F (x k 1 ) M k (x k x k 1 ) untuk tip k = 1, 2,..., n. Perhtikn bhw bil kit jumlhkn suku-suku di tengh, mk kit peroleh sutu deret teleskopis yng jumlhny sm dengn F (b) F (). Kren itu, kit peroleh L(P, f) F (b) F () U(P, f). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

17 14.2 Teorem Dsr Klkulus untuk Integrl Riemnn Nmun, kit jug mempunyi L(P, f) Akibtny, kit peroleh f(t) dt U(P, f). f(t) dt [F (b) F ()] < ɛ. Kren ini berlku untuk ɛ > 0 sembrng, kit simpulkn bhw sebgimn yng kit kehendki. f(t) dt = F (b) F (), HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

18 14.2 Teorem Dsr Klkulus untuk Integrl Riemnn SOAL 1 Mislkn f(x) = x, x [ 1, 1]. Terkit dengn f, definisikn F (x) := x 1 f(t) dt, x [ 1, 1]. 1 Peroleh rumus untuk F (x), x [ 1, 1]. 2 Periks bhw F (x) = f(x) untuk x [ 1, 1]. 3 Periks bhw 1 1 f(t) dt = F (1) F ( 1). 2 Mislkn f : [ 1, 1] R didefinisikn sebgi 1, 1 x < 0; f(x) = 0, x = 0; 1, 0 < x 1, HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

19 14.2 Teorem Dsr Klkulus untuk Integrl Riemnn 1 Terkit dengn f, definisikn F (x) := x 1 f(t) dt, x [ 1, 1]. 1 Peroleh rumus untuk F (x). Apkh F kontinu pd [ 1, 1]? 2 Tunjukkn bhw F (x) = f(x) untuk x [ 1, 1], x 0. 3 Periks pkh 1 1 f(t) dt = F (1) F ( 1). Berikn rgumen yng mendukung fkt tersebut. 2 Mislkn f dn g terintegrlkn dn mempunyi nti-turunn F dn G pd I = [, b]. Buktikn bhw F (x)g(x) dx = [F (b)g(b) F ()G()] f(x)g(x) dx. (Cttn. Hsil ini dikenl sebgi teknik pengintegrln prsil.) HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

20 14.3 Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor untuk Integrl Jik f kontinu pd I = [, b], mk (menurut Teorem 12 pd Bb 8) f kn mencpi nili mksimum M dn minimum m pd [, b]. Menurut Proposisi 4, kit mempunyi m(b ) f(x) dx M(b ) tu m 1 b f(x) dx M. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

21 14.3 Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor untuk Integrl 1 Nili b intervl I. f(x) dx disebut sebgi nili rt-rt integrl f pd (Dlm versi diskrit, nili rt-rt ritmetik dri sejumlh bilngn dlh jumlh dri bilngn-bilngn tersebut dibgi dengn bnykny bilngn itu. Dlm versi kontinum, integrl menggntikn jumlh dn pnjng intervl menggntikn bnykny bilngn. Secr fisis, bil f menytkn keceptn dri sutu prtikel yng bergerk pd intervl wktu I = [, b], mk nili rt-rt integrl menytkn keceptn rt-rt prtikel tersebut pd I.) Mengingt m dn M d di derh nili f dn 1 f(x) dx d di b ntr kedu nili tersebut, mk menurut Teorem Nili Antr mestilh terdpt sutu titik c I sedemikin sehingg f(c) = 1 b f(x) dx. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

22 14.3 Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor untuk Integrl Fkt ini dikenl sebgi Teorem Nili Rt-rt untuk integrl, yng dinytkn di bwh ini. (Ingt bhw sebelumny kit jug mempunyi Teorem Nili Rt-rt untuk turunn. Dlm konteks turunn, f menytkn posisi prtikel yng bergerk pd intervl wktu I = [, b] sehingg nili rt-rt turunn sm dengn keceptn rt-rt prtikel tersebut pd I.) Teorem 8 (Teorem Nili Rt-rt untuk Integrl). Jik f kontinu pd I = [, b], mk terdpt c I sedemikin sehingg f(c) = 1 b f(x) dx. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

23 14.3 Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor untuk Integrl Pd Bb 10, kit telh membhs Teorem Tylor untuk turunn. Sekrng kit kn membhs teorem yng serup untuk integrl. Teorem 9 (Teorem Tylor untuk Integrl). Mislkn f, f,..., f (n) kontinu pd I = [, b]. Mk f(b) = f() + (b )f () + + dengn E n := 1 b (b (n 1)! t)n 1 f (n) (t) dt. (b )n 1 f (n 1) () + E n (n 1)! HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

24 14.3 Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor untuk Integrl Bukti. Untuk n = 1, berdsrkn Teorem Dsr Klkulus I, kit mempunyi f(b) = f() + E 1, dengn E 1 := f (t) dt. Selnjutny, untuk n 2, teknik pengintegrln prsil kn memberikn 1 [ E n = (b t) n 1 f (n 1) (t) b (n 1)! ] + (n 1) (b t) n 2 f (n 1) (t) dt = (b )n 1 f (n 1) 1 () + (n 1)! (n 2)! (b t) n 2 f (n 1) (t) dt. Ulngi teknik pengintegrln prsil hingg n kli, dn kit pun kn smpi pd hsil yng diinginkn. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

25 14.3 Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor untuk Integrl SOAL 1 Buktikn jik f kontinu pd I = [, b] dn f(x) 0 untuk tip x I, mk terdpt c I sedemikin sehingg f(c) = [ 1 b f 2 (x) dx] 1/2. 2 Buktikn jik f kontinu pd I = [, b] dn f(x) 0 untuk tip x I, mk untuk sembrng k N terdpt c = c k I sedemikin sehingg f(c) = [ 1 b f k (x) dx] 1/k. HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24

26 14.3 Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor untuk Integrl 1 Mislkn f dn g dlh fungsi yng kontinu pd I = [, b] sedemikin sehingg f(x) dx = g(x) dx. Buktikn bhw terdpt c I sedemikin sehingg f(c) = g(c). HG* (*ITB Bndung) MA3231 Anlisis Rel 29 Mrch / 24