BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB LANDASAN TEORI. Persmn Smultn Persmn smultn tmbul hmpr dsetp cbng mtemtk, dlm beberp hl, persmn n tmbul lngsung dr perumusn mul dr persolnny, ddlm hl ln penyelesn dr persmn merupkn bgn dr pengerjn beberp mcm sol ln. Orng serngkl menghdp mslh yng melbtkn penyelesn sutu hmpunn dr persmn smultn dn yng plng serng dlh persmn lner. Mslh yng melbtkn persmn lner smultn tmbul dberbg bdng elststs, nlss srkut elektronk, penghntr pns, getrn, dn ln-ln. Dlm ljbr dkenl du metode dlm menyeleskn persmn smultn, ytu: elmns dn determnn. Dlm menyeleskn persmn smultn dengn tg vrbel, metode determnn lebh mempuny keuntungn drpd metode elmns. Tetp dlm menyeleskn persmn smultn dengn vrbel yng lebh bnyk, metode tersebut menjd sngt tdk prkts. Hl n dkrenkn dlm menyeleskn persmn smultn dengn n vrbel dperlukn (n - )(n + )! perkln. Jd jk hendk menyeleskn sutu persmn smultn dengn sepuluh vrbel dengn metode determnn, mk dperlukn 359,5,00 perkln. 6

2 Kurv merupkn pendektn terbk dr sutu hmpunn dt percobn yng berktn dengn penyelesn sutu sstem persmn smultn. Penyelesn stu set n persmn dengn n vrbel. Setp suku dr setp persmn mengndung hny stu vrble, dn setp vrbel berpngkt stu. Persmn demkn dsebut lner. Dlm hl du vrbel, grfk dr persmn n dlh grs lurus, untuk tg vrbel, grfkny dlh sutu bdng, sedngkn lebh dr tg vrbel dsebut hyperpln. Jwb yng dcr dlh stu hmpunn hrg dr n vrbel yng bl dsubttuskn ke-n persmn memenuh semuny secr smultn. Bl dkethu stu hmpunn persmn sembrng, mk tdk dpt dktkn tnp menyeldk bhw persmn tersebut d jwbny tu tdk. Terdpt tg kemungknn jwbn dr persmn lner smultn sembrng, ytu :. Sstem mempuny jwbn unk. Sebg contoh : 3 + y = 6 (.) + y = 4 Jwbny dlh = dn y =.5, tdk d psngn ln dr hrg dn y yng memenuh kedu persmn. Sstem semcm n yng menjd tujun utm dr pencrn jwbn. Dtunjukn secr geometrk dlm du dmens pd Gmbr., dpt dlht bhw kedu grs berpotongn hny pd stu ttk. Koordnt ttk n dlh jwb yng dcr. 7

3 Gmbr. Du persmn smultn yng mempuny jwb unk b. Sstem tdk mempuny jwb. Sebg contoh : y = 0 (.) y = Persmn sepert n tdk kn memlk jwb. Gmbr. memperlhtkn grfk dr du grs n. Kedu grs sejjr; tdk kn bertemu, sehngg tdk d jwb Gmbr. Du persmn smultn yng tdk mempuny jwb 8

4 c. Sstem mempuny jumlh jwb tk berhngg. Sebg contoh : 3 + y = 6 (.3) y = Persmn sepert n mempuny bnyk jwb yng memenuh persmn, sepert =, y = 0; = 0, y = 3; =, y =.5, dn seterusny. Gmbr.3 Du persmn smultn mempuny jumlh jwb tk berhngg Sstem persmn grs sejjr dn sstem persmn grs yng bersnggungn dktkn sngulr. Kdng-kdng dkethu dr perumusn sutu persoln bhw sstem tdk dpt sngulr. Bl nforms n tdk d, mk hrus menggntungkn pd metod penyelesn untuk mengethu sngulrny tu membut pengujn eksplst untuk kemungknnny. Sutu pengujn lngsung dpt dlkukn dengn menghtung determnn dr koefsen sstem, bl nol berrt sngulr. Keburuknny, penghtungn determnn hmpr sm ushny dengn penyelesn persmnny. 9

5 Dr sudut pndng mtemtk press tk berhngg dr sutu sstem memlk du kemungknn, ytu: sngulr tu tdk. Dr sudut pndng perhtungn prkts sutu sstem hmpr semuny sngulr, yng memberkn jwb yng mempuny kendln yng kecl. Pd umumny terdpt du mcm teknk numerk untuk menyeleskn persmn smultn, ytu: metode lngsung yng berhngg dn metode tk lngsung yng tk berhngg. Metode lngsung pd prnspny (dengn mengbkn glt pembultn) kn memberkn jwb eksk, bl opers mtemtk berhngg jumlhny. Sedngkn metode tk lngsung, pd prnspny membutuhkn sutu opers mtemtk yng tk berhngg bnykny untuk memberkn jwb eksk. Dengn kt ln metode tk lngsung mempuny glt pemotongn, sedngkn metode lngsung tdk mempunyny. Dlm sstem dengn konds buruk, glt pembultn dlm metode lngsung kn menghslkn jwb yng tdk berrt. Sedngkn metode tk lngsung wlupun secr teortk d glt pemotongnnny, metode n mungkn lebh bk kren metode n glt pembultnny tdk mengumpul.. Metode Numerk Metode numerk dlh slh stu lterntf pencrn jwbn dlm permslhn mtemtk yng tdk dpt dseleskn secr nlss. Tujun dr metode n dlh mencr metode yng terbk untuk memperoleh jwbn yng bergun dr persoln mtemtk dn untuk menrk nforms yng bergun dr berbg jwbn yng dpt dperoleh. 0

6 Menurut Djojodhrdjo (000, p) dlm mengerjkn metode numerk terdpt beberp cr pendektn, ytu:. Pendektn tu penyederhnn perumusn persoln sehngg dpt dpechkn secr eksk. b. Mengushkn dperolehny jwb pendektn dr persoln yng perumusnny eksk. c. Gbungn dr kedu cr pemechn dts. Pd umumny metod numerk tdk mengutmkn dperolehny jwbn yng eksk (tept), tetp mengushkn perumusn metod yng menghslkn jwb pendektn yng memlk selsh sebesr sutu nl yng dtentukn berdsrkn kesepktn dr jwb eksk. Menurut Djojodhrdjo (000, p) proses pemechn persoln, pd umumny berlngsung dlm tg thp, ytu:. Perumusn secr tept dr model mtemtk dn model numerk yng berktn b. Penyusunn metode untuk memechkn persoln numerk c. Penerpn metode untuk menghtung jwbn yn dcr

7 Gmbr.4 Proses pemechn persoln dlm metode numerk.3 Glt Wlupun orng sellu berush untuk memperoleh jwbn yng eksk, nmum pd kenytnny jwbn tersebut mungkn tdk d, mk dr tu dbutuhknlh sutu pendektn numerk untuk mencr jwbn tersebut. Pd tp lngkh penyelesn persoln, dr formuls hngg komputs numerkny, glt (keslhn) dn ketdkpstn dpt terjd. Terdpt beberp mcm glt, ytu :. Glt Absolut dlh selsh ntr nl sebenrny dengn sutu pendektn pd nl sebenrny. e = (.4)

8 dmn dlh nl sebenrny dlh pendektn pd nl sebenrny e dlh glt bsolut b. Glt Reltf dlh glt bsolut dbg dengn nl sebenrny, tetp kren nl sebenrny tdk dkethu dn yng dkethu hny nl pendektn mk glt reltf ddefnskn sebg : e e = (.5) r dmn e dlh glt bsolut dlh pendektn pd nl sebenrny e r dlh glt reltf c. Glt Inheren dlh glt dlm nl dt, dsebbkn oleh ketdkpstn dlm pengukurn, kekelrun tu oleh perluny pendektn untuk menytkn sutu blngn yng ngkny tdk secr tept dpt dnytkn dengn bnykny ngk yng tersed. Glt nheren berhubungn dengn glt pd dt yng doperskn oleh sutu komputer dengn beberp prosedur numerk. contoh : jk seseorng mengukur sutu selng wktu dn mendpt ngk pd lt ukurny dlh.4 detk, dpt dpstkn bhw terdpt beberp glt nheren kren hny dengn sutu kebetuln selng wktu kn d ukur tept.4 detk. Dlm beberp hl boleh jd beberp bts yng mungkn 3

9 pd glt nheren dkethu, sepert bl selng wktu dnytkn sebg.4 dengn ± 0. detk. d. Glt Pemotongn dlh glt yng terjd kbt pemotongn tu pemenggln nl yng jumlhny tdk terhngg. Glt pemotongn berhubungn dengn glt yng dsebbkn oleh cr pelksnn prosedur numerk. Glt pemotongn merupkn glt yng terpentng kren kebnykn prosedur yng dpk dlm perhtungn numerk dlh tk berhngg. contoh : Deret Tylor tk berhngg sn = (.6) 3! 5! 7! e. Glt Pembultn dlh glt yng terjd kren user membts jumlh blngn, sehng terjd pembultn terhdp blngn tersebut. contoh : komputer yng tp blngnny hny dnytkn smp 4 ngk dn ngn menjumlhkn blngn 9.0 dn.55, keduny dnggp eksk. Jumlhny dlh 03.75, ytu terdr dr 5 ngk sehngg tdk dpt dsmpn dlm memor komputer, hl n menyebbkn komputer membultkn blngn tersebut menjd 03.8 gr dpt dsmpn dlm memorny..4 Elmns Guss Teknk yng plng bnyk dgunkn untuk penyelesn persmn lner smultn dlh Elmns Guss. 4

10 Secr umum dpt drumuskn prosedur untuk n persmn lner smultn dengn n vrble. Mslkn n vrble dlh,,, n dn mslkn sstem persmn berbentuk : j j n n = b j j n n = b j j n n =. b n + n nj j nn n = b n (.7) Susun persmn sehngg 0. Defnskn fktor pengl n - buh, ytu : m =, =, 3,, n (.8) dn kurngkn m kl persmn pertm dr persmn ke-. Bl ddefnskn : ' j b ' = j m j, =, 3,, n (.9) = b m b, =,,, n (.0) mk dpt dlht bhw : ' = 0, =, 3,, n (.) 5

11 Persmn yng telh dtrnsformskn dlh : j j n n = b 0 + '... '... ' ' + + j j + + n n = b. 0 + '... '... ' ' + + j j + + n n = b. 0 + '... '... ' ' n + + nj j + + nn n = bn (.) Pd tngkt ke-k mk dhlngkn k dengn mendefnskn fktor pengl : m = k (.3) kk d mn : 0, (.4) kk sehngg : ( k) = m (.5) j j kj ( k) b = b m b (.6) Untuk = k +,, n dn untuk j = k,, n. Indeks k dlh hrg blngn bult berturut-turut dr smp dengn n-. Dttk d mn k = n- delmnskn n- dr persmn terkhr. 6

12 Set persmn segtg terkhr dlh : = b j j n n = b j j n n ( j ) ( j ) ( j ) = b jj j jn n j.. ( n ) ( n ) = b (.7) nn n n Proses elmns tdk mengubh hrg determnn wlupun setp penukrn brs mengubh tnd. Setelh proses elmns seles, hrg determnn dlh hsl kl elemen dgonl utm, dengn tnd berlwnn bl terjd jumlh penukrn brs yng gnjl. Substtus kembl dpt dlkukn sebg berkut : n = ( n ) b n ( n ) nn ( ) ( ) n n b, n n nn n n = ( n ) n, n j ( ) j b = j ( j ) j..., jn n j j+ j+ ( j ) jj untuk j = n-,, (.8) 7

13 Gmbr.5 Flowchrt dr metode Elmns Guss 8

14 Dlm flowchrt rt dr ndeks, j, k dlh : k dlh jumlh persmn yng dperkurngkn dr persmn ln, jug jumlh vrbel yng dhlngkn dr n k persmn terkhr. j dlh jumlh persmn dmn hrg vrbel bsny dhlngkn. dlh jumlh kolom. b n nn Gmbr.6 Flowchrt dr substtus kembl pd Elmns Guss 9

15 .5 Guss-Sedel Pd bgn n, kn dbhs mengen metode ters untuk menyeleskn persmn lner. Pd metode ters terdpt glt pembultn yng kecl, dn metode n konvergen hny pd syrt tertentu. Mslkn n vrble dlh,,, n dn mslkn sstem persmn (.7). Anggp 0 untuk semu. pendektn tngkt ke-k untuk dlh : ( k) ( k) ( k) = b (.9), j, + + n n =,, n. Proses dterskn hngg semu telh dtentukn. (k) dkurng mencp glt yng Sutu cr yng khusus dr penentun kelebhn dlh dengn mengmbl : ( k) ( k) M = mks (.0) untuk semu. Kemudn jk : (k) M ε (.) dmn ε dlh blngn yng sngt kecl, mk proses ters dhentkn. Seln tu, perbedn reltf dpt duj, dengn menggunkn : ( k) ( k) M = mks. (.) ( k) 0

16 3 strt BIG = 0.0 TEMP = ( b SUM ) j Bc j, b, E, m = BIG = TEMP. Y TEMP. > BIG = SUM = 0.0 Tdk BIG = TEMP = 0 =? Tdk = + Tdk = n? = + Tdk = n? j = Y y ITER = SUM = SUM + j j Prnt Solus Y BIG < E Y j = -? Tdk j = j + Stop Y Tdk ITER > MAX Y Stop Tdk j = n -? Y 3 ITER = ITER + Tdk j = + SUM = SUM + j j j = n? Tdk j = j + Y 3 Gmbr.7 Flowchrt metode ters Guss-Sedel

17 Sutu persmn dlm metode Guss-Sedel dktkn konvergen bl memenuh syrt : Syrt tersebut dpt dpenuh jk : < (.3) > (.4) > tu jk : (.5) > Gmbr.8 Metode Guss-Sedel yng konvergen

18 Jk terdpt sutu persmn yng mempuny kemrngn dr persn pertm lebh kecl dr sehngg cenderung besr, dn kemrngn dr persmn kedu besr sehngg y besr, mk proses dktkn dvergen. Gmbr.9 Metode Guss-Sedel yng dvergen Syrt cukup gr ters Guss-Sedel konvergen untuk n persmn dlh bl persmn tdk dpt dreduks (persmn tersebut tdk dpt dsusun sehngg beberp vrbel dpt dpechkn dengn memechkn kurng dr n persmn) dn ,, + + (.6) n untuk semu, dn jk sedktny untuk stu ,, + + (.7) n mk metode Guss-Sedel konvergen untuk mencp jwb dr (.7). 3

19 Syrt dts menjmn konvergens. Tetp perlu dteknkn bhw syrt dts bukn merupkn syrt perlu tetp hny merupkn syrt cukup. Gmbr.0 Metode ters Guss-Sedel yng konvergen tetp tdk memenuh syrt.6 Steepest Descent cukup untuk konvergen Metode tertf ln yng kn dpk dlm menyeleskn persmn smultn dlh metode Steepest Decent. Metode n membngktkn urutn dr perkrn berbg solus {}. Evlus dr metode ters n memfokuskn pd seberp cept ters tersebut membut konvergen. Anggp fungs φ (), ddefnskn sebg : t t φ ( ) = A b (.8) 4

20 dmn A dlh sebuh mtrks n n. Mslh dr pencrn solus untuk sstem persmn lner (contohny A = b ) dlh sm dengn memnmlskn fungs φ (). Descent. Slh stu metode untuk memnmlsskn fungs φ () dlh metode Steepest Dbwh n dlh skem dr metode Steepest Decent. () Mul dengn perkrn nl wl ( 0 ). () Cr rh dr Steepest Descent (ytu : φ ( ) = rc = b Ac ). (3) Nl selnjutny ( net ) dcp dengn menjumlhkn nl wl dengn rhny, drumuskn dengn net = + αr, dmn α ddpt dengn rumus c c r r α =. r t c c t c Arc (4) Perulngn n seles hngg ddpt nl yng dngnkn e (the equlbrum pont), dmn r = 0 pd ttk tersebut. c Cttn ( ) = r = b A φ c c dsebut sebg resdu dr ttk ters c. 5

21 Strt Bc mtr A, mtr b Perkrn nl wl ( 0 ) = r = b - A - α = r r t t r Ar = - + α r = + Tdk r = 0? y Stop Gmbr. Flowchrt Metode Steepest Decent Secr geometr, metode n ddeskrpskn sebg berkut : Untuk sutu ttk yng dtentukn 0 e, ( ) φ( c ) φ = dlh sutu tngktn kurv yng tdk berpotongn dengn equlbrum pont e. Tngktn kurv n dlh sebuh elpsod. Dlm skem dts mk ddpt ttk selnjutny pd setp ters. Ttk 6

22 tu berd pd elpsod selnjutny φ ) = φ( ). Elpsod yng ddpt pd setp ( net ters kn semkn mengecl dbndng elpsod sebelumny. Iters n dlkukn hngg menemukn e. Lntsn dr dpt dlht mul dr 0 sellu berjln mendekt e. Mellu pemkrn geometr n pul, kt mendptkn bhw r r + untuk semu. Steepest Decent menjmn kekonvergenn dr. Tp kdng-kdng berjln lmbt (membutuhkn bnyk ters). Gmbr. Metode Steepest Decent 7