Teorema Dasar Integral Garis

Transkripsi

1 ISBN: Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti himpunn [,b] dengn kurv pd bidng xy (R ). Integrl yng dihsilkn F dx disebut dengn integrl gris (line integrl), jug sering disebut integrl kurv (curve integrl). Seperti hlny pd integrl bis, pd integrl gris jug terdpt teorem yng mendsr dlm perhitungn integrl gris. Teorem tersebut sering disebut Teorem Dsr untuk Integrl Gris. Dlm mklh ini dibuktikn teorem dsr untuk integrl gris tersebut. Kt kunci: Integrl tentu, teorem dsr integrl, integrl gris. 1 Pendhulun Slh stu jenis generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti himpunn [,b] yng diintegrlkn menjdi himpunn berdimensi du dn berdimensi tig. Hl ini menuntun ke integrl lipt-du tu integrl lipt-tig. Generlissi yng benr-benr berbed diperoleh dengn menggntikn [,b] dengn kurv pd bidng xy (R ). Integrl yng dihsilkn F. dx disebut dengn integrl gris (line integrl), jug sering disebut integrl kurv (curve integrl). r yng pling mendsr dlm menghitung integrl tentu bis dlh teorem dsr klkulus du. Dlm bentuk simbol dpt dinytkn dengn b b b f ( x) dx = f(b) f() Anlog dengn hl tesebut, pd integrl gris jug terdpt teorem yng mendsr dlm perhitungn integrl gris. Teorem tersebut sering disebut Teorem Dsr untuk Integrl Gris, yng berbunyi : Mislkn dlh sebuh kurv mulus sepotong-sepotong yng dinytkn dengn (x( t)) untuk t [, b], yng berwl di dn berkhir di b. FMIPA Universits Riu, Nopember 014 6

2 ISBN: mislkn f(x, y) : R R terdiferensil secr kontinu pd himpunn terbuk yng mengndung, mk f. dx = f(b) f() Dlm mklh ini kn dibuktikn Teorem Dsr untuk Integrl Gris. Nmun sebelum itu, kn dibhs beberp hl yng mendukung pembuktin tersebut, dintrny fungsi vektor, hsil kli titik (dot produc medn vektor, fungsi vektor yng kontinu, opertor diferensil vektor dn turn rnti. Definisi.1. Mislkn f dn g dlh du fungsi bernili rill dengn peubh t. Mk untuk setip bilngn t dlm derh definisi bersm dri f dn g terdpt sutu vektor F yng didefinisikn oleh Dn F dinmkn fungsi vektor. F(t) = f(t) i + g(t) j Definisi.. Jik A = ( 1, ) dn B = (b 1,b ) dlh du vektor di V, mk hsil kli titik dri A dn B dinytkn dengn A.B = ( 1, ).(b 1,b ) = 1 b 1 + b Definisi.. Jik F sutu fungsi vektor yng didefinisikn di R sehingg F(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j mk F mengitkn setip titik (x,y) dengn sutu vektor. F disebut medn vektor. Definisi.4. Opertor diferensil vektor dilmbngkn dengn (dibc: del), didefinisikn dengn = i x y j Opertor diferensil vektor jug disebut nbl. Definisi.5. Fungsi F(t) = f(t)i + g(t)j diktkn kontinu di titik t = c, jik memenuhi ketig syrt berikut: 1. F(t) terdefinisi di t = c (F(c) d). lim F( t) d tc. F(c) = lim F( t) tc FMIPA Universits Riu, Nopember 014 7

3 ISBN: Teorem.6. Mislkn x = x(t) dn y = t) dpt didiferensilkn di t, dn mislkn z = f(x,y) dpt didiferensilkn di (x(t)), mk z = f(x(t)) dpt didiferensilkn di t, dn dz z x dx z y dy Bukti: Mislkn p = (x,y) p = ( x, y) z = f(p + p) f(p) Kren f dpt terdiferensilkn mk, z = f(p + p) f(p) = f(p). p + ( p). p = f x (p) x + f y (p) y + ( p). p Dengn ( p) 0 dn p 0 Jik kedu rus dibgi dengn t, mk diperoleh z x y x y = f x ( p) f p) ( p)., t t t t t x y dx dy Selnjutny,, mendekti, ketik t 0. dn ketik t 0, x dn t t y mendekti 0 (kren x(t) dn t) kontinu, dpt didiferensilkn). Jdi p 0, sehingg ( p)0 ketik t 0. Dengn demikin, ketik t 0 diperoleh : dz = dx fx ( p) f p) dy dz z dx z dy x y Pembhsn Definisi.1. Mislkn F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) : R R sebuh medn vektor yng kontinu dn mislkn kurv dinytkn dengn (x( t)) untuk t [,b]. Mk integrl gris F sepnjng dinotsikn dengn : dn dinytkn dengn F. dx tu P dx Qdy FMIPA Universits Riu, Nopember 014 8

4 ISBN: F. dx = b ' ' ( P ( x( t)), Q( x( t)).( x ( y )) b ' ' = P ( x( t)) x ( t) Q( x( t)) y ( t) (1) ontoh.1. Hitunglh integrl gris (P(x, y), Q(x, y)) = (x + y, xy) sepnjng prbol seperti pd Gmbr. 1, dimn x(t) = t dn t) = t, t [0, ]. Gmbr.1. Prbol t) = t Penyelesin : Kren x(t) = t mk x (t) = 1 t) = t mk y (t) = t t [0, ]. sehingg 1 t = 0 4 t = P dx Qdy = ( t t, t ).(1, t) 0 4 = t t t = 0 1 t 1 t 1 t 5 5 = 1 1 () () () 5 (0) 5 7 = Definisi.. Mislkn dlh kurv mulus sepotong-sepotong, yitu terdiri dri beberp kurv mulus 1,,, n. Mk integrl gris F(x, y) sepnjng didefinisikn sebgi jumlh dri integrl-integrl pd msing-msing kurv. Dpt dinotsikn dengn F. dx = F. dx + 1 F. dx + + F. dx n n = i1 i F. dx FMIPA Universits Riu, Nopember 014 9

5 ISBN: Teorem.1. Mislkn dlh sebuh kurv mulus sepotong-sepotong yng dinytkn dengn (x( t)) untuk t [, b], yng berwl di dn berkhir di b. mislkn f(x, y) : R R terdiferensil secr kontinu pd himpunn terbuk yng mengndung, mk f. dx = f(b) f() Teorem ini bis disebut sebgi teorem dsr untuk integrl gris. Bukti: Kren dlh kurv yng dinytkn dengn (x( t)) untuk t [, b] mk f. dx = b ' ' f ( x( t).( x ( y )) (1) Berdsrkn Teorem.6, kren f dn fungsi yng terdiferensil, mk f(x( t)) jug terdiferensil, mk d ' ' f ( x( t)) = f ( x( t)).( x ( y ( t) () Berdsrkn persmn (1) dn () diperoleh f. dx = b d f ( x( t) = f(x(b), b)) f(x(), )) = f(b) f(), kren berwl di = (x(), )) dn berkhir di b = (x(b), b)). Ini merupkn pembuktin untuk kurv tunggl. Selnjutny mislkn merupkn kurv mulus sepotong-sepotong yng terdiri ts kurv-kurv 1,,, n, dimn 1 bergerk dri = 0 ke 1, bergerk dri 1 ke,, dn n bergerk dri n-1 ke n = b. Berdsrkn Definisi. untuk kurv mulus sepotong-sepotong dn hsil yng diperoleh untuk msing-msing kurv i, mk f. dx = n i1 n i f. dx = f ( ) f ( i1 i ) i 1 = ( f( 1 ) + f( ) + + f( n-1 ) + f( n )) (f( 0 ) + f( 1 ) + f( ) + + f( n-1 ) ) = f( n ) f( 0 ) = f(b) f() FMIPA Universits Riu, Nopember

6 ISBN: ontoh.. Mislkn f(x,y) = xy dinytkn dengn t 5 t t, 4 x. hitunglh 9, untuk t [0, 4]. f. dx untuk kurv yng 5(0) Penyelesin: Kren t [0, 4] mk =, (0) 9 = (0,) (0) 4 f. dx 5(4) b =, (4) 9 = (1,5) (4) 4 = f(b) f() = f(1,5) f(0,) = (1(5) (5)) (0() ()) = Kesimpuln Berdsrkn pembhsn yng telh dilkukn dpt disimpulkn bhw untuk sebuh kurv yng mulus sepotong-sepotong yng dinytkn dengn (x( t)) dimn t [, b], yng berwl di dn berkhir di b. mislkn f(x, y) : R R terdiferensil secr kontinu pd himpunn terbuk yng mengndung, berlku Dftr Pustk f. dx = f(b) f() [1] Belding, D. F & Kevin, J Foundtion of Anlysis. Prentice Hll, New Jersey. [] Leithold, L Klkulus dn Ilmu Anlitik, terj. S. M. Nbbn. Erlngg, Jkrt. [] Mrsden, J. E & Anthony, J. T Vector lculus. W.H. Freemn nd ompny, New York. [4] Mursit, D Mtemtik Dsr untuk Pergurun Tinggi. Rekys Sins, Bndung. [5] Prcell, E. J & Steven E. R Klkulus. Erlngg, Jkrt. FMIPA Universits Riu, Nopember