INTEGRAL TAK TENTU. x x x

Transkripsi

1 INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh opertor liner, yitu ersift :. kf ( ) = k f ( ). [ f ( ) g( )] = f ( ) + g ( ) Rumus-rumus Dsr Integrl Tk Tentu n n. c, n - n. sin cos c. cos sin c. ln c 5. e e c 6. c ln 7. sin c 8. tgn c 9. sec c 0. sec tgn c. cos ec ctg c. sec tgn sec c. cos ecctg cosec c ( 5cos) 5sin c INTEGRAL TENTU Definisi : Misl f fungsi yng didefinisikn pd [,], f diktkn terintegrlkn pd [,] jik n lim f ( i ) i d, selnjutny f ( ) diseut Integrl Tentu (Integrl Riemnn) P 0i f dri ke, dn didefinisikn

2 n f ( ) = lim f ( i ) i. P 0i f ) ( menytkn lus derh yng terckup dintr kurv y = f() dn sumu dlm selng [,], jik erd diwh sumu. f ) ( ertnd negtif mk menytkn lus derh yng Definisi : f ) ( = 0 f ( ) = - f ) (, > Teorem Dsr Klkulus Teorem Dsr Klkulus memerikn kemudhn untuk menghitung Integrl Tentu, erikut teorem terseut : Misl f kontinu pd [,] dn F serng nti turunn f, mk f ( ) = F() F() Selnjutny ditulis F() F() = [ F ( )]. Perlihtkn hw jik r Q dn r -, mk r r r Jw : r r

3 Kren F() = r r r sutu nti turunn dri f() = r, mk menurut TDK, r r F( ) F( ) r r Integrl tentu segi opertor liner, yitu ersift : Misl f dn g terintegrlkn pd [,] dn k sutu konstnt, mk kf dn f + g terintegrlkn, dengn. kf ( ) k f ( ). [ f ( ) g( )] = f ( ) + g ( ) Hitung Jw : ( 6 ) ( 6 ) 6 = 8 = 6 = 6 Sift-Sift Integrl Tentu. Sift Penmhn Selng Teorem : Jik f terintegrlkn pd sutu selng yng mengndung tig titik, dn c, mk c f ( ) = f ( ) + f ) c ( gimnpun urutn, dn c

4 . Sift Simetri Teorem : Jik f fungsi genp [f(-) = f()], mk f Jik f fungsi gnjil [f(-) = - f()], mk. cos cos 8cos = 0 ( ) = f ) 0 f ( ) = 0.. ( dn TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN. Teknik Sutitusi. Sutitusi Dlm Integrl Tk Tentu Teorem : Misl g fungsi yng terdiferensilkn dn F sutu nti turunn dri f, jik u = g() mk f(g())g () = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c Hitunglh sin. / mk sin / = sin = sin udu = cosu + c = cos + c Jw : Mislkn u = = / sehingg du =. Sutitusi Dlm Integrl Tentu. Teorem : Misl g mempunyi turunn kontinu pd [,] dn f kontinu pd derh nili g, g( ) mk f ( g( )) g'( ) f ( u) du g( ) Hitung 0 ( 6) Jw :

5 Misl u = ++6 sehingg du = + = (+) perhtikn u = 6 jik = 0 dn u = jik =, jdi ( ) = 0( 6) 0 ( 6) 9 du = ln 9 u (ln 9 ln 6) 6 = ln 6 u. Pengintegrln Bentuk-Bentuk Trigonometri. sin n, cos n Jik n ilngn ult positif gnjil, mk kelurkn fktor sin tu cos dn kemudin gunkn kesmn sin + cos =. Jik n ilngn ult positif genp, mk gunkn rumus setengh sudut sin = cos, cos = cos cos. cos = = ( + cos + cos ) = + cos () + 8 ( + cos ) = + sin + sin + c 8. sin m cos n Jik m tu n ilngn ult positif gnjil dn eksponen lin semrng, mk kelurkn fktor sin tu cos yng erpngkt gnjil terseut kemudin gunkn kesmn sin + cos =. Jik m dn n ilngn ult positif genp, mk gunkn rumus setengh sudut. Tentukn :. sin cos. sin cos c. tg n, cotg n. Kelurkn fktor tg = sec dlm ksus tg tu fktor cotg = cosec dlm ksus cotg. 5

6 cotg = cotg (cosec ) = cotg cosec cotg = - cotg d(cotg ) - (cosec ) = - cotg + cotg + + c d. tg m sec n, cotg m cosec n Jik n genp dn m semrng, mk kelurkn fktor sec tu cosec. Jik m gnjil dn n semrng, kelurkn fktor tg.sec. Tentukn :. tg / sec. tg sec / e. sin m cos n, sin m sin n, cos m cos n. Gunkn kesmn : sin m cos n = ½[sin (m+n) + sin (m n)] sin m sin n = -½[cos (m+n) - cos (m n)] cos m cos n = ½[cos (m+n) + cos (m n)] sin cos = / sin 5 + sin (-) = /0 sin 5 d(5) ½ sin = - /0 cos 5 + ½ cos + c.. Pengintegrln Prsil Pengintegrln prsil (segin) dpt dilkukn jik pengintegrln dengn teknik sutitusi tidk memerikn hsil, dn dengn cttn gin sis pengintegrln leih sederhn dri integrl mul-mul. udv uv. e vdu Mislkn u =, dv = e mk du =, v = e e = e e = e e + c. Integrl Fungsi Akr (Sutitusi yng Mersionlkn).. Fungsi Integrn yng memut entuk n Penyelesin dengn menggunkn sutitusi : u = n Hitung Jw : Mislkn u = Shg mk u = dn u du = = ( u ) u.u du ( ) 7 ( ) c 7. Integrn yng memut entuk,, 6

7 Gunkn erturut-turut sutitusi : = sin t, = tg t dn = sec t.. Tentukn Jw : Jw : Mislkn = sin t mk = cos t dt dn cos = (cost) dt ctg sin t t = sin c tdt = - ctg t t + c = cos t, shg 5. Integrl Fungsi Rsionl Fungsi Rsionl merupkn fungsi hsil gi du fungsi Polinom yng ditulis : P( ) F( ), P() dn Q() fungsi fungsi Polinom dengn Q() 0 Q( ) Fungsi Rsionl diedkn ts :. Fungsi Rsionl Sejti yitu fungsi rsionl dimn derjt fungsi polinom pd pemilng leih kecil dri pd derjt fungsi polinom pd penyeut.. Fungsi Rsionl Tk Sejti yitu fungsi rsionl dimn derjt fungsi polinom pd pemilng leih esr dri tu sm dengn derjt fungsi polinom pd penyeut. Fungsi Rsionl Tk Sejti dpt ditulis segi penjumlhn fungsi polinom dengn Fungsi Rsionl Sejti dengn jln memgi fungsi pemilng dengn fungsi penyeut. Permslhn mengintegrlkn fungsi rsionl terletk pd gimn mengintegrlkn fungsi rsionl sejti. Sutu fkt, hw fungsi rsionl sejti dpt ditulis segi jumlh dri fungsi rsionl sejti yng leih sederhn 5. Penjrn Fungsi Rsionl ts Fktor Liner yng Bered Tentukn Jw : A B C ( )( ) mk 5 + = A(+)(-) + B(-) + C(+) dengn menymkn koefisien pd kedu polinom dirus kiri dn rus knn mk diperoleh : A = -, B =, dn C = sehingg 7

8 5 ln ln = = - ln c. Penjrn Fungsi Rsionl ts Fktor Liner yng Berulng Tentukn ( ) Jw : A B mk = A(-) + B ( ) ( ) dengn menymkn koefisien pd kedu polinom dirus kiri dn rus knn diperoleh : A = dn B = sehingg ln c ( ) ( ) Yng perlu diperhtikn untuk tip fktor senyk k suku penjrnny, yitu : A A A... k k ( ) ( ) k ( ) dlm penyeut, mk d c. Penjrn Fungsi Rsionl ts Fktor Kudrt yng Bered 6 Tentukn Jw : 6 ( )( ( )( ) ) A B C Selnjutny tentukn A, B dn C seperti cr dits dn kemudin hitung integrl setip sukuny. PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU. Lus Derh Bidng Rt. Derh Antr Kurv dn Sumu Koordint. Perhtikn gmr derh rt diwh ini Derh R ditsi oleh grfik-grfik y = f(), =, = dn y = 0, lusny A(R) ditentukn oleh : 8

9 A(R) = f ( ) Jik gmr terletk diwh sumu X mk integrl dits ernili negtif, kren lus derh tidk mungkin ilngn negtif mk nili integrl terseut dimutlkkn. Perhtikn pul gmr derh rt erikut ini : Derh R ditsi oleh grfik-grfik = f(y), y = c, y = d dn = 0, lusny A(R) d ditentukn oleh : A(R) = f ( y) dy c Jik gmr terletk diseelh kiri sumu Y mk integrl dits ernili negtif, kren lus derh tidk mungkin ilngn negtif mk nili integrl terseut dimutlkkn. Tentukn lus derh yng ditsi oleh fungsi : Untuk menghitung lus derh rt ikuti pol erfikir segi erikut :. Gmr derh yng ersngkutn. Potong derh menjdi jlur-jlur dn eri nomor pd stu jlur tertentu. Hmpiri lus jlur tertentu terseut dengn lus persegi pnjng. Jumlhkn lus jlur-jlur pd derh terseut 5. Amil limit dri jumlh dits dengn ler jlur menuju 0, mk diperoleh integrl tertentu.. Derh ntr Kurv Perhtikn kurv-kurv y = f() dn y = g() dengn g() f() pd selng [,], segi gmr erikut : A ( f ( ) g( )) 9

10 A = ( f ( ) g( )) Kit gunkn cr : potong, proksimsikn, dn integrlkn. Ltihn Sol. Tentukn :. 0 cos sin. ( ln ) c. ( tg ctg) d. ctg cos ec e. 9 f. 5. Hitung lus derh yng ditsi oleh kurv y = dn y =. Hitung lus derh yng ditsi oleh kurv-kurv y =, y = dn y = 5. Hitung lus derh yng ditsi oleh kurv y = dn y = Gmrlh derh R yng ditsi oleh kurv-kurv y = + 6, y = dn y + = 0. Kemudin hitunglh lusny. 0