ISSN: X 23 PEMANFAATAN GEOGEBRA UNTUK MENGGAMBAR POTRET FASE SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL

Transkripsi

1 ISSN: X 23 PEMANFAATAN GEOGEBRA UNTUK MENGGAMBAR POTRET FASE SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL Emiugroho Rata Sari Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY ABSTRAK Perilaku solusi sistem persamaa diferesial serigkali aka lebih mudah diiterpretasika melalui grafik, tetapi hal ii tidak mudah digambar tapa batua software. Padahal software matematika serigkali membutuhka bahasa pemrograma yag rumit utuk medapatka hasil yag diigika. Hal ii tidak mudah dilakuka bagi pemula. Semetara, di lai pihak terdapat software yag lebih mudah diguaka, khususya dalam meggambar grafik. Tujua peulisa paper ii adalah bagaimaa memafaatka Geogebra sebagai software yag user friedly utuk meggambar potret fase sistem persamaa diferesial utuk megamati perilaku solusiya. Aka diberika lagkah-lagkah meggambar potret fase sistem persamaa diferesial baik liear maupu oliear. Berdasarka potret fase dapat diketahui perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium. Kata Kuci: Geogebra, potret fase, sistem persamaa diferesial ABSTRACT The behavior of solutios of differetial equatios systems will be more easily iterpreted by graphs, but this is ot easy draw without software. As kow, mathematics software ofte requires a complicated programmig laguage to get the desired results. It is ot easy for begiers. O the other had, there is software that is easier to use, especially i drawig a graph. The purpose of this paper is how to utilize GeoGebra as user friedly software to draw a phase portrait of a system of differetial equatios. Step-by-step drawig phase portrait systems of differetial equatios both liear ad oliear will be give. Based o the phase portrait ca be see the behavior of solutios aroud the equilibrium poit. Keywords: Geogebra, phase portrait, differetial equatios systems Pedahulua Persamaa diferesial merupaka persamaa yag memuat derivative atas satu atau lebih variable tak bebas terhadap satu atau lebih variable bebas. Jika persamaa haya memuat satu atau lebih variable tak bebas terhadap satu variable bebas, maka disebut persamaa diferesial biasa. Lebih lajut, suatu fugsi f disebut solusi dari persamaa diferesial jika f terdefiisi pada suatu persamaa diferesial beserta turuaturuaya pada suatu iterval I, da apabila disubstitusi ke persamaa diferesial tersebut aka terpeuhi. Suatu persamaa diferesial disebut liear jika (1) variable tak bebas da/atau turuaturuaya buka merupaka fugsi AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215 Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari)

2 24 ISSN: X trasede, (2) pagkat dari variable tak bebas da turua-turuaya adalah satu, (3) tidak ada perkalia atara variable tak bebas dega diriya sediri, atau dega turua-turuaya, atau atar turua-turuaya (Ross, 1984). Himpua berhigga dari persamaa diferesial disebut sebagai sistem persamaa diferesial. Hal mearik yag dapat dilihat setelah medapatka solusi suatu sistem persamaa diferesial adalah dega megaalisa perilaku dari solusi sistem tersebut. Bucur (26) telah membahas megeai teori perilaku solusi suatu persamaa diferesial. Semetara Ademola (211) megaalisa kestabila utuk persamaa diferesial oliear. Perilaku solusi sistem persamaa diferesial juga serig diaplikasika dalam pemodela matematika di bidag biologi. Bagaimaa peyebara suatu peyakit dapat diaalisa sehigga dapat diprediksi kapa aka terjadi epidemic. Model SIR merupaka pemodela epidemiologi pertama kali yag diperkealka oleh Kermack & McKedrick (1927). Pada model klasik ii diasumsika tidak ada kelahira da kematia. Modifikasi model ii terus megalami perkembaga, mulai dari mucul model SIR dega adaya kelahira da kematia, model SIR dega efek demografi, model SIR dega vaksiasi (Keelig, Tildesley, House, & Dao, 213), bahka dega cotrol (Bakare, Nwagwo, & Daso- Addo, 214). Aalisa megeai perilaku solusi ii tidak mudah dilakuka. Namu demikia, dapat juga diaalisa melalui potret fase. Meggambar potret fase tapa batua software serigkali juga tidak mudah dilakuka. Dewasa ii software matematika telah bayak ada atara lai MAPLE, MATLAB, WiGeom, WiPlot, maupu Geogebra. Geogebra merupaka salah satu software yag free dowload yag serig diguaka dalam pembelajara matematika karea fiturya yag legkap da iteraktif. Geogebra juga relative lebih mudah diguaka daripada software yag lai karea tidak membutuhka bahasa pemrograma yag rumit (Hohewarter, Hohewarter, Kreis, & Lavicza, 28). Salah satu yag bisa dimafaatka dari Geogebra adalah meggambar potret fase dari sistem persamaa diferesial. Pada paper ii aka dibahas megeai pegguaa Geogebra utuk meggambar trayektori solusi sistem persamaa diferesial, lebih lajut bagaimaa potret fase dari sistem tersebut. Pertama aka dibahas utuk sistem persamaa diferesial liear. Pada bagia ii, aka diberika cotoh-cotoh Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari) AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215

3 ISSN: X 25 sistem persamaa diferesial liear yag kemudia diaalisa bagaimaa perilaku solusi sistem tersebut melalui potret fase yag diperoleh dega Geogebra. Selajutya aka dibahas bagaimaa pegguaa Geogebra utuk meggambar trayektori solusi sistem persamaa diferesial oliear, dalam hal ii yag aka dibahas utuk model SIR. Utuk itu, berikut diberika beberapa defiisi yag berkaita dega sistem persamaa diferesial. Atara lai defiisi solusi sistem persamaa diferesial, titik ekuilibrium da kestabila. Sistem Persamaa Diferesial Pada bagia ii aka dibahas megeai defiisi sistem persamaa diferesial, titik ekuilibrium, kestabila, bidag fase, trayektori da potret fase. Diberika sistem persamaa diferesial biasa 1 2 f f 1 2, 1, 1 1 2,, 2 2,,,, f,,,, dega kodisi awal i i...,. Sistem (1) dapat ditulis sebagai (1) t, i = 1, 2, f (2) dega,,, 1 2,,,, t 1 2. Selajutya otasi t,t meyataka solusi Sistem (2) yag melalui. Selajutya aka diberika defiisi titik ekuilibrium suatu sistem pada. Defiisi 1 (Perko, 1991) Titik ˆ Sistem (2) jika disebut titik ekuilibrium f ˆ. Defiisi 2 (Perko, 1991) Diberika Sistem (2). ˆ titik ekuilibrium i. Titik ekuilibrium ˆ dikataka stabil lokal jika utuk setiap bilaga ε >, terdapat bilaga δ = δ (ε) >, sedemikia sehigga utuk setiap solusi t yag memeuhi t ˆ berlaku t ˆ, utuk setiap t t. ii. Suatu titik ekuilibrium ˆ dikataka tak stabil, jika tidak dipeuhi (i). iii. Titik ekuilibrium ˆ dikataka stabil asimtotik lokal, jika titik ekuilibrium ˆ stabil da jika terdapat, sehigga utuk setiap solusi t ˆ t yag memeuhi berlaku lim t ˆ t. f f,, 1 f da kodisi awal AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215 Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari)

4 26 ISSN: X Megaalisa kestabila di sekitar titik ekuilibrium megguaka Defiisi 2 serigkali tidak mudah dilakuka. Utuk melihat perilaku solusi dapat melalui potret fase. Diperhatika Sistem (2), utuk fugsi atas 2 variabel tetu dapat digambar grafik solusiya. Dalam hal ii, bidag- 1 2 sebagai tempat utuk meggambar grafik disebut sebagai bidag fase. Semetara, sebuah kurva/grafik solusi yag dilegkapi dega arah disebut trayektori, arah berkaita dega t yag membesar. Gabuga dari trayektori-trayektori disebut potret fase. Lebih lajut, jika semua trayektori berada di sekitar titik ekuilibrium, maka disebut stabil, da jika pada akhirya semua trayektori medekati titik ekuilibrium, maka disebut stabil asimtotik. Sedagka, jika ada trayektori yag mejauh dari titik ekuilibrium, maka disebut tidak stabil. Metode Peelitia Paper ii berisi kajia megeai pemafaata Geogebra dalam meggambar potret fase dari suatu sistem persamaa diferesial. Adapu pembahaya megguaka studi literature yag megambil dari bukubuku maupu jural yag berkaita dega sistem persamaa diferesial da perilaku solusiya. Lagkah-lagkahya sebagai berikut 1. Mempelajari sistem persamaa diferesial berikut perilaku solusiya secara aalitik. 2. Mempelajari Geogebra utuk persamaa diferesial. 3. Memafaatka Geogebra dalam meggambar solusi sistem persamaa diferesial. 4. Megiterpretasika perilaku solusi berdasarka gambar yag diperoleh dari Geogebra. Diagram alir megeai pembahasa dalam paper ii adalah sebagai berikut: Sistem Persamaa Liear No Liear Solusi Aalitik Digambar dega Iterpretasi perilaku Gambar 1. Diagram alir pembahasa Pada bagia selajutya aka dibahas bagaimaa meggambar potret fase sistem persamaa diferesial megguaka Geogebra. Hasil da Pembahasa Geogebra merupaka software yag dapat diperoleh secara gratis melalui Saat ii, versi terbaru adalah Geogebra 5. Versi Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari) AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215

5 ISSN: X 27 iilah yag diguaka dalam pembahasa paper ii. Setelah Geogebra terpasag, maka aka mucul ico yag berbetuk. Geogebra sagat membatu dalam pemahama materi kalkulus, statistika maupu geometri. Bahka terus megalami perkembaga higga saat ii dapat diguaka utuk materi persamaa diferesial (Kovacs, 21). Pada paper ii, aka dibahas megeai pemafaata Geogebra dalam meggambar potret fase sistem persamaa diferesial melalui cotoh-cotoh. 1. Sistem Persamaa Diferesial Liear Pada dasarya, lagkah-lagkah utuk masig-masig cotoh aka sama, yaitu 1. Membuka jedela Geogebra. Berikut adalah tampila awal Geogebra. Gambar 2. Tampila awal Geogebra 2. Membuat titik dega megklik bagia seperti tampak pada Gambar 3 berikut. Misal titik yag dibuat diberi ama dega titik A. Gambar 3. Membuat titik A sebagai ilai awal Tujua membuat titik ii adalah diguaka sebagai ilai awal dari sistem persamaa diferesial. 3. Megiput ruas kaa dari sistem persamaa diferesial yag aka digambar trayektori solusiya. Misal fugsi diberi ama dega f(,y) da g(,y). 4. Meggambar trayektori solusi sistem persamaa diferesial dega megiput peritah sebagai berikut SolveODE[ <y'>, <'>, <Start >, <Start y>, <Ed t>, <Step> ] Suku pertama pada peritah tersebut adalah fugsi ruas kaa dari persamaa kedua dari sistem persamaa diferesial, yaitu g. Suku kedua merupaka fugsi ruas kaa dari persamaa pertama, yaitu f. Suku ketiga meyataka ilai awal utuk, diisika dega cara (A), dega A adalah titik yag telah dibuat pada lagkah kedua. Suku keempat diisi dega y(a). Suku kelima meyataka waktu, karea sistem persamaa diferesial merupaka fugsi atas AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215 Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari)

6 28 ISSN: X waktu. Sedagka suku keeam utuk icremet dari trayektori, semaki kecil ilai yag diiput, maka trayektori yag tampak aka semaki smooth. 5. Setelah diperoleh trayektori solusi berdasarka lagkah 4, titik A dapat digeser sehigga perilaku solusi aka lebih jelas. Atau lagkah 2 4 dapat diulag kembali megguaka titik yag berbeda utuk lebih memahami perilaku solusiya. 6. Selajutya utuk medapatka arahya megguaka peritah Sequece[Sequece[Vector[(i,j), (i,j) +.15(f(i,j),g(i,j)) / sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i,, 5,.2], j,, 5,.2] Artiya aka digambar potret fase utuk sumbu- da sumbu-y positif. Selajutya utuk potret fase pada sumbu- egative da sumbu-y positif diguaka Sequece[Sequece[Vector[(i,j), (i,j) +.15(f(i,j),g(i,j)) / sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i, -5,,.2], j,, 5,.2] Utuk potret fase pada sumbu- egative da sumbu-y egatif diguaka Sequece[Sequece[Vector[(i,j), (i,j) +.15(f(i,j),g(i,j)) / sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i, -5,,.2], j, -5,,.2] Utuk potret fase pada sumbu- positif da sumbu-y egatif diguaka Sequece[Sequece[Vector[(i,j), (i,j) +.15(f(i,j),g(i,j)) / sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i,, 5,.2], j, -5,,.2] Berdasarka lagkah 1 6, berikut aka diguaka utuk meggambar potret fase dari masigmasig sistem persamaa diferesial berikut Cotoh 1. Diberika sistem persamaa diferesial (3) Megguaka Geogebra, diperoleh potret fase Sistem (3) sebagai berikut Gambar 4. Potret fase Sistem (3) Berdasarka Defiisi 1, Sistem (3) mempuyai titik ekuilibrium, T, pada Gambar 4 ditujukka dega titik B, sedagka gambar yag berwara merah meujukka trayektori solusi dega ilai awal di A da C. Berdasarka Gambar 4 tersebut bahwa Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari) AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215

7 ISSN: X 29 trayektori-trayektori solusi mejauh dari titik ekuilibrium. Hal ii berarti, titik ekuilibrium dari Sistem (3) tidak stabil. Cotoh 2. Diberika sistem persamaa diferesial (4) Diperoleh potret fase Sistem (4) megguaka Geogebra sesuai lagkah 1-6 adalah Cotoh 3. Diberika sistem persamaa diferesial (5) Potret fase dari Sistem (5) adalah Gambar 6. Potret fase Sistem (5) Berdasarka Defiisi 1, Sistem (5) mempuyai titik ekuilibrium, T, Gambar 5. Potret fase Sistem (4) Berdasarka Defiisi 1, Sistem (4) mempuyai titik ekuilibrium, T, pada Gambar 5 ditujukka dega titik C, sedagka gambar yag berwara merah meujukka trayektori solusi dega ilai awal di A da B. Berdasarka Gambar 5 tersebut bahwa trayektori-trayektori solusi pada kuadra I,II,III maupu IV meuju titik ekuilibrium, demikia juga utuk sepajag sumbu-y. Namu, utuk sepajag sumbu- justru mejauh dari titik ekuilibrium. Hal ii berarti, titik ekuilibrium dari Sistem (4) tidak stabil. pada Gambar 6 ditujukka dega titik C, sedagka gambar yag berwara merah meujukka trayektori solusi dega ilai awal di A da B. Berdasarka Gambar 6 tersebut bahwa trayektori-trayektori solusi pada kuadra I,II,III maupu IV meuju titik ekuilibrium, demikia juga utuk sepajag sumbu-y da sumbu-. Hal ii berarti, utuk t yag membesar solusi medekati titik ekuilibrium, akibatya titik ekuilibrium dari Sistem (5) stabil asimtotik. Cotoh 4. Diberika sistem persamaa diferesial (6) Potret fase dari Sistem (6) adalah AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215 Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari)

8 3 ISSN: X Gambar 7. Potret fase Sistem (6) Berdasarka Defiisi 1, Sistem (6) mempuyai titik ekuilibrium, T, pada Gambar 7 ditujukka dega titik B, sedagka gambar yag berwara merah meujukka trayektori solusi dega ilai awal di A. Berbeda dega potret fase pada Cotoh 3, bahwa pada Gambar 7 tampak bahwa trayektoritrayektori solusi pada kuadra I,II,III maupu IV haya berada di sekitar titik ekuilibrium. Hal ii berarti, titik ekuilibrium dari Sistem (6) adalah stabil. 2. Sistem Persamaa Diferesial Noliear Selajutya, utuk sistem persamaa diferesial oliear aka dibahas utuk meggambar potret fase model SIR. Model SIR merupaka model matematika biologi yag serig dibahas. Pada model ii, populasi dibagi mejadi 3 kelas yaitu kelas Susceptible (S) utuk meyataka populasi yag reta terkea peyakit, kelas Ifectious (I) utuk meyataka populasi yag terifeksi peyakit da kelas Recovered (R utuk meyataka populasi yag sembuh da kebal terhadap peyakit. Model SIR berbetuk (Kermack & McKedrick, 1927) ds SI dt di SI I dt dr I dt (7) Karea kelas R tidak mempegaruhi kelas S da I, maka Sistem (7) cukup dipadag sebagai berikut ds SI dt di SI I dt (8) Pembetuka model maupu aalisa perilaku solusi Sistem (8) telah dibahas secara detail oleh Brauer (21). Pada paper ii, aka diaalisa megeai perilaku solusi Sistem (8) megguaka potret fase yag digambar dega Geogebra. Lagkah-lagkah meggambar hampir sama dega ketika meggambar sistem persamaa diferesial liear. Namu aka lebih tampak perilakuya jika digambar juga utuk masig-masig solusi S da I. Berikut lagkah-lagkah utuk meggambar potret fase maupu solusi S da I dega Geogebra: Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari) AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215

9 ISSN: X Meetapka maksimum ilai t yag diguaka dalam gambar. Misal mat = Membuat titik A da B di sumbu-y sebagai ilai awal dari solusi S da I, berturut-turut. Misal A = (,4) da B = (,1) 3. Membuka jedela sebagai tempat utuk meggambar grafik yag kedua (dalam hal ii disebut Graphic 2), dega cara klik view > graphic 2, seperti tampak pada gambar berikut Gambar 8. Membuka Graphic 2 Tujuaya adalah utuk meggambar trayektori solusi da potret fase Sistem (8) 4. Membuat titik C ditempatka di Graphic 2, yaitu C = (y(a),y(b)), sebagai ilai awal dari trayektori solusi 5. Megiput fugsi ruas kaa dari Sistem (8), dalam hal ii diambil.33 da.48, sedagka S diyataka dega da I diyataka dega y, jadi f(,y)=-.48**y da g(,y)=.48**y -.33*y 6. Meggambar trayektori solusi yag aka mucul di Graphic 2, dalam hal ii sumbu- meyataka S da sumbu-y meyataka I, yaitu SolveODE[g, f, (C), y(c), mat,.1] 7. Meggambar potret fase Sistem (8), yaitu Sequece[Sequece[Vector[(i,j), (i,j) +.15(f(i,j),g(i,j)) / sqrt(f(i,j)^2 + g(i,j)^2)], i,, 5,.2], j,, 5,.2] 8. Membuat barisa t, yag diguaka utuk melihat perilaku masigmasig solusi S da I, yaitu t= Sequece[i, i,, 1,.1] mat 9. Membuat barisa R, utuk titik-titik solusi dari S, yaitu R=Sequece[(Poit[umericalIt egral1, i]), i,, 1,.1] 1. Meggambar solusi dari S pada Graphic 1, dalam hal ii sumbu- sebagai t, sedagka sumbu-y sebagai S, yaitu Polylie[Sequece[(Elemet[t, i], Elemet[R, i]), i, 1, 1]] 11. Membuat barisa F, utuk titik-titik solusi dari I, yaitu F=Sequece[y(Poit[umericalIt egral1, i]), i,, 1,.1] AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215 Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari)

10 32 ISSN: X 12. Meggambar solusi dari I pada Graphic 1, yaitu Polylie[Sequece[(Elemet[t, i], Elemet[F, i]), i, 1, 1]] Berdasarka lagkah 1 12, maka diperoleh : Gambar 9. Graphic 1 (sebelah kiri) meyataka solusi dari S (wara merah) da I (wara hijau). Graphic 2 meyataka trayektori solusi da potret fase Sistem (8). Berdasarka Gambar 9 bagia Graphic 1 tampak bahwa populasi S turu karea masuk ke kelas I, pada saat itu populasi I aka aik. Semetara dari Graphic 2 dapat terlihat bahwa solusi meuju ke titik ekuilibrium, T, artiya di titik ii solusiya stabil. Kesimpula Geogebra sagat bermafaat dalam pembuata grafik fugsi. Pada paper ii lebih meekaka bagaimaa cara medapatka trayektori solusi da potret fase suatu sistem persamaa diferesial baik liear maupu oliear dega memafaatka Geogebra. Diharapka dega megguaka software ii peguasaa kosep megeai perilaku solusi suatu sistem persamaa diferesial mejadi lebih baik lagi. Pustaka Ademola, A. T., & Arawomo, P. O. (211). Stability, Boudedess ad Asymptotic Behaviour of Solutios of Certai Noliear Differetial Equatios of the Third Order. Kragujevac Joural of Mathematics, 35(No 3), Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari) AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215

11 ISSN: X 33 Bakare, E., Nwagwo, A., & Daso-Addo, E. (214). Optimal Cotrol Aalysis of a SIR epidemic Model with Costat Recruitmet. Iteratioal Joural of Applied Mathematical Research, Brauer, F., & Castillo-Chavez, C. (21). Mathematical Models i Populatio Biology ad Epidemiology. New York: Spriger. Bucur, A. (26). About Asymptotic Behaviour of Solutios of Differetial Equatios as ->~. Geeral Mathematics, Vol.14(No.2), Hohewarter, M., Hohewarter, J., Kreis, Y., & Lavicza, Z. (28). Teachig ad Learig Calculus with Free Dyamic Mathematics Software GeoGebra. 11th Iteratioal Cogress o Mathematical Educatio. Meico. Keelig, M., Tildesley, M., House, T., & Dao, L. (213, February). The Mathematics of Vacciatio. Mathematics TODAY, pp Kermack, W., & McKedrick, A. (1927). A Cotributio to the Mathematical Theory of Epidemics. Proc. Royal Soc. Lodo, (pp ). Kovacs, Z. (21). Modellig with Differece Equatios Supported by Geogebra:Eplorig the Kepler Problem. Iteratioal Joural for Techology i Mathematics Educatio, 17, Perko, L. (21). Differetial Equatios ad Dyamical Systems. New York: Spriger-Verlag. Ross, S. L. (1984). Differetial Equatio. Caada: Joh Wiley & Sos, Ic. AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215 Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari)

12 34 ISSN: X Pemafaata (Emi Nugroho Ratasari) AdMathEdu Vol.5 No.1 Jui 215