BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN EORI Pada bab ii aka dijelaska megeai ladasa teori yag aka diguaka pada bab pembahasa. eori-teori ii diguaka sebagai baha acua yag medukug tujua peulisa. Materi-materi yag aka dibahas atara lai persamaa dieresial sistem persamaa dieresial titik kesetimbaga liearisasasi aalisis kestabila ilai eige da vektor eige pemodela matematika model epidemi SIS (Susceptible-Iected-Susceptibe) da bilaga reproduksi dasar. A. Pemodela Matematika Pemodela matematika merupaka bidag matematika yag diguaka utuk mempresetasika da mejelaska sistem-sistem isik atau problem pada duia yata dalam peryataa matematika (Widowati da Sutimi 007:). Represetasi matematika yag dihasilka dari pemodela matematika disebut sebagai model matematika. Model matematika bayak dimaaatka dalam bidag studi yag lai. Meurut Widowati da Sutimi (007:) beberapa tahap dalam meyusu model matematika dapat diyataka dalam Gambar.. 8

2 Duia Real Duia Matematika Problem Duia Real Problem Matematika Membuat Asumsi Formulasi Persamaa/pertidak samaaa Solusi Duia Real Iterpretasi Solusi Peyelesaia Persamaa/Pertidak samaa Badigka Data Gambar. Proses Pemodela Gambar. meggambarka perumusa perilaku atau eomea di duia yata yag dibawa ke dalam betuk matematis dega meetuka asumsiasumsi yag tepat sesuai masalah yata sehigga dapat dibetuk suatu model matematika. Lagkah-lagkah dalam megkostruksi model matematika sebagai berikut: i. Idetiikasi Masalah Megidetiikasi masalah adalah megidetiikasi apa yag aka dikerjaka da diselesaika. Lagkah ii meliputi idetiikasi variabel- 9

3 variabel apa saja yag terlibat atau yag meggambarka eomea yag terjadi membetuk beberapa hubuga atara variabel-variabel ii. Mejabarka variabel-variabel da sistem mejadi model matematika. ii. Merumuska asumsi-asumsi Lagkah ii meliputi membuat asumsi tetag model matematika. Asumsi ii secara esesial mecermika bagaimaa proses berikir sehigga model dapat berjala. iii. Membuat ormulasi persamaa/pertidaksamaa Berdasarka variabel-variabel da asumsi-asumsi yag telah dibuat sehigga dapat dibetuk suatu persamaa atau pertidaksamaa yag meggambarka masalah yag ada dalam duia yata. Lagkah selajutya aka melibatka suatu usaha memormulasika persamaa atau sekumpula persamaa utuk meyelesaika hubuga ii. Lagkah ii merupaka lagkah yag palig petig. erkadag perlu adaya pegujia kembali asumsi-asumsi agar dapat dibetuk ormulasi yag sesuai sehigga dapat diselesaika da hasilya realistik. iv. Meyelesaika ormulasi persamaa/pertidaksamaa Setelah terbetuk ormulasiya lagkah selajutya adalah meyelesaika ormulasi tersebut. Perlu kehati-hatia da leksibilitas dalam proses pemodela secara meyeluruh. Seirig dega kemajua tekologi iormasi peyelesaiaya dapat diperoleh dega megguaka sotware matematika yag memudahka medaptaka solusi. 0

4 v. Megiterpretasika solusi matematis ke dalam duia yata Lagkah ii aka meghubugka peyelesaia ormulasi matematika ke problem duia yata. Ii dapat dilakuka dalam berbagai cara. Dari siilah aka dihasilka suatu kesimpula atau keputusa yag dalam peyelesaia masalah duia yata merupaka suatu hal yag sagat petig. B. Model Epidemi SIS Model matematika yag dibahas dalam tugas akhir ii adalah model matematika epidemik SIS. Kermack W.O da Mc Kedrick (Brauer 008: 4) meyataka secara umum model epidemik SIS. Model populasi SIS adalah model matematika utuk mediskripsika suatu peyakit dimaa pederita yag terieksi tidak memiliki kekebala imu utuk tercegah terjagkit peyakit tersebut kembali. Populasi dalam model matematika ii terbagi mejadi kelas yaitu kelas Susceptible (S) yaitu populasi yag sehat da reta terjagkit peyakit da kelas Iected (I) yaitu populasi yag terieksi suatu peyakit. Model ii megidetiikasika setiap idividu dari kelas susceptible yag terieksi setelah pulih aka kembali masuk ke kelas susceptible kembali. Model epidemik SIS terdiri dari S(t) yag meyataka populasi susceptible pada saat t da I(t) meyataka sebagai populasi iected saat t. Dideiisika parameter yag meyataka laju kotak atara populasi susceptible da populasi iected per satua waktu t. Parameter yag meyataka laju populasi iected yag sembuh per satua waktu. Diasumsika tidak ada kelahira da kematia alami tidak ada masa ikubasi setelah sembuh dari peyakit maka aka

5 kembali reta. Diagram traser model matematika SIS klasik ditujukka pada Gambar.. S(t) S(t)I(t) N I(t) I(t) Gambar. Diagram raser Model Epidemi SIS Gambar. meujukka laju perubaha S(t) proporsioal dega bertambahya laju kesembuha I(t) sebesar I(t) da berkuragya rata-rata setiap populasi dalam kelas susceptible yag melakuka kotak dega populasi iected per satua waktu t sebesar S(t)I(t). Jika N adalah jumlah total N populasi maka didapatka persamaa ds( t) S( t) I( t) It () (.) dt N Laju perubaha I(t) proporsioal dega bertambahya laju ieksi S(t) sebesar S(t)I(t) N da berkurag karea adaya laju kesembuha I(t) sebesar I(t). Jadi diperoleh persamaa di( t) S( t) I( t) It () (.) dt N Berdasarka Persamaa (.) da (.) maka dapat diperoleh model epidemi SIS yag ditujukka pada Sistem (.) berikut.

6 ds( t) S( t) I( t) It ( ) dt N di( t) S( t) I( t) It ( ) dt N (.) Sistem (.) di atas dilegkapi dega ilai awal S(0) = S 0 0 da I(0) = I 0 > 0 C. Persamaa Dieresial Model matematika peyebara peyakit diare berbetuk persamaa dieresial. Oleh karea itu salah satu teori yag aka dikaji dalam bab ii adalah Persamaa dieresial. Deiisi. (Ross 984:4) Persamaa dieresial adalah persamaa yag memuat turua dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaa dieresial diklasiikasika mejadi dua berdasarka jumlah variabel bebas yag terlibat yaitu persamaa dieresial biasa da persamaa dieresial parsial. Deiisi. (Ross984:4) Persamaa dieresial biasa yaitu suatu persamaa dieresial yag melibatka turua dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. Cotoh. Diberika beberapa cotoh persamaa dieresial biasa yaitu: du tu cost dt (.4a)

7 d e dt t (.4b) Berdasarka Deiisi (.) maka Persamaa (.4a) da (.4b) merupaka persamaa dieresial biasa karea melibatka satu variabel bebas yaitu t. Deiisi. (Ross 984:4) Persamaa dieresial parsial yaitu suatu persamaa dieresial yag melibatka turua dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas. Cotoh. Cotoh persamaa dieresial parsial: u u t 0 (.5a) u u t 0 (.5b) Berdasarka Deiisi (.) maka Persamaa (.5a) da (.5b) merupaka persamaa dieresial parsial karea melibatka dua variabel bebas yaitu da t. D. Orde Persamaa Dieresial Orde suatu persamaa dieresial dideiisika sebagai orde tertiggi dari turua yag terkadug dalam persamaa dieresial tersebut. Secara umum persamaa dieresial dituliska dalam betuk F( y y y y () ) = 0 (.6) Persamaa (.6) adalah persamaa dieresial orde ke-. Persamaa (.6) merepresetasika relasi atara peubah tak bebas. 4

8 Cotoh. dy. y 0 (Persamaa Dieresial orde ) d. d y dy 7 y 0 (Persamaa Dieresial orde ) dt dt E. Sistem Persamaa Dieresial Sistem persamaa dieresial adalah kumpula dari beberapa persamaa dieresial. Diberika vektor E E R dega = ( ) da E adalah himpua terbuka dari R. Fugsi ER dega = ( ) da C (E) dimaa C (E) adalah himpua semua ugsi yag mempuyai turua pertama yag kotiu di E. Jika = d dt meyataka turua pertama terhadap t maka sistem persamaa dieresial dapat dituliska mejadi = ( ) = ( ) = ( ) (. 7) = ( ) Sistem (.7) dapat dituliska mejadi = () (.8) 5

9 Berdasarka keliearaya sistem persamaa dieresial dibedaka mejadi dua yaitu sistem persamaa dieresial liear da sistem persamaa dieresial oliear.. Sistem Persamaa Dieresial Liear Sistem persamaa dieresial liear orde satu dapat mucul dalam masalah yag melibatka beberapa variabel tak bebas da variabel bebas t. Secara umum sistem persamaa dieresial liear orde satu diyataka dalam betuk sebagai berikut : = a (t) + a (t) + + a (t) + b (t) = a (t) + a (t) + + a (t) + b (t) (.9) = a (t) + a (t) + + a (t) + b (t) Jika setiap ugsi b (t) b (t) b (t) adalah ugsi ol maka Sistem (.9) disebut sistem persamaa dieresial liear homoge sedagka jika tidak berilai ol maka Sistem (.9) disebut sistem persamaa dieresial ohomoge. Notasi matriks Sistem (.9) dapat ditulis sebagai berikut: a (t) a (t) a (t) b (t) a [ ] = [ (t) a (t) a (t) b ] [ ] + [ (t) ] a (t) a (t) a (t) b (t) atau dapat diyataka dalam persamaa berikut X = A(t)X + B(t) (.0) dega 6

10 a (t) a (t) a (t) a A(t) = [ (t) a (t) a (t) ] a (t) a (t) a (t) b (t) b B(t) = [ (t) ] b (t) Cotoh. 4 Berikut diberika cotoh sistem persamaa dieresial liear. d 6 y dt dy y dt (.) Sistem persamaa dieresial (.) merupaka persamaa dieresial liear homoge.. Sistem Persamaa Dieresial No liear Deiisi. 4 (Ross 984:5) Persamaa dieresial oliear adalah persamaa dieresial biasa yag tidak liear. Suatu persamaa dieresial dikataka oliear jika memeuhi salah satu sebagai berikut (Ross 984:5). a. Memuat variabel tak bebas da/atau turuaya yag berpagkat selai satu. b. erdapat perkalia dari variabel tak bebas da/atau turua-turuaya. 7

11 c. erdapat ugsi trasedetal dari variabel tak bebas da turuaturuaya. Cotoh. 5 Diberika sistem persamaa dieresial oliear: d y dy 4 6y 0 d d dy y e d dy 4y y 0 d y (.a) (.b) (.c) a. Persamaa (.a) merupaka persamaa dieresial oliear karea terdapat variabel tak bebas yag berpagkat dua d d y da turuaya dy yag berpagkat dua. d. b. Persamaa (.b) merupaka persamaa dieresial oliear karea terdapat ugsi trasede (e y ). c. Persamaa (.c) merupaka persamaa dieresial oliear karea terdapat perkalia variabel tak bebas da turuaya dy y d. Sistem persamaa dieresial dikataka oliear jika persamaa dieresial yag membetukya merupaka persamaa dieresial oliear. Cotoh. 6 Diberika sistem persamaa dieresial oliear sebagai berikut 8

12 ds I SI S dt di SI I I dt (. ) Sistem (.) merupaka sistem persamaa dieresial oliear dega variabel bebas t da variabel tak bebas S da I. Sistem (.9) adalah sistem persamaa dieresial oliear karea memuat persamaa dieresial oliear yaitu terdapat perkalia dari variabel tak bebasya. F. itik Kesetimbaga itik kesetimbaga mejadi salah satu pembahasa dalam bab ii karea titik kesetimbaga diperluka dalam proses aalisis peyebara peyakit diare. itik kesetimbaga diguaka utuk megetahui ilai dari bilaga reproduksi dasar. Deiisi. 5 (Wiggis 00) Diberika Sistem persamaa dieresial = (). itik ε R disebut titik kesetimbaga dari = (). jika memeuhi ( ) = 0. Cotoh. 7 Aka dicari titik kesetimbaga dari Sistem (.) sebagai berikut I SI S SI I I Meurut Deiisi (.5) titik kesetimbaga (S I ) dari Sistem (.) dapat diperoleh jika ( ) = 0. Aka dicari titik kesetimbaga dari Sistem (.) sedemikia sehigga (S I ) = 0 da (S I ) = 0. 9

13 Dega ( S I ) I SI S ( S I ) SI I I Utuk (S I ) = 0 SI I I 0 I ( S ) 0 I 0 atau S a. Jika I = 0 disubtitusika ke persamaa (S I ) = 0 maka diperoleh I SI S 0 0 S0 S 0 S Jadi diperoleh titik kesetimbaga pertama yaitu (0). b. Jika S = β+μ α disubtitusika ke persamaa (S I ) = 0 maka diperoleh I SI S 0 I I 0 I I I 0 I 0 I 0

14 I Jadi titik kesetimbaga kedua diperoleh. Berdasarka hasil yag diperoleh dapat disimpulka bahwa Sistem (.) memiliki dua titik kesetimbaga yaitu (0) da. itik kesetimbaga dapat diklasiikasika mejadi dua yaitu titik kesetimbaga bebas peyakit da titik kesetimbaga edemik peyakit. itik kesetimbaga bebas peyakit adalah adalah kesetimbaga saat kelas terieksi ol atau saat peyakit tidak meyebar dalam populasi.itik kesetimbaga edemik peyakit adalah titik kesetimbaga saat kelas terieksi tidak ol atau saat peyakit meyebar dalam populasi. G. Nilai Eige da Vektor Eige Nilai eige diguaka utuk megetahui kestabila dari suatu sistem persamaa dieresial. Deiisi. 6 (Howard 997:77) A adalah matriks vektor tak ol didalam R diamaka vektor eige (eigevector) dari A jika A adalah kelipata skalar dari yaitu A =

15 utuk suatu skalar. Skalar diamaka ilai eige dari A da dikataka vektor eige yag bersesuaia dega. Utuk mecari ilai-ilai eige dari Matriks A yag berukura maka dapat dituliska kembali mejadi A = sebagai A = A = I (I A) = 0 (.4) Berdasarka Howard (997:78) meyataka agar mejadi ilai eige maka haruslah ada solusi tak ol dari persamaa tersebut dega I adalah matriks idetitas. Persamaa (.4) aka memiliki peyelsaia tak ol jika da haya jika I A = 0 (. 5) Persamaa (.5) diamaka persamaa karakteristik dari A da skalar yag memeuhi persamaa karakteristik (.5) adalah ilai eige dari A. Cotoh. 8 Diberika matriks A = [ 6 0 ] dega I = [ 0 ] aka dicari ilai eige da vektor eige dari Matriks A. Peyelesaia: a. Nilai eige dari Matriks A I A = [ 0 0 ] [ 6 6 ] = [ ] maka persamaa karakteristik dari A adalah

16 I A = 6 = dari persamaa karakteristik A adalah = 0 = 4 atau = 5 Jadi ilai eige dari matriks A adalah 4 atau 5. b. Vektor eige Matriks A Utuk = 4 [ ] [ ] = 0 [ ] [ ] = 0 = 0 Persamaa = 0 ekuivale dega = jika = s maka = s sehigga diperoleh = [ ] = [ ] s Jadivektor eige yag bersesuaia dega = 4 adalah [ ]. Utuk = 5 [ ] [ ] = 0 [ ] [ ] = 0 = 0 + = 0

17 Persamaa = 0 ekuivale dega = jika = t maka = t sehigga diperoleh = [ ] = [ ] t Jadi vektor eige yag bersesuaia dega = 5 adalah [ ]. H. Liearisasi Liearisasi diperluka karea betuk model matematika peyebara peyakit diare adalah persamaa dieresial oliear. Liearisasi adalah proses metrasormasi sistem persamaa dieresial oliear ke betuk persamaa dieresial liear. Proses ii dilakuka dega liearisasi disekitar titik kesetimbaga. Namu sebelumya aka dibahas terlebih dahulu megeai matriks Jacobia yag dijelaska dalam eorema. berikut. eorema. (Perko 00:67) Jika : R R terdieresial di 0 maka turua parsial i j dega i j = di 0 ada utuk semua R da D( 0 ) = ( 0 ) j. j j= Bukti: 4

18 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) j = ( 0 ) + ( 0 ) + + ( 0 ) j j= ( [ 0 ) ( ] [ 0 ) ( ] [ 0 ) ] ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) = ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) [ ] ( [ 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ] = D( 0 ) Matriks D( 0 ) disebut matriks Jacobia dari ugsi : R R yag terdieresial di 0 R. Utuk Selajutya D( 0 ) diotasika dega J( 0 ). Selajutya aka dijelaska megeai proses liearisasi dari sistem persamaa dieresial oliear mejadi sistem persamaa dieresial liear. Diberika Sistem (.8) yag merupaka sistem persamaa dieresial oliear. Misalka = adalah titik kesetimbaga Sistem (.8) maka pedekata liear Sistem (.8) disekitar titik kesetimbaga diperoleh dega megguaka deret aylor dari ugsi disekitar titik kesetimbaga = ( ) yaitu ( ) = ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + R 5

19 ( ) = ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + R ( ) = ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + R (. 6) ( ) = ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + R Karea ilai R R R R medekati 0 maka R R R R dapat diabaika. Oleh karea itu pedekata liear Sistem (.8) adalah = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) 6

20 7 (.8) ( ) + + ( ) ( ) (. 7) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) Apabila Sistem (.7) diubah dalam betuk matriks maka diperoleh Misalka y = y = y = sehigga diperoleh y y y y y y Matriks jacobia dari Persamaa (.8) adalah J = [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] Jika matriks Jacobia J memiliki ilai eige yag berilai tidak ol pada bagia realya maka siat kestabila sistem dapat dilihat dari

21 y = Jy (. 9) Persamaa (.9) disebut hasil liearisasi dari Sistem (.8). Deiisi. 7 (Perko 00:0) itik kesetimbaga R disebut titik kesetimbaga hiperbolik dari Sistem (.8) jika tidak ada bagia real ilai eige yag berilai 0. Jika titik kesetimbaga dari sistem mempuyai bagia real ol maka disebut titik kesetimbaga ohiperbolik. Cotoh. 8 Diberika Sistem persamaa dieresial oliear (.) seperti pada Cotoh (.6) ds I SI S dt di SI I I dt Sistem (.) mempuyai dua titik kesetimbaga yaitu 0 da. Matriks jacobia dari Sistem (.) sebagai berikut J ( I SI S) ( I SI S) S I ( SI I I) ( SI I I) S I I S I S Utuk E (S I ) = (0) 8

22 J (0) 0 Nilai eige dari J(0) diperoleh da Karea ilai eige utuk Sistem (.8) real da tidak ol sehigga titik kesetimbaga E (S I ) = (0) adalah titik kesetimbaga hiperbolik. Utuk E (S I ) = J I S I S ( ) ( ) 0 0 Nilai eige dari J diperoleh 0 9

23 ( ) 0 0 ( )( ) 0 idak terdapat bagia real ilai eige yag berilai ol maka titik kesetimbaga E (S I ) = adalah titik kesetimbaga hiperbolik. I. Aalisis Kestabila Aalisis kestabila dilakuka utuk megetahui apakah suatu peyakit meyebar atau meghilag dari suatu populasi sehigga dapat dilakuka tidaka lebih lajut. Deiisi. 8 (Olsder ad Woude 004: 57) Diberika sistem persama dieresial orde satu = () da (t 0 ) adalah solusi persamaa = () pada saat t dega ilai awal (0) = 0. (i) itik kesetimbaga dikataka stabil jika diberika ε > 0 terdapat δ(ε) > 0 sedemikia sehigga jika 0 < δ (dega. adalah orm pada R ) maka (t 0 ) < ε utuk t 0. (ii) itik kesetimbaga dikataka stabil asimtotik jika titik kesetimbagaya stabil da terdapat δ > 0 sedemikia shigga lim (t 0) = 0 asalka 0 < δ. (iii) itik kesetimbaga dikataka tidak stabil jika titik kesetimbaga tersebut tidak memeuhi (i). 0

24 Deiisi (.8) disimulasika pada Gambar.. stabil stabil asimtotik tidak stabil Gambar. Ilustrasi Kestabila Diberika pejelasa megeai siat kestabila suatu sistem yag dilihat dari ilai eige utuk mempermudah dalam megaalisis kestabila di sekitar titik kesetimbaga. Pejelasa tersebut dijelaska dalam eorema. berikut eorema. (Olsder ad Woude 004: 58) Diberika sistem persamaa dieresial = A dega A suatu matriks yag mempuyai k ilai eige berbeda k dega k. (i) itik kesetimbaga = 0 dikataka stabil asimtotik jika da haya jika e ( i ) < 0 utuk setiap i = k. (ii) itik kesetimbaga = 0 dikataka stabil jika da haya jika e ( i ) 0 utuk setiap i = k da jika setiap ilai eige i imajier dega dega e ( i ) = 0 maka multiplisitas aljabar da geometri utuk ilai eige harus sama. (iii) itik kesetimbaga = 0 dikataka tidak stabil jika da haya jika e ( i ) > 0 utuk setiap i = k. Bukti :

25 (i) Aka dibuktika bahwa jika titik kesetimbaga = 0 stabil asimtotik maka Re y i < 0 utuk setiap i =... k.. () Berdasarka deiisi (.0) titik kesetimbaga = 0 dikataka stabil asimtotik jika lim t (t 0 ). Hal ii berarti bahwa utuk t (t 0 ) aka meuju = 0. Karea (t 0 ) merupaka solusi dari sistem persamaa dieresial maka (t 0 ) memuat e Re(y i )t. Artiya agar e Re(y i )t meuju = 0 maka y haruslah berilai egati. () Aka dibuktika bahwa jika Re( y i ) < 0 utuk setiap =... k maka titik kesetimbaga = 0 stabil asimtotik. (t 0 ) merupaka solusi dari sistem persamaa dieresial maka (t 0 ) selalu memuat e Re(y i )t. Jika Re (y i ) < 0 maka utuk t (t 0 ) aka meuju = 0. Berdasarka deiisi (.0) titik kesetimbaga = 0 stabil asimtotik. (ii) Aka dibuktika bahwa jika titik kesetimbaga = 0 stabil maka Re y i 0 utuk setiap i =... k. () Adaika Re( y i ) > 0 maka solusi persamaa dieresial (t 0 ) yag selalu memuat e Re(y i )t aka meuju (mejauh dari titik kesetimbaga = 0) utuk t sehigga sistem tidak stabil. Hal ii sesuai dega kotraposisi peryataa jika titik kesetimbaga = 0 stabil maka Re y i 0 utuk setiap

26 i =... k. Jadi terbukti bahwa jika titik kesetimbaga = 0 stabil maka Re y i 0 utuk setiap =... k. () Aka dibuktika bahwa jika Re (y i ) 0 utuk setiap i =... k maka titik kesetimbaga = 0 stabil da jika ada Re(y i ) = 0 maka multiplisitas aljabar da geometri utuk ilai eige harus sama. (t 0 ) merupaka solusi dari sistem persamaa dieresial maka (t 0 ) selalu memuat e Re(y i )t. Jika Re (y i ) < 0 maka titik kesetimbaga = 0 stabil asimtotik (pasti stabil). Jika Re (y i ) = 0 maka ilai eige berupa bilaga kompleks muri. Multiplisitas aljabar berhubuga dega ilai eige sedagka geometri berhubuga dega vektor eige (Lueberger979:85). Aka dibuktika bahwa bayak ilai eige da vektor eige adalah sama. Ambil sebarag sistem pada R yag mempuyai ilai eige bilaga kompleks muri. Diambil sistem sebagai berikut [ y ] = [ 0 r y s 0 ] [y y ] dega r > 0 s > 0 (.9) a. Aka ditetuka ilai eige dari sistem (.9) A I = 0 [ 0 r s 0 ] [ 0 0 ] = 0 r [ s ] = 0 Diperoleh persamaa karakteristik

27 + rs = 0 (.0) Akar dari Persamaa (.0) adalah = ± 4rs = ±i rs = ±i rs = i rs atau = i rs b. Vektor Eige Berdasarka deiisi = ( ) adalah vektor eige dari A yag bersesuaia dega y jika da haya jika y adalah pemecaha trivial dari (A I)y = 0 r [ s ] [y y ] = [ 0 0 ] (.) Utuk = i rs maka Persamaa (.) mejadi i rs r [ s i rs ] [y y ] = [ 0 0 ] (.) Matriks augmeted dari sistem (.) yaitu i rs r [ s i rs 0 0 ] baris pertama dikali dega ( i rs) rs [ s i rs s 0 i rs 0 ] baris kedua dikali dega () kemudia s dikuragi dega baris pertama [ i rs s ] 4

28 diperoleh y + i rs s y = 0 y = i rs s y misal y = t maka y = i rs s t [ y y ] = [ i rs s t t] diambil t=- diperoleh [ y y ] = [ i rs s t ] Oleh karea itu vektor eige yag bersesuaia dega y = i rs adalah y = [ i rs s t] (iii) Aka dibuktika bahwa jika titik kesetimbaga = 0 tidak stabil maka Re y i > 0 utuk setiap i =... k () itik kesetimbaga tidak stabil jika utuk t solusi persamaa dieresial (t 0 ) aka meuju. Hal ii dapat terpeuhi jika Re y i > 0. () Diketahui bahwa jika Re y i > 0 maka solusi persamaa dieresial (t 0 ) yag memuat e Re(y i )t aka meuju. Oleh karea itu titik kesetimbaga = 0 tidak stabil. Disimpulka bahwa liearisasi diguaka utuk megetahui kestabila Sitem (.8) agar Sistem (.8) mejadi sistem liear = A dimaa A = J(( )) adalah matriks Jacobia. itik kesetimbaga ε R dikataka 5

29 stabil asimtotik lokal jika semua ilai eige matriks Jacobia mempuyai bagia real egati. J. Bilaga Reproduksi Dasar Bilaga reproduksi dasar adalah bilaga yag meyataka bayakya rata-rata idividu iekti sekuder akibat tertular idividu iekti primer yag berlagsug di dalam populasi susceptible. Bilaga repdroduksi dasar merupaka parameter peetu kestabila dari titik-titik kesetimbaga model da diotasika dega lambag R 0. itik kritis R 0 berkisar jika R 0 < maka rata-rata populasi yag terieksi berkurag atau meghilag dari populasi atau ieksi tersebut aka berkurag atau meghilag dari populasi. Jika R 0 > maka ieksi aka membesar atau meigkat pada suatu populasi. Bilaga reproduksi dasar dapat diperoleh dega meetuka ilai eige dari matriks jacobia pada titik kesetimbaga bebas peyakit. Cara lai dalam meetuka bilaga reproduksi dasar adalah dega megguaka metode matriks et geeratio. Pada metode matriks et geeratio R 0 dideiisika sebagai ilai eige terbesar dari matriks et geeratio. Formasi ii terdiri dari kelas dari model yaitu terieksi da tidak terieksi. Diasumsika terdapat kelas tidak terieksi da m kelas terieksi. Selajutya dimisalka sebagai subpoulasi kelas terieksi da y sebagai subpopulasi yag tidak terieksi da R da y R m utuk m N sehigga = φ i ( y) i ( y) dega i= m (. ) 6

30 y = j ( y) dega j= (.4) dega φ i adalah matriks dari idividu yag masuk da meambah bayakya idividu yag masuk ke kelas terieksi da i adalah matriks dari laju peigkata jumlah idividu yag keluar dari kelas terieksi yag meyebabka berkuragya jumlah idividu pada kelas terieksi. Dideiisika matriks et geeratio H dari Persamaa (.) da (.4) adalah H = PR (.5) dega da P = { φ i j } i j = m R = { i j } i j = Dideiisika bilaga reproduksi dasar sebagai ilai eige terbesar dari matiks et geeratio H adalah R 0 = ρ(h) = ρ (PR ). Cotoh. 9 Diberika sistem persamaa dieresial berikut ds( t) I( t) S( t) I( t) S( t) dt di( t) S( t) I( t) I( t) I ( t) dt (.6) 7

31 dega S(t) meyataka populasi idividu reta pada saat t I(t) meyataka populasi idividu terieksi pada saat t. Sistem (.6) mempuyai titik kesetimbaga bebas peyakit P 0 = (0). Matriks et geeratio dapat diperoleh dari kelas I sehigga kelas I dapat dituliska sebagai berikut I(t) = φ (S I) (S I) dega φ = [αs(t)i(t)] da = [βi(t) + μi(t) ]. Hasil liearisasi dari φ da masig-masig adalah P = αs (t) da R = β + μ. Matriks et geeratioya sebagai berikut H = PR = [αs (t)] [ β+ μ ] = [αs (t) β+ μ ] (.7) Subtitusika titik kesetimbaga bebas peyakit P 0 = (0) ke Persamaa (.7) diperoleh α H = [ β + μ ] maka diperoleh ilai R 0 dari Sistem (.7) adalah R 0 = α β + μ. K. Rumus Akar Kuadrat Persamaa kuadrat adalah persamaa pliomial orde dua. Betuk umum persamaa kuadrat adalah a + b + c = 0 8

32 dega a 0. Rumus akar kuadrat diguaka utuk meghitug akar-akar persamaa kuadrat yag bergatug pada ilai abc pade suatu persamaa kuadrat. Rumus yag dimaksud memiliki betuk = b ± b 4ac a Bukti: a b c 0 a b c b c a a b b c b a a a a b c b a a a b 4ac b a 4a 4a b b 4ac a 4a b b 4ac a 4a b b 4ac a 4a 9