Model Epidemi Sirs Dengan Time Delay. Ferdinand Sinuhaji 1

Transkripsi

1 Model Epidemi Sirs Dega Time Delay Ferdiad Siuhaji Abstrak Epidemi merupaka suatu keadaa berjagkitya suatu peyakit meular dalam populasi pada suatu tempat yag melebihi perkiraa yag ormal dalam periode yag sigkat. Peulisa ii membahas meuruka model epidemi SIRS dega time delay melalui model matematika berdasarka model epidemi SIRS (Susceptible, Ifective, Recovered, Susceptible). Model epidemi mempuyai dua titik kesetimbaga, yaitu adalah titik kesetimbaga bebas ifeksi peyakit da titik kesetimbaga edemi. Syarat da kestabila titik kesetimbaga ditetuka oleh bilaga (R ), yaitu ilai yag meetuka ada atau tidakya peyebara ifeksi peyakit pada suatu populasi. Hasil peelitia diketahui bahwa kesetimbaga bebas peyakit stabil global utuk semua > ketika jumlah bilaga R <. Dapat dikataka, time delay tidak dapat mempegaruhi kestabila kesetimbaga bebas peyakit. Dega kata lai, pegaruh time delay dapat diabaika utuk R <. Namu, ketika, R > kestabila kesetimbaga edemi aka dipegaruhi oleh time delay. Kata Kuci : Sirs, Model epidemi, Time delay Ferdiad Siuhaji, Mahasiswa S Matematika, FMIPA, Uiversitas Sumatera Utara, ferdiad_siuhaji@yahoo.co.id ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 78

2 Pedahalua Dalam kehidupa makhluk hidup ii bayak permasalaha yag mucul diataraya bayak peyakit meular yag megacam kehidupa. Sagat diperluka sistem utuk megotrol da megetahui peyebara peyakit meular tersebut salah satuya adalah model matematika yag dapat membatu da mempermudah peyelesaaia masalah tersebut. Meyelesaika masalah juga tidak mudah utuk meuruka model matematisya terutama utuk masalah yag cukup kompleks. Meskipu model matematisya sudah diperoleh amu masalah waktu da biaya biasaya juga mejadi kedala apabila megguaka model matematis tersebut. Model epidemi merupaka sistem persamaa diferesial dirumuska sebagai masalah ilai awal atau Iitial Value Problems (IVPs). Sehigga model diitegrasika terhadap waktu, yag dimulai dega awal yag ditetapka utuk kelaskelas populasi yag berbeda. Epidemi merupaka suatu keadaa berjagkitya suatu peyakit meular dalam populasi pada suatu tempat yag melebihi perkiraa yag ormal dalam periode yag sigkat. Bila peyakit tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat begitupu dega faktor peyebabya maka dikataka edemik, kemudia bila peyakit tersebut mempuyai ruag ligkup peyebara yag sagat luas maka disebut pademik. Model epidemik pertama kali mejelaska masalah peyebara peyakit adalah model SIR klasik yag dikemukaka oleh (Kermack da McKedrick, 97). Model ii terdiri atas tiga komparteme yaitu S (susceptible), I (ifective), R (recovered). Sejak (Kermack da McKedrick, 97) megusulka SIR klasik, pemodela matematika telah mejadi alat petig dalam megaalisis peyebara da pegedalia ifeksi peyakit. Upaya telah dilakuka utuk megembagka realistis model matematika utuk trasmisi ifeksi peyakit. Secara grafik dapat ditujuka model teori epidemik (Aderso da May, 99), sebagai latar belakag dari peelitia ii. Model teori epidemi utuk peyakit diilustrasika pada gambar dibawah ii Gambar. Model epidemi sirs Model SIRS meggambarka bahwa idividu yag terifeksi peyakit (Ivected), kemudia sembuh (Recovered), setelah sembuh, idividu memperoleh kekebala semetara terhadap peyakit tersebut. Seirig berjala waktu kekebala tersebut meghilag atau berkurag, megakibatka idividu yag reta terserag peyakit tersebut dapat kembali terifeksi peyakit yag sama. Sistem persamaa diferesialya mejadi : ds SI R, () di SI VI, () ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 79

3 dr VI R (3) Peelitia ii membahas bagaimaa meuruka model matematisya utuk epidemi SIRS dega time delay sehigga meghasilka model epidemi, dari model epidemi tersebut aka terbetuk suatu sistem persamaa diferesial. Dari persamaa diferesial yag sudah terbetuk tadi dapat dicari titik kesetimbaga bebas peyakit da titik kesetimbaga epidemi kemudia megaalisis kestabilaya. Kemudia megidetifikasi apakah time delay tersebut mempegaruhi atau tidak mempegaruhi stabilitas pada kesetimbaga bebas peyakit da pada kesetimbaga edemi peyakit dega memodifikasi pada diamika trasmisiya. Sistem persamaa diferesial Autoomous (Boyce da Diprima (() Misalka suatu persamaa diferesial autoomous diyataka sebagai berikut m = Y (x) (4) Dega Y adalah fugsi kotiu berilai real dari x da mempuyai turua parsial kotiu. Pada persamaa () disebut persamaa diferesial autoomous karea tidak medatagka t di dalam. Sistem persamaa difresial (Waluya (6)). Persamaa diferesial adalah persamaa matematika utuk fugsi satu variabel atau lebih yag meghubugka fugsi itu sediri da turuaya dalam berbagai orde. Selai itu persamaa diferesial juga didefiisika sebagai persamaa yag memuat satu atau beberapa turua fugsi yag tidak diketahui Jeis-jeis persamaa diferesial dapat dibedaka mejadi dua jeis yaitu persamaa diferesial biasa da diferesial parsial. Sedagka persamaa diferesial dilihat dari betuk fugsi atau pagkatya juga dibedaka mejadi dua yaitu persamaa diferesial liear da persamaa diferesial oliear. Persamaa diferesial liear adalah jika memeuhi dua hal yaitu pada variabelvariabel terikat da turuaya palig tiggi berpagkat satu da tidak megadug betuk perkalia atara sebuah variabel terikat dega variabel terikat laiya atau turua yag satu dega turua laiya atau variabel terikat dega sebuah turua. Persamaa diferesial oliear adalah persamaa diferesial yag buka merupaka persamaa diferesial liear. Pada istilah dega liear berkaita dega keyataa bahwa tiap suku dalam persamaa diferesial itu, peubah-peubah y,y,...,y m berderajat satu atau ol Betuk umum dari persamaa diferesial liear orde- adalah : a x ) y a ( x ) y a ( x ) y f ( ) ( x Pada persamaa diferesial F(x,y,...,y m ) = adalah merupaka persamaa diferesial oliear, jika salah satu dari berikut di peuhi F : F tidak berbetuk poliom, dalam y,y,...,y m da F tidak berbetuk poliom berpagkat lebih dari dua dalam y,y,...,y m. (Waluya, 6). Titik kesetimbaga da kestabila (Haberma (987)) Dega megguaka titik kesetimbaga maka suatu sistem dapat lebih memudahka utuk ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 8

4 megamati perilaku kestabilaya. Berikut ii adalah defiisi titik kesetimbaga. Defiisi Titik kesetimbaga adalah sebuah keadaa dari suatu sistem yag tidak berubah terhadap waktu. Jika sistem diamika dituagka dalam betuk persamaa diferesial maka titik kesetimbaga dapat diperoleh dega megambil turua pertama yag sama dega ol. Suatu titik mˆ disebut titik kesetimbaga dari sistem persamaa m = F ( x ), R R jika memeuhi persamaa ( m ). f f, ) ) dimaa f ( x ) Dalam.. f f ( m ( m ( m, m, m, m,..., m,..., m,..., m ) sistem epidemologi dikeal titik kesetimbaga bebas peyakit da titik kesetimbaga edemik. Titik kesetimbaga bebas peyakit adalah dimaa sudah tidak ada lagi peyakit yag meyerag dalam populasi sedagka titik kesetimbaga edemik adalah dimaa peyakit selalu meetap dalam populasi. Berikut ii adalah defiisi kestabila titik kesetimbaga meurut (Guckeheimer da Holmes (983)). Defiisi Kestabila titik kesetimbaga dari sistem m Fx da m adalah titik asal.. Kestabila disebut stabil, jika utuk setiap terdapat ( ) sedemikia sehigga utuk setiap m R dega m m, solusi ( t, m ) dari F ( x ) yag melalui pertidaksamaa setiap t. m di t = memeuhi ( t, m ) m utuk. Kestabila disebut stabil asimtotik, jika stabil da terdapat b m, sedemikia higga ( t, m ) m saat t utuk semua m yag memeuhi m m b. 3. Kestabila disebut tidak stabil, jika terdapat suatu sedemikia sehigga utuk sebarag terdapat sebuah m dega m m da t sedemikia higga ( t, m m. ) Pada defiisi, dapat ditarik kesimpulaya bahwa sistem m F ( x ) disebut stabil pada titik kesetimbaga kestabila jika pada kodisi awal ( m ) berada di sekitar kestabila sejauh, dega adalah bilaga positif terkecil maka sifat solusi sistem ( t, m )) berada di sekitar kesetimbaga kestabila. Jika kodisi awal berada sagat dekat dega kestabila da solusi sistem cederug medekati titik kesetimbaga kestabila, maka sistem disebut stabil asimtotik. Jika sifat solusi mejauh dari titik kesetimbaga kestabila akibat perubaha kecil pada kodisi awal maka sistem disebut tidak stabil. Teorema (Fiizio da Ladas (98)) Jika matriks A pada sistem persamaa () adalah matriks koefisie dega ilai eige ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 8

5 ,,...,, disebut maka titik kesetimbaga m, adalah poliom yag diamaka poliom karakteristik dari A. Bilaga reproduksi dasar ( R ). Stabil, jika ( ), i,,3...,. Stabil asimtotik, ( ), i,,3..., 3. Tidak stabil, ( ), utuk suatu s s Pada teorema () dapat diperguaka utuk meetuka kestabila lokal suatu titik kesetimbaga. Titik kesetimbaga yag stabil atau stabil asimtotik haya pada suatu daerah tertetu dalam ligkup solusi sistem dikataka stabil lokal atau stabil asimtotik. Titik kesetimbaga dikataka stabil global atau stabil asimtotik global jika titik kesetimbaga tersebut atau stabil asimtotik pada setiap ligkup solusi sistem. Nilai eige da vektor eige Dalam hal ii, peulis megaggap bahwa R. Dega megguaka time delay sebagai bifurkasi sebagai parameterya. (Ato ( 998)) Jika A adalah matriks x, maka vektor takol x didalam R diamaka vektor eige dari A jika Ax adalah kelipata skalar dari x yaitu, Ax = x (5) Supaya mejadi ilai eige, maka harus ada peyelesaia takol dari persamaa ii. Sehigga aka mempuyai peyelesaia tak ol jika da haya jika det( ( I A ) (6) Persamaa (5) diamaka persamaa karakteristik A, Skalar yag memeuhi persamaa ii adalah ilai eige dari A. Bila diperluas, maka determia det( I A ) (Hethcote ()) Utuk megetahui tigkat peyebara pada suatu peyakit diperluka suatu parameter tertetu. Parameter yag biasa diguaka dalam masalah peyebara peyakit adalah bilaga reproduksi dasar. Kemugkia terjadiya ifeksi pada suatu populasi tergatug pada bilaga reproduksi. Bilaga reproduksi dasar ( R ) adalah potesi peulara peyakit pada populasi reta merupaka rata-rata jumlah idividu yag terifeksi secara lagsug oleh seseorag pederita selama masa peularaya bila termasuk dalam populasi yag seluruhya masih reta. (Liu (3)) R adalah ilai yag meujukka apakah peyebara peyakit mejadi epidemi atau tidak epidemi pada suatu populasi. R (7) d ( d b ) Bilaga reproduksi dasar merupaka parameter yag petig dalam matematika epidemilogi yag merupaka ambag batas (threshold) terjadiya peyebara peyakit. Bilaga ii diperoleh dega cara meetuka ilai eige matriks jacobia pada titik keseimbaga bebas peyakit (disease free equilibrium) da titik keseimbaga edemik (edemi equilibrium). Model Epidemi (Lowe da Kostrzewski (973)) Ilmu yag membahas megeai peyebara peyakit disebut epidemiologi. Epidemiologi ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 8

6 adalah studi tetag faktor yag meetuka frekuesi da distribusi peyakit pada populasi mausia. Epidemi adalah peyakit yag timbul sebagai kasus baru pada suatu populasi tertetu, dega laju yag melampaui perkiraa. Suatu ifeksi dikataka sebagai edemik pada suatu populasi jika ifeksi tersebut berlagsug di dalam populasi tersebut tapa adaya pegaruh dari luar. Suatu ifeksi peyakit dikataka sebagai edemik bila setiap orag yag terifeksi peyakit tersebut meularkaya kepada tepat satu orag lai. (Kermack da McKedrick 97)) Model epidemi adalah merupaka suatu model matematika yag dapat diguaka utuk melihat laju peyebara peyakit. Kodisi epidemi terjadi ketika ada salah satu idividu reta pada populasi tersebut, maka populasi tersebut memiliki peluag mejadi populasi reta, da kemugkia besar ifeksi tersebut aka mewabah pada populasi tersebut. Sehigga pada akhirya seluruh idividu dalam populasi berpeluag terifeksi. Pada dasarya model epidemi pada peyakit memiliki tiga komparteme, yaitu Susceptible, Ivected, Recovered, yag didefiisika :. Susceptible, yaitu idividu yag sehat dapat terifeksi.. Ivected, yaitu idividu yag terifeksi memugkika utuk meularka peyakit. 3. Recovered, yaitu seseorag yag memiliki kekebala karea telah terifeksi, da dapat sembuh. Sehigga, model epidemik suatu peyakit dapat dituliska dalam betuk : ds a (S,I,R), di b (S,I,R), dr c (S,I,R). (8) Dega S r, I ; h ( X,, ). s, R ; r, s, Dalam model epidemi misalka S r, s, ( X,, ) adalah titik kesetimbaga bebas peyakit dari sistem persamaa (8), yag didapatka dari persamaa a ( S, I, R ), b ( I,, ), c ( R,, ). Kemudia diasumsika persamaa b ( S, I, R ) sehigga diperoleh solusi Y ( S, I ). Oleh karea itu dapat diperoleh sebuah matriks x, h ( S, ( S S, ), ). Misalka dapat dituliska dalam betuk K L, Dega K, ( d ) da, i j L adalah matriks diagoal. Memodifikasi diamika trasmisi (Huitao et al (3)) dalam peelitiaya pada dampak media coverage memodifikasi diamika trasmisi mejadi seperti berikut : g ( I ( t )) I ( t ), (9) m ( t ) ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 83

7 di maa adalah time delay yag mewakili periode late media coverage. Sehigga model dapat dimodifikasi mejadi ds ( t ) I ( t ) b ds ( t ) { } S ( t ) I ( t ) R ( t ), m ( t ) di ( t ) I ( t ) { } S ( t ) I ( t ) ( d ) I ( t ), m ( t ) dr ( t ) I ( t ) ( d ) R ( t ) () Peulis memodifikasi diamika trasmisi mejadi seperti berikut, g ( I ( t )) I ( t ), m ( t ) di maa peulis medefiisika adalah time delay yag diartika sebagai waktu periode kesembuha dari idividu ivected sampai mejadi idividu recovered. Sehigga model dapat dimodifikasi mejadi ds ( t ) di ( t ) I ( t ) b ds ( t ) { } S ( t ) I ( t ) R ( t ), m( t ) () I ( t ) { } S ( t ) I ( t ) ( d ) I ( t ), m ( t ) () dr ( t ) I ( t ) ( d ) R ( t ) (3) Kemudia utuk megetahui pegaruh time delay pada sistem persamaa ()-(3) peulis megasumsika bahwa ilai awal sistem persamaa ()-(3) megambil betuk seperti berikut : S I, R, [, ], ( ) (4), 3 Titik kesetimbaga bebas Peyakit ( E ) Titik kesetimbaga bebas peyakit (disease free equilibrium) adalah suatu keadaa dimaa tidak terjadi peyebara peyakit dalam populasi. Pertama terlebih dahulu meetuka titik kesetimbaga bebas peyakit, misalka titik tersebut dituliska E S, I, ). Karea populasi bebas ( R dari peyakit maka I, yaitu suatu keadaa dimaa tidak terjadi ifeksi pada populasi. Utuk mecari titik kesetimbaga bebas peyakit dari persamaa ()-(3) dimaa. Kestabila lokal pada ( E ) Persamaa karakteristik dari persamaa ()-(3) pada ( E ) adalah yag setara dega b ( d )( d )( d ) (5) d Sehigga semaki mudah utuk diamati bahwa, ketika R, pada persamaa (5) memiliki tiga ilai eige egatif, maka berdasarka sifat stabilitas titik kesetimbaga ilai eige maka titik kesetimbaga ( E ) = (b/d,,) adalah stabil asimtotik lokal, ketika R, pada persamaa (5) memiliki satu ilai eige positif > da dua ilai eige egatif <, maka berdasarka sifat stabilitas titik kesetimbaga ilai eige maka titik kesetimbaga ( E ) = (b/d,,) adalah tidak stabil. Peulis megguaka teorema seperti berikut Teorema Utuk setiap time delay, peulis memperguaka. Titik kesetimbaga bebas peyakit ( E ) adalah stabil asimtotik lokal jika R. ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 84

8 . Titik kesetimbaga bebas peyakit ( E ) adalah tidak stabil jika R. Titik kesetimbaga epidemi ( E ) Titik kesetimbaga epidemi (edemic equilibrium) adalah dimaa didalam kodisi populasi terjadi peyebara peyakit yag hasilka dari ilai R yag didapatka dari ilai,,. Sebelum meetuka titik 3 kesetimbaga edemi pada model, diberika bilaga reproduksi dasar R meurut (Liu 3)), yag didefiisika sebagai jumlah idividu dalam populasi yag terifeksi baru yag diproduksi dari satu idividu terifeksi pada saat semua idividu reta. Laju satu idividu terifeksi meularka ke idividu reta adalah S. Aalisis kestabila titik kesetimbaga model Sirs Lemma 3. Pada, Peulis memperguaka :. Titik kesetimbaga bebas peyakit ( E ) dari sistem persamaa ()-(3) adalah stabil asimtotik global pada jika R.. Titik kesetimbaga edemik ( E ) dari sistem persamaa ()-(3) adalah tidak stabil asimtotik global pada R. Hasil da Pembahasa Peurua model epidemi SIRS dega time delay adalah sebagai berikut :. Laju perubaha populasi Susceptible per satua waktu dipegaruhi oleh laju pertambaha rekruitme pada populasi mausia (b). Populasi Susceptible sepajag waktu (t) aka berkurag akibat laju kematia alami pada Susceptible (ds)(t) da dipegaruhi kekuata peyebara ifeksi pada Susceptible da aka berkurag akibat adaya I / mi dega dipegaruhi time delay, da kekuata peyebara ifeksi dipegaruhi pada Recovered da berpegaruh laju atara idividu yag terjagkit peyakit mejadi idividu terifeksi kemudia idividu yag telah sembuh maka dapat ditulis ds ( t ) I ( t ) b ds ( t ) { } S ( t ) I ( t ) R ( t ), m ( t ). Laju perubaha populasi Ivected per satua waktu dipegaruhi oleh pertambaha populasi Ivected sepajag waktu (t) akibat kekuata peyebara ifeksi pada Susceptible da aka berkurag akibat dipegaruhi kekuata peyebara ifeksi pada Susceptible da aka berkurag akibat adaya I / mi dega dipegaruhi time delay. Bertambahya populasi Ivected per satua waktu dipegaruhi faktor laju kematia alami, laju kesembuha tiap idividu yag sakit mejadi idividu reta, laju kematia tiap idividu yag disebabka oleh peyakit pada populasi yag terifeksi peyakit Ivected ( d ) I (t) da laju perubaha yag reta mejadi terifeksi pada populasi Ivected, maka dapat ditulis di ( t ) I ( t ) { } S ( t ) I ( t ) ( d ) I ( t ), m ( t ) 3. Laju perubaha populasi Recovered per satua waktu dipegaruhi oleh pertambaha populasi Recovered per satua waktu merupaka akibat laju perubaha status dari terifeksi peyakit terhadap populasi Ivected ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 85

9 ( I )( t ) da berpegaruh atara idividu yag terjagkit peyakit mejadi idividu terifeksi kemudia idividu yag telah sembuh. Selai itu, berkuragya populasi Recovered per satua waktu dipegaruhi oleh laju kematia alami tiap idividu d pada populasi Recovered (t) da laju kehilaga kekebala tiap idividu terhadap peyakit da aka kembali mejadi idividu reta peyakit, maka dapat ditulis dr ( t ) I ( t ) ( d ) R ( t ) Cotoh model matematika epidemi Sirs dega time delay Cotoh pertama da cotoh kedua membahas sistem persamaa epidemi SIRS dega time delay dega memperhatika kestabila titik kesetimbagaya. Cotoh ii bertujua memberika gambara megeai sistem persamaa epidemi SIRS dega time delay dega memberika da memperhatika ilai-ilai utuk masig-masig parameter sesuai dega kodisi ilai bilaga reproduksi dasar R dalam teorema-teorema yag telah diberika. Dalam peelitia ii diaalisis kesetimbaga da kestabila utuk dua kodisi, yaitu ketika R pada saat >, dimaa kesetimbaga bebas peyakit stabil karea time delay tidak dapat mempegaruhi kestabila kesetimbaga bebas peyakit da ketika R, kestabila kesetimbaga edemi aka dipegaruhi oleh time delay. Pada cotoh ketiga aka membahas model SIRS dega tapa time delay. Cotoh ii bertujua utuk memperbadigka model SIRS dega time delay da tapa time delay. Cotoh Jika R Perilaku sistem persamaa epidemi SIRS dega time delay diperlihatka dega pertama kali meetuka ilai parameterya. Nilai-ilai parameter adalah sebagai berikut dimaa ilai b =, d =,3,, 3,, 9, m = 4,,,,6,,. b Dega 667, sesuai dega (7), d peulis meghitug R,6896. Selai itu peulis medapatka titik kesetimbaga bebas peyakit E = (667,,). Dari teorema (), diketahui diketahui bahwa titik kesetimbaga bebas peyakit E adalah stabil asimtotik lokal utuk setiap saat time delay. Cotoh Jika R Perilaku sistem persamaa epidemi SIRS dega time delay diperlihatka dega pertama kali meetuka ilai parameterya. Nilai-ilai parameter adalah sebagai berikut dimaa ilai b =, d =,3,, 3,, 9, m = 4,,,,6,, b 667, d. Dega sesuai dega (7), peulis meghitug 6,8965 R. selai itu, peulis medapatka titik kesetimbaga bebas peyakit E = (667,,) da titik kesetimbaga epidemi = ( , 8.956, ) dari sistem E ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 86

10 persamaa ()-(3). Dega demikia dari teorema (), diketahui bahwa titik kesetimbaga bebas peyakit E adalah tidak stabil asimtotik lokal utuk setiap saat time delay da titik kesetimbaga edemik E adalah stabil utuk [,6.8649). Peutup Berdasarka hasil da pembahasa dalam peelitia ii meujukka bahwa kesetimbaga bebas peyakit stabil global demikia, tidak ada orbit periodik di kuadrat pertama. Utuk para peeliti selajutya, peeliti megharapka memberika ilai parameter dega meambah bebarapa parameter lagi. utuk semua ketika bilaga reproduksi dasar R. Dapat dikataka, time delay tidak dapat mempegaruhi kestabila kesetimbaga bebas peyakit. Dega kata lai, pegaruh time delay dapat diabaika utuk R. Namu, ketika, R kestabila kesetimbaga edemi aka dipegaruhi oleh time delay. Berdasarka Lemma bahwa sistem persamaa ()-(3) dega tidak memiliki solusi periodik otrivial. Catata bahwa I sumbu da R sumbu adalah berjeis tidak bervariasi da orbit sistem tidak salig berpotoga. Dega demikia, tidak ada solusi yag melitasi sumbu koordiat. Pada sisi lai, jika sistem memiliki periodik solusi, maka harus ada keseimbaga dibagia dalamya da E terletak di sumbu koordiat. Kemudia, peulis meyimpulka bahwa orbit periodik sistem harus terletak di kuadrat pertama. Dari Lemma, keseimbaga positif asimtotik stabil da global stabil di R 3, dega ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 87

11 Daftar Pustaka Aderso, R. M. ad May, R. M. (99). Ifectious Diseases Of Humas : Dyamics ad Cotrol. Oxford Uiversity Press, Oxford, UK. Ato, H. (998). Aljabar Liier Elemeter. Erlagga, Jakarta. Eatsu, Y. ad Messia, E. (). Global Dyamics of a Delayed SIRS Epidemic Model with Class of No Liear Icidece Rates. Applied Mathematics ad Computatio, Volume 8, No 9, Fiizio, N. ad Ladas, G. (98). Itroductio to Differetial Equatios with Differece Equatios. Mathematics Computig. Guckeheimer, J. ad Holmes, P. (983). Noliear oscillatio, dyamical systems, ad bifurcatios of vektor fields, Spiger, New York. Verlag. Hethcote, H. W. (). Mathematics of Ifectious Diseases, SIAM, Vol. 4, Haberma, R. (997). A Itroductio to Applied Mathematics, Mathematical Models, Pretice-Hall, Ic. Hale, J. ad Luel, S. (993). Itroductio to Fuctioal Differetial Equatios. Spriger, New York. USA. Huitao, Zhou. ad Yipig, Li. (3). A SIRS Epidemic Model Icorporatig Media Coverage with Time Delay. Discreate Dyamics i Nature ad Society, Volume 3, Hidawi publishig Corporatio. Karmack, W. O ad McKedrick, A. G. (97). A cotributio to the mathematical theory of epidemics. Proceedigs of the Royal Society of Lodo, Volume 5, Liu, W. (3). A SIRS epidemic model icorporatig media coverage with radom pertrubatio. Abstract ad Applied Aalysis, Volume 3, Article ID. Lowe, C. R ad Kostrzewski, J. (973). Epidemiology, A Guide to Teachig Method, Churchill Livigs toe. Waluya, S. B. (6). Persamaa Differesial Biasa. Graha Ilmu,Yogyakarta. ISSN Volume VI Nomor. Jauari Jui 5 88