STRATEGI VAKSINASI PULSE UNTUK MENGATASI EPIDEMI PENYAKIT CAMPAK BERDASARKAN MODEL SIR

Transkripsi

1 Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 STRATEGI VAKSINASI PULSE UNTUK MENGATASI EPIDEMI PENYAKIT CAMPAK BERDASARKAN MODEL SIR Nikeasih Biatari, M.Si., Emiugroho Rata Sari, M.Sc. Abstrak Berdasarka teori diamika populasi dalam ligkuga, dihipotesiska bahwa epidemi campak dapat dikedalika secara efisie oleh vaksiasi pulse yaitu dega pemberia vaksi secara periodik. Keadaa sistem dapat diaalisa dega model yag represetative terhadap perilaku sistem. Pegembaga model SIR dega melibatka parameter p, proporsi bayakya idividu yag tervaksi setiap periode waktu, diguaka sebagai model palig sederhaa. Berdasarka model yag diperoleh pada akhir peelitia dapat diaalisa bahwa epidemi campak dapat dikedalika jika proporsi p memeuhi 1 p 1 e p e mpt m. Hal ii berarti bahwa pemberia vaksi kepada idividu yag reta terhadap peyakit, secara berulag-ulag (dega periode tertetu), memugkika pembasmia kejagkita peyakit campak dari seluruh populasi. Kata Kuci: vaksiasi pulse, SIR, epidemi peyakit campak PENDAHULUAN Latar Belakag Masalah Campak adalah peyakit yag disebabka oleh ifeksi virus yag meular pada aak-aak, da terkadag juga meyerag orag dewasa. Peyakit ii ditadai dega demam tiggi, radag selaput mata, da bercak kemeraha pada kulit. Aak kurag gizi mudah terserag komplikasi yag fatal. Campak disebabka oleh Paramiksovirus. Peulara terjadi melalui percika ludah dari hidug, mulut, maupu teggoroka. Pederita bisa meularka peyakit dalam waktu 2-4 hari sebelum timbul ruam kulit da selama ruam kulit ada. Masa ikubasi hari sebelum gejala mucul. Sebelum vaksiasi campak diguaka secara meluas, wabah campak terjadi setiap 2-3 tahu, terutama pada aak-aak usia pra-sekolah da aak-aak SD. Jika seseorag perah mederita campak, maka seumur hidupya dia aka kebal terhadap peyakit ii. Data yag ada meyebutka, kematia akibat campak di duia yag dilaporka pada 2002 mecapai orag. Di egara-egara ASEAN terdapat orag meiggal akibat campak da 15 % ( orag) diataraya berasal dari Idoesia. Setiap tahu diperkiraka aak Idoesia meiggal karea komplikasi yag diakibatka campak. Hal ii berarti, kira-kira ada 1 aak yag meiggal setiap 20 meitya (Depkes RI, 2007). Baik lagsug maupu tidak lagsug, peyakit campak merupaka salah satu peyakit yag dapat megakibatka kematia. Pemeritah Idoesia telah melakuka beberapa upaya utuk mereduksi kematia, salah satuya yaitu dega pemberia imuisasi campak. Di Idoesia, program imuisasi campak telah dimulai sejak 1984 dega kebijaka memberika 1 dosis pada bayi usia 9 bula. Pada awalya cakupa campak sebesar 12,7 perse di tahu 1984, kemudia meigkat sampai di atas 80 perse pada tahu 1990 da seterusya bertaha di atas agka tersebut sampai Pemberia vaksi pada bayi usia 9 bula ii berdasarka atas kosep lama strategi imuisasi waktu kosta. Meskipu pemberia imuisasi telah diberika, bahka dega dosis yag semaki tiggi, perkembaga peyakit campak masih belum dapat dikedalika. Bahka, idividu yag telah divaksi masih dapat terifeksi campak. Strategi yag baru utuk megedalika peyakit campak kemudia dikemukaka, yaitu dega pemberia vaksi secara periodik, yag dikeal dega M-223

2 Nikeasih, Emiugroho/ Strategi Vaksiasi Pulse strategi vaksiasi pulse. Strategi ii diguaka utuk mempercepat reduksi perkembaga peyakit campak. Harapaya strategi ii dapat meghilagka kemugkia terjadiya epidemi atas peyakit campak. Strategi ii didasarka atas sugesti bahwa peyakit campak dapat dikedalika secara efektif ketika proses alami yag bersifat semetara ditimbulka oleh proses lai yag bersifat semetara pula. Dalam peelitia ii, aka dirumuska pembetuka model matematika berdasarka model SIR dega pemberia vaksi secara periodik pada populasi kelas reta. Selajutya aka diaalisa titik ekuilibrium da kestabila di sekitar titik ekuilibrium sehigga dapat disimpulka megeai keefektifa pemberia vaksi secara periodik tersebut kepada kelas reta. Idetifikasi masalah Berdasarka latar belakag masalah diatas, dapat diidetifikasi beberapa masalah. Adaya perbedaa yag sigifika atara strategi vaksiasi pada peyakit campak. Pada strategi kovesioal, idividu yag baru saja lahir tidak mempuyai pera dalam meyebarka peyakit campak. Pemberia vaksi campak dilakuka pada bayi usia 9 bula da vaksi haya dilakuka satu kali seumur hidup. Berbeda dega strategi kovesioal, strategi vaksiasi pulse didasarka bahwa aak usia sekolah, retag usia 5 tahu 16 tahu mempuyai peraa besar dalam meyebarka peyakit campak. Oleh karea itu diperluka pemberia vaksi secara periodik pada idividu. Pada peelitia kali ii, aka diuji keberhasila vaksiasi pulse dari segi matematisya. Aalisa keberhasila didasarka atas perilaku sistem dalam model yag dibagu. Rumusa Masalah Dari idetifikasi masalah tersebut, dapat dirumuska masalah megeai faktor yag diperluka agar pemberia vaksi secara periodik terhadap idividu yag reta terhadap peyakit campak efektif utuk dilakuka, sehigga dapat meguragi keterjagkita terhadap peyakit campak. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Dalam peelitia ii, aka dikostruksi suatu model matematika yag represetative terhadap pola peyebara peyakit campak khususya pada aak usia dii dega batasa, asumsi, da parameter yag didefiisika. Sistem Diamika Model SIR pada Peyakit Campak dega Vaksiasi Pulse Pembagua model dimulai dega megklasifikasika idividu dalam populasi mejadi tiga kelas Kelas reta (susceptible/s), yaitu kelompok idividu yag sehat tetapi dapat terifeksi peyakit Kelas terifeksi (ifected/i), yaitu kelompok idividu yag terifeksi peyakit da dapat sembuh dari peyakit Kelas sembuh (removed, recover/r), yaitu kelompok idividu yag telah sembuh dari peyakit Sesuai dega kodisi pada peyabara peyakit campak, model SIR kemudia dibatasi oleh asumsi-asumsi berikut ii : Populasi tertutup, dalam arti tidak ada kelahira, kematia da migrasi. Jumlah populasi kosta N. Haya meular apabila terjadi kotak lagsug dega pederita. Idividu yag sembuh mempuyai kekebala permae, dalam arti setelah sembuh idividu tidak bisa mejadi reta lagi. Masa ikubasi sagat sigkat. Laju keaika jumlah idividu di kelas I sebadig dega jumlah idividu kelas S da I yaitu SI. Laju peurua jumlah idividu kelas S juga SI. Laju keaika jumlah idividu pada kelas R sebadig dega jumlah idividu kelas I yaitu I. Laju kelahira da kematia diasumsika sama yaitu m yag artiya harapa hidup adalah 1/m. Model SIR klasik sebelum adaya vaksiasi yag sesuai dega asumsi diatas adalah M-224

3 dimaa S t I t R t utuk setiap t. N Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 mn I ms, IS mi I, I mr (4.1) Aalisa pada model tersebut bergatug pada ilai basic reproductio umber M-225, yaitu bayakya idividu reta yag kemudia terifeksi jika beriteraksi dega pederita (dalam hal ii, pederita campak) da bayakya idividu yag reta, terifeksi, da sembuh mula-mula. Sistem Diamika (4.1) mempuyai dua titik kesetimbaga Jika bayakya idividu yag reta da idividu yag terifeksi disekitar (N,0) dega 1, artiya setiap iteraksi dega pederita tidak cukup kuat utuk megifeksi idividu yag reta, maka peyebara peyakit campak tidak aka mewabah da cederug meghilag. Kodisi ii kemudia dikataka stabil asimtotik disekitar titik kesetimbaga (N,0) jika 1. Oleh karea itu, pada titik kesetimbaga (N,0) peyakit campak tidak mewabah da cederug meghilag, maka titik kesetimbaga (N,0) disebut juga dega titik kesetimbaga bebas peyakit (free disease equilibrium poit). Jika bayakya idividu yag reta da idividu yag terifeksi disekitar m mn m m, dega 1, maka peyebara peyakit campak aka m mewabah tetapi tidak mecapai kepuaha. Bayakya idividu yag reta da idividu m mn m m terifeksi aka bergerak meuju ilai,. Kodisi ii kemudia m m mn m m juga dikataka stabil asimtotik disekitar titik kesetimbaga,. m Oleh karea terdapat idividu yag terifeksi pada titik kesetimbaga ii, maka titik kesetimbaga ii disebut dega titik kesetimbaga epidemic (epidemic equilibrium poit). Vaksiasi dalam peelitia ii haya diberika pada idividu yag reta terhadap peyakit. Idividu yag terifeksi peyakit maupu yag sudah sembuh tidak diberika vaksiasi. Pada vaksiasi kosta p bagia, yaitu vaksiasi yag haya diberika satu kali da diawal waktu, maka sistem diamika model SIR yag sesuai adalah 1 pmn I ms IS mi I I mr pmn (4.2) Skema dari vaksiasi pulse yaitu memberika vaksiasi sebesar p bagia dari semua idividu yag reta terhadap peyakit campak secara periodic setiap T tahu. Akibatya, bayakya idividu yag reta pada suatu periode berkurag sebayak p bagia dari idividu yag reta pada periode sebelumya. Misalka t adalah waktu dimaa vaksiasi pulse ke- dilakuka, maka peryataa pada kalimat sebelumya dapat diyataka dalam simbol matematika sebagai berikut S t 1 p S t (4.3)

4 Nikeasih, Emiugroho/ Strategi Vaksiasi Pulse dimaa t t T da adalah waktu sesaat sebelum vaksiasi pulse ke- atau 1 S t lim S t, 0 0 Diketahui sebelumya bahwa dalam vaksiasi pulse, vaksi diberika secara periodik pada idividu yag reta, oleh karea itu sistem diamika model SIR yag sesuai dega vaksiasi pulse adalah mn S SI p St (4.4) t t IS mi I I mr p St t t 0 0 Misalka setelah vaksiasi ke-, bayakya idividu yag terifeksi adalah 0, I t 0 t t, maka solusi bebas peyakit pada Sistem Diamika (4.4) dega vaksiasi pulse utuk bayakya idividu yag reta harus memeuhi memeuhi hubuga mn S pst 1 t t1 (4.5) dimaa S t p S t da t t T. Dari persamaa kedua pada Sistem Diamika (4.4) IS mi I diperoleh bahwa t Dari persamaa terakhir ii, kemudia diperoleh basic reproductio umber sebagai berikut S m Solusi Bebas Peyakit Tujua dari adaya vaksiasi pulse yaitu peyebara peyakit campak tidak mewabah da tidak ada idividu yag terifeksi peyakit ii. Oleh karea itu, peelitia ii haya aka difokuska pada titik kesetimbaga bebas peyakit saja. Titik kesetimbaga bebas peyakit ii kemudia disebut dega solusi bebas peyakit. Jadi, lagkah yag aka dilakuka pada peelitia ii adalah mecari titik kesetimbaga bebas peyakit pada model yag represetative terhadap perilaku peulara peyakit campak kemudia megaalisa perilaku sistem disekitar titik kesetimbaga bebas peyakit tersebut. Misalka F adalah pemetaa yag meyataka hubuga atara bayakya idividu yag reta sesaat setelah vaksiasi pulse ke-+1 dega bayakya idividu yag reta sesaat setelah vaksiasi pulsa ke-, maka S F * Titik tetap pada iterval waktu t t t utuk pemetaa F tersebut adalah S 1 m I 1 * 1 p N 1 p e 1 S (4.6) 1 1 pe e p 1 Oleh karea tujua peelitia adalah mecari bayakya idividu reta yag perlu divaksi dega vaksiasi pulse secara periodic sehigga tidak ada idividu yag terifeksi, maka titik tetap * S haruslah sama dega bayakya idividu mula-mula yag reta sesaat setelah vaksiasi * pulse ke-, atau S S. Dega demikia, solusi bebas peyakit pada Sistem Diamika (4.5) pada iterval waktu t t t adalah 1 1 S S m N M-226

5 Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 pe mtt N 1 e, t t t 1 1 p e S t 1 pe 1 N, t t 1 e p 1 I t 0 (4.7) Solusi bebas peyakit ii disebut juga dega titik kesetimbaga bebas peyakit. Aalisa Kestabila di Sekitar Titik Kesetimbaga Bebas Peyakit Selajutya aka diaalisa sifat kestabila Sistem Diamika (4.4) di sekitar titik kesetimbaga bebas peyakit. Misalka Kedua fugsi diatas merupaka fugsi oliear. Dega megguaka deret taylor di titik kesetimbagaya, maka diperoleh system persamaa diferesial liear ms S S I S m I (4.9) m S Matriks Jacobia yag bisa dibetuk dari Sistem (4.9) adalah 0 S m Aalisa kestabila dari sistem di sekitar titik kesetimbaga dapat dilakuka dega memperhatika ilai eige dari matriks jacobia, yaitu m m S Titik kesetimbaga bebas peyakit aka stabil asimtotik jika kedua ilai eige berilai egatif. Darisii dapat diambil kesimpula bahwa jika 1 maka kedua ilai eige berilai egative, yag berakibat bahwa sistem aka stabil asimtotik di sekitar titik kesetimbaga bebas peyakit jika basic reproductio umber berilai kurag dari satu. F S, I mn S SI p St t t GS, I IS mi I Proporsi Vaksiasi Pulse 1 0 Diperhatika Persamaa (4.6), * 1 pn 1 pe 1 S N 1 1 pe e p 1 Dalam hal ii epidemic campak dapat dikedalika jika proporsi p memeuhi 1 p 1 e 2 p e mpt m Artiya bahwa pemberia vaksiasi kepada idividu yag reta terhadap peyakit, secara berulag-ulag (dega periode tertetu), memugkika pembasmia kejagkita peyakit campak dari seluruh populasi. (4.8) M-227

6 Nikeasih, Emiugroho/ Strategi Vaksiasi Pulse KESIMPULAN da SARAN Kesimpula Sistem diamika model SIR yag sesuai dega vaksiasi pulse adalah mn S SI p St t t IS mi I I mr p St t t 0 0 Tujua dari adaya vaksiasi pulse yaitu peyebara peyakit campak tidak mewabah da tidak ada idividu yag terifeksi peyakit ii. Oleh karea itu, peelitia ii haya aka difokuska pada titik kesetimbaga bebas peyakit saja. Titik kesetimbaga bebas peyakit ii kemudia disebut dega solusi bebas peyakit. Berdasarka Sistem tersebut, diperoleh solusi bebas peyakit pe mtt N 1 e, t t t 1 1 p e S t 1 pe 1 N, t t 1 e p 1 I t 0 Selajutya, epidemic campak dapat dikedalika jika proporsi p memeuhi Artiya bahwa pemberia vaksiasi kepada idividu yag reta terhadap peyakit, secara berulag-ulag (dega periode tertetu), memugkika pembasmia kejagkita peyakit campak dari seluruh populasi Sara Peelitia ii masih jauh dari kata sempura. Utuk itu diperluka berbagai perbaika da pegembaga utuk peelitia selajutya. Salah satuya adalah dapat meghitug waktu maksimal utuk setiap periode vaksiasi sedemikia sehigga epidemic campak dapat dicegah. DAFTAR PUSTAKA 1 p 1 e p e mpt m [1] Brauer, Fred. Castillo-Chavez, Carlos Mathematical Models i Populatio Biology ad Epidemiology. Spriger-Verlag New York, Ic. [2] Depkes RI Peta Kesehata Idoesia Diakses melalui pada taggal 4 November [3] Kermack, W.O., ad Mc. Kedrick, 1927, A Cotributio to The Mathematical Theory of Epidemics, Proc. Roy. Soc. Lod. A, pp [4] Perko, L., 1991, Differetial Equatios ad Dyamical Systems, Spriger-Verlag, New York. [5] Shulgi, Boris. Stoe, Lewi. Agur, Zvia Pulse Vacciatio Strategy i the SIR Epidemi Model. Bulleti of Mathematical Biology M-228