REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL

Transkripsi

1 REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL Bahan Kuliah Prinsip Teknik Pangan Dosen : Prof. Dr. Purwiyatno Hariyadi Departemen Ilmu & Teknologi Pangan Fakultas Teknologi Pertanian IPB BOGOR REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL Tujuan Pembelajaran Mengetahui mampu melakukan operasi matematika tertentu serta aplikasi praktis beberapa operasi matematika Mahasiswa akan mengetahui dan memahami prinsip-prinsip matematika dan aplikasinya pada industri dan proses pengolahan pangan Mahasiswa akan mampu menyelesaikan persamaan matematika, menggambar dan membaca grafik, serta mengembangkan persamaan matematika dari persoalan nyata (kasus industri pangan) ITP0

2 MATEMATIKA DAN INJINIRING Pemecahan soal injinering memerlukan matematika!. Formulasi : ekspresikan soal dalam bahasa math... > harus tahu ttg hukum fisik dan injiniring. Pemecahan soal : gunakan operasi math yang tepat... > harus tahu hukum math. Interpretasi : pengembangan/penjelasan hubungan antara hasil matematika dan artinya secara fisik/nyata 4. Penyempurnaan :...> ulangi tahap, dan. Persamaan Aljabar Persamaan : Pernyataan (matematika) yang menunjukkan adanya kesamaan (equality equality) ) antara satu atau lebih ekspresi matematika Melibatkan variabel dan konstanta Contoh : konstanta y a + b; persamaan garis lurus variabel ITP0

3 Variabel...?! y Pers. jika... > y jika... > y 9-7 jadi, nilai y tergantung pada nilai... > y variabel dependen variabel independen Pers. dapat ditulis dalam bentuk lain : (/)y +(7/)... Pers. jika y > (/)(- 4) +(7/) jika y... > (/)() + (7/) Jadi, nilai tergantung pada nilai y... > variabel dependen y variabel independen UMUM :. variabel di sisi kiri persamaan variabel di sisi kanan persamaan. Waktu (t) hampir selalu dianggap sebagai variabel independen : variabel dependen : variabel independen Konstanta?! nilai tidak berubah beberapa konstanta : g : percepatan gravitasi (9.8 ms - ) N A : bilangan Avogadro ( atom/mol) Π : pi (.459) R k c o h : konstanta gas (8.4 Nm.mol -.K - ) : Konstanta Boltzmann (, JK J.K - ) : kecepatan cahaya di vacum (9979,50 m.s - ) : konstanta Planck (6, J.s) ITP0

4 Fungsi Persamaan Aljabar yang menjelaskan hubungan antara variabel independen dan satu atau lebih konstanta disebut Fungsi y f()... > dibaca : y merupakan fungsi (independen variabel) yf() dimana f() a + b... Pers. y a + b... Pers. 4 Pers. dan pers. 4 adalah identik. Contoh. V(t) (g/)t + V o Persamaan ini menyatakan suatu fungsi hubungan antara kecepatan pada waktu tertemtu (V t ), kecapatan awal (V o ), percepatan gravitasi (g), dan waktu (t). Konstanta?... g, Vo Variabel?... t, V(t) Mana variable independen? Mana variabel dependen?... t... V(t) Apakah kecepatan (V) merupakan fungsi suatu variabel?... ya, t ITP0 4

5 Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi Kedua sisi persamaan ekivalen! Prinsip Manipulasi : Lakukan operasi aritmatika di kedua sisi persamaan! penambahan atau pengurangan suatu angka atau variable... > lakukan pada kedua sisi persamaan : y a + b; y + b a + b + b y a + b; y - y a + b -y Pengkalian... > lakukan pada kedua sisi persamaan : k y k a + k b Pembagian... > lakukan pd kedua sisi pers : y/a + b/a Eponents : Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi a - n n a a a m n m a - n m ( a ) n a mn a m a n m n a + n a n a n m a m n a ITP0 5

6 Logaritma :Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi Log b c... > maka b c X > jadi : log 0 (00) Jika log >maka0 0 (0),... 0 Jika log 0 (.6) 0.5,... > maka Log X... > berarti log 0 0 X Ln X... > berarti log e X e tentang logarithma lagi : log XY log X + log Y log X n n log X X log log X - log Y Y PV nrt Contoh P tekanan (Pa)[](N.m - ) V volume (m ) n jumlah mol gas (mol) R konstanta gas (8.4 Nm.mol -.K - ) T suhu mutlak (K) Variabel? P, V. n dan T Isolasi variabel T dari lainnya (gunakan prinsip manipulasi) : lalu : jadi : PV (/n) nrt (/n) PV/n RT PV/n (/R) RT (/R) PV/nR T Jika diketahui nilai-nilai P, V dan n, maka dapat dihitung nilai T ITP0 6

7 Hitung suhu gas ideal jika diketahui : Contoh P 00 Pa; n mol, V 0 m dari persamaan terdahulu PV/nR T, maka : [(00 Pa)(0 m )]/[( mol)(8.4 Nm.mol - K - )] 60.8 K jadi T 60.8 K Contoh Lagi : y -5? Jawab : y + 5 (y + 5) / Persamaan Linier : Umum a a + a a n n b +a a n n b... a n n + a n a nn n b n ITP0 7

8 contoh : cari nilai,, lakukan dengan cara eliminasi variabel, dengan prinsip manipulasi pers aljabar!... pers () dan () dapat diselesaikan sbb: () () / / /... 6/44...dengan cara yang sama. dan dapat dipecahkan!... Lanjutkan! Persamaan kuadrat Salah satu variablenya dalam bentuk : a + b + c 0, a 0... Pers ini memberikan nilai ( dan ) b + a Jika b -4ac >0 >, bil riil b -4ac 0 >, bil riil b -4ac <0 >, bil kompleks, - b - 4 ac ITP0 8

9 Contoh : Pecahkan pers. berikut : + 5y -y y > kerjakan....kunci : 5± 55 y 7 Persamaan/Fungsi Linier dan non-linier Bentuk umum persamaan linier/garis lurus adalah : y a + b y variable dependen variable independen a konstanta (slope/tangen garis lurus) b konstanta (nilai y jika 0) Catatan : Sering pers linier tdk eksplisit dalam bentuk umum :... > perlu diatur supaya dalam bentuk tsb Bentuk linier adalah bentuk pers paling sederhana... > mudah interpretasinya! Pers yang tidak dalam bentuk tsb... > pers non-linier ITP0 9

10 Persamaan/Fungsi Linier dan non-linier Bentuk pers linier : y a +b... > formula titik-kemiringan kemiringan (point point-slope formula) Jika data linier, prinsip ini dapat digunakan sbb :. Pilih dua titik (P dan P) pada garis lurus. Kemiringan a dapat ditentukan : a [y -y ] / [ - ] dimana P (,y ) dan P (,y ). Titik potong (intercept intercept) ) pada sumbu-y; yaitu b adalah : y -y a (- ) atau y a + (y -a ) jadi b (y -a ) Grafik & Sistem Koordinat Koordinat Umum (cartesian) Sumbu tegak (vertical) dan horizontal kedua sumbu bisa merupakan cerminan variabel- variabel Contoh persamaan garis lurus : konstanta y a + b; variabel b y a slope ITP0 0

11 A Grafik & Sistem Koordinat Koordinat Umum (cartesian) 5 0 kedua sumbu bisa mempunyai skala yang sama kedua sumbu bisa mempunyai skala yang berbeda contoh : 00 B C 00 0 A : linier (skala dan y. > linier) B : Semi log (. > linier, y. > log) C : Log-log (skala dan y.. > log) 0 00 Contoh. Suatu indek pertumbuhan mikroorganisme, dinyatakan sebagai waktu generasi (g). Pada phase log, m.o. tumbuh mengikuti model berikut : NN N o [] t/g... (pers. ) Perhatikan data berikut : Jumlah (N) waktu pertumbuhan (menit) Tentukan waktu generasi (g) m.o. tsb! ITP0

12 Jawab :... Jika data tsb diplot pada grafik linier-linier, linier, akan diperoleh grafik sbb: umlah M.O. J Petumbuhan Mirkoorganisme Waktu (menit) Jawab :... Diketahui : N N o [] t/g... (pers. ) Bentuk log dari pers () adalah : log N log No + (t/g) log log N log No + (log)/g t artinya : plot antara log N dan t (atau plot N dan t pada kertas semilog) akan menghasilkan garis lurus dgn slope (log )/g 0.0/g mlah M.O. Ju Petumbuhan Mirkoorganisme Waktu (menit) Kemiringan : log log Berdasarkan model : kemiringan 0.0/g /48.7 g 4.66 menit! ITP0

13 Contoh Soal... Lagi! Waktu (menit) Jumlah m.o [] t/g Jika pertumbuhan m.o. tsb mengikuti model N N o [] tentukan waktu generasinya! Bandingkan! Jumlah M.O Pertumbuhan Mikroorganisme Waktu (menit) Skala dan y linier Pertumbuhan Mikroorganisme Jumlah M.O Waktu (menit) Skala linier, skala y log ITP0

14 Catatan ttg pembuatan grafik Grafik harus secara jelas menyajikan informasi yang dimaksudkan Nilai X dan Y yang tepat harus diperlihatkan pada kedua sumbu Garis-garis pada grafik harus jelas diidentifikasi Simbol-simbol (legend)) yang berbeda dapat digunakan untuk menunjukkan data-data t yang berbeda Judul grafik : jelas dan akurat Linierisasi...?! Sering persamaan non-linier dapat dibuat linier... > menjadi pseudo-linier Contoh : Apakah persamaan y - merupakan pers linier? Jika tidak, dapatkan dibuat dalam bentuk linier? Jawab : Pers y - adalah non-linier (dalam variable ) Tetapi dapat dibuat linier jika digunakan variabel baru; yaitu u, maka persamaan tsb menjadi :... > y u - ITP0 4

15 Contoh Persamaan berikut sering digunakan untuk menjelaskan tingkah laku viskositas fluida Herschel-Bulkley : τ τ o + Kγ n... Pers. 5 dimana τ : gaya geser (shear stress), (Pa), (Nm - ) τ o : gaya geser awal (yield stress), (Pa) n : indeks tingkah laku aliran, tak bersatuan K : indeks konsistensi (s n ) γ : laju geser (shear rate), (s - ) Apakah pers.5 tsb linier thd sumbu τ?... Tidak Jika tidak, dapatkah dibuat supaya linier??... ya... Yaitu dengan cara substitusi variable; variable u γ n maka akan diperoleh persamaan linier : τ τ o + Ku Pekerjaan Rumah... Kerjakan! Berikut adalah data hasil pengukuran yang menjelaskan hubungan antara gaya geser dan laju geser fluida suatu (τ τ o + Kγ ): gaya geser (τ )[] Pa laju geser (γ)[] γ)[]s Tentukan model matematika (τ τ o + Kγ ) yang cocok menggambarkan fulida tsb!...jawab : τ 4 Pa + (55 Pas)γ ITP0 5

16 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan... y a b... > log y log a + b log Log y Kemiringan b y ae b b... log a Log... > log y log a + b log e Log y Kemiringan b log e log a Metoda liniarisasi yang umum ditemukan... y... > /y b + a/ a + b /y esktrapolasi Kemiringan a / y -y y a + b + c... > - b + c + c b y - y - Kemiringan c b + c ITP0 6

17 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan... (kerjakan... PR) y a+b + c y ae b+c y -e -b y a + b y a + b Berbagai kondisi pers garis lurus : Kondisi persamaan garis lurus :. Sejajar sumbu-... > y konstan. Sejajar sumbu-y... > konstan. Melalui titik (,y ) kemiringan m 4. Titik potong sb-y (0,b) kemiringan m 5. Titik potong sb- (a,0) kemiringan m 6. Melalui titik (,y ) dan (,y ) 7. Melalui titik (sb- dan sb-y) (a,0) dan (0,b)... > y-y m(- )... > y m + b... > y m (-a)... >... > a y - + y y b y - - y ( - ) ITP0 7

18 Kalkulus : DIferensial Kemiringan : Δf() f(+ Δ) - Δ Δ f() f() f(+δ) ) f() Δ Jika, Δ adalah kecil mendekati nol, maka Δ f() adalah turunan f() Δ terhadap Δ f() Kalkulus : DIferensial Limit... >0 Δ... Jika f() maka df()/d Δ f() Δ df() d f( + Δ) - f() lim... >0 Δ Δ... Δ f() adalah turunan f() terhadap Δ limit f( + Δ) - f() Δ >0 Δ ( + Δ) -() lim... >0 Δ Δ... [ + Δ + (Δ) ] - () lim... >0 Δ Δ... lim [ + Δ]... >0 Δ..., jika Δ 0 Jadi, turunan f()... > df()/d atau df() d ITP0 8

19 Rumus Diferensiasi Umum d( n) d Konstanta d(a) 0 n n- Penjumlahan Pengkalian Pembagian Fungsi pangkat Fungsi eponensial Fungsi logaritma d[f() + g()] df() + dg() d[f()g()] f() dg() g() df() d[f()/g()] {g() df() - f() dg()} / [g()] d[f()] n n[f() n- df() d(a) f() (a) f() [df()] ln a d ln [f()] df()/f() d log [f()] df()/{f()(ln 0)} Maksimum dan Minimum Fungsi... Diketahui fungsi sbb : y dy/d + -6 Minimum/maksimum terdapat pada kondisi dy/d 0 jadi, ± - 4()( - 6), > - ;.5 Mana maksimum? Mana minimum?... > perlu dicari turunan kedua ITP0 9

20 Maksimum dan Minimum Fungsi... dy/d y d y/d untuk -, maka d y/d 4(- ) > titik dimana - merupakan titik maksimum; yaitu pada : (-) ) (-) y + - 6(-) untuk.5, maka d y/d 4(.5) > titik dimana.5 merupakan titik minimum; yaitu pada : (.5) (.5) y + - 6(.5) INTEGRAL : anti derivative dy/d 5 dy/d 4 dy/d -... > y 5 + C... > y + C... > y - + C ud : menunjukkan nj integral fungsi u() terhadap n + n + C n + cf()d c f()d (du dv) du + + dv du lnu + C u e au du e au + C a ITP0 0

21 Contoh : Pecahkan persamaan berikut : dy/d jawab : kalikan kedua sisi dgn d dy ( )d Integralkan kedua sisi persamaan tsb : dy ( 4 + 5)d y d 4 d + 5 d y C y C Integral tertutup y d y d ITP0

22 INTEGRAL TERTUTUP : mengukur luas daerah di bawah kurva, diantara dan f() f() d Beberapa Rumus Geometri penting Lingkaran A (πd )/4 πr C πd D πr Bola A πd V (4/)πr (πd )/6 Silinder A πrh πdh V πr h ITP0