JURNAL GAUSSIAN, Volume 1, Nomor 1, Tahun 2012, Halaman Online di:

Transkripsi

1 JURNAL GAUSSIAN, Volum, Nomo, Tahu 0, Halama Ol d: PEMBANGKITAN SAMPEL RANDOM MENGGUNAKAN ALGORITMA METROPOLIS- HASTINGS Ls Kua Iwat, Moch. Abdul Mukd, Rta Rahmawat 3 Mahasswa Juusa Statstka FSM Ustas Dpogoo,3 Sta Pgaja Juusa Statstka FSM UNDIP ABSTTRACT Gatg adom sampls ca b do dctly ad dctly usg smulato tchqus. Ths al pojct wll dscuss th pocss o gatg adom sampls ad stmat th paamts usg a dct smulato. Idct smulato tchqus usd th tagt dstbuto has a complcatd shap ad hgh dmso o dsty uctos. Mako Cha Mot Calo (MCMC) smulato s a soluto to do t. O o th algothms that s commoly usd s Mtopols-Hastgs. Ths algothm uss th mchasm o accptac ad jcto to gat a squc o adom sampls. I th ampl to b dscussd, Mtopols-Hastgs algothm s appld to gat adom sampls o Bta dstbuto ad also stmat th paamt alu o th Posso dstbuto usg a poposal dstbuto adom-walk Mtopols. Kywods: Mako Cha Mot Calo, Mtopols-Hastgs algothm, poposal dstbuto. PENDAHULUAN Sjaah polha sampl adom cukup pajag da mak, mula da plmpaa dadu, pmbaga katu atau caa sjs laya sampa pgguaa algotma dga batua sotwa (pagkat luak). Salah satu pa statsts (ahl statstka) adalah mmplaja bbaga posdu pgambla kputusa. Utuk mdapatka kputusa yag tbak hauslah dlakuka uj aldtas utuk posdu atau mtod statstka, salah satuya dga mcobaya pada data yag paamtya dktahu. Namu, adakalaya btuk dstbus posto tdak dapat dtlusu btuk ugs dstasya kaa mmlk dms tgg, shgga pdugaa paamtya dlakuka mgguaka algotma Mako Cha Mot Calo (MCMC). Pada algotma MCMC dstbus posto dktahu sbaga hasl kal ataa ugs lklhood (data sampl) dga ugs po (omas awal). Olh kaa tu, plu dkmbagka tkk yag btujua mmbagktka data dga sat-sat atau paamt yag dgka. Smulas sbaga salah satu tkk pmbagkta data mgalam pkmbaga yag cukup psat sg dga pkmbaga da pgguaa komput slama bbapa dkad yag lalu. Salah satu mtod smulas tdak lagsug, yatu algotma Mtopols-Hastgs. Algotma Mtopols-Hastgs mgguaka mkasm pmaa da polaka (accpt-jct) utuk mmbagktka basa sampl da suatu dstbus yag sult utuk dlakuka paka sampl scaa lagsug. Paka sampl mgguaka algotma Mtopols-Hastgs dapat dlakuka pada dstbus pobabltas apapu dga syaat bahwa dstas X dapat dhtug. Sampl adom yag dbagktka mgguaka algotma bayak dguaka msalya pada to ata mga waktu ata kdataga da aalss asal mga stmas olatltas da stmas tu dalam kotks Baysa yag dstbus postoya umt. Dalam tulsa aka djlaska pgguaa algotma Mtopols-Hastgs utuk mmbagktka sampl adom bdstbus bta da mgstmas paamt dstbus posso mgguaka mtod Bays.. TINJAUAN PUSTAKA Tjaua pustaka yag dguaka dalam tulsa adalah sbaga bkut:.. Vaabl Radom Vaabl mupaka kaaktstk suatu objk yag damat. Dalam sampl dapat dbuat bbapa aabl ssua kaaktstk objk yag damat. Pgamata thadap objk bsat adom, olh kaaya dsbut aabl adom.

2 Ds.. Vaabl adom X adalah ugs yag bla al yag ddska pada uag sampl S. X dapat dtulska sbaga X c, dga c mupaka stap hasl yag mugk pada S. (Ba da Eglhadt, 99) Ds.. Vaabl adom X dsbut aabl adom dskt jka hmpua smua la yag mugk mucul da X mupaka hmpua thtug (coutabl). (Ba da Eglhadt, 99) Ds..3 Vaabl adom X dsbut aabl adom kotu jka la X dapat mcakup smua la da suatu tal atau dkataka hmpua smua la yag mugk mucul da X da mupaka hmpua tak thtug (ucoutabl). (Ba da Eglhadt, 99).. Fugs Lklhood Fugs dstas bsama (jot dsty ucto) da aabl adom dyataka dalam btuk,...,, X,...,, X X yag,,..., ttap,,,..., dsbut sbaga ugs lklhood. Jka ugs lklhood adalah ugs da da sg dotaska sbaga L. Jka mwakl sampl adom da maka: L... (Ba da Eglhadt, 99).3. Dstbus Po Dstbus po adalah dstbus awal yag haus dttuka tlbh dahulu sblum mumuska dstbus postoya. Ds.3. Msal dalam mgstmas paamt tsda omas bahwa bubah ssua dga dstbus pluag tttu. Jad, adalah aabl adom yag mjala haga-haga ~,, 3,..., k dga dstbus pluag,..., k. j, j,,..., k dsbut dstbus po utuk ~ ~, dmaa,,..., k. (Sojot da Sobaa, 988) Muut Bo da Tao (973) dstbus po dklompokka mjad dua klompok bdasaka btuk ugs lklhoodya, yatu:. Bkata dga btuk dstbus hasl dtkas pola dataya dapat dbdaka mjad: a. Dstbus po skawa (cojugat), mupaka pmba btuk dstbus po yag skawa atau spola dga btuk dstbus da hasl dtkas pola dataya. b. Dstbus po tdak skawa (o-cojugat), mupaka pmba btuk dstbus po yag tdak skawa dga btuk hasl dtkas da dataya.. Bkata dga ptua masg-masg paamt pada pola dstbus po tsbut, dapat dbdaka mjad dua btuk yag bbda, yatu: a. Dstbus po omat mgacu pada pmba paamt da dstbus po yag tlah dplh bak dstbus po skawa atau tdak, pmba la paamt pada dstbus po ddasaka pada omas yag dpolh da dataya. b. Dstbus po o-omat, jka ptua paamt dstbus po tdak ddasaka pada data yag ada. JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 36

3 Ds.3. Salah satu btuk pdkata da po o-omat adalah dga mgguaka mtod Jy. Mtod myataka bahwa dstbus po mupaka aka kuadat da omas Fsh yag dyataka dalam: dmaa () mupaka la haapa omas Fsh. l () (Bg, 980).4. Dstbus Posto Dstbus posto adalah ugs dstas bsyaat jka dktahu la obsas da dapat dtulska sbaga bkut:, (3) Psamaa (3) mujukka bahwa ugs dstas bsyaat satu aabl adom jka dktahu la aabl adom kdua adalah ugs dstas bsama dua aabl adom tu, dbag dga ugs dstas magal aabl adom kdua. Ttap ugs dstas bsama, da ugs dstas magal pada umumya tdak dktahu, haya dstbus po da ugs lklhood yag basaya dyataka. Fugs dstas bsama da magal yag dpluka dapat dtuls dalam btuk dstbus po da ugs lklhood:, (4) mupaka dstbus po. Slajutya dmaa dktahu bahwa: mupaka ugs lklhood da d, d (5) Shgga da psamaa (3), (4) da (5), ugs dstas posto utuk aabl adom kotu dapat dtuls sbaga bkut: d (Sojot da Sobaa, 988).5. Mtod Baysa Pada mtod Baysa, s ddasaka pada dstbus posto juga dtulska sbaga,...,,...,,...,,...,. Da psamaa (5) maka: d, yag dapat JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 37

4 ,..., m Fakto pybut, yatu m,..., dumuska bahwa: m,...,,...,,...,,..., mupaka ugs lklhood magal da data, shgga dapat d Dalam mtod Baysa dkal suatu akto ksbadga utuk mtuka dstbus,...,, yatu: posto,...,,..., (6) Lambag myataka sat poposoal atau sbadg. Pada pspkt Baysa ugs lklhood mupaka ugs da pada data,..., shgga mgakbatka lm-lm lklhood yag tdak mgadug ugs mjad baga da ksbadga pada psamaa (6). Dga kata la, mlalu sat ksbadga dpolh bahwa dstas posto haya mgadug ugs yag mmuat. Pduga Bays utuk dpolh mlalu la haapa da,..., dapat dtuls sbaga: ˆ E,..., (Cogdo, 003).6. Mtod Mako Cha Mot Calo (MCMC) Mako Cha Mot Calo (MCMC) adalah sbuah agkaa mtod utuk mcptaka basa sampl adom yag basal da dstbus pluag, dga mmbagu ata Mako ssua dga dstbus tttu yag dgka. Mtod Mako Cha Mot Calo dwasa tlah bayak daplkaska d bbaga bdag utuk mylsaka bmacam-macam pmasalaha. Pmasalaha yag dbahas khususya yag tkat dga s Baysa, dmaa sgkal dtmu psoala dalam mdapatka suatu dstbus posto da juga dstbus po pada bbapa stud kasus. Algotma yag sg mgguaka mtod MCMC, yatu Mtopols- Hastgs da Gbbs Samplg. Dalam tulsa haya aka mmbahas algotma Mtopols- Hastgs (Walsh, 004)..6.. Algotma Mtopols-Hastgs (M-H) Pada awalya Mtopols dkk. mmomulaska algotma Mtopols dga mgalka ata Mako bdasaka mtod-mtod smulas yag dguaka dalam lmu pgtahua alam. Kmuda Hastgs mggalsas mtod tsbut yag tkal dga ama algotma Mtopols-Hastgs. Akhya, dptmbagka mjad omula umum utuk smua mtod MCMC. G lbh lajut mggalsas algotma Mtopols-Hastgs dga mgalka algotma Mtopols-Hastgs sbl jump utuk samplg da uag paamt dga dms yag bbda (Ntzouas, 009). Asumska dstbus tagtya adalah yag maa sampl yag dgka aka dbagktka dga ukua T. Algotma Mtopols-Hastgs dapat djlaska dga mgkut t lagkah-lagkah tas, dmaa adalah kto da la-la yag dbagktka d tas k-t da algotma: 0. Atu la awal.. Utuk t,..., T lakuka lagkah-lagkah bkut: a. Mgatu la t q q. b. Mmbagktka calo la yag bau da dstbus poposal JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 38

5 q m, da mmbagktka sampl adom ~ U0, c. Mghtug u. q t d. Mmpbau dga pluag pmaa da t t dga pluag. Jka u maka dtma sbaga aggota sampl da jka u maka la sblumya yag dtma sbaga aggota sampl. Algotma Mtopols-Hastgs aka kog k dstbus tagt tapa mmphatka apapu dstbus poposal q yag dplh. Baga algotma tsbut dapat dmplmtaska scaa lagsug pada kagka Baysa dga msubttuska dga paamt θ da dstbus tagt JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 39 dga dstbus posto θ. Pada s Baysa, gkasa algotmaya adalah sbaga bkut:. Mgatu la awal θ. Utuk t,..., T lakuka lagkah bkut : 0 a. Mgatu θ θ t. b. Mmbagktka la calo paamt θ da dstbus poposal θθ θ qθθ c. Mghtug m, θ qθ θ q. da mmbagktka sampl adom ~ U0, t d. Mmpbau θ θ dga pluag da u maka θ dtma da jka sampl. t ( t ) u. θ θ dga pluag. Jka θ yag dtma sbaga u la sblumya.6.. Dstbus Poposal Radom-walk Mtopols Dalam algotma Mtopols yag asl, haya dstbus poposal yag smts dga tp q q yag dphatka. Radom-walk Mtopols mupaka kasus khusus dga q q. Kdua kasus mghaslka pobabltas pmaa yag haya tgatug pada dstbus tagt, yatu: θ m, θ (7) q N, dga d ~ d Basaya dstbus poposal adalah omal multaat adalah dms da. Sla dstbus omal multaat, dstbus poposal yag dapat dguaka q ~ U,, mupaka sbuah kostata yag dttapka plt adalah uom dmaa la Kogs Algotma Ada bbapa caa utuk mmatau kogs algotma. Mtod yag sg dguaka, yatu:. Tac Plot Salah satu caa pdugaa bu- pod adalah dga mmksa tac plot la smulas da kompo (atau bbapa ugs laya) thadap jumlah tas. Tac plot mupaka gambaa sbuah plot da tas sus la yag tlah dbagktka. Sbuah t ak atau tuu pada la paamt pada tac plot mujukka bahwa bu- pod blum slsa. Jka t-t spt mucul, maka ptg utuk mghlagka baga awal da ata, kaa la-la awal tdak mujukka pkaa sampl yag ba da dstbus tagt. Dga kata la, jka smua la-la bada dalam sbuah daah tapa kpodka yag kuat da (scaa khusus) kcduga, maka dapat dasumska tlah tcapa kogs. S

6 . Autokolas Phata yag kdua pada aalss output algotma MCMC adalah tgkat autokolas pada la-la sampl. Utuk kdua algotma Mtopols-Hastgs da Gbbs samplg, la smulas pada tas k- t bgatug pada la smulas pada tas k-t. Jka pada ata tdapat kolas yag kuat d ataa la-la yag butu, maka kdua la butu tsbut mmbka omas haya scaa magal mga dstbus tagt da buka la da sbuah smulas tuggal. Kolas yag kuat d ataa tas yag butu mujukka bahwa algotma mash bada pada daah tttu da uag paamt da mugk mmbutuhka waktu yag lama utuk pyampla da ksluuha daah dstbus. Statstk yag umum dguaka utuk mguku tgkat ktgatuga dataa pgambla buuta pada ata adalah autokolas. Autokolas mguku kolas dataa t t L kumpula la-la smulas da, dmaa L mupaka jumlah slsh samplg da tas tpsah pada dua kumpula la-la. Utuk kompo tttu, ugs autokolas dapat dhtug sbaga ugs la-la yag bbda da slsh samplg. Utuk kompo, autokolas L dapat dduga dga: L T T L TL L T dmaa mupaka ata-ata da la-la smulas. Nla autokolas utuk slsh samplg aka hamp slalu mjad post utuk algotma M-H da Gbbs samplg. Bagamaapu, jka ata sdag bcampu dga cukup, la-la autokolas aka bkuag muju ol slama la slsh samplg dtgkatka. 3. Egodc Ma Plot Istlah godc ma mujukka la ma sampa dga cut tato. Egodc ma plot adalah plot ataa la ma d atas dga tasya. Jka godc ma stabl stlah bbapa tas, maka mupaka sbuah dkas kogs da algotma Pdugaa Paamt Pdugaa paamt basaya tjad utuk kasus-kasus s Baysa. Msalka θ,..., adalah sbuah kto paamt yag aka dduga laya. Dga mjalaka, p T sbuah algotma MCMC, la-la smulas θ,...,θ masg-masg tdstbus scaa ka-ka k dstbus posto θ. Pduga da paamt tsmulas, yatu: T t dpolh da la ata-ata da la-la sampl yag ˆ t,,..., p (8) T t dga adalah la-la tsmulas. Stlah dpolh dugaa paamt, phtuga ptg laya pada aalss output adalah mga stadad o. Salah satu mtod yag sdhaa da mudah dtapka utuk mghtug stadad o yatu mtod batch ma. T Mtod batch ma dlakuka dga mmbag lag uuta la-la smulas,..., mjad h klompok yag bukua w, shgga T h w. Utuk stap klompok dhtug ataata sampl, msal ata-ata klompok sampl adalah h,...,. Msalka bahwa, ukua sampl w tlah dplh cukup bsa shgga autokolas pada agkaa batch mas kcl, kataka d bawah 0, maka stmas stadad o ˆ dapat dduga dga stadad das da batch mas, yatu: JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 40

7 h l ˆ l B S ˆ (9) h h Stadad o sagat bgua utuk mtuka ktlta da ata-ata dstbus tagt yag dhtug pada smulas yag djalaka. Pada kjada tsbut, jka stadad o tlalu bsa, maka algotma MCMC sbakya djalaka kmbal mgguaka jumlah tas yag lbh bsa. (Johso da Albt, 999) 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Dua cotoh kasus sbaga lustas papa algotma M-H yag kt aka dbahas bkut. Cotoh ptama dambl kasus umum uaat da cotoh kdua dambl kasus Baysa uaat. 3.. Papa Algotma M-H utuk Pmbagkta Sampl Radom Bdstbus Bta Pada cotoh aka dbagktka sbuah sampl adom da populas yag bdstbus Bta a, b dga ugs dstas, sbaga bkut: a b a, b, 0 (0) a, b Pmbagkta sampl adom mgguaka algotma Mtopols-Hastgs plu mgguaka sbuah dstbus poposal. Dstbus poposal yag dguaka adalah omal dga ugs dstas, bkut : Btuk ugs dstas dstbus tagt bdasaka psamaa (0) utuk ~ Bta,6 adalah:,6,6 8!5! 7!, Pobabltas pmaa ssua psamaa (7), yatu: m, 5 4 m, 5 4 m, 5 5 JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 4

8 Pmbagkta sampl adom djalaka dga batua sotwa R mgguaka la awal 0 0,5, slsh samplg 0 da tas sbayak Bkut aalss kogs da output yag dhaslka: Gamba (a) Egodc ma plot da sampl yag dbagktka, (b) Tac plot da sampl yag dbagktka, (c) Plot autokolas da sampl yag dbagktka, (d) Hstogam da sampl yag dbagktka Pada Gamba tlhat bahwa godc ma plot sampl yag dbagktka tlah stabl mula tas k Pada tac plot-ya tlhat tdak mmbtuk suatu pola yag mujukka poss bu- tlah slsa. Bkutya pada plot autokolas tlhat bahwa la-la autokolas pada lag ptama mdkat satu da utuk slajutya bkuag muju 0. Bdasaka ktga macam plot tsbut dktahu bahwa algotma tlah kog. Gamba takh mupaka hstogam da sampl yag dbagktka mula da tas 9000sampa Sampl adom stlah kog tsbut duj mgguaka uj Kolmogoo-Smo da dpolh la statstk ujya D=0,03. Jad, sampl adom yag dbagktka basal da dstbus tagt, yatu dstbus bta. 3.. Papa Algotma M-H utuk Pdugaa Paamt pada Kasus Baysa Utuk mglustaska pgguaa algotma Mtopols-Hastgs dalam pdugaa paamt sbuah dstbus pada kasus Baysa, maka pada cotoh aka dduga paamt da populas jumlah bus juusa Jpaa yag masuk tmal Tboyo, Smaag. Populas tsbut dktahu bdstbus Posso yag mmlk ata-ata 4, 55 da ukua sampl yag dguaka 9. Fugs dstas dstbus posso, sbaga bkut: 0,,,... da 0! Dalam s Baysa, plu dktahu ugs lklhood sampl da dstbus po da paamtya. Fugs lklhood utuk dstbus posso, adalah:,...,...!!! Jka y!, maka ugs lklhoodya: y y! Slajutya, dstbus po da dapat dttuka mgguaka po kojugat da po o kojugat. Po o kojugat dapat dpolh dga mgguaka mtod Jy Po Kojugat utuk Dstbus Posso JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 4

9 JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 43 Po kojugat mupaka dstbus po omat utuk mmbka la paamt yag ddasaka pada omas yag dpolh da dataya. Po kojugat da dstbus posso adalah dstbus gamma, yatu:, ; ; 0, 0 Dstbus posto utuk dpolh sbaga bkut: 0, ;, ; d y y y,..., ; 0 (3) Dstbus poposal yag dguaka dalam cotoh kasus yatu adom-walk Mtopols dga dstbus, U dmaa 0,. Po kojugat yag dguaka yatu, Gamma. Pobabltas pmaa algotmaya bdasaka psamaa (7), yatu:,...,,...,, m, m, m Pmbagkta sampl adom djalaka dga batua sotwa R mgguaka la awal 0 0,5, slsh samplg 00 da tas sbayak Bkut aalss kogs da output yag dhaslka: Gamba (a) Egodc ma plot da sampl yag dbagktka, (b) Tac plot da sampl yag dbagktka, (c) Plot autokolas da sampl yag dbagktka, (d) Hstogam da sampl yag dbagktka Pada Gamba tlhat bahwa godc ma plot sampl yag dbagktka tlah stabl mula tas k Pada tac plot-ya tlhat tdak mmbtuk suatu pola yag mujukka poss bu- tlah slsa. Bkutya pada plot autokolas tlhat bahwa la-la autokolas pada lag ptama mdkat satu da utuk slajutya bkuag muju 0. Bdasaka ktga macam plot

10 tsbut dktahu bahwa algotma tlah kog. Gamba takh mupaka hstogam da sampl yag dbagktka mula da tas 0000sampa Pduga Bays utuk paamt da dstbus posso ˆ 4, 5 da scaa tots la ma da dstbus gamma E,..., 4, Jad, la dugaa scaa komputas da tots dpolh hasl yag hamp sama dga la stadad o yag dhaslka sbsa 0, Po Jy utuk Dstbus Posso Po Jy mupaka salah satu btuk pdkata da po o-omat. Lagkah-lagkah mtuka po utuk, sbaga bkut: l! l l! l l slajutya la haapa omas Fsh dhtug bdasaka psamaa (), sbaga bkut: l Bdasaka psamaa () po Jy utuk dstbus posso, yatu: Dstbus posto utuk dpolh da hasl kal ataa ugs lklhood dga dstbus poya da dapat dtulska sbaga bkut:,...,,..., (4) Dstbus poposal yag dguaka dalam cotoh kasus yatu adom-walk Mtopols dga dstbus U, dmaa 0,. Pobabltas pmaa algotmaya bdasaka psamaa (7), yatu:,..., m,,..., m, JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 44

11 Pmbagkta sampl adom djalaka dga batua sotwa R mgguaka la awal 0 0,5, slsh samplg 00 da tas sbayak Bkut aalss kogs da output yag dhaslka: Gamba 3 (a) Egodc ma plot da sampl yag dbagktka, (b) Tac plot da sampl yag dbagktka, (c) Plot autokolas da sampl yag dbagktka, (d) Hstogam da sampl yag dbagktka Pada Gamba 3 tlhat bahwa godc ma plot sampl yag dbagktka tlah stabl mula tas k Pada tac plot-ya tlhat tdak mmbtuk suatu pola yag mujukka poss bu- tlah slsa. Bkutya pada plot autokolas tlhat bahwa la-la autokolas pada lag ptama mdkat satu da utuk slajutya bkuag muju 0. Bdasaka ktga macam plot tsbut dktahu bahwa algotma tlah kog. Gamba takh mupaka hstogam da sampl yag dbagktka mula da tas 0000 sampa Pduga Bays utuk paamt da dstbus posso ˆ 4, 58 dga la stadad o yag dhaslka sbsa 0, KESIMPULAN Algotma Mtopols-Hastgs mupaka salah satu algotma da mtod Mako Cha Mot Calo (MCMC) yag sg dguaka. Dalam pgguaa algotma Mtopols-Hastgs dpluka sbuah dstbus poposal yag dapat dplh salah satuya mgguaka adom-walk Mtopols. Sbaga lustas pgguaa algotma M-H, dbka cotoh pmbagkta sampl adom yag bdstbus bta da pdugaa paamt utuk dstbus posso. Pmbagkta sampl adom yag bdstbus bta djalaka mgguaka jumlah tas Bdasaka aalss output yag dlakuka dktahu bahwa sampl adom yag dhaslka ssua dga dstbus tagtya. Pada cotoh pdugaa paamt da dstbus posso dga s Baysa dguaka po kojugat da po Jy. Hasl dugaa yag mgguaka po kojugat yatu 4,5 dga stadad o sbsa 0,098 da yag mgguaka po Jy yatu 4,58 dga stadad o 0,008 DAFTAR PUSTAKA Ba, L. J. da Eglhadt, M. 99. Itoducto to Pobablty ad Mathmatcal Statstcs Scod Edto. Dubuy Pss: Caloa. Bg, J.O Statstcal Dcso Thoy ad Baysa Aalyss Scod Edto. Spgl- Vlag c.: Nw Yok. Bo, G.E.P ad Tao, G.C Baysa Ic I Statstcal Aalyss. Addso-Wsly Publshg Compay, Ic: Phlpps. Cogdo, P Baysa Statstcal Modllg. Chchst, UK: Joh Wly. Johso, V. E. da Albt, J. H Odal Data Modlg. Spg-Vlag Ic.: Nw Yok. Ntzouas, I Baysa Modlg Usg WBUGS. Joh Wly & Sos, Ic: Nw Jsy. Nusta, P.R Pgkata Playaa d Tmal Tboyo Smaag dga To Ata. Udp: Smaag. Sojot, Z. da Sobaa.988. Is Baysa. Kauka Ustas Tbuka: Jakata. Walsh, B Mako Cha Mot Calo ad Gbbs Samplg. Lctu Nots o EEB [dakss pada 8 Fbua 0] JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 45

12 JURNAL GAUSSIAN Vol., No., Tahu 0 Halama 46