BAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf

Transkripsi

1 BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G 1 ), E(G 1 )) dengan V(G 1 )= {v 1, v 2, v 3 } dan E(G 1 )= {v 1 v 2, v 1 v 3, v 2 v 2, v 2 v 3 } Jika u, v V(G) dan uv E(G), maka u dan v disebut ujung-ujung dari uv Dengan demikian, pada graf G di atas, sisi v 1 v 2 mempunyai ujung v 1 dan v 2 Suatu titik v dikatakan terkait oleh sisi e jika titik tersebut merupakan ujung dari sisi e Dua buah sisi dikatakan saling terkait jika keduanya memiliki salah satu ujung yang sama Loop adalah sisi yang mempunyai ujung yang sama Pada graf G 1 diatas, sisi v 2 v 2 adalah loop Graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai loop dan tidak ada dua sisi yang memiliki sepasang ujung yang sama Untuk selanjutnya, setiap graf yang dimaksud dalam tugas akhir ini adalah graf sederhana Untuk graf G, setiap u V(G) dapat digambarkan dengan titik dan setiap uv E(G) digambarkan dengan garis yang menghubungkan titik u dengan titik v Sebagai contoh, graf G 1 diatas dapat digambar seperti Gambar 21 Gambar 21 Graf G 1 4

2 Dua buah titik yang berbeda dikatakan bertetangga jika dua titik tersebut dihubungkan oleh suatu sisi atau merupakan ujung-ujung dari suatu sisi Pada gambar di atas, v 1 bertetangga dengan v 2 dan v 3 ; v 2 bertetangga dengan v 1 dan v 3 Pada graf, derajat dari titik v didefinisikan sebagai banyaknya tetangga dari titik v Matriks ketetanggaan A(G)=[a ij ] dari G dengan V(G) = {v 1,,v n } adalah suatu matriks berukuran n x n dengan: a ij 1 = 0,, vv i j E( G) vv i j E( G); ; Gambar 22 memperlihatkan suatu graf G 2 beserta matriks ketetanggaannya v 4 v 3 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v v 1 G 2 v 2 A(G 2 ) Gambar 22 Graf G 2 dan matriks ketetanggaannya 22 Keterhubungan, komplemen, dan operasi pada graf Graf G dikatakan terhubung jika setiap dua titik berbeda di G terdapat suatu lintasan dengan titik ujungnya kedua titik tersebut Jika tidak demikian, maka G dikatakan tak terhubung Subgraf terhubung maksimal dari G disebut komponen dari G Komplemen dari graf G, dinotasikan dengan G adalah graf dengan himpunan titik V(G) sedemikian sehingga { uv} E( G) { uv} E( G) Gabungan dari dua graf G 1 dan G 2, dinotasikan dengan G 1 G 2, didefinisikan sebagai graf dengan himpunan titik V(G 1 ) V(G 2 ) dan himpunan 5

3 sisi E(G 1 ) E(G 2 ) Pada gambar 23, Graf G 5 adalah gabungan dari graf G 3 dan G 4, yaitu G 5 = G 3 G 4 G 3 G 4 G 5 Gambar 23 Graf G 5 = G 3 G 4 Penjumlahan dari dua graf H dan G, dinotasikan dengan G + H, adalah graf dengan himpunan titik V(G + H) = V(G) V(H) dan himpunan sisi E(G + H) = E(G) E(H) E t, dimana E t = {xy x V(G), y V(H)}, sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 24 + G 3 G 4 G 6 Gambar 24 Graf G 6 = G 3 + G 4 Korona graf G terhadap H, dinotasikan H G, adalah graf yang dihasilkan dengan mengambil 1 kopi graf G pada n-titik dan n kopi H 1, H 2,, H n dari H, lalu menghubungkan titik ke-i dari G ke setiap titik di H i Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 25 6

4 G 3 G 4 G 7 Gambar 25 Graf G 7 = G 3 G 4 23 Kelas-kelas pada graf Graf lintasan P n adalah graf terhubung yang terdiri dari tepat 2 titik berderajat 1 dan n-2 titik berderajat 2 Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 26 Gambar 26 Graf lintasan P 4 Graf lingkaran C n adalah graf terhubung yang terdiri dari n buah titik berderajat 2 Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 27 Gambar 27 Graf lingkaran C 4 Graf bipartit adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi 2 subhimpunan X dan Y, sedemikian sehingga setiap sisinya memiliki satu titik ujung di X dan yang lainnya di Y 7

5 Graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dengan bipartisi (X, Y) dan setiap titik di X bertetangga dengan setiap titik di Y Jika X = m dan Y = n, maka graf tersebut dinotasikan dengan K m,n Graf bintang S n adalah graf bipartit lengkap K 1,n untuk n > 1 Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 28 Gambar 28 Graf bintang S 3 Graf roda W n, adalah graf yang memiliki n+1 titik, yang dihasilkan dari pertambahan antara graf lingkaran n titik dengan graf lintasan 1 titik (W n = C n +P 1 ) Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 29 spokes rim Gambar 29 Graf roda W 4 Graf gear Gr n adalah graf yang didapatkan dari graf roda W n dengan menambahkan 1 titik pada setiap rim-nya Karena itu, Gr n memiliki 2n+1 titik dan 3n sisi Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 210 8

6 Gambar 210 Graf gear Gr 4 Graf friendship F n adalah graf yang dihasilkan dari korona n buah P 2 terhadap P 1 (F n = P1 np2) Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 211 Gambar 211 Graf friendship F 4 24 Pelabelan-k total, bobot sisi, pelabelan-k total tak teratur sisi dan nilai tak teratur sisi Misal G = (V, E) adalah suatu graf Pelabelan dari G adalah sebuah fungsi yang memetakan himpunan unsur-unsur dari G ke himpunan bilangan (biasanya bilangan positif atau non-negatif) Adapun nama dari pelabelan ditentukan oleh daerah asal pemetaan tersebut, diantaranya pelabelan sisi (daerah asalnya merupakan himpunan sisi), pelabelan titik (daerah asalnya merupakan himpunan titik), dan pelabelan total (daerah asalnya merupakan himpunan gabungan dari himpunan titik dan himpunan sisi) Pelabelan total dari G disebut pelabelan k- total jika daerah hasil dari pelabelan f tersebut merupakan subhimpunan dari {1, 2,, k} 9

7 Bobot sisi e = v 1 v 2 dari graf G pada pelabelan total f didefinisikan sebagai wt(e) = f(v 1 ) + f(e) + f(v 2 ) Pelabelan-k total disebut pelabelan-k total tak teratur sisi, jika untuk setiap dua sisi yang berbeda, e dan g E(G), memenuhi wt(e) wt(g) Nilai tak teratur sisi dari G didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sehingga G memiliki pelabelan-k total tak teratur sisi Sebagai contoh dapat dilihat pada Gambar 212 dan Gambar 213 Gambar 212 Graf P 4 yang memiliki pelabelan-4 total tak teratur sisi Gambar 213 Graf P 4 yang memiliki pelabelan-2 total tak teratur sisi Pada Gambar 212 diberikan suatu pelabelan-4 total tak teratur sisi dari P 4, sedangkan Gambar 213 diberikan suatu pelabelan-2 total tak teratur sisi dari P 4 Karena tidak terdapat pelabelan-1 total tak teratur sisi dari P 4, sehingga tes(p 4 ) = 2 Berikut ini adalah teorema yang dapat memberikan acuan untuk menentukan tes(g) dari suatu graf sebarang G Teorema tersebut dibuktikan oleh Baca dkk [2] pada tahun 2006 Teorema 241 [2] Jika G adalah suatu graf dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G) maka EG ( ) + 2 tes( G) E( G) 3 10

8 Bukti Untuk membuktikan batas atas, setiap titik dilabeli dengan 1 dan semua sisi dilabeli berturut-turut dengan label 1, 2,, E(G) Diperoleh bobot setiap sisi berbeda Akibatnya tes(g) E(G) Untuk membuktikan batas bawah, misalkan β adalah pelabelan total tak teratur sisi pada G dengan label terbesar adalah tes(g), sehingga bobot sisi terbesar e di E(G) adalah wt(e) E + 2 Karena bobot sisi ini merupakan penjumlahan dari tiga label, sehingga didapatkan satu labelnya minimal EG ( ) Jadi, EG ( ) 2 tes( G) Hasil Sebelumnya Bača dkk [2] telah mendapatkan beberapa nilai tak teratur sisi untuk beberapa kelas graf yakni lintasan, lingkaran, graf bintang, graf roda, dan graf friendship, seperti ditulis pada beberapa teorema berikut ini Teorema 251 [2] Jika P n dan C n adalah lintasan dan lingkaran dengan n 1, maka n + 2 tes( Pn) = tes( Cn) Teorema 252 [2] Jika S n adalah graf bintang dengan n>1, maka n + 1 tes( Sn ) = 2 Teorema 253 [2] Misalkan W n adalah graf roda dengan n 3, maka 2n + 2 tes( Wn ) = Teorema 254 [2] 3 Misalkan F n adalah graf friendship dengan n 2, maka 3n + 2 tes( Fn ) 11

9 Selanjutnya di sajikan beberapa hasil dari Asmiati [1] pada tahun 2002 Teorema 255 [1] Jika B n adalah graf buku maka Teorema 256 [1] 2n tes( Bn ) = Jika K 2,n adalah graf bipartite lengkap 2n + 2 tes( K2, n) Teorema 257 [1] Untuk setiap bilangan bulat positif m berlaku tes( mc ) = m + 1 Teorema 258 [1] Untuk setiap bilangan bulat positif m berlaku 3 tes( mk ) = m + 1 Teorema 259 [1] Untuk setiap bilangan bulat positif m berlaku 1,3 tes( mp + ) = km + 1 3k 1 Pada tahun 2008, Nurdin dkk [4] memperoleh nilai tak teratur sisi untuk korona graf lintasan terhadap graf lintasan, lingkaran, graf bintang, graf roda, graf gear dan graf friendship Hasil lengkap ditulis sebagai berikut Teorema 2510 [4] Untuk bilangan bulat m 2 dan n 2, 2mn + 1 Pn) 12

10 Teorema 2511 [4] Untuk bilangan bulat m 2 dan n 3, 2( n+ 1) m+ 1 Cn) Teorema 2512 [4] Untuk bilangan bulat m 2 dan n 3, 2 mn ( + 1) + 1 Sn) Teorema 2513 [4] Untuk bilangan bulat m 2 dan t 2, m(5t+ 2) + 1 Gt) Teorema 2514 [4] Untuk bilangan bulat m 2 dan t 2, m(5t+ 2) + 1 Ft) Teorema 2515 [4] Untuk bilangan bulat m 2 dan n 3, (3n+ 2) m+ 1 Wn) Pada Bab III, akan disajikan hasil penilitian tugas akhir ini 13