ABSTRAK AYU MERYANTI GALMAYURA FARIDA HANUM

Transkripsi

1 ABSTRAK AYU MERYANTI GALMAYURA. Optmas Portofolo Oblgas yang Termunsas dengan Goal Programmng. Dbmbng oleh FARIDA HANUM dan ENDAR HASAFAH NUGRAHANI Dalam suatu stlah nvestas, portofolo ddefnskan sebaga suatu kumpulan nvestas, bak berupa aset rl maupun aset keuangan. Portofolo dapat tersusun dar berbaga jens sekurtas bak oblgas maupun saham. Oblgas danggap sebaga jens sekurtas yang memlk rsko yang lebh kecl darpada saham. Berdasarkan jensnya, oblgas dbag menjad dua macam yatu: oblgas pemerntah dan oblgas swasta. Rsko oblgas dperoleh dar rsko tngkat suku bunga yang berubah-ubah, waktu jatuh tempo dan rsko gagal bayar (default rsk) yang ada pada setap oblgas. Rsko-rsko tersebut memengaruh harga oblgas, sehngga harga portofolo yang dmlk nvestor juga akan berubah-ubah. Dalam hal n, nvestor tetap mengharapkan tngkat pengembalan yang sama atau lebh besar dar harga bel oblgasnya. Oleh sebab tu, muncul konsep munsas yang akan mengmunsas tngkat rsko pada portofolo yang dsusun dar berbaga jens oblgas. Dalam mengelola portofolo oblgas yang termunsas tmbul permasalahan yang harus dhadap, yakn memnmumkan rsko-rsko yang ada pada oblgas yang akan memengaruh tngkat pengembalan yang dperoleh nvestor d masa datang. Permasalahan optmas portofolo oblgas yang termunsas dapat dselesakan dengan goal programmng sebaga salah satu teknk alternatf untuk mencar portofolo oblgas termunsas yang optmal dan menggunakan software LINGO.0. Hasl yang dperoleh dar optmas n adalah propors dar portofolo oblgas yang termunsas yang membuat nvestor mendapatkan yeld yang maksmal dan rsko yang mnmal pada perode nvestas tertentu. v

2 ABSTRACT AYU MERYANTI GALMAYURA. Optmzaton of Immunzed Bond Portfolos usng Goal Programmng. Supervsed by FARIDA HANUM and ENDAR HASAFAH NUGRAHANI. In a term nvestments, portfolo s defned as a collecton of securtes,.e. real or fnancal assets. Portfolo can be arranged n a form of bonds or stocks. Bonds are consdered as types of securtes that have smaller rsk than stocks. Based on the type, the bonds are dvded nto government and corporate bonds. The rsk of bonds s obtaned from the rsk of nterest rate swng, maturty, and default rsk that exst on each bond. Those rsks affect bond prces, so the prce of the portfolo wll also vary. In ths case, nvestors stll expect the rate of return equal to or greater than the purchase prce of the bonds. Therefore, the concept of mmunzaton s ntroduced to reduce the level of rsk n the portfolo composed by varous types of bonds. In the mmunzed bond portfolo the rsk that exst on the bonds wll be mnmzed so that the rate of return obtaned by nvestors n the future wll be maxmzed. The mplementaton of optmzng the mmunzed bond portfolos s carred out usng goal programmng wth LINGO.0. The result of ths optmzaton s the proporton of mmunzed bond portfolos whch gves maxmal return and mnmal rsk over a partcular nvestment perod. v

3 Judul : Optmas Portofolo Oblgas yang Termunsas dengan Goal Programmng Nama : Ayu Meryant Galmayura NIM : G Menyetuju, Pembmbng I Pembmbng II Dra. Farda Hanum, M.S. Dr. Ir. Endar H. Nugrahan, MS. NIP NIP Mengetahu, Ketua Departemen Dr. Berlan Setawaty, MS. NIP Tanggal Lulus : v

4 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... v v I PENDAHULUAN. Latar Belakang....2 Tujuan... II LANDASAN TEORI 2. Istlah-Istlah Keuangan Pemrograman Lnear Fungs Konveks Goal Programmng... 3 III PEMBAHASAN 3. Pengmunsasan Oblgas dar Rsko Gagal Bayar Pemaksmuman Yeld Portofolo Saat Jatuh Tempo (Term to Maturty) Pengendalan Rsko Gagal Bayar Kendala Pemlhan Portofolo Bullet Formulas Masalah Imunsas dengan Goal Programmng... 8 IV CONTOH KASUS DAN PENYELESAIANNYA 4. Contoh Kasus Optmas Portofolo Oblgas yang Termunsas Penyelesaan Masalah Optmas Portofolo Oblgas yang Termunsas... 3 V SIMPULAN DAN SARAN 5. Smpulan Saran... 5 DAFTAR PUSTAKA... 6 LAMPIRAN... 7 v

5 KATA PENGANTAR Puj dan syukur penuls panjatkan ke hadrat Allah SWT atas segala nkmat, karuna, zn, dan pertolongan-nya sehngga penulsan skrps n berhasl dselesakan. Tema yang dplh adalah Rset Operas dengan judul Optmas Portofolo Oblgas yang Termunsas dengan Goal Programmng. Skrps n merupakan syarat untuk menyelesakan stud pada Departemen Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Insttut Pertanan Bogor. Terma kash penuls ucapkan kepada : Ibu Dra. Farda Hanum, M.S. dan Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahan, MS. selaku dosen pembmbng, atas segala kesabaran dan masukannya selama membmbng penuls; tak lupa kepada Ibu Ir. Retno Budart, MS. selaku penguj; 2 Ibunda Ank Zuhryah dan Ayahanda Aryad yang banyak member wejangan dan nashat serta dukungan yang tak terkra, Adkku Enggar Puspta Nngrum dan Sultan Arkaan Al Mufd atas semangat belajar dan mengngatkan yang tada hent, dan Sukma Kukuh Prbad atas segenap perhatan, semangat serta kesabarannya selama penyusunan skrps; 3 keluarga besar dan staf Penla Harga Efek Indonesa (Indonesa Bond Prcng Agency): Mbak Ran, Mas Irfan, dkk yang telah member semangat dan membantu penyusunan skrps n; 4 keluarga besar dan staf Departemen Matematka FMIPA IPB: Bu Sus, Pak Yono, Bu Ade, Mas Her, Mas Den, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam penyusunan skrps; 5 teman-teman mahasswa Matematka angkatan 44: Iyat, Iam, Wahyu, Indn, Ipul, Cep, Cta, Rrh, Imam, Al, Aswn, Eka, Aje, Yuyun, Deva, Went, Ndep, Tt, Ayung, Melon, Rachma, Sr, Fajar, Rof, Ima, Ftr, Lngga, Nam, Dhka, Nadroh, Nurus, Endro, Puyng, Lukman, Olh, Dan, Pand, Vaney, Dela, Ans, Iresa, Sar, Masayu, Yul, Dana, Arna, Abe, Tyas atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagaan selama penuls menempuh stud d Departemen Matematka IPB; 6 kakak-kakak mahasswa Matematka angkatan 43: kak Slamet, kak Ecka, dkk atas segala bantuan dan motvasnya; adk-adk mahasswa Matematka angkatan 45: Gta, Fen, Icha, Bolo, dkk yang telah mendukung penuls dalam penyusunan skrps; keluarga besar, staf dan pengajar ELLIPS: Teh Waldah, Teh La, Teh Cc, Mega, Kak Iput, Mba Ana, Kak Ian, terma kash atas bantuannya selama n; 7 keluarga besar Gentra Kaheman: Kang Afdal, Punjung, Tyas, Putr, dkk yang telah memberkan pandangan dan pengalaman baru dalam hdup penuls; 8 keluarga besar Manggs 49: Bunda, Bapak, Ipn, Mrna, Fahm, Ude, Dan, Fahren, dkk dan teman-teman alumn SMA Tambun Selatan, serta untuk sahabatku Kasfy, Apr, Feb, dan Upeh terma kash sudah member motvas selama penulsan skrps n; 9 keluarga besar Kost Raya Darmaga no 6: Bu Tt, Dev, Mbak Dnda, Kak Tyas, Nunu, Na, Sar, Kak Lna, Kak La, terma kash atas semangat yang tdak pernah berhent; 0 adk-adk bmbngan belajar: Dew, Tanty, Yod, Tyas, Septa, Farda, Mery, Van, Icha, Nova, Nov, Nay, Nurul, dkk, terma kash atas dukungan dan semangat yang tada hent; juga phak-phak lan yang telah membantu penyusunan skrps n, yang tdak dapat dsebutkan satu per satu. Penuls menyadar bahwa dalam tulsan n mash terdapat kekurangan dan jauh dar kesempurnaan, oleh karena tu penuls mengharapkan krtk dan saran yang membangun dar pembaca. Semoga tulsan n dapat bermanfaat bag semua phak yang memerlukan. Bogor, Jul 20 Ayu Meryant Galmayura v

6 RIWAYAT HIDUP Penuls dlahrkan d Semarang pada tanggal 23 Maret 990 dar pasangan Aryad dan Ank Zuhryah. Penuls merupakan anak pertama dar tga bersaudara. Pada tahun 2007 penuls lulus dar SMA Neger Tambun Selatan. Penuls melanjutkan studnya d Program Stud Matematka, Departemen Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Pertanan Bogor melalu jalur Undangan Seleks Masuk ( USMI) IPB pada tahun Penuls juga memlh mnor Manajemen, Departemen Manajemen, Fakultas Ekonom dan Manajemen sebaga bdang keahlan pelengkap untuk menambah kompetens penuls. Selama mengkut perkulahan, penuls aktf dalam kegatan kemahasswaan, d antaranya pada tahun menjabat sebaga anggota Lngkung Sen Sunda Gentra Kaheman dan UKM kewrausahaan CENTURY, serta mengkut kepantaan dar beberapa kegatan selama rentang waktu Penuls juga aktf dalam kegatan mengajar. Pada tahun penuls menjad staf pengajar Pengantar Matematka dan Kalkulus I pada Lembaga Bmbngan Belajar ELLIPS. Pada tahun 2009 penuls juga menjad assten dosen untuk beberapa mata kulah, d antaranya Kalkulus II pada tahun 2009, Pemrograman Lnear pada Januar 200, dan Pemrograman Taklnear pada tahun 200. v

7 OPTIMASI PORTOFOLIO OBLIGASI YANG TERIMUNISASI DENGAN GOAL PROGRAMMING AYU MERYANTI GALMAYURA Skrps sebaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sans pada Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Pertanan Bogor DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 20 v

8 DAFTAR TABEL Halaman Informas oblgas Matrks data untuk seluruh oblgas Propors optmal portofolo oblgas yang termunsas Pencapaan multsasaran portofolo oblgas yang termunsas... 5 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Pembuktan Teorema 2 dan Teorema Pembuktan G dan V fungs konveks dar λ Pembuktan persamaan (6), (7), (8), (), dan (2) Informas oblgas Solus optmal untuk model goal programmng v

9 v

10 OPTIMASI PORTOFOLIO OBLIGASI YANG TERIMUNISASI DENGAN GOAL PROGRAMMING AYU MERYANTI GALMAYURA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 20

11 I PENDAHULUAN. Latar Belakang Istlah oblgas telah dkenal masyarakat luas. Oblgas dgunakan sebaga penggant surat utang yang dkeluarkan oleh suatu lembaga tertentu. Phak yang menerbtkan oblgas akan membayar mbalan berupa kupon bunga yang tetap pada perode tertentu dan melunas pokok utang pada waktu yang telah dtentukan kepada phak pembel oblgas tersebut. Investor serngkal menggunakan oblgas untuk menyusun portofolo. Nla portofolo akan berubah sesua dengan harga oblgas yang menyusun portofolo tersebut. Jka nla portofolo nak, artnya nla kekayaan nvestor bertambah, sedangkan nla kekayaan nvestor menurun jka nla portofolo turun. Oleh sebab tu, dperlukan suatu cara untuk mengatas nak turunnya nla portofolo nvestor. Konsep munsas oblgas dperkenalkan untuk mencegah rsko-rsko oblgas. Imunsas oblgas berfungs untuk melndung nvestor dar perubahan harga oblgas yang dpengaruh tngkat suku bunga dan rsko gagal bayar (default rsk). Investor harus memlh portofolo yang optmal dengan memnmumkan rsko dan memaksmalkan waktu jatuh tempo oblgas sehngga nvestor mendapatkan mbal hasl (yeld) yang maksmum. Permasalahan pemlhan portofolo optmal yang termunsas dapat dselesakan dengan menggunakan goal programmng (GP). Goal programmng (GP) adalah perluasan pemrograman lnear (PL). Goal programmng dgunakan untuk permasalahan yang menggunakan multfungs objektf. Selan tu, masalah n akan dselesakan dengan menggunakan software LINGO.0. Sumber utama karya lmah n adalah artkel yang berjudul Usng Lnear and Goal Programmng to Immunze Bond Portfolos yang dtuls oleh Alexander, G.J. dan Resnck, B.G pada tahun Tujuan Tujuan dar karya lmah n adalah menyajkan penyelesaan masalah munsas portofolo oblgas dengan menggunakan goal programmng sebaga salah satu teknk untuk mengetahu portofolo optmal yang termunsas. II LANDASAN TEORI Untuk memaham masalah optmas portofolo oblgas yang termunsas dperlukan defns dan beberapa konsep berkut. 2. Istlah-Istlah Keuangan Defns (Portofolo) Portofolo merupakan suatu kumpulan nvestas, bak berupa aset rl maupun aset keuangan. (Sartono 997) Portofolo dapat tersusun dar berbaga jens sekurtas bak oblgas maupun saham. Defns 2 (Imunsas) Imunsas merupakan suatu strateg untuk membuat duras aset sama dengan duras kewajban sehngga nla nvestas tdak terpengaruh oleh pergerakan suku bunga. (Bode et al. 2006) Defns 3 (Rsko) Rsko (rsk) ddefnskan sebaga penympangan atas yeld yang dperkrakan; dukur sebaga standar devas dar yeld. (Keown et al. 200) Terdapat tga skap nvestor dalam menghadap rsko bernvestas; () rsk averse nvestor yatu nvestor yang lebh senang terhadap plhan nvestas dengan rsko yang lebh kecl pada tngkat keuntungan yang sama; (2) rsk neutral nvestor yatu nvestor yang berskap netral terhadap rsko; (3) rsk seeker nvestor yatu nvestor yang lebh senang dengan memlh rsko yang lebh tngg. (Sartono 997) Defns 4 (Oblgas) Oblgas (bond) adalah surat utang yang dterbtkan oleh phak pemnjam oblgas yang mewajbkan phak penerbt oblgas untuk melakukan pembayaran bunga yang dsebut sebaga pembayaran kupon kepada pemegang oblgas selama masa oblgas, kemudan

12 2 melunas nla nomnal pada waktu jatuh tempo. (Bode et al. 2006) Secara umum jens oblgas dapat dlhat dar penerbtnya, yatu oblgas perusahaan dan oblgas pemerntah. Oblgas pemerntah dsebut juga oblgas bebas rsko. Oblgas pemerntah n danggap lebh aman darpada oblgas perusahaan. Karena lebh aman, bunga yang dbayarkan menjad lebh kecl dbandngkan dengan bunga dar oblgas perusahaan. Defns 5 (Nla Par) Nla par (par value) oblgas yatu nla nomnal yang tertera pada lembar oblgas yang akan dbayarkan kepada pemegang oblgas pada saat jatuh tempo. (Keown et al. 200) Defns 6 (Waktu Jatuh Tempo) Waktu jatuh tempo yatu lama waktu sampa penerbt oblgas mengembalkan nla par ke pemegang oblgas dan mengembalkan oblgas tu. (Keown et al. 200) Sepanjang pelunasan oblgas telah dlakukan maka penerbt tdak lag memlk kewajban kepada pemegang oblgas setelah lewat tanggal jatuh tempo oblgas tersebut. Defns 7 (Kupon) Kupon adalah besarnya persentase terhadap nla par oblgas yang akan dbayarkan secara berkala dalam bentuk bunga. (Keown et al. 200) Basanya kupon memlk besaran yang tetap sepanjang masa berlakunya oblgas, tetap juga dapat mengacu kepada suatu ndeks pasar uang. Istlah kupon asal mulanya dgunakan karena d masa lalu secara fsk oblgas dterbtkan bersama dengan kupon bunga yang melekat pada oblgas tersebut. Pada tanggal pembayaran kupon, pemegang oblgas akan menyerahkan kupon tersebut ke bank untuk dtukarkan dengan pembayaran bunga. Defns 8 (Perngkat Oblgas) Perngkat oblgas mencakup penlaan atas rsko oblgas yang mungkn terjad kemudan. Perngkat oblgas umumnya dpengaruh oleh propors modal terhadap utang, tngkat proftabltas perusahaan, tngkat kepastan dalam menghaslkan pendapatan, besar keclnya perusahaan, dan jumlah pnjaman subordnas yang dkeluarkan perusahaan. (Keown et al. 200) Pemerngkatan oblgas dlakukan oleh sebuah perusahaan ndependen. D Indonesa, perusahaan pemerngkatan tersebut adalah Pefndo (Pemerngkat Efek Indonesa). Pefndo memberkan smbol atau nla pemerngkatan dar yang tertngg sampa yang terendah sebaga berkut: AAA (superor), AA (very strong), A (strong), BBB (adequate), BB (somewhat weak), B (nonnvestment), CCC (vulnerable), D (default). Pemerngkatan oblgas memberkan nformas kepada nvestor mengena kapastas maupun kemampuan sebuah penerbt oblgas dalam memenuh janjnya, yatu membayar kupon secara berkala dan mengembalkan semua pokok atau nla par oblgas pada saat jatuh tempo. Defns 9 (Nla Oblgas) Nla oblgas adalah jumlah dar nla sekarang (present value) dar tngkat kupon serta nla par oblgas yang akan dterma d masa datang. (Keown et al. 200) Defns 0 (Rsko Gagal Bayar) Rsko gagal bayar (default rsk) adalah rsko yang dterma nvestor karena penerbt oblgas mengalam kesultan untuk membayar kupon bunga oblgas yang telah djanjkan. Potens gagal bayar dar penerbt oblgas dapat dketahu dengan melhat perngkat oblgas tersebut. (Keown et al. 200) Defns (Imbal Hasl Oblgas ) Imbal hasl (yeld) oblgas adalah angka yang menunjukkan keuntungan yang dperoleh nvestor dar oblgas. (Bode et al. 2006) Defns 2 (Imbal Hasl Saat Jatuh Tempo) Imbal hasl saat jatuh tempo (yeld to maturty) adalah ukuran rata-rata tngkat mbal hasl yang akan dterma dar suatu oblgas yang dmlk hngga waktu jatuh tempo. (Bode et al. 2006) Defns 3 (Yeld curve) Yeld curve (yeld curve) adalah grafk dar mbal hasl hngga jatuh tempo (yeld to

13 3 maturty) sebaga fungs dar waktu jatuh tempo. (Bode et al. 2006) 2.2 Pemrograman Lnear Pemrograman lnear (PL) atau lnear programmng (LP) adalah suatu masalah optmas yang memenuh ketentuan-ketentuan sebaga berkut: a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksmumkan atau memnmumkan suatu fungs lnear dar sejumlah varabel keputusan. Fungs yang akan dmaksmumkan atau dmnmumkan n dsebut fungs objektf. b) Nla varabel-varabel keputusan harus memenuh suatu hmpunan kendala. Setap kendala harus berupa persamaan lnear atau pertaksamaan lnear. c) Ada pembatasan tanda untuk setap varabel dalam masalah n. Untuk sembarang varabel x, pembatasan tanda menentukan x harus taknegatf (x 0) atau tdak dbatas tanda (unrestrcted n sgn). (Wnston 2004) 2.3 Fungs Konveks Sebelum membahas fungs konveks, terlebh dahulu akan dbahas hmpunan konveks yang ddefnskan sebaga berkut. Defns 4 (Hmpunan Konveks) Msalkan S menyatakan hmpunan ttk. Hmpunan S adalah hmpunan konveks jka segmen gars yang menghubungkan sembarang ttk-ttk dalam S seluruhnya termuat dalam S, atau dengan kata lan hmpunan S R n dkatakan hmpunan konveks jka untuk setap x, x 2 ϵ S berlaku λx + λ x 2 ϵ S dengan 0 λ. (Wnston 2004) Defns 5 (Fungs Konveks) Msalkan f: S R, dengan S hmpunan konveks yang takkosong d R n. Fungs fdkatakan fungs konveks pada S jka dan hanya jka f λx + λ x 2 λf x + λ f x 2, untuk setap x, x 2 ϵ S dan untuk setap 0 λ. (Peressn et al. 988) Berkut n dberkan teorema yang dapat dgunakan untuk memerksa kekonveksan fungs satu varabel. Teorema Jka f fungs satu varabel yang terdferensalkan dua kal pada S, maka f adalah fungs konveks pada S jka dan hanya jka f (x) 0 untuk setap x ϵ S. Jka f x > 0 untuk setap x ϵ S, maka f dkatakan fungs konveks sempurna (strctly convex). (Peressn et al. 988) Teorema 2 Jka f + f 2 + f f k adalah fungs konveks pada hmpunan konveks S d R n, maka f = f + f 2 + f f k juga fungs konveks. Selanjutnya, jka palng sedkt satu dar f adalah strctly convex d S, maka f adalah strctly convex. (Peressn et al. 988) Bukt dapat dlhat pada Lampran. Teorema 3 Jka f adalah fungs konveks pada hmpunan konveks S d R n dan jka α adalah blangan yang postf, maka αf adalah fungs konveks pada S. (Peressn et al. 988) Bukt dapat dlhat pada Lampran. 2.4 Goal Programmng Goal programmng adalah salah satu teknk yang dapat dgunakan oleh pembuat keputusan untuk menyelesakan masalah optmas dengan tujuan lebh dar satu. (Wnston 2004) Goal programmng berbeda dengan pemrograman lnear karena goal programmng dapat menyelesakan permasalahan dengan dua fungs objektf atau lebh. Model goal programmng merupakan perluasan dar model pemrograman lnear, sehngga seluruh asums, notas, formulas model, prosedur perumusan model dan penyelesaannya tdak berbeda. Model goal programmng memlk sepasang varabel devas d j dan d j + yang taknegatf. Varabel d j ddefnskan sebaga sejumlah nla yang menampung devas yang berada d bawah sasaran ke-j, sedangkan varabel d j + ddefnskan sebaga sejumlah nla yang menampung devas yang berada d atas

14 4 sasaran ke-j. Varabel-varabel devas n harus dmnmumkan pada model goal programmng. Suatu tujuan ke-j pada model goal programmng danggap berhasl dcapa bla varbel devas pada fungs objektf tujuan ke-j bernla 0. Ilustras bentuk model goal programmng dapat dlhat pada Contoh. Contoh. Msalkan formulas model PL Maksmumkan x + x 2 terhadap 7x + 3x x + 5x x + 4x x + 60x x, x 2 0 (PL.) Dengan mengasumskan bahwa ada tga tujuan yang akan dcapa, yatu pada kendala pertama, kedua, dan ketga, maka dengan menambahkan varabel devas, model PL dapat dubah menjad model goal programmng sepert berkut. Mnmumkan d + d 2 + d 3 Terhadap 7x + 3x 2 + d d + = 40 0x + 5x 2 + d 2 d + 2 = 60 5x + 4x 2 + d 3 d + 3 = 35 00x + 60x (GP.) x, x 2, d j, d + j 0 j =,2,3 Dengan menggunakan software LINGO.0, maka dperoleh solus optmal dar (GP.) adalah x = 5, x 2 =.67, d = 0, d 2 =.67, d 3 = 3 dan d +, d + 2, d + 3 = 0 dengan nla fungs objektf 5. Solus n berart bahwa tujuan pertama berhasl dcapa sedangkan tujuan kedua dan ketga gagal dcapa. Masalah penentuan prortas tujuan serng menjad masalah bag pembuat keputusan. Masalah n dapat dtuangkan ke dalam model goal programmng dengan mengatur urutan prortas pemnmuman varabel devas. Untuk menerapkan model n, pembuat keputusan harus menentukan perngkat tujuan mula dar yang palng pentng hngga tujuan yang tdak terlalu pentng. Dasumskan bahwa pembuat keputusan memlk n tujuan. Urutan prortas tujuan n yang akan dmnumkan pada fungs objektf akan dnotaskan sebaga P n. Dasumskan bahwa Pada model goal programmng, fungs objektf dapat dubah menjad P d + P 2 d 2 + P 3 d 3. Untuk menerapkan model prortas n, fungs objektf harus dpsah menjad n komponen yang dnotaskan sebaga berkut: z j = fungs objektf yang memuat tujuan ke-j. dengan j =,2,...,n. Berdasarkan fungs objektf (GP.), fungs objektf dpsah menjad 3 komponen, yatu z = P d, z 2 = P 2 d 2, dan z 3 = P 3 d 3 dengan kendala yang sama dengan (GP.) dan menambahkan kendala d = 0 untuk formulas dengan fungs objektf z 2 serta menambah kendala d = 0 dan d 2 = 0 untuk formulas dengan fungs objektf z 3. Ilustras bentuk model goal programmng dengan prortas dapat dlhat pada Contoh 2. Contoh 2. Prortas ke- Mnmumkan d terhadap 7x + 3x 2 + d d + = 40 0x + 5x 2 + d 2 d 2 + = 60 5x + 4x 2 + d 3 d 3 + = 35 00x + 60x x, x 2, d j, d j + 0 j =,2,3 (GP.2) Dengan menggunakan software LINGO.0 maka dperoleh solus optmal dar (GP.2) adalah x = 5.74, x 2 = 0, d = 0, d 2 = 2.857, d 3 = dan d +, d 2 +, d 3 + = 0. Kemudan dtambahkan d = 0 pada kendala d prortas ke-2, sehngga modelnya menjad Prortas ke-2 Mnmumkan d 2 terhadap 7x + 3x 2 + d d + = 40 0x + 5x 2 + d 2 d + 2 = 60 5x + 4x 2 + d 3 d + 3 = 35 00x + 60x x, x 2, d j, d + j 0 j =,2,3 d = 0 (GP.3) Dengan menggunakan software LINGO.0 maka dperoleh solus optmal dar (GP.3) adalah x = 6, x 2 = 0, d = 0, d 2 = 0, d 3 = 5, d + = 2, dan d 2 +, d 3 + = 0. P P 2 P 3 P n

15 5 Selanjutnya dtambahkan d = 0 dan d 2 = 0 pada kendala d prortas ke-3, sehngga modelnya menjad Prortas ke-3 Mnmumkan d 3 terhadap 7x + 3x 2 + d d + = 40 0x + 5x 2 + d 2 d + 2 = 60 5x + 4x 2 + d 3 d + 3 = 35 00x + 60x x, x 2, d j, d + j 0 j =,2,3 d = 0 d 2 = 0 (GP.4) Setelah menyelesakan (GP.4) menggunakan software LINGO.0, maka dperoleh solus optmal dar (GP.4) adalah x = 6, x 2 = 0, d = 0, d 2 = 0, d 3 = 5, d + = 2, dan d 2 +, d 3 + = 0. Nla fungs objektf keseluruhan untuk Contoh 2 dperoleh dengan menambahkan hasl optmal dar fungs objektf pada setap prortas, sehngga pada Contoh 2 dperoleh nla fungs objektf 5 dan solus optmalnya adalah x = 6, x 2 = 0, d = 0, d 2 = 0, d 3 = 5, d + = 2, dan d 2 +, d 3 + = 0. Solus pada Contoh 2 menujukkan bahwa tujuan pertama dan tujuan kedua berhasl dcapa sedangkan tujuan ketga gagal dcapa. III PEMBAHASAN Pembelan dan penjualan oblgas banyak dlakukan oleh berbaga nsttus sepert perusahaan asurans, pendana pensun dan bank sentral. Oblgas dpandang sebaga nvestas yang lebh aman darpada saham karena nvestor akan mendapat pembayaran kupon tetap. Investor juga dapat dengan mudah menjual nvestas oblgas darpada menjual saham. Akan tetap, perseps n tdak sepenuhnya benar. Bagamanapun, oblgas juga dapat bersko. Harga dar setap jens oblgas berbeda. Harga oblgas dnyatakan dalam persentase dar nla nomnal. Harga n dpengaruh oleh tngkat suku bunga dan waktu jatuh temponya. Harga oblgas berbandng terbalk dengan tngkat suku bunga. Bla tngkat suku bunga turun, maka harga oblgas akan nak. Akan tetap, bla suku bunga nak maka harga oblgas akan menurun. Demkan pula dengan waktu jatuh temponya, semakn jauh waktu jatuh tempo oblgas maka akan semakn besar penurunan harganya. Selan rsko suku bunga dan waktu jatuh tempo, cara melhat rsko lan yang ada pada oblgas yatu dengan melhat pemerngkatan oblgas yang basa dkenal dengan stlah Standard and Poor (S&P). D Indonesa pemerngkatan oblgas dlakukan oleh Pefndo untuk menunjukkan rsko gagal bayar (default rsk) dar pemlk oblgas. Semakn tngg perngkatnya, maka akan semakn sedkt rsko gagal bayarnya. Harga oblgas juga dapat berubah bergantung pada perngkatnya. Penurunan perngkat oblgas akan menyebabkan harga oblgas jatuh. Perubahan harga pada oblgas juga berakbat pada portofolo yang dsusun. Jka nla pada oblgas yang menyusun portofolo terus menerus jatuh, maka nla portofolo juga akan jatuh. Namun, bla ada kesempatan bag pemegang oblgas untuk menjual oblgasnya, tngkat suku bunga akan menjad masalah utama. Harga pasar oblgas akan menngkat jka tngkat rsko yang berlaku jatuh. Salah satu cara mengukur rsko tngkat suku bunga pada oblgas adalah pada jangka waktunya (duraton). Usaha untuk mengendalkan rsko n dsebut munsas. Konsep munsas pertama kal dperkenalkan oleh Berwag dan Khang (979). Imunsas dperlukan untuk menjaga nla oblgas dar tngkat suku bunga dan waktu jatuh tempo serta mengendalkan rsko gagal bayar (default rsk) dar penerbt oblgas. Usaha munsas n juga dapat dbantu dengan dversfkas portofolo. Dversfkas portofolo dgunakan untuk menghlangkan rsko portofolo yang dpengaruh oleh faktor nflas, struktur aset dan struktur modal. Salah satu permasalahan yang dhadap oleh nvestor adalah memaksmalkan mbal hasl (yeld) dar oblgas-oblgas yang menyusun portofolo nvestor. Investor tdak hanya mengharapkan kupon, tetap nvestor juga mengharapkan kenakan nla (captal gan) dar oblgas yang dperoleh dar harga jual oblgas yang lebh tngg dar harga belnya. Untuk memaksmalkan mbal hasl (yeld) oblgas tersebut, nvestor perlu memnmalkan rsko tngkat suku bunga, rsko gagal bayar (default rsk), serta memaksmalkan waktu jatuh tempo oblgas tersebut. Masalah n dapat dmodelkan dengan goal programmng. Goal programmng mula dperkenalkan oleh A. Charnes dan W.M. Cooper pada tahun 955.

16 6 Model n mampu menyelesakan kasus-kasus pemrograman lnear yang memlk lebh dar satu sasaran yang akan dcapa. Strateg nvestas dar munsas portofolo oblgas dapat dhubungkan dengan konsep duras Macaulay. Duras Macaulay dar oblgas ke- dapat dhtung dengan persamaan berkut : T tc T t T D t ( y) ( y) () T C t T t ( y) ( y) dengan y = yeld dar oblgas ke- T = waktu jatuh tempo oblgas (term to maturty) ke- C = tngkat kupon oblgas ke- D = duras dar oblgas ke- = ndeks oblgas Konsep dan persamaan duras Macaulay dperkenalkan dalam (Macaulay 938). Konsep duras Macaulay menghubungkan waktu jatuh tempo dan tngkat kupon untuk memperoleh duras yang dapat dgunakan dalam munsas oblgas. 3. Pengmunsasan Oblgas dar Rsko Gagal Bayar (Default Rsk) Investor berharap untuk dapat mengmunsaskan portofolo dar rsko oblgas yang dsebabkan oleh perubahan tngkat suku bunga. Investor juga berharap dapat menambahkan oblgas perusahaan yang memlk rsko gagal bayar ke dalam portofolo. Dasumskan terdapat dua oblgas yang berasal dar dua kelas rsko yang berbeda. Msalkan yeld dar dua oblgas tersebut dnyatakan dengan y dan y 2. Berdasarkan Defns 9, nla dar setap oblgas per rupah dar nla par dapat dnotaskan sebaga berkut : P = T t= C + y t + + y T =,2. 2 Dasumskan kedua yeld curve oblgas berubah secara acak sebesar λ setelah nvestor melakukan pembelan oblgas, sehngga yeld curve baru akan berubah menjad y = y + λ dan y 2 = y 2 + λ. Akbatnya, nla dar nvestas pada oblgas ke- pada perode nvestas m adalah T * C G, * t m * T m (4) t y y Jka C > 0 dan T m, maka G > 0, λ sehngga G adalah fungs konveks dar λ (Lampran 2). Nla dar portofolo oblgas pada perode nvestas m akan sama dengan V λ = q G + q 2 G 2 (5) Karena G adalah fungs konveks maka berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, V adalah fungs konveks dar λ, sehngga V memlk nla mnmum (lhat Lampran 2). Jka V mnmum maka dperoleh q V λ C t m T m T * mt * T m y y = 0, sehngga T2 C2t m T2 m q 2 0 * mt * T2 m y2 y 2 (6) (lhat Lampran 3). Karena V( ) V(0),, sehngga nvestor harus menyusun portofolo sepert persamaan (6) dengan menggant λ = 0. Pergantan y dengan y dan y2 dengan y2 pada persamaan (6), akan menghaslkan persamaan q P D m + y m +q 2 P 2 D 2 m + y 2 m = 0 7 (lhat Lampran 3). Ddefnskan D = D m + y m + m Msalkan q menyatakan banyaknya oblgas ke- yang dbel, maka kendala budget untuk nvestor adalah A = q P + q 2 P 2. (3)

17 7 dan msalkan x sebaga propors budget A yang dnvestaskan pada oblgas ke- x = q P, sehngga persamaan (7) dapat A dtuls sebaga x D + x 2 D 2 = m (8) (lhat Lampran 3). Msalkan, terdapat N buah oblgas, maka persamaan munsas menjad N = x D = m 9 Kemudan, jka semua oblgas berasal dar kelas rsko yang sama maka y adalah sebuah konstanta. Persamaan (9) dapat dsederhanakan menjad N = x D = m (0) 3.2 Pemaksmuman Yeld Hngga Jatuh Tempo (Yeld To Maturty) Portofolo Semakn banyak portofolo yang terseda maka nvestor akan tertark pada satu oblgas yang memlk V(0) yang maksmum karena portofolo akan memlk tngkat yeld yang maksmum dan rsko yang mnmum. Dengan cara menyederhanakan persamaan (2) dan persamaan (5) pada kasus oblgas N buah, maka akan dperoleh N m V (0) q P ( y ) () (lhat Lampran 3). Dengan membag kedua ss dengan A pada persamaan () dperoleh N V (0) xy, (2) A dengan y ( ) m y (lhat Lampran 3). Kemudan, pemaksmuman mbal hasl (yeld) portofolo hngga jatuh tempo akan sama dengan memaksmumkan persamaan (2). 3.3 Pengendalan Rsko Gagal Bayar Sebuah portofolo yang dmunsas akan mencegah rsko tngkat suku bunga tetap portofolo tetap akan mengandung rsko gagal bayar dar default-grade corporate bond. Investor berharap untuk mengendalkan sejumlah rsko gagal bayar pada portofolo dengan dversfkas konstran. Bentuk konstran yang pertama dasumskan sebaga spesfkas propors maksmum dan mnmum untuk berbaga grup oblgas. Msalkan Γ j mn adalah grup oblgas ke-j yang dbatas oleh propors nvestas mnmum γ j mn. Γ j max adalah grup oblgas ke-j yang dbatas oleh propors nvestas maksmum γ j max. Pada masalah n, dasumskan bahwa jumlah propors budget dar grup oblgas harus lebh besar dar propors nvestas mnmum dan jumlah propors budget dar grup oblgas harus lebh besar dar propors nvestas maksmum. Msalkan x adalah propors budget oblgas ke-, sehngga akan dperoleh kendala sebaga berkut : mn j x mn j j=,, Γ j mn (3) dan max j x max j j=,, Γ j max (4) Kendala dversfkas yang kedua memungknkan untuk perluasan prem rsko gagal bayar pada portofolo. Hal n dperoleh dengan menghtung prem rsko gagal bayar dar setap oblgas. Kemudan jumlah nla prem rsko gagal bayar harus lebh kecl atau sama dengan sebuah tngkat maksmum tolerans prem rsko gagal bayar Δ yang dngnkan nvestor. Msalkan δ ddefnskan sebaga prem rsko gagal bayar dar oblgas, maka kendala n dapat dtuls menjad N = x δ (5) Sebuah alternatf untuk kendala dversfkas kedua pada pertaksamaan (5) dapat dkembangkan untuk menetapkan setap kelas rsko oblgas. Alternatf kendala n

18 8 juga dapat menetapkan nomor ndeks setap oblgas pada kelas rskonya dan juga sebaga kendala rata-rata terbobot pada nomor ndeks. Sebaga contoh, oblgas dapat dtetapkan kelas rskonya dar pemerngkatan oblgas yang dtetapkan oleh Pefndo. Perngkat oblgas yang layak untuk dnvestaskan hanya oblgas berperngkat AAA sampa BBB. Oblgas pemerntah akan dber nla ndeks 0, perngkat oblgas AAA akan dber nla ndeks, perngkat oblgas AA akan dber nla ndeks 2, perngkat oblgas A akan dber nla ndeks 3, dan perngkat oblgas BBB akan dber nla ndeks 4. Msalkan f ddefnskan sebaga nomor ndeks yang dtetapkan untuk setap oblgas ke-, maka kendala yang dperoleh adalah N = x f F (6) dengan F adalah tolerans maksmum nla ndeks. Tolerans maksmum nla ndeks dperoleh dar nla ndeks oblgas perusahaan yang memlk waktu jatuh tempo palng dekat dengan perode nvestas. 3.4 Kendala Pemlhan Portofolo Bullet Pemlhan portofolo oblgas yang dmunsas bukan hanya dar satu kanddat portofolo saja tetap dar banyak kanddat. Kanddat-kanddat n berasal dar portofolo bullet, barbell atau ladder. Portofolo bullet bers oblgas yang memlk waktu jatuh tempo yang sngkat. Portofolo barbell bers oblgas yang beberapa d antaranya memlk waktu jatuh tempo yang sangat sngkat dan beberapa oblgas lannya memlk waktu jatuh tempo yang sangat panjang.sedangkan, portofolo ladder bers oblgas dengan duras rentang waktunya sangat luas. Berdasarkan penjelasan tersebut, performa portofolo bullet lebh bak darpada portofolo barbell atau portofolo ladder, sehngga dperlukan sebuah kendala yang dbutuhkan oleh portofolo oblgas agar performanya sepert portofolo bullet. Spesfkas kendala portofolo bullet dapat dlakukan dengan dua tahap. Pertama, N buah oblgas dbag ke dalam dua grup. Grup N A bers oblgas yang memlk duras D kurang dar perode m, sedangkan grup N B bers oblgas yang memlk duras D lebh panjang darpada perode m. Kedua, devas rata-rata terbobot absolut (Mean Absolute Devaton/MAD) dar perbedaan duras kedua oblgas dengan perodenya dapat dhtung dengan menggunakan persamaan (7a) MAD x ( m D ) x ( D m), N A NB dengan N A = oblgas yang memlk waktu jatuh tempo yang kurang dar perode nvestas, sedangkan N B = oblgas yang memlk waktu jatuh tempo yang lebh panjang dar perode nvestas. Persamaan (7a) dapat dsederhanakan menjad N MAD x D m. (7b) MAD merupakan kesalahan peramalan (forecastng error) terhadap selsh duras dengan perode nvestas. Semakn kecl kesalahan peramalan yang dhaslkan, maka hasl yang dperoleh semakn bak. Oleh sebab tu, kendala portofolo bullet dperoleh dar MAD yang kurang dar atau sama dengan jumlah arbtras, akbatnya N = x D m β 7c Sebaga tambahan, jumlah propors budget dar setap oblgas harus sama dengan satu dan jumlah propors budget dar setap oblgas juga harus taknegatf, yatu N x (7d) x 0, (7e) 3.5 Formulas Masalah Imunsas dengan Goal Programmng Penyelesaan munsas oblgas dengan goal programmng n dlakukan dengan mengatur urutan pemnmuman varabel devas dar prortas yang tertngg sampa yang terendah. Urutan pemnmuman varabel devas d dalam model akan menentukan urutan sasaran yang tercapa. Prortas sasaran tertngg untuk munsas oblgas akan djamn bla yeld portofolo palng tdak sama dengan, dengan ddefnskan sebaga yeld yang dngnkan.

19 9 Kendala sasaran n dapat dtunjukkan dengan persamaan berkut : dengan F adalah tolerans maksmum nla ndeks, dan N xy d d. (8) Sasaran n akan muncul dalam fungs objektf sebaga Mnmumkan d, (9) dengan dgunakan untuk menyatakan bahwa d memlk prortas teratas. Spesfkas pada prortas kedua dan ketga dkembangkan dar tngkat rsko gagal bayar dan pembentukan portofolo bullet. Msalkan pengendalan tngkat rsko gagal bayar adalah prortas sasaran yang lebh tngg darpada pembentukan portofolo bullet. Msalkan p adalah banyaknya kendala yang ada pada model untuk Γ mn j, sedangkan q adalah banyaknya kendala yang ada pada model untuk Γ max j, sehngga nvestor akan menambahkan p q 2 d j d j p d 2 pq j j + 3d 3pq pada fungs objektf d persamaan (9). Varabel-varabel devas muncul dar modfkas persamaan-persamaan berkut n : mn j x d d mn j j j j =l,.., Γ j mn, (20) max j x d d max j p j q j j=,..., Γ j max, (2) N x d d, 2 pq 2 pq (22a) dengan Δ adalah tngkat maksmum tolerans prem rsko gagal bayar Δ yang dngnkan nvestor. atau N x D m d 3 pq d 3 pq. (23) d j Pada persamaan (20), varabel devas dapat dhlangkan dar fungs objektf karena nvestor tdak menghraukan jka jumlah propors grup oblgas ke j melebh propors nvestas mnmum. Varabel devas d pada persamaan (2) juga j p dhlangkan dar fungs objektf karena nvestor tdak menghraukan jka jumlah propors grup oblgas ke j lebh kecl dar propors nvestas maksmum, d dan 2pq d 3pq pada persamaan (22a) atau (22b) dan (23) juga dapat dhlangkan dar fungs objektf karena nvestor tdak menghraukan bla nla persamaan lebh kecl dar nla d ruas ss kanan persamaan. Prortas sasaran keempat dperoleh dar ketga prortas sasaran awal. Pada tahap n ada lebh dar satu solus yang dapat mencapa ketga sasaran awal, yatu p q j j p j j d 2 pq d 3 pq 0 d d d Mengngat kemungknan solus berganda (multple soluton), nvestor akan lebh tertark pada portofolo yang memlk yeld yang palng tngg. Masalah n dapat dselesakan dengan menambahkan kendala sasaran yang keempat, yatu : N ' x y d4 p q 2, (24) dengan adalah nla yeld yang besar. Nla 2 α 2 sama dengan nla terbesar pada { y }, sehngga sasaran keempat dperoleh dengan menambahkan 4d 4pq pada fungs objektf. N x f d 2 pq d 2 pq F, (22b)

20 0 Dar fungs objektf dan kendala yang ddapat, formulas goal programmng dar masalah munsas portofolo oblgas dapat dtuls sebaga berkut: Mnmumkan d p q 2 d j d j p d 2 pq j j d + 3 d 3 p q 4 4 p q terhadap N mn j x y d d, ' x d d mn j j j j =,, Γ j mn, max j N atau N x d d max j p j q j j =,, Γ j max, x d d, 2 pq 2 pq x f d d F, 2 pq 2 pq N ' x y d4pq 2 N x D m d d. 3 pq 3 pq N N * x D m x,,, x, d j, d j + 0, j IV CONTOH KASUS DAN PENYELESAIANNYA 4. Contoh Kasus Optmas Portofolo Oblgas yang Termunsas Msalkan terdapat tga puluh oblgas yang dplh dar berbaga rsko gagal bayar dan jatuh temponya. Terdapat lma kelas rsko, yatu: oblgas pemerntah yang tdak berperngkat dan empat macam oblgas perusahaan yang berperngkat AAA, AA, A, dan BBB. Enam oblgas dplh dar setap kelas tersebut dan dplh oblgas yang memlk waktu jatuh tempo yang beragam. Dasumskan bahwa oblgas dplh dengan tngat kupon rendah dan tdak ada ops call (dapat dlhat pada Tabel ). Tabel Informas oblgas Oblgas Jens oblgas Tngkat kupon Perngkat oblgas Tanggal jatuh tempo Yeld to maturty Oblgas Negara th. 200 RI Ser FR Sep Oblgas Negara th Ser FR Jul Oblgas Negara th. 200 RI Ser FR Jul Oblgas Negara th Ser FR Sep Oblgas Negara th. 200 RI Ser FR Sep Oblgas Negara RI Ser FR Jul Bank Ekspor Indonesa IV tahun 2009 Ser B.6 AAA 8-Jun Bank Ekspor Indonesa IV tahun 2009 Ser C AAA 8-Jun Bank Ekspor Indonesa IV tahun 2009 Ser D AAA 8-Jun

21 Tabel Informas Oblgas (Lanjutan) Oblgas Jens oblgas Tngkat kupon Perngkat oblgas Tanggal jatuh tempo Yeld to maturty 0 Oblgas Bentoel I tahun AAA 27-Nov Oblgas II Telkom tahun 200 Ser A 9.60 AAA 6-Jul Oblgas II Telkom tahun 200 Ser B 0.20 AAA 6-Jul Oblgas Astra Sedaya Fnance XI tahun 200 Ser G 0.90 AA 8-Mar Oblgas VII Bank Jabar tahun 20 Ser C AA 9-Feb Oblgas XIII Perum Pegadaan tahun 2009 Ser C AA -Jul Bank BTN XIV tahun AA -Jun Oblgas PLN IX tahun 2007 Ser B 0.90 AA 0-Jul Indosat II tahun 2002 Ser B 6.00 AA 6-Nov Oblgas Matahar Putra Prma III tahun 2009 Ser A 6.00 A 4-Apr Oblgas Summarecon Agung II tahun A 25-Jun Oblgas Verena Mult Fnance I tahun 20 Ser C.25 A 8-Mar Oblgas Bank Sulut IV tahun A 9-Apr Oblgas V Danareksa tahun 200 Ser B 0.20 A -Jan Oblgas Subordnas I Bank Nagar tahun A 3-Jan Bank Vctora II tahun BBB 2-Mar Oblgas Duta Pertw V tahun BBB -Jul Oblgas Snar Mtra Sepadan I Fnance 200 Ser B 3.5 BBB 8-Jan Oblgas Aneka Gas Industr I tahun BBB 8-Jul Oblgas I Bakreland Developmenttahun 2008 Ser B 2.85 BBB -Mar Oblgas Snar Mtra Sepadan I Fnance 200 Ser C 3.35 BBB 8-Jan Sumber: Penla Harga Efek Indonesa/Indonesa Bond Prcng Agency (IBPA) (Aprl 20) Setap oblgas dber nomor ndeks yang dnyatakan sebaga berkut: 0 untuk oblgas pemerntah, untuk AAA, 2 untuk AA, 3 untuk A, dan 4 untuk BBB pada oblgas perusahaan. Batas perode nvestas m dplh 36 bulan atau 3 tahun dmula sejak 3 Aprl 20. Dasumskan bahwa setap portofolo termunsas harus memlk karakterstk sebaga berkut: palng sedkt 25% modal harus dnvestaskan pada oblgas pemerntah γ mn = 0.25, Γ mn =, 2,, 6, tdak lebh dar 25% modal bsa dnvestaskan pada setap oblgas perusahaan γ max j = 0.25, Γ max j = j+6 j=,, 24, tdak lebh dar 50% modal bsa dnvestaskan pada dua kelas rsko dengan perngkat terbawah pada kelas rsko oblgas perusahaan (A dan BBB) γ max 25 = 0.50, Γ max 25 = 9, 20,, rata-rata terbobot prem rsko gagal bayar bsa dsesuakan dengan nomor ttk bass dar gagal bayar yang berhubungan dengan oblgas yang memlk perngkat

22 2 oblgas AA dan waktu jatuh temponya hampr sama dengan batas perode nvestas m = δ 3 = = , atau rata-rata terbobot dar ndeks rsko gagal bayar bsa dsesuakan dengan oblgas yang memlk perngkat oblgas AA, sehngga F = 2.0, dan portofolo bullet dkonstruks sehngga memlk devas rata-rata terobot absolut (MAD) yang tdak lebh besar dar perolehan nla dengan mengontruks sebuah persamaan portofolo yang terbobot dar dua oblgas dengan perngkat oblgas AA, sehngga portofolo memlk duras yang dekat dengan batas duras nvestas (β = ( D 4 m + D 3 m )/2 = (D 4 D 3 )/2 = ( )/2 = ). nla target untuk α =.387. α adalah sejumlah nla present value + y m dar oblgas ke-3. Oblgas ke-3 dplh karena waktu jatuh temponya hampr sama dengan batas duras nvestas (36 bulan) dan memlk perngkat oblgas AA, sedangkan α 2 adalah yeld portofolo yang lebh besar dar present value + y m terbesar dar keseluruhan oblgas, maka dplh α 2 =.589 yang sesua dengan oblgas ke-8 (lhat Tabel 2). Tabel 2 Matrks data untuk seluruh oblgas Oblgas y = + y m D D δ f D m Pada matrks data oblgas, D, D, dan D m dnyatakan dalam bulan. Berdasarkan Tabel 2 yang dberkan, model goal programmng dapat dformulaskan menjad Mnmumkan 25 z = Φ d + Φ 2 d d j +2 j = + + d 28 + Φ 3 d Φ 4 d

23 5 terhadap = 6 = x y + d d + =.387, x x + d 4 =9 =7 atau =7 = = = x x x x x y + d 2 d 2 + = 0.25, d + 4 = 0.25, = 7,,, + d 27 d + 27 = 0.50, δ + d 28 d + 28 = , f + d 28 d + 28 = 2.0, D m + d 29 d + 29 = , + d =.589, x D = 36, x =.0, x, d j, d j + 0 =, j 4.2 Penyelesaan Masalah Optmas Portofolo Oblgas yang Termunsas Penyelesaan masalah optmas portofolo oblgas yang termunsas dengan goal programmng pada karya lmah n dlakukan dengan memanfaatkan software LINGO.0. Tahap pertama untuk menyelesakan masalah n alah dengan membag fungs objektf menjad empat bagan sesua dengan urutan prortas. Prortas pertama Mnmumkan d terhadap = 6 = x y + d d + =.387, x x + d 4 + d 2 d 2 + = 0.25, d + 4 = 0.25, = 7,,, =9 =7 x x atau =7 = = = x x x y + d 27 d + 27 = 0.50, δ + d 28 d + 28 = , f + d 28 d + 28 = 2.0, D m + d 29 d + 29 = , + d =.589, x D = 36, x =.0, x, d j, d j + 0 =, j Tujuan yang pertama berhasl dperoleh, sehngga fungs objektf yang ddapat d = 0. Kemudan dlanjutkan dengan menambahkan d = 0 pada kendala d prortas kedua. Prortas kedua Mnmumkan 25 d d j +2 j = terhadap = 6 = + + d 28 x y + d d + =.387, x x + d 4 =9 =7 atau =7 = x x x x + d 2 d 2 + = 0.25, d + 4 = 0.25, = 7,,, + d 27 d + 27 = 0.50, δ + d 28 d + 28 = , f + d 28 d + 28 = 2.0, D m + d 29 d + 29 =

24 5 = = x y + d =.589, x D = 36, x =.0, d = 0, x, d j, d j + 0 =, j Karena tujuan pertama dan kedua berhasl dperoleh secara smultan, maka dperoleh sebuah nla fungs objektf yang optmal yatu d j = d j +2 + d + 28 = 0. Kemudan pada prortas yang ketga, dlanjutkan dengan menambahkan d = 0 dan d j = d j = 0 pada kendala. d 28 Prortas ketga + Mnmumkan d 29 terhadap = 6 = x y + d d + =.387, x x + d 4 =9 =7 x atau =7 = = = x x x + d 2 d 2 + = 0.25, d + 4 = 0.25, = 7,,, + d 27 d + 27 = 0.50, δ + d 28 d + 28 = , x y f + d 28 d + 28 = 2.0, D m + d 29 d + 29 = , + d =.589, x D = 36, x =.0, d = 0, 25 d d j +2 j = = + d + 28 = 0 x, d j, d j + 0, j Kemudan dlanjutkan dengan menambahkan d = 0, d j = d j +2 + d + 28 = 0, dan d + 29 = 0 pada kendala, maka akan dperoleh model untuk prortas keempat. Prortas keempat Mnmumkan d terhadap = 6 = x y + d d + =.387, x x + d 4 =9 =7 atau =7 = = = x x x x x y + d 2 d 2 + = 0.25, d + 4 = 0.25, = 7,,, + d 27 d + 27 = 0.50, δ + d 28 d + 28 = , f + d 28 d + 28 = 2.0, D m + d 29 d + 29 = , + d =.589, x D = 36, x =.0, = d = 0, d + 29 = 0 25 d d j +2 j = x, d j, d j d + 28 = 0, j Solus yang ddapat pada prortas keempat adalah d =

25 5 Dengan menggunakan software LINGO.0, solus optmal yang dperoleh dar model goal programmng n bsa dlhat pada Tabel 3 dan Tabel 4. Tabel 3 Propors optmal portofolo oblgas yang termunsas Oblgas Propors Tabel 4 Pencapaan multsasaran portofolo oblgas yang termunsas Mn Tujuan (Goal) Solus Optmal Mn d 0 25 d d j +2 j = + + d 28 Mn d 29 Mn d z Dar Tabel 3 dan Tabel 4 dapat djelaskan bahwa propors optmal produk oblgas yang harus dnvestaskan adalah sebesar 0.3 bagan dar modal, produk oblgas 4 sebanyak 0.5 bagan dar modal, produk oblgas 8 sebanyak bagan dar modal, produk oblgas Dar Tabel 2 sebanyak 3 dan Tabel bagan dapat dar djelaskan modal, produk bahwa oblgas propors 24 optmal sebanyak produk dar 0.25 oblgas bagan dar yang modal, harus dnvestaskan dan produk oblgas adalah 25 sebesar sebanyak bagan bagan dar modal, maka: produk oblgas 9. sebanyak sasaran memaksmalkan bagan yeld dar portofolo modal, produk terpenuh, oblgas sebanyak bagan sasaran dar memnmalkan modal, produk rsko oblgas gagal bayar 8 sebanyak terpenuh, bagan dar modal, 3. produk sasaran oblgas memnmalkan 20 sebanyak rata-rata dar 0.25 devas bagan dar absolut modal, (MAD) dan produk dar oblgas waktu 25 jatuh sebanyak tempo terpenuh, bagan dar modal, maka: 4.. sasaran memaksmalkan nla yeld yeld portofolo yang terbesar terpenuh, tdak terpenuh, sehngga 2. sasaran nla memnmalkan fungs objektf rsko yang gagal dperoleh bayar adalah terpenuh, Hal sasaran n menunjukkan memnmalkan bahwa rata-rata nvestor devas gagal memperoleh absolut (MAD) yeld oblgas dar waktu terbesar jatuh tempo yatu.589 terpenuh, tetap nvestor dapat memlk nla yeld 4. sasaran yang memaksmalkan palng tngg sebesar nla yeld.589- yang 0.256=.333 terbesar terpenuh, dengan propors sepert Tabel 3. Nla sehngga yeld yang nvestor nla peroleh lebh fungs tngg dar nla yeld yang nvestor harapkan yatu sebesar.387. V SIMPULAN DAN SARAN 5. Smpulan Karya lmah n merupakan usaha mencar alternatf teknk untuk mencar portofolo oblgas yang termunsas optmal selan menggunakan pemrograman lnear. Masalah optmas portofolo oblgas yang termunsas n dapat dpandang sebaga model goal programmng karena model n dapat dgunakan untuk memodelkan masalah dengan lebh dar satu fungs objektf. Masalah optmas portofolo oblgas yang termunsas dengan goal programmng menggunakan prortas dan menghaslkan enam oblgas dar kelas rsko yang berbeda. Prortas pertama, kedua dan ketga pada model goal programmng berhasl dcapa, sedangkan prortas keempat tdak berhasl dcapa. Walaupun dalam kasus n, nvestor tdak mendapatkan yeld terbesar, tetap nvestor mampu menghaslkan yeld yang lebh besar dar yeld yang dngnkan nvestor dengan perode nvestas 3 tahun atau 36 bulan. Penyelesaan n telah menggunakan model goal programmng dan software LINGO.0 untuk menurunkan alternatfalternatf putusan yang dperlukan dalam proses pembuatan keputusan nvestas. 5.2 Saran Pada karya lmah n data yang dgunakan hanya tga puluh oblgas dengan tngkat kupon yang rendah. Saran untuk penulsan dan peneltan selanjutnya adalah dengan menggunakan jens sekurtas yang beragam, bak saham maupun oblgas sehngga yeld yang dharapkan jauh lebh besar dan juga dapat menggunakan berbaga perode nvestas untuk memlk alternatf lan dalam strateg nvestas. Peneltan lan juga bsa menggunakan berbaga macam urutan prortas untuk mendapatkan hasl optmal yang beragam.

26 DAFTAR PUSTAKA Alexander GJ, Resnck BG Usng lnear and goal programmng to mmunze bond portfolos. Journal of Bankng and Fnance 9 (): Berwag GO, Khang C An mmunzaton strategy s a mnmax strategy. Journal of Fnance 34: Bode Z, Kane A, Marcus AJ Investments 6 th ed. New York: McGraw-Hll. Keown AJ, Martn JD, Petty JW, Scott DF Dasar-Dasar Manajemen Keuangan ED ke-7. Penerjemah: Djakman, C.D. Jakarta: Salemba Empat. Terjemahan dar: Fnancal Management: Prncples and Applcatons. Manurung IRS, Trenggono W, Hutapea I, Sswanto E. 20. Bond Informaton. Jakarta: Penla Harga Efek Indonesa/ Indonesa Bond Prcng Agency (IBPA). Nash SG, Sofer A Lnear and Nonlnear Programmng. New York: McGraw-Hll. Peressn AJ, Sullvan FE, Uh JJ The Mathematcs of Nonlnear Programmng. New York: Sprnger. Sartono RA Manajemen Keuangan. Yogyakarta: BPFE. Wnston WL Operatons Research Applcatons and Algorthms 4 th ed. New York: Duxbury.

27 2

28 8 Lampran Pembuktan Teorema 2 dan Teorema 3 Pembuktan Teorema 2 Pembuktan Teorema 2 dlakukan dengan menggunakan nduks matematk. Terlebh dahulu akan dtunjukkan bahwa Jka f dan f 2 merupakan fungs konveks d S, maka f + f 2 juga merupakan fungs konveks d S. Msalkan y, z ϵ S dan 0 λ, maka dar defns operas penjumlahan fungs dperoleh f + f 2 λy + λ z = f λy + λ z + f 2 λy + λ z Karena f dan f 2 fungs konveks maka f λy + λ z + f 2 λy + λ z λf y + λ f z + λf 2 y + λ f 2 z = λ f + f 2 y + λ f + f 2 z Jad f + f 2 λy + λ z λ f + f 2 y + λ f + f 2 z yang berart f + f 2 merupakan fungs konveks. Andakan pernyataan benar untuk n = k, dengan k 2, yang berart: jka f, f 2, f 3,, f k fungs konveks, maka f + f 2 + f f k juga fungs konveks Akan dtunjukkan pernyatan benar untuk n = k +, yatu akan dtunjukkan bahwa jka f, f 2, f 3,, f k+ fungs konveks, maka f + f 2 + f f k+ juga fungs konveks Bukt: Dar defns operas penjumlahan fungs dperoleh f + f 2 + f f k+ λy + λ z = f + f 2 + f f k λy + λ z + f k+ λy + λ z Karenaf + f 2 + f f k dan f k+ fungs konveks maka Jad f + f 2 + f f k λy + λ z + f k+ λy + λ z λ f + f 2 + f f k y + λ f + f 2 + f f k z + λf k+ y + λ f k+ z = λ f + f 2 + f f k+ y + λ f + f 2 + f f k+ z f + f 2 + f f k+ λy + λ z λ f + f 2 + f f k+ y + λ f + f 2 + f f k+ z Terbukt. Pembuktan Teorema 3 Msalkan y, z ϵ S dan 0 λ. Karena f fungs konveks, maka f λy + λ z λf y + λ f z, Jka α adalah blangan yang postf, maka bla kedua ruas pertaksamaan dkalkan dengan α menjad αf λy + λ z λαf y + λ αf z, Dar defns fungs konveks, maka αf juga merupakan fungs konveks pada S. Terbukt.