PENGENALAN POLA HURUF KAPITAL TULISAN DENGAN ANALISIS DISKRIMINAN LINIER 2-DIMENSI SIMETRIS

Transkripsi

1 ZEO UNA MAEMAIKA DAN EAPAN Volume No. 7 P-ISSN: X E-ISSN : PENGENAAN POA HUUF KAPIA UISAN DENGAN ANAISIS DISKIMINAN INIE -DIMENSI SIMEIS na Wdyasar, Ismal Husen Program Stud Matemata FS Unverstas Islam Neger Sumatera Utara rna.dyasar@gmal.com, rnadyasar@unsu.ac.d Astra Pengenalan Pola secara Statsta (Statstcal Pattern ecognton) merupaan suatu sstem yang ertujuan menglasfas oje-oje e dalam ategor-ategor atau elas-elas. a deran suatu matrs data A, A = {,,, }, dmana memuat n tt data dar elas e maa pola-pola yang terdapat pada masng-masng elas dapat dlasfas dan dapat dlhat jara pemsahan antar elas dan dalam elas hmpunan data terseut. Pada peneltan n dgunaan Analss Dsrmnan ner Dua- Dmens Smetrs seaga metode penglasfasan yang tujuannya memasmuman jara matrs searan antar-elas (S) dan memnmuman jara matrs searan dalam-elas (S), dan dapat mengatas masalah eraguan yang dtmulan pada matrs gamar yang tda smetrs (X X ), dmana S dan S terdefns ganda. Peneltan n dtujuan pada pengenalan pola huruf aptal smetrs tulsan tangan sepert A, B, C, D, E, H, I, K, M, O, S, U, V, W, dan Y dengan menggunaan algortma AD-D Smetrs yang aan menghaslan lasfas yang aurat dan leh efsen. Kata Kunc: Analss Dsrmnan ner -Dmens Smetrs, Pengenalan Pola, Huruf Kaptal ulsan angan Astract Statstcal pattern recognton s a system that ams to classfy a numer of ojects to a numer of categores or classes. Gven a data matrx A, A = {,,, } here consst of n pont data of th class then patterns n each classes can classfy and separate dstance of thn and eteen-class n datasets. In ths paper, Symmetrc o-dmensonal near Dscrmnant Analyss proposed to maxmze the eteen-class scatter matrces (S) and mnmze the thn-class scatter matrces (S), and can recognton the symmetrc captal letter y hand rtng such as A, B, C, D, E, H, I, K, M, O, S, U, V, W and Y y usng AD-D algorthm. Key Word: Analss Dsrmnan ner -Dmens Smetrs, Pengenalan Pola, Huruf Kaptal ulsan angan

2 . Pendahuluan Pengenalan pola atau denal dengan seutan pattern recognton merupaan salah satu caang sans yang pada dasarnya adalah suatu sstem yang ertujuan menglasfas oje-oje e dalam ategor-ategor atau elas-elas (heodords, 3), erdasaran a pada apror pengetahuan atau pada nformas statst yang daml dar pola. Proses pada sstem pengenalan pola dmula dar pemlhan pola seaga sensor, emudan pola-pola terseut masu e ten pemrosesan, agan representas, dan terahr adalah proses pemodelan pemuatan eputusan. Pendeatan tera yang dgunaan untu pengenalan pola pada peneltan n alah lasfas statst. Beragam algortma dapat dterapan untu pengenalan pola. Salah satunya yatu Analss Dsrmnan ner yang selanjutnya dsngat penuls dengan AD telah suses daplasan dalam vsualsas omputer. Seaga suatu pendeatan analss suruang untu mempelajar strutur erdmens rendah data erdmens tngg, AD mencar suatu hmpunan vetor-vetor yang memasmuman Crteron Fsher Dscrmnant. Metode n secara smultan memnmuman searan dalam elas (S) dan memasmuman searan antar elas (S) dalam proyes ftur ruang vetor. Pada matrs -Dmens sepert gamar, dan pada umumnya gamar ersfat tda smetrs X X, maa matrs searan antar elas maupun matrs searan dalam elas ddefnsan tda tunggal yan S ( XX ) S ( X X ), S ( XX ) S ( X X ), sehngga terdapat sejumlah plhan-plhan yang mungn untu menentuan fungs ojetf AD yang tepat. Pengenalan pola huruf aptal tulsan tangan adalah salah satu aplas dar analss dsrmnan lner -dmens smetrs. Penulsan huruf aptal dalam standar au yang dgunaan dalam proses pengenalan pola n yatu huruf A, B, C, D, E, H, I, K, M, O, S, U, V, W dan Y.. Analss Dsrmnan ner Dalam proses lasfas, uur terleh dahulu araterst-araterst pengamatan dar sampel. Estras seluruh nformas yang terdapat dalam sampel untu menghtung nla sampel-atu untu suatu pola erentu urva, dan tngat ehtaman dar psel untu suatu fgur, sepert yang dtunjuan dalam gamar.. Pxel # Pxel #n

3 Gamar.. Contoh penguuran pola huruf N n a deran suatu matrs data A, metode AD las ertujuan N l menemuan suatu transformas G yang memetaan setap olom a dar matrs A, untu n, dalam ruang dmens N e vetor dalam ruang dmens l. Yan G : N a n G a l ( l N). Dengan ata lan, AD ertujuan menemuan suatu ruang vetor drentangan oleh { g } l d mana G= [g, g,,gl], sehngga setap a dproyesan e oleh ( g. a,...,. ) l gl a (Ye et. al, 4). Asumsan aha data asl dalam A dparts e dalam elas sehngga A = {,,, }, dmana memuat n tt data dar elas e, dan n n. AD las ertujuan untu menemuan transformas optmal G sehngga strutur elas dar data ruang erdmens tngg yang asl duah e dalam ruang erdmens rendah (Ye et. al, 4). Dalam AD, transformas e suruang yang erdmens leh rendah yatu y G x (uo et al, 7) () d mana G merupaan transformas e suruang. Serng juga dtulsan dengan (y,..., yn) = G (x,..., xn) atau Y = G X. ujuan utama dar AD adalah mencar nla G sehngga elas dapat leh terpsah dalam ruang transformas dan dengan mudah dapat dedaan dar yang lannya. Dalam metode Analss Dsrmnan ner, terdapat dua matrs searan yatu matrs searan dalam-elas dsmolan dengan S, dan matrs searan antar-elas dsmolan dengan S, masng-masng ddefnsan seaga erut: c S [ x m ][ x m ] () x c S n [ m m][ m m] (3) d mana n adalah jumlah sampel pada elas x, dan m adalah mage rata-rata dar elas e- dan m adalah rata-rata eseluruhan. umus rata-rata elas dan rata-rata eseluruhan adalah seaga erut: m x adalah mean (rata-rata) dar elas e-, dan m x x x n n adalah rata-rata eseluruhan (Fuunaga, 99). Optmsas umum dalam Analss Dsrmnan ner melput (Fuunaga, 99): S( Y) G S( X ) G max G ( ) tr tr (6) G S ( Y) G S ( X ) G

4 .. Analss Dsrmnan ner -Dmens Peredaan utama antara AD las dan AD-D yang penelt usulan dalam peneltan n adalah tentang peralan (representas) data. AD las menggunaan representas vetor, sedangan AD-D eerja dengan data dalam representas matrs. Dalam penggunaan metode AD-D aan terlhat aha representas mengarah e egen-deomposs pada matrs dengan uuran leh ecl. eh husus, AD-D melatan egen-deomposs matrs dengan uuran r r dan c c, yang jauh leh ecl darpada matrs AD las (Ye et. al, 5). Dalam AD-D telah dsepaat aha suatu hmpunan gamar rc dsmolan dengan X =(X, X,..., Xn), X. Dengan ntus yang sama dengan AD las, AD-D mencoa untu mencar suatu transformas lner Y = X (7) sehngga elas-elas yang ereda dpsahan. Kuncnya adalah agamana memlh ruangagan dan erdasaran matrs searan dalam elas dan antar elas (uo et. al, 7). rc Msalan A, untu =,,, n adalah gamar (pola) dalam dataset, emudan masng-masng pola delompoan e dalam,,, dmana meml n gamar (pola). Msalan M X adalah rata-rata dar elas x n e,, dan M X erart rata-rata eseluruhan. Dalam x n DDA, penelt menganggap gamar seaga snyal dua dmens dan ertujuan rl cl untu menemuan dua matrs transformas dan yang rc ll memetaan setap anggota A untu x n, e suatu matrs B sehngga B = A. Sama halnya sepert AD las, ADD ertujuan untu mencar transformas (proyes) optmal dan sehngga strutur elas dar ruang erdmens tngg yang asl duah e ruang erdmens rendah. Suatu esamaan metr alam antara matrs adalah norma Froenus (Ye, et. al, 4). Kuadrat jara dar thn-class (dalam elas) dan eteen class (antar elas) dapat dhtung seaga erut: trace (M M )=, F x D X M M F (8) F D n M M, untu suatu matrs M, maa dperoleh D trace X M F (9) x D trace X M F () x

5 Dalam ruang erdmens rendah, hasl dar transformas lner dan, jara thn-class dan eteen class menjad: D trace X M X M () x D trace n X M X M ransformas optmal dan aan memasmuman () D dan memnmuman D, oleh arena esultan menghtung optmal dan secara smultan, erut n adalah algortma untu ADD. eh hususnya, untu suatu tetap, ta dapat menghtung optmal dengan memecahan permasalahan optmsas yang sama dengan persamaan (). Dengan menghtung, ta emudan dapat memperaharu dengan memecahan masalah optmsas lan seaga satusatunya penyelesaan dalam persamaan (6). Perhtungan Untu suatu tetap, D dan D dapat dtuls emal seaga d mana D trace S, D trace S (3) ( ) ( ), ( ) ( ) X S X M X M S n M M M M (4) optmal dapat dhtung dengan memecahan masalah optmsas erut: max trace (( S ) ( S )). Penyelesaannya dapat dperoleh dengan memecahan masalah generalsas nla egen erut: Sx S x. Karena S secara umum adalah nonsngular, maa optmum dapat dperoleh dengan menghtung suatu egen-deomposs pada ( S ) S. Catatan aha uuran dar matrs S dan S adalah r r (matrs ujursangar), yang uurannya leh ecl dandngan uuran matrs S dan S dalam AD las. Perhtungan Kemudan menghtung untu suatu yang tetap. emal seaga d mana D D dan trace S, D trace S D dapat dtuls (5) X (6) S ( X M ) ( X M ), S n ( M M ) ( M M ) Optmal dapat dhtung dengan memecahan masalah optmsas erut: max trace (( S ) ( S )). Penyelesaannya dapat dperoleh dengan memecahan masalah generalsas nla egen erut: S x S x. Karena S secara umum

6 adalah nonsngular, maa optmum dapat dperoleh dengan menghtung suatu egen-deomposs pada ( S ) S. Catatan aha uuran dar matrs S dan S adalah r r (matrs ujursangar)..3 Analss Dsrmnan ner -Dmens Smetrs (AD-D Smetrs) elah dutaraan pada a seelumnya aha pendeatan penglasfasan dengan Analss Dsrmnan ner -Dmens (AD-D) menmulan masalah eraguan yang mendasar yatu: erdapat dua cara untu mendefnsan matrs searan dalam-elas S XX j j j X j S ( ) ( X M )( X M ) XX j j j x j S ( ) ( X M ) ( X M ) dan terdapat dua cara untu mendefnsan matrs searan antar-elas XX j j j j S ( ) n ( M M )( M M ) XX j j j j S ( ) n ( M M ) ( M M ) Oleh arena tu, dalam ruang transformas dapat dtulsan S ( YY ), S ( Y Y ), S ( YY ), S ( Y Y ), Pada umumnya, gamar tda ersfat smetrs: X X, maa S ( YY ) S ( Y Y ), S ( YY ) S ( Y Y ), Karena alasan n, fungs ojetf AD menjad amgu yan menmulan sejumlah plhan: S( YY ) tr S ( YY ) S tr S ( YY) ( YY) S( YY ) S( Y Y) tr S( YY ) S( Y Y) S( Y Y) S( YY ) tr, S( Y Y) S( YY ) S( YY ) S( Y Y) tr, S ( YY ) S ( Y Y) S

7 Analss Dsrmnan ner -Dmens Smetrs dalam menyelesaan masalah amgu d atas. dmotvas dengan suatu unc pengamatan: ja gamar smetrs. yan X = X. maa S ( XX ) S ( X X ), S ( XX ) S ( X X ). Penyelesaan masalah n menggunaan suatu representas data aru yatu transformas lner smetrs. Y X = Γ Γ, Γ = Y X Pada Fuunaga(99), matrs Γ ddefnsan seaga: n yan matrs yang dagonal utamanya merupaan nla varans dar suatu data dan elemen yang lannya. ransformas lner d atas evalen dengan transformas lner Y = X. Penjaarannya yan seaga erut: Y X = Γ Γ, Γ = Y X Y X = Y X Y X = Y X Y X = Y X Y X = Y X dperoleh Y = X dan Y = X. Kta juga meml X Y - Γ Γ = X - Y X Y Oleh arena tu, optmsas menggunaan (, ) evalen dengan optmsas menggunaan Γ. Selan tu. dengan menggunaan transformas lner smetrs. dhaslan suatu teorema: eorema : Fungs ojetf AD tunggal untu AD-D alah

8 S (YY ) S (Y Y) ADD tr tr S (YY ) S (Y Y) (7) S S ADD tr (8) S S Dengan menggunaan teorema, dalam asus matrs tda smetrs yang mengaatan S dan S dalam ruang X terdefns ganda juga mengaatan S dan S dalam ruang Y terdefns ganda. Sehngga ' S( YY ) S = tr tr S ( YY ) S ' S( Y Y) S ( Y Y) S = tr tr S Dalam pendeatan optmas yang ndependen, untu memperoleh dapat dlauan dengan cara memasmuman (tola ) dan emudan memperoleh dengan cara memasmuman (tola ). Hal terseut tda onssten dalam mengoptmuman fungs ojetf, yatu eta memasmuman, mengalam penurunan egtu juga sealnya. Permasalahan terseut dapat dselesaan dengan dua ten yatu pertama, eta memasmuman, harus menghtung. etap, d ss lan juga perlu mengetahu agamana caranya mengomnasan dan. Komnas sederhana yang dapat dlauan yatu = + yatu S S = tr (9) S S Cara yang edua yatu agamana mengoptmuman fungs ojetf. Solus untu memasmuman max secara sederhana dapat dlauan dengan menghtung vetor egen dar S S, perhtungan yang sama sepert metode Analss Dsrmnan ner. Namun, fungs ojetf yang telah djaaran pada persamaan (9), tda dapat dgunaan untu menentuan trace dar suatu raso tunggal dua matrs searan terseut. Hal terseut terjad arena fungs ojetf terseut tda dapat dselesaan secara searah melalu perhtungan egenvetor (sama sepert AD standar). Namun, hal terseut dapat datas dengan mengemangan suatu algortma efsen dengan menggunaan pendeatan graden-na. Pendeatan n menurunan fungs ojetf. urunan dar fungs matrs derjaan dengan menggunaan aljaar matrs dasar yang terdapat dalam uu Fuunaga (99). Haslnya dtunjuan dalam emma erut:

9 emma : Anggap P = S, Q = S, P = S. dan Q = S. urunan fungs ojetf AD-D pada persamaan (3.) yan seaga erut Untu dperoleh S tr S Q S Q P Q dan S Untu S K tr ( ) ( ) S A A M Q A M K ( ) ( ) M M Q P Q M M dperoleh S tr S Q S Q P Q dan S S K tr ( ) ( ) S A A M Q A M K ( ) ( ) M M Q P Q M M () () Dengan menggunaan rumus esplst graden d atas, suatu algortma dapat demangan sepert algortma untu mempermudah lasfas yang daplasan e dalam vsualsas omputer, erut n algortma efsen dengan menggunaan pendeatan graden-na. Algortma Input AD-D Smetrs dengan menggunaan graden a) Seumpulan gamar ) Insalsas, c) Freuens c untu ortogonalsas Insalsas, a) ) Htung M, =..... K dan M n X dan lael dar masng-masng elas M adalah rata-rata tap elas sedangan M adalah rata-rata eseluruhan c) t auan Htung S, S, S, S tt f ( t mod c ) =

10 egenvetor dar ( S) S egenvetor dar ( S) S endf Output, 3. Aplas Penggunaan Metode Analss Dsrmnan ner -Dmens Smetrs pada Suatu Contoh Pengenalan Pola Karater Untu mempermudah pemahaman tentang Analss Dsrmnan ner (AD) dan Analss Dsrmnan ner -Dmens (AD-D), penelt menyajan agamana pengenalan pola suatu arater dengan menggunaan metode terseut dan agamana perandngannya satu sama lan. Berut n adalah contoh arater A dan B dengan masng-masng arater A dan B terdapat dua pola.. # #... #.. #. #. # #. # #.... # #.... # #.... # # # # #.. #... #. # # # # #. #.... # #.. # # # # # #... A.. # #... #.. #. # #.. # # #. # #. # #.... # #.... # A #. # # #. # #.. #. #.. #.. # # # # #. #.... # # # # # #. A3 A4 Masng-masng pola arater d atas drepresentasan e dalam matrs eruuran 6 6 = 36 elemen, emudan matrs terseut dparts menjad 6 elas, A = {,,, 6}. X = ja elemen yang drepresentasan erupa tt dan X = ja elemen yang drepresentasan erupa #, matrs representasnya sepert d aah n:

11 A Dalam contoh arater d atas, dapat dlhat aha arater A dan arater A3 merupaan arater yang smetrs, namun matrs representas arater terseut uanlah matrs yang smetrs. Untu proses pengenalan pola, emudan masng-masng matrs representase arater dparts menjad 6 elas yan,,,,, A olom A olom A olom3 A olom4 A olom5 A olom6,, dan seterusnya untu matrs A, A3 dan A4, emudan htung masng-masng rata-ratanya. Pada data erdmens tngg ata-rata dar masng elas adalah M =,554 M =,993 M3 =,7667 M4 = -,8353 M5 = -, M6 =,5336 M7 = -,9873 M8 = -,694 M9 = -,7843 ata-rata seluruhnya M =.3396

12

13 Metode Analss Dsrmnan ner Nla egen matrs searan dalam-elas (S) d atas adalah egenvalue( S ) trace (S) = race merupaan jumlah nla egen pada suatu matrs ujursangar eruuran n n yang juga merupaan jumlah elemen-elemen dagonal matrs terseut. Nla egen matrs searan dalam-elas (S) d atas adalah.... egenvalue( S ) trace (S) = jumlah elemen dagonal (S) = tr(s ) Fungs ojetf optmum AD = tr(s ) = =.9388

14 4. Kesmpulan Masalah eraguan yang terdapat pada fungs ojetf Analss Dsrmnan ner -Dmens seelumya dapat dselesaan dengan pendeatan Analss Dsrmnan ner -Dmens Smetrs yang menghaslan suatu fungs ojetf lengap. Seelum menemuan fungs terseut, AD-D Smetrs mendefnsan AD-D melalu raso formulas trase dengan matrs searan dalam-elas (S) dan matrs searan antar-elas (S) yang lengap. Fungs ojetf lengap terseut alah S S = tr + tr S S Selan tu, suatu algortma omputasonal efetf deran untu memecahan fungs ojetf pada AD-D Smetrs. a daplasan pada suatu data erdmens tngg, aan terlhat aha AD-D Smetrs memeran hasl yang leh a dan aurat dandngan AD-D. 5. Daftar Pustaa Fuunaga, K. 99. Introducton to Statstcal Pattern Classfcaton. San Dego, Calforna, USA : Academc Press. Horn,. A. and ohnson, C Matrx Analyss. Camrdge, U.K: Camrdge Unversty Press. an, Anl, K., Fello, Dun, oert, P.W., and anchang Mao, anchang., Senor Memer, IEEE. Statstcal Pattern ecognton: A eve. In IEEE ransactons On Pattern Analyss and Machne Intellgence, Vol., No., anuar., M. and Yuan, B. 5. d-lda: A novel statstcal lnear dscrmnant analyss for mage matrx. Pattern ecognton etters, 6(5): hal uo, D., Dng, C., and Huang, H. 7. Symmetrc o Dmensonal near Dscrmnant Analyss (DDA). Unversty of exas at Arlngton Press. Song, F., u, S., and Yang,. 5. Orthogonalzed fsher dscrmnant. Pattern ecognton, 38(): hal heodords, Sergos. and Koutroumas, Kontantnos. 3. Pattern ecognton. nd Edton. Ne Yor, USA: Academc Press. Xang, Zhang, Pan, Feng, Wang, We. 8. Fndng ocal near Correlaton n Hgh Dmensonal Data. Correlaton near, 3(): hal Xong, H., Samy, M., and Ahmad, M. 5. o-dmensonal fld for face recognton. Pattern ecognton, 38(7): hal. 4. Yang,., Frang, F., and Zhang, D. 3. Uncorrelated projecton dscrmnant analyss and ts applcaton to face mage feature extracton. Internatonal ournal of Pattern ecognton and Artfcal Intellgence, 7(8): hal Ye,., anardan,., and, Q. 4. o-dmensonal near Dscrmnant Analyss. Advances n Neural Informaton Processng Systems (NIPS 4), 7: hal

15 Yu, Senhua., and Dasgupta, Dpanar. 8. Conserved Self Pattern ecognton Algorthm th Novel Detecton Strategy Appled to Breast Cancer Dagnoss. Memphs, USA: Unversty of Memphs Press. anggal ases: Feruar.