BAB III EKSPEKTASI MATEMATIK

Transkripsi

1 H. aman Suherman,Drs.,.S BAB III EKSPEKTASI ATEATIK Konsep espetas matemat nla harapan secara matemat dalam statst sangat besar manfaatna. Selan dgunaan untu pengembangan dalam statst lanjutan dan terapan dbdang lan, juga sebaga onsep dasar untu mendefnsan atau membangun uuran-uuran dalam statst, sepert rerata, varan, oesfsen, orelas... Pengertan Espetas atemat Defns : salan p, a X dengan fp f, dan U fungs atau bentu dalam X. Espetas matemat atau nla harapan dar U, dtuls dengan E [u ] dan - Untu X dsrt, E [u ] U f S u. P[X ] - Untu X ontnu, E [u ] U f d Catatan : Nla espetas dar U belum tentu ada! Espetas matemat untu dua atau lebh peubah aca, ddefnsan berut n : Defns : salan f, fp bersama dar peubah aca X dan Y, dan U X, fungs dalam X dan Y. Espetas matemat dar U X, Y dtuls dengan E [U, X Y],dan - Untu X, Y dsrt, E [UX, Y] u, f, S S S u,. PX, Y Pengantar Statsta atemats

2 - Untu X, Y ontnu, E [U X, Y] u, f, dd Defns : msalan f,,... n fp bersama dar,,... n dan u,,... n fungs dalam,,..., dan n. Espetas dar u,,..., n, dtuls dengan E [u,,..., n ], dan - Untu peubah aca dsrt. E [u,,..., dan n ] - Untu peubah aca ontnu,... u,,... n f,,... E [u,,..., n ] u,,..., f,,... n n n n Contoh. salan X meml fp f ; ; lanna Htung a E [X], b E [X ], dan c E [X X ] Penelesaan Jelas, X peubah aca ontnu a. Dalam hal n u X, maa ; E [X] f d d d d b. Dalam hal n u X, maa ; E [X ] f d d c. Dalam hal n u X +X, maa ; E [ + ] f d d Pengantar Statsta atemats

3 d Contoh. Dar dalam ota ang terdr atas bola merah dan bola puth dambl bola secara aca. Untu setap terambl bola merah dber hadah. rupah dan setapterambl bola puth dber hadah. rupah. Htung espetas besar hadah ang dperoleh! Penelesan Harus dtentuan dulu ruang sampel S, peubah aca X, dan dstrbusna, dalam hal n S {m, m,...m, m, m, p,..., m, p, p, p, p, p, p, p }, dengan N S, dan peubah aca X. S R, dengan X besar hadah sehngga S {,, } Perhatan dagram pada gambar.! X f S R R m m m m m p m p p p Pengantar Statsta atemats

4 p p Gambar. Berdasaran gambar. dperoleh fp dar X, an : ; ; F PX ; ; lanna Sehngga E [X] Espetas besar hadah f S, PX + + Jad besar hadah ang dharapan dar X dan Y, adalah rupah Contoh. Detahu fp bersama fp dar X dan Y, adalah ;;, f, ; lanna Htung E [X], E [Y], E [XY] dan E [XY X] Penelesaan : E [X]. f, dd dd d Pengantar Statsta atemats

5 Pengantar Statsta atemats d E [Y] d dd dd f,. d E [XY] d dd dd f,. d E [XY-X],, dd dd f, d dd 9 9 d - Catatan Perhatan, bahwa E [u] bsa bernla postf, negatf atau nol dan E [XY] belum tentu sama dengan E [X], E [Y]! Selanjutna dapat dbutan bahwa ja X dan Y dua p, a bebas stoast, maa E [u X, v ] E [u X]. E [vx] Sfat-sfat espetass berut n dapat dbutan, dan fungs atau operator ang bersfat sepert n, dnamaan operator lner. Jad espeats E merupaan operator lner Sfat-sfat Espetas : E [], onstanta real E [, ux] E [u X], onstanta real

6 E N u I X n E[ u X ],,..., n ontantareal Sebaga contoh penggunaan sfat espetas sebaga operator lner, coba anda perhatan embal contoh.! Telah dhtung bahwa E dan E, maa F [ ] E [] + E [ ] E [] + E [] + +. Rerata dan Varan ja X peubah aca, dengan u X X, maa E [u X E [X]. Defns : Ja f fp dar peubah aca X, maa Untu X peubah aca dsrt, rerata dar X adalah E [X] f Untu X peubah aca ontnu, rerata dar X adalah μ E [X], f d Catatan : - ean dar X belum tentu ada, dan ja ada sangat berguna sebaga salah satu uuran tendens sentral, antara lan untu menguur araterst seumpulan data uanttatf atau populas sebaga wal - E [u] dartan sebaga rerata dar u Contoh. Peubah aca X dengan range S {,,,,} meml fp f ;,,,, ; lanna Htung rerata X, emudan haslna bandngan dengan rumus ang basa dgunaan dmasaraat. Penelesaan : Jelas X adalah peubah aca dsrt, maa Pengantar Statsta atemats

7 μ E f 9, Bla dhtung dengan rumus rerata ang basa dgunaan adalah μ n n X Kenapa haslna berbeda? Hal n terjad arena bergantung pada fp ang dgunaan atau ddefnsan atau pad bobot ang dberan untu setapdata X. Dalam hal n, masaraat menggunaan fp f ;,,,, ; lanna Rumus rerata ang dgunaan d masaraat adalah hal husus dar defns rerata secara statst matemat. Contoh. salan peubah aca X meml fp f ; ; lanna Htung rerata X, ja ada! Penelesaan ; Jelas X peubah aca ontnu! aa μ E [X] f d d n Dalam hal n rerata X danggaptda ada! Ja μ rerata peubah aca X, dan u μ, maa E [ μ ] dnamaan varan dar X, dan dnotasan dengan σ atau... E [ μ ] Defns : Ja f fp peubah aca X, maa Untu X peubah aca dsrt, σ var E [ μ ]... μ f Untu X peubah aca ontnu, σ var E [ μ ]... μ Pengantar Statsta atemats

8 f d Catatan : - Varans dar X belum tentu ada, dan ja ada sangat berguna sebaga salah satu uuran varas, antara lan untu menguur tngat tersebarna seumpulan data uanttatf - Ja μ tda ada, maa σ juga tda ada. Ja μ ada, maa belum tentu σ ada! - Aar uadrat postf dar, σ atu σ E dnamaan standar devas atau smpangan bau X - Untu populas-populas dengan satuan dan eteltan ang sama, maa varans atau smpangan bau seman ecl menunjuan populas tersebut seman merata atau homogen unform. Teorema Var X E [X ] E[X] E [X] μ But : Var X E E E E E E Var X E [X ] - μ terbut Contoh. salan peubah aca X dengan fp f Htung varans dan smpangan bau dar X! ; ; lanna Penelesaan Jelas X peubah aca ontnu! Pengantar Statsta atemats

9 Karena μ E [ ] aa σ E f _ E d d d _ 9 _ Ja dhtung dengan teorema atu σ E[ } -, dmana E [X ] d d }maa σ 9 haslna sama dengan menggunaan defns σ smpangan bau Contoh. salan S adalah ruang sampel pengetosan sebuah dadu ta jujur dan peluang muncul ss dadu sepert ddefnsan pada contoh.. a. Htung rerata meuncul anga ss dadu b. Htung varans dan smpangan bauna Penelesaan : a. Jelas S {,,,,, }, dan ja X anga ss dadu Jelas pula bahwa S S {,,,,, }. Berdasaran. maa μ E [X]. P[X ], +, +, +, +, +,, Pengantar Statsta atemats

10 Ternata, apabla dadu tersebut dtos atau dund terus menerus, maa dharapan rerata aan muncul anga,. b. Karena E [X ] p X, +, + 9, +, +, +,, +, +, +, +, +,, dan μ, aa varans, σ, 9,,9, dan smpangan bau σ,9, Sfat-sfat Rerata dan Varans Ja μ dan σ berturut-turut adalah rerata dan varans dar X, maa. E [X μ] o. E [ax + b] aμ + b, a, b onstanta real Var X + c Var [], σ c onstanta real Var ax + b a Var [ X] a σ Aan dbutan hana bagan saja, ssana,, anda butan sendr sebaga lathan But : Var ax + b E [ax + b ] E [ax + b] E [ax + abx + b ] E [aμ + b] a E [X] + abe [X] + E [b ] a μ - abμ - b α E [[X ] - μ ] + ab E[X] - μ α Var [X] + ab a σ terbut Contoh. Perhatan contoh telah detahu, bahwa p, a X dengan fp f ; ; lanna Pengantar Statsta atemats

11 eml rerata μ dan varan σ 9 Ja Y -X +, maa rerata Y rerata / + Dan Var Y var /9 Catatan : Ja peubah aca X meml rerata μ dan varan σ tda nol, maa ta dapat menghubungan antara eduana, dalam pernataan peluang dan huum n dtemuan oleh seorang ahl matemata pada abad 9, atu P. I Chebshev. Huumna atau rumusna n dnamaan etdasamaan Chebshev. Sebenarna etdasamaan Chebshev adalah hal husus dar teorema Bename. Tda bana gunana dalam buu n. Berut aan dsampaan teorema Bename ta dbutan emudan teorema atau atesamaan Chebshev dbutan dengan menggunaan T. Bename Teorema T. Bename salan u X fungs ta negatf dar p, a X, ja E [ux] ada, maa untu setapblangan real postf c, berlau : P[uX c E [ u ] c Contoh.9 salan p, a meml f,, Pf ; ; lanna Ja u X dan c. Tunjuan bahwa P[uX c] E [ u ] c Penelesaan P[uX c] P[X - ] P - X. d Pengantar Statsta atemats

12 Sedangan E [ux] E [X ] E [X] Sehngga P[uX ] Teorema Ketasamaan Chebshev E[ u ] sesua T. Bename salan peubah aca X mempuna rerata μ dan varans < σ < setapblangan real postf, berlau : P[ - μ σ ] atau P[ - μ < σ ] - But : E P P, maa untu Jad P arena perstwa { : - μ < σ} omplemen dar perstwa { : μ σ}, maa P Contoh. Perhatan p, a X dan fp na pada contoh.9. dapat anda tunjuan bahwa μ... dan σ a Htung P[μ - σ < X < μ + σ] b Bnadngan haslna dengan etasamaan Chebshev Penelesaan : a P[ μ < σ] P[μ - σ < X < μ + σ] P X f d d d Pengantar Statsta atemats

13 ,,, 9 enurut etasamaan Chebshev : P, Jelas P _,9, memenuh etasamaan Chebshev. omen dan Fungs Pembangt omen Uuran statst ang baru saja anda pelajar, an rerata, varans dan smpangan bau adalah hal husus dar espetas matemat, atu momen dan fungs pembangt momen. omen alah salah satu uuran statsta ang gunana antara lan sebaga dasar untu merumusan uuran eruncngan dan lemrngan urva dstrbus. Sedangan fungs pembangt momen antara lan untu menurunan atau menentuan momen-momen. Defns : a omen e dar peubah aca X dnotasan dengan μ adalah espetas dar X,,,,..dtuls E [X ] b omen sentral e setar rerata μ dar p, a X dnotasan dengan μ E X μ ],,,, jad ja f fp dar p, a X, maa Untu X dsrt : μ E [X ] f μ E [X μ ] - μ f Pengantar Statsta atemats

14 Untu X ontnu μ E [X ] f d μ E [X ] f d 9 9 d d Berdasaran a telah detahu μ rerata X μ E [X - ] 9 f d d d 9 9 X _ μ E [X - ] E [ X ] 9 9 σ,, 9 Dengan E [X ] d d Pengantar Statsta atemats

15 E[ X ] f d d E X ] f d d, maa, maa [ E [X] + rerata X, dan E [ X - ]..., maa E [X ] momen e, dan E [ X - ]..., dnamaan uuran atau oefsen surnes emrngan atau dstrbus, dnamaan uuran atau oefsen utoss eruncnran atau dstrbus urva meml emrngan postf urva smetrs urva meml emrngan negatf > urva leptourtc runcng urva mesourtcmoderat ata normal < urva platurtc tumpul Contoh. Detahu peubah aca X berdstrbus dengan fp f Htung momen e, e e, dan e dar X Htung momen sentral e, e, e, dan e setar... Htung oefen sernes dam oefsen uartoss dar X.... ; ; lanna Htung arasterst urva dar... Setsa graf! Pengantar Statsta atemats

16 Penelesaan E [ X ] f d Dapat anda htung bahwa : d d μ E [X - ]... X -... f d -, dan μ E [X - ]... X -... f d -, c oefsen sewnes , 9 oefsen urtoss , 999 Berdasaran nla berart urva mrng negatf curam d anan, landa d r. Gambar Kurva 9 Dan berdasaran nla berart urva platurtc tumpul Gambar Kurva d Graf f ; ; ; lanna f Negatf & platurtc / Gambar - Pengantar Statsta atemats

17 Catatan : Terdapat hubungan antara momen dan momen sentral setar rerata, sehngga ja detahu ang satu maa ang lan dapat dhtung menggunaan hubungan tersebut. Hubungan n aan dbeeran dalam teorema berut : Teorema : Ja μ, μ dan μ berturut-turut adalah : rerata, momen e dan momen sentral e setar rerata dar p, a. X, maa μ μ But : μ E X E X E[ X ]. μ E [X ] E[X - + ] E X E X E[ X ] Contoh. Perhatan contoh.! Telah ddtung momen-momen e,,, dan, atu ' ' ' ',,, dan. Aan dhtung momen-momen sentral Pengantar Statsta atemats

18 setar rerata e,,, dan dengan menggunaan rumus dalam teorema hubungan antara momen dan momen sentral setar rerata, sebaga berut : l l ' μ.. μ ' , μ ' , μ ' ; , 9 9 Dapat anda perhatan, bahwa nla-nla μ, μ, μ dan μ ang dperolah dengan teorema umum, perss sama dengan nla-nla ang dperoleh dengan menggunaan defns! Pengantar Statsta atemats

19 Hal tda ebaca!... ta aan mempelajar espetas husus berutna, ang dsebut pembangt momen, dengan fungs n ta bsa menghtung momenmomen ang barangal lebh prats! dar, dengan... dnamaan fungs pembangt momen sedeman sehngga < < maa ada. momen fpm dar X belum tentu ada! Walaupun f[e ] ada tetap, nla t tda ada, maa danggap tda ada. In berart, harus memuat hmpunan buu ang memuat nol. Ja f, p, m dar maa sangat berguna, antara lan untu menentuan nla momen-momen dar X, dar X, maa dsr, E [] e t f ontnu,, E. e t e t f d f, p, m, dar X dan maa, d t dt μ momen e dar X turunan e terhadap dar p, a, dsrt sehngga t t e f, maa t t e f danggap onstanta d t t... e t f E dt Pengantar Statsta atemats

20 danggap X. p, a ontnu, sehngga t t e f d, maa... danggap onstanta Teu aa halaman Untu t d t... dt. f E t Jad ba X dsrt maupun ontnu, maa t terbut Cara lan untu membutan hubungan n alah dengan cara menguraan terlebh dahulu, fungs μ e t acladrn, ang mana : menjad bentu deret, atu dengan perluasan deret e t + t + t! t!... tc!... t! Sehngga t E [e t ] E t! Slahan anda terusan dengan cara n! Sfat Ja t f,p,m da X, maa rerata dan varans X berturut-turut adalah Μ dan Contoh. salan p, a X meml f,,p f a. Tentuan f,p,m dar X b. elalu f,p,m htung μ, μ ;,, ; lanna Penelesaan : a. Jelas X p,a dsrt, maa Pengantar Statsta atemats

21 t E [e t ] e t f! t t t e. e!!!! e! t t e e t t e e, t b. μ t t e e t e t e t t Contoh. salan X dengan fp f e,, lanna Tunjuan, bahwa fpm dar X adalah X t t fpm, htunglah μ,,, dan setsa graf f., t dengan mwnggunaan Penelesaan t E t e t e t e t d t t f d s.d e e d d t t t d e t t t t t e e d t e t e hm t b t b be e., t t b t t, t t t, t t Pengantar Statsta atemats

22 t t, t < t t - > t t - > t t - > t t - > aa : μ > T Y *..,, [ ] Kurva ƒ meml emrngan postf dan eruncngan leptourtc c. Graf ƒ dsajan dalam gambar.. dengan tt punca,e - ƒ e - leptourtc X Gambar. Pengantar Statsta atemats

23 .. Espetas Defns : sal ƒ fp bersarat dar X ja detahu Y,dan u benu atau fungs dalam X. Espetas bersaarat dar u ja detahu Y, dtuls E[u/] dan Untu p.a. dsrt, E[u/] Untu p.a ontnu, E[u/] uf/ uf/ d A. Defns. / E[X/Y] dnamaan rerata bersarat dar X ja detahu Y dan / E[X/Y] dnamaan rerata bersarat dar ja detahu X. / var X/Y E[X- / /Y ] E[X /Y]-E {X/Y] dnamaan varans bersarat dar X, ja detahu Y / var Y/XE[Y- / /X] E[Y /]-E [Y/X]. Ja dan berturut-turut adalah rerata dar X dan Y, maa ovarans dar X dan Y, dtuls cov X,Y E[X- Y - ] E[XY] E[X].E[Y}. Ja dan berturut-turut adalah smpangan buu X dan smpangan bau Y, maa oefsen orelas dar X dan Y dtuls : cov X, Y E[ X E[ XY] E[ X ] E[ Y] [ X ] E[ Y ] E [ Y] B. Contoh. salan X dan Y mempuna fp bersama sepert contoh. an : f X ;,, ; Xlanna f X ;, ; lanna Pengantar Statsta atemats

24 f/ ;,, ; Xlanna ;, f/ ;,, ;, ; Xlanna a. Htung E[ -/], E[-/] dan E[ -/] b. Htung rerata X ja detahu Y dan rerata Y ja detahu X Berapaah / dan /? c. Htung var / dan var / d. Htung cov, dan Penelesaan : a. E[ -/] X f / 9 9 E[ 9 -/] 9 9 E[-/] f f / b. / E X / f / [ 9 ] Pengantar Statsta atemats

25 Pengantar Statsta atemats ] [ / / / f E Y.. /.. / c. ] / [ ] / [ / var / X E X E X dengan E[ /] ] 9 [ aa / 9 9 / / / var / E E dengan E ] [ / Y dan EY/..

26 maa / 9 9 d. Cov. [X,Y]E[XY]-E[X].E[Y], dengan E[XY], [ f, [ 9 ] ] + E[X] f [ ] E[Y] f [ ] aa Cov [X,Y],,, Cov,,, dengan E[ X ] E [ X ],,9,9 [ ] E [ Y] 9 E Y,,9,9,, maa,,99,9,99 Catatan : Kovarans dar X dan Y, atau Cov X,Y adalah uuran statst ang dgunaan untu menguur derajat hubungan lner antara dua peubah aca X dan Y. Pengantar Statsta atemats

27 Nlana mungn postf, negatf atau nol. Ja Cov X,Y >, dataan X dan Y mempuna hubunan postf. Ja Cov X,Y <, dataan X dan Y mempuna hubungan negatf. Uuran n meml satuan dengan satuan data ang dgunaan. Agar tda meml satuan, maa dperba dstandaran dengan uuran statst derajat jad juga adalah uuran derajat hubungan lner antara peubah aca X dan peubah aca Y ang bebas dar satuan uuran ang dpaa. Dapat dbutan bahwa. Ja nla seman besar ba postf maupun negatf, maa elnertasanna man ba, artna tt-tt pasangan X,Y seman deat dengan gars lurus. Ja X dan Y dua peubah aca salng bebas stoast, maa dapat dtunjuan bahwa E[X,Y] [X].E[Y], Cov X,Y dan. tetap ebalanna tda berlau an, ja Cov X,Y atau maa belum tentu X dan Y bebas. Khususna untu dartan bahwa X dan Y ta berorelas lner. Contoh. salan fp gaungan dar peubah aca X dan peubah aca Y berbentu : f, ; 9 ; lanna a. Tentuan fp marjnal dar X, fp marjnal dar, fp bersarat dar X ja detahu Y. persa apaah X dan Y peubah aca salng bebas? b. Cov X,Y E[XY] E[X].E[Y], dengan E[XY] E[X].9 f dd dd 9 9 Xf d...9 d d Pengantar Statsta atemats

28 E[Y] Yf d d 9 aa Cov, 9 Cov, Dengan deman, maa oefsen orelas Karena nla Cov, atau juga, n memberan art, bahwa antara peubah aca X dan Y tda terdapat orelas hubungan lner, ja ta perhatan jawaban a, bahwa peubah aca X dan salng bebas hal n berabat. slahan anda beran contoh peubah aca X dan Y dengan, tetap X dan Y ta bebas... Soal-soal Lathan. Detahu p.a. X meml fp ;,, f ; lanna Htung E[X], E[+, dan E[X-X+ ]. salan fp dar p.a X berbetu f ;,,, ; lanna a. Htung E[-X] dan E X b. Htung rerata, varan dan smpangan bau X Htung ovaran dar X dan Y, dan juga oefsen orelasna, emudan tafsran berdasaran hasl atau nla ang dperoleh! Penelesaan salan fp marjnal dar X, maa Pengantar Statsta atemats

29 X jad, f f salan Jad, f f, d d f 9 ; lanna 9 f fp marjnal dar Y, maa, d d 9 ; lanna Lner f, f. f untu setap, R, 9 aa X dan Y dua peubah aca salng bebas stoasta sebaga alasan lan, dapat djelasan sebaga berut msalan f fp bersarat dar X ja detahu Y, maa f f, ; f ; lanna Lner f f maa, n menunjuan pula sebaga alasan, bahwa X dan Y peubah aca salng bebas Y tda mempengaruh X. Dua dadu homogen dttos sealgus. Ja X menataan jumlah pasangan anga dadu. Berapaah harapan matemat dar jumlah pasangan anga dadu?. Panta undan berhadah mengeluaran. lembar undan, dengan hadah pertama ebesar Rp...,- hadah edua masng-masng sebesar Rp...,- hadah etga masng-masng sebesar Rp..,- a. Berapa rupahan harapan menang untu setap lembar undan? b. Ja setap lembar undan djual dengan harga Rp.. rupah, berapaah harapan menang bag seseorang ang telah membel selembar undan?. Htunglah rerata dan varan ja ada dar peubah aca berut : Pengantar Statsta atemats

30 a. Peubah aca X dengan fp f b. Peubah aca Y dengan fp g ; ; lanna ;,,... lanna ; Z c. Peubah aca Z dengan fp hz ; Zlanna. salan f..p bersama dar X dan Y berbentu, ;,,, f,,, lanna a. Htung rerata bersarat dar X ja detahu Y b. Htung rerata besarat dar Y ja detahu X c. Htung E[ --/], dan E[ --Y] d. Htung varx/y, dan var Y/ ;. salan p.a X dengan f.p f lanna a. Tentuan f.p.m dar X b. Htung momen sentral setar rerata e, e, e, dan e dengan cara menghtunga terlebh dulu momen e, e, e dan e. Pentunju ; sebana dengan menggunaan f.pm c. Htung oefsen emrngan dan oefsen eruncngan. Bcaraan tentang urva f berdasaran hasl n. Kemudan setsa graf. Peubah aca X mempuna mean dan momen e a. Htung smpangn bau dar X b. Tentuan batas bawah P{- <<], dengan menggunaan etasamaan Chebshev 9. Butan untu setap p.a X dan Y berlau E[E[X/]] E[X] dan E[E[Y/]] E[Y] Pengantar Statsta atemats

31 . salan fungs epadatan peluang dar X berbentu f ; ; lanna a. Ja dan, berturut-turut adalah rerata dan varan, htung P[ - < < + ] b. Bandngan hasl a dengan menggunaan etasamaan Chebsshev. salan pubah aca X dan Y dengan fp gabunganna ; f, ;, lanna a. Htung cov X,Y b. Htung oefsen orelas c. Apaah X dan Y bebas Stoast?. Ja X dan Y peubah aca, a dan b dua onstanta real maa varax+by a varx + b vary + abcovx,y. Butan!. salan X dan Y meml fp bersama,,,,,, f, ;, lanna a. Htung cov X,Y b. Htung oefsen orelas c. Apaah X dan Y bebas Stoast?. Detahu dua peubah aca X dan salng bebas dengan fp X dan fp Y berturut-turut adalah : g ; dan ; lanna h ; ; lanna a. tentuan cov X,Y dan osefsen orelas berdasaran ebebasan dar X dan Y b. Htung cov X,Y dan oefsen orelas berdasaran defns sfat Pengantar Statsta atemats

32 . salan N peubah aca bernla blangan b ta negatf, tunjuan bahwa E[N] P[N] secara umum, tunjuan bahwa ja Xp aca non negatf dengan fungs dstrbus maa E[X] E d Pengantar Statsta atemats