ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING SKRIPSI. SRI KEUMALAWATI (Operasi Riset)

Transkripsi

1 ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING SKRIPSI SRI KEUMALAWATI (Operas Rset) DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009 Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

2 ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING SKRIPSI Dajukan untuk memenuh syarat mendapat gelar Sarjana Sans SRI KEUMALAWATI (Operas Rset) DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009 Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

3 PERSETUJUAN JuduL : ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING. Kategor : SKRIPSI Nama : SRI KEUMALAWATI Nomor Induk Mahasswa : Program Stud : SARJANA (SI) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas :MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Dluluskan d Medan, Desember 2009 Koms Pembmbng : Pembmbng 2 Pembmbng 1 Drs. Bambang Irawan, M.Sc. Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP: NIP: Dketahu/Dsetuju oleh Departemen Matematka FMIPA USU Ketua, Dr. Sab Suwlo, M.Sc. NIP: Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

4 PERNYATAAN ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING SKRIPSI Saya mengaku bahwa skrps n adalah hasl kerja saya sendr, kecual beberapa kutpan dan rngkasan yang masng-masng dsebutkan sumbernya. Medan, Desember 2009 Sr Keumalawat NIM: Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

5 v PENGHARGAAN Bsmllahrrahmanrrahm Puj dan syukur penuls panjatkan ke hadrat Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa atas segala-galanya, dengan lmpahan rahmat dan karuna-nya sehngga skrps n dapat dselesakan Skrps n merupakan salah satu syarat yang harus dpenuh dan dselesakan oleh seluruh mahasswa fakultas FMIPA Departemen matematka. Pada skrps n penuls mengambl judul skrps tentang Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan dalam menentukan Solus Goal Programmng. Demkan, penuls juga menyadar keterlbatan berbaga phak yang telah membantu dem terselesakannya skrps n. Oleh karena tu terma kash penuls ucapkan kepada: 1. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku dosen dan pembmbng I yang telah memberkan banyak bmbngan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan tugas akhr n. 2. Bapak Drs. Bambang Irawan, M.Sc selaku dosen dan pembmbng II atas bantuan dan penjelasan yang dberkan dem selesanya skrps n. 3. Bapak Drs. H. Haluddn Panjatan dan bu Dra. Elly Rosman, M.s selaku koms penguj atas masukan dan saran yang telah dberkan dem perbakan skrps n. 4. Bapak Dr. Sab Suwlo M.Sc dan Bapak Drs. Henry Ran Stepu, M.s selaku ketua dan sekretars departemen matematka FMIPA USU 5. Bapak Prof. Dr. Eddy Marlyanto M.Sc selaku Dekan FMIPA USU 6. Ayahanda Marzuk Ibr, dan Ibunda Zulkharan, yang sangat saya kash dan sayang atas doa dan dukungan morl maupun materl yang dberkan selama n. 7. Adek-adek tersayang: D Raudhah, D Fahm, D.Arf Fardllah, D Lsa (sepupu), D Hasya(sepupu), D Tasya, D Intan, dan D Dra(sepupu) yang selalu memberkan motvas dan semangat dalam menyelesakan tugas akhr n. 8. Ayahanda Husan/M da, Y Bt/Mbt, Y nas/b An, C l/c Nu, y lut dan kel tercnt serta semua ahl faml yang saya sayang, yang selalu memberkan nasehat serta motvas serta bantuannya. 9. Yang Specal Aa Fer yang selama n member support dan motvas yang tdak bosan sehngga saya lebh semangat dalam menyelesakan tugas akhr n. 10. Rekan-rekan kulah: D Eel, D Ec, Novta, Wulan, Febr dan stambuk 2005 seperjuangan yang tdak terlupakan dukungan dan bantuannya 11. Adek-adek kost: D Rrn, D Irma, D Sar dan D Sandra Rzal tercnta yang telah memberkan motvas dan bantuannya. 12. Semua phak yang tdak dapat penuls sebutkan satu persatu. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

6 v Penuls juga menyadar mash banyak kekurangan dalam skrps n, bak dalam teor maupun penulsannya. Oleh karena tu, penuls mengharapkan saran dar pembaca dem perbakan bag penuls, semoga segala kebakan dalam bentuk bantuan yang telah dberkan mendapat balasan dar Yang Maha Kuasa. Akhr kata, kranya skrps n dapat bermanfaat bag phak pembaca. Hormat saya, Penuls Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

7 v ABSTRAK Tujuan dar tulsaan n adalah untuk menanggan masalah efsens pada masalah Goal Programmng. Hal n adalah membuktkan bahwa ketka banyak masalah Multple Objectve Programmng berusaha untuk mengoptmalkan secara smultan untuk memperoleh satu hmpunan yang tdak dapat membandngkan pertentangan dan tujuan dbawah beberapa kendala, Karena tujuan umumnya bertentangan. Solus dperoleh melalu model Goal Programmngyang merupakan komprom terbak yang dapat dbuat d antara tujuan, solus n dapat memenuh syarat sebaga solus yang memuaskan (mendekat target). Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

8 v ABSTRACT The am of ths paper s to deal wth the problem of effcency n the Goal Programmng (GP) model. Indeed, t s proved that when the Multple Objectve Programmng (MOP) problem seeks to optmze smultaneonsly a set of ncommensurable and conflctng objectves under some constrant, snce the objectves are generally conflctng the soluton, obtaned through the Goal Programmng model present the best compromse that can be made between these objectves ths soluton can qualfed as the most satsfactory soluton. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

9 v DAFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Is Daftar tabel Daftar Gambar v v v v x x BAB 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Perumusan Masalah Tnjauan Pustaka Tujuan Peneltan Konstrbus peneltan Metodolog Peneltan 5 BAB II Landasan Teor 2.1 Goal Programmng Formulas dan Model Goal Programmng Metode untuk menyelesakan Goal Programmng Aplkas Goal programmng Pareto Optmalty Konsep Solus Pareto Optmal Preferens Pengamblan keputusan 24 BAB III Pembahasan 3.1 Analss Pareto Optmal dengan Pembobotan dalam menentukan Solus Goal programmng Masalah Perencanaan Usahatan pada dua jens tanaman (pear dan peach) 26 BAB IV Kesmpulan dan Saran 4.1 Kesmpulan Saran 41 Daftar pustaka 42 Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

10 x DAFTAR TABEL Tabel Halaman 2.1 Data perencanaan usahatan Tabel smpleks maksmas Tabel smpleks maksmum Z Tabel ttk ekstrm Z Tabel mnmze Z Tabel ttk ekstrm Z Tabel matrks pay-off Tabel penafsran varabel efsen dengan ttk ekstrm Tabel smpleks efektf 38 Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

11 x DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 3.1 Bagan pengamblan keputusan Grafk maksmum Z Grafk mnmze Z2 34 Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

12 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analss Pareto optmal adalah salah satu teknk analss dar kelompok teknk operas rset yang memaka model matematka dalam menentukan solus optmal untuk suatu solus mungkn d mana suatu penngkatan d (dalam) nla sekurangkurangnya satu fungs tujuan lannya, ukuran hanya dapat dcapa dengan penurunan nla sedktnya satu ukuran lan dar setap fungs tujuan tanpa dalam waktu yang bersamaan. Salah satu prnsp yang palng terkenal d duna manajemen, termasuk Qualty Management adalah Prnsp Pareto. Semua masalah dalam duna nyata erat katannya dengan pengamblan keputusan dalam menghadap masalah tujuan ganda atau stlah lan adalah masalah Multple Objectve Programmng. Dalam menangan permasalahan Multple Objectve Programmng, orang harus berhat-hat menerapkan prnsp optmaltas. Prnsp optmaltas untuk menyelesakan permasalahan dengan satu tujuan (sngle objectve problem) tdaklah serta-merta dapat dterapkan d sn, apalag mempertmbangkan kemungknan adanya satu tujuan dengan tujuan lannya adalah salng bertentangan (Conflctng). Model matemats untuk mencar suatu solus terbak dar hasl gabungan fungs-fungs tujuan yang memenuh kendala tertentu sesua dengan preferens pengamblan keputusan melalu argumentas logs untuk meredukskan sebagan kemungknan-kemungknan keputusan yang banyak jumlahnya tu, untuk memperoleh solus fsbel yang dapat dterma [4]. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

13 2 Pareto Optmalty adalah sebuah konsep populer dalam menangan permasalahan n d antara tujuan-tujuan tersebut. Sesua namanya, konsep n dkemukakan oleh Vlfredo (1906). Teor n dapat dgunakan untuk menangan optmaltas dar permasalahan Multple Objectve Programmng. Model Programmng dapat danggap sebaga kasus khusus d mana dperoleh solus terbak dengan memnmumkan total jumlah dan bobot nla devas. Fungs tujuan Goal Programmng mnmum jumlah varabel devas yang terkat dengan berbaga tujuan, sebaga berkut: Mn Z = Dengan: p 1 f x g ; x X ; dan 0 untuk 1,2,..., p Keterangan, : Devas postf dan devas negatf antara tngkat pencapaan f x dan tngkat aspras g dan X dperoleh solus fsbel[3]. D antara solus Pareto Optmal tulah harus dtentukan solus yang danggap terbak (preferred soluton) sesua dengan preferens pengamblan keputusan. Konsep Optmum menurut formulas tujuan tunggal yang menekankan pada ketunggalan solus, secara format dapat dnyatakan sebaga berkut: Setap alternatf x* X adalah optmal hanya dan bla hanya untuk alternatf yang lannya x X berlaku hubungan f x * f x. Untuk suatu hmpunan varabel keputusan X dar fungs f, akan selalu terdapat sekurang-kurangnya satu optmum x*[5]. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

14 3 1.2 Perumusan Masalah Pendekatan parametrk adalah salah satu metoda untuk mendapatkan hmpunan solus Pareto Optmal. Formulas persoalan tujuan ganda adalah sebaga berkut: Maks, Subject to: f x f x,..., x 1 x,..., x k T 1 d,..., x,..., f x k n 1 k Dengan cara mentransformaskan terlebh dahulu persoalan program tujuan ganda menjad format program tujuan tunggal adalah: Maks, n,..., x : w,..., w w f x k 1 k p p 1 p 1 f x,..., x k Subject to: Keterangan:: w p x,..., x k T 1 d : Bobot yang dberkan terhadap fungs tujuan p. Dengan cara memberkan bobot yang berbeda-beda 0 w 1 p akan dperoleh solus Pareto Optmal pada daerah fsbel T 0. Solus yang dhaslkan akan berbentuk solus Pareto Optmal juga dsebut solus komprom terbak yatu solus yang akan dnyatakan melalu pemberan nla bobot w. Pada program Goal Programmng tdak mengenal solus optmal yang mempunya solus ketunggalan dengan dperoleh solus Pareto Optmal, akan ddentfkaskan suatu solus optmal d antara sekan solus fsbel yang menghaslkan nla tertngg dalam fungs tujuan. 1.3 Tnjauan Pustaka Andakan suatu masalah Goal Programmng. Nla vektor fungs tujuan f f,..., n f 1 k terdr dar k nla real fungs tujuan f : R R adalah optmsas secara smultan. Varabel keputusan x termasuk daerah fsbel S n R. Vektor Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

15 4 tujuan z f x adalah berada d ruang tujuan R k, asumskan yang dberkan adalah bertentangan, bahwa semua tdak dapat dperoleh optmal sama dengan vektor keputusan x. Berdasarkan asums semua bagan fungs tujuan adalah mnmum. Karena masalah Goal Programmng dperoleh bentuk. Mnmum. Subject to: f 1 x,..., f k x x S Mnmum dar nla vektor fungs tujuan f dnyatakan sebaga Pareto Optmal. Sebuah vektor keputusan x * S merupakan solus Pareto Optmal tdak ada vektor keputusan x S yang lan, dengan demkan f x f x * for =1,2,,k dan f x f x * j j untuk terendah satu j. Raso solus terakhr dar pengamblan keputusan adalah solus Pareto Optmal[2]. Model matemats tujuan majemuk, yang crnya yang tdak mengenal solus tunggal menyebabkan solus yang dhaslkan berbentuk alternatf-alternatf Pareto Optmal yang kemudan perlu dreduks oleh pengambl keputusan, sebelum memperoleh solus yang terbak d antara alternatf-alternatf tersebut. Solus Pareto Optmal yang dkembangkan dengan penggunaan parametrk yang dusulkan oleh Geoffron dengan formulas berkut n. Mn. f x 1 f x 1 2 Subject to: b f 3 x a X T d X g X 0 Keterangan: f 3 x, f x dan f x 1 2 : tga fungs tujuan yang dplh dengan vektor keputusan x n R T d : daerah fsbel varabel keputusan g(x) fungs kendala vektor G : R k R m : parameter yang berubah d antara ( 0 1) a,b : batas atas dan bawah koefsen. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

16 5 Dalam penentuan solus terbak d antara hmpunan solus Pareto Optmal tersebut dapat dperoleh melalu tradeoffs d antara fungs-fungs tujuan yang tdak dapat memberkan solus yang palng memuaskan yang mungkn dcapa[11]. 1.4 Tujuan Peneltan Adapun tujuan tulsan n adalah dengan menggunakan bobot-bobot bernterval (parametrc programmng) mula-mula sejumlah ttk-ttk efsen (solus nonnferor atau Pareto Optmal) akan dkembangkan. Dengan dtetapkannya parameter tu, semua ttk-ttk ekstrm d sektar permukaan efsen dar daerah fsbel dapat dperoleh. Setelah solus-solus efsen d daerah fsbel dketahu, tahap berkutnya adalah memlh kesekan banyak ttk-ttk efsen tersebut suatu solus terbak. 1.5 Kontrbus Peneltan Selan untuk tambahan lteratur dan pengetahuan pembaca yang sedang mempelajar Goal Programmng, semoga peneltan n bermanfaat bag pembaca dan penelt lan yang ngn menelt masalah yang menggunakan konsep yang sama dan secara umum dapat member kontrbus pada pengguna Pareto Optmal dengan pembobotan dalam menentukan solus optmal yang mungkn dcapa pengamblan keputusan. 1.6 Metode Peneltan Peneltan n dlakukan dalam bentuk stud lteratur dalam berbaga buku teks dan jurnal. Usulan langkah-langkah untuk Pareto Optmal dalam menentukan solus Goal Programmng dengan model pembobotan adalah sebaga berkut: Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

17 6 Mn. Z p 1 w w Subject to: f x g untuk 1,2,..., p X x R n ; dan 0 untuk 1,2,..., p ; Keterangan: w, w : vektor pembobotan yang dberkan terhadap devas postf dan devas negatf dar tujuan. Catatan (dsmpan): Asumskan X adalah compact dan f (for =1,2,,p) kontnu dar X, formulas tersebut mempunya solus. Tdak ada jamnan bahwa solus n adalah Pareto Optmal. Pada penentuan Pareto Optmal secara umum, banyak tpe dar masalah Goal Programmng d mana hmpunan varabel keputusan adalah compact dan fungs tujuan adalah kontnu. Akan dperoleh solus optmal dan mendomnas nant[5]. Teorema: Andakan X adalah compact dan fungs f (for =1,2,,p) adalah kontnu Mn x X p 1 f x Untuk: X x x X, dan f x f x, 1,2,..., p adalah Pareto Optmal, Jka tdak bukan solus Pareto Optmal. Bukt: Dengan kontrbus x X, Karena X adalah compact dan fungs f (for =1,2,,p) adalah kontnu, X adalah compact. Akbatnya, Program (2) setdaknya memlk satu solus. Untuk menunjukkan bahwa ada solus dar program (2) adalah solus Pareto Optmal dengan membarkan x 0 menjad solus untuk program (2). Prosedur untuk mencar solus Pareto Optmal yang mendomnas n. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

18 7 Prosedur: Asumskan bahwa teorema d atas dperoleh solus Pareto Optmal. Langkah 1: Pandang program (1) jka x menjad solus dar program n. Langkah 2: Pandang program (2) jka x 0 X menjad solus dar program n. -Jka p p f x 1 1 f x 0, maka x adalah solus program (2). In berart bahwa Pareto Optmal. -Jka p p 0 f x 1 1 f x, yatu x adalah bukan solus program (2). Dengan alternatf-alternatf x 0 X, akan dperoleh f x f x for 1,2,..., p 0 dan ada j yang sepert tu f j x 0 f j x. Oleh karena tu x 0 adalah Pareto Optmal dan mendomnas keputusan yang optmal[3]. x. Pengamblan keputusan dapat mengambl sebaga Metodolog Goal Programmng dengan metode Interactve Lnear Programmng yang mempunya struktur dar matematka rancangan sebaga berkut: a. Formulas persoalan Goal Programmng. b. Pendekatan pembobotan (parametrc) sebaga pembangkt solus Pareto Optmal. c. Mencar batas-batas optmsas dengan tabel matrks pay-off. d. Menentukan solus terbak atau solus optmal dengan menggunakan kurva tradeoffs dan faktor penalt. Defns: X * adalah solus non-nferor atau Pareto Optmal untuk persoalan Mn f(x) d.p X T d : jka dan hanya jka tdak terdapat keadaan X T d, d mana f x f x *, dan f x f x * p p untuk beberapa fungs tujuan p=1,2,,n. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

19 8 Teorema 1: Lhat persamaan Mn. Subject to: f 2 x 1 f x (1) 1 b f 3 x a X T d X g X 0 I. f adalah selalu tdak akan pernah bertambah (monotoncally non- 1 ncrease) untuk ( 0 1) dan f adalah selalu tdak akan pernah 2 berkurang (monotoncally non-decrease) untuk ( 0 1). II. Setap solus X dar persamaan (1) adalah Pareto Optmal untuk 0, 1. III. Solus Pareto Optmal bukanlah solus yang tunggal dan karenanya merupakan suatu hmpunan alternatf solus-solus yang banyak jumlahnya tu. Teorema 2: I. Mn. f dan Maks. f sebagamana persamaan (1) adalah selalu 1 2 tdak akan pernah berkurang (monotoncally non-decrease) untuk harga d antara ( 0 1). II. Setap solus X dar persamaan (1) adalah Pareto Optmal untuk ( 0 1). Lema 1: Teorema (2) d atas mengandung art bahwa setap solus Pareto Optmal persamaan n adalah alternatf dar solus terbak (preferred soluton) dengan batas-batas harga yang terletak d antara ( 0 1), dan dapat dnyatakan secara vsual dalam bentuk kurva tradeoffs. Defns: Solus optmum adalah solus terbak dar hasl gabungan fungs-fungs tujuan yang memenuh kendala tertentu, sesua dengan preferens pengambl keputusan melalu proses permbalan (tradeoffs) d antara fungs-fungs tujuan yang tdak dalam keadaan sepadan. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

20 9 Berdasarkan dar krteranya tdak akan dperoleh solus yang optmal yang tunggal dan d snlah peranan pengamblan keputusan menjad pentng artnya. Karena tu perlu terlebh dahulu melakukan tradeoffs (penlaan tolak angsur) d antara tujuan-tujuan, sasaran-sasaran yang akan doptmsaskan tu dengan demkan crnya yang tdak mengenal ukuran tunggal, menyebabkan solus yang dhaslkan berbentuk alternatf-alternatf yang kemudan perlu devaluaskan oleh pengambl keputusan, sebelum memperoleh solus terbak d antara alternatf-alternatf tersebut. Dengan menerapkan dasar-dasar teorts yang telah dbahas dapat dsusun oleh algortma Interaktf optmsas multobjectve dengan langkah-langkah berkut: Langkah 1: Buatlah formulas model optmsas multobjectf dalam bentuk Lnear Programmng. Langkah 2: Buatlah tabel matrks pay-off untuk tga fungs tujuan f 1,, f 2, dan f 3. Langkah 3: Carlah dar tabel matrks pay-off tersebut batas-batas atas (upper) dan bawah (lower) fungs-fungs tujuan f 1,, f 2, dan f 3. Langkah 4: Baglah rentangan f 3 menjad tga kendala pembatas untuk masngmasng. Langkah 5: Buatlah kurva tradeoffs antara f 1 dengan,f 2 mengubah nla ( 0 1) secara parametrk, dan f 3 dperlakukan sebaga tga rentangan kendala pembatas. Mn. f x 1 f 1 2 Subject to: x b f 3 x a X T X g X 0 d. Langkah 6: Dengan menerapkan konsep penalt dapat menentukan solus terbak d antara solus Pareto Optmal yang terlhat secara grafk pada kurva tradeoffs masng-masng tga rentang kendala. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

21 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab n akan dbahas beberapa pengertan dar Pareto Optmal pada Goal Programmng yang akan dgunakan sebaga landasan berfkr dalam melakukan peneltan n, akan membahas masalah pembobotan dalam menentukan solus Optmal pada Goal Programmng. Beberapa konsep dan metoda analss Pareto Optmal dengan pembobotan dalam menentukan solus Goal Programmng akan dpergunakan pada bab pembahasan. Goal Programmng Program tujuan ganda yang dalam bahasa Inggrs dsebut Multple Objectve Programmng atau Goal Programmng adalah salah satu teknk analss dar kelompok teknk operas rset yang memaka model matematka yang merupakan modfkas khusus dar program lnear. Goal Programmng pertama kal dperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada tahun Jad boleh dkatakan sebaga suatu teknk analss dalam kelompok operas rset yang umurnya mash muda dbandngkan dengan teknk-teknk analss yag lan. Akan tetap dewasa n penerapan teknk analss n sudah menyusup hampr keseluruh bdang pembangunan dan dspln lmu, sepert: bdang perencanaan sumber daya alam, bdang perencanaan akadems, perencanaan keuangan, dan lan-lan. Adapun tujuan dar analss Goal Programmng adalah untuk memnmumkan jarak antara dan devas terhadap tujuan, target atau sasaran yang telah dtetapkan Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

22 11 dengan usaha yang dapat dtempuh untuk mendapatkan target atau tujuan tersebut secara memuaskan atau memenuh target (palng tdak mendekat target) sesua dengan syarat katan yang ada, yang membatasnya berupa sumber daya yang terseda, teknolog yang ada, kendala tujuan, dan sebaganya[6]. Formulas dan Model Goal Programmng Metodelog Goal Programmng adalah bergerak dalam masalah-masalah yang tujuannya undmensonal (tujuan tunggal) ataupun Multdmensonal (tujuan ganda, dan lebh dar dua). Formulas Goal Programmng hampr sama dengan formulas Lnear Programmng. Tahap pertama, dtetapkan peubah-peubah pengamblan keputusan, selanjutnya spesfkas yang dhadap dan yang ngn d analss, menurut prortasnya (mana prortas pertama, kedua, dan seterusnya). Urutan prortas n dapat dsusun dalam skala kardnal maupun ordnal. Asums-asums yang berlaku Goal Programmng adalah peubah-peubah devasonal yang terdr dar peubah devas postf dan devas negatf. Model umum dar Goal Programmng (tanpa faktor prortas d dalam strukturnya) adalah sebaga berkut. Mn. Z m W 1 Subject to; m = W W 1 n 1 a j X j b untuk 1,2,..., m tujuan n j 1 g kj X j atau C k untuk kendala fungs ; j 1,2,..., 1, 2,..., p n Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

23 12 X j,, 0 Keterangan:, 0, : jumlah unt devas postf dan devas negatf terhadap tujuan (b ) W, W : tmbangan atau penalty (ordnal atau kardnal) yang dberkan a j X j b g kj C k terhadap suatu unt devas negatf atau devas postf terhadap tujuan (b ) : koefsen teknolog fungs kendala tujuan, yatu yang berhubungan dengan tujuan peubah pengamblan keputusan (X j ). : peubah pengamblan keputusan : tujuan atau target yang ngn dcapa : koefsen fungs kendala basa. : jumlah sumber daya k yang terseda Catatan: bahwa jka tdak dapat mencapa devas postf dan devas negatf dar tujuan atau target yang dtetapkan secara sekalgus atau smultan, maka salah satu dar peubah devasonal atau ke dua-duanya akan menjad nol sepert yang dtunjukkan berkut n: l Z, jka l Z o, jka l Z dan 0, jka l Z Z l, jka l Z Keterangan: l = target Z = tujuan Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

24 13 Keadaan d mana koefsen teknolog a j yang berhubungan dengan fungs kendala tujuan, dan g kj yang berhubungan dengan fungs kendala sumber daya harus dtetapkan secara eksplst. Hal n berart bahwa tradeoffs d antara fungs tujuan tdak perlu dkuantfkaskan. tetap satu tujuan dengan tujuan lannya salng bertentangan. Dengan demkan harus dtetapkan terlebh dahulu mana d antara berbaga tujuan tersebut yang dutamakan dan dprortaskan Faktor prortas dapat dtentukan mana tujuan yang lebh pentng sebaga prortas ke-1, dan tujuan yang kurang pentng dtentukan sebaga prortas ke-2, dan seterusnya. Pembagan prortas tersebut adalah pengutamaan (preemptve). Jad harus d susun dalam suatu urutan (rangkng) menurut prortasnya, sehngga dapat dnyatakan faktor prortas sebaga P ( untuk =1,2,,m). Faktor-faktor prortas tersebut memlk hubungan sebaga berkut: P >>>P 2 >>>P 3 >>>P +1 Untuk: >>> = jauh lebh tngg darpada Dengan demkan, model umum yang memlk struktur tmbangan pengutamaan (preemptve weghts) dengan urutan ordnal. m Mn. Z = ( P W P W ) Subject to; 1 y, y s, s n 1 a j X j b untuk 1,2,..., m tujuan n j 1 g kj X j atau C k untuk kendala fungs ; j 1,2,..., 1, 2,..., p n X j,, 0 Keterangan:, 0, : devas postf dan devas negatf dar tujuan atau target ke- P, P y s : faktor-faktor prortas Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

25 14 W, y : tmbangan relatf dar dalam urutan rangkng ke-y. W, : tmbangan relatf dar dalam urutan rangkng ke-s[6]. s Metode Untuk Menyelesakan Goal Programmng Pada perumusan Goal programmng dberkan pembobotan yang khusus pada tujuantujuan yang ngn dcapa dan pada berbaga prortas yang dberkan dalam mencapa tujuan-tujuan tersebut. Hal n dlakukan terhadap tujuan atau sasaran tdak mungkn tercapa karena menunjukkan tdak terdapat preferens terhadap mana yang lebh dutamakan dan dberkan bobot yang lebh berart darpada yang lan dan bak maupun dberkan bobot yang lebh besar darpada nol Aplkas Goal Programmng Model perencanaan d bdang pertanan Tabel 2.1: Data Perencanaan Usahatan Tanaman Tanaman Ketersedaan Sumberdaya Pear Peach Modal Pemangkasan No Varabel Keputusan (X1/ha) (X2/ha) tahunan (jam/musm) Panen 1 NPV (Rp/ha) Sumber penghaslan: Modal tahun Tahun tahun Max. traktor (jam) Tahun Tenaga kerja tahunan Pemangkasan Panen Mesn Pengolahan (jam/ha) Tujuan Usahatan: 1. Maksmumka NPV (Net Present Value) 2. Mnmmumkan pnjaman modal selama 4 tahun Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

26 15 3. Mnmmumkan tenaga kerja musman untuk pemangkasan dan panen 4. Mnmmumkan sewa traktor (adalah kepentngan yang salng bertentangan) Strateg dengan Lnear Programmng basa: 1. NPV dmaksmumkan 2. Tujuan lan sebaga kendala sumberdaya 3. Total sumber penghaslan: Surplus tahun 1 dmasukkan sebaga tambahan tahun berkutnya. Pendekatan program lner Maks. Z= 6250 X X 2 Subject to: 500X X X X X X X X X X X X X 1 +35X X 1, X 2 0 Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

27 16 Menguj optmaltas dengan metode smpleks sebaga berkut: A. Maksmas Tabel 2.2: Tabel smpleks Maksmas Iteras Bass C X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 B X X X X sxx X X X Zj-Cj Iteras Bass C X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 B X ,500 X ,250 X ,750 X ,125 X ,400 X X ,000 X Zj-Cj Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

28 17 Iteras Bass C X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 B X , X , X , X , X ,600 X X X Zj-Cj Solusnya: X 1 = 5 ha X 2 = 4.44 ha NPV = Tenaga kerja panen dgunakan semua Sumberdaya lannya tdak habs dgunakan, ada ssa sumberdaya. Menurut Lnear Programmng n optmal karena: 1. Tujuan yang dformulaskan sebaga kendala dpenuh dulu sebelum NPV 2. Setap solus yang layak harus memenuh fungs kendala Pendekatan tujuan tunggal dengan banyak fungs kendala sepert n lazmnya menghaslkan solus yang tdak memuaskan, sehngga muncullah pendekatan Multple Crtera atau serng dsebut Goal Programmng[8]. Dalam model Goal Programmng, formula ketdak-samaan sepert d atas danggap sebaga tujuan (g) dan bukan sebaga kendala Rght hand sde values (RHS) merupakan target yg dapat tercapa atau hanya dapat ddekat. Untuk setap fungs tujuan dber dua macam varabel ( persamaan: dan ) untuk mengubahnya menjad Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

29 X X 2 + = g X X 2 + = g X X = g X X 2 + = g X X 2 + = g X X = 4000 g 6 400X = 2000 g 7 450X = 2000 g 8 35X 1 +35X = 1000 g 9 Pengambl kepuntusan ngn memnmumkan NPV Smpangan negatf ( ) : D bawah pencapaan Smpangan postf ( ) : Tujuan yang melebh target (Over achevement) 0, atau 0, 0 Mn Σ Tujuan Goal Prorgammng adalah memnmumkan devas Mendefnskan semua tujuan yang relevan dengan stuas perencanaan menetapkan prortas tujuan: Q >>>> Qj Prortas tngg dpenuh lebh dahulu: Lexcographc order Q1 : untuk g 2, g 3, g 4, g 5 adalah,,, Q2 : untuk g 9 : 9 Q3 : untuk g 1 : 1 Q4 : untuk g 6, g 7, g 8 :,, Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

30 19 Sehngga dperoleh fungs tngkat pencapaan f (x) sebaga berkut: Mn A = [ ( ), ( ), ( 9 1 ), (,, )] Subject to: Q 3 : 6250X X 2 + = g Q 1: 500X X 2 + = g X X = g X X 2 + = g X X = g 5 Q 4 : 120X X = 4000 g 6 400X = 2000 g 7 450X = 2000 g 8 Q 2 : 35X 1 +35X = 1000 g 9 X, j, j, 0 1,2 dan j 1,...,9 Solus optmum : X 1 = X 2 = 9.38 Varabel devas: 1 = = 0 2 = = 0 3 = = 0 4 = = = = Prortas I (Q 1 ) : g 5 tercapa Prortas II (Q 2 ) : g 9 tercapa Prortas IV (Q 4 ) : g 6 tercapa Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

31 20 Dbandngkan dengan penyelesaan Lnear Programmng pada sebelumnya, sehngga dperoleh nla NPV lebh tngg. Sumberdaya habs dpaka mash kurang sumber daya yang dgunakan dan modal mash ada ssanya. Pareto Optmalty Pareto Optmal merupakan penyelesaan atau proses keputusan dengan cara mengevaluas alternatf-alternatf keputusan dar solus Goal Programmng yang banyak jumlahnya tu, untuk memlh alternatf terbak yang dapat dterma. Karena crnya yang tdak mengenal ketunggalan, menyebabkan solus yang dhaslkan berbentuk alternatf-alternatf Pareto Optmal yang dkenal juga solus non-domnance atau non-nferor. Defns: Solus Non-nferor adalah suatu keadaan d mana tdak mungkn dperoleh pengurangan (pengeclan) dar setap fungs tujuan tanpa dalam waktu yang bersamaan mengakbatkan pertambahan (pembesaran) sekurang-kurangnya satu fungs tujuan lannya. Atau dapat dnyatakan: X * adalah solus non-nferor atao Pareto Optmal untuk persoalan Mn. f(x) d.p X T d :jka dan hanya jka tdak terdapat keadaan T d X,d mana x f x * f, dan f x f x * p p untuk beberapa fungs tujuan p=1,2,,n. Dengan pendekatan parametrk mengevaluas alternatf-alternatf solus Pareto Optmal. D antara solus Pareto Optmal tulah harus dtentukan solus yang danggap terbak (preferred soluton) sesua dengan preferens pengamblan keputusan. Defns: Solus optmum adalah solus terbak dar hasl gabungan fungs-fungs tujuan yang memenuh kendala tertentu, sesua dengan preferens pengambl keputusan melalu Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

32 21 proses permbalan (tradeoffs) d antara fungs-fungs tujuan yang tdak dalam keadaan sepadan. Metodolog Goal Programmng dengan metode Interactve Lnear Programmng yang mempunya struktur dar matematka rancangan sebaga berkut: e. Formulas persoalan Goal Programmng. f. Pendekatan pembobotan (parametrc) sebaga pembangkt solus Pareto Optmal. g. Mencar batas-batas optmsas dengan tabel matrks pay-off. h. Menentukan solus terbak atau solus optmal dengan menggunakan kurva tradeoffs dan faktor penalt γ[11]. Solus Pareto Optmal yang dkembangkan dengan penggunaan pendekatan parametrk yang dusulkan oleh Geoffron dengan formulas berkut n. Mn. f x 1 f x 1 2 Subject to: b f 3 x a X T d X g X 0 Keterangan: f 3 x, f x dan f x 1 2 : tga fungs tujuan yang dplh dengan vektor keputusan x n R T d : daerah fsbel varabel keputusan g(x) fungs kendala vektor G : R k R m : parameter yang berubah d antara ( 0 1) a,b : batas atas dan bawah koefsen Metoda Goal Programmng yang dusulkan adalah berbentuk nteraktf, d mana hasl akhr optmsas merupakan alternatf-alternatf Pareto Optmal akan danalsa secara kuanttatf antara lan adalah menyatakan dalam bentuk tabel matrks pay-off, kurva trade-off, dan cara pemlhan solus terbak (konsep faktor penalt γ), sebaga berkut: Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

33 22 1. Matrks pay-off Terlebh dahulu suatu hmpunan Pareto Optmal dapat dperoleh dengan menggunakan pendekatan parametrk. Dengan memberkan salah satu fungs tujuan bobot maksmum (msal W=0,999), maka fungs tujuan lannya dber bobot mnmum (msal W=0,001) untuk masng-masng fungs tujuan f 1,, f 2, dan f 3 dan htung nla masng-masng fungs tujuan sehngga dperoleh solus optmal untuk setap fungs tujuan tersebut yatu f f f * * f, 1 2 * x x, x, : x * x x, x, * 3 f, dan f yang masng-masng terdr atas 3 (tga) nla: 1 3 : x * x x, x, : x Selanjutnya susunlah nla dar fungs tujuan tersebut ke dalam suatu satu tabel d mana bars-bars (rows) menyatakan nla solus optmal (x 1,x 2,x 3 ) dan kolom-kolom (columns) menunjukkan batas-batas harga setap fungs tujuan ( * * f, 1 2 * 3 f, f ). Dengan demkan carlah nla terbesar dan terkecl dar masng-masng kolom. Msal M p sebaga nla terbesar dan m p sebaga nla terkecl. Ulang hal tersebut d atas untuk p=1,,3. dan nla-nla tersebut dsebut sebaga batas atas dan batas bawah setap fungs tujuan tu. 2. Kurva tradeoffs Mengembangkan nla tradeoffs antara f 1 vs f 2 secara pendekatan parametrk yatu dengan mengubah-ubah bobot W 1 dar 0,999 0, 001 dan W 2 dar 0,001 0, 999. Plh dar masng-masng kurva yang telah dsajkan secara vsual tersebut satu solus terbak yang sesua dengan preferens pengamblan keputusan (untuk setap strateg akan dperoleh 3 solus optmal). 3. Faktor penalt γ. Dalam model n krtera untuk menentukan solus terbak tu dsebut sebaga faktor penalt γ. Faktor penalt dkembangkan berdasarkan konsep permbalan (tradeoffs) yang mampu menggambarkan seberapa jauh pengorbanan f 1 vs f 2. Dar ss lan faktor penalty dapat pula berperan sebaga ndkator perubahan nla. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

34 23 Berdasarkan dar krteranya tdak akan dperoleh solus yang optmal yang tunggal dan dengan menggunakan bobot-bobot bernterval (parametrc programmng) mula-mula sejumlah ttk-ttk efsen akan devaluaskan, maka semua ttk-ttk ekstrm d sektar permukaan efsen dar daerah fsbel dapat dperoleh, d snlah peranan pengamblan keputusan menjad pentng artnya. Karena tu perlu terlebh dahulu melakukan tradeoffs (penlaan tolak angsur) d antara tujuan-tujuan, sasaransasaran yang akan doptmsaskan tu dengan demkan crnya yang tdak mengenal ukuran tunggal, menyebabkan solus yang dhaslkan berbentuk alternatf-alternatf yang kemudan perlu devaluaskan oleh pengambl keputusan, sebelum memperoleh solus terbak d antara alternatf-alternatf tersebut[4]. Konsep Solus Pareto Optmal Setelah solus-solus efsen (Pareto Optmal) d daerah fsbel dketahu, selanjutnya memlh dar sekan banyak ttk-ttk efsen tersebut suatu solus yang terbak. Pada permasalahan Goal Programmng yang tdak mengenal solus Optmal yang tunggal dan memuaskan dengan mendapatkan solus Pareto Optmal yang dsebut Nondomnance atau effcency atau non-nferor. Interprestas grafs dar konsep Pareto Optmal untuk persoalan optmsas tujuan ganda yang mengandung pengertan yang bersfat dualty dan dapat dnyatakan melalu dua konsep ruang; Mnmum. f x Subject to: f ( x) T T 0 =ruang fungs tujuan (objectve space) Mnmum. f x Subject to: 0 x T d T d =ruang varable keputusan (decson space) Ke dua-duanya memperlhatkan suatu bentuk sebarang daerah fsbel[11]. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

35 Preferens Pengamblan Keputusan Solus Pareto Optmal bukan merupakan solus yang tunggal karena kenyataannya penentuan satu hmpunan Pareto optmal, belum cukup untuk memperoleh solus terbak. Dengan demkan untuk mendapatkan solus yang terbak d antara hmpunan solus Pareto Optmal tersebut akan dlakukan penambahan satu krtera yatu melalu proses permbalan (tradeoff) d antara fungs-fungs tujuan yang tdak dalam keadaan tdak sepadan. Menurut Hurbert Smon, solus terbak tu dapat dpandang sebaga solus yang palng memuaskan yang mungkn dcapa pengambl keputusan, sesua preferensnya menghadap kendala tertentu[7]. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

36 BAB III PEMBAHASAN Analss Pareto Optmal dengan Pembobotan dalam Menentukan Solus Goal Programmng. Dalam rangka mencar penyelesaan Goal Programmng dengan menghadap suatu persoalan yang satu tujuan dengan tujuan lan salng bertentangan (multple and conflctng goals). Dengan demkan persoalan n dapat dselesakan dar fungs tujuan yang majemuk (lebh dar dua) melalu proses reduks dar alternatf-alternatf yang banyak jumlahnya tu, untuk memperoleh keputusan terbak melalu preferens pengamblan keputusan yang dapat dterma. Permasalahan menentukan Pareto optmal pada Goal programmng adalah suatu penyelesaan yang banyak dlakukan dengan pendekatan parametrk dengan dperoleh solus yang majemuk akan devaluaskan solus yang banyak tu, yang akhrnya dperoleh solus yang efsen. Solus optmal dar masalah dasar dperlhatkan menjad suatu cara khusus dar ttk ekstrm pada solus pareto optmal. Perencanaan dalam konteks Goal Programmng melalu tahap-tahap sebaga berkut: 1. Pembentukan tabel matrks pay-off untuk memperoleh batas-batas tertngg dan terendah nla masng-masng fungs tujuan. 2. Membangktkan alternatf-alternatf solus Pareto Optmal berdasarkan pendekatan parametrk. 3. membuat Proses permbalan (tradeoff) d antara fungs-fungs tujuan, untuk memperoleh solus yang optmum sesua dengan preferens pengamblan keputusan[9]. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

37 26 Apabla varabel keputusan merupakan aspek sstem yang akan dkendalkan, maka parameter merupakan sesuatu yang dtetapkan dar luar dan tdak dkendalkan. Sehngga pada perolehan solus akhr yang memenuh semua kendala adalah solus fsbel. Pada umumnya hmpunan solus fsbel tu tdak terhngga banyaknya, algortma metoda smpleks mampu bekerja untuk mencapa ttk optmal dengan mencar solus hanya pada ttk-ttk ekstrm daerah fsbel saja. Permasalahan Pareto Optmal dengan pembobotan dapat dformulaskan dalam bentuk Goal programmng. Jka dberkan pembobotan (pendekatan parametrk) pada Goal programmng akan dapat menentukan solus optmal yang merupakan alternatfalternatf solus Pareto optmal, dar alternatf-alternatf yang banyaknya tu, pengambl keputusan akan menentukan plhan yang sesua dengan preferensnya. Solus tulah yang dsebut sebaga solus yang optmal. Dalam menentukan atau memlh solus optmal tu adalah menggunakan konsep faktor penalty, melalu kurva tradeoff yang dajukan untuk pengambl keputusan secara vsual. Hal n menyangkut dengan fungs tujuan yang dnyatakan dalam bentuk tabel pay-off matrx dan kurva tradeoff. Pada tahap n pembahasan dfokuskan ke dalam proses pemlhan ttk-ttk optmum secara nteratf dalam masalah Goal Programmng. 3.2 Masalah Perencanaan Usahatan pada Dua Jens Tanaman (pear dan peach). Pada permasalahan sebelumnya akan dlakukan pendekatan parametrk untuk mendapatkan solus yang optmal yang sesua dengan preferens pengamblan keputusan, untuk mendapatkan solus yang memuaskan atau memenuh target yang telah dtetapkan. Msalnya: Mengevaluaskan alternatf-alternatf g 2, g 3, g 4, dan g 5, sebaga kendala yang harus dpenuh sebaga kendala (constrant) Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

38 27 g 1, g 6, g 7, g 8, dan g 9, sebaga tujuan, ada lma macam smpangan yang perlu pembobotan untuk mendapatkan solus Pareto Optmal, Smpangan dber pembobot sesua dengan kepentngan relatf dar masng-masng tujuan. Target NPV = Maks NPV sesua dengan perubahan kendala. Varabel fungs tujuan: mencermnkan persentase smpangan dar target, bukan smpangan absolut. Model: Memnmumkanl penjumlahan dar target persentase devas Mnmze: W 100 % W 100 % W 100 % W W % Subject to: 500X X X X X X X X X X 2 + = X X = X = X = X 1 +35X = 1000 X, j, j, 1,2 j 1 dan j 0 6,...,9 Untuk: W 1,, W 5 : pembobot bag smpangan devas. Pembobot n dapat sama, atau dapat berbeda nlanya Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

39 28 Msalnya: Petan lebh mementngkan pendapatan atau penghaslannya darpada sewa tenaga kerja dan sewa traktor. Penerapannya harus dlandas oleh logka lmah yang kuat dan benar. Lma stuas d mana GP tdak bagus, yatu: 1. Solus optmal dengan menggunakan Goal Programmng dentk dengan solus optmal yang dperoleh dengan Lnear Programmng basa 2. Trade-off antar goal dalam prortas tertentu dapat dlakukan, tetap trade-off lntas prortas tdak dapat dlakukan 3. Kepekaan Goal Programmng untuk menghaslkan stuas optmal nferor 4. Maksmsas dar fungs pencapaan f(x) Achevement Functon dar Goal Programmng tdak sama dengan optmzng the utlty functon dar pengamblan keputusan. 5. Prortas terlalu banyak. Sebagan kecl Goal Programmng apabla beberapa tujuan (msalnya struktur baya usahatan) harus dntroduks sebaga raso atau sebaga sebagan tujuan Mnmax Goal Programmng adalah mnmum maksmun devas. Pencapaan dar semua Goal harus lebh besar dbandng dengan target yang ngn dcapa. Mn. Subject to: j f j x j j b j X F (hmpunan fsbel) Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

40 29 DM Goal Programmng Evaluas alternatef-alternatf MOP Solus Pareto Solus Non-Pareto Gambar 3.1 Bagan Pengamblan Keputusan Konsep klask tentang optmal dgant dengan deal efsens atau Non-domnans. Masalah optmsas smultan beberapa tujuan yang menghadap seperangkat kendala (basanya lnear). Mencoba mengdentfkas varabel yang mengandung solus efsen (non-domnated dan Pareto Optmal). Untuk menghaslkan varabel yang efsen adalah: Eff. Z(X) = [ Z 1 (X), Z 2 (X),. Z q (X) ] Subject to: X F Keterangan: Eff : mencar solus yang efsen F : Varabel fsbel Msalnya : Petan mempunya dua tujuan: 1. Memaksmumkan NPV nvestasnya dalam pengembangan kebun 2. Memnmumkan jumlah jam kerja tenaga kerja-upahan dalam panen. Kendala luas kebun mnmum 10 ha Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

41 30 Modelnya adalah: Eff. Z(X) = [ Z 1 (X), Z 2 (X) ] Untuk: Z 1 (X) : 6250 X X 2 Z 2 (X) : X X 2 Subject to: 500X X X X X X X X X X X 1 +35X X 1 + X 2 10 X 1, X 2 0 Penyelesaan: Menguj optmsas dengan menggunakan software QM Iteras 0 Tabel 3.1 Tabel smpleks Maksmun Z1 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Bass C B X ,500 X ,000 X6 0 1, ,000 X7 0 1,375 1, ,000 X ,000 X ,000 X ,000 zj-cj Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

42 31 Iteras 1 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Bass C B X ,000 X ,500 X , ,050 18,500 X , ,375 22,250 X ,800 X X1 6, Zj-cj Iteras 2 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Bass C B X ,000 X ,500 X , ,05 18,500 X , ,37 22,250 X ,800 X X1 6, Zj-cj 0-1, ,250 62,500 Iteras 3 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Bass C B X , X , X , X X X X1 6, Zj-cj 0 109, ,636 Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

43 32 Iteras 4 Bass C X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X X , X , X , X X X2 5, X1 6, Zj-cj B X2 1375X X2 = X1 + 35X2 = 1000 D C E X1 + X2 > = 10 F 120X X2 = 4000 A B X Gambar 3.2 Grafk Maksmum Z1 Varabel fsbel F adalah Polgon ABCDE, dan deskrps untuk ttk ekstrm adalah sebaga berkut: Tabel 3.2 Tabel ttk ekstrm Z 1 Peubah keputusan Fungs tujuan X1 X2 Z 1 (NPV) Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

44 33 Iteras 0 Tabel 3.3 Tabel mnmze Z Bass Cj X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 B X ,000 X ,000 X6 0 1, ,000 X7 0 1,375 1, ,000 X ,000 X ,000 X cj-zj Iteras Bass Cj X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 B X ,000 X ,500 X , ,050 18,500 X , ,375 22,250 X ,800 X X cj-zj Iteras Bass Cj X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 B X ,000 X ,500 X , ,050 18,500 X , ,375 22,250 X ,800 X X cj-zj Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

45 34 Z2: Ja m ke rja TK C D B F 5000 Id eal p on t E A Z1 = N PV A B C th e ef f cen t set d alam ru an g tu ju an A B C th e ef f cen t set d alam ru an g p eu b ah Gambar 3.3 Grafk Mnmze Z2 Tabel 3.4 Tabel ttk ekstrm Z 2 Peubah Keputusan Fungs Tujuan X1 X2 Z 2 (jam kerja sewaan) Varabel efsen adalah kurva transformas yang mengukur hubungan antara dua fungs tujuan. Slope dar gars A B dan B C mencermnkan trade-off (opportunty cost) d antara ke dua tujuan. T A' B ' f f A( x' ) B ( x' ) f f A( x' ' ) B ( x' ' ) f A (x ) dan f B (x ) merupakan dua fungs tujuan, sehngga dperoleh trade off antara NPV dan jam kerja d sepanjang A B adalah: Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

46 35 T A' B ' Rp / jam Setap jam kerja menghaslkan NPV = Besarnya tradeoffs n menjad pertmbangan dalam menentukan plhan oleh pengamblan keputusan (Decson Maker). Matrks pay-off untuk dua tujuan: Tabel 3.5 Matrks Pay-off NPV Jam kerja sewaan NPV Jam kerja sewaan Bars I : Maks NPV ( ) sesua dengan tenaga kerja-sewaan Bars II :Tenaga kerja sewaan mnmum (4000 jam) sesua dengan NPV= Konflk antara tujuan NPV dan tujuan sewaan tenaga kerja yatu Maks, NPV menghaslkan tenaga kerja-sewa yang tngg (300%) dan Mn tenaga kerja sewa menghaslkan NPV rendah (50%). Elemen dalam dagonal utama matrks pay-off dsebut Ideal Pont (solus dmana semua tujuan mencapa nla optmumnya) Kalau ada konflk d antara tujuan, deal pont adalah tdak fsbel. Kebalkan dar Ideal Pont adalah Ant Ideal atau Nadr Pont. Perbedaan antara Ideal Pont dan Nadr Pont, merupakan ksaran nla dar fungs tujuan. Ide dasar metode n adalah: 1. Mengoptmalkan salah satu tujuan, sedangkan tujuan-tujuan lannya danggap Restrants 2. Varabel efsen dperoleh dengan pembobotan kendala dar tujuan-tujuan yang danggap sebaga restrants Msalnya: Problematk MOP dengan fungs tujuan: Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.

47 36 Maks, Subject to: Z k (X) X F Z j (X) L j j = 1, 2,., k-1, k+1,., q Keterangan: Z k (X) : tujuan yang doptmalkan L j : RHS, dvaras secara parametrk Msalnya: NPV dtetapkan sebaga tujuan yang harus doptmalkan, aplkas metode kendala n menghaslkan Lnear Programmng parametrk sbb: Maks. 6250X X 2 (NPV) Subject to: X F (kendala tekns) 400X X 2 L 1 ( tenaga kerja /jam) Nla L 1 beragam antara jam/ha. Dengan jalan pembobotan L 1 untuk nla-nla antara akan dperoleh varabel efsen. Nla L 1 beragam dalam ksaran jam/ha. Tabel 3.6 Penafsran varael efsen dengan ttk ekstrm X 1 X 2 Z 1 Z 2 RHS (L 1 ) , , Ide dasar metode n adalah: 1. Mengkombnaskan semua tujuan menjad satu fungs tujuan tunggal 2. Setap fungs tujuan dber pembobot, kemudan baru djumlahkan (+) 3. Hmpunan yang efsen dperoleh melalu varas parametrk dar pembobot. Sr Keumalawat : Analss Pareto Optmal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solus Goal Programmng, 2010.