APLIKASI JARINGAN SARAF TIRUAN REKUREN PADA IDENTIFIKASI SISTEM NONLINIER DENGAN ALGORITMA OPTIMAL BOUNDED ELLIPSOID

Transkripsi

1 APLIKASI JARINGAN SARAF IRUAN REKUREN PADA IDENIFIKASI SISEM NONLINIER DENGAN ALGORIMA OPIMAL BOUNDED ELLIPSOID Rully Soelaman, Mohammad Azs Efend Faultas enolog Informas, Insttut enolog Sepuluh Nopember (IS), Surabaya, 60, Indonesa E-mal: Abstras Penggunaan jarngan saraf truan dengan berbaga algortma learnng telah terbut dapat mengatas permasalahan dentfas terhadap sstem nonlner. Munculnya algortma optmal bounded ellpsod (OBE) terat adanya beberapa elemahan pada algortma learnng yang telah dgunaan dan dmplementasan sebelumnya, dalam hal n algortma Bacpropagaton dan Extended Kalman Flter. Beberapa elemahan yang ada antara lan onvergens yang mash sangat lambat, serta hasl tranng yang d pengaruh oleh nose. Dengan algortma n error model antara plant dan jarngan dapat dbatas,sehngga proses onvergens aan menjad lebh cepat. Algortma n aan dgunaan untu memodfas bobot pada layer hdden dan layer output dar state-space jarngan saraf truan berdasaran dentfas error antara output jarngan dengan sstem. Hal n aan dlauan secara terus-menerus hngga output dar jarngan sesua dengan target atau plant. Pada maalah n algortma OBE dmplementasan pada jarngan saraf truan reuren. Dar hasl pengujan dan evaluas dperoleh tngat auras dan efsens yang tngg serta onvergens yang cepat d dalam proses dentfas sstem nonlner. Kata unc: nonlner, dentfas sstem, jarngan saraf truan reuren, optmal bounded ellpsod.. Pendahuluan Identfas sstem adalah atvtas yang bertujuan untu mengatur sstem agar eluaran (output) dar sstem mampu mengut masuan referensnya (nput). Pada asus sstem nonlner proses dentfas menjad sangat rumt. da dapat dpungr lag bahwa hampr semua permasalahan meana dan dnama berwujud persamaan nonlner, sehngga dbutuhan metode untu dapat memodelannya secara aurat mengngat solus esa dar permasalahan nonlner sangat sult atau bahan mustahl dapat dcapa. Berbaga metode telah banya dcobaan untu mengdentfas sstem nonlner. Salah satu metode tersebut adalah Jarngan Syaraf ruan (JS). Menurut Smon Hayn (999), JS dapat dlasfasan menjad dua yatu feedforward dan recurrent. Sstem nonlner merupaan sstem yang terenal dengan omplestasnya, hal n darenaan tda adanya bentu metode umum yang terseda. Dalam termnolog matemats, sstem nonlner adalah sstem yang tda lner yan sstem yang tda memenuh prnsp superposs. Sebuah sstem nonlner merupaan sstem yang tda bsa dpreds berdasaran perlau terdahulunya dan meml cuup varabel atau besaran yang tda detahu. Sstem nonlner n merupaan onsep dar sstem dnam. Beberapa permasalahan tmbul saat dlauan preds pada bentu sstem yang belum pernah dlath sebelumnya. Permasalahan tersebut antara lan adalah preds sstem untu watu yang lama urang aurat. Hal n dsebaban jarngan belajar mengenal bentu sstem lewat pasangan nput output dar pada ecepatan perubahan sstem. Sehngga JS yang basa tda dapat menangap perlau sstem untu watu yang lama dengan ba. Dalam jurnal lmah yang dtuls oleh Jose de Jesu s Rubo dan Wen Yu pada tahun 007 dusulan sebuah algortma tranng JS reuren yang dsebut optmal bounded ellpsod (OBE). Dengan algortma n error model antara plant dan jarngan dapat dbatas dengan memanfaatan learnng rate yang dmodfas, sehngga proses onvergens aan menjad lebh cepat.algortma n aan dgunaan untu mengubah bobot pada layer hdden dan layer output dar state-space JS reuren berdasaran dentfas error antara output jarngan dengan sstem. Hal n aan dlauan secara terus-menerus hngga output dar jarngan sesua dengan target atau plant sstem. Satu hal yang menar dar penerapan algortma OBE pada JS reuren adalah bahwa jarngan dapat mempreds permasalahan nonlner dengan memanfaatan strutur data loal. Dmana state estmas pada teras e-, x ˆ( ) dperoleh berdasaran nla x ˆ( ), state vetor pada teras sebelumnya x ( ) dan nput vetor u ().

2 . Sstem Nonlner Sstem nonlner merupaan onsep dar sstem dnam. Dalam lmu matemata, sstem nonlner adalah sstem yang dnyataan oleh persamaan nonlner. Suatu persamaan atau sstem dsebut nonlner ja tda berlau prnsp superposs. Dalam maalah n sstem nonlner yang aan ddentfas adalah sstem persamaan nonlner dnam dengan ontrol nput sebagamana dnotasan pada persamaan x ( + ) = f [ x( ), )] () u m ( ) R adalah vector nput, nla dar n u ( ) u, x( ) R adalah state vetor,dengan f tda detahu Berut adalah contoh persamaan nonlner dengan ontrol nput. x& = x ) ( t x& = 0. exp(x ( t)) x ( t) ) = 0.3sn( π s) Walaupun beberapa hubungan fss serngal dnyataan dengan persamaan lner, tetap dalam ebanyaan asus hubungan yang sebenarnya adalah tda benar-benar lner. 3. Identfas Sstem Identfas sstem adalah suatu metode dan algortma matemats yang bertujuan untu membangun sebuah model dnams dar suatu penguuran data sebuah sstem [Lennart Ljung, 999]. Model yang dmasud merupaan representas matemats dar perlau dnams sebuah sstem atau proses tertentu.identfas sstem juga dapat ddefnsan sebaga proses evaluas dan pambangunan model matemats dar data nput dan output dar sebuah sstem, yang emudan dlauan proses analsa dan pengujan pada model pendeatan tersebut, sehngga dapat dtentuan nla parameter yang sesua. Identfas sstem dlauan terutama dengan tujuan untu dapat memodelan perlau dnams suatu sstem dan reas yang dtmbulan oleh sstem terhadap pengaruh esternal yang dberan epada sstem (nput sstem) tanpa harus mengetahu proses nternal yang terjad d dalam sstem. Pada dentfas model state-space,sstem nonlner yang ddentfas dapat dnyataan sebaga berut : x ( + ) = f [ x( ), )] y ( n) = h( x( n)) dmana fungs f (.) dan h(.) merupaan fungs nonlner bernla vetor yang dasumsan tda detahu. Gambar.Arstetur JS Reuren Dengan menggunaan nla x ˆ ( + ) sebaga nla estmas dar x( +) maa nla dentfcaton error dar model menjad : e ( + ) = x( + ) xˆ( + ) yang nantnya nla manpulas dentfas error n dgunaan pada proses dentfas selanjutnya sehngga hasl estmas nla x ˆ ( + ) aan seman mendeat nla x ( +) 4. Identfas Dengan JS Reuren JS reuren merupaan salah satu jens model arstetur jarngan dengan feedbac loop atau euvalen dengan fungs sstem yang teratf. JS n sangat efetf dalam asus dentfas dan pemodelan sstem nonlner. JS n dapat memperraan dengan sesama ecepatan perubahan bentu sstem (dalam hal n ss anan dar persamaan nonlner) pada sub jarngannya berdasaran nterpolas daerah doman dalam satu selang samplng atau jumlah teras sehngga dapat mempreds bentu lntasan sstem untu watu yang lama. Selan tu dharapan JS n dapat mempreds perlau sstem untu selang watu yang berbeda-beda. Model state-space dar JS reuren untu mengndentfas permasalahan nonlner dengan n buah nput-output serta m buah layer hdden dtunjuan pada gambar dengan notas sebaga berut: xˆ( + ) = Axˆ( ) + V, σ[ W, x( )] () + V φ[ W x( )] ),, nxn Dmana A R, x () vetor, xˆ ( ) nx R adalah state nx R adalah nternal state vetor, W, W, m ) R adalah Input vector, dan mxn R adalah bobot pada layer hdden,serta V, nxm dan V, R adalah bobot pada output layer. x ˆ ( + ) adalah nla dar state vetor hasl estmas pada teras e +. σ dan φ adalah

3 fungs atvas yang dgunaan oleh jarngan. Basanya σ dan φ berupa fungs sgmod. 5. Optmal Bounded Ellpsod Sejumlah n-dmens elpsod,dengan tt tengah x,dapat dnotasan sebaga berut n E( x, P) = { x R ( x x ) P ( x x ) } nxn Dmana P R adalah matr postfsemdefnt.orentas atau arah dar sumbu elpsod E dtentuan oleh egen-vetor [ u...u ] n dar P, sedangan panjang dar sumbu sem-mayor elpsod E dtentuan oleh egen-value [ λ...λ ] n dar P. Irsan antara dua buah elpsod E a ( x, P ) dan E b ( x, P ) adalah sebuah elpsod, dnamaan E c. Ea Eb = Ec = n x R λ ( x x ) ( ) + P x x ( λ)( x x ) P ( x x ) dmana 0 λ, P dan P adalah matr smetrs postf-semdefnt. Irsan normal dar dua buah hmpunan elpsod Ea Eb buanlah sebuah hmpunan elpsod secara umum. Hmpunan elpsod E c bers hmpunan rsn normal dar E E. a b Ea Eb Ec Gambar menunjuan de dasar dar onsep hmpunan elpsod E c. erdapat mnmal sebuah hmpunan elpsod yang memenuh λ.hmpunan nlah yang dsebut dengan optmal boundng elpsod. Konsep dasar dar algortma optmal boundng elpsod adalah membuat agar rsan dar dua buah hmpunan elpsod senantasa meml nla yang ecl. Pada peneltan n tda dcoba untu menemuan nla dar λ. Pada asus dentfas neural,dgunaan defns elpsod untu mengestmas nla dar parameter error E yang dnotasan sebaga berut : ~ ~ E = ( ) ( ) P ( ) { } ~ ( ) = (, dmana ) adalah bobot yang optmal dar JS yang aan memnmalan model error.pada peneltan n, onsep dasar algortma OBE menggunaan dua buah asums. Dasumsan bahwa nla dar persamaan [ y ( ) ] B Gambar.Konsep hmpunan elpsod E c adalah bagan dar hmpunan elpsod S. Varabel S dnotasan sebaga berut : S = B y ( ) B γ γ adalah onstanta postf,. dmana =... n Dasumsan bahwa nsal bobot error berada d dalam hmpunan elpsod E, serta dnotasan sebaga berut ~ ~ E = () () P () dmana { } 4mx4m P = P > 0, P R, ~ () = ().Nla dar tda detahu. Dapat dlhat bahwa bagan utama dar hmpunan S, S... S j adalah, sehngga { } I S j= j Menemuan nla { } adalah sebuah hal yang sangat sult arena nla nformas yang ada pada persamaan datas aan bertambah secara lner serng menngatnya jumlah teras (dsmbolandengan ). Berdasaran defns E pada persamaan (3-), adalah nla tengah dar dar hmpunan E, E,... E J, sehngga { } I E,{ } E (3) j= j Permasalahan utama dar dentfas sstem nonlner adalah menemuan hmpunan mnmum E yang memenuh persamaan datas. Pada maalah n dmplementasan algortma dentfas reursf sedeman rupa sehngga E + adalah hmpunan boundng elpsod ja E adalah hmpunan boundng elpsod. Ja E pada persamaan adalah sebuah hmpunan elpsod maa dgunaan algortma reursf

4 dbawah n untu melauan update nla P dan (). λ ( + ) = ( ) + P Be ( ) γ λ Dmana λ =.Nla P dupdate + B P B berdasaran persamaan berut : λ ( λ ) P + = P B B P ( λ ) γ + λ B P B Berdasaran onsep dasar datas maa nla bobot JS reuren d modfas berdasaran persamaan berut : V W [ W, x( )] e ( ) [ W x ) ] V x( ) e ( ), + = V, + λ P + σ ', + = W, + λ P + σ, (, Secara umum mplementas algortma OBE dalam proses dentfas sstem nonlner adalah sebaga berut :. Membangun model JS sesua dengan sstem nonlner yang aan d dentfas.. Insalsas nla bobot awal jarngan, state vetor dan state estmas. 3. Reonstrus model JS e dalam bentu lner hngga ddapatan nla dar V,, V,, W, W,. dan 4. Update bobot JS, ba pada layer hdden maupun layer output dengan algortma OBE. λ ( + ) = ( ) + P Be ( ) γ 5. Update nla dar P dan λ dengan persamaan berut λ P ( ) + dan λ λ = + B P B λ = P B B P ( λ ) γ + λ B P B 6. Lauan proses update bobot atau tranng aan dlauan secara terus menerus sesua nla error hngga nla dar stete estmas x ˆ( ) mendeat nla state target x() atau dengan ata lan nla MSE mendeat nol. 6. Uj Coba Proses ujcoba dlauan terhadap sstem persamaan nonlner dengan senaro yang berbeda. Uj coba terhadap sstem nonlner. x ( ) x( ) x3( ) x ( + ) = + ) + x ( ) + x( ) + x3( ) x( + ) = x ( ) x3( + ) = x( ) ) = 0.3sn(3π s) + 0.sn(4πs) + 0.6sn( πs) Uj coba n dlauan dengan menggunaan varas jumlah neuron pada layer hdden. Hasl dentfas dengan 0 neuron pada layer hddden dtamplan pada gambar 3, sedangan urva MSE dtamplan pada gambar 4. Hasl uj coba secara eseluruhan terhadap sstem nonlner dtamplan pada graf gambar 9, dmana hasl MSE dengan algortma OBE terbut lebh ecl apabla dbandngan dengan algortma lan, Bacpropa- gaton dan Extended Kalman Flter. Sstem nonlner adalah sebaga berut: x( + ) ax βsgn( x) u = + + x( + ) a. x βsgn( x ) u Dengan nput vector adalah sebaga berut u = u = 0.3cos(3πs) + 0.cos(4πs) + 0.6cos( πs) Hasl dentfas sstem nonlner dengan 0 neuron pada layer hddden dtamplan pada gambar 5, sedangan urva MSE dtamplan pada gambar 6. Hasl uj coba seluruh senaro sstem nonlner dtamplan pada graf gambar 0. Sedangan sstem nonlner yang etga adalah sebaga berut : x( + ) = x ( ) 3 x ( + ) = ρx ρ x ρx + q cos( ω) + ) ) = 0.3sn(3πs) + 0.cos(4πs) + 0.6cos( πs) ; Hasl dentfas terhadap sstem nonlner yang etga dtamplan pada gambar 7, sedangan nla MSE dtamplan pada gambar 8. Hasl uj coba seluruh senaro sstem nonlner 3 dtamplan pada graf gambar. Kurva warna bru merupaan urva plant sedangan urva merah merupaan urva hasl estmas. 7. Kesmpulan Dar ujcoba dan analss yang telah dauan dapat dambl esmpulan sebaga berut :. Aplas JS reuren dengan algortma OBE n dapat menangan permasalahan dentfas pada sstem persamaan nonlner.dalam hal n persamaan nonlner yang dgunaan adalah permasalahan nonlner dengan ontrol nput.. Algortma OBE terbut mampu mencapa onvergens dengan cepat serta ddapatan hasl urva dentfas yang aurat. 3. Algortma OBE mampu beerja dengan ba dalam melauan pencocoan urva

5 dentfas (proses tranng jarngan), terlhat dar hasl mnmum MSE sebesar Algortma OBE juga terbut lebh ba apabla dbandngan dengan algortma BP dan EKF, hal n dtunjuan dengan nla MSE yang lebh ecl dar edua algortma tersebut pada semua senaro ujcoba yang telah dlauan. 5. Hasl optmal JS reuren dengan algortma OBE dcapa eta proses tranng dlauan dengan menggunaan 0 buah neuron pada hdden layer.berdasaran data hasl ujcoba dperoleh hasl mnmum MSE dcapa pada saat senaro yang edua (menggunaan 0 buah node hdden layer) yan sebesar Pada dasarnya jarngan dapat melauan dentfas sstem nonlner hanya dengan buah neuron pada layer hdden. 7. Penambahan jumlah node pada layer hdden tda lner dengan auras proses dentfas. 8. DAFAR PUSAKA [] Poznya, Alex S., Sanches, Edgar N., and Yu, Wen.(999). Nonlnear Adaptve rajectory racng Usng Dynamc Neural Networs. IEEE Internatonal Symposum on Intellgent Control. [] Rubo, Jose de Jesu s, and Yu, Wen.(007).Recurrent neural networs tranng wth optmal bounded ellpsod algorthm,proc.of the 007 Amercan Control Conference Marrot Marqus Hotel at mes Square New Yor Cty, USA. [3] Rubo, Jose de Jesu s, and Yu, Wen. (007). Nonlnear system dentfcaton wth recurrent neural networ and dead-zone Kalman flter algorthm. Scence Drect, Neurocomputng 70, [4] Yu, Wen.(005).State-Space Recurrent Fuzzy Neural Networs for Nonlner System Identfcaton. Neural Processng letter : [5] W Yu dan Xaoou L.007.Neural dentfcaton Based On Sldng Mode Observer. 6th IEEE Internatonal Conference on Control Applcatons Part of IEEE Multconference on Systems and Control Sngapore, -3 October 007. [6] Yang, Cao, Chung, and Mors. (005) Appled Numercal Methods Usng MALAB. John Wley & Sons, Inc. From t/34/ / pdf Gambar 3. Kurva hasl Identfas sstem nonlner (a) Identfas dengan OBE ; (b) BP ; (c) EKF

6 Gambar 4. Kurva nla MSE sstem nonlner Gambar 5. Kurva hasl Identfas sstem nonlner (a)identfas dengan OBE ; (b) BP ; (c) EKF Gambar 6. Kurva nla MSE sstem nonlner

7 Gambar 7. Kurva hasl Identfas sstem nonlner 3 (a)identfas dengan OBE ; (b) BP ; (c) EKF Gambar 8. Kurva nla MSE sstem nonlner 3 MSE Senaro Algortma OBE Algortma BP Algortma EKF Gambar 9. Dagram perbandngan MSE pada sstem nonlner pada semua senaro.

8 MSE Algortma OBE Algortma BP Algortma EKF Senaro Gambar 0. Dagram perbandngan MSE pada sstem nonlner pada semua senaro MSE Senaro Algortma OBE Algortma BP Algortma EKF Gambar. Dagram perbandngan MSE pada sstem nonlner 3 pada semua senaro