METODE SIMPLEKS. Fitriani A/09/2009 Jurusan Pendidikan Matematika UPI

Transkripsi

1 METODE SIMPLEKS A Bentu Standa Model Pogam Lnea Pelu dngatan embal bahwa pemasalahan model pogam lnea dapat meml pembatas-pembatas lnea yang betanda,,, dan peubah-peubah eputusannya dapat meupaan peubah nonnegatf, dapat pula peubah yang tda tebatas dalam tanda (unestted n sgn) Dalam menyelesaan pemasalahan pogam lnea dengan metode smples, bentu dasa yang dgunaan hauslah meupaan bentu standa, yatu bentu fomulas yang memenuh etentuan beut n: Seluuh pembatas lnea haus bebentu pesamaan dengan uas anan yang nonnegatf Seluuh peubah eputusan haus meupaan peubah nonnegatf Fungs tuuannya dapat beupa masmas atau mnmas Bebeapa hal yang dapat dlauan untu mengubah bentu pemasalahan pogam lnea yang belum standa e dalam bentu standa pemasalahan pogam lnea sesua dengan etentuan d atas adalah: ) Pembatas lnea (lnea onstant) a) Pembatas lnea betanda dapat dadan suatu pesamaan = dengan aa menambahan uas da pembatas lnea tu dengan sla vaable (peubah penambah) Sla vaable pada umumnya dgunaan untu mewal umlah elebhan uas anan pembatas lnea dbandngan dengan uas nya Pada pembatas lnea betanda, uas anan umumnya mewal batas etesedaan sumbe daya sedangan uas umumnya mewal penggunaan sumbe daya tesebut yang dbatas oleh bebaga egatan yang bebeda (peubah) da suatu model pogam lnea sehngga sla vaable dapat datan untu mewal umlah sumbe daya yang tda dpegunaan b) Pembatas lnea betanda dapat dadan suatu pesamaan = dengan aa menguangan uas da pembatas lnea tu dengan suplus vaable (peubah penambah negatf) Pada pembatas lnea betanda, uas anan umumnya mewal penetapan pesyaatan spesfas mnmum, sehngga suplus vaable dapat datan untu mewal umlah elebhan sesuatu dbandngan spesfas mnmumnya Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

2 ) uas anan da suatu pesamaan dapat dadan blangan nonnegatf dengan aa mengalan edua uas dengan d) Aah petdasamaan beubah apabla edua uas dalan dengan e) Pembatas lnea dengan petdasamaan yang uas nya beada dalam tanda mutla dapat dubah menad dua petdasamaan ) Peubah eputusan Suatu peubah eputusan yang tda tebatas dalam tanda dapat dnyataan sebaga dua peubah eputusan nonnegatf dengan menggunaan substtus: dmana dan Selanutnya substtus n haus dlauan pada seluuh pembatas lnea dan fungs tuuannya ) Fungs tuuan Walaupun pemasalahan model pogam lnea dapat beupa masmas atau mnmas, adang-adang dpeluan peubahan da satu bentu e bentu lannya Dalam hal n, masmas da suatu fungs adalah sama dengan mnmas da negatf fungs yang sama Seaa matemats dapat dnyataan sebaga beut: sama atnya dengan: B Metode Smples Pendahuluan masmuman mnmuman Metode smples meupaan posedu alaba yang besfat teatf, yang begea step by step, dmula da suatu tt estm pada daeah fsbel menuu e tt estm yang optmum Untu lebh memaham uaan selanutnya, beut n dbean pengetan da bebeapa temnolog dasa yang banya dgunaan dalam membaaan metode smples Untu tu, pehatan embal pemasalahan model pogam lnea dengan m pembatas lnea dan n peubah eputusan beut n: Masmuman bedasaan pembatas lnea: n n Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

3 Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata m n mn m m n n n n b b b,,,,,, dan pembatas tanda n,,,, Apabla ddefnsan: mn m m n n A ; n ; n ; b m b b b maa pembatas lnea da pemasalahan model pogam lnea pada pesamaan () dapat dnyataan dalam bentu mats: b A,, Veto b dnamaan veto pasyaat dan tanpa mennggalan genealsas boleh saa dasumsan tedapat elemen benla nonnegatf, aena suatu pembatas lnea pada pesamaan () dapat dalan dengan apabla dpeluan Veto dnamaan veto haga dan omponen e- atau dnamaan sebaga nla peubah Sepet telah demuaan sebelumnya bahwa dalam menyelesaan pemasalahan pogam lnea dengan metode smples, bentu dasa yang dgunaan hauslah meupaan bentu standa pogam lnea, dan langah petama yang dlauan untu mempeoleh bentu standa tesebut adalah dengan mengubah pembatas lnea betanda dan menad suatu pesamaan = dengan aa menambahan uas pembatas lnea dengan sla vaable atau menguang uas da pembatas lnea dengan suplus vaable Dengan deman apabla tedapat m pembatas lnea dmana sebanya g pembatas lnea dengan tanda " ", dan sebanya h pembatas lnea dengan tanda " ", maa dapat dnyataan bahwa tedapat h g n pembatas lnea dengan tanda "=" Apabla pembatas lnea e-p adalah betanda " " maa aan dpeoleh bentu standa: p p n n pn p p b 6 Apabla pembatas lnea e-q adalah betanda " " maa aan dpeoleh bentu standa: q q n n qn q q b 7

4 Pada pesamaan (6) tedapat sla vaable yatu dan pada pesamaan (6) n p tedapat suplus vaable yatu n q Sla vaable dan suplus vaable dapat dnyataan dalam bentu veto olom beut: dmana Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata s n n n g g h, n, n g adalah sla vaables dan,, n, 8 n g n g, n g h adalah suplus vaables, sehngga dengan adanya sla vaable dan suplus vaable pesamaan () dapat dnyataan sebaga: dmana adalah veto peubah poo (man vaable) dan I g O A O Ih s b 9 O O I, I meupaan mats satuan (mats denttas) dengan ode g dan h Pembatas tanda nonnegatf yang denaan pada tap peubah adalah g h, s Kaena adanya penambahan sla vaable dan suplus vaable maa fungs tuuan pada pesamaan () aan menad t dmana,,,, s n, n g n g t t s s (veto bas dengan g h omponen yang n g h beasal da g omponen da sla vaable dan h omponen da suplus vaable) Dengan adanya sla vaable dan suplus vaable maa pesamaan (), (), dan () dengan notas mats dapat dnyataan: Memasmuman: dengan pembatas lnea dmana I g O A A O Ih ; O O s t t s s A b dan ( dan s telah delasan sebelumnya) Setelah pemasalahan pogam lnea tebentu dalam bentu standa maa yang haus dlauan adalah:

5 Penyelesaan pesamaan smultan A b Selama mengeaan tahap, syaat ests nonnegatf dpenuh Mempeba nla fungs tuuan pada tap teas Contoh : Detahu pembatas lnea suatu pemasalahan pogam lnea: 8 Ubahlah pembatas lnea tesebut d atas sehngga menad bentu standa pogam lnea Jawab: Kaena pembatas lneanya betanda " " maa untu pembatas lnea pemasalahan pogam lnea d atas aan dtambahan sla vaable sehngga dpeoleh bentu standa: dmana,, Penyelesaan Dasa (Bas Soluton/Solus Bass) Pehatan suatu sstem pesamaan tesebut dapat dnyataan dalam bentu beut n: dmana a, A b pada pesamaan () Pesamaan a a NaN b, a, an adalah veto-veto atvtas yang meupaan veto olom pada mats A dengan ode m N dmana N n g h Pada pembahasan n dasumsan bahwa pesamaan () onssten Apabla umlah pembatas lnea adalah m sama dengan umlah peubah yatu N, dan A an m, maa pesamaan () mempunya penyelesaan tunggal yatu A b Apabla hal n tead maa pemasalahan pogam lnea tesebut tda mempunya solus optmal aena daeah fsbel (feasble egon) beupa satu tt Apabla N m dan ana N maa tedapat N m pesamaan pembatas lnea belebhan (edundant) yang pada pnspnya dapat dabaan, sehngga dpeoleh onds dmana pesamaan () mempunya penyelesaan tunggal Apabla untu pesamaan () dasumsan bahwa N m dan A m an seta tap peubah seaa tetap dasosasan beoesponden dengan veto olom a Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

6 Selanutnya apabla dplh m veto olom yang membentu mats A adalah bebas lnea dan N m peubah lan yang beoesponden dengan veto-veto yang tessa pada mats A mempunya nla nol, maa hmpunan m pesamaan smultan tu mempunya penyelesaan tunggal yang dnamaan penyelesaan dasa (solus bass/bas soluton) Untu tu m peubah da solus bass yang beasosas dengan m veto olom yang bebas lnea dnamaan peubah dasa (bas vaable/bv), sedangan N m peubah ssanya dnamaan peubah nondasa (nonbas vaable/nbv) yang umumnya dtetapan benla nol Apabla tedapat satu/lebh BV yang benla nol maa pemasalahan pogam lnea tesebut dnamaan degeneas (meosot) dan BV yang benla nol dnamaan peubah degeneas Untu lebh elasnya mengena solus bass pehatan defns beut Defns (Solus Bass) Solus bass untu A b adalah solus dmana tedapat masmal m peubah buan nol (peubah dasa/bv) Untu mempeoleh solus bass da A b maa sebanya N m peubah haus dbuat benla nol Peubah-peubah yang dnolan (dbuat benla nol) n dnamaan peubah non dasa (NBV) Selanutnya, dapatan nla da N N m m peubah lannya yang memenuh Defns (Solus Bass Fsbel) A b Ja seluuh peubah pada suatu solus bass benla nonnegatf, maa solus tu dnamaan solus bass fsbel (BFS) Sebelum lebh dalam membahas metode smple, telebh dahulu pehatan lustas beut n Contoh : Tentuan semua solus bass da pesamaan smultan Jawab: Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 6

7 Untu pesamaan d atas tedapat banyanya pesamaan yatu m dan banyanya peubah yatu n sehngga banyanya penyelesaan bass yang mungn ada sebanya 6 Kaena aan da solus bassnya maa tedapat m (BV) dan m n NBV Petama-tama ta melauan OBE maa dpeoleh: C C C C 7 7 C 7 7 solus dasanya yatu,,,,, sedangan BV adalah dan, atnya NBV adalah dan, Petama-tama ta melauan OBE maa dpeoleh: C C C C C Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 7

8 solus dasanya yatu,,,,,, sedangan BV adalah dan atnya NBV adalah dan, Solus bassnya dpeoleh,,,,,,, sedangan BV adalah dan atnya NBV adalah dan Solus bassnya dpeoleh,,,,,,, sedangan BV adalah dan Solus bassnya dpeoleh,,,,,,, sedangan BV adalah dan atnya NBV adalah dan atnya NBV adalah dan Pada saat memsalan NBV adalah dan, yang atnya BV adalah dan maa tda aan dpeoleh solus bass, hal n daenaan veto olom olom 8 tda bebas lnea 6 Oleh aena tu hanya tedapat solus bass da 6 solus bass yang mungn dan veto Untu mempelana pemahaman mengena solus bass maa eaan soal-soal beut n Tentuan solus bass da sstem pesamaan beut n dengan menggunaan opeas bas elemente (Gauss-Jodan) a) b) 8 Tentuan semua solus bass da masalah PL yang ada pada ontoh Tentuan semua solus bass da pembatas lnea masalah PL yang dbean dengan telebh dahulu mengubah masalah PL e dalam bentu standa PL Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 8

9 Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 9 a) 9 6 b) 6 ) 6 8

10 Sebelum ta melanutan pembahasan mengena metode smples, beut n adalah teoema yang uup pentng dgunaan untu memaham peneapan metode smples Teoema Msalan A b meupaan hmpunan da m pesamaan dengan N peubah dmana m N dan A m an Apabla pesamaan tesebut mempunya solus bass dmana maa pesamaan tesebut mempunya solus bass fsbel Teoema membean esan bahwa solus masalah pogam lnea hanya dlauan melalu penguan tehadap solus bass fsbel yang meupaan pengeaan dalam metode smples Dalam hal n seaa teatf dlauan penguan da satu solus bass fsbel e solus bass fsbel lannya sampa fungs tuuan menapa nla optmal Namun, ta tda dapat menyataan bahwa teoema dapat dgunaan untu mempeoleh solus masalah pogam lnea seaa umum Defns (Solus Fsbel Tt Estem) Solus fsbel tt estem (tt sudut) adalah solus fsbel yang tda teleta pada suatu segmen gas yang menghubungan dua solus fsbel lannya Apabla ada seumlah n n buah peubah eputusan, maa defns d atas tda oo lag untu mengdentfas solus fsbel tt sudut (tt estem) sehngga pembutannya haus dengan aa alaba Ada tga sfat poo tt estem n, yatu: Ja hanya ada satu solus optmum, maa past ada satu tt estem Ja solus optmumnya banya, maa palng sedt ada dua tt estem yang bedeatan (Dua tt estem dataan bedeatan a segmen gas yang menghubungan eduanya tu teleta pada sudut da batas daeah fsbel) Hanya ada seumlah tebatas tt estem pada setap pesoalan Ja suatu tt estem membean nla yang lebh ba da yang lannya, maa past solus tu meupaan solus optmum Sfat n menad dasa da metode smples yang posedunya melput langah sebaga beut: Langah nsalsas: mula da suatu tt estem (,) Langah teatf: Begea menuu tt estem bedeatan yang lebh ba Langah n dulang sebanya dpeluan Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

11 Atuan penghentan: Membehentan langah e- apabla telah sampa pada tt estem yang teba (tt optmum) Tedapat dua atuan yang belau dalam memlh tt estem yang beutnya setelah menapa suatu tt estem tetentu, yatu: Tt estem yang beutnya haus meupaan tt estem yang bedeatan dengan tt estem yang sudah dapa Solus n tda aan penah embal e tt estem yang telah dapa sebelumnya Ide da metode smples dapat demuaan seaa ngas yatu bahwa metode n selalu dmula pada suatu tt sudut fsbel, dan selalu begea melalu tt sudut fsbel yang bedeatan, mengu masng-masng tt mengena optmalsasnya sebelum begea pada tt lannya Untu mengespesan de d atas dalam ontes metode smples, dpeluan suatu oespondens antaa metode gaf dan metode smples mengena uang solus dan tt-tt sudut (tt-tt estem) sebaga beut: Defns geomets (metode gaf) Defns alaba (metode smples) uang solus Pembatas-pembatas dalam bentu standa Tt-tt sudut/estem Solus-solus bass da bentu standa Jumlah teas masmum dalam metode smples adalah sama dengan umlah masmum solus bass dalam bentu standa, sehngga umlah teas smples n tda aan lebh da: C n m n! n m! n! Mempeba nla fungs tuuan Pada bagan n aan membahas mengena teas tunggal pada metode smples Dalam metode smples, dmula da solus bass awal pada pemasalahan pogam lnea seaa umum Msalan dbean tetentu sebaga solus bass awal, maa pada teas beutnya aan doba untu mempeoleh solus bass fsbel yang bau dengan nla fungs tuuan yang beubah Apabla memasmuman f,,, maa nla aan dtngatan dengan aa mempeoleh solus bass fsbel yang bau sampa menapa nla masmum (optmal), sebalnya apabla memnmuman f,,, n maa nla aan n Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

12 dtuunan dengan aa mempeoleh solus bass fsbel yang bau sampa menapa nla mnmum (optmal) Dengan deman mempeba nla fungs tuuan menad bass dalam peneapan metode smples n setaa dengan penggunaan gas seld pada metode gaf Pehatan bentu pemasalahan pogam lnea yang dnyataan dalam bentu standa pogam lnea pada pesamaan () dan () Msalan detahu solus bass fsbel dan B meupaan mats dengan ode m m dmana olom-olom da mats B meupaan veto bass, sehngga B dnamaan mats bass yatu suatu sub mats da mats A yang non sngula Dambl sembaang veto bass bass, emudan da dan fungs tuuannya adalah an A B dan B meupaan veto haga da peubah A b ddentfas bebeapa (seumlah) NBV dan BV da pesamaan B B b 6 t B B Pelu dngat bahwa B meupaan mats beode m m dan B m an hal n beat bahwa tap olom a da mats A meupaan ombnas lnea da olom b pada mats B Hubungan tesebut dapat dnyataan sebaga beut a a b m b b m m 7 atau dnyataan a B 8 dmana meupaan veto m,, m dan,,, N, Selanutnya, dasumsan bahwa semua oefsen detahu untu solus bass fsbel Solus bass fsbel yang bau dpeoleh da solus bass fsbel awal yang dbean dengan aa sedehana yatu dengan hanya menggant satu olom mats B Untu mats bass bau yang non sngula dnotasan dengan B Pelu dngat bahwa mats B yang ted da m olom meupaan submats da mats A yang ted da N olom Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

13 Msalan B dbentu dengan melalu peubahan olom penempatan embal olom sebaga ombnas lnea da b da mats B dan a ( a ) da mats A Dalam hal n a dapat dnyataan b,, b : m a b b m bm 9 Lemma beut n dpeluan sebaga landasan teo dalam peneapan metode smples Lemma : Apabla veto-veto m,, b, bm adalah bebas lnea dan apabla a b, b, maa veto-veto,, b, a, b bm bebas lnea a dan hanya a b, Veto a pada lemma dapat ddentfas sebaga veto a pada pesamaan (9) sementaa olom-olom pada mats bass bau B bebas lnea ( B non sngula a dan hanya a ) Bedasaan teoema, solus bass fsbel yang dbean adalah B b B b B b m B b b Bm b m b meupaan bentu lan da pesamaan (), yatu B B b Selanutnya apabla solus pesamaan (9) untu () aan dpeoleh solus bass bau yatu: b dsubsttus e pesamaan m ; B B B b a b Solusnya haus bass fsbel, yatu B B B B B untu,, m dan Pelu dpehatan bahwa B B mn ;,, m Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

14 Nla fungs tuuan dapat dtentuan oleh memasmuman, dpeoleh, dan untu pemasalahan Namun aena B B dan (), maa dpeoleh m B B dan m B B 6 dan B seta dengan memepehatan pesamaan () m B B B B B 7 dmana m B t B dan adalah solus bass fsbel untu suatu yang dbean aena B dan detahu Kaena B maa pesamaan (7) menunuan bahwa a dan hanya a dan Penyataan a dan hanya a dan menunuan bahwa dapat dplh veto a da mats A untu masu dalam mats bass Pada enyataannya apabla tedapat lebh da satu yang menunuan bahwa maa nla yang dplh adalah nla yang menunuan yang palng mnmum Hal yang pelu dpehatan adalah Apabla pemasalahan pogam lneanya meupaan pemasalahan memasmuman maa nla fungs tuuan dapat dtngatan a dan hanya a dan dengan nla dtentuan pada pesamaan () Seaa gas besa pada tap teas metode smples, tedapat tga aspe yang pelu dpehatan, yatu: Veto a (beoespondens dengan peubah ) adalah alon untu menad peubah masu (enteng vaable/ev) pada mats bass apabla memenuh syaat: Veto b (beoespondens dengan peubah mn ;,, N vaable/lv) mennggalan mats bass apabla memenuh syaat: B 7a ) aan menad peubah elua (leavng Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

15 B B mn ;,, m Fungs tuuan dapat dpeba (dtngatan apabla memasmuman) a dan hanya a dan dmana dpeoleh pada aspe e- Contoh : Dbean suatu model pemasalahan pogam lnea, beut n: Memasmuman: dengan pembatas lnea : 6 dan dengan pembatas tanda a Nyataan pemasalahan pogam lnea d atas e dalam bentu bau b Tentuan mats bass B awalnya Tentuan veto a yang aan masu e dalam mats bass d Tentuan veto b yang aan mennggalan mats bass Jawab:, a Kaena pembatas lneanya betanda " " maa untu pembatas lnea pemasalahan pogam lnea d atas aan dtambahan sla vaable sehngga dpeoleh bentu standa: Memasmuman: dengan pembatas lnea: 6 dengan pembatas tanda,,, b Mats bass awalnya dbentu beasal da penambahan sla vaable (,, ), dpeoleh: B Veto a (beoespondens dengan peubah ) adalah alon untu menad peubah masu (enteng vaable/ev) pada mats bass apabla memenuh syaat: Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

16 mn,, mn mn ;,,,,,,,, untu sehngga veto yang aan menad peubah masu (EV) adalah veto a yang beoespondens dengan peubah Jad yang menad EV adalah d Veto b (beoespondens dengan peubah vaable/lv) mennggalan mats bass apabla memenuh syaat: B ) aan menad peubah elua (leavng B B B B mn ;,, B B mn ; mn 6, 6 ; sehngga veto yang aan menad peubah elua (LV) adalah veto b yang beoespondens dengan peubah B Jad yang menad LV adalah B Mengah Pehtungan Smples Andaan detahu bahwa suatu pemasalahan pogam lnea mempunya solus bass fsbel yang tebatas umlahnya, maa yang menad peman adalah bagamana peubahan da satu solus bass fsbel e solus bass fsbel beutnya dapat ddentfasan dengan menggunaan pehtungan smples untu menapa suatu nla fungs tuuan yang benla optmal Oleh aena umlah solus bass fsbel yang tebatas maa umlah teas dalam pehtungan smples pun tebatas Sementaa tu pada umlah teas yang tebatas pada pehtungan smples tesebut dapat dpeoleh solus ta tebatas, adanya asus sl, dan asus degeneas, hal n daenaan suatu solus yang tda degeneas dan tda optmal selalu dapat dtunuan oleh solus bass fsbel dengan menngatan nla fungs tuuan Untu menghnda suatu pemasalahan pogam lnea mempunya solus ta tebatas, degeneas, dan, tedapat dua asus pentng untu dpehatan yang teat dengan pada pesamaan () sehngga aan dpeoleh fungs tuuan yang beoespondens dengan solus bass fsbel yang tda degeneas, yatu Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 6

17 Tedapat palng sedt satu nla yang menunuan tetap tda ada aena untu tap nla dan semua,,, m Tda ada yang menunuan Dengan ata lan tedapat nla untu tap olom veto a pada mats A Kedua asus tesebut d atas menunuan bahwa apabla ada onds yang deman tesebut d atas maa pehtungan smples tda pelu dlanutan aena tda aan dpeoleh satu solus bass fsbel yang tda degeneas, ataupun tedapat solus yang tda tebatas Teoema Untu masalah pogam lnea dengan memasmuman t dengan pembatas lnea A b dan pembatas tanda Msalan solus bass fsbel ada dan palng sedt untu satu nla dan untu semua,,, m, maa masalah pogam lnea tesebut mempunya nla ta tebatas untu fungs tuuannya Teoema Untu masalah pogam lnea dengan memasmuman t dengan pembatas lnea dan pembatas tanda Apabla pada solus bass fsbel yang dpeoleh tedapat untu tap olom a da mats A yang tda tedapat pada mats B maa solus bass fsbelnya adalah optmal Contoh : Dbean suatu model pemasalahan pogam lnea, beut n: Memasmuman: (dalam buan) dengan pembatas lnea : 6 7 dan dengan pembatas tanda a Nyataan pemasalahan pogam lnea d atas e dalam bentu bau b Tentuan mats bass B awalnya Tentuan nla da untu semua, d Tentuan veto a yang aan masu e dalam mats bass (NBV yang aan ad BV) e Tentuan veto b yang aan mennggalan mats bass (BV yang aan ad NBV) Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 7

18 f Tentuan mats bass B yang bau g Tentuan nla fungs tuuan pada teas h Tentuan veto a yang aan masu e dalam mats bass (NBV yang aan ad BV) pada teas Tentuan nla fungs tuuan pada ah teas Apaah pada ah teas nla fungs tuuan telah menapa optmal? Jawab: a Kaena pembatas lneanya betanda " " maa untu pembatas lnea pemasalahan pogam lnea d atas aan dtambahan sla vaable sehngga dpeoleh bentu standa: Memasmuman: dengan pembatas lnea: 6 7 dengan pembatas tanda,,, b Mats bass awalnya dbentu beasal da penambahan sla vaable (,, ), dpeoleh: B mn,, mn ; Sedangan mats A dpeoleh,,,, A mn,,,, d Kaena nla untu = dan = mempunya nla yang sama maa ta boleh memlh nla yang manapun Msalan telebh veto yang aan menad peubah masu (EV) adalah veto a yang beoespondens dengan peubah Jad yang menad EV adalah e Veto b (beoespondens dengan peubah vaable/lv) mennggalan mats bass apabla memenuh syaat: B ) aan menad peubah elua (leavng Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 8

19 Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 9,8, mn 7 ; 6 ; ; mn ; mn,, B B B B B B sehngga veto yang aan menad peubah elua (LV) adalah veto b yang beoespondens dengan peubah B Jad yang menad LV adalah B f Mats bass awalnya dbentu beasal da penambahan sla vaable (,, ), dpeoleh: B A g Pada teas petama nla fungs tuuan yang tadnya menad B h Pada teas dpeoleh nla untu adalah

20 Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata sehngga,,,, mn untu nla = Oleh aena tu pada teas veto yang aan menad peubah masu (EV) adalah veto a yang beoespondens dengan peubah Jad yang menad EV adalah Sedangan veto b (beoespondens dengan peubah B ) aan menad peubah elua (leavng vaable/lv) mennggalan mats bass apabla memenuh syaat:,, mn ; ; ; ; mn ; mn,, B B B B B B B sehngga veto yang aan menad peubah elua (LV) adalah veto b yang beoespondens dengan peubah B Jad yang menad LV adalah B, sehngga mats bass bau B e- dan mats A bau e- dpeoleh: B A Pada teas edua nla fungs tuuan yang tadnya menad 6 8 B Pada teas dpeoleh nla untu adalah

21 Pada ah teas nla fungs tuuan belum menapa optmal hal n daenaan mash tedapat nla, sedangan syaat suatu solus bass fsbel mempunya nla fungs yang optmal adalah Atuan Smples Pada subbahasan n aan membahas mengena poses pehtungan smples untu mendapatan nla bau untu dan seta lebh mempeelas mengena langahlangah yang haus dlauan pada tap teas smples untu pemasalahan pogam lnea memasmuman dan memnmuman fungs tuuan Untu mempemudah dalam pehtungan smples, oefsen peubah pembatas lnea pada setap teasnya dnotasan dengan Selan tu, pelu dasumsan bahwa veto a yang dtempatan embal sebaga veto b yang bau pada mats bass B dapat dnyataan dengan menggunaan tanda ba, b a Veto oefsen peubah yang meupaan veto olom dnyataan dalam bentu hubungan dengan veto peubah bass sebaga beut: a pada mats A dapat a m b b ; 8 dan a m b b ; 9 Bedasaan pesamaan (8) dan (9) veto b dapat delmnas sehngga dpeoleh Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata a m b Pesamaan () pada dasanya menunuan aplas pnsp opeas bas elemente (OBE) Oleh aena tu, veto olom a ; a yang dnyataan pada pesamaan (8) dapat dnyataan

22 dengan menggunaan tanda ba dmana hal n menunuan elemen atau veto yang dpeoleh setelah melauan pehtungan smples pada setap teas, yatu a m b b; dengan ; dan Langah selanutnya dalam melauan pehtungan smples adalah menghtung nla yang dapat dlauan dengan menggunaan pesamaan d bawah n: m B Dengan mensubsttusan pesamaan () dan pesamaan () e pesamaan () maa aan dpeoleh m B Pada umumnya pemasalahan optmas fungs tuuan f,, n adalah memasmuman atau memnmuman maa tahapan pada teas smples yang pelu dpehatan antaa lan: () Pemasalahan memasmuman f,, Msalan pemasalahan pogam lnea yang dbean adalah n Memasmuman: t dengan pembatas lnea A b dan, mempunya solus bass fsbel B, selan tu datahu pula nla,, untu semua dan Pada setap tahap teas pehtungan smples ada tga aspe yang haus dlauan dan dpehatan sehngga dapat dputusan bahwa nla masmum fungs tuuan n f,, telah dpeoleh a Penguan untu solus optmal Apabla untu semua, dmana,,, N maa solus yang dpeoleh meupaan solus yang optmal b Penguan untu solus tanpa batas (unbounded soluton) Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

23 Apabla tedapat satu atau lebh (msalnya ) untu dan untu semua, yatu tanpa batas pada fungs tuuan,,, m, maa tedapat suatu solus tanpa batas dengan satu nla Apabla pemasalahan pogam lnea buan meupaan asus a maupun asus b, maa tedapat palng sedt satu dmana dan untu palng sedt satu untu tap Peubah aan menad BV apabla dplh bedasaan atuan: mn ;,, untu mnmal satu,,, m,, N Apabla dengan peumusan n tda dapat dtentuan yang tunggal maa salah satu nla sembaang dapat dplh Apabla pont tepenuh, maa peubah B aan menad NBV dmana dplh bedasaan atuan: B B mn ;,, m Apabla dengan atuan n tda dapat dtentuan satu maa dapat dplh satu nla sembaang Selanutnya menghtung B,,, untu semua dan Seaa ten etentuaan ataupun atuan yang tesebut d atas dapat dnyataan dalam bentu tabel smples dengan tuuan untu mempehtungan smples Semua etentuan yang belau dalam menyelesaan pemasalahan pogam lnea dengan fungs tuuan memasmuman f,, dapat dngas dalam penelasan beut n Metode Smples Kasus Memasmuman f,, n Beut n meupaan langah-langah untu menentuan solus pemasalahan pogam lnea fungs tuuan memasmuman dengan menggunaan metode smples Mengubah semua pembatas lnea e bentu standa dengan menambahan sla vaable atau menguang suplus vaable pada pembatas lnea tesebut Sla vaables yang ada dmasuan (dtambahan) e fungs tuuan dan dbe oefsen n Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

24 Apaah dalam mats a I? A sudah tebentu mats denttas a Apabla dalam mats A sudah tebentu mats denttas maa dsusun tabel awal smples sebaga beut: n BV n n N Solus (K) n n n n N N n n ( n) N B N m mn m( n) mn Bm m b Apabla belum tebentu mats denttas, maa mats denttas dmunulan dengan menambahan peubah semu (atfal vaable) Peubah semu yang ada dmasuan d fungs tuuan, sedangan oefsen da peubah semu pada fungs tuuan dbe nla M, dengan M adalah blangan yang uup besa Untu lebh elasnya basanya peubah semu (atfal vaable) dtambahan pada pembatas lnea dengan batasan betanda "" dan "" Selanutnya e langah (a) Peneltan tehadap nla (tabel smples sudah masmum apabla semua ) a Apabla untu semua dpeoleh, maa dlanutan e langah e- b Apabla ada satu atau lebh maa aan dbuat tabel smples bau dengan aa beut n: () Menentuan olom un yatu dengan memlh nla yang teel sesua dengan atuan pada pesamaan (7a) dan msalan dpeoleh, maa olom e- dnamaan olom un/olom masu (enteng olomn/ec) () Pada EC dlauan pemesaan tehadap nla o Apabla untu semua (unbounded soluton) nlanya negatf maa dpeoleh solus ta tebatas o Apabla tedapat yang nlanya postf maa htunglah nla da (ngat! hanya untu yang postf saa), emudan dlanutan e langah b() Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

25 () Menentuan bas un, yatu dengan memlh nla yang teel (dantaa yang postf) sesua dengan atuan pada pesamaan () dan msalan dpeoleh b, maa bas e- dnamaan bas un/pesamaan pvot (pvot equaton/pe) Posedu untu memlh peubah masu (EV) dan peubah elua (LV) dnamaan sebaga onds optmalsas dan onds elayaan Konds optmalsas: EV dalam masmas (mnmas) adalah NBV dengan oefsen yang palng negatf (postf) dalam pesamaan tuuan Koefsen dengan nla yang sama dapat dplh seaa sembaang Nla optmum dapa eta semua oefsen non-dasa dalam pesamaan adalah nonnegatf(nonpostf) Konds elayaan: Ba untu masalah masmas (mnmas), LV adalah BV yang meml tt potong teel (aso mnmum dengan penyebut yang postf seaa etat) dalam aah EV Nla yang sama dapat dplh seaa sembaang (v) Selanutnya menyusun tabel smples bau atau pehtungan smples dengan teas-teas yatu dengan aa: Sebelum menentuan elemen-elemen bas e- yang bau pelu detahu bahwa elemen tt potong antaa EC dan PE dnamaan elemen pvot Untu elemen bas e- b basanya dnamaan pesamaan pvot bau (newpe) dtentuan dengan peumusan: newpe PE 6 Untu elemen bas e- yang lannya dtentuan dengan peumusan: Pesamaan bau pesamaan lama (newpe) 7 Apabla untu semua nla da adalah, maa fungs tuuannya telah menapa optmal Contoh : Dbean suatu model pemasalahan pogam lnea, beut n: Memasmuman: (dalam buan) dengan pembatas lnea : Jawab: Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 6 7 dan dengan pembatas tanda,

26 Kaena pembatas lneanya betanda " " maa untu pembatas lnea pemasalahan pogam lnea d atas aan dtambahan sla vaable sehngga dpeoleh bentu standa: Memasmuman: dengan pembatas lnea: 6 dengan pembatas tanda,, 7 Membentu tabel smples awal, Solus BV (K) B B B Bedasaan pemasalahan d atas maa dpeoleh tabel smples awal beut: BV Solus (K) Pehtungan smples Iteas e- o Menentuan olom un/olom masu (EC), bedasaan tabel awal detahu bahwa tedapat dua nla mnmum yang sama yatu pada olom e- dan pada olom e- Msalan dplh olom e- sebaga olom un/olom masu (EC), sehngga dpeoleh = o Selanutnya aan pada EC dlauan pemesaan tehadap nla, aena,,, aena semua benla postf, maa aan dhtung nla B B 6 B 7 da, dan dpeoleh,, 8 o Menentuan bas un, bedasaan pehtungan dpeoleh bahwa mn,,8 dan dpeoleh b, oleh aena tu, bas e- dnamaan bas un/pesamaan pvot (pvot equaton/pe) Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 6

27 o Sebelum menentuan elemen-elemen bas e- yang bau pelu detahu bahwa elemen tt potong antaa EC dan PE dnamaan elemen pvot yatu o Untu elemen bas e- b basanya dnamaan pesamaan pvot bau (newpe) dtentuan dengan peumusan: Pesamaan pvot da tabel awal adalah b newpe b, maa o Menentuan elemen-elemen pada bas e- yang lannya, dpeoleh: Pesamaan lama pada tabel awal adalah bahwa Detahu Pesamaan bau Pesamaan bau Pesamaan lama pada tabel awal adalah 6 Detahu bahwa Pesamaan bau 6 6 bau Pesamaan Pesamaan lama pada tabel awal adalah 7 Detahu bahwa Pesamaan Pesamaan 7 bau 7 6 bau Bedasaan semua pehtungan d atas, maa dpeoleh tabel smples bau pada teas dengan EV adalah dan LV adalah BV Solus Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 7

28 (K) Kaena ada satu nla da untu,,, yang, maa fungs tuuan belum menapa optmal, sehngga pelu dlauan pehtungan smples ulang untu teas e- Iteas e- o Menentuan olom un/olom masu (EC), bedasaan tabel pada teas e- detahu bahwa tedapat satu nla mnmum yatu pada olom e- Oleh aena tu, olom e- meupaan olom un/olom masu (EC), sehngga dpeoleh = o Selanutnya aan pada EC dlauan pemesaan tehadap nla, aena,,, aena semua benla postf, maa aan dhtung nla B B B da, dan dpeoleh 6,, o Menentuan bas un, bedasaan pehtungan dpeoleh bahwa 6,, mn dan dpeoleh b, oleh aena tu, bas e- dnamaan bas un/pesamaan pvot (pvot equaton/pe) o Sebelum menentuan elemen-elemen bas e- yang bau pelu detahu bahwa elemen tt potong antaa EC dan PE dnamaan elemen pvot yatu o Untu elemen bas e- b basanya dnamaan pesamaan pvot bau (newpe) dtentuan dengan peumusan: Pesamaan pvot da tabel smples teas e- adalah maa newpe b b, o Menentuan elemen-elemen pada bas e- yang lannya, dpeoleh: Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 8

29 Pesamaan lama pada teas e- adalah Detahu bahwa Pesamaan bau Pesamaan bau 8 6 Pesamaan lama pada teas e- adalah bahwa Pesamaan Detahu bau 6 Pesamaan bau 9 Pesamaan lama pada teas e- adalah Detahu bahwa Pesamaan Pesamaan bau bau 6 Bedasaan semua pehtungan d atas, maa dpeoleh tabel smples bau pada teas dengan EV adalah dan LV adalah BV Solus (K) Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 9

30 Kaena mash ada satu nla da untu,,, yang Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata, maa fungs tuuan belum menapa optmal, sehngga pelu dlauan pehtungan smples ulang untu teas e- Iteas e- o Menentuan olom un/olom masu (EC), bedasaan tabel pada teas e- detahu bahwa tedapat satu nla mnmum yatu pada olom e- Oleh aena tu, olom e- meupaan olom un/olom masu (EC), sehngga dpeoleh = o Selanutnya aan pada EC dlauan pemesaan tehadap nla, aena,,, aena tda semua benla postf, maa hanya aan dhtung nla da untu dan, sehngga dpeoleh B 9 6 6, B o Menentuan bas un, bedasaan pehtungan dpeoleh bahwa 6,, mn, dan dpeoleh b, oleh aena tu, bas e- dnamaan bas un/pesamaan pvot (pvot equaton/pe) o Sebelum menentuan elemen-elemen bas e- yang bau pelu detahu bahwa elemen tt potong antaa EC dan PE dnamaan elemen pvot yatu o Untu elemen bas e- b basanya dnamaan pesamaan pvot bau (newpe) dtentuan dengan peumusan: Pesamaan pvot da tabel smples teas e- adalah 6 maa newpe b 6 o Menentuan elemen-elemen pada bas e- yang lannya, dpeoleh: b, Pesamaan lama pada teas e- adalah 6 Detahu bahwa

31 Pesamaan bau Pesamaan bau Pesamaan lama pada teas e- adalah bahwa Pesamaan bau 9 Detahu 9 9 Pesamaan bau 6 Pesamaan lama pada teas e- adalah Detahu bahwa Pesamaan Pesamaan bau bau 6 Bedasaan semua pehtungan d atas, maa dpeoleh tabel smples bau pada teas dengan EV adalah dan LV adalah BV Solus (K) 66 6 Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

32 6 Kaena semua nla da untu,,, sudah memenuh, maa fungs tuuan telah menapa optmal, dan nla masmum fungs tuuannya adalah 66 dengan nla-nla, 6,, 6 Untu lebh memaham mengena pehtungan smples untu pemasalahan pogam lnea dengan fungs tuuan memasmuman f,,, eaanlah soalsoal lathan beut n ) Pemasalahan memnmuman f,, n Msalan pemasalahan pogam lnea yang dbean adalah n Memnmuman: t dengan pembatas lnea A b dan, mempunya solus bass fsbel B, selan tu datahu pula nla,, untu semua dan Pada setap tahap teas pehtungan smples ada tga aspe yang haus dlauan dan dpehatan sehngga dapat dputusan bahwa nla mnmum fungs tuuan f,, telah dpeoleh a Penguan untu solus optmal Apabla untu semua, dmana,,, N maa solus yang dpeoleh meupaan solus yang optmal b Penguan untu solus tanpa batas (unbounded soluton) Apabla tedapat satu atau lebh (msalnya semua, yatu tanpa batas pada fungs tuuan ) untu dan untu,,, m, maa tedapat suatu solus tanpa batas dengan satu nla Apabla pemasalahan pogam lnea buan meupaan asus a maupun asus b, maa tedapat palng sedt satu dmana dan untu palng sedt satu untu tap Peubah aan menad BV apabla dplh bedasaan atuan: ma,, N ;,, untu mnmal satu,,, m 6 Apabla dengan peumusan n tda dapat dtentuan yang tunggal maa salah satu nla sembaang dapat dplh Apabla pont tepenuh, maa peubah B aan menad NBV dmana dplh n bedasaan atuan: Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

33 B B mn ;,, m Apabla dengan atuan n tda dapat dtentuan satu maa dapat dplh satu nla sembaang Selanutnya menghtung B,,, untu semua dan Altenatf lan untu menentuan nla mnmum fungs tuuan f,, n 7 dapat dlauan dengan mengubah fungs tuuan menad memasmuman atau mengalan fungs tuuan dengan, dmana pembatas lneanya tetap sama, dan teas pehtungan smples tetap dlauan dengan menggunaan etentuan atau atuan memasmuman, setelah nla masmum dpeoleh maa nla mnmum dpeoleh dengan mengalan nla masmum tesebut dengan Seaa ten etentuaan ataupun atuan yang tesebut d atas dapat dnyataan dalam bentu tabel smples dengan tuuan untu mempehtungan smples Semua etentuan yang belau dalam menyelesaan pemasalahan pogam lnea dengan fungs tuuan memasmuman f,, dapat dngas dalam penelasan beut n Metode Smples Kasus Memnmuman f,, n Beut n meupaan langah-langah untu menentuan solus pemasalahan pogam lnea fungs tuuan memnmuman dengan menggunaan metode smples Mengubah semua pembatas lnea e bentu standa dengan menambahan sla vaable atau menguang suplus vaable pada pembatas lnea tesebut Sla vaables (Suplus vaables) yang ada dtambahan e fungs tuuan dan dbe oefsen n Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

34 Apaah dalam mats a I? A sudah tebentu mats denttas a Apabla dalam mats A sudah tebentu mats denttas maa dsusun tabel awal smples sebaga beut: n BV n n N Solus (K) n n n n N N n n ( n) N B N m mn m( n) mn Bm m b Apabla belum tebentu mats denttas, maa mats denttas dmunulan dengan menambahan peubah semu (atfal vaable) Peubah semu yang ada dmasuan d fungs tuuan, sedangan oefsen da peubah semu pada fungs tuuan dbe nla M, dengan M adalah blangan yang uup besa Untu lebh elasnya basanya peubah semu (atfal vaable) dtambahan pada pembatas lnea dengan batasan betanda "" dan "" Selanutnya e langah (a) Peneltan tehadap nla (tabel smples sudah mnmum apabla semua ) a Apabla untu semua dpeoleh, maa dlanutan e langah e- b Apabla ada satu atau lebh maa aan dbuat tabel smples bau dengan aa beut n: () Menentuan olom un yatu dengan memlh nla yang tebesa sesua dengan atuan pada pesamaan (6) dan msalan dpeoleh, maa olom e- dnamaan olom un/olom masu (enteng olomn/ec) (v) Pada EC dlauan pemesaan tehadap nla o Apabla untu semua (unbounded soluton) nlanya negatf maa dpeoleh solus ta tebatas Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

35 o Apabla tedapat yang nlanya postf maa htunglah nla da (ngat! hanya untu yang postf saa), emudan dlanutan e langah b() () Menentuan bas un, yatu dengan memlh nla yang teel (dantaa yang postf) sesua dengan atuan pada pesamaan () dan msalan dpeoleh b, maa bas e- dnamaan bas un/pesamaan pvot (pvot equaton/pe) (v) Selanutnya menyusun tabel smples bau atau pehtungan smples dengan teas-teas yatu dengan aa: Sebelum menentuan elemen-elemen bas e- yang bau pelu detahu bahwa elemen tt potong antaa EC dan PE dnamaan elemen pvot Untu elemen bas e- b basanya dnamaan pesamaan pvot bau (newpe) dtentuan dengan peumusan: newpe PE 6 Untu elemen bas e- yang lannya dtentuan dengan peumusan: Pesamaan bau pesamaan lama (newpe) 7 Apabla untu semua nla da adalah, maa fungs tuuannya telah menapa optmal Contoh 6: Dbean suatu model pemasalahan pogam lnea, beut n: Memnmuman: 8 dengan pembatas lnea : Jawab: 6 dan dengan pembatas tanda, Kaena pembatas lneanya betanda " " maa untu pembatas lnea pemasalahan pogam lnea d atas aan duangan suplus vaable sehngga dpeoleh bentu standa: Memnmuman: 8 dengan pembatas lnea: 6 dengan pembatas tanda,, Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

36 Membentu tabel smples awal Solus BV (K) B B B Bedasaan pemasalahan d atas maa dpeoleh tabel smples awal beut: Solus (K) BV 8 6 Tenyata bedasaan tabel d atas dapat dlhat bahwa belum tebentu mats denttas sehngga pada bentu standa sebelumnya pelu dtambahan atfal vaables sehngga aan tebentu mats denttas, dan oefsen atfal vaables pada fungs tuuan dbe nla M, dengan M adalah blangan yang uup besa, dan dpeoleh bentu standa yatu: Memnmuman: 8 M M6 dengan pembatas lnea: dengan pembatas tanda,,,,, 6 Pelu dngat bahwa pada ah pehtungan nla da atfal vaables sudah past nol, oleh aena tu telebh dahulu substtusan: 6 6 e dalan fungs tuuan dan dpeoleh: Memnmuman: 8 M M 6 M M 8 M M M M M 6M M M 8 M M M sehngga tabel smplesnya menad: Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 6

37 BV Solus (K) M M 8 M M M 6 6 Pehtungan smples Iteas e- o Menentuan olom un/olom masu (EC), bedasaan tabel awal detahu bahwa tedapat satu nla masmum yatu M 8 pada olom e- Msalan dplh olom e- sebaga olom un/olom masu (EC), sehngga dpeoleh = o Selanutnya aan pada EC dlauan pemesaan tehadap nla, aena,, aena semua benla postf, maa aan dhtung nla da, B 6 dan dpeoleh, B o Menentuan bas un, bedasaan pehtungan dpeoleh bahwa,, mn dan dpeoleh b, oleh aena tu, bas e- dnamaan bas un/pesamaan pvot (pvot equaton/pe) o Sebelum menentuan elemen-elemen bas e- yang bau pelu detahu bahwa elemen tt potong antaa EC dan PE dnamaan elemen pvot yatu o Untu elemen bas e- b basanya dnamaan pesamaan pvot bau (newpe) dtentuan dengan peumusan: Pesamaan pvot da tabel awal adalah b 6 6, maa newpe b 6 o Menentuan elemen-elemen pada bas e- yang lannya, dpeoleh: Pesamaan lama pada tabel awal adalah M 8 M M M M Detahu bahwa M 8 Pesamaan bau adalah Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 7

38 M M 8 M M M M 8 M M 8 M M M t M 8 M 8 M 8 M 8 M 8 t M M 8 M 8 Pesamaan bau M M 6 Pesamaan lama pada tabel awal adalah Detahu bahwa Pesamaan Pesamaan bau bau Bedasaan semua pehtungan d atas, maa dpeoleh tabel smples bau pada teas dengan EV adalah dan LV adalah 6 BV 6 M Kaena mash ada nla da M untu 6 M 8 8 M,,, yang Solus (K) M+6, maa fungs tuuan belum menapa optmal, sehngga pelu dlauan pehtungan smples ulang untu teas e- Iteas e- Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 8

39 o Menentuan olom un/olom masu (EC), bedasaan tabel pada teas e- detahu bahwa tedapat nla masmum yatu M pada olom e- Oleh aena tu, olom e- meupaan olom un/olom masu (EC), sehngga dpeoleh = o Selanutnya aan pada EC dlauan pemesaan tehadap nla, aena,,, aena semua benla postf, maa aan dhtung nla da B dan dpeoleh, B 6 o Menentuan bas un, bedasaan pehtungan dpeoleh bahwa, 6 mn dan dpeoleh b, oleh aena tu, bas e- dnamaan bas un/pesamaan pvot (pvot equaton/pe) o Sebelum menentuan elemen-elemen bas e- yang bau pelu detahu bahwa elemen tt potong antaa EC dan PE dnamaan elemen pvot yatu o Untu elemen bas e- b basanya dnamaan pesamaan pvot bau (newpe) dtentuan dengan peumusan: Pesamaan pvot da tabel smples teas e- adalah b, maa newpe b o Menentuan elemen-elemen pada bas e- yang lannya, dpeoleh: Pesamaan lama pada teas e- adalah M Detahu bahwa M M 8 M M 8 M 6 Pesamaan bau M M, Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata 9

40 Pesamaan lama pada teas e- adalah Detahu bahwa Pesamaan bau Bedasaan semua pehtungan d atas, maa dpeoleh tabel smples bau pada teas dengan EV adalah dan LV adalah BV 6 M Kaena semua nla da Solus (K) M untu,,, 6 sudah memenuh, maa fungs tuuan telah menapa optmal, dan nla mnmum fungs tuuannya adalah dengan nla-nla,,,, 6 Atfal Vaable 6 Pada pemasalahan pogam lnea bebeapa asus dmana pembatas lneanya tda selalu meupaan batasan betanda, tetap mungn pembatas lneanya meupaan batasan betanda = atau Untu asus dmana pembatas lneanya betanda =, daeah fsbelnya hanya beupa segmen gas sehngga ta tda dapat mempeoleh solus fsbel bass awal aena tda ada sla vaable yang dapat dgunaan sebaga peubah bass (BV) awalnya Deman uga untu asus dengan pembatas lneanya betanda, ta tda aan meml solus fsbel bass awal aena apabla ta meubah tanda pesamaan pembatasnya menad, maa uas anan pembatas lneanya emungnan dapat behaga negatf Untu menyelesaan edua ens asus tesebut, ta aan memeluan adanya peubah dummy (peubah palsu) yang dnamaan atfal vaable dan dnotasan dengan, sehngga bass awal bsa tetap ada Atfal vaable n mempunya pean yang sama dengan pean sla vaable hal n dlauan aena dpeluan mats bass pada setap teas pehtungan smples Konseuens da adanya atfal vaable adalah dpeluannya suatu besaan/onstanta sebaga penalt yang denaan sebaga oefsen fungs tuuan da atfal vaable Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata

41 Contoh 7: Memasmuman: dengan pembatas lnea: Jawab: 8 dan pembatas tanda, Bedasaan ontoh pemasalahan d atas, dpeoleh bentu standa untu pemasalahan tesebut adalah: Memasmuman: dengan pembatas lnea:,,,,,, 8 dan pembatas tanda Pada ahnya, dalam tap teas pehtungan smples aan seaa otomats menadan atfal vaable n tda munul lag (dengan at lan atfal vaable benla nol), yatu apabla pesoalan awal telah teselesaan Dengan ata lan, penggunaan atfal vaable hanya untu memula solus, dan untu selanutnya atfal vaable haus dhlangan (nlanya =) pada ah solus Apabla tda deman maa solus yang dpeoleh aan tda fsbel Oleh aena tu, haus dbean penalty M (M blangan postf yang sangat besa) pada setap atfal vaable dalam fungs tuuannya Pelu dngat bahwa penalty aan betanda (-) apabla fungs tuuannya meupaan fungs masmas, sedangan apabla fungs tuuannya meupaan fungs mnmas maa penaltynya betanda (+) Oleh aena tu bentu standa fungs tuuan pada ontoh 7 aan menad: Memasmuman: M M M Ada dua ten penyelesaan untu asus dengan atfal vaable tesebut, yatu () ten penalty (M) dan () ten dua fase Kedua ten n salng beatan Ftan A/9/9 Juusan Penddan Matemata