KESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN-HOSSZÚ SKRIPSI OLEH ZUKHRUFUN NADHIFA NIM

Transkripsi

1 KESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN-HOSSZÚ SKRIPSI OLEH ZUKHRUFUN NADHIFA NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 06

2 KESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN-HOSSZÚ SKRIPSI Diajuka Kepada Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag utuk Memeuhi Salah Satu Persyarata dalam Memperoleh Gelar Sarjaa Sais (S.Si) Oleh Zukhrufu Nadhifa NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 06

3

4

5

6 MOTO ف ب أ ي ء ا ل ء ر ب ك م ا ت ك ذ ب ان Maka ikmat Tuha kamu yag maakah yag kamu dustaka (Qs. ar-rahma/55:3) Sejauh apapu jala, pasti dimulai dari selagkah (Peulis)

7 PERSEMBAHAN Skripsi ii peulis persembahka utuk: Bapak Rudiyato da Ibu Nurul Rodiaa tercita, serta kakak-kakak da adikadik yag selalu memberika telada da semagat yag berarti bagi peulis

8 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Segala puji bagi bagi Allah Swt. atas limpaha rahmat, taufik, hidayah, da karuia-nya, sehigga peulis dapat meyelesaika peyusua skripsi ii sebagai salah satu syarat memperoleh gelar sarjaa di Fakultas Sais da Tekologi, Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. Shalawat serta salam semoga tetap terlimpahka kepada Nabi Muhammad Saw. yag telah meutu umatya dari zama yag gelap ke zama yag terag-bederag. Peyusua skripsi ii tidak mugki dapat diselesaika dega baik tapa batua, bimbiga, serta araha dari berbagai pihak. Utuk itu ucapa terima kasih peulis sampaika kepada:. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku rektor Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag.. Dr. drh. Bayyiatul Muchtaromah, M.Si, selaku deka Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. 3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. 4. Hairur Rahma, M.Si, selaku dose pembimbig I yag seatiasa memberika araha, asihat, motivasi dalam melakuka peelitia, serta pegalama yag berharga kepada peulis. 5. Fachrur Rozi, M.Si, selaku dose pembimbig II yag seatiasa memberika araha, asihat, motivasi dalam melakuka peelitia, serta pegalama yag berharga kepada peulis. viii

9 6. Segeap sivitas akademika Jurusa Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag terutama seluruh dose, terima kasih atas segala ilmu da bimbigaya. 7. Bapak da ibu yag selalu memberika doa, semagat, serta motivasi kepada peulis. 8. Seluruh tema-tema di Jurusa Matematika agkata 0, terima kasih atas keaga idah yag dirajut bersama dalam meggapai cita-cita. 9. Semua pihak yag secara lagsug maupu tidak lagsug telah ikut memberika batua dalam meyelesaika skripsi ii. Akhirya peulis haya bisa berharap, dibalik skripsi ii dapat memberika mafaat da wawasa yag lebih luas atau bahka hikmah bagi peulis maupu pembaca. Wassalamu alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Malag, Jauari 06 Peulis ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x ABSTRAK... xii ABSTRACT... xiii... xiv ملخص BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag.... Rumusa Masalah Tujua Peelitia Mafaat Peelitia Batasa Masalah Metode Peelitia Sistematika Peulisa... 7 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Barisa Ruag Berorma Ruag Baach....4 Persamaa Fugsioal Persamaa Fugsioal Cauchy Additive Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Kestabila Hyers-Ulam-Rassias Ispirasi Al-Qura Megeai Kestabila BAB III PEMBAHASAN 3. Kestabila Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Kestabila Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Berdasarka Teorema Hyers x

11 3.. Kestabila Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Berdasarka Teorema Rassias Kestabila dari Cotoh Fugsi yag Memeuhi Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Kestabila dari Cotoh Fugsi yag Memeuhi Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Berdasarka Teorema Hyers Kestabila dari Cotoh Fugsi yag Memeuhi Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Berdasarka Teorema Rassias Kaita Kestabila Persamaa Fugsioal da Bumi dalam Padaga Islam BAB IV KESIMPULAN 4. Kesimpula Sara DAFTAR PUSTAKA RIWAYAT HIDUP xi

12 ABSTRAK Nadhifa, Zukhrufu. 06. Kestabila Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú. Skripsi. Jurusa Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag. Pembimbig: (I) Hairur Rahma, M.Si. (II) Fachrur Rozi, M.Si. Kata Kuci: persamaa fugsioal Cauchy additive, persamaa fugsioal Jese-Hosszú, kosep kestabila Hyers-Ulam-Rassias. Persamaa fugsioal Jese-Hosszú adalah persamaa fugsioal yag dikostruksika dari persamaa fugsioal Jese da Hosszú yag merupaka variasi dari persamaa fugsioal Cauchy additive. Suatu persamaa fugsioal dapat diaplikasika sebagai model dari suatu proses fisik apabila persamaa fugsioal tersebut diyataka stabil. Kosep kestabila yag diguaka dalam skripsi ii megikuti kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam-Rassias. Hasil dari skripsi ii adalah persamaa fugsioal Jese-Hosszú dikataka stabil dega megguaka kosep kestabila Hyers-Ulam dega idikator: f a. x adalah barisa Cauchy x R. = f b. Jika A x = lim x maka A adalah fugsi additive. c. A memeuhi f x A(x) δ, δ > 0. d. A adalah fugsi yag tuggal. Begitu pu dega megguaka kosep kestabila Hyers-Ulam-Rassias persamaa fugsioal Jese-Hosszú dikataka stabil dega idikator: f a. x adalah barisa Cauchy x R. = b. Jika A x = lim f x maka A adalah fugsi additive. c. A memeuhi f x A(x) θ p x p, θ > 0, p (0,] d. A adalah fugsi yag tuggal. Salah satu cotoh fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú adalah f: R R, f x = x + 3, x R. Terbukti pula bahwa cotoh fugsi tersebut stabil berdasarka kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam- Rassias. xii

13 ABSTRACT Nadhifa, Zukhrufu. 06. The Stability of Jese-Hosszú Fuctioal Equatio. Thesis. Departmet of Mathematics, Faculty of Sciece ad Techology, Islamic State Uiversity of Maulaa Malik Ibrahim Malag. Advisors: (I) Hairur Rahma, M.Si. (II) Fachrur Rozi, M.Si. Keyword: Cauchy additive fuctioal equatio, Jese-Hosszú fuctioal equatio, Hyers-Ulam-Rassias cocept of stability. Jese-Hosszú fuctioal equatio is costructed from Jese ad Hosszú fuctioal equatio that are the variatios of Cauchy additive fuctioal equatio. A fuctioal equatio ca be applied as a model of physic progress if it is stable. Stability cocept that used i this thesis is Hyers-Ulam ad Hyers-Ulam-Rassias cocept. The result of this thesis is that Jese-Hosszú fuctioal equatio is stable based o Hyers-Ulam s stability cocept based o the followig idicators: f a. x is a Cauchy sequece x R. = f b. If A x = lim x the A is additive fuctio. c. A satisfies f x A(x) δ, δ > 0 d. A is uique. As well as by usig Hyers-Ulam-Rassias stability cocept, Jese-Hosszú fuctioal equatio is said stable based o the followig idicators: f a. x is a Cauchy sequece x R. = b. If A x = lim f x the A is additive fuctio. c. A satisfies f x A(x) θ p x p, θ > 0, p [0,) e. A is uique. Oe example of a fuctio that satisfies Jese-Hosszú fuctioal equatio is f: R R, f x = x + 3, x R. It is prove also that the fuctio is stable accordig to Hyers-Ulam ad Hyers-Ulam-Rassias stability cocept. xiii

14 ملخص نظيفة زخروف. ۲۰۱٦. استقرار معادلة Jese-Hosszú الدالية. حبث جامعي. شعبة الرياضيات بكلية العلوم والتكنولوجيا جامعة اإلسالمية احلكومية موالنا مالك إبراهيم ماالنج. املشرف: )I( خري الرمحن ماجستري )II( فخرالرازي ماجستري. Cauchy الكلمات الرءيسية: مضافة الدالية املعادلة املعادلة الدالية Jese-Hosszú مفهوم االستقرار Hyers-Ulam-Rassias املعادلة االختالفات املعادلة مستقرا. الدالية الدالية Jese-Hosszú املضافة شيدت من املعادلة Jese و الدالية.Cauchy املعادلة مفهوم االستقرار اليت استخدمت يف هذا البحث Hosszú اليت هي الدالية ميكن تطبيقها كنموذج للتقدم عاجل إذا كان هو مفهوم Hyers-Ulam.Rassias الدالية املعادلة أن هو البحث هلذا ونتيجة Jese-Hosszú مستقرة Hyers-Ulam من خالل مؤشرات على النحو التايل: x R Cauchy هو تسلسل f x أ. = f A x = lim x فكانت A هي الدالية املضافة ب. إذا ج. A رضى δ > 0, f x A(x) δ د. A هي وظيفة واحدة االستقرار وكمفهوم املؤشرات على النحو التايل: Hyers-Ulam-Rassias الدالية املعادلة تقوم و Hyers-Ulam- على Jese-Hosszú هو تسلسل x R Cauchy f x أ. = f A x = lim x فكانت A هي الدالية املضافة ب. إذا θ > 0, p [0,), f x A(x) θ ج. A رضى x p p د. A هي وظيفة واحدة الدالية املعادلة ترضي وظيفة من واحد مثال Jese-Hosszú مفهوم يقال االستقرار من مستقرة هو, + 3 x f x = R, f: R وقد x R االستقرار ملفهوم وفقا مستقرة دالية أن أيضا ثبت Hyers-Ulam. Hyers-Ulam-Rassias و xiv

15 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Matematika merupaka salah satu bidag ilmu yag dipelajari gua megasah logika berpikir seseorag. Matematika tidak lepas dari berbagai macam teori yag terdiri dari defiisi, teorema, da sebagaiya. Matematika memiliki bayak gagasa yag abstrak yag relevasiya dega kehidupa sehari-hari sulit utuk dijelaska, amu pada keyataaya bayak kemajua sais da tekologi yag berdasarka pada ilmu matematika yag dikombiasika dega cabag ilmu lai. Matematika memiliki bayak cabag ilmu, salah satuya adalah matematika aalisis. Aalisis dalam matematika meliputi aalisis real, aalisis kompleks, persamaa differesial, aalisis fugsioal, teori ukura, teori operator, da topologi. Di dalam aalisis fugsioal terdapat persamaa fugsioal, yaki persamaa yag belum diketahui fugsiya. Utuk medapatka solusi dari suatu persamaa fugsioal harus ditemuka terlebih dahulu persamaa-persamaa fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal tersebut (Al-Mosadder, 0:7). Persamaa fugsioal yag palig terkeal adalah persamaa fugsioal Cauchy additive. Suatu fugsi f: R R disebut sebagai fugsi additive jika memeuhi persamaa fugsioal Cauchy additive f x + y = f x + f(y) utuk setiap x, y R. Sifat-sifat dari persamaa ii serig diaplikasika pada pegembaga teori persamaa fugsioal laiya da merupaka alat yag kuat

16 sebagai pegembaga ilmu pegetahua khususya di bidag ilmu alam da sosial (Jug, 0:9). Suatu persamaa atau formula tertetu dapat diaplikasika sebagai model dari suatu proses fisik jika perubaha kecil pada persamaa tersebut haya aka meimbulka perubaha yag kecil pula pada hasilya. Jika kodisi tersebut terpeuhi, dapat dikataka bahwa persamaa tersebut adalah persamaa yag stabil. Hal ii juga dapat diterapka dalam persamaa fugsioal. Salah satu cotohya, suatu persamaa fugsioal Cauchy additive yag diotasika sebagai f x + y f x f(y) = 0 tidak selalu bear x, y R, amu dapat mejadi bear jika diguaka aproksimasi f x + y f x f y 0, x, y R. Secara matematis dapat diotasika sebagai f x + y f x f y ε, ε > 0, x, y R. Dapat diketahui saat terjadi perubaha kecil pada suatu persamaa haya aka meimbulka perubaha yag kecil pula pada hasilya. Hal iilah yag mejadi iti dari teori kestabila (Sahoo da Kaappa, 0:93). Dari sii dapat diketahui bahwa suatu persamaa tertetu dapat diaplikasika jika persamaa tersebut stabil. Permasalaha tetag kestabila persamaa fugsioal pertama kali dicetuska oleh S. M. Ulam pada tahu 940. Hyers adalah orag yag pertama meyelesaika permasalaha tersebut dega megasumsika fugsiya terjadi di ruag Baach. Peyelesaia dari Hyers tersebut melahirka suatu kosep yag dikeal dega kosep kestabila Hyers- Ulam. Kosep tersebut mejadi dasar peelitia terkait dega kestabila

17 3 persamaa fugsioal. Pada tahu 978, Rassias meyempuraka teorema Hyers yag melahirka kosep kestabila Hyers-Ulam-Rassias. Sejak itu, peelitia tetag kestabila suatu persamaa fugsioal bayak megikuti kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam-Rassias. Kosep dasar yag diguaka utuk megaplikasika kosep Hyers- Ulam-Rassias adalah ruag Baach. Ruag Baach adalah ruag berorma yag legkap. Suatu ruag berorma dikataka legkap jika setiap barisa Cauchy-ya koverge. Darmawijaya (007:94) meyataka bahwa setiap ruag berorma merupaka ruag metrik, da ruag berorma adalah ruag vektor yag di dalamya terdapat orm da memeuhi sifat berorma. Hyers pada tahu 94 telah membuktika kestabila dari persamaa fugsioal Cauchy additive. Lebih lajut persamaa fugsioal tersebut dapat diaplikasika dalam megkarakteristikka distribusi probabilitas geometri, distribusi probabilitas ormal diskrit, da distribusi probabilitas ormal. Persamaa fugsioal ii juga dapat diguaka utuk meuruka rumus pada luas dari suatu persegi pajag, hukum-hukum logaritma, suku buga tuggal da majemuk, serta peluruha gelombag radioaktif (Sahoo da Kaapa 0:xv). Jug (0:55) meyataka bahwa terdapat beberapa variasi dari persamaa fugsioal Cauchy additive atara lai persamaa fugsioal Cauchy additive yag digeeralisasika, persamaa fugsioal homoge, persamaa fugsioal Hosszú, persamaa fugsioal Jese, da lai sebagaiya. Komiek (009:58) megkostruksi suatu persamaa yag diperoleh dari persamaa fugsioal Jese da Hosszú. Persamaa fugsioal tersebut adalah persamaa

18 fugsioal Jese-Hosszú, yaki jika ada suatu fugsi f: R R yag memeuhi 4 f x + y xy + f xy = f x+y. Pemahama tetag kestabila aka sesuatu hal terdapat pula di dalam al- Qura, salah satuya adalah tetag kestabila bumi. Al-Qura mejelaska bahwa Allah Swt. telah meciptaka guug sebagai pegokoh dari bumi, yag berpera pula dalam mejaga kestabila dari bumi. Hal tersebut dapat dilihat dalam al-qura surat a-naba /78:7 da surat Qaaf/50:7 yag berbuyi da guug-guug sebagai pasak? (Qs. a-naba /78:7). و ي ج ل و ز ج ل ج ب ج ل و في و ي ك رو س و و أ و ن و ت و ج ل ي و في و و و و ج ل هق ٧ و أ و ٱ ج ل و ا و و ج ل و ر و ٱ ا ٧ أ و ج ل ت و د و و و ج ل دن و يد Da Kami hamparka bumi itu da Kami letakka padaya guug-guug yag kokoh da Kami tumbuhka padaya segala macam taama yag idah dipadag mata (Qs. Qaaf/50:7). Dalam ayat tersebut, guug diciptaka agar bumi stabil da tidak bergoyag sebagaimaa suatu teda yag stabil da tidak bergoyag karea adaya pasak. Ibarat bumi adalah suatu rumah maka guug adalah suatu tiag yag mejadika rumah itu kokoh da stabil. Secara geografis darata yag mausia da seluruh makhluk hidup tiggali ii terdapat di atas peraira yag luas. Agar darata ii tidak bergoyag, maka Allah Swt. meacapka guug. Dapat dibayagka apabila guug tidak diciptaka, maka bumi aka berada dalam keadaa yag tidak stabil da selalu bergoyag-goyag. Hal tersebut tetu aka mejadika bumi mejadi tempat yag tidak ama da yama utuk ditiggali. Persamaa fugsioal dapat diaplikasika apabila persamaa tersebut stabil. Jika suatu persamaa fugsioal tidak stabil maka persamaa tersebut tidak

19 5 dapat diaplikasika. Begitu pula dega bumi yag merupaka tempat tiggal mausia aka dapat ditiggali dega ama da yama apabila keadaaya stabil. Berdasarka motivasi tersebut, peeliti tertarik utuk melakuka peelitia tetag kestabila persamaa fugsioal khususya tetag kestabila dari persamaa fugsioal Jese-Hosszú.. Rumusa Masalah Adapu rumusa masalah dalam peelitia ii adalah sebagai berikut:. Bagaimaakah kestabila dari persamaa fugsioal Jese-Hosszú?. Bagaimaakah kestabila dari cotoh fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú?.3 Tujua Peelitia Adapu tujua dalam peelitia ii adalah sebagai berikut:. Utuk megetahui kestabila dari persamaa fugsioal Jese-Hosszú.. Utuk megetahui kestabila dari cotoh fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú..4 Mafaat Peelitia Adapu mafaat dalam peelitia ii adalah dapat dijadika sebagai ladasa dalam pegaplikasia persamaa fugsioal Jese-Hosszú da sebagai sumbagsih dalam perkembaga ilmu matematika moder khususya bidag aalisis fugsioal.

20 6.5 Batasa Masalah Dalam peelitia ii, kosep kestabila yag diguaka utuk megaalisis persamaa tersebut adalah kosep Hyers-Ulam da Hyers-Ulam- Rassias. Adapu ruag Baach pada kosep kestabila Hyers-Ulam-Rassias yag diguaka hayalah ruag Baach pada bilaga real (R)..6 Metode Peelitia Dalam peelitia ii, metode yag diguaka adalah metode kepustakaa (library research). Library research adalah melakuka peelitia dega megumpulka berbagai iformasi da data dega batua buku, jural, artikel, da sumber laiya yag releva. Referesi tersebut berkaita dega:. Persamaa fugsioal Jese-Hosszú.. Kosep kestabila persamaa fugsioal Hyers-Ulam-Rassias. 3. Peelitia terdahulu megeai kestabila persamaa fugsioal lai dega yag megguaka kosep kestabila Hyers-Ulam-Rassias. Peelitia ii merupaka peelitia pegembaga dari peelitia sebelumya, yaki peelitia tetag kestabila persamaa fugsioal Cauchy additive yag telah dipaparka oleh Jug (0) dalam bukuya yag berjudul Hyers-Ulam-Rassias Stability of Fuctioal Equatio i Noliear Aalysis. Adapu lagkah-lagkah yag ditempuh dalam peelitia ii adalah sebagai berikut:. Medeskripsika kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam-Rassias utuk persamaa fugsioal Jese-Hosszú.. Membuktika kestabila persamaa fugsioal Jese-Hosszú.

21 7 3. Membuktika kestabila dari cotoh fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú. 4. Membuat kesimpula dari pembahasa peelitia..7 Sistematika Peulisa Dalam peulisa skripsi ii, peeliti megguaka sistematika peulisa yag terdiri dari empat bab, da masig-masig bab dibagi dalam subbab-subbab dega sistematika peulisa sebagai berikut: Bab I Pedahulua yag berisi latar belakag, rumusa masalah, tujua, mafaat peelitia, batasa masalah, metode peelitia, da sistematika peulisa. Bab II Kajia pustaka, yag berisi dasar-dasar teori yag medukug bagia pembahasa yaitu ruag berorma, ruag Baach, persamaa fugsioal Jese-Hosszú, kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam-Rassias, da peelitia terdahulu tetag pembuktia kestabila persamaa Cauchy additive dega megguaka kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam-Rassias. Bab III Pembahasa, yag berisi tetag pemapara kestabila persamaa fugsioal Jese-Hosszú dega megguaka kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam-Rassias serta kestabila dari cotoh fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú. Bab IV Kesimpula da sara, yag berisi tetag kesimpula dari hasil peelitia da pembahasaya, serta sara utuk peelitia berikutya.

22 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Barisa Defiisi.. Barisa {x } di R dikataka koverge ke x R, atau x dikataka sebagai limit dari {x } jika ε > 0 terdapat bilaga asli K(ε) maka utuk setiap bilaga asli K(ε) berlaku x x < ε (Bartle da Sherbert, 000:54). Adapu cotoh dari barisa koverge adalah:. x = 3+ + N lim 3+ + = 3, maka 3 adalah titik kovergeya. Sehigga ε > 0 pilih K ε > < ε, sedemikia higga N, K(ε) berlaku ε K 3+ 3 = 3+ 3 = = + = + < < K(ε) < ε. Artiya < ε berlaku, da barisa 3+ + koverge meuju 3.. x = N lim = 0, maka 0 adalah titik kovergeya. Sehigga ε > 0 pilih K(ε) > < ε, sedemikia higga N, K(ε) berlaku ε K 0 = = = < K ε < ε. Artiya 0 < ε berlaku, da barisa koverge meuju 0. 8

23 9 3. x = N Perhatika bahwa >, N, yag berarti dapat dituliska mejadi = + a = + a. Dega megguaka ekspasi biomial aka diperoleh = + a + + ( )a yag artiya + ( )a a a a Berdasarka proses di atas, diperoleh bahwa ( ) Sehigga ε > 0 pilih K ε > ε K < ε sedemikia higga N, K(ε) da berdasarka ( ) diperoleh < < ε. Oleh karea K itu berlaku < ε ( ). Karea N maka > yag artiya ilai dari aka selalu positif, sehigga ( ) dapat dituliska sebagai < ε, oleh karea itu barisa koverge meuju. Teorema.. (Teorema Squeeze) Jika diberika barisa barisa x, y, da {z } di R yag memeuhi x y z, N, da jika

24 0 lim x = lim z maka y koverge da (Bartle da Sherbert, 000:64). Bukti: lim x = lim y = lim z Misalka w = lim x = lim z. Maka ε > 0 da berdasarka kekovergea dari x da y meuju w aka ada bilaga asli K(ε), yag maa N, K(ε) berlaku x w < ε da z w < ε. Sehigga x w y w z w ε < y w < ε karea ε > 0 da N, K(ε) sehigga dapat dikataka bahwa y koverge da lim y = w. Cotoh: x = si N koverge. si() si Karea 0 da 0 maka berdasarka teorema.. dapat dikataka bahwa barisa si koverge da lim si = 0. Teorema..3 Jika {x } adalah barisa bilaga positif di R da lim x + x = L ada da L <, maka {x } koverge da lim x + x = 0 (Bartle da Sherbert, 000:66).

25 Bukti: Karea {x } adalah barisa bilaga positif maka L 0. Misal ada r dega L < r <, da ambil ε = r L > 0. Sehigga aka ada bilaga asli K(ε) sedemikia higga jika K(ε) berlaku x + x L < ε, yag artiya x + x < L + ε = L + r L = r. Oleh karea itu aka diperoleh 0 < x + < x r < x r K ε + < < x K(ε) r Jika C = x K ε r K(ε) maka 0 < x + < Cr +, karea 0 < r < maka dapat dikataka bahwa lim r = 0, yag maa berarti lim x = 0. Cotoh: x = N koverge. x + x = + + = + = lim + = Karea < maka berdasarka teorema..3 dapat dikataka bahwa barisa koverge. Defiisi..4 Barisa {x } di R dikataka terbatas apabila ada bilaga real m > 0 yag memeuhi x m, N (Bartle da Sherbert, 000:64).

26 Adapu cotoh dari barisa terbatas adalah: Diberika suatu barisa x = N di R. Barisa tersebut adalah barisa terbatas. Bukti: x = {,,,,, }. Jika diambil m = maka x m adalah bear N. Teorema..5 Barisa koverge adalah terbatas (Bartle da Sherbert, 000:8). Bukti: Ambil ε =, maka aka ada bilaga asli K = K() da K yag memeuhi x x <. Dega megguaka ketaksamaa segitiga aka diperoleh x = x x + x x x + x < + x. Jika diambil m = sup{ x, x,, x K, x + } maka berlaku x m, N Cotoh: x = 3+ + N terbatas. Bukti: x =, 3, 3 4, 4 5,. Jika diambil m = 3 maka x m adalah bear N. Defiisi..6. Barisa {x } di R dikataka mooto jika barisa tersebut meigkat atau meuru. Barisa tersebut dikataka meigkat jika memeuhi pertaksamaa x x x x +, da barisa tersebut dikataka meuru jika memeuhi pertaksamaa x x x x +. (Bartle da Sherbert, 000:69).

27 3 Cotoh: x = N mooto. Bukti: x =,,,, +,, karea N maka x memeuhi pertaksamaa x x x x + sehigga x = mooto. Teorema..7 Barisa {x } di R yag mooto adalah koverge jika da haya jika barisa tersebut terbatas (Bartle da Sherbert, 000:69). Bukti: Misalka {x } mooto aik da terbatas, sehigga aka ada bilaga real m > 0 yag memeuhi x m, N. Berdasarka sifat kelegkapa pada bilaga real maka supremum dari x = sup(x : N) ada, sehigga aka dibuktika bahwa lim x = x. Jika ε > 0, maka x ε bukalah batas atas dari himpua(x : N) sehigga aka ada eleme dari himpua x K yag memeuhi x ε < x K. Karea x adalah barisa yag mooto aik maka x K x di maa K, sehigga x ε < x K x x < x + ε, oleh karea itu aka diperoleh x x < ε. Karea ε > 0 maka dapat dikataka bahwa x koverge meuju x. Misalka {x } mooto turu da terbatas, sehigga aka ada bilaga real m > 0 yag memeuhi x m, N. Berdasarka sifat kelegkapa pada bilaga real maka ifimum dari x = if(x : N) ada, sehigga aka dibuktika bahwa lim x = x. Jika ε > 0, maka x ε bukalah batas bawah dari himpua (x : N) sehigga aka ada eleme dari himpua x K yag memeuhi x K < x ε. Karea x adalah barisa yag mooto turu maka x x K di maa K,

28 4 sehigga x + ε < x K x x < x ε, oleh karea itu aka diperoleh x x < ε. Karea ε > 0 maka dapat dikataka bahwa x koverge meuju x. Cotoh: x = + N koverge. Pembuktia kekovergea dari barisa di atas aka megguaka teorema..7, sehigga aka dibuktika bahwa barisa tersebut adalah barisa mooto da terbatas. Utuk membuktika bahwa barisa tersebut adalah mooto, aka diguaka ekspasi biomial utuk x : x = k=0 k k = k! k=0 k = k=0 k! k karea i,,, (k ) : < +, da karea x + memiliki term lebih bayak daripada x maka dapat dikataka bahwa {x } adalah barisa mooto aik. Selajutya utuk membuktika bahwa barisa tersebut terbatas, diguaka kembali ekspasi biomial utuk x x = + +! = + +! + 3! < + +! + +! < e 3 + +! + +! +

29 Sehigga jika x = + 5 adalah barisa yag mooto aik da memiliki batas atas e maka dapat dikataka bahwa barisa tersebut koverge meuju e. Defiisi..8 Barisa {x } di R dikataka sebagai barisa Cauchy jika utuk setiap ε > 0 terdapat bilaga asli H(ε) sehigga utuk setiap bilaga asli m, H(ε) berlaku x x m < ε (Bartle da Sherbert, 000:8). Adapu cotoh dari barisa Cauchy adalah sebagai berikut:. x = N ε > 0 pilih H ε > < ε, sehigga m, N da m, H(ε) ε H(ε) diperoleh < ε da < ε. Oleh karea itu H(ε) m H(ε) m + m = + m + m < ε + ε = ε Berdasarka proses di atas dapat dikataka bahwa m < ε berlaku sehigga barisa adalah barisa Cauchy.. x = N ε > 0 pilih H ε > < ε, sehigga m, N da m, H(ε) ε H(ε) diperoleh < ε da < ε. Oleh karea itu H(ε) m H(ε) m m + m m = + m m = + m

30 6 < ε + ε = ε Berdasarka proses di atas dapat dikataka bahwa m m < ε berlaku sehigga barisa adalah barisa Cauchy. Teorema..9 Jika suatu barisa x di R adalah barisa koverge, maka barisa tersebut adalah barisa Cauchy (Bartle da Sherbert, 000:8). Bukti: Jika x = lim x da utuk setiap ε > 0 maka aka ada bilaga atural K(ε) di maa jika K ε maka x x < ε. Selajutya jika ada bilaga atural H ε = K(ε) da jika, m H(ε) maka x x m = x x + (x x m ) x x + x m x < ε + ε < ε Cotoh:. x = + N Telah dibuktika sebelumya bahwa barisa + koverge ke e. Jika diambil x = e, maka aka diperoleh x x m = x x + (x x m ) = + e + e + m m

31 7 + e + + m m e da + m koverge < ε + ε karea + m ke e da ε adalah sebarag bilaga positif. < ε Sehigga + + m m < ε berlaku da terbukti bahwa barisa + adalah barisa Cauchy.. x = N Telah dibuktika sebelumya bahwa barisa koverge. Jika suatu barisa adalah koverge, maka limitya ada. Aggap limit dari barisa tersebut adalah p, maka aka diperoleh x x m = x x + (x x m ) = p + p m m p + m p m < ε + ε karea da m m koverge ke p da ε adalah sebarag bilaga positif. < ε Sehigga m m < ε berlaku da terbukti bahwa barisa + adalah barisa Cauchy.

32 8 3. x = si N Telah dibuktika sebelumya bahwa barisa x = 0, maka aka diperoleh si koverge ke 0. Jika diambil x x m = x x + (x x m ) = si si si 0 + si m m 0 < ε + ε karea si da si m m koverge ke 0 da ε adalah sebarag bilaga positif. < ε Sehigga si si m m < ε berlaku da barisa si adalah barisa Cauchy. Teorema..0 Barisa Cauchy adalah terbatas (Bartle da Sherbert, 000:8). Bukti: Ambil ε =, maka aka ada bilaga asli K = K(ε) da K yag memeuhi x x K <. Dega megguaka ketaksamaa segitiga aka diperoleh x = x x K + x K x x K + x K < + x K. Jika diambil m = sup{ x, x,, x K, x K + } maka berlaku x m, N Cotoh: Diberika suatu barisa Cauchy x = 3+ + N di R. Barisa tersebut terbatas.

33 9 x =, 3, 3 4, 4 5,. Jika diambil m = 3 maka x m adalah bear N. Teorema.. (Teorema Bolzao-Weiestrass) Setiap barisa yag terbatas memiliki sub-barisa yag koverge (Bartle da Sherbert, 000:78). Bukti: Dimisalka {x } adalah barisa yag terbatas da {x k } adalah sub-barisa dari x. Jika x terbatas, maka utuk setiap ε > 0 aka ada bilaga asli K ε yag memeuhi K(ε) da x x < ε. Karea < < < k <, maka k K(ε) sehigga x k x < ε.. Ruag Berorma Defiisi.. Misalka E suatu ruag vektor. Suatu pemetaa. : E R disebut orm, jika x, y E da λ R berlaku a. x 0; b. x = 0 x = 0; c. λx = λ x λ R; d. x + y x + y. (E,. ) disebut ruag vektor berorma da x disebut orm dari x. Sifat yag keempat tersebut serig disebut sebagai ketaksamaa segitiga ruag vektor berorma (Colema, 0:). Teorema.. Setiap ruag berorma K, merupaka ruag metrik terhadap metrik d: d x, y = x y, x, y K.

34 0 Bukti: Bear bahwa ruag berorma K, merupaka ruag metrik terhadap metrik tersebut sebab x, y K aka diperoleh: a. d x, y = x y 0 adalah bear meurut defiisi... (a). b. d x, y = x y = 0 x y = 0 x = y adalah bear meurut defiisi.. (b). c. d x, y = x y = (y x) = y x = y x = d(y, x) adalah bear meurut defiisi.. (c). d. d x, y = x y = x z + (z y) x z + y z = d x, z + d z, y adalah bear meurut defiisi... (d). Berdasarka teorema.. di atas yaitu setiap ruag berorma merupaka ruag metrik, maka semua kosep, pegertia, sifat-sifat, serta teorema-teorema yag berlaku pada ruag metrik belaku pula pada ruag berorma dega pegertia d x, y = x y (Darmawijaya, 007:93). Adapu cotoh dari ruag berorma adalah: Misalka utuk x = x, x R, maka (R,. ) merupaka ruag berorma. Bukti: a. x = x 0 adalah bear karea hasil dari harga mutlak adalah selalu lebih dari atau sama dega 0. b. x = x = 0 x = 0. c. λx = λx = λ x = λ x. d. x + y = x + y x + y = x + y

35 .3 Ruag Baach Defiisi.3. Ruag vektor berorma E legkap atau disebut ruag Baach jika setiap barisa Cauchy di E tersebut koverge (Colema, 0:6). Adapu cotoh dari ruag Baach adalah sebagai berikut: Diberika ruag berorma R,. dega x = x, x R da x R, N adalah barisa Cauchy, aka dibuktika bahwa (R,. ) merupaka ruag Baach. Bukti: Utuk membuktika bahwa (R,. ) merupaka ruag Baach, aka ditujukka bahwa jika {x } R adalah barisa Cauchy maka {x } koverge ke x R. Berdasarka teorema..0, barisa Cauchy adalah barisa yag terbatas. Selajutya diguaka teorema.. yag meyataka bahwa setiap barisa terbatas memiliki sub-barisa yag koverge. Jika {x } adalah barisa Cauchy, maka utuk setiap ε > 0 aka ada bilaga asli H ε sedemikia sehigga utuk setiap m, N da m, H ε berlaku x m x < ε, da jika sub-barisa dari {x } yaitu {x k } adalah koverge, yag dimisalka koverge meuju x, maka aka ada bilaga asli k H ε pada barisa (,, 3,, k, ) yag memeuhi x k x < ε. Karea m, H ε da k H ε, jika m = k maka aka diperoleh x x k < ε. Sehigga x x = x x k + x k x x x k + x k x < ε + ε = ε yag artiya x x < ε. Maka {x } adalah barisa koverge.

36 Jadi terbukti bahwa setiap barisa Cauchy {x } di R adalah barisa koverge, sehigga dapat dikataka bahwa (R,. ) merupaka ruag Baach..4 Persamaa Fugsioal Defiisi.4. Persamaa fugsioal adalah persamaa fugsi yag belum diketahui fugsiya. Ada tiga subjek yag dipelajari dalam persamaa fugsioal, yaitu:. Meemuka solusi khusus (particular),. Meemuka solusi umum, 3. Permasalaha kestabila (Al-Mosadder, 0:7)..4. Persamaa Fugsioal Cauchy Additive Defiisi.4.. Suatu fugsi f: R R dikataka fugsi additive jika fugsi tersebut memeuhi persamaa fugsioal Cauchy additive berikut f x + y = f x + f(y) x, y R (Sahoo da Kaappa, 0:4). Misalka diberika suatu fugsi f: R R dega f x = x, x R, maka fugsi tersebut merupaka fugsi additive. Bukti: f x + y = x + y = x + y = f x + f y, x, y R Defiisi.4.. Suatu fugsi f: R R dikataka rasioal homoge jika da haya jika f rx = rf(x)

37 3 x R da r R. Defiisi di atas meujukka bahwa setiap solusi dari persamaa Cauchy additive adalah rasioal homoge (Sahoo da Kaappa, 0:6). Misalka diberika suatu fugsi f: R R dega f x = x, x R, maka fugsi tersebut adalah fugsi yag rasioal homoge. Bukti: f rx = rx = r x = rf x, x, r R.4. Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Telah diketahui bahwa bila ada suatu fugsi yag memetaka himpua bilaga real ke bilaga real disebut persamaa fugsioal Jese apabila memeuhi persamaa berikut f x + y = f x + f(y) da disebut persamaa fugsioal Hosszú apabila memeuhi persamaa berikut f x + y xy + f xy = f x + f y. Kedua persamaa fugsioal tersebut adalah ekuivale da solusi umumya adalah f x = a x + c, x R, di maa a adalah suatu fugsi additive da c adalah sebarag kosta. Aka dapat dikostruksika suatu persamaa fugsioal di maa sisi kiriya memiliki betuk yag sama seperti pada persamaa Hosszú da sisi kaaya memiliki betuk yag sama dega sisi kiri dari persamaa Jese (Komiek, 009:53). Defiisi.4.. Suatu fugsi f: R R yag memeuhi persamaa berikut f x + y xy + f xy = f x + y

38 4 x, y R diamaka persamaa fugsioal Jese-Hosszú (Komiek, 009:53). Misalka diberika suatu fugsi f: R R dega f x = x + 3, x R, maka fugsi tersebut memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú. Bukti: f x + y xy + f xy = f x + y x + y xy xy + 3 = x + y + 3 x + y xy xy + 3 = x + y + 3 x + y + 6 = x + y Kestabila Hyers-Ulam-Rassias Formula atau persamaa tertetu dapat diaplikasika sebagai model dari suatu proses fisik jika apabila terjadi perubaha kecil pada persamaa tersebut haya aka meimbulka perubaha yag kecil pula pada hasilya. Jika kodisi tersebut terpeuhi, dapat dikataka bahwa persamaa tersebut adalah persamaa yag stabil. Dalam aplikasiya, misalka suatu persamaa fugsioal Cauchy additive yag diotasika sebagai f x + y f x f(y) = 0 tidak selalu bear x, y R, amu dapat mejadi bear jika diguaka aproksimasi f x + y f x f y 0, x, y R. Secara matematis dapat diotasika sebagai f x + y f x f y ε ε > 0, x, y R. Dapat diketahui saat terjadi perubaha kecil pada suatu persamaa haya aka meimbulka perubaha yag kecil pula pada hasilya. Hal iilah yag mejadi iti dari teori kestabila.

39 Pada tahu 940, S. M. Ulam meemuka persoala, jika diberika suatu Grup G, grup metrik H dega metrik (o, o), da sebarag bilaga positif ε, apakah ada δ positif sedemikia higga jika ada fugsi f: G H yag memeuhi d(f xy, f(x)f(y)) δ x, y G, maka ada fugsi homomorfisme φ: G H dega d(f x, φ(x)) ε x G? Permasalaha tersebutlah yag dapat membetuk iti dari teori kestabila. Pada ruag Baach, permasalaha di atas telah dipecahka oleh D. H. Hyres pada tahu 94 dega ε = δ da φ x = lim f( x) (Sahoo da Kaappa, 0:93). Utuk membuktikaya, Hyers megkostruksika secara eksplisit peta dari fugsi additive A dari fugsi f yag diberika. Metode ii disebut metode lagsug da sudah bayak diguaka utuk mempelajari kestabila dari berbagai persamaa fugsioal. 5 Pertaksamaa f x + y f x f(y) ε dapat dikataka sebagai Cauchy differece dari fugsi f yag terbatas. Pada tahu 978, Rassias membuktika teorema Hyers yag lebih diperluas di maa Cauchy differece-ya dapat tidak terbatas, artiya tidak haya terbatas pada sebarag ε positif (Jug, 0:4). Berikut adalah teorema Hyers da Rassias dalam pembuktia kestabila persamaa fugsioal Cauchy additive secara umum. Teorema.5. (Teorema Hyers) Misalka f: E E merupaka suatu fugsi atara ruag Baach sedemikia higga

40 utuk δ > 0 da x, y E, maka ada limit f x + y f x f y δ. A x = lim f x x E, da A: E E fugsi additive yag tuggal, sedemikia higga x E (Jug, 0: ). Bukti: f x A(x) δ. Jika diambil y = x, maka persamaa (.) dapat diperoleh 6 f x + x f(x) f(x) δ f x f(x) δ (.3) x E. Jika x adalah sebarag titik di E, maka x juga adalah sebarag titik di E sehigga pertaksamaa (.3) tetap berlaku jika meggati x dega x, da kedua ruasya dibagi, sehigga pertaksamaa tersebut mejadi f x f x δ (.4) x E. Selajutya dibuat asumsi iduksi bahwa f x f x δ (.5) berlaku x E, N. Jika =, maka pertaksamaa (.5) adalah bear dega melihat pertaksamaa (.4). Selajutya asumsika pertaksamaa (.5) bear utuk = k, aka diperoleh Utuk = k +, maka k f x f x k k δ (.6)

41 7 x f x f k+ k+ = k f x f k Karea persamaa fugsioal Cauchy additive bersifat rasioal homoge, maka aka berlaku x f x f k+ k+ = k f x f k = k f x f k Bersadarka.6, maka x f x f k+ k+ δ k k+ δ δ k+ Sehigga dapat dikataka asumsi iduksi utuk pertaksamaa (.5) adalah bear x E, N. Jika m > > 0 maka m N, oleh karea itu dapat digati dega m pada pertaksamaa (.5) sehigga diperoleh x f x f m m Kemudia kedua ruas dikalika dega m, maka m δ x m f x f m m m m δ x f x f m m m δ (.7)

42 x E, m, N. Jika x adalah sebarag titik di E, maka x juga adalah sebarag titik di E sehigga pertaksamaa (.7) tetap berlaku jika meggati x dega x, sehigga pertaksamaa tersebut mejadi f x m f x m m δ 8 f x m f m x m δ Jika m maka 0 sehigga lim f x m m f m x m = 0. Oleh karea itu f x = adalah barisa Cauchy di E da limitya ada. Didefiisika suatu fugsi A: E E dega A x = lim f x.8 aka dibuktika bahwa fugsi A adalah fugsi additive. A x + y A x A(y) = lim f (x + y) f x f y = lim f (x + y) f x f y = lim f (x + y) f x f y δ lim = 0 Maka terbukti A adalah fugsi additive x, y E. Sekarag aka dibuktika bahwa A x f(x) δ A x f(x) = lim f x f(x)

43 9 = lim f x f(x) lim δ = δ Selajutya adalah membuktika bahwa A adalah fugsi yag tuggal. Diasumsika A tidak tuggal, maka aka ada fugsi additive yag lai yaitu B: E E yag memeuhi B x f(x) δ, x E. A x B(x) = A x f x + f x B(x) A x f x + f x B(x) = δ + δ δ Karea A da B adalah fugsi additive maka A x B(x) = = A x A x B x B x = δ A x B x lim A x B(x) δ lim A x B(x) 0 Sehigga A x = B x, E. Oleh karea itu terbukti bahwa A adalah fugsi additive yag tuggal da memeuhi pertidaksamaa (.), jadi persamaa fugsioal Cauchy additive adalah stabil bedasarka teorema Hyers.

44 30 Kestabila Cotoh Fugsi Additive dega Megguaka Teorema Hyers Berikut adalah cotoh pegguaa Teorema Hyers dalam membuktika kestabila dari suatu fugsi additive yag memeuhi persamaa fugsioal Cauchy additive. Jika diberika suatu fugsi f: R R dega f x = x maka f x + y f x f(y) = x + y x y = 0. Karea utuk setiap δ > 0, maka terbukti bahwa cotoh fugsi additive tersebut memeuhi pertaksamaa f x + y f x f(y) δ. Misalka x = f x N adalah suatu barisa di R, aka ditujukka bahwa {x } adalah barisa Cauchy. Utuk setiap ε > 0, pilih H >, maka, m H dapat dikataka bahwa ε < ε da ε. Oleh karea itu aka diperoleh H m H f x f m x m = x m x = x x = 0 < ε. m Jadi dapat dikataka bahwa x = f x N di R adalah barisa Cauchy. Karea setiap barisa Cauchy di R adalah koverge, sehigga limitya ada. Maka aka ada suatu fugsi A: R R dega A x = lim f x, x R. Selajutya aka ditujukka bahwa A: R R merupaka fugsi additive. A x + y A x A y = lim f x + y f x f( y) = lim f (x + y) f x f( y)

45 3 = lim f (x + y) f x f( y) = lim (x + y) x y = lim x + y x ( y) = lim 0 = 0 Jadi A x + y = A x + A y. Dari defiisi.4.., maka dapat dikataka bahwa A merupaka fugsi additive. Selajutya aka ditujukka bahwa A memeuhi f x A(x) δ, x R. f x A(x) = f x lim f x = x lim f x = x f(x) = x x = 0 Karea δ > 0, maka f x A(x) δ. Adaika A tidak tuggal, maka aka ada fugsi additive yag lai B: R R sedemikia higga x R. f x B x δ A x B(x) = A x f x + f x B x A x f x + f x B x

46 3 = f x A x + f x B x δ + δ Jadi, A x B(x) δ. A x B(x) = lim A x B( x) = lim A x B( x) = lim δ = δ lim = 0 di maa N. Sehigga A x = B x, x R. Jadi terbukti bahwa A tuggal, sehigga terbukti bahwa cotoh dari fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Cauchy additive tersebut stabil berdasarka teorema Hyers. Teorema.5. (Teorema Rassias) Misalka f: E E merupaka suatu fugsi atara ruag Baach sedemikia higga f x + y f x f y θ( x p + y p ).9 utuk θ > 0, p [0,) da x, y E, maka fugsi A: E E additive yag tuggal, sedemikia higga f x A(x) θ p x p.0 x E (Jug, 0: 4).

47 33 Bukti: Jika diambil y = x da membagi kedua ruas, maka persamaa (.9) dapat diperoleh f x + x f(x) f(x) θ( x p + x p ) f x f(x) θ x p f x f(x) θ x p (.) x E, p [0,). Selajutya dibuat asumsi iduksi bahwa f x f x θ x p m (p ) m =0 (.) berlaku x E, N, p 0,. Jika =, maka pertaksamaa (.) adalah bear dega melihat pertaksamaa.. Selajutya asumsika pertaksamaa (.) bear utuk = k, aka diperoleh Utuk = k + k+ f k+ x f x k k f k x f x θ x p m (p ) m =0 = k+ f k+ x f x + f x f x k+ f k+ x f x + f x f x θ x p θ x p k m = k m =0 m (p ) m (p ) + θ x p

48 Sehigga dapat dikataka asumsi iduksi utuk pertaksamaa (.) adalah bear x E, N, p [0,). Karea maka pertaksamaa m=0 m (p ) m =0 m (p ) f x f x θ x p m(p ) m=0 34 m=0 m(p ) = 0(p ) p = p = p = p f x f x θ x p p (.3) Jika m, N da m > > 0 maka m N, oleh karea itu dapat digati dega m pada pertaksamaa (.3) sehigga diperoleh f m x m f(x) θ p x p Kemudia kedua ruas dikalika dega sehigga f m x f x m θ p x p (.4) x E, m, N. Jika x adalah sebarag titik di E, maka x juga adalah sebarag titik di E sehigga pertaksamaa (.4) tetap berlaku jika meggati x dega x, sehigga pertaksamaa tersebut mejadi f m x m f x θ p x p

49 35 p θ p x p Karea 0 p < maka lim p = 0 sehigga aka diperoleh lim f m x m f x = 0. Oleh karea itu f x = adalah barisa Cauchy di E da merupaka barisa koverge yag maa limitya ada. Didefiisika suatu fugsi A: E E dega A x = lim f x.5 aka dibuktika bahwa fugsi A adalah fugsi additive. A x + y A x A(y) = lim f (x + y) f x f y = lim f (x + y) f x f y = lim f (x + y) f x f y θ x p + y p p lim = 0 karea 0 p <. Maka terbukti A adalah fugsi additive x, y E. Sekarag aka dibuktika bahwa A x f(x) δ A x f(x) = lim f x f(x) = lim f x f(x)

50 36 = lim θ p x p θ p x p Selajutya adalah membuktika bahwa A adalah fugsi yag tuggal. Diasumsika A tidak tuggal, maka aka ada fugsi additive yag lai yaitu B: E E yag memeuhi B x f(x) θ p x p, x E. A x B(x) = A x f x + f x B(x) A x f x + f x B(x) = θ p x p + θ p x p 4θ p x p Karea A da B adalah fugsi additive maka A x B(x) = = A x A x B x B x = A x B x 4θ p x p lim A x B(x) lim A x B(x) 0 4θ p x p Sehigga A x = B x, E. Oleh karea itu terbukti bahwa A adalah fugsi additive yag tuggal da memeuhi pertaksamaa.0, jadi persamaa fugsioal Cauchy additive adalah stabil bedasarka teorema Rassias.

51 Kestabila Cotoh Fugsi Additive dega Megguaka Teorema Rassias f x + y f x f(y) = x + y x y = 0. Karea utuk setiap θ > 0, p [0,), maka terbukti bahwa cotoh fugsi additive tersebut memeuhi pertaksamaa f x + y f x f(y) θ x p + y p Misalka x = f x N adalah suatu barisa di R, aka ditujukka bahwa {x } adalah barisa Cauchy. Utuk setiap θ > 0, pilih H >, maka, m H dapat dikataka bahwa ε 37 < θ da θ. Oleh karea itu aka diperoleh H m H f x f m x m = x m x θ = x x = 0 < m p x p. Jadi dapat dikataka bahwa x = f x N di R adalah barisa Cauchy. Karea setiap barisa Cauchy di R adalah koverge, sehigga limitya ada. Maka aka ada suatu fugsi A: R R dega A x = lim f x, x R Selajutya aka ditujukka bahwa A: R R merupaka fugsi additive. A x + y A x A y = lim f x + y f x f( y) = lim f (x + y) f x f( y) = lim f (x + y) f x f( y) = lim (x + y) x y

52 38 = lim x + y x ( y) = lim 0 = 0 Jadi A x + y A x A y = 0. sehigga A x + y = A x + A y. Dari defiisi.4.., maka dapat dikataka bahwa A merupaka fugsi additive. Selajutya aka ditujukka bahwa A memeuhi f x A x θ p x p, x R. f x A(x) = f x lim f x = x lim f x = x f(x) f x A(x) = x x = 0 Karea θ > 0, p [0,), maka f x A(x) θ p x p. Adaika A tidak tuggal, maka aka ada fugsi additive yag lai B: R R sedemikia higga x R. f x B x θ p x p A x B(x) = A x f x + f(x) B(x)

53 39 A x f x + f x B x = f x A x + f x B x θ p x p + θ p x p. Jadi, A x B(x) θ p x p. A x B(x) = lim A x B( x) = lim A x B( x) θ = lim p x p = θ p x p lim = 0 di maa R. Sehigga A x = B x, x R. Jadi terbukti bahwa A tuggal, sehigga terbukti bahwa cotoh dari fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Cauchy additive tersebut stabil berdasarka teorema Rassias..6 Ispirasi Al-Qura Megeai Kestabila Sebagaimaa telah dipaparka pada Bab I bahwa Allah Swt. telah meciptaka bumi dega guug sebagai peyetabilya. Kestabila bumi yag dimaksud adalah keadaa saat bumi dapat ditiggali dega ama da yama oleh seluruh makluk hidup. Hal tersebut sesuai dega tafsir surat Qaaf/50:7 yag ditulis oleh Ar-Rifai i (000) yag megataka bahwa firma Allah Swt. Da

54 ي ج ل و Kami hamparka bumi itu da Kami letakka padaya guug-guug yag kokoh supaya bumi beserta pedudukya tidak mirig da bergocag, guugguug itu berdiri tegak tegak di atas bumi dega semua sisiya dikeliligi air. Meski demikia, guug juga memiliki pergeraka atau perubahaya sediri sebagaimaa dijelaska dalam al-qura surat a-naml/7:88 yag berbuyi ٱو ىٱ 40 و ت و و ىٱ ج ل و ا و و ج ل و و و و ت ت و ج ل و س و و ج ي و دة و ه و ت و م و ص و ج ل ع و ا ٱس و ج ل ء و و ك أ و ج ل تق ۥ و خ ب و ي Da kamu lihat guug-guug itu, kamu sagka dia tetap di tempatya, padahal ia berjala sebagai jalaya awa. (Begitulah) perbuata Allah yag membuat dega kokoh tiap-tiap sesuatu; sesugguhya Allah Maha Megetahui apa yag kamu kerjaka (Qs.a-Naml/7:88). ٨٨ Bumi merupaka tempat yag diamis, di maa setiap elemeya selalu bergerak, begitu pula dega guug. Karea pergeraka itulah kadag kala terjadi becaa guug meletus yag meyebabka lahar paas keluar dari mulut guug, lereg guug yag tadiya dipeuhi dega poho aka terbakar sehigga kehilaga fugsiya sebagai huta atau tempat tiggal hewa-hewa yag tiggal di dalamya. Perhatika al-qura surat al-mulk/67:3 yag berbuyi و ج ل وق و و ى ف خ ط و ق ي ت و و و و ق و س ج ل و ع و و سم و ت خ و ط ر ٣ و ٱ ن م ح ي ت و ت و ن ج ل ج ل رج ىٱ و و و ٱ ت و و ى ي ف Yag telah meciptaka tujuh lagit berlapis-lapis. Kamu sekali-kali tidak melihat pada ciptaa Tuha Yag Maha Pemurah sesuatu yag tidak seimbag. Maka lihatlah berulag-ulag, adakah kamu lihat sesuatu yag tidak seimbag (Qs. al-mulk/67:3). Dapat dikataka dari peggala surat al-mulk di atas bahwa meskipu guug memiliki pergerakaya sediri, hal tersebut tidak membuat bumi (ciptaa Allah Swt.) mejadi tidak seimbag atau tidak stabil. Dalam ayat tersebut

55 4 mausia diperitahka utuk memperhatika ciptaa Allah Swt. yag salah satu cotohya adalah bumi, yag maa padaya tidak terdapat kesimpagsiura, pertetaga, aib, da cacat.

56 BAB III PEMBAHASAN 3. Kestabila Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Berdasarka kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam-Rassias, maka aka dikostruksika suatu teorema utuk membuktika kestabila persamaa fugsioal Jese-Hosszú. Permasalaha kestabila suatu persamaa fugsioal telah dipecahka pada Ruag Baach da melahirka kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam-Rassias. Pada skripsi ii masalah Ruag Baach yag dibahas hayalah Ruag Baach pada bilaga real (R), oleh sebab itu aka dibuktika terlebih dahulu bahwa R,. adalah ruag Baach dega x = x. Sebelum dilakuka pembuktia bahwa R adalah ruag Baach, harus terlebih dahulu dibuktika bahwa R adalah ruag berorma. Utuk membuktika bahwa (R,. ) dega x = x adalah ruag berorma, aka ditujukka bahwa x = x memeuhi 4 aksioma pada defiisi.... x = x 0 adalah bear karea hasil dari harga mutlak adalah selalu lebih dari atau sama dega 0.. x = x = 0 x = λx = λx = λ x = λ x. 4. x + y = x + y x + y = x + y Berdasarka proses di atas, dapat dikataka bahwa R adalah ruag berorma. Misalka {x } adalah suatu barisa Cauchy di dalam (R,. ), utuk membuktika bahwa (R,. ) merupaka ruag Baach, aka ditujukka bahwa 4

57 43 jika {x } di dalam (R,. ) adalah barisa Cauchy maka {x } koverge di (R,. ). Berdasarka teorema..0, barisa Cauchy adalah barisa yag terbatas. Selajutya diguaka teorema.. yag meyataka bahwa setiap barisa terbatas memiliki sub-barisa yag koverge. Jika {x } adalah barisa Cauchy, maka utuk setiap ε > 0 aka ada bilaga asli H ε sedemikia sehigga m, N da m, H ε berlaku x m x < ε, da jika sub-barisa dari {x } yaitu {x k } adalah koverge, yag dimisalka koverge meuju x, maka aka ada bilaga asli k H ε pada barisa (,, 3,, k, ) yag memeuhi x k x < ε. Karea m, H ε da k H ε, jika m = k maka aka diperoleh x x k < ε. Sehigga x x = x x k + x k x x x k + x k x < ε + ε = ε yag artiya x x < ε. Maka {x } adalah barisa koverge. Jadi terbukti bahwa setiap barisa Cauchy {x } R adalah barisa koverge, maka (R,. ) merupaka ruag Baach. Sehigga dapat dikataka bahwa f juga merupaka fugsi di atara ruag Baach. 3.. Kestabila Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Berdasarka Teorema Hyers Misalka f: R R merupaka suatu fugsi di atara ruag Real sedemikia higga f x + y xy + f xy f x + y δ

58 44 utuk δ > 0 da x, y R. Maka ada limit A x = lim f x, x R da A: R R fugsi additive yag tuggal sedemikia higga f x A(x) δ, x R Utuk membuktika teorema tersebut, maka harus ditujukka bahwa:. f x = adalah barisa Cauchy x R.. Jika A x = lim f x maka A adalah fugsi additive. 3. A memeuhi f x A(x) δ, δ > A adalah fugsi yag tuggal. Aka ditujukka poi omor bahwa f x = adalah barisa Cauchy x R. Dimisalka y = 0, da diasumsika f 0 = 0 maka f x + f 0 f x < δ f x f x < δ x R. Jika x adalah sebarag titik di R, maka k x, k =,,3,, juga adalah sebarag titik di R sehigga pertaksamaa di atas tetap berlaku jika meggati x dega k x, maka f k x f k x δ Pada kedua ruas dikalika dega k da ditambahka sebayak kali k= k f k x f k x δ k k=

59 45 δ (3.) Dega megguaka ketaksamaa segitiga maka pada pertaksamaa (3.) diperoleh k= k f k x f k x k= k f k x f k x Dega megguaka iduksi matematika, aka dapat dibuktika bahwa k= k f k x f k x = f x f(x) Utuk =, maka k= k f k x f k x = f x f x adalah bear. Utuk = a, a k= k f k x f k x = a f a x f(x) Diasumsika bear, maka utuk = a + a+ k= k f k x f k x = a k= k f k x f k x + a+ f a+ x a f(a x) = a f a x f x + a+ f a+ x a f(a x) = f x + a+ f a+ x

60 46 Sehigga terbukti bahwa k= = k f k x f k x f x f(x) yag megakibatka f x f(x) = k= k= k f k x f k x k f k x f k x δ (3.) Jika 0 < < m maka dapat digati dega m, sehigga pertaksamaa (3.) aka mejadi f m x m f(x) δ Jika x adalah sebarag titik di R, maka m x juga adalah sebarag titik di R sehigga pertaksamaa tersebut tetap berlaku jika meggati x dega m x, da kedua ruas dikalika dega m, maka pertaksamaa di atas mejadi f x f m x m m δ Jika m maka 0 sehigga lim f x m m f m x m = 0. Oleh karea itu f x = adalah barisa Cauchy di R. Karea R adalah ruag Real, da berdasarka pembuktia yag telah dilakuka sebelumya dapat dikataka setiap barisa Cauchy-ya koverge da limitya ada. Selajutya aka dibuktika poi omor yaki jika A x = lim f x maka A adalah fugsi additive.

61 47 A x + y A x A(y) = lim f (x + y) f x f y = lim f (x + y) f x f y = lim f (x + y) f x f y δ lim = 0 Maka terbukti A adalah fugsi additive x, y R. Selajutya aka dibuktika poi omor 3 yaitu A memeuhi Perhatika pertaksamaa (3.) f x A(x) δ. f x f(x) δ Jika diambil limitya utuk, maka lim f x f x lim δ lim f x f x δ lim f x lim f(x) A x f(x) δ δ Sehigga terbukti bahwa A memeuhi f x A(x) δ. Selajutya aka dibuktika poi omor 4 bahwa A adalah fugsi yag tuggal. Diasumsika A tidak tuggal, maka aka ada fugsi additive yag lai yaitu B: R R yag memeuhi B x f(x) δ, x R.

62 48 A x B(x) = A x f x + f x B(x) A x f x + f x B(x) = δ + δ δ Karea A da B adalah fugsi additive maka A x B(x) = = A x A x B x B x = δ A x B x lim A x B(x) δ lim A x B(x) 0 Sehigga A x = B x, R. Oleh karea itu terbukti bahwa A adalah fugsi additive yag tuggal. Sehigga persamaa fugsioal Jese-Hosszú adalah stabil berdasarka Teorema Hyers. 3.. Kestabila Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Berdasarka Teorema Rassias Misalka f: R R merupaka suatu fugsi di atara ruag Real sedemikia higga f x + y xy + f xy f x + y θ( x p + y p )

63 utuk θ > 0, p [0,) da x, y R, maka fugsi A: R R additive yag tuggal, sedemikia higga f x A(x) θ p x p, x R Utuk membuktika teorema tersebut, maka harus ditujukka bahwa: 49. f x = adalah barisa Cauchy x R.. Jika A x = lim f x maka A adalah fugsi additive. 3. A memeuhi f x A(x) θ p x p, θ > 0, p (0,]. 4. A adalah fugsi yag tuggal. Aka ditujukka poi omor bahwa f x = adalah barisa Cauchy x E Dimisalka y = 0, da diasumsika f 0 = 0 maka f x + f 0 f x < θ( x p + 0 p ) f x f x p < θ x x R. Jika x adalah sebarag titik di R, maka x juga adalah sebarag titik di R sehigga pertaksamaa di atas tetap berlaku jika meggati x dega x da membagi kedua ruas, maka f x f x < θ x p Berdasarka sifat simetris pada ruag metrik pertaksamaa di atas dapat dituliska sebagai f x f x < θ p x

64 50 Jika > m utuk da m bilaga bulat o egatif, maka f x m f(m x) = f x + f + x + + f + x + f + x + f m m x + f m m x m f(m x) f x + f(+ x) + + f + x + f(+ x) + + f m m x m f(m x) = f x f(+ x) + + f x f(+ x) + + m + f m+ x f(m x) θ + x p + + θ + x p + + m θ m x p = p θ x p + p + θ + x p + + p m θ m x p = p θ = p θ p p(+) p x p(m ) m x p m kp k k= Jika m da p [0,) maka p θ x m k= 0 sehigga k lim m f x f m x = 0. m Oleh karea itu f x = adalah barisa Cauchy di R. Karea R adalah ruag Real, da berdasarka pembuktia yag telah dilakuka sebelumya dapat dikataka bahwa setiap barisa Cauchy koverge da limitya ada.

65 Selajutya aka dibuktika poi omor yaki jika A x = lim f x maka A adalah fugsi additive. 5 A x + y A x A(y) = lim f (x + y) f x f y = lim f (x + y) f x f y = lim f (x + y) f x f y lim θ( x p + y p ) = 0 Maka terbukti A adalah fugsi additive x, y R. Selajutya aka dibuktika poi omor 3 yaitu A memeuhi A x f(x) θ p x p A x f(x) = lim f x f(x) = lim f x f(x) p θ lim x p kp k k=0 = p θ x p kp lim k = p θ x p lim k=0 p k k=0 = p θ x p lim + k= p k

66 5 = p θ x p lim + p p = p θ x p lim + p p p = p θ x p lim + p = p θ x p lim p + p = p θ x p p p θ = p x p = = θ p θ p p x p x p = p θ p x p Karea p <, p [0,) maka A x f(x) θ p p x Selajutya aka dibuktika poi omor 4 bahwa A adalah fugsi yag tuggal. Diasumsika A tidak tuggal, maka aka ada fugsi additive yag lai yaitu B: R R yag memeuhi B x f(x) θ p x p, x R. A x B(x) = A x f x + f x B(x) A x f x + f x B(x)

67 53 = θ p x p + θ p x p 4θ p x p Karea A da B adalah fugsi additive maka A x B(x) = = A x A x B x B x = A x B x 4θ p x p lim A x B(x) lim 4θ p x p A x B(x) 0 Sehigga A x = B x, x R. Oleh karea itu terbukti bahwa A adalah fugsi additive yag tuggal. Sehigga persamaa fugsioal Jese-Hosszú adalah stabil berdasarka Teorema Rassias. 3. Kestabila dari Cotoh Fugsi yag Memeuhi Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Pada subbab.4. telah dipaparka salah satu cotoh fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú yaki f x = x + 3, x R. Di bawah ii aka ditujukka pembuktia kestabila cotoh fugsi tersebut dega megguaka teorema Hyers da teorema Rassias.

68 3.. Kestabila dari Cotoh Fugsi yag Memeuhi Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Berdasarka Teorema Hyers 54 f x + y xy + f xy f x + y = x + y xy xy + 3 = x y + 6 x + y 6 = 0. x + y + 3 Karea utuk setiap δ > 0, maka terbukti bahwa cotoh fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú tersebut memeuhi pertaksamaa f x + y xy + f xy f x + y δ. Misalka x = f x N adalah suatu barisa di R dega R adalah ruag Real, aka ditujukka bahwa {x } adalah barisa Cauchy. Utuk setiap ε > 0, pilih H >, maka, m H dapat dikataka bahwa ε < ε da ε. Oleh karea itu aka diperoleh H m H f x f m x m = x + 3 m x + 3 m = x x m = 3 3 m m = m + m < ε + ε < ε Jadi dapat dikataka bahwa x = f x N di R adalah barisa Cauchy. Karea R adalah ruag Real, maka barisa Cauchy-ya koverge da limitya ada. Maka aka ada suatu fugsi A: R R dega A x = lim f x, x E. Selajutya aka ditujukka bahwa A: R R merupaka fugsi additive.

69 55 A x + y A x A y = lim f x + y f x f( y) = lim f (x + y) f x f( y) = lim f (x + y) f x f( y) = lim x + y + 3 x + 3 y + 3 = lim x + y x + 3 x 3 y 3 = lim 3 3 = lim = 0 Jadi A x + y A x A y = 0. Berdasarka sifat kedua pada ruag berorma, maka diperoleh A x + y A x A y = 0 sehigga A x + y = A x A y. Dari defiisi.4.., maka dapat ditujukka bahwa A merupaka fugsi additive. Selajutya aka ditujukka bahwa A memeuhi f x A(x) δ, x R. f x A(x) = f x lim f x = x + 3 lim f x = x + 3 f(x)

70 56 = x + 3 x 3 = 0 = 0 Karea δ > 0, maka f x A(x) δ. Adaika A tidak tuggal, maka aka ada fugsi additive yag lai B: R R sedemikia higga f x B x δ x R. A x B(x) = A x f x + f(x) B(x) A x f x + f x B x = f x A x + f x B x δ + δ Jadi, A x B(x) δ. A x B(x) = lim A x B( x) = lim A x B( x) = lim δ = δ lim = 0 di maa N. Karea A x B(x) 0 da berdasarka pada sifat kedua pada ruag berorma maka

71 57 A x B x = 0 A x = B x, x R. Jadi terbukti bahwa A tuggal, sehigga terbukti bahwa cotoh dari fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú tersebut stabil berdasarka teorema Hyers. 3.. Kestabila dari Cotoh Fugsi yag Memeuhi Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Berdasarka Teorema Rassias f x + y xy + f xy f x + y = x + y xy xy + 3 = x y + 6 x + y 6 = 0 x + y + 3 Karea utuk setiap θ > 0, p [0,) maka terbukti bahwa cotoh fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú tersebut memeuhi pertaksamaa f x + y xy + f xy f x + y θ x p + y p. Misalka x = f x N adalah suatu barisa di R, aka ditujukka bahwa {x } adalah barisa Cauchy. Utuk setiap θ > 0, pilih H >, maka, m H dapat dikataka bahwa θ < θ da θ. Oleh karea itu aka diperoleh H m H f x f m x m = x + 3 m x + 3 m = x x m = 3 3 m m = m + m < θ + θ < θ

72 Jadi dapat dikataka bahwa x = f x N di R adalah barisa Cauchy. Karea R adalah ruag Real, maka barisa Cauchy-ya koverge da limitya ada. Maka aka ada suatu fugsi A: R R dega A x = lim f x, x E. Selajutya aka ditujukka bahwa A: R R merupaka fugsi additive. A x + y A x A y 58 = lim f x + y f x f( y) = lim f (x + y) f x f( y) = lim f (x + y) f x f( y) = lim x + y + 3 x + 3 y + 3 = lim x + y x + 3 x 3 y 3 = lim 3 3 = lim = 0 Jadi A x + y A x A y = 0. Berdasarka sifat kedua pada ruag berorma, maka diperoleh A x + y A x A y = 0 sehigga A x + y = A x A y. Dari defiisi.4.., maka dapat ditujukka bahwa A merupaka fugsi additive.

73 59 Selajutya aka ditujukka bahwa A memeuhi f x A(x) θ p x p, x R. f x A(x) = f x lim f x = x + 3 lim f x = x + 3 f(x) = x + 3 x 3 = 0 Karea θ > 0, p [0,), maka f x A(x) θ p x p. Adaika A tidak tuggal, maka aka ada fugsi additive yag lai B: R R sedemikia higga x R. f x B x θ p x p A x B(x) = A x f x + f(x) B(x) A x f x + f x B x = f x A x + f x B x θ p x p + θ p x p Jadi, A x B(x) θ p x p. A x B(x) = lim A x B( x)

74 60 = lim A x B( x) θ = lim p x p = θ p x p lim = 0 di maa N. Karea A x B(x) 0 da berdasarka sifat kedua pada ruag berorma maka A x B x = 0 A x = B x, x R Jadi terbukti bahwa A tuggal, sehigga terbukti bahwa cotoh dari fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú tersebut stabil berdasarka teorema Rassias. 3.3 Kaita Kestabila Persamaa Fugsioal da Bumi dalam Padaga Islam Suatu persamaa fugsioal dapat diaplikasika apabila persamaa tersebut stabil. Jika suatu persamaa fugsioal dikataka tidak stabil maka persamaa tersebut tidak dapat diaplikasika. Pembahasa di atas meujukka bahwa persamaa fugsioal Jese-Hosszú bersifat stabil sehigga persamaa fugsioal ii dapat diaplikasika. Hal ii selaras dega bumi, yag maa jika bumi sebagai tempat tiggal makhluk hidup berada dalam keadaa yag tidak stabil maka bumi tidak dapat ditiggali.

75 6 Di dalam al-qura terdapat bayak ayat yag membahas tetag bumi. Ayat-ayat tersebut telah membicaraka fakta-fakta ilmiah tetag bumi yag belum terugkap ketika al-qura dituruka. Salah satuya adalah bagaimaa Allah Swt. telah meciptaka guug sebagai peyetabil bumi yag dapat dilihat pada surat a-naba /78:7 da surat Qaaf/50:7. Pada awalya, guug didefiisika sebagai ladform yag sagat tiggi yag dicirika dega peojola tiggi di atas daerah sekeliligya, amu al- Qura memberika gambara yag berbeda tetag guug. Guug disebutka sebagai peyetabil bumi yag mejaga permukaa bumi agar tidak bergocag, sebagai tiag pacag yag memacag bumi ke bawah dega ama. Feomea ii mulai terugkap pada pertegaha abad ke-9, George Airy (865) megadaka peelitia yag megataka bahwa bumi terdiri dari lempeglempeg lithosfer yag bergerak secara horizotal dega kecepata yag tidak sama da suatu saat aka bertubruka. Adaya guug ii memperlambat gerak lithosfer sehigga tidak terjadi tubruka yag lebih drastis, sehigga di sii guug berfugsi sebagai tiag pacag yag meguatka bumi dari gocagagocaga yag lebih kuat (Kauia, 005:89). Dapat dikataka bahwa jika bumi tidak memiliki guug, maka bumi aka selalu megalami gucaga-gucaga yag maa dalam keadaa tersebut bumi tidak dapat ditiggali. Namu Allah Swt. telah meciptaka guug, pu mejelaskaya dalam al-qura bahwa guug adalah sesuatu yag diciptaka utuk meyetabilka bumi, agar padaya seluruh makhluk hidup dapat tiggal dega ama da yama.

76 و Guug yag berpera sebagai peyetabil bumi teryata memiliki pergerakaya sediri yag terkadag meimbulka gempa bumi maupu guug meletus. Mausia serigkali meyebut feomea gempa bumi da guug meletus sebagai suatu becaa. Becaa meurut Kamus Besar Bahasa Idoesia adalah sesuatu yag meyebabka kesusaha, kerugia, atau pederitaa. Namu jika mausia mecari maka dari apa-apa yag terjadi padaya, maka ia aka meemuka bahwa sesugguhya ada ikmat Allah Swt. yag dituruka melalui ujia (becaa). Hal tersebut dapat dilihat dalam al-qura surat al-baqarah/:6 yag berbuyi: و و ج ل يك ى و ع ج ل هق و ا ج ل ج ل و شي ا و و و ع س أ و و ت و ك و و و ج ل ى ك و خي ج ل ه و أ و و ت ا و و ع س ٢١٦ ج ل ى ك ج ل ه ه و ل و ٱ 6 ل و ل ه ك ى ج ل و ج ل و و و شي و و ت ج ل و و و و و ج ل ى ل و ي ج ل و و ى و أ Diwajibka atas kamu berperag, padahal berperag itu adalah sesuatu yag kamu beci. Boleh jadi kamu membeci sesuatu, padahal ia amat baik bagimu, da boleh jadi (pula) kamu meyukai sesuatu, padahal ia amat buruk bagimu; Allah Swt. megetahui, sedag kamu tidak megetahui (Qs. al-baqarah/:6). Jika terjadi aktifitas gempa yag terlalu bayak maka aka megakibatka makhluk hidup aka biasa, amu jika tidak ada aktifitas sama sekali maka baha makaa yag ada di dasar laut yag dihayutka oleh alira sugai tidak aka didaur ulag ke darata melalui pegagkata tektoik. Setiap perubaha yag terjadi pada bumi aka selalu memberi dampak pada makhluk hidup yag tiggal di dalamya, amu tidak selamaya dampak tersebut adalah dampak egatif. Perubaha yag terjadi pada bumi sesugguhya adalah siklus alami yag memag harus terjadi demi mejaga stabilitasya sebagai tempat tiggal seluruh makhluk hidup (Yahya, 004:78). Allah Swt. juga mejelaska pada surat al-hadid/57: -3 yag berbuyi:

77 63 ي ي أ و و ص و ا ي ي و و ٱ و سي ٢٢ ل ه و مي ج ل سك ى ج ل ج ل و ر و و ي ف أ صي و ة ف ٱ و ل و و ي و و ت و ك ج ل و س ج ل ا ل ع و ت ج ل و ب أ و و ي ق و ج ل ن أ و و ن يل ل ف ل ت و ج ل ى و ل و ت و ج ل و ا ب و ي و ات و ك ى ج ل و و و و ٱ و ك ل ع و ذ ج ل و ا و ء ر و ك ٱ ل Tiada suatu becaapu yag meimpa di bumi da (tidak pula) pada dirimu sediri melaika telah tertulis dalam kitab (Lauhul Mahfuzh) sebelum Kami meciptakaya. Sesugguhya yag demikia itu adalah mudah bagi Allah Swt. (). (Kami jelaska yag demikia itu) supaya kamu jaga berduka cita terhadap apa yag luput dari kamu, da supaya kamu jaga terlalu gembira terhadap apa yag diberika-nya kepadamu. Da Allah Swt. tidak meyukai setiap orag yag sombog lagi membaggaka diri (3) (Qs.al-Hadid/57: - 3). Dari dua buah ayat tersebut dapat dilihat bahwa sesugguhya ilmu Allah Swt. tetag segala sesuatu sebelum terciptaya da catataya yag sesuai dega peristiwa yag aka terjadi di saat peristiwa itu terjadi adalah mudah saja bagi Allah Swt. karea Dia megetahui apa yag telah da aka terjadi da sesuatu yag tidak aka terjadi yag kalau saja terjadi maka pastilah Allah Swt. telah megetahuiya. Allah Swt. telah memberitahuka kepada kamu tetag ilmu-nya yag telah terdahulu da catata-nya yag telah ada terlebih dahulu tetag segala peristiwa sebelum terjadi, da ketetapa-nya terhadap alam ii sebelum terwujud, agar kamu megetahui bahwa apa yag meimpa diri kamu itu bukalah utuk meyalahka dirimu, da sesuatu yag tidak dialamatka kepadamu maka tidak aka meimpamu. Oleh karea itu, jagalah kamu berputus asa terhadap sesuatu yag luput darimu karea kalau saja Allah Swt. meakdirka suatu perkara maka pastilah terjadi. Jagalah kamu meyombogka diri kepada orag lai dega ikmat yag telah diberika kepada kamu itu. Karea ikmat itu datag bukalah karea usaha da jerih payah kamu. Sesugguhya itu terjadi adalah karea kuadrat Allah Swt. da rezeki-nya juga jagalah kamu jadika ikmat Allah ٢٣

78 64 Swt. itu utuk berbuat keburuka, keseweag-weaga, da kamu jadika wasilah utuk meyombogka diri di hadapa orag lai, yag maa itu adalah takabbur di hadapa orag lai da meudukka diri lebih tiggi dari mereka, aka tetap hedaklah kita sambut kebahagiaa itu dega rasa syukur, da kesediha dega rasa sabar (Ar-Rifa i, 000:606). Allah Swt. megetahui apa-apa yag belum, sedag, da aka terjadi di seluruh alam semesta ii, tidak terkecuali di bumi. Begitu pula dega becaa alam yag sesugguhya sudah digariska oleh Allah Swt. da mausia haya dapat berusaha melaluiya da mecari hikmah padaya. Memag becaa alam bayak memberika dampak buruk yag besar bagi mausia baik dari segi fisik maupu psikis, amu hal tersebut bukalah alasa bagi mausia utuk berputus asa da berburuk sagka kepada Allah Swt.. Sesuatu yag sepertiya sagat rumit da sulit bagi mausia sesugguhya sagat mudah bagi Allah Swt.. Oleh karea itu hedakya mausia selalu berpikir tetag apa-apa yag terjadi di bumi da tidak meyombogka diri karea segala apa yag diciptaka oleh Allah Swt. semua sudah ada takaraya da sudah yag terbaik utuk mausia.

79 BAB IV PENUTUP 4. Kesimpula Berdasarka pembahasa pada bab sebelumya, maka dapat diambil kesimpula megeai kestabila persamaa fugsioal Jese-Hosszú sebagai berikut:. Dega megguaka kosep kestabila Hyers-Ulam dapat dibuktika bahwa persamaa fugsioal Jese-Hosszú stabil dega idikator: a. f x = adalah barisa Cauchy x R. b. Jika A x = lim f x maka A adalah fugsi additive. c. A memeuhi f x A(x) δ, δ > 0. d. A adalah fugsi yag tuggal. Begitu pula dega megguaka kosep kestabila Hyers-Ulam-Rassias dapat dibuktika bahwa persamaa fugsioal Jese-Hosszú stabil dega idikator: a. f x = adalah barisa Cauchy x R. b. Jika A x = lim f x maka A adalah fugsi additive. c. A memeuhi f x A(x) θ p x p, θ > 0, p (0,]. d. A adalah fugsi yag tuggal.. Cotoh fugsi yag memeuhi persamaa fugsioal Jese-Hosszú adalah f: R R, f x = x + 3, x R. Setelah diaalisis dega megguaka 65

80 kosep kestabila Hyers-Ulam da Hyers-Ulam-Rassias dapat diketahui bahwa cotoh fugsi tersebut stabil Sara Pada peelitia ii haya dibahas megeai kestabila persamaa fugsioal Jese-Hosszu. Dalam peelitia selajutya dapat diteliti megeai aplikasi dari persamaa fugsioal Jese-Hosszu ataupu meeliti kestabila dari persamaa fugsioal lai yag masih belum diketahui kestabilaya.

81 DAFTAR PUSTAKA Al-Mosadder, R.S. 0. O Stability of Some Types of Fuctioal Equatios, Gaza. Gaza: Islamic Uiversity of Gaza. Ar-Rifa i, N Kemudaha dari Allah, Rigkasa Tafsir Ibu Katsir Jilid 4. Jakarta: Gema Isai. Bartle, R.G da Sherbert, D.R Itroductio to Real Aalysis. New York: Joh Wiley & Sos. Ic. Colema, R. 0. Calculus o Normed Vector Spaces. Lodo: Spriger Sciece+Busiess Media New York. Darmawijaya, S Pegatar Aalisis Abstrak. Yogyakarta: Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam UGM. Jug, S.M. 0. Hyers-Ulam-Rassias Stability of Fuctioal Equatios i Noliear Aalysis. Lodo: Spriger Sciece+Busiess Media. Kauia Book Review Prespektif Islam Tetag Sais. Yogyakarta: UIN Sua Kalijaga. Komiek, Z O a Jese Hosszú Equatio. Aales Mathematicae Silesiaae, 3: Sahoo, P.K da Kaapa, P. 0. Itroductio to Fuctioal Equatio. New York: CRC Press. Yahya, H Pustaka Sais Populer Islami, Peciptaa Alam Semesta. Terjemaha Ary Niladari. Badug: Dzikra. 67

82 RIWAYAT HIDUP Zukhrufu Nadhifa, lahir di kota Depasar pada taggal 6 November 993, biasa dipaggil Dhifa, tiggal di Malag Jl. Sua Ampel No.9 Kota Malag. Aak ketiga dari lima bersaudara dari Bapak Rudiyato da Ibu Nurul Rodiaa. Pedidika dasarya ditempuh di MIN Malag I da lulus pada tahu 005, setelah itu melajutka ke MTsN Negeri Malag I da lulus tahu 008. Kemudia melajutka pedidika ke SMAN 8 Malag da lulus tahu 0. Selajutya, pada tahu 0 meempuh kuliah di Uiversitas Islam Negeri Maulaa Malik Ibrahim Malag megambil Jurusa Matematika. Selama mejadi mahasiswa, dia perah aktif di orgaisasi HMJ Matematika da mejadi asiste praktikum dalam ragka megembagka kompetesi akademikya.

83 KEMENTERIAN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajayaa No. 50 Dioyo Malag Telp./Fax.(034) BUKTI KONSULTASI SKRIPSI Nama : Zukhrufu Nadhifa Nim : Fakultas/Jurusa : Sais da Tekologi/Matematika Judul Skripsi : Kestabila Persamaa Fugsioal Jese-Hosszú Pembimbig I : Hairur Rahma, M.Si Pembimbig II : Fachrur Rozi, M.Si Taggal Hal Tada Taga. 8 Maret 05 Kosultasi Bab I & Bab II.. 3 Maret 05 Revisi Bab I & Bab II April 05 Kosultasi Agama Bab I April 05 Kosultasi Bab III Mei 05 Kosultasi Agama Bab II Mei 05 Revisi Agama Bab I Agustus 05 Kosultasi Bab III Agustus 05 Kosultasi Bab III Agustus 05 ACC Bab I & Bab II Agustus 05 Revisi Agama Bab II September 05 Kosultasi Agama Bab III.. Oktober 05 Revisi Agama Bab III Desember 05 ACC Agama Keseluruha Jauari 06 ACC Keseluruha 4. Malag, Jauari 06 Megetahui, Ketua Jurusa Matematika Dr. Abdussakir, M.Pd NIP