ANALISIS KINERJA INTEGRATOR SDIRK DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK PERSOALAN YANG KAKU (STIFF PROBLEM)

Transkripsi

1 ANALISIS KINERJA INTEGRATOR SDIRK DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK PERSOALAN YANG KAKU (STIFF PROBLEM) Alhadi B. * dan T. Baaruddin ** ABSTRAK ANALISIS KINERJA INTEGRATOR SDIRK DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK PERSOALAN YANG KAKU (STIFF PROBLEM). Pada tulian ini akan dibaha alah atu metode Runge-Kutta impliit 4-tahap indek-ingly diagonally implicit runge-kutta (SDIRK) untuk menyeleaikan item peramaan diferenial biaa (SODE). Peroalan yang kaku (tiff problem) membutuhkan metode yang ukuran langkahnya tidak dibatai oleh tabilita metode. Kita mengharapkan metode ini berifat A-table karena tidak memiliki pembataan tabilita dalam menyeleaikan y'=λy dimana Reλ>0 dan h>0, ehingga dengan memilih fungi tabilita yang euai kita akan memperoleh kontanta yang cocok (γ) dalam membentuk integrator SDIRK untuk menyeleaikan SODE. Untuk prediki kealahan digunakan metode dengan order yang lebih rendah, yaitu metode embedded -tahap yang diambil dari tahapan internal SDIRK. Strategi pemilihan ukuran langkah diadopi dari trategi yang diperkenalkan oleh Hall [996:6]. Algoritma yang diuun dalam tulian ini diimplementaikan menggunakan perangkat lunak MATLAB 5.3 yang berjalan di ata item operai Window95. Ukuran-ukuran uji kinerja yang digunakan adalah akurai dari kealahan pemotongan lokal; dan evaluai efiieni metode berdaarkan hail-hail tatitik berupa: jumlah langkah (diterima/ditolak), jumlah pemanggilan fungi, rata-rata iterai Newton, dan waktu yang digunakan. Hail dari ekperimen numerik menunjukkan bahwa SDIRK berifat tabil tanpa yarat. Dengan menggunakan trategi pengontrolan langkah dari Hall dapat dilihat bahwa metode ini dapat diimplementaikan ecara efiien, pada waktu menggunakan parameter yang euai. ABSTRACT INTEGRATOR PERFORMANCE ANALYSIS IN SOLVING STIFF DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEM. In thi paper we dicu the four-tage index- ingly diagonally implicit Runge-Kutta method, which i ued to olve tiff ordinary differential equation (SODE). Stiff problem require a method where tep ize i not retricted by the method' tability. We deire SDIRK to be A- table that ha no tability retriction when olving y'= λy with Reλ>0 and h>0, o by chooing uitable tability function we can determine appropriate contant (γ) to formulate SDIRK integrator to olve SODE. We elect the econd tage of the internal tage a embedded method to perform low order etimate for error predictor. The trategy for chooing the tep ize i adopted from the trategy propoed by Hall(996:6). And the algorithm that i developed in thi paper i implemented uing MATLAB 5.3, which i running on Window95 environment. Our performance meaurement local truncation error accuracy, and efficiency were evaluated by tatitical reult of um of tep, um of calling function, average of Newton iteration and elaped time.a the reult, our numerical experiment how that SDIRK i unconditionally table. By uing Hall' tep ize trategy, the method can be implemented efficiently, provided that uitable parameter are ued. * Juruan Matematika, FMIPA Univerita Indoneia ** Fakulta Ilmu Komputer Univerita Indoneia

2 PENDAHULUAN Ada banyak permaalahan dalam dunia nyata yang dapat diformulaikan dalam bentuk peramaan diferenial. Bentuk peramaan diferenial terebut pada umumnya dapat dieleaikan ecara analiti ataupun pendekatan numerik, tetapi penyeleaian ecara analiti terebut biaanya cukup ulit ehingga untuk lebih memudahkan digunakan pendekatan olui ecara numerik. Akibatnya banyak ekali berkembang variai metode dan integrator untuk olui pendekatan numerik itu, termauk di antaranya metode impliit Runge-Kutta dengan integratornya berupa ingly diagonally implicit Runge-Kutta (SDIRK) [Burrage, K., 999] yang akan akan dibaha dalam paper ini. Tujuan dari penulian paper ini adalah untuk membaha perancangan program dan analia kinerja dari integrator SDIRK untuk mencari penyeleaian numerik dari item peramaan diferenial biaa yang kaku (tiff ordinary differential equation- SODE). METODE SDIRK Metode impliit digunakan untuk mengatai keterbataan metode ekpliit dalam menyeleaikan problem yang kaku. Suatu maalah nilai awal (initial value problem-ivp) y'(x)=f(y(x)), y(x 0 )=y 0, f:r m R m dikatakan kaku bila (x f -x 0 )L>>; L=Konanta Lipchitz. Atau jika nilai ciri (eigen value) dari matrik Jacobi-nya negatif dan terdapat perbedaan yang bear antara bagian real dari nilai-nilai cirinya, yaitu: Max Reλ S ( x) = >> [Spijker, 996] Min Reλ Secara grafi jika untuk uatu maalah grafinya turun (decay) maka akan terjadi penurunan dengan laju penurunan ebear λ i artinya emakin bear λ i maka emakin bear penurunan yang terjadi ehingga untuk maalah yang kaku akibat perbedaaan yang bear antara nilai ciri λ i maka terjadi perubahan yang bear dan penurunan yang cepat pada elang tertentu. Untuk menjaga akurai maka pada elang dengan penurunan yang cepat ini diperlukan trategi pengambilan ukuran langkah (tep ize) yang kecil, tetapi untuk elang tertentu yang penyeleaiannya berjalan

3 dengan lambat atau kontan maka untuk lebih efiien digunakan ukuran langkah yang lebih bear. Metode yang paling ering digunakan untuk menyeleaikan maalah yang kaku ini adalah metode impliit Runge-Kutta dengan berbagai variainya termauk SDIRK yang akan dibaha lebih lanjut dalam paper ini. INTEGRATOR SDIRK Integrator SDIRK yang digunakan ebagai bahan penelitian dan pembahaan dalam paper ini diambil dari hail penelitian berama dari William R., Burrage K., Cameron I., and Kerr M., 999 yaitu four-tage index- SDIRK. Dalam bentuk tabel Butcher dapat dinyatakan ebagai berikut: 0 0 γ γ γ 6 γ + + 4γ 4γ γ 4γ γ 6γ γ (4γ 6γ 6γ + 6γ 3 γ ANALISA STABILITAS Karena metode ini mempunyai ifat A-table [Burrage K., 999, 6] maka metode ini tidak mempunyai pembataan tabilita pada penyeleaian y' = λy dengan Reλ < dan h > 0. Kondii ini diperoleh kalau fungi tabilita dari metode Runge- Kuttanya memenuhi: R(iy) untuk emua y riil; dan R(z) adalah analitic untuk Rez < 0 Untuk metode ini fungi tabilitanya menjadi: 3 ( γ 3 + 3γ γ + ) z 3 + (3γ 3γ + ) z + ( 3γ + ) z+ R( z) = 6 ( zγ ) 3

4 Sehingga untuk memenuhi ifat A-table kita bia memilih γ ebagai berikut: γ [/3, θ], dengan θ dimana θ adalah akar nol terbear dari: y + 3y y Jika kita memilih γ maka lim R( z) = 0 x maka metode ini akan menjadi L-table, ehingga untuk permaalahan yang angat kaku (highly Stiff Problemi) maka metode ini akan dapat menahan kecepatan oilai dari kealahan komputainya. 3 ESTIMASI KESALAHAN LOKAL Untuk etimai kealahan lokal dalam mengontrol panjang langkah digunakan metode embedded econd-tage dari integrator SDIRK di ata yaitu: 0 0 γ γ γ Karena metode ini juga berifat A-table dan tiffly accurate ehingga dapat digunakan dengan baik untuk memprediki kealahan olui pada orde lebih rendah. Kealahan pemotongan lokal (LTE) yang diperoleh didefinikan menjadi: LTE = y four-tage - y econd-tage Jika dipilih γ = dan c = maka fungi tabilitanya menjadi: z ( + ) Rˆ( z) = z ( )

5 dan emua elemen dari integrator dapat dipenuhi ehingga bentuk akhir dari tabel Butcher menjadi: 0 0 / / 3/ 5/8 3/8 / 7/8 /3 -/9 / STRATEGI PENGENDALIAN UKURAN LANGKAH Untuk efiieni maka ukuran langkah yang digunakan berubah-ubah euai berdaarkan nilai etimai kealahan lokal yang diperoleh. Jika kealahan lokal yang diperoleh melebihi nilai tolerani (TOL) maka ukuran langkah dikurangi kemudian iterai diulang kembali ampai memenuhi nilai tolerani yang diberikan, ebaliknya jika nilai kealahan lokal yang diperoleh terlalu kecil maka untuk iterai berikutnya ukuran langkahnya diperbear dengan rumu h n+ 3.3 TOL θ = γ LTE / p h n dengan γ 5 dan θ = 0.5 (Hall. 995) ALGORITMA Jika K = ( K ( f(k ) T T T T m,..., K ) R dan F(K) =,... f ( K ) maka metode RK dapat dituli dalam notai tenor menjadi y K = e y + h( A I n+ n T ) T ) F ( K) T = yn + h( b I m ) F ( K) m

6 Sitem peramaan ini dieleaikan dengan kema modifikai iterai Newton. Jika j = f '( yn ) dan pada akhir uatu iterai, K i +δ i, maka K pada etiap iterai diperoleh dari penyeleaian item peramaan linier; ( I i I dengan ψ m = K ha J) δ i + y n + h j = δ = = = ψ a ij f ( K ) T t T T T ( δ,..., δ ), ψ ( ψ,..., ψ Untuk mendapatkan nilai δ, item peramaan linier di ata dieleaikan dengan faktoriai LU dari matrik rua kiri yang diikuti dengan forward dan back ubtitui. Algoritma lebih rinci adalah ebagai berikut: ODESDIRK(ypfun, tpan, y0, gama, pow, tol, trace); Tentukan integrator SDIRK untuk Y dan Ycap: [A,c,A,c]=intdirk(gama); Tentukan tebakan awal Y0, waktu awal t0 dan waktu akhir tfinal While t < tfinal if t>tfinal-h then h=tfinal-t. Hitung Ycap dengan integrator SDIRK A. [Ycap,fYcap,nwf,nwtep]=newton(ypfun,t,ycap,h,A,Y cap,tol,trace); Hitung Y dengan integrator SDIRK A. [Y,fY,nw4f,nw4tep]=newton4(ypfun,t,y,h,A,Y,tol,trace ); Hitung LTE err=norm((ycap-y),inf); If (5LTE5 < TOL) terima Y, lanjutkan integrai t t+h, Y0=Y; If (5LTE5 tidak 0) hitung ukuran langkah baru; h baru min(hmax,((3.3/4)*(0.5*tol/err)^(/5))*h lama ) if (h baru < h min ) top End While 4. IF t < tfinal, "ingularity likely", top 5. Diplay output: Y,h, tatitic 6. END j ) T

7 EKSPERIMEN NUMERIK Implementai Implementai dilakukan dengan menggunakan MATLAB 5. dilingkungan Window95. Program dibuat ecara modular dengan parameter-parameternya yang memungkinkan untuk melakukan te dan pemanggilan maing-maing fungi-fungi uji ecara terpiah dari program utama. Dengan demikian kita dapat menggunakan beberapa fungi uji dari MATLAB untuk tiffne problem (lihat lampiran). Maalah Uji Uji coba dilakukan untuk mengevaluai dan menganalia dua maalah utama. Melihat pengaruh variai nilai p dari trategi pengontrolan langkah dan variai nilai gama dari integrator SDIRK. Berdaarkan (Burrage, 999) nilai gama yang paling optimal adalah , untuk mengevaluai hail ini maka dilakukan percobaan numerik dengan nilai gama yang lebih kecil, ama dan yang lebih bear dari kemudian dilakukan analia terhadap kinerja yang terjadi.. Melihat kinerja dari integrator SDIRK dengan menggunakan nilai gama, p dan bata tolerai kealahan yang tandar terhadap beberapa fungi uji ODE yang yang kaku. Fungi-fungi uji ini diambil langung dari putaka fungi MATLAB 5. dalam direktori..\matlabr\toolbox\matlab\demo\(lihat lampiran), elanjutnya dilakukan uji coba dan evaluai kinerja dari Integrator SDIRK untuk maing-maing fungi uji terebut. HASIL DAN ANALISA Maalah Uji Hail ekperimen untuk evaluai kinerja integrator dari maalah dapat dilihat pada tabel. Sedangkan hail plot grafik untuk olui dan panjang langkah dapat dilihat pada lampiran. Dari ekperimen numerik ini dapat diperoleh beberapa keimpulan awal bahwa kinerja integrator SDIRK menjadi lebih baik untuk nilai p=3, edangkan nilai gama = eperti yang diarankan Burrage,999 ternyata memberikan hail yang lebih baik jika dibandingan dengan nilai gama yang lebih kecil atau yang lebih bear dari nilai terebut. Dari grafik terlihat bahwa ukuran langkah pada interval [0.5; ] relatif lebih bear dan teru membear ecara monoton etelah fluktuai olui pada interval ini

8 ecara perlahan dan teratur berubah menjadi tabil, mendekati kontanta tertentu. Sebaliknya untuk interval [0;0.5] terlihat olui berfluktuai dengan cepat dan kaku akibatnya panjang langkah yang digunakan untuk daerah ini relatif lebih kecil. Dari grafik terlihat juga bahwa perubahan nilai gama yang digunakan untuk integrator SDIRK memberikan efek pada bearnya panjang langkah yang digunakan. Makin bear nilai gama maka ukuran langkah menjadi relatif lebih kecil, rata-rata jumlah iterai Newtonnya lebih kecil dan akurai LTE meningkat tetapi berkibat pada menurunnya efiieni metoda karena jumlah dan waktu iterai meningkat dengan tajam. Secara umum integrator ini dapat menangani peroalan ODE yang kaku dengan baik, terbukti dengan edikitnya jumlah langkah yang ditolak dan nilai makimum LTE yang cukup kecil pada maing-maing kau. Kinerja terburuk untuk data percobaan ini diperoleh untuk p=4 dan gama=* , edangkan kinerja terbaik diperoleh untuk p=3 dan gama= Tabel. Data Statitik Percobaan Numerik untuk Variai Pow dan Integrator SDIRK N o Parameter Jml. Jumlah h diterima Jumlah h ditolak Jml Newton Ratarata Newton Waktu (econd) LTE mak pow gama SDIRK /4 0.8*gama e-005 /4 gama e /4 *gama e /3 0.8*gama e /3 gama e /3 *gama e-005 Default: Tolerani: Tol =.e-3; Gama Integrator SDIRK: gama = ( /3 < gama < Burrage, 999) Maalah Uji Hail ekperimen untuk evaluai kinerja integrator dari maalah dapat dilihat pada tabel. Dari tabel dapat diamati bahwa integrator SDIRK dapat menangani kedelapan fungi uji ODE yang kaku dengan baik. Hal ini dapat dilihat dari jumlah langkah yang ditolak relatif angat kecil << 0 dibandingkan dengan jumah iterainya. Rata rata jumlah iterai newton juga relatif kecil < dan makimum LTE yang diperoleh juga relatif kecil dari tolerani default yang diberikan <<.e-003.

9 Strategi pengontrolan langkah untuk maalah kekakuan juga dapat berjalan dengan baik. Dari grafik maing-maing olui dan grafik panjang langkah h dapat dilihat bahwa ukuran langkah relatif kecil pada interval yang oluinya menunjukkan gejala kekakuan/berfluktuai ecara tajam. ebaliknya untuk interval yang oluinya relatif tabil/mendekati kontanta tertentu terlihat ukuran langkah yang digunakan relatif lebih bear. Namun demikian, ukuran langkah akan elalu berubah baik dalam kondii diterim ataupun ditolak. Untuk peroalan kekakuan pada ODE yang oluinya berulang ecara periodik (mi: Van der Poll ODE) dapat dilihat bahwa trategi pengontrolan langkahnya juga berulang ecara periodik membear atau mengecil mengikuti gejala kekakuan pada olui terebut. Secara umum integrator SDIRK ini dapat menangani peroalaan kekakuan pada ODE dengan baik, baik untuk kau fungi uji dengan jumlah variabel yang relatif kecil (VDPODE, A3ODE,.CHM7ODE), jumlah varibel yang edang 6 (CHM6ODE, B5ODE, CHM9ODE), dan jumlah variabel yang relatif cukup bear > 7 (BRUSSODE, AODE) Penuli telah melakukan perbandingan maing-maing kau dengan variai nilai p dan gama dari integrator SDIRK, tetapi karena keterbataan yang ada hailnya tidak penuli munculkan dalam paper ini, namun demikian dari hail uji coba ementara yang penuli lakukan ternyata nilai gama = memberikan kinerja yang paling baik untuk beberapa kau yang penuli teliti terebut. Tabel : Data Statitik Percobaan Numerik untuk Variai Fungi ODE No ODE Jml. Jumlah h diterima Jumlah h ditolak Jml Newton Ratarata Newton Waktu (econd) LTE mak PDVODE e-004 CHM6ODE e B5ODE e BRUSSODE e CHM7ODE e CHM9ODE e AODE e A3ODE e-004 Default: Tolerani: Tol =.e-3; pow=/3; Gama Integrator SDIRK: gama = ( /3 < gama < Burrage, 999)

10 KESIMPULAN Dari hail ekperimen dapat diimpulkan hal-hal berikut ini:. Integrator SDIRK untuk bataan nilai gama antara /3.d dalam ekperimen ini berifat tabil tanpa yarat dan memberikan kinerja yang paling baik untuk gama = Ukuran panjang langkah yang digunakan relatif kecil untuk interval daerah olui yang kaku dan ebaliknnya ukuran panjang langkah relatif bear/membear pada daerah yang tabil/ tidak kaku. 3. Perbedaan nilai p dan nilai gama yang digunakan berdampak langung pada kinerja, akurai dan efieieni metode. Secara umum nilai p yang kecil memberikan kinerja yang lebih baik, tetapi keakuratannya berkurang. Sedangkan nilai gama yang lebih lebih bear menyebabkan panjang langkah yang digunakan relatif lebih kecil ehingga keakuratannya meningkat, tetapi kinerjanya menjadi lambat karena jumlah iterai meningkat dengan tajam. 4. Secara umum kinerja integrator SDIRK ini baik karena jumlah langkah yang ditolak angat kecil (<< 0), baik untuk kau-kau fungi uji dengan jumlah variabelnya kecil ( ), edang ( 6), dan cukup bear (>7). 5. Ukuran panjang langkah elalu berubah baik untuk kondii ditolak atau diterima. 6. Ukuran panjang langkah akan berubah mengecil dan membear ecara periodik jika olui fungi uji ODE terebut juga berifat kaku ecara periodik. DAFTAR PUSTAKA. BURRAGE, K., WILLIAM R., CAMERON I., KERR M., A-Four Stage Index Diagonally Implicit Runge-Kutta Method, Laporan riet dari CAPEC (Computer Aided Proce Engineering Centre), Univerity of Quenland, Bribane Autralia, (999). BURRAGE K., Parallel and Sequential Mtehod for Ordinary Differential Equation, Clarendon Pre., Oxford, (995) 3. CAVALLO A., SETOLA R., VASCO F., Uing MATLAB, SIMULINK and Control Sytem Toolbox, Prentice Hall, (996) 4. D. HANSELMEN, B. LITTLEFIELD, Matering MATLAB 5, A Comprehenive Tutorial and Reference, Prentice Hall, (998)

11 5. E. HAIRER, S.P. NORSETT, G. WANNER, Solving Ordinary Differential Equation, Vol. II, Springer-Verlag, Berlin, (989) 6. HALL G., A new tep ize trategy for Rungge-Kutta Code, Dalam Numerical Analyi Report No 43 Dept of Mathematic -UMIST 7. L. F. SHAMPINE, Numerical Solution of Ordinary Differential Equation, Chaman & Hall, (994) 8. L. R. PETZOLD, Computer Method for Ordinary Differential Equation and Differential-Algebraic Equation, Siam Publ. (998)