Estimasi Parameter Model Regresi Spline

Transkripsi

1 Jurnal EKSPONENSIAL Volume, Nomor, Mei ISSN Etimai Parameter Model Regrei Spline Etimation of Parameter Spline Regreion Model M. Fathurahman Program Studi Statitika FMIPA Univerita Mulawarman mailfathur@yahoo.com Abtract Regreion analyi i frequently ued to knowledge influence of explanatory variable on the repone variable. here are two approache in regreion, parametric and nonparametric approach. If the information of regreion curve i not available, the nonparametric regreion approach can be applied. hi approach doe not depend on any regreion curve aumption. Spline regreion model i more flexible and one of the model with nonparametric approach, which i a modification from polynomial egment function. he reearch obective wa to determine etimator of parameter pline regreion model uing leat quare method and applied to cae of the effect tryout core on UNAS core of SMKN Samarinda tudent. he reult howed etimator of parameter pline regreion model with leat quare method i x x x y f x and pline regreion model to knowledge influence of tryout core on UNAS core of SMKN Samarinda tudent i,,99675,793463x,9659 7,3,65739( x 7,58, ,9 Baed on thi model, the effect of tryout core on UNAS core of SMKN Samarinda tudent i 8. percent with mean quare error, 7.3 percent. Keyword : Regreion, pline, nonparametric approach, core of tryout and UNAS. PENDAHULUAN Analii regrei merupakan alah atu teknik analii data dalam tatitika yang paling banyak digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel-variabel prediktor variabel reponnya (Kutner, Nachtheim dan Neter, 4. Untuk menelakan hubungan antara variabel prediktor variabel repon digunakan ebuah kurva, yang diebut kurva regrei. Kurva ini dapat diperoleh dua pendekatan, yaitu pendekatan regrei parametrik dan regrei nonparametrik. Pendekatan regrei parametrik digunakan ika bentuk kurva regrei diketahui. Kemudian kurva regrei ecara matemati diwakili oleh uatu bentuk model. Model pendekatan parametrik mempunyai keterbataan untuk mengetimai perubahan pola data yang tidak diharapkan. Jika aumi pemodelan pendekatan parametrik tidak terpenuhi, maka kurva regrei dapat dietimai menggunakan pendekatan nonparametrik. Salah atu model regrei pendekatan nonparametrik yang angat ering digunakan untuk melakukan etimai terhadap kurva regrei adalah regrei pline. Beberapa kelebihan dari regrei pline diantaranya adalah dapat menyeuaikan diri ecara efektif terhadap karakteritik lokal dari data (Budiantara dan Subanar, 997, dapat menggambarkan perubahan (piecewie pola perilaku dari fungi pada ub interval tertentu (Eubank,988 dan dapat digunakan untuk mengatai pola data yang menunukkan naik/turun yang taam bantuan titiktitik knot, erta kurva yang dihailkan relatif mulu (Hardle, 99. Berdaarkan uraian di ata, maka penelitian ini mengkai etimai parameter model regrei pline yang difokukan pada knot dan orde, yang penyeleaiannya menggunakan optimai leat quare. Kemudian penelitian ini dibatai pada etimai parameter model regrei pline linier untuk atu variabel prediktor atu titik knot, dua titik knot dan tiga titik knot. Kemudian untuk memilih model regrei pline terbaik adalah menggunakan kriteria nilai generalized cro validation (GCV terkecil. ANALISIS REGRESI Itilah regrei pertama kali dikemukakan oleh Sir Franci Galton (8-9, eorang antropolog dan ahli meteorologi terkenal dari Inggri. Dalam makalahnya yang berudul Regreion toward mediocrity in hereditary tature, yang dimuat dalam Journal of the Anthropological Intitute, volume 5, halaman 46 ampai 63, tahun 885. Galton menelakan bahwa bii keturunan tidak cenderung menyerupai bii induknya dalam hal bearnya, namun lebih medioker (lebih mendekati rata-rata lebih kecil daripada induknya kalau induknya bear dan lebih bear daripada Program Studi Statitika FMIPA Univerita Mulawarman

2 Jurnal EKSPONENSIAL Volume, Nomor, Mei ISSN induknya kalau induknya angat kecil (Draper dan Smith, 97. Dalam analii regrei, diperlukan uatu model yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel tidak beba (repon atu atau lebih variabel beba (prediktor dan untuk melakukan peramalan terhadap variabel repon. Model regrei dapat diperoleh melakukan etimai terhadap parameter-parameternya menggunakan metode tertentu. Adapun metode yang dapat digunakan untuk mengetimai parameter model regrei, khuunya parameter model regrei linier (ederhana dan berganda adalah metode kuadrat terkecil (leat quare dan metode kemungkinan makimum (maximum likelihood (Kutner et.al, 4. Regrei Nonparametrik Regrei nonparametrik merupakan uatu teknik analii data dalam tatitika yang dapat menelakan hubungan antara variabel prediktor variabel repon yang tidak diketahui bentuk funginya karena ebelumnya tidak ada informai tentang bentuk fungi terebut dan hanya diaumikan mulu (mooth dalam arti termuat dalam uatu ruang fungi tertentu ehingga regrei nonparametrik angat mempertahankan flekibilitanya (Eubank, 988. Secara umum bentuk model regrei nonparametrik dapat dituli eperti pada peramaan ( berikut ((Eubank 988 dan (Wahba 99. y f (x ( : y = Variabel repon. f (x = Fungi regrei nonparametrik yang memuat variabel prediktor. = Faktor gangguan yang tidak dapat dielakan oleh model yang diebut error, yang diaumikan ebagai variabel random mean nol, variani σ. Regrei Spline Potongan polinomial memainkan peranan penting dalam teori tatitika. Potongan polinomial mempunyai ifat flekibel dan efektif untuk menangani ifat lokal atau data (Eubank, 988. Salah atu potongan polinomial yang penting adalah polinomial pline. Spline yang didaarkan pada uatu peroalan optimai dikembangkan oleh Wahba (99. Spline muncul ebagai uatu olui dari peroalan regrei polinomial yang belum mampu menangani uatu fungi yang mooth. Berdaarkan hal ini maka muncul modifikai polinomial menadi polinomial pline. Bentuk model regrei pline berorde m adalah eperti pada peramaan ( berikut (Eubank, 988. yi Untuk i =,,, n; =,,, p dan k =,,, p m r m. rx.( m k ( X K k r k fungi truncated, ( X K k m,. r,.( m. k dietimai, dan = Interep ( X K k m ; X ; X K K = Parameter model yang akan.r = Slope pada variabel X k k orde ke-r.( m. k = Slope pada variabel X truncated knot ke-k pada pline berorde m X = Variabel prediktor ke- K k = Knot ke-k pada variabel X =,,, p dan k =,,, = Banyaknya knot dalam variabel prediktor ke- Jika =, maka dari peramaan ( diperoleh bentuk umum model regrei pline berorde m untuk atu variabel prediktor, yaitu eperti pada peramaan (3 berikut (Eubank 988. y i m r m r X ( m k ( X K k r k Etimai Parameter Jika dalam uatu maalah parameter θ tidak diketahui, maka haru mengetimainya menggunakan data ampel, hal ini dapat dilakukan melalui tatitik, atau dapat dikatakan tatitik adalah kuantita yang dihitung dari pengamatan ampel. Untuk menentukan tatitik mana yang paling euai perlu dipertimbangkan ifat-ifat baik uatu etimator antara lain: tak bia, efiien, koniten dan cukup (Hogg dan Craig, 978. Metode Kuadrat erkecil Metode kuadrat terkecil (Leat Square adalah alah atu metode yang paling ering digunakan dalam melakukan etimai terhadap parameter model regrei. Prinip dari metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan error yang dihailkan oleh i i Program Studi Statitika FMIPA Univerita Mulawarman 54

3 Jurnal EKSPONENSIAL Volume, Nomor, Mei ISSN model ehingga diharapkan model regrei menelakan data baik. Mengingat error yang dihailkan model regrei pada tiap amatan dapat bernilai negatif dan poitif, maka untuk menghindari penumlahan yang bernilai negatif, dicari umlah dari kuadrat nilai error (Draper dan Smith, 99. Parameter Penghalu Ada beberapa metode yang angat populer untuk memilih parameter penghalu λ antara optimal lain adalah metode Generalized Cro Validation (GCV. Dalam pemilihan λ, kriteria GCV optimal dapat dihitung berdaarkan peramaan (4 berikut ((Wahba, 985, Eubank 988 MSE( GCV( (4 tr(h n tr( I H n dan, I = Matrik Identita H = X X (X X X = Matrik diain dari model yang membentuk penduga f yang optimal. n = ukuran ampel Berdaarkan metode GCV, maka dapat dipilih model regrei pline terbaik, yaitu model yang memiliki nilai GCV (λ terkecil (Eubank 988. Nilai Uian Naional Sekolah Menengah Keuruan Nilai Uian Naional (UNAS Sekolah Menengah Keuruan (SMK adalah nilai yang diperoleh iwa etelah melakukan kegiatan pembelaaran elama tiga tahun di enang SMK dielenggarakan ecara naional yang meliputi tiga mata ui, yaitu Matematika, Bahaa Inggri dan Bahaa Indoneia. Salah atu faktor yang diduga berpengaruh terhadap nilai UNAS SMK adalah Nilai ryout (Sutari, 8. Nilai tryout adalah penilaian yang dilakanakan ecara terpadu kegiatan pembelaaran atau terpiah. Penilaian eni ini diharapkan mampu meningkatkan tandar mengaar, emangat belaar, dan akuntabilita. Hail penilaian ini dapat digunakan ebagai umpan balik bagi peerta didik untuk mengetahui tingkat penguaaan materi ehingga memotivai untuk memperbaiki hailnya, maukan bagi guru dalam memperbaiki trategi pembelaarannya, dan acuan dalam menentukan peerta didik mencapai kompeteni kecepatan belaar yang berbeda-beda meliputi tiga mata pelaaran yaitu Matematika, Bahaa Inggri dan Bahaa Indoneia. MEODE Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah diperoleh dari hail penelitian (Sahrul, 9. Kemudian variabel-variabel yang digunakan adalah rata-rata nilai tryout ebagai variabel prediktor (X dan rata-rata nilai UNAS ebagai variabel repon (Y. Adapun langkah-langkah analii data dalam penelitian ini adalah ebagai berikut:. Mengidentifikai pola hubungan antara variabel prediktor variabel repon menggunakan catter plot.. Melakukan etimai parameter model regrei pline linier (orde untuk knot, knot dan 3 knot. 3. Menghitung nilai GCV (λ untuk maingmaing model regrei pline yang diperoleh dari langkah. 4. Memilih model regrei pline terbaik berdaarkan titik knot optimal menggunakan kriteria GCV (λ minimum. 5. Menghitung nilai koefiien determinai (R dan Rata-rata kuadrat error (MSE untuk model regrei pline terbaik 6. Menarik keimpulan. Dalam melakukan analii dan pengolahan data pada penelitian ini, menggunakan bantuan oftware tatitika Minitab 6 dan S-Plu (Venable dan Ripley, 994. HASIL DAN PEMBAHASAN Identifikai Pola Hubungan antara Variabel Prediktor Variabel Prediktor Untuk mengetahui hubungan antara variabel prediktor (nilai tryout variabel repon (nilai UNAS ecara viual dapat dilihat eperti pada Gambar berikut. UNAS SMK 9,5 9, 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, 5 Plot Nilai ryout erhadap Nilai UNAS SMK 6 7 RYOU Gambar. Plot hubungan antara nilai tryout nilai UNAS Berdaarkan Gambar, terlihat bahwa tidak ada kecenderungan dari nilai tryout terhadap nilai UNAS SMK membentuk pola tertentu dan ada 8 9 Program Studi Statitika FMIPA Univerita Mulawarman 55

4 Jurnal EKSPONENSIAL Volume, Nomor, Mei ISSN indikai perubahan pola perilaku dari nilai tryout pada ub-ub interval tertentu. Oleh karena itu ulit digunakan model pendekatan regrei parametrik. Selanutnya pola data akan didekati menggunakan regrei nonparametrik pline. Etimai Parameter Model Regrei Spline Hail etimai parameter model regrei pline linier atu variabel prediktor menggunakan metode leat quare adalah eperti diuraikan berikut ini. Langkah pertama adalah menuli peramaan (3 dalam notai vektor dan matrik eperti pada peramaan (5 berikut. Y = X + X K + (5 [ n x ] [ n x z ] [ z x ] [ n x ] [ x ] [ n x ] z = [ +(m- ] m=orde pline = Banyaknya knot : Y y y ; X y n m ( x k ( x k n k ; n m m m x x x x xn xn ( m. ( m. ( m. n ; k n k k m m m x x x ; X K m m m n n ; k k k Kemudian peramaan matrik (5 dapat dituli eperti peramaan (6 berikut. Y X (6 X = X X K dan. Berdaarkan peramaan (6 diperoleh y x, untuk Y y dan X x. Kemudian euai metode leat quare, diperoleh, y x y x y y y x x y x x Karena keempat truktur pembentuk matrik adalah dalam kalar, maka uatu matrik akan m m m bernilai ama matrik kebalikannya. Sehingga diperoleh, y y x y x x Untuk mendapatkan nilai terkecil dari fungi yang berifat kuadratik, maka turunan pertamanya terhadap parameter yang diduga ( diamakan nol, yaitu: x y x x x x x y Apabila x x berifat noningular, yaitu mempunyai matrik inver, maka; ˆ x x x y b (7 Dalam hubungannya etimator kurva mulu f (x, yang mempunyai optimal, maka untuk memilih etimator f (x yang terbaik diantara kela etimator menggunakan model regrei pline ebagai penduga kurva mulu f, dilakukan penyeuaian peramaan (7 menadi peramaan (8 berikut. ˆ x x x y b (8 x adalah matrik diain dari model yang membentuk etimator Fungi etimatornya, adalah : f x b f x x x x f yang optimal. y (9 Peramaan (9 dapat uga dituli eperti peramaan ( berikut. f H Y ( H matrik yang berifat imetri, definit non-negatif dan idempoten. Berdaarkan etimai parameter model regrei pline menggunakan metode leat quare, diperoleh f x x x x etimator y. Aplikai Etimai Model Regrei Spline Pada Kau Nilai UNAS Setelah dilakukan etimai parameter model regrei pline yang menyatakan hubungan nilai tryout nilai UNAS metode kuadrat terkecil, maka diperoleh hail ebagai berikut. Program Studi Statitika FMIPA Univerita Mulawarman 56

5 Jurnal EKSPONENSIAL Volume, Nomor, Mei ISSN abel. Hail etimai parameter model regrei pline untuk atu titik knot Parameter Etimai 3,6898,5393,67495 Berdaarkan abel, diperoleh model regrei pline atu titik knot (K = 7,8 adalah eperti pada peramaan ( berikut. 3,6898,5393 x, ,8,99675,793463x,9659 7,3,65739( x 7,58, ,9 Setelah diperoleh model regrei pline pada peramaan (, ( dan (3, maka elanutnya dilakukan pemilihan model terbaik dari ketiga model terebut menggunakan nilai GCV (λ terkecil. Hail yang diperoleh adalah eperti pada abel 4 berikut. abel 4. Nilai GCV (λ model regrei pline Jumlah knot Letak titik knot (K Nilai (K 3 GCV 7,8 - -,936 abel. Hail etimai parameter model regrei pline untuk dua titik knot Parameter Etimai Linier 7,35 7,44 -, ,3 7,58 8,9,8,985, , , Berdaarkan abel, diperoleh model regrei pline dua titik knot (K = 7,35 dan K = 7,44 adalah eperti pada peramaan ( berikut.,985,79567 x 4, ,35 4, ,44 abel 3. Hail etimai parameter model regrei pline untuk tiga titik knot Parameter Etimai,99675, ,9659, , Berdaarkan abel 4, nilai GCV (λ terkecil adalah ebear,843 berkaitan model regrei pline tiga titik knot berada pada titik-titik knot K = 7,3, K = 7,58 dan K 3 = 8,9. Model regrei pline ini diberikan oleh peramaan (4 berikut.,99675, x,9659 7,3,65739( x 7,58, ,9 Selanutnya peramaan (4 dapat uga dituli dalam bentuk eperti peramaan (5 berikut.,99675, x, x 7,3 7,338,3354 x,7,3 x 7,58 -,83897, x,7,58 x 8,9 4,657, x, x 8,9 Berdaarkan peramaan (4 dan (5, diperoleh nilai koefiien determinai (R ebear,8 atau 8,% dan MSE ebear,73. Hal ini menunukkan bahwa nilai tryout mampu menerangkan ebear 8,% terhadap nilai UNAS atau dapat dikatakan bahwa pengaruh nilai tryout terhadap nilai UNAS iwa SMKN Samarinda adalah ebear 8,%. Kemudian nilai MSE minimum menunukkan bahwa nilai takiran mendekati nilai ebenarnya. Bentuk kurva regrei pline berdaarkan peramaan (4 dan (5 adalah eperti pada Gambar berikut. Berdaarkan abel 3, diperoleh model regrei pline tiga titik knot (K = 7,3, K = 7,58 dan K 3 = 8,9 adalah eperti pada peramaan (3 berikut. Program Studi Statitika FMIPA Univerita Mulawarman 57

6 Jurnal EKSPONENSIAL Volume, Nomor, Mei ISSN Spline Fit Nilai UNAS SMK ,3 7, Nilai ryout 8,9 Gambar. Kurva regrei pline yang menyatakan hubungan antara nilai tryout nilai UNAS KESIMPULAN Berdaarkan hail dan pembahaan, maka dapat diimpulkan bahwa model regrei nonparametrik pline yang menyatakan hubungan antara nilai tryout nilai UNAS iwa SMKN Samarinda adalah:,99675, x,9659 7,3,65739( x 7,58, ,9 Dari model regrei pline ini dapat diketahui bahwa pengaruh nilai tryout terhadap nilai UNAS iwa SMKN Samarinda adalah ebear 8,%. DAFAR PUSAKA Budiantara, I.N. dan Subanar, 997, Regrei Spline dan Permaalahannya, Berkala Penelitian Pacaarana Univerita Gadah Mada Yogyakarta,, -7. Draper and Smith, 99, Analii Regrei erapan, P Gramedia Putaka Utama, Jakarta. Eubank,R., 988, Spline Smoothing and Nonparametric Regreion, Marcel Dekler, New York. Hardle, W. 99. Applied Nonparametric Regreion. Cambridge, Univerity Pre. Hogg, R.V. and Craig, A.., 978, Introduction to Mathematical Statitic, Macmilan Publihing Co., Inc, New York. Kutner, M.H., Nachtheim, C.J. dan Neter, J. 4. Applied Linear Regreion Model. New York: McGraw-Hill/Irwin. Sahrul. 9. Pendekatan Regrei Spline untuk Memodelkan dan Mengetahui Faktor-faktor yang Mempengaruhi Nilai Uian Naional Siwa Sekolah Menengah Keuruan Negeri Samarinda. Skripi. Program Studi Statitika FMIPA Univerita Mulawarman, Samarinda. Sutari, Sri. 8. Pendekatan Regrei Spline Untuk Memodelkan Nilai UNAS Siwa SMK Negeri 3 Buduran Sidoaro. ei. Mahaiwa Juruan Statitika FMIPA IS, Surabaya. Venable, W.N. dan Ripley, B.D., 994, Modern Applied Statitic with S-Plu, Spinger-Verlag, New York. Wahba, G., 985, A Comparation of GCV and GML for Chooing the Smoothing Parameter in he Generalized Smoothing Problem, he Annal of Statitic, 3, Wahba, G., 99, Spline Model for Obervational Data, SIAM, Philadelphia. Program Studi Statitika FMIPA Univerita Mulawarman 58