PENYELESAIAN PERSAMAAN PELL DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PQa DAN METODE MATRIKS SKRIPSI. Oleh: AHFALINISA I NIM:

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN PELL ENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PQa AN METOE MATRIKS SKRIPSI Oleh: AHFALINISA I NIM: 56 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS AN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 8

2 PENYELESAIAN PERSAMAAN PELL ENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PQa AN METOE MATRIKS SKRIPSI ajka Kepada: Uerstas Islam Neger Malag Utk Memeh Salah Sat Persarata alam Memperoleh Gelar Sarjaa Sas (S.S) Oleh : AHFALINISA I NIM: 56 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS AN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 8

3 PENYELESAIAN PERSAMAAN PELL ENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PQa AN METOE MATRIKS SKRIPSI Oleh : AHFALINISA I NIM : 56 Telah setj tk j Malag, Oktober 8 ose Pembmbg I, ose Pembmbg II, rs. H. Trmd, M. S Mrl Abd, M.Ag NIP NIP. 5 6 Megetah, Keta Jrsa Matematka Sr Har, M. S NIP. 5 8

4 PENYELESAIAN PERSAMAAN PELL ENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PQa AN METOE MATRIKS SKRIPSI Oleh : AHFALINISA I NIM : 56 Telah pertahaka d epa ewa Pegj Skrps da ataka terma Sebaga Salah Sat Persarata Utk Memperoleh Gelar Sarjaa Sas (S.S) Taggal, Oktober 8 Ssa ewa Pegj: Tada Taga. Pegj Utama : Abdssakr, M.Pd ( ) NIP Keta : Wah H. Irawa, M.Pd ( ) NIP Sekretars : rs. H. Trmdz, M.S ( ) NIP Aggota : Mrl Abd, M.Ag ( ) NIP. 5 6 Megetah da Megesahka Kajr Matematka Fakltas Sas da Tekolog Sr Har, M.S. NIP. 5 8

5 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saa ag bertada taga d bawah : Nama : AHFALINISA'I NIM : 56 Jrsa Fakltas : Matematka : Sas da Tekolog Meataka dega sebeara bahwa skrps ag saa tls bear-bear merpaka hasl kara saa sedr, bka merpaka tlsa ata pkra orag la ag saa ak sebaga hasl tlsa ata pkra saa. Apabla dkemda har terbkt ata dbktka skrps hasl jplaka, maka saa berseda meerma saks atas perbata tersebt. Malag, Oktober 8 Yag membat perataa AHFALINISA'I NIM: 56

6 MOTTO و و ج ج د د دددد ج ج نننن م م Sopo Teme Tem Membat mmp mejad keataa adalah hal ag mdah tk dkerjaka da mdah pla tk tdak dkerjaka tggal kta ag memlh

7 LEMBAR PERSEMBAHAN ega Lata do'a da taa kata termakash ag tdak aka perah pts hgga kara kecl aada persembahka kepada: "Keda orag ta Fathrrohma da Ibda Llk Chorah. ega hlas aada dbesarka dega tapa megharap mbala, aada dddk hgga sampa saat aada dapat megert art hdp. Utk Aah Ibda tercta sggh cta, pegorbaa, kashsaag, perhata da jasa-jasam tdak aka perah aada lpaka da aka selal terkr dah dalam kalb".

8 KATA PENGANTAR Pj skr kehadrat Allah SWT ag telah member Rahmad serta Hdaah-Na, sehgga pels dapat meelesaka skrps ag berjdl PENYELESAIAN PERSAMAAN PELL ENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PQa AN METOE MATRIKS sebaga salah sat persarata dalam meelesaka peddka S. Sholawat serta salam seatasa tercrah keharbaa Bagda Raslllah Mhammad SAW, ag telah met mata dar kegelapa mej jala ag terag at Ad-dl Islam. Selama pelsa skrps pels telah baak medapat bmbga, maska, motas da araha dar berbaga phak. Oleh karea t, pels meampaka capa terma kash kepada:. Bapak Prof. r. H. Imam Spraogo, M.S. Selak Rektor Uerstas Islam Neger Malag.. Bapak Prof. rs. Stma Bambag Smtro, SU.,.Sc. selak eka Fakltas Satek Uerstas Islam Neger Malag.. Ib Sr Har, M.S. selak Keta Jrsa Matematka Uerstas Islam Neger Malag.. Bapak rs. H. Trmd, M.S selak ose Pembmbg ag telah baak member araha da bmbga kepada pels. 5. Bapak Mrl Abd, M.Ag selak ose Pembmbg Itegras Sas da Islam ag jga telah baak member araha kepada pels. 6. Bapak Abdssakr, M.Pd ag baak member maska da motas dalam pelsa skrps da segeap Bapak/Ib ose Fakltas Sas da

9 Tekolog, khssa dose jrsa Matematka ag perah meddk da memberka lma ag tak terla hargaa. 7. Keda Orag Ta Fathrrohma da Llk Chorah ag seatasa dega lmpaha do a da pegorbaa ag tada tara, sggh kashm telah memberka doroga da semagat dalam mejala kehdpa, termakash Aah Ib. 8. Tema-tema matematka agkata dalam ssah da seag meema pels dalam mett lm tertama tema sat bmbga skrps ag selal member semagat da tema-tema kos, sggh keaga bersama kala tdak aka terlpaka. 9. Sema phak ag terlbat bak secara lagsg map tdak lagsg dem selesaa skrps. semoga Allah membalas sema amal bak dega balasa ag berlpat gada. ega segala keredaha hat, pels jga meadar bahwa skrps mash jah dar sempra, tk t krtk da sara ag bersfat membag sagat pels harapka. Kepada sema phak ag membaca skrps, semoga dapat megambl mafaata. Am. Malag, Oktober 8 Pels,

10 AFTAR ISI HALAMAN JUUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... AFTAR ISI... AFTAR TABEL... ABSTRAK... BAB I : PENAHULUAN.. Latar Belakag..... Rmsa masalah Tja Peelta Batasa Masalah Mafaat Peelta Metode Peelta Sstematka Pembahasa... 8 BAB II : KAJIAN PUSTAKA.. Hmpa Blaga..... Keterbaga..... Pecaha Berlag..... Pecaha Berlag Berhgga (fte)..... Pecaha Berlag Tak Hgga (fte)..... Kekogrea Persamaa ophate... 8

11 .5. Sejarah Persamaa ophate Macam-macam Persamaa ophate Algortma PQa efs Algortma Algortma PQa Matrks Kaja Tetag Teor Blaga dalam Al Q'ra... 7 BAB III : PEMBAHASAN.9. Peelesaa Persamaa Pell dega Algortma PQa..... Peelesaa Persamaa Pell dega Metode Matrks Implemetas Persamaa Pell dalam Agama Islam... 8 BAB IV : PENUTUP.. Kesmpla Sara AFTAR PUSTAKA LAMPIRAN-LAMPIRAN

12 AFTAR TABEL Tabel Halama Tabel.. Blaga-blaga Asl dalam Al Qr a... Tabel.. Pecaha-pecaha Berbeda dalam Al Qr a... Tabel... Sols Persamaa Pell ±... Tabel... Sols Persamaa Pell 68 ±... Tabel... Sols Persamaa Pell ±... 9 Tabel... Sols Persamaa Pell 9 ±... 5 Tabel..5. Sols Persamaa Pell ± Tabel..6. Sols Persamaa Pell 7 ±... 6

13 ABSTRAK Ahfalsa. 8. Peelesaa Persamaa Pell dega Meggaka Algortma PQa da Metode Matrks. Skrps Jrsa Matematka Fakltas Sas da Tekolog Uerstas Islam Neger (UIN) Malag. Pembmbg: rs. H. Trmd, M.S da Mrl Abd, M.Ag Kata kc : Persamaa Pell, Algortma PQa da Metode Matrks. Persamaa ophate merpaka persamaa polomal ag mesaratka selesaaa berpa blaga blat. Persamaa ophate dbag mejad da, at persamaa ophate ler da o ler. Persamaa ag berbetk N merpaka baga dar persamaa ophate o ler dega dberka koefse blaga blat postf bka kadrat sempra da kostata N berpa blaga blat. Varabel da adalah selesaa dar persamaa tersebt. Persamaa dsebt dega persamaa Pell. Meelesaka persamaa Pell dapat dlakka dega berbaga metode. Metode Brahmagpta da pecaha berlag telah dgaka tk membahas persamaa Pell dega kostata N ± pada skrps sebelma. Kesempata kal pels perkealka peelesaa persamaa Pell ag berbetk ± dega meggaka algortma PQa da metode matrks.. Meelesaka persamaa Pell ± dega algortma PQa dapat dlakka dega beberapa lagkah sebaga berkt: a. Meetka apakah: (mod ), (mod ), da ata (mod ) b. Meetka la dar a, P da Q dega rms: ( P ) P a,, P a Q P, da Q, Q Q c. Meetka la da dega dega rms: a da a d. Mesbtts la da ke dalam persamaa Pell ± tk megetah apakah da merpaka sols dar persamaa Pell ata.. Meelesaka persamaa Pell ± dega metode matrks dapat dlakka dega rms-rms sebaga berkt: a. Utk persamaa Pell, maka (, ),, b. Utk persamaa Pell, maka (, ),,

14 BAB I PENAHULUAN.. Latar Belakag Matematka merpaka salah sat cabag lm pegetaha ag baak sekal mafaata. emka jga perkembaga lm pegetaha da tekolog ag sagat pesat saat tdak lepas dar pera serta lm matematka. Telah dketah bahwa baak ahl matematka mecoba medefska matematka sebaga lm tetag blaga da rag, lm tetag besara, lm tetag betk da la sebagaa. efs ag ada semaa bear, berdasar sdt padag tertet. Cr khas dar lm matematka ag tdak dmlk pegetaha la adalah () merpaka abstraks dar da ata, () meggaka bahasa smbol, da () megat pola pkr dedktf. Alam semesta memat betk-betk da kosep tetag matematka, meskp alam semesta tercpta sebelm matematka t ada. Allah mecptaka alam semesta serta segala sa mert kra ag cermat da telt, dega perhtga ag bear serta dega rms-rms da persamaa ag rap. Hal mejkka bahwa Allah SWT Maha Matemats, Allah Maha Cepat da Maha Telt dalam masalah htg-meghtg. Perhatka frma Allah dalam srat Al-Frqa aat da: #\ƒï ø)s? çν s)sù& ó «àt,zρ Arta:...da a telah mecptaka segala sesat da da meetapka kra-kraa dega serap-rapa.

15 ( Perhatka jga frma Allah dalam srat Maram aat 8: #t tã öνßγs9 ãètρ$ϑ ΡÎ) öνîγø tæ ö f ès? Ÿξsù Arta: Maka jagalah kam tergesa-gesa memtaka sksa terhadap mereka, Karea Sesggha Kam haa meghtg dataga (har sksaa) tk mereka dega perhtga ag telt. alam da Islam matematka baak djmpa dalam masalah faradh, begt jga dalam ktab sc Al Qr a. Baak aat ag d dalama memat tetag blaga meebtka bahwa terdapat sebaak 8 blaga berbeda. ar 8 blaga tersebt, blaga merpaka blaga asl da 8 blaga merpaka pecaha (rasoal) (Abdssakr, 7: 6). Salah sat cotoh aat Al Qr a ag secara tersrat mejelaska tetag blaga dapat djmpa dalam srat Al-A raf aat : \'s#ø s9 š ŠÏèt/ö r& ÿ ϵÎ/ àm s) ÏΒ ΝtGsù 9ô³èÎ/ $γ Ζôϑϑø?r&ρ \'s#ø s9 š ÏW ro θãβ $tρô tã ρρ t Ï Å ø ßϑø9$# Ÿ Î6 ôìî6gs? ŸωρôÎô¹r&ρ ÍΓöθs% Îû Í_ø è z$# šχρã δ ϵŠÅzL{ θãβ tα$s%ρ Arta: a telah Kam jajka kepada Msa (memberka Tarat) sesdah berlal wakt tga plh malam, da Kam sempraka jmlah malam t dega seplh (malam lag), Maka sempralah wakt ag Telah dtetka Thaa empat plh malam. da Berkata Msa kepada sadaraa at Har: "Gatkalah ak dalam (memmp) kamk, da perbaklah, da jagalah kam megkt jala orag-orag ag membat kersaka". Abdssakr (6: 58) megemkaka bahwa setelah megetah bahwa Al Qr a berbcara megea blaga, maka maka ag dapat

16 dtagkap adalah bahwa orag mslm hars megeal blaga, karea tapa megeal blaga, seorag mslm tdak aka memaham Al Qr a dega bak ketka membaca aat-aat ag berkata tetag blaga tersebt. ar seg wlaah kaja, Matematka berawal dar rag lgkp ag sederhaa, ag haa meelaah tetag blaga da rag, am sekarag Matematka sdah berkembag dega meelaah hal-hal ag membthka daa pkr da majas tgkat tgg (Abdssakr, 7:6). Ilm Matematka sagatlah las, salah sata mempelajar tetag Teor Blaga. Teor Blaga merpaka dasar dar lm Matematka khss ag mempelajar tetag blaga blat (Ne, dkk, 99:). alam teor blaga jga dpelajar sat persamaa hophate ag merpaka persamaa polomal (dega pebah) ag mesaratka selesaaa berpa blaga blat. Persamaa hophate dbag mejad da ada ag lear da o lear tergatg pagkat arabela. lhat dar baaka arabel persamaa ophate ada ag da, tga, sampa arabel. atara persamaa ophate tersebt ada persama ophate lear dega da pebah, persamaa hophate ler dega tga pebah da persamaa ophate o lear termask d dalama terdapat persamaa Pell. Persamaa ophate memlk betk mm a a... a a b, berlak tk setap N da a, a, a,..., a, b Z. ega a, a, a,..., a merpaka koefse blaga blat,,, meataka arabel da b adalah kostata, dega,...,

17 selesaaa mesaratka blaga blat, jka arabela da, maka dsebt persamaa ophate ler da pebah, jka arabela tga dsebt persamaa ophate ler tga pebah da la sebagaa. Persamaa ophate kadrat da dega da arabel memlk betk mm a b c dega a, b, c Z. Sela t jga terdapat persamaa ophate dega da pebah ag mempa betk mm N, tk koefse berpa blaga blat postf da N kostata berpa blaga blat. Stark (97: 9) memberka cotoh sat persamaa ophate ag berbetk d, d dega da adalah arabel tdak dketah meebt persamaa tersebt dega Persamaa Pell-Fermat ata haa Persamaa Pell. Sehgga dapat ddefska bahwa persamaa N dega dberka blaga blat da N serta da adalah arabel tak dketah, dsebt sebaga persamaa Pell (Ne, dkk, 99: 5). Peelesaa persamaa Pell N dapat dcar dega berbaga metode. Pada pembahasa sebelma tk persamaa Pell dega la N ± telah dtelt oleh A Jarah da Ismatl Hsah. Persamaa tersebt dselesaaka dega metode Brahmagpta da metode Pecaha Berlag. Kesempata kal pels mecoba memperkealka peelesaa persamaa Pell dega meggaka sat algortma ag dsebt dega algortma PQa da dega meggaka metode matrks. Robertso (: ) meebt algortma PQa sebaga jatg dar beberapa metode peelesaa persamaa Pell. Algortma meghtg

18 ekspas dar pecaha berlag dar betk kadrat rrasoal Q, da berpa blaga blat tertet. P Q, tk P, Sesa dega raa d atas, maka pels tertark tk membahas da mecoba megembagka lebh lajt pembahasa tetag peelesaa persamaa Pell khssa persamaa Pell berbetk ± dega meggaka algortma PQa da metode matrks agar lebh mdah tk mecar selesaaa. Sesa dega latar belakag d atas pels member jdl skrps dega PENYELESAIAN PERSAMAAN PELL ENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PQa AN METOE MATRIKS... Rmsa Masalah Berdasarka latar belakag d atas dapat dtark rmsa masalah ag aka dbahas dalam skrps at bagamaa cara meelesaka persamaa Pell dega meggaka algortma PQa da dega metode matrks... Tja Peelta Adap tja dar pelsa skrps adalah tk megetah bagamaa cara meelesaka persamaa Pell dega meggaka algortma PQa da dega metode matrks. 5

19 .. Batasa Masalah Agar pelsa skrps tetap terfoks pada pembahasa, maka pels membatas masalah pada peelesaa persamaa Pell berbetk ± dega kostata N ± da koefse bka kadrat sempra..5. Mafaat Peelta. Bag pels Meambah wawasa da lm pegetaha tetag cara megkaj da membadgka peelesaa permasalaha ag ada dalam Matematka tetag kosep persamaa ophate, khssa persamaa Pell.. Bag Jrsa Matematka a. Memberka sedkt smbagsh ag berpa baha kaja da pegembaga matematka mr, sehgga sela dapat meggaka teor Matematka dalam aplkasa ag ata jga dapat megembagka lm matematka t sedr. b. Sebaga baha referes bahwa peelesaa persamaa Pell ± dapat dselesaka dega mdah dega meggaka algortma PQa da dega metode matrks..6. Metode Peelta Metode merpaka cara tama ag aka dtemph tk meemka jawaba dar sat permasalaha. Metode peelta ag dgaka dalam 6

20 pelsa skrps adalah metode peelta Kaja Kepstakaa ata Lteratre Std. Pembahasa pada skrps dlakka dega:. Megmplka da mempelajar lteratr ag berpa bk-bk makalah, dokmetas, otle, catata hara, teret da la-la ag berkata dega masalah peelta ag aka dgaka dalam meelesaka persamaa Pell. Adap lteratr tama ag pels gaka berpa jral ag berjdl "Solg the geeralzed Pell eqato N " kara Joh P. Robertso da "The Pell Eqato ± " kara Ahmet Tekca.. Meetka pokok permasalaha dar lteratr tama berpa cara mecar selesaa dar persamaa Pell ± dega meggaka algortma PQa da metode matrks.. ata pada pembahasa skrps berpa cotoh-cotoh soal persamaa Pell ±.. Cara meelesaka persamaa Pell ± dega meggaka algortma PQa dlakka dega lagkah-lagkah sebaga berkt: a. Meetka apakah: (mod ), (mod ) da ata(mod ) b. Meetka la dar a, P da Q dega rms: a ( P ), Q, P a Q P, da P Q, Q c. Meetka la da dega dega rms: da a a 7

21 d. Mesbtts la da ke dalam persamaa Pell ± tk megetah apakah da merpaka sols dar persamaa Pell ata. 5. Cara meelesaka persamaa Pell dega metode matrks sebaga berkt: a. Utk persamaa Pell, maka dega,, tk. ( ), b. Utk persamaa Pell, maka,,, tk. dega ( ) 6. Aalss data berpa pembkta apakah arabel da dar selesaa persamaa Pell ± aka berla sama jka dselesaka dega meggaka algortma PQa map dega metode matrks ag dterapka pada cotoh-cotoh soal pembahasa..7. Sstematka Pembahasa Agar dalam pelsa da pembahasa skrps sstemats da mdah tk dpaham, maka pembahasaa dss mejad empat bab sebaga berkt: BAB I : Pedahla, ag bers latar belakag, rmsa masalah, tja peelta, batasa masalah, mafaat peelta, metode peelta, da sstematka pembahasa. 8

22 BAB II : Kaja pstaka, ag bers teor-teor ag medkg terhadap rmsa masalah peelta. BAB III : Pembahasa, ag bers lasa tetag jawaba dar rmsa masalah. BAB IV : Petp, bers kesmpla da sara-sara. 9

23 BAB II KAJIAN PUSTAKA.. Hmpa Blaga Hmpa adalah kmpla objek-objek ag terdefs dega jelas. Objek-objek ag termask dalam sat hmpa dsebt sr ata aggota hmpa. Beberapa hmpa ag serg dtem adalah sebaga berkt:. Blaga Asl, N Hmpa blaga asl ata blaga blat postf dotaska dega N. Berkt adalah hmpa blaga asl:. Blaga Blat, Z {,,,L} Blaga blat termask blaga Real L,,,,,,,,L (Abdssakr, 6: ) Blaga blat dotaska dega Z, dapat dtlska sebaga berkt: Z { L,,,,,,L} (Lpschtz, 98: ). Blaga Rasoal, Q Blaga rasoal termask blaga real dapat dtlska sebaga raso dar da blaga blat. Blaga rasoal dotaska dega Q. p Q { /, dmaa p Z, q Z} q

24 masg-masg blaga blat termask blaga rasoal, sebaga cotoh: 5 5. ega demka Z sbset dar Q.. Blaga Irrasoal, Q (Lpschtz, 98: ) Hmpa blaga real ag tdak dapat dataka sebaga a b dega a, b Z da b dsebt hmpa blaga rrasoal. Blaga,, da 8 adalah cotoh blaga rrasoal. (Abdssakr, 6: ) Blaga blat memlk sfat-sfat sebaga berkt:. Sfat terttp terhadap operas pejmlaha da perkala. a, b Z, maka: Ada dega tggal a b Z Ada dega tggal ab Z. Sfat komtatf terhadap operas pejmlaha da perkala a, b Z, maka: a b b a a b b a. Sfat assosatf pejmlaha da perkala a, b, c Z, maka: a (b c) (a b) c a (b c) (a b) c

25 . Sfat dstrbtf kr da kaa perkala terhadap pejmlaha a, b, c Z, maka: a (b c) a b a c (a b) c a c b c 5. Ketggala ers pejmlaha a Z, ada eleme a Z damaka ers pejmlaha dar a. 6. Ada eleme dettas pejmlaha a Z, ada eleme dalam Z sehgga: a a a, damaka eleme dettas pejmlaha. 7. Ada eleme dettas perkala a Z, ada dega tggal eleme dalam Z sehgga: a a a, damaka eleme dettas perkala. 8. Perkala dega ol, a Z a a, maka:.. Keterbaga Algortma pembaga ata serg dsebt algortma Ecld meataka bahwa jka sat blaga blat dbag oleh blaga blat la, maka ada hasl da ssaa.

26 efs: Jka m, blaga-blaga blat da m, maka m membag (habs) (dtls m ) jka da haa jka k m, tk sat blaga blat k Sebaga cotoh: 8, ( 6), 5 ( 5) da ( ) ( ). (Skrma, 5: 5) Jka m, maka kta kataka bahwa m pembag ata faktor dar, ata adalah kelpata dar m. Utk meataka bahwa m tdak membag dtls m. efs: Msalka a da b adalah blaga-blaga blat ag tdak ol, faktor persekta terbesar (FPB) dar a da b adalah c dtls (a,b) c jka da haa jka: () c >, () c a da c b da () jka d a da d b Maka d c. (Skrma, 5: 6) Sebaga cotoh: (,9).. Pecaha Berlag... Pecaha Berlag Berhgga (fte) Ekspas pecaha berlag dar ξ ata dar blaga rasoal da blaga blat a sebaga hasl bag dapat dtlska dega: ξ a M a j a j

27 5 Cotoh : Selesaka pecaha berlag! Peelesaa: 5 5 ata,, Pecaha Berlag Tak Hgga (fte) Betk polomal dar ekspas pecaha berlag dapat dtlska dega jelas. Sepert basa [ a ; a,, a, a ] pecaha berlag a a Oa L mejkka perode ft dar O a a a O (Laghl, 999: ) Jad pada blaga blat, sat ekspas dar pecaha berlag dberka dega m. [ a ; a, a, L, a, a, a ] da perode dar, a,, a, a, a Cotoh: Selesaka pecaha berlag dar! a L dtls dega Peelesaa: ( ) 5 5

28 5 6 Jad la dar ata [ 6;,, ] ( 6) Perhtga secara merk termask dalam meetka pecaha berlag dapat mejad ckp pajag. Jka ξ adalah betk kadrat rrasoal, ( m d ) maka dapat dselesaka dega ξ, ( d ) ddapatka : q q sehgga m m d a, m aq m, q q d m q m d a, m aq m, q m d a, a q m, q q q a ( m ) m m q q a ( m m ), (Ne, dkk, 99: 58) alam hal dberka a, m da q blaga blat, d blaga blat bka kadrat sempra. 5

29 Cotoh: Selesaka pecaha berlag dar 9! Peelesaa: ar perhtga dperoleh a, dega demka dapat dcar m 5 da q. Jad a, m da q... Kekogrea efs: Jka m sat blaga blat postf, maka a kogre dega b modlo m (dtls a b (mod m)) bla da haa bla m membag (a - b). Jka m tdak membag (a - b) maka dkataka bahwa a tdak kogre dega b modlo m (dtls a b (mod m)). (Skrma, 5: ) efs tersebt dapat dtls bahwa haa jka m > maka m (a - b) bla da haa bla Teorema: a b (mod m). a b (mod m) bla da haa bla ada blaga blat k sehgga a mk b. (Skrma, 5: ) Bkt: Jka a da m blaga-blaga blat postf da m >, mert algortma pembaga, maka a dapat dataka sebaga berkt: a mq r dega r < m. 6

30 I berart bahwa a r mq, at a r (mod m). Karea r < m, maka ada m bah plha tk r, at,,,, L,( m ). Jad setap blaga blat aka kogre modlo m dega tepat sat d atara,,,, L,( m ). Cotoh : 6 (mod ) sama arta dega 6. 8 (mod 5) sama arta dega Kekogrea modlo sat blaga blat postf adalah sat relas atara blaga-blaga blat. apat dtjkka bahwa relas kekogrea t merpaka relas ekales. apat dgat bahwa sat relas dsebt relas eqales jka relas t memlk sfat refleks, sfat smetrs da sfat trastf. Skrma (5: ) meggkapka bahwa jka m, a, b da c adalah blaga-blaga blat dega m postf, maka: () a a (mod m), sfat refleks () Jka a b (mod m) maka b a (mod m), sfat smetrs () Jka a b (mod m) da b c (mod m) maka a c (mod m) sfat trastf Kta bktka tap-tap sfat t! () Karea a a m, maka a a (mod m) () Karea a b (mod m) maka b a km tk sat blaga blat k, sehgga a b km ag berart bahwa b a (mod m). () a b (mod m) berart a b km tk sat blaga blat k. 7

31 b c (mod m) berart b c hm tk sat blaga blat h. Ras-ras pada keda persamaa djmlahka, sehgga dperoleh a c ( k h)m ag berart bahwa a c (mod m). Karea relas (kekogrea) pada hmpa blaga blat memeh tga sfat tersebt, maka relas kekogrea pada hmpa tersebt merpaka relas ekale..5. Persamaa ophate.6.. Sejarah Persamaa ophate ophats adalah seorag ahl matematka ag prodktf da terakhr dar zama Ya. alah ahl matematka ag pertama kal melakka operas sepert ( )( ) tapa referes secara geometr. Idettas sepert ( ) jga dbktkaa secara aljabar. ophats jga meelesaka persamaa-persamaa smlta da beberapa karaa dalam Teor Blaga sagat dkagm oleh para cedekawa matematka sampa saat, oleh sebab t ophats serg dsebt sebaga Bapak Aljabar. Selama abad -6 tdak ada kemaja ag dcapa bak dar ophats map Fermat ag jga ahl matematka. Utk selajta Fermat tertark dega bahasa ag tmbl setelah ophats membaca bk mlk Bachet eds 6. Bk tersebt meggatkaa kembal tetag pekerjaa ophats. ega topk moder dar Fermat maka aalss ophate telah dmla (Harold, 97: 5). 8

32 alam matematka, persamaa ophate adalah sebah persamaa polomal ag memberka arabel-arabel tertet dega selesaa berpa blaga blat. Permasalaha dar persamaa ophate adalah persamaa ag memlk sedkt arabel ag tdak dketah da melpt cara meetka blaga blat dega bear dar selrh persamaa. Msalka a, a,, a L adalah blaga blat, da semaa bka ol,,,, L meataka arabel da c adalah kostata maka betk mm persamaa ophate dapat dtlska dega a a L a.6.. Macam-macam Persamaa ophate c (Ne, dkk, 99: 9) Persamaa ophate dbag mejad da, at persamaa ophate Ler da No Ler.. Persamaa ophate Ler Persamaa ophate Ler dega da arabel berbetk a b dmaa a, b, c adalah blaga blat da selesaa dar persamaa at da jga blaga blat. Jka a b c maka sepasag blaga blat (, ) merpaka sols dar a b c. Jka a b da c maka a b c tdak ada selesaaa (Ne, dkk, 99: ). Persamaa ophate ler ag memlk arabel da dsebt persamaa ophate ler da pebah, jka arabela tga dsebt persamaa ophate tga pebah da setersa. c 9

33 . Persamaa ophate No Ler (kadrats) Persamaa ophate o ler merpaka persamaa ophate ag arabela berpagkat lebh dar sat. Msal a, a, L, a, blaga blat, k kemda dtetka betk polomal f (, L, k ) dega arabel,, k L ag dberka oleh f L a L a, maka f (, L, k ) (,, k ) k k dsebt persamaa ophate kadrat. Beberapa dar persamaa ophate o ler dapat berpa persamaa Pthagoras z dega la, da z blaga blat postf. Pthagoras meggambarka sols tk ss palg kecl dar persamaa Pthagoras dberka a, tk ss ag lebh besar dberka a a, da ss mrga dberka z (ckso, 97: 65). Sela persamaa Pthagoras jga terdapat betk la dar persamaa ophate o lear at N. Fermat adalah seorag pemla ag megawal pembahasa persamaa ophate moder. Fermat meghabska wakt-wakta tk merealsaska apa ag telah dlbatkaa dalam meelesaka sat persamaa. Fermat perah dtatag ahl matematka Iggrs Walls tk meelesaka persamaa Fermat-Pell d da Walls memberka peelesaa da. Selesaa tral tersebt sekarag basa dsebt dega persamaa Pell. Zckerma (99: 5) meataka bahwa Persamaa Pell d N dega dberka koefse berpa blaga blat d da kostata N serta arabel

34 da adalah arabel ag tdak dketah meebt persamaa sebaga persamaa Pell. Jka la d egatf, maka maka persamaa tersebt mempa sols ag terbatas. Jka la d berpa kadrat sempra, kataka persamaa dapat dbetk mejad ( a)( a) N d a, maka da persamaa tersebt jga mempa sols ag terbatas. Pada pembahasa skrps pels aka memberka cotoh persamaa Pell ag berbetk ±..6. Algortma PQa.6.. efs Algortma Kata algortma mgk bka sesat ag asg dtelga. Peema adalah seorag ahl matematka dar Uzbeksta ag berama Ab Abdllah Mhammad Ib Msa Al-Khawarzm (77-8). dalam da lteratr barat Al-Khawarzm lebh terkeal dega sebta Algorzm. Paggla lah ag kemda dpaka tk meebt kosep algorthm ag dtemkaa. alam bahasa Idoesa, kemda dsebt sebaga algortma (Skrso, 5: 9-). Wahd (: 9) megataka bahwa algortma adalah sebah strateg ag megadalka kemampa berpkr secara logs tk memecahka sat masalah. alam algortma, dmla dega berpkr apa ag kta mlk (kekata da kelemaha), selajta datr lagkah (aks) agar tja ata sasara ag dharapka dapat terwjd..6.. Algortma PQa Algortma PQa adalah jatg dar beberapa metode peelesaa persamaa Pell. Algortma meghtg ekspas pecaha berlag dar betk

35 kadrat rrasoal P Q dega dberka blaga blat P, Q, tertet. (Roberso, : ) Msalka P, Q, adalah blaga blat postf dega Q, > berpa koefse bka berpa kadrat sempra, da P (mod Q ), maka dberka : da P da Q Adap lagkah peelesaa selajta dapat dtetka dega mecar la a, P, Q, da sebaga berkt: P a, tk Q P a Q P, tk P Q, tk Q da tk maka dperoleh : a a Kc tama dar algortma adalah hasl bag ag dperoleh dar ekspas P pecaha berlag ξ dapat dtls dega a, a, a, L at: Q

36 P Q a a a K a adalah hasl bag parsal dar ξ, demka jga tk, maka hmpa P ξ dega Q ξ adalah hasl bag ag legkap dar ξ ke-. Faktor-faktor ag perl dperhatka dalam meelesaka persamaa Pell dega algortma PQa adalah memaham hbga atara N dega da adalah sols dar persamaa Pell ag dcar. Petg sekal tk meetka cara mecapa peelesaa akhr dar perode pertama. Setelah meetka P da Q, kemda meetka apakah P Q teredks, msal r perode palg kecl dar, kemda meetka perode palg kecl dar j > dega P r Pj da Q r Q j dega demka j r aka meada awal dar perode ke- da j- adalah akhr dar perode pertama. Selajta peelesaa persamaa Pell dapat dcar dega meggaka hasl bag dar P, P, tk,,, L, l dega l P l Q da a sebaga berkt: Q, tk,,, L, l dega l Q l a, tk,,, L, l dega l a l Kemda, a l a jka P da Q

37 a l a jka P da Q keteta dberka tk P, Q da a dega da dar s tk peelesaa selajta dapat dcar..7. Matrks efs: Sebah matrks adalah ssa seg empat sk-sk dar blagablaga. Blaga-blaga dalam ssa tersebt damaka etr dalam matrks. Cotoh.7. : Ssa berkt adalah matrks π e [ ] Sepert ag dtjkka oleh cotoh-cotoh, maka kra matrks-matrks bermacam-macam besara. Ukra matrks djelaska dega meataka baaka bars (gars horzotal) da baaka kolom (dega ertkal) ag terdapat dalam matrks tersebt. Matrks pertama dalam cotoh d atas mempa bars da kolom sehgga kraa adalah kal (ag dtlska ). Agka pertama selal mejkka baaka bars da agka keda mejkka baaka kolom. Jad, matrks selebha dalam cotoh bertrt-trt mempa kra,,, da.

38 5 Jka B dgaka tk meataka sebah matrks, maka aka dgaka b j tk etra dalam bars da kolom j. Jad matrk m ag mm dapat dtlska sebaga: B m m m b b b b b b b b b K M M M K K ata [ ] m j b (Ato, 987: ) efs: Jka A da B adalah sebarag da matrks ag kraa sama, maka jmlah AB adalah matrks ag dperoleh dega meambahka bersama-sama etr ag bersesaa dalam keda matrks tersebt. Matrks-matrks ag kraa berbeda tdak dapat dtambahka. (Ato, 987: ) Cotoh.7. : Tjalah matrks-matrks A 7 B 5 5 C Peelesaa : A B Sedagka A C da B C tdak ddefska.

39 efs: Jka A adalah matrks m r da B adalah matrks r, maka hasl kal AB adalah matrks m ag etr-etra dtetka sebaga berkt. Utk mecar etr dalam bars da kolom j dar AB, plhlah bars dar matrks A da kolom j dar matrks B. Kalkalah etr-etr ag bersesaa dar bars da kolom tersebt bersama-sama da kemda tambahkalah hasl kal ag dhaslka. (Ato, 987: ) Cotoh.7.: Tjalah matrks-matrks A 6 B 7 5 Peelesaa: Karea A adalah matrks da B adalah matrks, maka hasl kal AB adalah matrks. Utk meetka, msala, etr dalam bars da kolom dar AB, dapat dkalka dega etr-etr ag bersesaa bersama-sama da meambah hasl kal ( ) (6 ) ( 5) 6 Perhtga-perhtga tk hasl kal selebha adalah: ( ) ( ) ( ) 6

40 ( ) ( ) ( 7) 7 ( ) ( ) ( 5) ( ) (6 ) ( ) 8 ( ) (6 ) ( 7) ( ) (6 ) ( ) Jad AB Kaja Tetag Teor Blaga dalam Al Qr a Persamaa ophate ag dbag mejad da at persamaa dophate ler da o ler termask d dalama persamaa Pell merpaka baga dar kaja lm matematka tetag teor blaga. alam teor blaga baak dtem kosep tetag hmpa, blaga da operas blaga, pecaha da la sebagaa. Pada baga, aka dbahas keterkata atara blaga dalam matematka dega Al Qr a ag merpaka ktab sc mat Islam, dataraa sebaga berkt:. Kosep Hmpa dalam Al Qr a alam Al Qr a hmpa, relas hmpa da operas hmpa, ckp baak dbcaraka. Sebaga cotoh, perhatka frma Allah SWT dalam srat Al Faatr aat : 7

41 ( oψ V Β 7πsÏΖô_r& þ Í<'ρé& ξß â ÏπsÍ ϑø9$# È Ïã%ỳ ÇÚö F{$#ρ ÏN θ ϑ 9$# ÌÏÛ$sù! ß ôϑptø:$# ÖƒÏ s% & ó «Èe ä.?tã!$# βî) â!$t±o $tβ È,ùsƒø:$# Îûß ƒì tƒ ì t/â ρ] èoρ Arta: Segala pj bag Allah pecpta lagt da bm, ag mejadka malakat sebaga tsa-tsa (tk megrs berbaga macam rsa) ag mempa saap, masg-masg (ada ag) da, tga da empat. Allah meambahka pada cptaa-na apa ag dkehedak-na. Sesggha Allah Maha Kasa atas segala sesat. Srat Al Faatr aat tersebt mejelaska tetag sekelompok, segologa ata sekmpla makhlk ag dsebt malakat da sekelompok malakat tersebt terdapat kelompok malakat ag mempa da saap, ata empat saap jka Allah SWT meghedak. Sela aat d atas perhatka jga frma Allah dalam srat A-Nr aat 5:?tã Å ôϑtƒ Β Νåκ ]ÏΒρ ϵÏΖôÜt/?tã Å ôϑtƒ Β Νåκ ]Ïϑsù &!$ Β ÏΒ 7π/!#Š ä. t,{ ª!$#ρ ÖƒÏ s% & ó «Èe à?tã!$# βî) â!$t±o $tβ ª!$# ß,èøƒs 8ìt/ö r& #?tã Å ôϑtƒ Β Νåκ ]ÏΒρÈ,s#ô_Í Arta: a Allah telah mecptaka sema jes hewa dar ar, maka sebaga dar hewa t ada ag berjala d atas perta da sebaga berjala dega da kak sedag sebaga (ag la) berjala dega empat kak. Allah mecptaka apa ag dkehedak-na, sesggha Allah Maha Kasa atas segala seat. 8

42 Srat A-Nr aat 5 membcaraka tetag sekmpla makhlk ag dsebt hewa. atara sekelompok hewa tersebt ada ag berjala d atas perta (tapa kak), sebaga berjala dega da kak ata empat kak sesa dega ag dkehedak Allah SWT. Berdasarka keda aat d atas dapat dketah bahwa d dalam Al Qr a terata jga terdapat kosep matematka tertama ag membahas tetag hmpa, at sekmpla objek-objek ag terdefs dega jelas. Ketka mat Islam membaca Al Qr a maka pada srat Al Fatehah jga aka djmpa bahwa masa terbag mejad tga kelompok, at () kelompok ag dber kmat oleh Allah, () kelompok ag dmrka da () kelompok ag sesat. Abdssakr (7: ) megemkaka bahwa jka pembcaraa dar maka srat Al Fatehah dkatka dega kosep relas da operas hmpa, maka kelompok ag dber kmat aka salg lepas (dsjot) dega kelompok ag dmrka da sesat.. Kosep Blaga alam Al Qr a Sepert ag telah djelaska pada bab pedahla bahwa dalam Al Qr a dsebtka sebaak 8 blaga berbeda. ar 8 blaga tersebt, adalah blaga asl da 8 adalah blaga pecaha. Ketgaplh blaga asl berbeda dalam dalam Al Qr a dataka sebaga berkt: 9

43 Tabel.. Blaga-blaga Asl dalam Al Qr a No. Blaga No. Blaga Total 7 total (Smber: Irawa, Abdssakr, da Ksmastt, 5: 57) Kedelapa blaga pecaha berbeda dalam Al Qr a sebaga berkt: Tabel. Pecaha-pecaha Berbeda dalam Al Qr a No. Blaga Baak Peebta Total Peebta 9 (Smber: Irawa, Abdssakr, da Ksmastt, 5: 58-59)

44 Berkata dega relas blaga bahwa relas ata membadgka sat blaga basaa dlakka pada sepasag blaga dega atra tertet. Perhatka frma Allah SWT dalam srat Ash Shaffat aat 7. šχρß ƒì tƒ ρr& A#ø9r& Ïπs ($ÏΒ <Î) çµ oψù ö r&ρ Arta: a Kam ts da kepada serats rb orag ata lebh. Abdssakr (6: 59) meataka bahwa pada QS 7: 7 tersebt djelaska bahwa ab Ys dts kepada mat ag jmlaha orag ata lebh. Secara matematka, jka mat ab Ys sebaak orag, maka sama dega ata lebh dar. Ada da relas blaga dalam QS 7: 7, at relas sama dega da relas lebh dar. Relas sama dega da lebh dar masg-masg dtls "" da ">". a relas dkeal dega relas rta (order relatos). ega demka, kalmat sama dega ata lebh dar dapat dtls dega: ata >. Adaa blaga da relas blaga belm legkap, jka tdak dapat melakka sat aks pada pasaga blaga ag dberka da melakka aks pada pasaga blaga basaa dsebt operas. Operas ag palg sederhaa adalah operas htg dasar blaga da terata dalam Al Qr a jga berbcara tetag operas htg dasar blaga dataraa: a. Operas Pejmlaha b. Operas Pegraga c. Operas Pembaga

45 Sebaga cotoh perhatka frma Allah dalam srat Al Kahf: 5 ag berb: $Yèó Î@ (#ρßš#šø $#ρš ÏΖÅ 7πs ($ÏΒ] roóοîγï ôγ. Îû(#θèWÎ6s9ρ Arta: a mereka tggal dalam ga mereka tga rats tah da dtambah sembla tah (lag). Kosep matematka ag dsebtka dalam aat tersebt adalah operas pejmlaha, at 9. Jad maka ag tersrat d balk aat tersebt adalah bahwa setap mslm perl memaham tetag blaga da operas blaga. Tapa megeal blaga, seorag mslm tdak aka memaham Al Qr a dega bak ketka membaca aat-aat ag berkata tetag blaga tersebt.

46 BAB III PEMBAHASAN.. Peelesaa Persamaa Pell dega Algortma PQa Betk mm persamaa Pell ag dbahas dalam skrps adalah: ± dega dberka koefse berpa blaga blat postf bka kadrat sempra. Varabel da adalah peelesaa dar persamaa Pell tersebt. Utk mecar la da pada pembahasa skrps aka dselesaka dega meggaka algortma PQa da metode matrks. Algortma PQa adalah metode peelesaa persamaa Pell ag bermla dar meghtg ekspas pecaha berlag berbetk kadrat rrasoal a P, dega dberka blaga blat P, Q Q da tertet dega Q, bka kadrat sempra. Selajta dtetapka: > P da Q da (Tekca, 7: ) Jka dketah persamaa Pell ± memlk la (mod ), maka mert algortma PQa dtetapka P da Q, jka (mod ) dtetapka P da Q da jka dketah ata (mod ) aka dtetapka P da Q. (Tekca, 7: )

47 Meelesaka persamaa Pell ± dega meggaka Algortma PQa dperlka lagkah-lagkah pegerjaa sebaga berkt :. Meetka apakah: a. (mod ) Jka dketah persamaa Pell ± memlk la ag kogre dega modlo, maka mert keteta dar Algortma PQa dtetapka P da Q. Pertmbaga modlo mejkka bahwa sols persamaa Pell tersebt aka memlk la ag selal geap. b. (mod ) Jka dketah persamaa Pell ± memlk la ag kogre dega modlo, maka mert keteta dar Algortma PQa dtetapka P da Q. Pertmbaga modlo mejkka bahwa sols persamaa Pell tersebt aka memlk la, at jka geap maka jga geap da sebalka jka gajl maka jga gajl. c. ata (mod ) Jka dketah persamaa Pell ± memlk la ag kogre dega ata modlo, maka mert keteta dar Algortma PQa dtetapka P da Q. Pertmbaga modlo mejkka bahwa sols persamaa Pell tersebt aka memlk la da sama-sama geap.. Meetka la dar a, P da Q dega rms: ( P ) a. a, tk Q

48 b. P a Q P, tk c. P Q, tk Q. Meetka la da dega dega rms: a da a.. Mesbtts la da ke dalam persamaa Pell ± tk megetah apakah da merpaka sols dar persamaa Pell postf ata egatf. Permasalaha ag serg mcl dar persamaa Pell ±, at ketka dketah :. Saat la kogre dega modlo ( (mod ) ) Apabla dketah dar Persamaa Pell ± memlk koefse ag kogre dega modlo, maka dega meggaka algortma PQa aka dperoleh: a. Nla koefse dar soal aka berla tetap. b. P c. Q d. da e. da Utk l, dmaa l adalah pajag dar perode pecaha berlag maka a l a (Robertso, : ). P Q, 5

49 Utk lebh memaham raa d atas, perhatka cotoh soal berkt: Cotoh..: Selesaka persamaa Pell ±! Peelesaa: Meelesaka persamaa Pell ± dar cotoh.. dapat dlakka dega lagkah-lagkah sebaga berkt:. Meetka kekogrea koefse (mod ) dar persamaa Pell ±. ar cotoh... dketah bahwa persamaa Pell ± memlk la (mod ), maka dega meggaka Algortma PQa dperoleh: a. b. P c. Q d. da e. da. Meetka la dar a, P da Q Setelah dketah la, P da Q, maka tk dperoleh a sebaga berkt: a P Q 6

50 ar perhtga dperoleh la a. Utk l, dmaa l adalah pajag dar perode pecaha berlag, maka dperoleh a l a. Jad adalah akhr dar perode pecaha berlag d atas da tk selajta la dar aka berla sama at. a La Berkta, tk, maka dperoleh la dar P da Q sebaga berkt: P aq P P Q Q 6 Utk maka dperoleh a sebaga berkt: a P Q 7

51 Jad dperoleh la a.. Meetka la dar da Berkta tk mecar selesaa dar la da dega da, maka dperoleh peelesaa, ) da (, ) bertrt-trt sebaga berkt: a a 6 8 ( a a ar perhtga d atas dperoleh selesaa awal at da. 8

52 . Mesbtts la da ke dalam persamaa Pell ± tk megetah apakah da merpaka sols dar persamaa Pell postf ata egatf. Setelah dperoleh da, selajta la (,) dsbttska ke persamaa Pell ± tk membktka apakah (,) merpaka selesaa persamaa Pell tersebt ata bka, sehgga dperoleh: 6 6 ar hasl sbtts terata dketah bahwa (,) merpaka selesaa dar persamaa Pell. Selajta la 8 da jga dsbttska ke persamaa Pell ± tk membktka apakah (8,) merpaka selesaa ata bka, sehgga dperoleh: 8 6 ar perhtga d atas terata jga dperoleh bahwa (8,) merpaka selesaa dar persamaa Pell. ega demka dapat dsmplka bahwa persamaa Pell 9

53 ± bak ag berla postf map egatf kedaa sama-sama memlk selesaa dega la selal geap. Jka perhtga dlajtka dega L, maka aka dperoleh selesaa dar persamaa Pell ± dalam betk tabel sebaga berkt: Tabel... Sols Persamaa Pell ± P Q a Cotoh.. : Selesaka persamaa Pell 68 ±! Peelesaa : Meelesaka persamaa Pell 68 ± dar cotoh.. dapat dlakka dega lagkah-lagkah sebaga berkt:. Meetka kekogrea koefse dega (mod ) dar persamaa Pell 68 ±. ar cotoh.. dketah bahwa persamaa Pell 68 ± memlk la (mod ), maka dega meggaka algortma PQa dperoleh: a. 68 b. P c. Q

54 d. da e. da. Meetka la dar a, P da Q Setelah dketah la, P da Q, maka tk dperoleh a sebaga berkt: a P Q ar perhtga dperoleh la dar a l 68 dmaa l adalah pajag dar perode pecaha berlag, maka dperoleh a l a 8. Jad 8 adalah akhr dar perode pecaha berlag tersebt da tk selajta la dar a La aka berla sama at 8. Selajta tk, maka dperoleh la dar P da Q sebaga berkt: P aq P 8

55 Q 68 P Q Utk maka dperoleh a sebaga berkt: a P Q Jad dperoleh la a 8.. Meetka la dar da Berkta tk mecar selesaa dar da dega da, maka dperoleh peelesaa, ) da (, ) bertrt-trt sebaga berkt: a 8 a (

56 a a 8 8 ar perhtga dperoleh selesaa awal at 8 da.. Mesbtts la da ke dalam persamaa Pell 68 ± tk megetah apakah da merpaka sols dar persamaa Pell postf ata egatf. Setelah dperoleh 8 da, selajta la (8,) dsbttska ke dalam persamaa 68 ± tk membktka apakah (8,) merpaka selesaa persamaa tersebt ata bka sehgga dperoleh: ar hasl sbtts terata dketah bahwa (8,) merpaka selesaa dar persamaa Pell 68. Selajta 66 da 8 jga dsbttska ke persamaa Pell 68 ± sehgga dperoleh:

57 (8) ar hasl perhtga d atas terata jga dperoleh bahwa (66,8) merpaka selesaa dar persamaa Pell 68. ega demka dapat dsmplka bahwa persamaa Pell 68 ± bak ag berla postf map egatf kedaa sama-sama memlk selesaa dega la ag selal geap. Jka perhtga dlajtka dega L, maka aka dperoleh peelesaa dar persamaa Pell 68 ± dalam betk tabel sebaga berkt: Tabel... Sols Persamaa Pell 68 ± P Q a Saat la kogre dega modlo ( (mod ) ) Apabla dketah dar persamaa Pell ± memlk koefse ag kogre dega modlo, maka dega meggaka algortma PQa dperoleh:

58 a. Nla koefse dar persamaa aka berla tetap. b. P c. Q d. da e. da Utk l > dmaa l adalah pajag perode dar pecaha berlag maka a l a (Robertso, : ). P Q Utk lebh memaham raa d atas, perhatka cotoh soal berkt: Cotoh.. : Selesaka persamaa Pell ±! Peelesaa : Meelesaka persamaa Pell ± dar cotoh.. dapat dlakka dega lagkah-lagkah sebaga berkt:. Meetka kekogrea koefse dega (mod ) dar persamaa Pell ±. ar cotoh.. dketah bahwa persamaa Pell ± memlk la (mod ), maka dega meggaka algortma PQa dperoleh: a. b. P c. Q d. da e. da 5

59 . Meetka la dar a, P da Q Setelah dketah la, P da Q, maka tk dperoleh a sebaga berkt: a P Q ar perhtga dperoleh la dar a. Utk l, dmaa l adalah pajag dar perode pecaha berlag, maka dperoleh a l a. Jad adalah akhr dar perode pecaha berlag da tk selajta la dar aka berla sama at. a La Selajta tk, maka dperoleh la dar P da Q sebaga berkt: P aq P 6

60 Q P Q 9 Utk, maka dperoleh a sebaga berkt: a P Q Jad dperoleh la a.. Meetka la dar da Berkta tk mecar selesaa dar da dega da, maka dperoleh peelesaa, ) da, ) bertrt-trt sebaga berkt: ( ( a ( ) a 7

61 9 a a ar hasl perhtga d atas dperoleh selesaa awal at da.. Mesbtts la da ke dalam persamaa Pell ± tk megetah apakah da merpaka sols dar persamaa Pell postf ata egatf. Setelah dperoleh da, selajta la (,) dsbttska ke dalam persamaa ± tk membktka apakah (,) merpaka selesaa dar persamaa Pell tersebt ata bka, sehgga dperoleh: 9 9 ar hasl sbtts terata dketah bahwa (,) merpaka selesaa dar persamaa Pell. Selajta 8

62 da jga dsbttska ke persamaa Pell ± sehgga dperoleh: 9 7 ar hasl perhtga d atas terata jga dperoleh bahwa (,) merpaka peeselesaa dar persamaa Pell. ega demka dapat dsmplka bahwa persamaa Pell ± bak ag berla postf map egatf kedaa sama-sama memlk peelesaa jka geap maka jga geap da sebalka jka gajl maka jga gajl. Jka perhtga dlajtka tk L maka aka dperoleh peelesaa dar persamaa Pell ± dalam betk tabel sebaga berkt: Tabel... Sols Persamaa Pell ± P Q a

63 Cotoh.. : Selesaka persamaa Pell 9 ±! Peelesaa : Meelesaka persamaa Pell 9 ± dar cotoh.. dapat dlakka dega lagkah-lagkah sebaga berkt:. Meetka kekogrea koefse dega (mod ) dar persamaa Pell 9 ±. ar cotoh.. dketah bahwa persamaa Pell 9 ± memlk la (mod ), maka dega meggaka algortma PQa dperoleh: a. 9 b. P c. Q d. da e. da. Meetka la dar a, P da Setelah dketah la, P da Q, maka tk dperoleh a sebaga berkt: Q a P Q

64 ar perhtga dperoleh la dar a. Utk l, dmaa l adalah pajag dar perode pecaha berlag 9, maka dperoleh a l a 5. Jad 5 adalah akhr dar pecaha berlag da tk selajta la dar a a. L aka berla sama at 5. Selajta tk, maka dperoleh la dar P da Q sebaga berkt: P aq P Q. 5 9 P Utk, maka dperoleh a sebaga berkt: P a Q Jad dperoleh la a 5. 5

65 . Meetka la dar da Berkta tk mecar selesaa dar da dega, maka dperoleh peelesaa, ) da, ) bertrt-trt sebaga berkt: ( ( a ( ) 6 5 a a, a 5 5 ar perhtga d atas dperoleh selesaa awal at 5 da.. Mesbtts la da ke dalam persamaa Pell 9 ± tk megetah apakah da merpaka sols dar persamaa Pell postf ata egatf. 5

66 Setelah dperoleh 5 da, selajta la (5,) dsbttska ke persamaa 9 ± tk membktka apakah (5,) merpaka selesaa persamaa tersebt ata bka, sehgga dperoleh: ar hasl sbtts terata dketah bahwa (5,) merpaka selesaa dar persamaa Pell 9. Selajta 7 da 5 jga dsbttska ke persamaa Pell 9 ± sehgga dperoleh: 9 7 9(5) ar hasl perhtga d atas terata jga dperoleh bahwa (7,5) merpaka selesaa dar persamaa Pell 9. ega demka dapat dsmplka bahwa persamaa Pell 9 ± bak ag berla postf map egatf kedaa sama-sama memlk selesaa jka geap maka jga geap da sebalka jka gajl maka jga gajl. Jka perhtga dlajtka dega L maka aka dperoleh 5

67 sols dar persamaa Pell 9 ± dalam betk tabel sebaga berkt: Tabel... Sols Persamaa Pell 9 ± P Q a Saat la kogre dega ata modlo ( ata (mod ) ) Apabla dketah dar persamaa Persamaa Pell ± memlk koefse ag kogre dega ata modlo, maka dega meggaka algortma PQa dperoleh: a. Nla koefse dar persamaa aka berla tetap. b. P c. Q d. da e. da Utk l, dmaa l adalah pajag dar perode pecaha berlag P Q, maka a l a (Robertso, : ). Utk lebh memaham raa d atas, perhatka cotoh soal berkt: Cotoh..5 : Selesaka persamaa Pell ±! 5

68 Peelesaa : Meelesaka persamaa Pell ± dar..5 dapat dlakka dega lagkah-lagkah sebaga berkt:. Meetka kekogrea koefse dega (mod ) dar persamaa Pell ±. ar cotoh..5 dketah bahwa persamaa Pell ± memlk la (mod ), maka dega meggaka algortma PQa dperoleh: a. b. P c. Q d. da e. da. Meetka la dar a, P da Q Setelah dketah la, P da Q, maka tk dperoleh a sebaga berkt: a P Q 55

69 ar perhtga dperoleh la dar a. Utk l, dmaa l adalah pajag dar perode pecaha berlag, maka dperoleh a 6. Jad 6 adalah akhr dar pecaha a l berlag tersebt da tk selajta la dar a a. L aka berla sama at 6. Selajta tk maka dperoleh la dar P da Q sebaga berkt: P aq P Q P Q 9 Utk, maka dperoleh a sebaga berkt: a P Q 6 Jad dperoleh la a 6 56

70 . Meetka la dar da Berkta tk mecar selesaa dar da dega da, maka dperoleh peelesaa, ) da, ) bertrt-trt sebaga berkt: ( ( a 6 6 a a a 6 ar perhtga d atas dperoleh selesaa awal at 6 da.. Mesbtts la da ke dalam persamaa Pell 68 ± tk megetah apakah da merpaka sols dar persamaa Pell postf ata egatf. 57

71 Setelah dperoleh 6 da, selajta la (6,) dsbttska ke persamaa ± tk membktka apakah (6,) merpaka selesaa persamaa tersebt ata bka, sehgga dperoleh: ar hasl sbtts terata dketah bahwa (6,) merpaka selesaa dar persamaa Pell. Selajta 8 da jga dsbttska ke persamaa Pell ± sehgga dperoleh: 8 ar hasl perhtga d atas terata jga dperoleh bahwa (8,) merpaka peelesaa dar persamaa Pell. ega demka dapat dsmplka bahwa persamaa Pell ± bak ag berla postf map egatf kedaa sama-sama memlk peelesaa dega la da kedaa sama-sama geap. Jka perhtga dlajtka dega L, maka dapat dbat tabel sols sebaga berkt: 58

72 Tabel..5 Sols Persamaa Pell ± P Q a Cotoh..6 :Selesaka persamaa Pell 7 ±! Peelesaa :Meelesaka persamaa Pell 7 ± dar cotoh..6 dapat dlakka dega lagkah-lagkah sebaga berkt:. Meetka kekogrea koefse dar persamaa Pell 7 ± ar cotoh..6 dketah bahwa persamaa Pell 7 ± memlk la (mod ), maka dega meggaka algortma PQa dperoleh: a. 7 b. P c. Q d. da e. da. Meetka la dar a, P da Q Setelah dketah la, P da Q, maka tk dperoleh a sebaga berkt: 59

73 a P Q ar perhtga dperoleh la dar a 5. Utk l, dmaa 7 l adalah pajag dar perode pecaha berlag, maka dperoleh a l a 5. Selajta tk maka dperoleh la a sebaga berkt: a Jad dperoleh la a 5. Utk dperoleh P da Q sebaga berkt: P aq P 5 5 6

74 Q 7 P Q Utk maka dperoleh la a sebaga berkt: a ar perhtga dperoleh a. Jad a adalah pajag perode pecaha berlag tersebt.. Meetka la dar da Berkta tk mecar selesaa dar da dega da, maka dperoleh peelesaa, ) da, ) bertrt-trt sebaga berkt: ( ( a 5 a 5 5 6

75 a 5 a 5 ar hasl perhtga d atas dperoleh selesaa awal at da.. Mesbtts la da ke dalam persamaa Pell 68 ± tk megetah apakah da merpaka sols dar persamaa Pell postf ata egatf. Setelah dperoleh da, selajta la (,) dsbttska ke dalam persamaa 7 ± tk membktka apakah (,) merpaka selesaa persamaa Pell tersebt ata bka, sehgga dperoleh: 7 7() ar perhtga d atas dketah bahwa (,) tdak memeh persamaa. Jad (.) bka selesaa dar persamaa Pell 7. Selajta tk 5 da jga 6

76 dsbttska ke persamaa Pell 7 ± sehgga dperoleh: 7 5 7() ar hasl perhtga terata dperoleh bahwa (5,) merpaka selesaa dar persamaa Pell 7. ega demka dapat dsmplka bahwa persamaa Pell 7 ± haa memlk selesaa tk ag berla postf saja dega la da sama-sama geap, sedagka persamaa Pell egatf tdak memlk peelesaa. Jka perhtga dlajtka dega L, maka dapat dbat tabel sols sebaga berkt: Tabel..6 Sols Persamaa Pell 7 ± P Q a

77 .. Peelesaa Persamaa Pell dega Metode Matrks Meelesaka persamaa Pell ±, sela meggaka Algortma PQa terata jga dapat dselesaka dega meggaka metode matrks. Caraa, jka sols awala (sols postf terkecla) telah dketah, maka tk sols ke- berkta dapat dcar dega rms-rms ag ada pada metode tersebt. Jad meelesaka persamaa Pell ± dega metode matrks bertja tk mecar selesaa ke- dar da setelah selesaa awala dketah. Utk meetka selesaa dar persamaa Pell dega metode matrks, hars dketah persamaaa terlebh dahl. Pada pembahasa telah dketah bahwa betk mm persamaa Pell postf ag dgaka adalah. Utk mecar selesaa ke- dar persamaa tersebt, msalka dketah selesaa awala, ), maka jka, ) dbetk ke dalam matrks ( ( aka meghaslka matrks berordo at,. Jad matrks sols tk mecar selesaa ke- dar da at. Ssa matrks sols dbetk dar matrks: dega catata bahwa matrks ertble (dapat derska). ar raa d atas dapat dkostrks selesaa persamaa Pell sebaga berkt: Utk selesaa awala dketah: 6

78 65, (..) Utk aka dperoleh da sebaga berkt: (..) Selajta, da dsbttska ke dalam persamaa Pell mejad: ( ) ( ) (..) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pada perhtga persamaa (..) tdak dperoleh selesaa, maka tk medapatka selesaa, persamaa (..) hars dbag dega sehgga dperoleh: ) (. ar perhtga tersebt, selajta dapat dperoleh la: da,. dega demka: Jad dketah bahwa la da adalah selesaa.

79 66 Berkta tk peelesaa dapat dtetka dega perhtga: (..) ( ) ( ) ( ) ( ) Selajta, da dsbttska ke persamaa Pell, dperoleh: ( ) ( ) (..5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6

80 ( ) ar perhtga d atas spaa dperoleh la maka persamaa tersebt hars dbag dega 6, mejad: ( ). ar perhtga tersebt, selajta dapat dperoleh la: da,. ega demka: Jad dketah bahwa da merpaka sols dar persamaa Pell ± da setersa perhtga dapat dlajtka sampa tak hgga. ar ke- pola selesaa persamaa d atas dapat dsmplka bahwa: Utk selesaa awal saat dperoleh: (..6) Utk dperoleh: (..7)

81 68 Utk dperoleh: (..8) Maka selajta tk dperkraka aka dperoleh: (..9) emka jga tk 5 dperoleh: (..) a setersa sampa tak hgga baaka. ar pola persamaa (..6-..) dapat dsmplka sebaga berkt:

82 M da M. ega demka, dar raa d atas dketah bahwa tk mecar sols ke- dar da pada persamaa Pell dapat dperoleh rms: dega la da. alam hal adalah selesaa ke- dar arabel da adalah sk ke- dar arabel. Adap cara meelesaka persamaa Pell dega matrks dbag mejad da at:. Peelesaa Persamaa Pell Teorema.. : Msal, ) adalah sols dar persamaa Pell. Msalka: (, tk (..) 69

83 7 maka sols ke- dar persamaa Pell adalah (, ) dega:, ), ( (..) (Tekca, 6: 6 ) Bkt Teorema.. : Teorema.. dbktka dega dks pada. Utk, maka dar persamaa (..) dperoleh: Jad dperoleh ), ( ), (. Karea ), ( sols dar maka ), ( merpaka sols dar persamaa (..). Selajta dega asms bahwa persamaa Pell dpeh tk ), ( at: (..) Sekarag aka dtjkka bahwa persamaa Pell jga dpeh tk ), (. ar persamaa (..) perhtga dapat dtjkka dega: (..)

84 7 oleh karea t: ( ) ( ) (..5) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ega meggaka persamaa (..) dapat dketah bahwa. ega demka dapat dsmplka bahwa: (..6) ( ) ( )

85 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ar perhtga dperoleh bahwa terata terbkt bahwa, ) jga ( merpaka selesaa dar persamaa Pell hgga berbahbah, aka dperoleh selesaa berpa blaga blat dar persamaa Pell. Utk megaplkaska rms d atas, perhatka cotoh soal berkt: Cotoh..: Car selesaa ( ), dar persamaa Pell dega meggaka metode matrks tk L! Peelesaa: ar Tabel.. dketah bahwa persamaa Pell memlk sols awal da. Utk mecar selesaa ke- at da selajta dapat dgaka metode matrks. ar Teorema.. dperoleh rms sebaga berkt:, dega, ( ), maka tk aka dperoleh: 7

86 ar perhtga d atas dperoleh 8 da 66 sehgga dapat dcar da bertrt-trt sebaga berkt: Jad tk dperoleh selesaa 9 da. Selajta tk dperoleh:

87 59 ar perhtga dperoleh 59 da sehgga dapat dcar da bertrt-trt sebaga berkt: Jad tk dperoleh sols 98 da 6. ar sema hasl perhtga dega meggaka metode matrks terata dperoleh peelesaa dar persamaa Pell tk L hasla sama dega peelesaa dega meggaka algortma PQa at: (, ) (9, ) (98, 6). Peelesaa Persamaa Pell Pada raa sebelma persamaa Pell memlk selesaa da, selajta tk memperoleh selesaa dar persamaa Pell dapat dcar dega perhtga sebaga berkt: Msalka da adalah selesaa awal, maka bear bahwa. Selajta dar persamaa (..) d atas, jka persamaa dgat dega, maka tk dperoleh: 7

88 ( ) ( ). Karea -, maka da bka selesaa persamaa Pell. Selajta dgaka pada persamaa (..), maka tk dperoleh: ( ) ( ) ar perhtga dperoleh la da adalah selesaa dar persamaa Pell. Utk dperoleh: ( ) Karea ( ) -, maka da bka selesaa persamaa Pell. Selajta tk 5 aka dperoleh: 5 5 ( ) 5 ( ) 5 ar beberapa raa d atas dapat dsmplka bahwa sols tk persamaa Pell dperoleh pada saat -a gajl sehgga dapat drmska dega: 5 da M M da 75