PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL. Partial Differential Equations PDE

Transkripsi

1 PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Paral Dffereal Equaos PDE

2 Persamaa Dferesal Parsal PDE Acua Chapra, S.C., Caale R.P., 99, Numercal Mehods for Egeers, d Ed., McGraw-Hll Boo Co., New Yor. Chaper 3 da, hlm

3 Persamaa Dferesal Parsal PDE 3 Suau fugs u yag bergaug pada da y: u(,y) Dferesal u erhadap d sembarag (,y) Dferesal u erhadap y d sembarag (,y) y u y u u,, lm y y u y y u y u y,, lm

4 Persamaa Dferesal Parsal PDE Cooh ar fs: u elevas aah pada pea suas. Y u(,y) bua pooga memajag d sepajag gars apa yag aa Sdr lha? u dujua oleh garsgars (oour) elevas aah. X

5 Persamaa Dferesal Parsal PDE 5 u y u y u y u y u y u y u u y u u u Orde PDE adalah orde ergg suu dervaf PDE merupaa fugs lear apabla fugs sb lear pada u da dervaf u, da oefse persamaa sb haya bergaug pada varabel bebas ( aau y) aau osaa () () (3) () PDE Order Lear () ya () 3 ya (3) 3 da () da

6 6 Persamaa Dferesal Parsal PDE u A u B y u C y A, B, C : fugs da y D D : fugs, y, u, u/, da u/ B AC aegor < elp = parabol > hperbol PDE yag dbahas pada m Mae d s haya PDE lear berorde dua PDE lear berorde dua da fugs dua varabel bebas (,y) dapa delompoa mejad: elp parabol hperbol

7 Persamaa Dferesal Parsal PDE 7 B AC Kaegor Nama Persamaa < Elp Persamaa Laplace (permae, D spasal) = Parabol Persamaa odus paas (a-permae, D spasal) > Hperbol Persamaa gelombag (a-permae, D spasal) y y c y

8 8 Persamaa Dferesal Parsal PDE PDE Elp (Persamaa Laplace) e Peyelesaa Persamaa Laplace

9 Persamaa Laplace 9 Sebuah pla logam perseg ps Y X edua permuaa dlaps dega solaor paas ss-ss pla dber paas dega emperaur ereu rasfer paas haya dmuga pada arah da y z Djau pada saa rasfer permae elah ercapa (seadysae codo)

10 Persamaa Laplace Y Pada seady-sae codo, alra edalam sebuah eleme (lha gambar d sampg) selama perode haruslah sama dega alra q(y)+q(y+ y) yag eluar dar eleme sb: q y z q y z q() q(y) q()+q(+ ) y q y z qy y z q() da q(y) beruru-uru adalah flus paas arah da arah y, dalam saua al/cm /s. X

11 Persamaa Laplace Y Ja semua suu pada persamaa sb dbag dega z, maa: q(y)+q(y+ y) q() q()+q(+ ) q(y) y q y qy q y qy y Pegelompoa suu da perala dega / aau y/ y meghasla: q q qy qy y y y y X

12 Persamaa Laplace Y Pembaga dega y meghasla: q() q(y)+q(y+ y) q(y) q()+q(+ ) y q q qy qy y Megambl la lm persamaa sb da memperhaa defs dferesal parsal, maa dperoleh: q q y y (persamaa oservas eerg) X

13 3 Persamaa Laplace Y q() q(y)+q(y+ y) q()+q(+ ) y q(y) X q q y Peyelesaa PDE sb membuuha syara baas flus paas q; padahal syara baas yag deahu adalah emperaur. Oleh area u, PDE d aas dubah mejad PDE dalam dega meerapa Huum Fourer uu odus paas. q C (Fourer s law of hea coduco)

14 Persamaa Laplace Y q() q(y)+q(y+ y) q()+q(+ ) y q(y) X q C q : flus paas arah (al/cm /s) : oefse dfus hermal (cm /s) ρ : rapa massa medum (g/cm 3 ) C : apasas paas medum (al/g/ C) : emperaur ( C) : oduvas hermal (al/s/cm/ C) Persamaa d aas meujua bahwa flus paas ega lurus sumbu sebadg dega grade/slope emperaur pada arah.

15 5 Y Persamaa Laplace Dega memaa Fc s Law, maa persamaa oservas eerg dapa dulsa sbb. q(y)+q(y+ y) y (Persamaa Laplace) q() q(y) q()+q(+ ) y Ja ada source aau s: y f, y (Persamaa Posso) X

16 6 Persamaa Laplace Y q(y)+q(y+ y) Persamaa sb sama dega persamaa alra melalu medum porus (Huum Darcy). q H K q() q(y) q()+q(+ ) y q K H : deb alra arah (m 3 /m/s) : oduvas hdraul (m /s) : gg hdraul (m) : pajag lasa (m) X H H y

17 e Peyelesaa Persamaa Laplace 7 Peyelesaa persamaa Laplace, da berbaga PDE d bdag ejrg, hampr da perah dlaua secara aals, ecual uu asus-asus yag sederhaa. Peyelesaa hampr selalu dlaua dega cara umers. e peyelesaa PDE secara umers Meode beda hgga (fe dfferece appromao, FDA) Meode eleme hgga (fe eleme mehod, FEM) Meode volume hgga (fe volume mehod, FVM)

18 8 3 Fe Dfferece Approach FDA Y Lagah perama dalam FDA 3 y X Doma fs pla perseg dbag mejad sejumlah pas aau grd - dsr. PDE Laplace dubah mejad persamaa beda hgga d seap hug (,j). D hug eror (smbol bula ham): y, j, j, j, j y, j, j dferes egah (ceral dfferece) error = O[( ) ] & error = O[( y) ]

19 Fe Dfferece Approach FDA 9 y X Y Persamaa Laplace dalam beu beda hgga: 3 3,,,,,, y j j j j j j Ja uura grd seragam, = y, maa:,,,,, j j j j j

20 75 C 5 C 3 Y Fe Dfferece Approach FDA C D - yag berada d baas doma (smbol bula puh), berlau syara baas (boudary codos) emperaur deahu/deapa. BC semacam u deal dega ama Drchle boudary codo. D (,):,,,,,,,, 75 3 C X D 8 eror yag la pu dapa dulsa persamaa beda hgga dsr semacam d aas.

21 75 C 5 C 3 Y Fe Dfferece Approach FDA C Dar 9 eror dperoleh ssem persamaa aljabar lear yag erdr dar 9 persamaa dega 9 uows. 3 C X

22 e Peyelesaa Persamaa Laplace ) 8) 7) 6) 5) ) 3) ) ) 3,3,3 3, 3,3,3,3,,3,3, 3,3 3,, 3,,3 3,,,,,3,,, 3, 3,,, 3,,,,,, 9 persamaa dega 9 uows:

23 e Peyelesaa Persamaa Laplace ,3,3,3 3,,, 3,,, 9 persamaa dega 9 uows dalam beu mars

24 e Peyelesaa Persamaa Laplace Ssem persamaa aljabar yag dhasla dar peerapa persamaa beda hgga d semua eror dselesaa dega salah sau meode yag elah dbahas pada ulah sebelum US uu 9 persamaa, peyelesaa mash dapa dlaua dega mudah memaa cara abulas spreadshee uu jumlah persamaa yag baya, seper basa demu dalam permasalaha cvl egeerg, perlu baua program ompuer MaLab Numercal Recpes Ec. (dapa dcar d ere)

25 e Peyelesaa Persamaa Laplace 5 Meode eraf: Gauss-Sedel erao mehod Dpaa SOR (Successve Over Relaao) mehod uu mempercepa overges Krera overges..... j j j j j,,. j j j huga dlaua dega baua abulas spreadshee % ma ma,,,, j j j j..... j j j j j aau

26 6 e Peyelesaa Persamaa Laplace eras,,, 3,,, 3,,3,3 3,3 ma % % % % % % % % % %

27 75 C 5 C 7 e Peyelesaa Persamaa Laplace Y 3 C X 3 C C j = 3 j = j = C = = = 3 j 3

28 8 Persamaa Dferesal Parsal PDE PDE Parabol Peyelesaa PDE Parabol FDA Sema Espls FDA Sema Impls FDA Sema Cra-Ncolso

29 9 PDE Parabol paas A dg X Hea balace d dalam baag q A q A AC pu oupu sorage Baag logam pph-pajag dbugus solaor paas, ecual d edua ujug baag yag dber paas dega emperaur berbeda, paas da dg. persamaa sb dbag vol = A q q C lm persamaa sb uu, q C

30 3 PDE Parabol paas A dg X Huum Fourer uu odus paas q C Persamaa hea balace mejad Baag logam pph-pajag dbugus solaor paas, ecual d edua ujug baag yag dber paas dega emperaur berbeda, paas da dg. Persamaa odus paas Persamaa d aas merupaa persamaa dfus raspor polua raspor sedme suspes

31 3 FDA: Sema Espls da Sema Impls emperaur baag merupaa fugs wau da ruag erhadap wau, berupa suu dervaf perama erhadap ruag, berupa suu dervaf edua Lagah huga pada FDA pada wau + dhug berdasara pada wau pada wau sudah deahu dar la/syara awal (al codo) aau dar hasl huga lagah sebelumya saa meghug d suau pada suu dervaf ruag, yag maa yag dpaa? ja pada wau dama sema espls ja pada wau + dama sema mpls

32 FDA: Sema Espls da Sema Impls 3 d osa d sepajag baag da d sepajag wau Sema Espls Sema Impls seragam d sepajag baag

33 FDA: Sema Espls da Sema Impls 33 X + + X + + Sema Espls Sema Impls

34 = 5 C 3 FDA: Sema Espls Sema Espls + C X 6 8 (cm) 3 5 Kodus paas d sebuah baag alumum pph pajag pajag baag, L = cm, = cm me sep, =. s oefse dfus hermal, =.835 cm /s syara baas: (=,)= C da (=,) = 5 C la awal: (,=) = C

35 35 FDA: Sema Espls,,3, eras wau (s) emperaur ( C) d hug Huga derusa sampa = s

36 FDA: Sema Espls 36 emperaur ( C) 8 6 = 3 s = s = 9 s = 6 s 6 8 Jara (cm)

37 37 FDA: Sema Espls Koverges da sablas huga Koverges berar bahwa ja da medea ol, maa peyelesaa FDA medea peyelesaa esa. Sablas berar bahwa esalaha huga d seap ahap huga da megalam amplfas, eap megecl serg dega berjalaya huga. Sema espls overge da sabl ja: ½ dapa erjad oslas esalaha huga ¼ da erjad oslas esalaha huga = /6 memmuma rucao error

38 38 FDA: Sema Espls Koverges da sablas huga uu medapaa auras hasl huga, dbuuha ecl, amu oseues ecl adalah pu harus ecl uu mejam overges da esabla huga ja dala faor ½, maa perlu dala faor ¼ uu memperahaa overges da esabla huga sema espls mejad mahal, dalam ar beba huga berambah besar

39 = 5 C 39 FDA: Sema Espls Sema Espls + C 6 8 (cm) X Kodus paas d sebuah baag alumum pph pajag pajag baag, L = cm, = cm me sep, =. s oefse dfus hermal, =.835 cm /s syara baas: (=,)= C da (=,) = 5 C la awal: (,=) = C Hug dega sema espls: PR dumpula mggu depa!

40 FDA: Sema Impls X + 8 Sema Impls 6 (cm) Kodus paas d sebuah baag alumum pph pajag pajag baag, L = cm, = cm me sep, =. s oefse dfus hermal, =.835 cm /s syara baas: (=,)= C da (=,) = 5 C la awal: (,=) = C C = 5 C 5 3

41 FDA: Sema Impls Huga pada saa += aau + =. s: ode : ode 3 : ode : ode :

42 FDA: Sema Impls Dperoleh persamaa dega uows mars rdagoal Apabla jumlah persamaa baya, peyelesaa dlaua dega baua program ompuer. Salah sau e peyelesaa yag dapa dpaa adalah rdagoal mar algorhm (DMA) yag dapa dperoleh dar ere.

43 3 FDA: Sema Impls Karea haya persamaa, peyelesaa mash mudah dlaua dega baua spreadshee MSEcel [A] {} {RHS} {} = [A] {RHS} Guaa fugs =MINVERSE( ) da =MMUL( ) dalam MSEcel

44 FDA: Sema Impls Peyelesaa persamaa sb dega baua spreadshee MSEcel adalah: {} [A] {RHS}

45 5 FDA: Sema Impls Huga pada saa += aau + =. s: Mars oefse persamaa [A] da berubah Mars d sebelah aa ada = berubah da merupaa fugs pada saa = RHS

46 emperaur ( C) FDA: Sema Impls 6 Kodus aau perambaa paas hasl huga dega sema mpls ampa lebh cepa darpada hasl huga dega sema espls (pada = 3 s). 8 6 = 3 s mpls espls 6 8 Jara (cm)

47 7 FDA: Sema Espls da Impls Sema espls Sema mpls Persamaa da e peyelesaaya sraghforward, peyelesaa dlaua ode per ode Persamaa da e peyelesaa lebh rum, peyelesaa dlaua secara smula uu seluruh ode Rea erhadap overges da sablas huga Koverges da sablas huga lebh mudah djaga me sep eredala oleh overges da sablas huga me sep da eredala oleh overges da sablas huga

48 8 FDA: Sema Espls da Impls Sema Espls ) Saa meghug d, odeode d edua zoa da dperhuga, padahal secara fs, jusru ode-ode d s berpegaruh hd d. ) Saa meghug d, haya ode-ode d dalam segga yag berpegaruh dalam huga. X

49 FDA: Sema Espls da Impls 9 Sema Espls s order accurae d order accurae ) Sema mpls mejam overges da sablas huga, amu apromas suu dervaf wau da suu dervaf ruag meml auras berbeda. ) Sema mpls yag meml auras yag sama pada apromas suu dervaf wau da ruag adalah meode Cra-Ncolso.

50 FDA: Meode Cra-Ncolso 5 X + + Sema Cra-Ncolso +½ Apromas suu dervaf wau dempaa pada wau +½ l l Apromas suu dervaf ruag pada wau +½ daggap sbg la raa-raa dervaf pada wau da +

51 FDA: Meode Cra-Ncolso 5 X + + Sema Cra-Ncolso +½ Beu beda hgga persamaa parabola dega dema dapa dulsa sbb.

52 = 5 C 5 FDA: Sema Cra-Ncolso Sema Cra-Ncolso + C X 6 8 (cm) 3 5 Kodus paas d sebuah baag alumum pph pajag pajag baag, L = cm, = cm me sep, =. s oefse dfus hermal, =.835 cm /s syara baas: (=,)= C da (=,) = 5 C la awal: (,=) = C

53 FDA: Sema Cra-Ncolso 53 Huga pada saa += aau + =. s: ode : ode 3 : ode : ode:

54 5 FDA: Sema Impls Dperoleh persamaa dega uows mars rdagoal Apabla jumlah persamaa baya, peyelesaa dlaua dega baua program ompuer. Salah sau e peyelesaa yag dapa dpaa adalah rdagoal mar algorhm (DMA) yag dapa dperoleh dar ere.

55 55 FDA: Sema Impls Karea haya persamaa, peyelesaa mash mudah dlaua dega baua spreadshee MSEcel [A] {} {RHS} {} = [A] {RHS} Guaa fugs =MINVERSE( ) da =MMUL( ) dalam MSEcel

56 56 FDA: Sema Impls Peyelesaa persamaa sb dega baua spreadshee MSEcel adalah: {} [A] {RHS}

57 57 FDA: Sema Cra-Ncolso Huga pada saa += aau + =. s: Mars oefse persamaa [A] da berubah Mars d sebelah aa ada = berubah da merupaa fugs pada saa = RHS

58 emperaur ( C) FDA: Sema Cra-Ncolso 58 Kodus aau perambaa paas hasl huga dega sema Cra-Ncolso ampa mrp dega hasl huga dega sema espls (pada = 3 s). 8 6 = 3 s mpls espls Cra-Ncolso 6 8 Jara (cm)

59 FDA: Sema Cra-Ncolso 59 Sema FDA = : sema espls = : sema mpls = ½ : sema Cra-Ncolso FDA

60 FDA Persamaa Parabol 6 Beu umum FDA persamaa dferesal parsal parabol Sema FDA = : sema espls = : sema mpls = ½ : sema Cra-Ncolso

61 = 5 C 6 + C FDA: Persamaa Parabol X 6 8 (cm) = cm Kodus paas d sebuah baag alumum pph pajag pajag baag, L = cm, = cm (!!) me sep, =. s oefse dfus hermal, =.835 cm /s syara baas: (=,)= C da (=,) = 5 C la awal: (,=) = C Hug sampa seady-sae codo Sema espls Sema mpls PR/ Sema Cra-Ncolso ugas

62 6