I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 I PENDAHULUAN. Laar Belaag D alam erdapa baya seal jes mahlu hdup. Mahlu hdup ersebu aa mejala seles alam d maa yag ua yag aa beraha. Salah sau ejada yag dapa dama adalah persaga uu memperoleh maaa dalam perswa maa da dmaa. Mahlu hdup pemaa aau deal sebaga pemagsa (predaor) aa mecar burua aau deal dega magsa (prey) gua memperahaa hdup. Dalam ulsa, perswa ersebu dama pada dua pemagsa da sau magsa, besera aalss solusya. Persaga bag dua pemagsa dalam mecar sau magsaya dapa dmodela sebaga pemodela ga dmes yag melbaa ga varabel sae. Terdapa baya model yag meggambara perswa magsa-pemagsa, seper; model Loa-Volerra, Hollg pe II, da Hollg pe III. Dalam peulsa arya lmah, peuls membaas dr pada model Hollg pe III, megga bahwa model meggambara secara jelas peurua ga pemagsaa pada saa epadaa magsa redah Model Hollg (Eseberg da Maszle, 995) uu al perama dpereala oleh seorag lmuwa maemaa berama Hollg pada ahu 959 dalam ulsaya yag berjudul Some characerscs of smple ypes of predao ad parassm.. Tujua Tujua uama peulsa adalah megaalss solus model magsa-pemagsa megu model Hollg Tpe III secara grafs..3 Ssemaa Peulsa Pada bab sau djelasa laar belaag sera ujua dar peulsa arya lmah. Bab dua bers ladasa eor yag mejad osep dasar dalam peyusua pembahasa. Bab ga aa membahas model persamaa magsa-pemagsa megu model Hollg pe III, sera bab empa bers smpula da sara. II LANDASAN TEORI. Ssem Persamaa Dferesal Lear Msala sebuah ssem persamaa dferesal (SPD) lear dyaaa sebaga: =A+b, ( ) =, (.) dega A adalah mars oefse beruura da veor osa b, maa ssem ersebu damaa SPD lear orde dega ods awal ( ) =. Ssem (.) daaa homoge ja b = da ahomoge ja b. (Tu, 994). Ssem Persamaa Dferesal Madr Msala dbera suau ssem persamaa dferesal orde sebaga beru: = f (, y), (.) y = g(, y), dega f da g fugs ou berla real dar da y, dega laju perubaha da y dyaaa dega fugs da y sedr sera da berubah erhadap wau, maa ssem (.) merupaa ssem persamaa dfferesal madr..3 Meode Ruge-Kua Orde 4 (Verhuls, 99) Padag masalah la awal = f(, ), [ a, b], ( a) = (.3) Solus umer dar (.3) dapa dcar dega megguaa formula Ruge-Kua orde 4 sebaga beru:

2 = + h + 6 f + f + f + f dega f = f, ( ) 3 4 ( ) h h f = f +, + f h h f3 = f +, + f f = f + + f ( h, h ) 4 3 da + = + h uu =,,..., ; b a h = ; = bayaya eras. (Mahews, 99).4 Fugs Logs Laju perumbuha populas da eap eap bergaug pada uura populas. Ja hal djada asums, secara maemas berar bahwa laju perumbuha populas u merupaa fugs uura populas dn = N = f N d ( ) dega f ( N ) merupaa fugs uru ja N berambah besar. Nla f ( N ) membesar ja N medea ol. Beu palg sederhaa dar fugs f alah beu lear yag dapa dbeu sebaga beru: ja N saga ecl ( N ), populas umbuh secara espoesal da seap dvdu yag dambaha e dalam populas aa megabaa laju perumbuha per apa uru sebesar osaa a, maa persamaa dferesal uu perumbuha populas aa mejad: dn r an Nd = dega r da a merupaa osaa posf. Persamaa lah yag dsebu model logs. Ada cara la yag dapa dguaa uu memperoleh model logs, yau secara espls memasua faor daya duug lguga ( ). Ja dalam populas ada N dvdu, maa lguga mash dapa meduug N dvdu. Jad mash ada baga lguga yag mash bsa ds, sebesar ( N ). Baga lah yag sebadg dega perumbuha perapa. Oleh area u dn ( N ) dn ( N ) = r aau = rn. Nd d Pada asus la awal N <, model logs meramala bahwa uura populas a da meml asmo sebesar. Graf model meml belo d N =, ceug e aas ja N < da ceug e bawah ja N >. Lha Gambar. N / N Gambar. Kurva Model Logs.5 Model Hollg (Hasbua, 988) Ada baya model magsa-pemagsa, salah sauya adalah model Hollg. Pada model Hollg pe II, saa epadaa populas magsa redah, model ersebu meggambara ga pemagsaa sebaga fugs a dar populas magsa, sampa pada epadaa magsa yag gg d maa ga osums mecapa jeuh. Hal dsebaba seap pemagsa haya dapa memaa sejumlah ecl magsa pada saa sau u wau. Model Hollg pe III juga meggambara ga perumbuha pemagsa. Teap pada model dapa erlha jelas megea peurua ga pemagsaa pada saa epadaa magsa redah. Hal ersebu da dapa erlha pada model Hollg pe II. Adapu ga perumbuha magsa pada model Hollg pe II da III dbera pada fugs beru:

3 3 ( II ) a F ( ) = + b ( III ) a F ( ) = + b d maa ( II ) F : fugs Hollg II. ( III ) F : fugs Hollg pe III a, b : osaa : jumlah populas magsa (Eseberg da Maszle, 995).6 Nla Ege da Veor Ege Msala A adalah mars. Sebuah veor a ol d dalam dsebu veor ege dar A, ja uu sebuah salar λ, yag dsebu la ege dar A, berlau: A = λ. (.4) Veor dsebu veor ege yag bersesuaa dega la ege λ. Uu mecar la ege dar mars A yag beruura, maa persamaa (.4) dapa dulsa sebaga beru: ( A λi) =. (.5) dega I mars deas. Persamaa (.5) mempuya solus a ol ja da haya ja: de ( A λi ) =. (.6) Persamaa (.6) dsebu persamaa araers dar A. (Ao, 995).7 T Sgular Dbera sebuah ( ab, ) pada urva f (, y ) =. T ( ab, ) merupaa sgular ja urua parsal dar f erhadap da y eduaya berla ol pada ( ab, ), yau f ( a, b ) = da ( ) fy a, b =. (Arfe, 985).8 T Teap Dbera SPD madr = f ( ), (.7) T dsebu eap ja f ( ) =. T eap dsebu juga rs aau esembaga. (Tu, 994).9 T Teap Sabl Msala adalah eap SPD adalah sebuah solus SPD madr da ( ) madr dega la awal ( ) = dega. T daaa eap sabl ja uu sebarag radus ρ > erdapa r > sedema sehgga ja poss awal memeuh < r maa solus ( ) memeuh ( ) >.. T Teap Tasabl Msala < ρ, uu seap (Verhuls, 99) adalah eap sebuah SPD madr da ( ) SPD madr dega la awal ( ) = adalah sebuah solus dega. T daaa eap asabl ja erdapa radus ρ > dega cr sebaga beru: uu sebarag r > erdapa poss awal memeuh r <, beraba solus ( ) memeuh ( ) ρ, uu palg sed sau >. (Verhuls, 99)

4 4. Peleara Uu suau SPD alear, aalss esablaya dlaua melalu model hasl peleara. Msala dbera SPD alear sebaga beru: = f( ). (.8) Dega megguaa espas Taylor uu suau eap, maa persamaa (.8) dapa duls sebaga beru: =A +ϕ ( ). (.9) Persamaa ersebu merupaa SPD alear dega A adalah mars Jacob, A = Df = Df ( ) ( ) = f f a a = = f f a a ϕ suu berorde gg yag bersfa da ( ) ϕ ( ) lm =. Abaya persamaa dferesal (.9) dbera sebaga beru: = A. (.) Persamaa (.) dsebu peleara dar persamaa dferesal (.8). (Tu, 994). Aalss Kesabla T Teap Msala dbera SPD madr = f( ), (.) Selajuya, dlaua peleara d sear eap sesua dega persamaa (.9), sehgga dperoleh persamaa (.). Aalss esabla SPD (.) dlaua melalu aalss esabla SPD (.). Peeua esabla eap ddapa dega melha la-la ege mars A, yau: λ, =,..., yag dperoleh dar de ( A λi ) =. Secara umum esabla eap mempuya ga perlau sebaga beru:. Sabl, ja a. Seap la ege real adalah egaf ( λ < uu seap ). b. Seap la ege omples meml egaf baga real aau sama dega ol, ( Re( λ ) uu seap ).. Tasabl, ja a. Seap la ege real adalah posf aau sama dega ol ( λ uu seap ). b. Seap la ege omples meml posf baga real, ( Re( λ ) > uu seap ). 3. Sadel, ja Perala dua buah la ege real sembarag adalah egaf ( λλ j < uu da j sembarag). (Tu, 994).3 Ivara Msala E merupaa hmpua baga erbua dar, msal ( E) meyaaa f urua parsal, dega, j =,, j yag ou d E, da msala φ : E E merupaa alra dar ssem alear dar persamaa (.8) yau rayeor fase dar solus persamaa ersebu. Sebuah hmpua S E dsebu vara ja φ ( S ) S da S dsebu vara posf (aau egaf) ja φ ( S ) S uu semua (aau ). (Pero, 99).4 Mafold Msala E merupaa hmpua baga erbua dar, msal f ( E) yau f urua parsal, dega, j =,, j yag ou d E, da msala φ : E E merupaa alra dar ssem alear dar persamaa (.8) yau rayeor fase dar solus persamaa ersebu. Msala bahwa f ( ) = da Df ( ) yau urua fugs dar f mempuya la ege yag baga realya berla egaf da la ege yag baga realya berla posf. Maa erdapa suau mafold S yag berdmes yag erdferesala da bersgguga S dega subruag sabl E dar ssem lear pada sehgga uu, φ ( S ) S da uu seap S, lm φ ( ) = ;

5 5 da erdapa suau mafold U yag yag erdferesala berdmes ( ) da bersgguga dega subruag asabl U E dar ssem lear pada sehgga uu seap, φ ( U ) U da uu seap U, lm φ ( ) =..5 Ivara Mafolds (Pero, 99) y Hmpua vara E daaa r r ja E vara mafold ( ) merupaa mafold pada.6 Trayeor Fase r. (Wggs, 99) Dbera solus ssem persamaa dferesal seper d bawah : -3 Gambar. Meda Arah da Pore Fase Dar Gambar erlha adaya lasa yag dempuh oleh solus (, y ) serg berjalaya wau. Lasa dsebu rayeor fase. Sedaga - eulbrum da rayeor fase pal dsebu pore fase. (Sewar, 998) III PEMBAHASAN 3. Perumusa Model Dalam peulsa arya lmah, model Hollg yag dguaa adalah pe III. Model dplh area meggambara secara jelas peurua ga pemagsaa pada saa epadaa populas magsa yag redah, d maa hal ersebu da erlha pada model Hollg pe II. Model magsa-pemagsa yag megu model Hollg pe III dalam arya lmah melbaa sau magsa da dua pemagsa dapa dulsa sebaga beru: ds S S = S = rs m, = d K a + S d S = = m d,,, = d a + S (3.) d maa: S : bayaya magsa. : bayaya pemagsa e-. r : laju perumbuha rs. K : daya duug lguga bag magsa. m : laju elahra pemagsa e-. a : osaa ejeuha pemagsa e-. d : laju emaa pemagsa e-. dega rkm,,, a, d adalah parameer posf. Ssem persamaa (3.) d aas meggambara epadaa dar magsa dega wau dlambaga dega S( ), da dua pemagsa pada wau yag dlambaga masg-masg dega ( ), da ( ). Beu dar fugs pemagsa megu model urva logs, maa ja S meuju a hgga, laju elahra pemagsa per apa aa meuju m. Dalam hal erlha jelas bahwa pemagsa e- yag beraha hdup membuuha laju elahra yag lebh gg dar laju emaa, asumsa: m b = >, =, d Oleh area u, harus dpermbaga pemagsa dega osaa ejeuha a yag redah; a < a dega populas pemagsa e- mula berembag haya ja ruas aa pada persamaa e dua pada ssem persamaa (3.) adalah posf,